6.5 反常积分
反常积分的几种计算方法
反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2 瑕积分的定义 (2)2 反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分…………………………………………32.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献…………………………………………………………………⎰=+∞→uau Jdx x f )(lim ,)1(则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作⎰+∞=adxx f J )(,)1('并称⎰+∞adx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称⎰+∞adx x f )(发散.类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分：⎰⎰-∞→∞-=buu bdxx f dx x f )(lim )(.)2(对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：dxx f dx x f dx x f aa ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=)()()(.)3(1.2瑕积分的定义定义2设函数f 定义在区间(]b a ,上,在点a 的任一右领域上无界,但在任何内闭区间[](]b a b u ,,⊂上有界且可积.如果存在极限⎰=+→bua u Jdx x f )(lim ,)4(则称此极限为无界函数f 在(]b a ,上的反常积分,记作⎰=badxx f J )(,)4('并称反常积分⎰b adx x f )(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分⎰badx x f )(发散.在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分⎰badx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰⎰-→=uabu badx x f dx x f )(lim )(.)5(其中f 在[)b a ,有定义,在点b 的任一左领域上无界,但在任何[][)b a u a ,,⊂上可积.若f 的瑕点()b a c ,⊂,则定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰+-→→+bvcv u acu dx x f dx x f )(lim )(lim .)6(其中f 在[)(]b c c a ,,⋃上有定义,在点c 的任一领域上无界,但在任何[][)c a u a ,,⊂和[](]b c b v ,,⊂上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是f 的瑕点,而f 在任何[]()b a v u ,,⊂上可积,这时定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰-+→→+vcbv cuau dx x f dx x f )(lim )(lim , )7( 其中c 为()b a ,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.2反常积分的计算方法在计算反常积分时有三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法.设dx x f ba⎰)(是反常积分, b 为唯一的奇点(b 为有限数,或∞+),计算dx x f ba⎰)(：2.1利用Newton —Leibniz 公式计算反常积分若)(x f 在[)b a ,连续,且)(x F 为)(x f 的原函数,则)()0(|)()(0a Fb F x F dx x f b a ba--==-⎰.)8(例1 计算⎰-b apa x dx)(的值.解： pa x x f )(1)(-=在(]b a ,上连续,从而在任何[](]b a b u ,,⊂上可积,ax =为其瑕点，故⎰⎰-=-+→b u pa ub ap a x dx a x dx )(lim)(⎪⎩⎪⎨⎧=---≠-----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠--=----⎰.1),ln()ln(,1,1)(1)(.1,)ln(,1,1)()(111p a u a b p p a u p a b p a x p pa x a x dx pp bu bu p b u p⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<--=-=--→⎰⎰+.1,,1,1)()(lim )(1p p p a b a x dx a x dx pb u p a u b a p2.2利用变量替换法计算反常积分若)(t ϕ在[)βα,上单调,有连续的导数)(t ϕ',b a a =-=)0(,)(βϕϕ(β为有限数或无穷大),则⎰⎰'=βαϕϕdtt t f dx x f ba)())(()(.(9) 例2 计算⎰--bax b a x dx))((2的值.解：令θθ22sin cos b a x +=则θθθθcos sin 2sin cos 2b a dx +-=,θθθθθθθ2222222sin )(sin sin sin )1(cos sin cos a b b a b a a b a a x -=+-=+-=-+=-θθθθθθθ2222222cos )(cos cos cos )sin 1(sin cos a b a b a b b a b x b -=-=--=--=-πθθθθθθππ24cos sin )(cos sin )(22))((22020==--=--⎰⎰⎰d a b d a b x b a x dx ba.例 3 证明等式dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(,其中0,>b a (假设二积分有意义).分析:比较该等式的两边,我们必须使得ab t xbax 42+=+, 因0,,>x b a ,此即要求ab t x b ax 422+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,亦即 22t x b ax =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此我们选取的变换如下： 证明：令t xbax =-, 此时ab t xbax 42+=+成立,因此可得 )4(212ab t t ax ++=，dt abt a ab t t dx 42422+++=.于是dt abt ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(222000++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+, 在上式的右边的第一个积分里,令u t -=,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++-++=+⎰⎰⎰∞+∞+∞+00222222044)4(44)4(21)(dt ab t ab u t ab t f du ab u u ab u ab u f a dx x b ax f 再将u 改写成t ,二积分合并,得dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(.因此该式得证.2.3利用分部积分法计算反常积分设)(),(x v v x u u ==在[)b a ,上有连续的导数,则⎰⎰⎰'-=='-bab a babadxx u x v x v x u udv dx x v x u )()()()()()(0.(10)例4 计算dx x x ⎰10ln 的值.解：⎰⎰=1021ln 21ln xdx dx x x )1ln (21102102dx xx x x ⎰⋅-⋅=41-=例5 计算积分dx x nx ⎰20cos ln 2cos π.解：(困难在于被积函数中有对数符号ln"",用分部积分法消去ln"")原式nx d x n2sin cos ln 2120⎰=πdx xx nx n x nx n ⎰--=2020cos )sin (2sin 21cos ln 2sin 21ππdx xxnx n ⎰=20cos sin 2sin 21π(我们看到,这里如果被积函数没有分母的x cos ,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式∑=+=+nk kt t tn 12cos 21sin )12sin(将被积函数拆开).因为x n x nx x nx )12cos(cos 2cos sin 2sin +-=⋅,dx xx n dx nx n dx x x nx n ⎰⎰⎰+-=202020cos )12cos(2cos 21cos sin 2sin 21πππ, 第一个积分为0，第二个积分令t x -=2π,dx xxn n dx x x nx n ⎰⎰+-=2020cos )12cos(21cos sin 2sin 21ππdt ttn nn ⎰+-=-201sin )12sin(2)1(πdt kt nnk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==-20112cos 212)1(πnn 4)1(1π--=.例6 计算⎰+∞∞-++nx x dx)22(2.解：()[]⎰⎰+∞∞-+∞∞-++=++n nx dxx x dx 11)22(22 ()⎰+∞∞-+=+=nx t tdt121()n nI tdt21202=+=⎰+∞,分部积分可建立n I 的递推公式: ()()()⎰⎰∞+++∞∞++--+=+=01220221211n n nn tdtnt tttdtI122+-=n n nI nI , 即n n I n n I 2121-=+. 21021π=+=⎰+∞t dt I ,2!)!22(!)!32(21425222321π⋅--=⋅⋅⋅--⋅--=n n I n n n n I n . 在计算n I 时我们也可以利用变量替换法进行求解,令θtan =t ,()()θθπd tdtI n nn ⎰⎰-∞+=+=202202cos 1,再直接引用Walls 公式2!)!22(!)!32(π⋅--=n n .利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法： 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区间相抵消或者合并.例7 计算dx x x⎰+∞+021ln 2的值.解：dx x xdx x x dx x x ⎰⎰⎰+∞+∞+++=+12102021ln 21ln 21ln 2=)11ln 1ln (2122102dx x x x dx x x ⎰⎰∞++++=))1(111ln 1ln (212102xd xx dx x x ⎰⎰∞++++ ))(1ln 1ln (20121021t d t t dx x xxt ⎰⎰+++===))(1ln 1ln (2102102t d t tdx x x ⎰⎰+-+ =0通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段和变量替换要找到最合适的,否则适得其反. 2.5利用方程法计算反常积分使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分.例8 计算积分⎰=20sin ln 2πxdx I .解：⎰⎰===402202sin ln 4sin ln 2ππtdt xdx I tx=⎰40cos sin 2ln 4πtdt t=)cos ln sin ln 2ln (4404040⎰⎰⎰++πππtdt tdt dt=))2sin(ln sin ln (42ln 4040⎰⎰-++⋅ππππdt t tdt)sin ln sin ln (42ln 42402⎰⎰-+=-=πππππudu tdt tu=⎰+20sin ln 42ln ππtdt=I 42ln +π通过解方程得：32ln π-=I .例9 计算积分dx x I ⎰+∞+=0412.解：dx x x x dx x I ⎰⎰∞+∞++=+=022241212 )1(12022x d x x ⎰+∞+-=dt tt xt ⎰∞+=+-=022112J dx x x =+=⎰∞+04212 则()dx xx J I I ⎰∞+++=+=0421222121 dx xx ⎰∞+++=04211 dx x x x ⎰∞+++=0222111 )1(11022x x d x x -+=⎰+∞ )1(2)1(102x x d xx -+-=⎰+∞ dt t xx t ⎰∞+∞---+=2121 dt t ⎰+∞+=02212+∞=02arctan2t22π=. 2.6利用级数法计算反常积分在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.例10 证明[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .证明: (1) 当2>x 时,[]xx x x )1(111-≤-,由于dx x x ⎰+∞-1)1(1积分收敛,故[]dx x x ⎰∞+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-111收敛. (2) [][]dx x x dx x x n n ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→∞+1111lim 11[][][][]dx x x dx x x dx x x dx x x n n n⎰⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-13221111111111 dx x n dx x dx x n n ⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=13221111121111 dx x n n ⎰--+++=1111211 n n ln 11211--+++= .因此：[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .2.7利用待定系数法计算反常积分在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式,再通过待定系数求解,在使用这种方法时通常结合多种方法求解. 例11 计算积分⎰+∞++=1)()1(n x x x dxI n .解：(拆为部分分式)设nx A k x A x A x A n x x x n k ++++++++=++ 1)()1(110(n A A A ,,,10 为待定系数).将)()1(n x x x ++ 同乘等式两边.然后k x -=,得)(21)1()1)((1n k k k A k +-⋅⋅⋅-+--=)!(!1)1(k n k k--=!)1(n C k nk-= ),,2,1,0(n k =,其中)!(!!k n k n C kn -=于是dx k x n C I nk k n kn ⎰∑∞+=+-=10)1!)1((dx kx n C nk knk∑⎰=∞++-=011!)1( ∑=∞++-=n k kn k k x C n 01)ln()1(!1.注意到∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-nk kn k n k knkx k x C k x C 001ln )1()ln()1(∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=n k nk kn k knkx k C C x 001ln )1()1(ln∑=→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=nk kn k nx k C x 001ln )1()11(ln (当+∞→x 时),因此 ∑=++-=n k kn k n k C n I 01)1ln()1(!1.结束语反常积分的计算方法灵活多变,对于任一问题都存在多种计算方法,我们在计算时要提取最简便的方法,除了上述的几种计算方法还有很多的计算方法需要我们去探究、归纳、总结,更重要的是我们要学会这些方法的灵活使用.参考文献:[1] 费定辉等,基米多继奇数学分析习题[M],山东:山东科技出版社,1990.[2] 同济大学应用数学系,高等数学[M],北京:高等教育出版社，2002.[3]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.[4]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214.[5]数学分析第四版上册 .华东师范大学数学系编[M].高等教育出版社,2010.[6] Tom M.Apostol著. Mathematical Analysis[M]. 机械工业出版社,2004.[7] Zorich,. Mathematical. Analysis. [M]. Springer,2004.。
反常积分常用的计算公式
反常积分常用的计算公式在数学中，积分是一种非常重要的运算，它在求解曲线下面积、求解定积分、求解不定积分等方面都有着广泛的应用。
而在积分的计算中，反常积分是一种特殊的积分形式，它在一定范围内无法求解的情况下，需要通过特定的计算公式来求解。
本文将介绍反常积分常用的计算公式，并对其应用进行详细的讲解。
首先，我们来看一下反常积分的定义。
反常积分是指在积分区间上存在无穷限的积分，或者被积函数在积分区间上有无穷大的间断点的积分。
反常积分分为两类，第一类是无穷限的反常积分，第二类是间断点的反常积分。
对于这两类反常积分，我们都可以通过特定的计算公式来求解。
对于第一类无穷限的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 收敛的无穷限反常积分。
对于收敛的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 是积分下限。
这个公式的意义是将积分区间扩展到一个无穷大的范围，然后求解极限值，从而得到无穷限反常积分的结果。
2. 发散的无穷限反常积分。
对于发散的无穷限反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) \, dx \]但是需要注意的是，如果极限值不存在或者为无穷大，那么这个反常积分就是发散的，无法求解出具体的结果。
接下来，我们来看一下第二类间断点的反常积分，常用的计算公式有以下几种：1. 无穷间断点的反常积分。
对于无穷间断点的反常积分，我们可以使用以下计算公式进行求解：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx + \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{a} f(x) \, dx \]其中，\( f(x) \) 是被积函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分区间的下限和上限。
《反常积分课件》课件
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目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
《反常积分课件》课件
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
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反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
反常积分的比较判别法的极限形式
反常积分的比较判别法的极限形式反常积分的比较判别法，说白了就是一种用来判断不太“好”积分的技巧。
咱们知道，积分这个玩意儿，得看它到底能不能收敛，也就是能不能得出一个有意义的数字。
可是有些积分，根本就是捉摸不透，好像有个“反常”的劲儿，老是让你猜不透。
说到这里，可能有同学会觉得，这么一听，好像是在说某种“神秘”的数学魔法。
其实不然，反常积分就是某些特别“刁钻”的积分，它们或者有无限的积分区间，或者在某些点上无穷大，这让我们得小心翼翼地判断它们是不是能“安稳”下去。
别担心，咱们的比较判别法来啦！说它是“比较”，其实就是在比、比、比：拿它和一个比较简单的积分来比，看看它是不是也能稳定下来。
你要知道，咱们这儿提的比较判别法，也没那么复杂，反而有点像一场比赛。
咱们找一个对手，看看哪个更“能扛”得住。
如果你找的对手比这个积分还“弱”，那肯定没戏，反过来，找个比它更强的对手，那个积分肯定是要跑得更远。
简单说，就是通过比较来猜测原积分的“性格”，它会不会发疯——不收敛，或者会不会平稳地收敛下来。
这个方法，一开始可能觉得有点玄，搞不懂为什么找一个对手就能判断出来，但一旦深入去理解，就像揭开了谜团的面纱，顿时豁然开朗。
但有个问题就是，反常积分可不是所有的积分都能用比较法判定的。
你得学会选择合适的“对手”。
这时候，反常积分的极限形式就派上了用场。
什么意思呢？就是通过观察这个积分在某些特殊点的表现，比如它是在哪个区间发疯，或者接近无穷大时是怎么“玩命”的。
你得通过这些“极限”的行为，挑选出一个合适的对手来，才能做到精准判断。
就像你挑选选手参加比赛一样，得确保对手的“强度”正好能和你想测试的积分“拼一拼”，这样才能得出正确的结论。
再说这个极限形式，它其实就像是比赛的规则书，告诉你怎么玩才能不“翻车”。
通过这些规则，你能精确地知道该在哪些情况下使用比较法，哪个积分该用哪个标准去比。
想想看，这不就像在打游戏，拿到一个特别详细的攻略，你就能轻松过关了嘛。
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。
无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。
图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。
通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。
那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。
（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。
）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。
由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。
最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。
最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。
反常积分法课件
3、
0
x ne xdx（
n 为自然数
）；4、
2 dx 0 (1 x)2
；
5 、 2 xdx ； 1 x1
6 、
x ln x 0 (1 x 2 )2
dx
；
7 、
1
ln
n
xdx
.
0
三 、 求 当 k 为何值时
， 广 义 积 分 b dx a (x a)k
(b a)
收 敛 ？ 又 k 为何值时 ， 这 广 义 积 分 发 散 ？
的瑕点是哪几点？
01
02
思考题解答
1
ln
x
0
x
dx 1
积分
x0,可能x 的 瑕1 点是
lim lnx lim1 1, x1
x014x 1 x1 x
03
的瑕1点l是nx dx
0 x1
x0.
不是瑕点,
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
1 xp 发散；
0 1x2
6、 广 义 积 分x f(t)d的 t 几 何 意 义 是 ______________
________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ； 2、 dx
；
x2 2x 2
1
因此当q 1时反常积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时反常积分发散.
例6 计算反常积分
2 dx .
1 x ln x
2
1
dx x ln x
反常积分
f ( x)dx 收敛，且
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
f ( x)dx ．
Remark 有限区间上的函数值不影响无穷积分的收敛性； Remark 无穷积分
a
f ( x)dx 的收敛性及其值的大小与实数 a 的值无关，因为
f ( x)dx a
2
2
A 1 1 1 1 1 dx lim dx lim p 1 p 1 ， p p 2 A A 1 p x ln x x ln x ln A ln 2
1 dx 发散． x ln p x
Remark 根据无穷积分的概念可知， 收敛的无穷积分具有与定积分类似的一些运算性质 和运算公式，如线性运算性质，换元积分公式与分部积分公式等．
1 dx 发散． xp
（2）当 p 1 时，
2 2
A 1 1 dx lim dx lim ln(ln A) ln(ln 2) ， 2 A A x ln x x ln x
1 dx 发散； x ln p x
当 p 1 时，
2
2
例 4 判断下列无穷积分的收敛性
1
1 dx ； xp
（2）
2
1 dx ． x ln p x
解（1）当 p 1 时，
1 1
A1 1 dx lim dx lim ln A ， A 1 x A x
1 dx 发散； xp
当 p 1 时，
1
1
a
06-05反常积分
2. 反常积分2.1 无穷积分2.2 瑕积分黎曼积分（定积分）受到两个方面的限制：一是被积函数必须有界；但是在许多问题中，经常遇到无限区间和无界函数的情形．因此需要推广黎曼积分的概念，以扩大黎曼积分的应用范围．这就产生了反常积分（或者称为广义黎曼积分）的概念．二是积分区间必须有限．根据应用的需要，定积分在两个方面进行推广．1．保持被积函数有界，积分区间变为无限区间；2．保持积分区间有限，但是允许被积函数无界．有界函数在无界区间上的积分称为无穷积分；无界函数在有界区间上的积分称为瑕积分．2.1 无穷积分1 无穷积分的概念与例2 非负函数无穷积分的判敛法3 一般函数无穷积分的判敛法1 无穷积分的概念与例定义1假设函数f (x ) 在区间[a ,+∞) 有定义.并对于任意的A >a ,f (x )在区间[a , A ] 可积.（无论存在与否）称为极限∫+∞→A a A x x f d )(lim 上的在区间函数),[)(+∞a x f 无穷积分．，存在如果极限∫+∞→A aA x x f d )(lim.d )(lim就是这个无穷积分的值∫+∞→AaA x x f 收敛..d )(表示这个无穷积分并且用记号∫∞+a x x f ∫+∞a x x f d )(则称无穷积分,d )(lim 不存在如果极限∫+∞→AaA x x f 则称 f (x )在区间[a ,+∞)上的无穷积分发散.:),(上的无穷积分和∞+−∞=∫∞+∞−x x f d )(x x f c d )(∫∞−x x f cd )(∫+∞+( c 为任意取定的常数)当且仅当右端两个无穷积分都收敛时, :],(,.2上的无穷积分可以定义类似地b −∞,d )(lim d )(∫=∫−∞→∞−b B B bx x f x x f 左端的无穷积分才认为是收敛的.例1解收敛时求其值.∫∞+1d ，的收敛性讨论无穷积分px x，时当1.1<p 对于任意的A >1 ,=∫A pxx1d =−−A p px 111)1(111−−−p A p;)(时当+∞→+∞→A ，时当1.2=p 对于任意的A >1 ,A ln ;)(时当+∞→+∞→A .1时无穷积分发散当≤p =∫A px x1d ，时当1.3>p 对于任意的A >1 ,=−−A ppx 111=∫Ap x x 1d )1(111−−−p A p .)(11时当+∞→−→A p .1时无穷积分收敛于是当>p例2计算无穷积分解.d 1ln 11∫∞++x x x x.d 1ln 1lim d 1ln 111∫∫+=++∞→∞+A A x x x xx x x x .]d ln 1d )1ln(1[lim 11∫∫−+=+∞→A A A x x xx x x ∫∫+−+=+A AAxx x x x x x x111d 12)1ln(2d )1ln(1∫+−−+=A x x x A A 1d 122ln 2)1ln(2其中t t t x x xAA ∫∫+=+1221d 14d 12∫+−=At t 12)d 111(4其中.πarctan 4442ln 2)1ln(2d )1ln(11++−−−+=+∫A A A A x x xA.πarctan 444)arctan (41+−−=−=A A t t A 于是∫∫−=A AAx xx x x x x 111d 12ln 2d ln 1∫−=A x x A A 1d 12ln 2.44ln 2+−=A A A 第二个积分：因此.]d ln 1d )1ln(1[lim d 1ln 1111∫∫∫−+=++∞→∞+A A A x x xx x x x x x x π)arctan 42ln 21ln2(lim −+−+=+∞→A AA A A .2ln2π−=无穷积分的收敛判别法定理11．非负函数无穷积分的比较判别法.],[上可积它们在任何有穷区间A a ,),[)()(上的非负函数是与设∞+a x g x f ,)()(0.1x g x f x ≤≥时若;d )(d )(收敛收敛可以推出则由x x f x x g a a ∫∫∞+∞+,)()(0.2x g x f x ≥≥时若.d )(d )(发散发散可以推出则由x x f x x g a a ∫∫∞+∞+注释.)()()(时满足就可以了只要当a N x x g x f >≥≥≤证明.d )(d )(0)()(0)1(x x g x x f x g x f AaAa∫∫≤≤≤≤推出由.d )(limd )(存在收敛推出由x x g x x g AaA a∫∫+∞→∞+.d )(limd )(lim 存在存在推出进而由x x f x x g AaA aA ∫∫+∞→∞++∞→.d )(收敛于是由定义推出x x f a∫∞+（2）是（1）的逆否命题.推论(比阶判敛法)),0(),[)(>∞+a a x f 定义于设非负函数,0)1>M 若存在常数有使对充分大的x .)(px M x f ≤;d )(收敛则x x f a∫∞+,0)2>N 若存在常数有使对充分大的x .)(p x N x f ≥.d )(发散则x x f a∫∞+,1>p ,1≤p 且在任何有限区间[a , A ] 上可积.∫∞+⎩⎨⎧≤>111:d 发散收敛p p x x p 定理3.2（比较判别法的极限形式）.],[上可积它们在任何有穷区间A a ,),[)()(上的非负函数是与设∞+a x g x f ,0)1(+∞<<l 若;d )(d )(同时收敛或同时发散与则x x f x x g a a ∫∫∞+∞+,0)2(=l 若.d )(d )(发散发散可以推出则由x x f x x g a a ∫∫∞+∞+并且.)()(lim l x g x f x =+∞→.d )(d )(,)3(发散发散推出则由若∫∫∞+∞++∞=aa x x f x x g l 则有下述结论：证明要点：极限保号性，比较判敛法推论（比阶判别法的极限形式）.],[上可积在任何有穷区间A a ,),[)(上的非负函数是设∞+a x f .d )(发散则x x f a∫∞+，存在极限l x f x p x =+∞→)(lim 使得，如果存在1)1(>p ;d )(收敛则x x f a∫∞+使得，如果存在1)2(≤p ，存在极限0)(lim ≠=+∞→l x f x p x .)()(+∞→∞→x x f x p或者)0(>a pp x x f x f x 1)()(=判别反常积分∫∞++121d x x x的敛散性. 解,111lim 22=+⋅+∞→x x x x 因为根据定理3.2 推出该积分收敛. 例3判别反常积分∫∞+−11d )1(xe x的敛散性.解11e lim0=−→uu u 由例4.11e lim 1=−+∞→）（推出x x x 根据定理3.2 推出该积分发散..ln d 2的收敛性研究反常积分∫∞+xx xq p.故积分收敛解,1时当>p ,1,0>−>ααp 使充分小取,0ln 1lim ln 1lim ==+∞→−+∞→xx x x x q x q pp x αα例5有则,q ∀,1时当<p .故积分发散,1,0<+>ααp 使充分小取,ln lim ln 1lim +∞==+∞→++∞→xx x x x q x q pp x αα有则,q ∀.ln d 2的收敛性研究反常积分∫∞+xx xq p,1,1时当>=q p ,1)2(ln 1)(ln ln d 1212−=−=∫−+∞−∞+q q x xx x qqq .故积分收敛例5,1,1时当<=q p ,1)(ln ln d 212+∞=−=∫+∞−∞+q x xx x qq .故积分发散;,1,1,,1积分收敛时或任意当>=>q p q p ,综上所述.,积分均发散其他情况任意函数无穷积分的判敛法都有使,,,,021N A A a N >∀>∃>∀ε无穷积分的柯西收敛原则:的柯西收敛准则：函数极限)(lim x f x +∞→.)()(21ε<−x f x f ：存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→ε<∫21d )(AA x x f :d )(收敛的充分必要条件是无穷积分∫∞+a x x f 都有使,,,,021N A A a N >∀>∃>∀ε.d )(d |)(|收敛则，收敛若∫∫∞+∞+aa x x f x x f ε<∫21d |)(|AA x x f 都有使,,,21N A A a N >∀>∃,0>∀ε，收敛由于∫∞+a x x f d |)(|5定理证明.用柯西收敛原则证明就有于是只要,,21N A A >ε<≤∫∫|d |)(||d )(2121AA A A x x f x x f 出因此由柯西收敛准则推.d )(收敛∫∞+a x x f 都有使,,,,021N A A a N >∀>∃>∀εε<∫21d )(AA x x f判断无穷积分是否收敛)0,,(d sin e )1(0>∫∞+−a b a x bx x a 为常数解,e sin e )1(x a x a x b −−≤.d e 0收敛x xa ∫∞+−于是由比较判敛法知,d sine 0收敛∫∞+−x bx x a 再由定理3.4 推出例1 .d sine 0收敛x bx x a ∫∞+−.d 1sin2)2(02x xx∫∞++.d 1sin202收敛x x x∫∞++.11|12sin |)2(22x x x +≤+ 2.2 瑕积分.d 1存在定积分∫δxx 并且存在极限考察积分.d 1∫xx=∫+→10d lim δδx x 由于被积函数在区间[0,1]无界,所以该定积分不存在.=+→102lim δδx .2)1(2lim 0=−+→δδ因此可以规定:=∫+→10d lim δδx x 引例，但是对于任意)1,0(∈δ=∫1d xx=+→102lim δδx .2)1(2lim 0=−+→δδ同样的方法可以讨论积分∫−11d x x .d lim 100∫−→+=δδxx定义.],()(有定义在假设b a x f ，对于任意),0(a b −∈δ.d )(存在定积分∫+ba x x f δ.)(无界，时当x f a x +→称为（不论是否存在）极限∫+→+b a xx f δδd )(lim 0上的在区间函数],[)(b a x f 瑕积分.是这个瑕积分的点a 瑕点.，存在如果∫+→+ba x x f δδd )(lim 0.d )(∫ba x x f 记作∫ba x x f d )(则称瑕积分收敛..d )(lim 0值的值就是这个瑕积分的极限∫+→+ba x x f δδ发散.，不存在如果∫+→+ba x x f δδd )(lim 0∫b a x x f d )(则称瑕积分注释在上述定义2 中,，无界，时当)(x f a x +→为该瑕积分的称a ，为瑕点如果b .d )(∫ba x x f 则同样可以定义瑕积分瑕点.例6解.0d ,010为瑕点，是一个瑕积分时当=>∫x xxp p 讨论这个瑕积分的收敛性，在收敛时求其值．，时当1.1>p ,)1,0(∈δ对于任意=∫1d δp x x =−−111δpx p )1(111p p−−−δ;)0(时当+→+∞→δ，时当1.2=p ,)1,0(∈δ对于任意=∫1d δp x x .)0(时当+→+∞→δδln −.d 110发散时∫≥pxx p .d 10的收敛性∫pxx∫<1.d ,1,收敛瑕积分时当于是px xp ，时当1.2<p ,)1,0(∈δ对于任意=∫1d δp x x =−−111δpx p)1(111p p−−−δ.)0(11时当+→−→δp瑕积分的收敛判别法瑕积分的比阶判敛法（极限形式）,],()(有定义在非负函数设b a x f .],[可积且在任何b a ε−0)()(lim ≠=−+→l x f a x pax 使得存在如果存在正数,1.1<p ;d )(收敛则瑕积分x x f ba∫使得存在如果存在正数,1.2≥p .)()(∞→−x f a x p 或者.d )(发散则瑕积分x x f ba ∫存在，l x f a x p a x =−+→)()(lim .d )(的瑕点是积分x x f a ba ∫∫−=10)1(d q px x x I 例研究下述瑕积分的收敛性:∫−=2101)1(d qp x x x I ∫−=1221)1(d qpx x xI .0=x 瑕点1)(lim 0=+→x f x p x )0,0(>>q p .11发散，收敛≥<p p .1)()1(lim 1=−−→x f x q x .11发散，收敛≥<q q .11时原积分收敛且<<q p .1=x 瑕点∫−=10)1(d q p x x x I ∫−=210)1(d q p x x x .)1(d 22121I I x x x qp +=−+∫∫−=10d )1(x x x I q p 研究下列瑕积分的收敛性:)0,0(>>q p .11时积分收敛且−>−>q p ∫−=1)1(d qpx x xI 1,1<<q p 函数−Β∫−−−=Β1011d )1(),(xx x βαβα.00时积分收敛且>>βαΒ-函数的定义域是:}0,0|),{(>>βαβα函数−Γ∫∞+−=Γ01d e )(xx x αα.d e d e d e 211110101I I x x x x x x xxx+=+=∫∫∫∞+−−∞+−ααα.01收敛时当I >α.2都收敛时为任意实数I α.)0)(∞+−Γ，（函数的定义域为α研究下列瑕积分的收敛性:∫−10d ln )1(xx x x βα,1时<p .0)1(ln lim )(lim 0=−⋅=−→→++qp r x r x x xx x f x .1收敛I ,1时≥p .1发散I ∫−10d )1(ln x x x x qp .121<+=<pr p .d )1(ln 2101∫−=x x x xI qp.)1(ln lim )(lim 0∞=−=++→→qx p x x xx f x .d )1(ln 21121I I x x x x q p +=−+∫∫−=210d )1(ln x x x x q p,2时<q .1)1(ln lim )()1(lim 11−=−=−−−→→x x xx f x px r x .2收敛I ,2时≥q .2发散I .d )1(ln 1221∫−=x x x xI qp.11<−=q r .1)1(ln lim )(lim 0=−=++→→x x xx f x px r x .11≥−=q r 结论.2,1:d )1(ln 10时收敛<<−∫q p x x x xq p .2,1:d ln )1(10时收敛−>−>−∫βαβαx x x x 计算反常积分∫∞++02d )1(arctan 23x x x ∫=2032d sec sec πt tt t 12π)cos sin (2π0−=+=t t t ∫∫∫+++−=+−=+)1(d 21)1(2ln )11(d ln 21d )1(ln 22222x x xx x x x x x x x 12x x x x x x d )11(21)1(2ln 22∫+−++−=Cx x x x ++++−=2221ln 41)1(2ln x x xx AA d )1(ln lim122∫++∞→AA x x x x 12221ln 41)1(2ln lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++−=+∞→∫∞++122d )1(ln x x xx ∫+=+∞→A A x x x x 122d )1(ln lim AA x x x x 12221ln 41)1(2ln lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++−=+∞→2ln 411ln 41)1(2ln 222++++−=A A A A 2ln 41=∫∞++122d )1(ln x x xx ∫∞+∞++++−=1212d )1(121)1(2ln x x x x x AA x x x xδδ)1(2ln lim)1(2ln 2112+=++→+∞→∞+.000=−=也可以这样做研究反常积分的收敛性xxx d ]11)11[ln(0+−+∫∞+x xx d ]11)11[ln(10+−+=∫x x x d ]11)11[ln(1+−++∫∞+.21I I +=xx x I d ]11)11[ln(12+−+=∫∞+对于方法1.d ]11)11[ln(0取极限令，计算+∞→+−+∫A x xx A 方法2：比较判敛法21)1(111111)11ln(0x x x x x x x ≤+=+−≤+−+≤.d ]11)11[ln(d 112收敛收敛推出由∫∫∞+∞++−+x xx x x xxx I d ]11)11[ln(101+−+=∫对于.d ln 1011的收敛性只需研究x x I ∫=x xx x d ]11ln )1[ln(10+−−+=∫,)1,0(∈p 任取.0ln lim 0=+→x x p x 收敛x x x d ]11)11[ln(0+−+∫∞+x x x d ]11)11[ln(10+−+=∫xxx d ]11)11[ln(1+−++∫∞+结论：原积分收敛．判别瑕积分.ln d 31的敛散性∫x x解,1为瑕点此处=x 利用洛必达法则得x x x ln 1)1(lim 1−+→xx 111lim +→=1=根据比阶判别法推出积分发散.例。
反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广. 一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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一、反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
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通常称a 为 f 的瑕点. 又称 a f ( x )dx 为瑕积分, 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
f ( x ) dx . a f ( x ) dx ulim a b
b
则称 f ( x )dx 发散.
a
a b
u a
b
b
u
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其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
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类似定义
f ( x )dx , f ( x )dx ulim u
b b
f ( x )dx
a
f ( x )dx
a
f ( x )dx .
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
r
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当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
《反常积分初步》课件
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
反常积分的知识点总结
反常积分的知识点总结一、反常积分的概念和性质1. 反常积分的定义反常积分是指在某些情况下，定积分的积分区间非有限区间，导致积分结果不存在或者收敛性不足的积分。
具体来说，若被积函数 f(x) 在积分区间内存在无穷大或者间断点，则定积分就无法进行，这时需要使用反常积分来进行求解。
反常积分可以分为第一类反常积分和第二类反常积分两种。
第一类反常积分指的是区间端点处的函数值为无穷大或定义间断的情况。
第二类反常积分则是函数在积分区间范围内的某一点发散的情况。
2. 反常积分的分类反常积分根据积分区间的不同性质可以分为以下几种情况：（1）无穷区间上的反常积分当被积函数在整个实数轴上无穷大或者间断时，就出现了无穷区间上的反常积分。
（2）有限区间上的反常积分当被积函数在积分区间内的某一点为无穷大或者不连续时，就出现了有限区间上的反常积分。
3. 反常积分的性质反常积分具有一些特殊的性质，这些性质对于理解和处理反常积分都具有重要意义。
（1）线性性质反常积分具有线性性质，即两个反常积分的和或差仍然是反常积分。
（2）可加性对于有限区间上的反常积分，如果将积分区间进行分割，可加性成立，即将积分进行分割后分别积分再求和等于整体积分。
（3）定积分收敛性的判定若函数在区间端点处的正负极限只要有一个是无穷大，则对应的反常积分就发散。
否则，就收敛。
二、反常积分的计算方法1. 无穷区间上的反常积分对于无穷区间上的反常积分，计算方法一般采用积分限的变换，将无穷区间转化为有限区间，然后再进行积分运算。
常用的方法包括极限计算和变量代换等。
极限计算法的基本思路是将无穷区间上的反常积分转化为有限区间上的积分，再利用定积分的性质进行求解。
变量代换法则是利用变量代换将无穷区间变换为有限区间，再进行积分求解。
2. 有限区间上的反常积分对于有限区间上的反常积分，可以采用逐点定义的方法，即将积分区间内的无穷大或间断点分别处理，再将结果求和，从而得到整体的反常积分结果。
反常积分表
反常积分表反常积分表是一种数学工具，用于计算反常积分的值。
反常积分是指无法通过基本积分公式或分部积分法等方法直接求解的积分。
反常积分的计算需要借助极限或无穷级数等概念。
以下是一些常见的反常积分表：1. 第一类反常积分当积分区间为无穷区间时，即∫ f(x)dx其中n为正无穷或负无穷。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第一类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第一类反常积分。
一些常见的收敛的第一类反常积分如下：∫ 1/x dx = ln(n) (n趋近于正无穷)∫-∞ e dx = 1∫ ln(x) dx = -12. 第二类反常积分当被积函数在积分区间上存在无限大的点时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第二类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第二类反常积分。
一些常见的收敛的第二类反常积分如下：∫ 1/√x dx = 2∫ 1/x dx = 13. 第三类反常积分当被积函数既在积分区间上存在无限大的点，又在某些点上不连续或发散时，即∫a f(x)dx其中a和n都是实数。
此时，如果积分结果无限大或不存在，则称为第三类反常积分。
反之，如果积分结果有限，则称为收敛的第三类反常积分。
一些常见的收敛的第三类反常积分如下：∫ ln(ln(1/x))/x dx = γ (Euler-Mascheroni常数)∫ sin(1/x)/x dx = π/2以上是一些常见的反常积分表，可以作为参考工具用于计算反常积分的值。
反常积分常用结论
反常积分常用结论你知道吗，数学界里头有个挺有意思的东西，叫“反常积分常用结论”。
听起来挺高大上，但其实就像咱们生活里那些不起眼的智慧小妙招，用起来特顺手。
想象一下，你手里拿着一把尺子，准备量量家里那扇大窗户的宽度。
可窗户太大了，尺子不够长，咋办？这时候，你就得用上点“反常”的法子，比如找个小伙伴，你俩一人站一边，用绳子量，然后再把绳子拉直了对着尺子看。
这“反常”一量，问题不就解决了嘛！反常积分啊，就是这么个道理。
它对付的是那些普通积分搞不定的“大块头”函数，就像咱们遇到的超长窗户。
这些函数啊，要么在积分区间上“调皮捣蛋”，一会儿无穷大，一会儿又不知道跑哪儿去了；要么就直接在积分上下限那儿“玩消失”，让人摸不着头脑。
这时候，反常积分就像那个聪明的你，想出了各种招儿来对付它们。
比如说，有个函数在积分区间上老是“吹牛皮”，说自己无穷大，可咱们不怕它。
咱们用个“分段治理”的法子，把它分成好几段，每段都乖乖地听话，然后再把它们加起来。
嘿，这不就搞定了吗？还有啊，有些函数在积分上下限那儿“躲猫猫”，咱们就来个“极限追踪”，看看它们到底想跑哪儿去。
只要咱们跟紧了，它们就无处遁形了。
这些反常积分的常用结论啊，就像是数学世界里的“武林秘籍”，里面藏着各种高招儿。
学会了它们啊，你就能在数学的江湖里游刃有余了。
不过啊，这些结论可不是凭空来的哦，它们都是数学家们辛辛苦苦研究出来的。
所以啊，咱们在学习的时候啊，可得用心点儿哦！其实啊，数学这东西啊，说难也难说简单也简单。
只要你肯动脑筋、肯下功夫啊，就没有什么能难倒你的。
就像咱们平时说的那句话一样：“世上无难事只怕有心人。
”所以啊，大家在学习反常积分的时候啊也别怕难哦！只要咱们用心去琢磨、去实践啊就一定能掌握它的精髓的！。
反常积分的计算
当 a 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a F (b ) lim F ( x )
x a
b
当 b 为 瑕 点 时 , a f ( x )dx [ F ( x )]b a lim F ( x ) F ( a )
ta x a
可采用简记形式
首页
b f ( x ) dx [ F ( x )] a F (b ) lim F ( x ) a x a
b
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二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
1 dx ( a >0) 的 敛 散 性 a x p 1 1 解 当 p 1 时 , dx dx [ln x ] a a x a xp 1 1 x1 p ] 当 p <1 时 , dx [ a a xp 1 p
x x
( ) 2 2
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a
f ( x )dx [ F ( x )] a lim F ( x ) F ( a ) x
例2 2 计算反常积分 例 解
0
te pt dt ( p 是 常 数 , 且 p >0)
b
t
f ( x )dx
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二、无界函数的反常积分
无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为
反常积分计算技巧
反常积分计算技巧嘿，朋友们！今天咱们来唠唠反常积分这个有点小调皮的家伙。
你可以把反常积分想象成一个在数学世界里不走寻常路的小怪兽。
首先呢，对于无穷区间上的反常积分，就像是一场没有尽头的马拉松。
比如说从a到正无穷的积分，就好比你在一条永远跑不到头的跑道上计算面积。
这个时候，极限就成了我们的魔法棒。
我们把这个无穷区间分成一段一段的，就像把马拉松分成一个个小赛程。
当这个小段不断趋近于无穷的时候，我们就用极限来抓住这个小怪兽的尾巴。
那遇到瑕积分呢，就像是在一个到处是陷阱的迷宫里找宝藏。
瑕点就像迷宫里的那些危险陷阱。
比如说函数在某一点无界，这个点就是瑕点。
我们要小心翼翼地绕过这个陷阱来计算积分。
这时候呢，把积分拆分成两部分，一部分在瑕点左边，一部分在瑕点右边，就像从陷阱的两边偷偷绕过去一样。
再说说换元法在反常积分里的运用吧。
换元就像是给这个小怪兽换了一身衣服，让它看起来没那么吓人。
比如说，我们用一个合适的变量替换，就像给它穿上了一件伪装服，原本复杂的积分可能就变得简单多啦。
这就好比你把一个看起来很凶的怪兽，通过一个魔法道具，变成了一只温顺的小绵羊。
分部积分法在反常积分里也是个有趣的家伙。
它就像两个小伙伴在玩跷跷板。
一个函数是跷跷板的这头，另一个函数是那头。
通过不断地让它们在跷跷板上上下下，我们就能算出反常积分的值。
有时候这个跷跷板会晃得很厉害，那我们就得更小心地控制两边的力量，也就是函数的选择。
比较判别法呢，就像是在一群小怪兽里找出最厉害的那个。
我们找一个已知的积分来和要计算的反常积分比较。
如果已知的积分像一个大力士，我们要算的积分像个小瘦子，而且小瘦子比大力士还小，那小瘦子的积分就是收敛的。
这就好比在一群小动物里，你看到一只小兔子比一头大象还小很多，那你就知道这只小兔子肯定没大象那么“占地方”。
还有极限判别法，这就像是给反常积分做一个身体检查。
通过检查它在某个点或者趋近于无穷的时候的极限情况，来判断它是健康的（收敛）还是生病的（发散）。
常见反常积分计算
常见反常积分计算
反常积分是指一种非标准的积分形式，它在数学中被用于计算不可积函数，这种积分可以通过改变积分方式来简化复杂的计算。
反常积分通常由特殊函数来定义，这些函数是通过改变普通积分形式来实现的，例如，可以把一般的积分形式换成反常积分形式。
反常积分的实现也可以通过改变函数的参数来实现，例如，可以把函数的参数改变成一个反常积分形式。
反常积分的应用非常广泛，它可以用于计算函数曲线及其他各种复杂函数的积分，这些函数可能是不可积函数，也可能是复杂的函数，例如椭圆形函数。
反常积分也可以用于计算物理学中涉及到的一些复杂的问题，例如受力分析和动力学分析等等。
反常积分也可以应用于统计学中，它可以用于估计某一种特定的分布情况，例如正态分布，泊松分布等。
反常积分也可以用于计算概率分布，它可以帮助我们估计某一种事件发生的概率。
反常积分也可以用于计算金融学中的复杂问题，例如股票价格曲线，债券价格曲线等等。
反常积分也可以用于计算最优化问题，它可以帮助我们找到最佳的解决方案。
反常积分的应用范围非常广泛，它可以用于计算各种不可积函数，也可以用于计算各种复杂函数，同时也可以用于计算许多物理学，统计学和金融学的问题。
因此，反常积分是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的计算问题。
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b
f ( x)dx lim
a a
b
f ( x) dx
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 3
设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且
对任意实数 c， 如果广义积分
c
f ( x )dx 与
c
f ( x )dx
则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无 都收敛，
a
f ( x)dx
b
f ( x)dx
b a b
f ( x)dx ．
a 是 f ( x) 的瑕点， f ( x)dx ；
无界函数的反常积分
b 是 f ( x) 的瑕点， f ( x)dx ；
a
区间 [ a, c) 与 (c, b] ， c 是 f ( x ) 的瑕点，
b
a
取实 定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续， 数 b > a， 如果极限
b a
lim f ( x )dx
b
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分，记作
a
f ( x )dx , 即
a
f ( x )dx lim
b a
求 平 面 图 形 面 积
求 旋 转 体 体 积 等
求 求 求 求 水 力 质 作 引 压 量 功 力 力
微元法：f ( x )dx
第五节
反常积分
积分区间有限 被积函数有界
常义积分
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
名称 反常积分 无穷限的反常积分
定义与计算公式
并记 F (a ) lim F ( x )， 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，
x a
F (b ) lim F ( x ). F (c ) lim F ( x ) 或 F ( c ) lim F ( x ).
x b
x c
x c
则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为
点a称为函数f(x)的瑕点(也称无界间断点).无界函数的
反常积分又称为瑕积分. 定义4. 若函数f (x)在(a,b]上连续,a是f (x)的瑕点，则
这时称反常积分
b
a
f ( x)dx lim f (x )dx
t a t
b
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
定义5.若函数f (x)在[a,b)上连续,b是f (x)的瑕点，则
1
dx ln x 1 x
所以该反常积分发散.
p 1 时，则
1
dx 1 1 p x p 1 x 1 p
1 , 当 p 1, p 1 , 当 p 1.
综合上述，当 p > 1 时， 该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
x x
则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为
a
f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a )，
b
f ( x )dx F ( x ) F (b) F ( )， f ( x )dx F ( x ) F ( ) F ( ) .
定积分的应用
定 积 分 的 性 质 积 分 中 值 定 理
变 上 限 函 数
微积 分基 本定 理
凑 微 分 法
第 二 换 元 法
分 部 积 分 法
原 函 数
三 倒 根 角 代 式 代 换 代 换 换
有 理 函 数 化 为 四 种 最 简 分 式
万 能 代 换
分 换 部 元 积 法 分 法
几何 应用
物理 应用
b
a b
f ( x )dx F ( x) |b F (b) F (a ) a f ( x )dx F ( x ) F (b ) F (a ). a
c b
c b
b
a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx F ( x ) a F ( x ) c a c
定义6.
b
a
f ( x)dx lim f (x )dx
t b a
t
c 是f(x)的 瑕点 , 则定义
a f ( x) dx c f ( x) dx
lim f ( x )dx lim f (x )dx
t c a
t c t
c
b
t
b
如果这两个反常积分都收敛，则 反常积分 收敛
二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
其含义可理解为
1 dx A lim lim 2 x t t 0 x t 0 t lim 2(1 t ) 2
1
A
Ot
x
t 0
如果函数f (x)在点a的任一邻域内都无界,那么
f ( x)dx
A
A f ( x) d x
a
b
y
(0,1) y = e-x O b x
一、无穷限的广义积分
y 轴及 x 轴所围成开口 例 1 求由曲线 y = e-x， 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 y b [0, + )，在 有 限 区 间 [0, b] 上， 以曲线 y = e- x (0,1) 为曲边的曲边梯形面积为
知识回顾
《一 元 函 数 积 分 学》
--理论与实际应用的桥梁
“智慧比红宝石更美,一切 可喜爱的,都不足与比较.
知识是智慧之源,拒绝知识 就等于拒绝智慧.”
b
一元函数积分学知识总结
f ( x )dx
牛顿-莱布 尼兹公式 不定积 分概念 不定积分 基本公式 反常积分
a
定积分 的概念
求不定积分
计算定积分
b
0
e dx e
x
x
b 0
1 1 b . e
y = e-x O b x
当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积， 即
1 1 b 1. A lim e dx blim b a e
b xx
穷区间 (- , + ) 内的广义积分， 记作 f ( x )dx, 即
f ( x )dx
c
f ( x )dx
c
f ( x )dx,
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F ( ) lim F ( x ), F ( ) lim F ( x ).
例4. 计算反常积分
解:
[ arctan x ] π π ( ) π 2 2
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
例5
证明反常积分 1
1 dx , 当 p > 1 时， p x
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则
b
f ( x )dx .
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 2
设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实
数 a > b， 如果极限
a a
lim f ( x )dx
b
b
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分， 记作 f ( x )dx, 即
b
例2
求 0
1 dx . 2 1 x
解 例3
解
0
1 dx arctan x 0 0 . 2 1 x 2 2
判断
0
cos xdx 的收敛性.
0
cos xdx sinx 0 .
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分 发散 .
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
0
1
所以反常积分 另：
发散 . 可直接观察图像得出结论吗？ 呢？
内容小结
积分区间无限 被积函数无界
反常积分
常义积分的极限
作业 P190:12 ,13
思考 讨论广义积分
1
0
dx 的收敛性 . p x
解
当 p = 1 时， 则
1 0
1
0
1 1 dx ln x 0 . x
F (c ) F (a) F (b) F (c ).
例6. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 1 , 所以
原式 lim
t 1
t
1 1 x
2
0
arcsin x dx tlim 1
t 0
2
例7 判断
解
1
0
dx 收敛性. 1 x