2021年高三综合能力测试数学试卷(理科)(3月份)含解析
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2021年八省联考数学真题107
y= sin(x+
2
).故选B.
12
8. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于7的概率为( ).
4
A：7
9
答案：B.
B：23
32
C：9
32
D：2
9
解析：由题意记x∈(0,1), y∈(1,2),题目即求x+y >7的概率.绘图如下所示.
S阴1×1−1AM·AN1−1×3×323
23
位长度,得到函数y=sin(xπ)的图像,则f(x)=().
4
A：sin(x
7πxπ7ππ
−)B：sin(+)C：sin(2x−)D：sin(2x+)
212
答案：B.
212
π左移ππ
1212
1π
解析：逆向:y=sin(x−
)−−−−→3
y= sin(x+
12
横坐标变为原来的2倍
−−−−−−−−−−−−→
(1)当a=1时,求不等式f(x)⩾6的解集;
(2)若f(x)>−a,求a的取值范围.
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
2021年高考全国乙卷数学(理科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设2(z+z−)+3(z−z−)=4+6i，则z=()A. 1−2iB. 1+2iC. 1+iD. 1−i2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=()A. ⌀B. SC. TD. Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢(p∨q)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=()A. sin(x2−7π12) B. sin(x2+π12) C. sin(2x−7π12) D. sin(2x+π12)8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为()A. 79B. 2332C. 932D. 299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=()A. B.C. D.10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a211.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为______ ．14.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不2√s12+s2210认为有显著提高)．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A−PM−B的正弦值．19.记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2Sn +1b n=2．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．20.己知函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明：g(x)<1．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】C【解析】解：设z =a +bi ，a ，b 是实数， 则z −=a −bi ，则由2(z +z −)+3(z −z −)=4+6i ， 得2×2a +3×2bi =4+6i ， 得4a +6bi =4+6i ， 得{4a =46b =6，得a =1，b =1， 即z =1+i ， 故选：C ．利用待定系数法设出z =a +bi ，a ，b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当n 是偶数时，设n =2k ，则s =2n +1=4k +1， 当n 是奇数时，设n =2k +1，则s =2n +1=4k +3，k ∈Z ， 则T ⊊S ， 则S ∩T =T ， 故选：C ．分别讨论当n 是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p ：∃x ∈R ，sinx <1，当x =0时，sinx =0<1，故命题p 为真命题，￢p 为假命题； 对于命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，因为|x|≥0，又函数y =e x 为单调递增函数，故e |x|≥e 0=1， 故命题q 为真命题，￢q 为假命题，所以p ∧q 为真命题，￢p ∧q 为假命题，p ∧￢q 为假命题，￢(p ∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：5名志愿者选2个1组，有C 52种方法，然后4组进行全排列，有A 44种， 共有C 52A 44=240种，故选：C ．5分先选2人一组，然后4组全排列即可．本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵把函数y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y =sin(x −π4)的图像， ∴把函数y =sin(x −π4)的图像，向左平移π3个单位长度， 得到y =sin(x +π3−π4)=sin(x +π12)的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得f(x)=sin(12x +π12)的图像． 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，属基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积=12×34×34=932， 1−932=2332． 故选：B ．由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：DEAB =EHAH，FGBA=CGCA，故EHAH =CGCA，即EHAE+EH=CGAE+EG+GC，解得：AE=EH⋅EGCG−EH，AH=AE+EH，故：AB=DE⋅AHEH =DE(AE+EH)EH=DE⋅EGCG−EH+DE．故选：A．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x=a或x=b，即x=a及x=b是f(x)的两个零点，当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a<b；当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：点B的坐标为(0,b)，因为C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，消去x，可得b2−a2 b2y2−2by+a2−3b2=0，∴△=4b2−4⋅b2−a2b2⋅(a2−3b2)≤0，整理可得4b4−4a2b2+a4≤0，即(a2−2b2)2≤0，解得a2=2b2，∴e=√1−b2a2=√22，故e的范围为(0,√22]，故选：C．由题意可得{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，根据判别式即可得到a与b的关系式，再求出离心率的取值范围．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，令f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴g(t)=2ln(t2+34)−t+1=2ln(t2+3)−t+1−2ln4，∴g′(t)=4tt2+3−1=4t−t2−3t2+3=−(t−1)(t−3)t2+3>0，∴g(t)在(1,√5)上单调递增，∴g(t)>g(1)=2ln4−1+2ln4=0，∴f(x)>0，∴a>c，同理令ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，再令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴φ(t)=ln(t2+12)−t+1=ln(t2+1)−t+1−ln2，∴φ′(t)=2tt2+1−1=−(t−1)2t2+1<0，∴φ(t)在(1,√5)上单调递减，∴φ(t)<φ(1)=ln2−1+1−ln2=0，∴ℎ(x)<0，∴c>b，∴a>c>b．故选：B．构造函数f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，利用导数和函数的单调性即可判断．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则有√3=√m，解可得m=3，则双曲线的方程为x23−y2=1，则c=√3+1=2，其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的性质可得√3=√m，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：因为向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，则a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，又(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，所以(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，解得λ=35．故答案为：35．利用向量的坐标运算求得a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，再由(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，即可求解λ的值．本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM ⊥BD ， 所以∠ABD +∠DAM =90°，又∠DAM +∠MAB =90°， 则有∠ADB =∠MAB ，所以Rt △DAB∽Rt △ABM ， 则ADAB =BABM ，所以12BC 2=1，解得BC =√2；(2)因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则A(√2,0,0),B(√2,1,0),M(√22,1,0)，P(0,0，1)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,1)， 设平面AMP 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +z =0−√22x +y =0， 令x =√2，则y =1，z =2，故n ⃗ =(√2,1,2)， 设平面BMP 的法向量为m⃗⃗⃗ =(p,q,r)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22p =0−√2p −q +r =0， 令q =1，则r =1，故m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√7×√2=3√1414， 设二面角A −PM −B 的平面角为α，则sinα=√1−cos 2α=√1−cos 2<n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(3√1414)2=√7014，所以二面角A −PM −B 的正弦值为√7014．【解析】(1)连结BD ，利用线面垂直的性质定理证明AM ⊥PD ，从而可以证明AM ⊥平面PBD ，得到AM ⊥BD ，证明Rt △DAB∽Rt △ABM ，即可得到BC 的长度； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：当n =1时，b 1=S 1，由2b 1+1b 1=1，解得b 1=32，当n ≥2时，b nbn−1=S n ，代入2S n+1b n=2，消去S n ，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b b −b n−1=12，所以{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由题意，得a 1=S 1=b 1=32， 由(1)，可得b n =32+(n −1)×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1= n+2n+1−n+1n=−1n(n+1)，显然a 1不满足该式，所以a n ={32,n =1−1n(n+1),n ≥2．【解析】(1)由题意当n =1时，b 1=S 1，代入已知等式可得b 1的值，当n ≥2时，将b nb n−1=S n ，代入2S n+1b n=2，可得b b −b n−1=12，进一步得到数列{b n }是等差数列；(2)由a 1=S 1=b 1=32，可得b n =n+22，代入已知等式可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n(n+1)，进一步得到数列{a n }的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20.【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,a)，令g(x)=xf(x)，则g(x)=xln(a −x)，x ∈(−∞,a)， 则g′(x)=ln(a −x)+x ⋅−1a−x =ln(a −x)+−xa−x ，因为x =0是函数y =xf(x)的极值点，则有g′(x)=0，即lna =0，所以a =1， 当a =1时，g′(x)=ln(1−x)+−x1−x =ln(1−x)+−11−x +1，且g′(0)=0， 因为g′′(x)=−11−x +−1(1−x)2=x−2(1−x)2<0， 则g′(x)在(−∞,1)上单调递减， 所以当x ∈(−∞,a)时，g′(x)>0， 当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，所以a =1时，x =0时函数y =xf(x)的一个极大值． 综上所述，a =1；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1−x)，要证x+f(x)xf(x)<1，即需证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，因为当x∈(−∞,0)时，xln(1−x)<0，当x∈(0,1)时，xln(1−x)<0，所以需证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，即x+(1−x)ln(1−x)>0，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，则ℎ′(x)=(1−x)⋅−11−x+1−ln(1−x)，所以ℎ′(0)=0，当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)<0，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，所以x=0为ℎ(x)的极小值点，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即x+ln(1−x)>xln(1−x)，故x+ln(1−x)xln(1−x)<1，所以x+f(x)xf(x)<1．【解析】(1)确定函数f(x)的定义域，令g(x)=xf(x)，由极值的定义得到g′(x)=0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；(2)将问题转化为证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，进一步转化为证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，利用导数研究ℎ(x)的单调性，证明ℎ(x)>ℎ(0)，即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p=2；(2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则易得l PA：y=x12x−x124,l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22,x1x24)，设l AB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2−4ky−4b=0，∴△=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=−4b，∴P(2k,−b)，∵|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b ，d p→AB =2√k 2+1，∴S △PAB =12|AB|d =4(k 2+b)32①，又点P(2k,−b)在圆M ：x 2+(y +4)2=1上，故k 2=1−(b−4)24，代入①得，S △PAB =4(−b 2+12b−154)32，而y p =−b ∈[−5,−3]，∴当b =5时，(S △PAB )max =20√5．【解析】(1)由点F 到圆M 上的点最小值为4建立关于p 的方程，解出即可； (2)对y =14x 2求导，由导数的几何意义可得出直线PA 及PB 的方程，进而得到点P 的坐标，再将AB 的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,−b)，|AB|以及点P 到直线AB 的距离，进而表示出△PAB 的面积，再求出其最小值即可．本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1， ⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)．(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0， 圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x≤−3 4,−3<x<12x+2,x≥1，∵f(x)≥6，∴{x≤−3−2x−2≥6或{−3<x<1 4≥6或{x≥12x+2≥6，∴x≤−4或x≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x−a|+|x+3|≥|x−a−x−3|=|a+3|，若f(x)>−a，则|a+3|>−a，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−32，即a的取值范围是(−32,+∞)．【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2021年高三3月份模拟考试数学(理)试题含解析
2021年高三3月份模拟考试数学（理）试题含解析一.选择题1．（5分）（xx•滕州市校级模拟）已知z=，则z的共轭复数为（） A． 2﹣i B． 2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：z====﹣2+i，则z的共轭复数=﹣2﹣i．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】：交、并、补集的混合运算．【分析】：根据补集和交集的意义直接求解．【解析】：解：C R B={X|x≥1}，A∩C R B={x|1≤x≤2}，故选D．【点评】：本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14π B．82+14π C．92+24π D．82+24π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解析】：解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．【点评】：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．5．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：证明题；综合法．【分析】：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解析】：解：A选项不正确，因为b⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D【点评】：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．6．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C． 3 D． 6【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解析】：解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A． 1 B．C．D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解析】：解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D【点评】：本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．8．（5分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题．【分析】：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解析】：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．9．（5分）函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：研究函数性质，选择与之匹配的选项．【解析】：解：因为定义域为R，且f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先观察四个选项的不同，再差别函数对应的性质，即得正确选项．10．（5分）如图，从点M（x0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A． 5 B． 6 C．7 D．8【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意可得抛物线的轴为x轴，抛物线的焦点F（1，0），MP所在的直线方程为y=4，从而可求P（2，4），Q（2，﹣4），N（6，﹣4），确定直线MN的方程，可求答案．【解析】：解：由题意可得抛物线的轴为x轴，F（2，0），∴MP所在的直线方程为y=4在抛物线方程y2=8x中，令y=4可得x=2，即P（2，4）从而可得Q（2，﹣4），N（6，﹣4）∵经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，∴直线MN的方程为x=6故选：B．【点评】：本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），若⊥，则实数k=2．【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量垂直可得=2×（﹣1）+1×k=0，解关于k的方程可得．【解析】：解：∵=（2，1），=（﹣1，k），且⊥，∴=2×（﹣1）+1×k=0，解得k=2故答案为：2．【点评】：本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题．12．（5分）（xx•上海）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3．【考点】：点到直线的距离公式．【分析】：先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解析】：解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：3【点评】：考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．13．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[1，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．【考点】：程序框图．【专题】：概率与统计；算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，求出输出x的值，再根据输出的x大于49，求出输入x的范围，根据几何概型的概率公式计算．【解析】：解：由程序框图知：第一次运行x=2x﹣1，n=2；第二次运行x=2×（2x﹣1）﹣1．n=2+1=3；第三次运行x=2×[2×（2x﹣1）﹣1]﹣1，n=3+1=4，不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x﹣（4+2+1）=8x﹣7，由输出的x大于49，得x＞7，∴输入x∈（7，19]，数集的长度为12，又数集[1，19]的长度为18，∴输出的x大于49的概率为．故答案为：．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．14．（5分）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．【考点】：基本不等式．【专题】：创新题型．【分析】：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．【解析】：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．【点评】：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．15．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【考点】：函数单调性的性质．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解析】：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y’=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．【点评】：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量=（sin（2x+），sinx），=（1，sinx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2，，若sin（A+C）=2cosC，求b 的大小．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；（Ⅱ）由，可得A，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理结合sin（A+C）=2cosC，即可求边b的长．【解析】：解：（Ⅰ）==…（4分）所以f（x）递减区间是．…（5分）（Ⅱ）由和得：…（6分）若，而又，所以∵0＜C＜π，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去．…（9分）∴…（10分）由正弦定理得：…（12分）【点评】：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的运用，正确化简函数是关键．17．（12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．【解析】：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，∴EF∥PB…（2分）∵EF⊂面AEF，PB⊄面AEF∴PB∥面AEF…（4分）（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1∴∠ABE=60°又∵E为BD的中点∴∠ADE=∠DAE∴2（∠BAE+∠DAE）=180°解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）∵EA=EB=AB=1，∴，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：∴…（8分）设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，∴又，∴…（11分）∴．∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）在数列{a n}（n∈N*）中，其前n项和为S n，满足2S n=n﹣n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k为正整数），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由，求出，再由a n=S n﹣S n﹣1，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设得：，∴∴a n=S n﹣S n﹣1=1﹣n（n≥2）…（2分）当n=1时，a1=S1=0，∴数列{a n}是a1=0为首项、公差为﹣1的等差数列，∴a n=1﹣n．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：…（6分）∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=[1•20+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6…+（2n﹣1）•22﹣2n]=…（9分）设T=1+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6+…+（2n﹣1）•22﹣2n，则2﹣2•T=2﹣2+3•2﹣4+5•2﹣6+7•2﹣8+…+（2n﹣3）•22﹣2n+（2n﹣1）•2﹣2n，两式相减得：整理得：…（11分）∴．…（12分）【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=（f′（x）+1）（x2﹣1），试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（Ⅱ）假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，可得方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根．设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），证明φ（x）在（1，+∞）上单增，可得φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点，与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾，即可得出结论．【解析】：解：（Ⅰ）求导数，得f'（x）=e x﹣1．令f'（x）=0，解得x=0．…（2分）当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．…（6分）（Ⅱ）函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间，证明如下：假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，由g（x）=（x2﹣1）e x得：g'（x）=（x2+2x﹣1）e x因x＞1时，g'（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以即方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根…（9分）设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），则φ'（x）=（x2+2x﹣1）e x﹣1因x＞1，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（1，+∞）上单增所以φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点…（12分）这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数h（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．…（13分）【点评】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设F1，F2分别是椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．（Ⅰ）求椭圆D的方程；（Ⅱ）已知点M（﹣1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若，求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线l1与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣2，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上一点，且满足=4，求实数t的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）AB的方程为：，由F1到直线AB的距离为3，可求c，结合连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆D的方程；（Ⅱ）由，可得e的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，写出线段PQ垂直平分线方程，利用=4，结合韦达定理，即可求实数t的值．【解析】：解：（Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中c＞0由题意得AB的方程为：∵F1到直线AB的距离为3，∴有，解得…（2分）∴a2﹣b2=c2=3…①由题意知：，即ab=2…②联立①②解得：a=2，b=1，∴所求椭圆D的方程为…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D的方程为设E（x1，y1），C（0，m），∵，∴（x1，y1﹣m）=λ（﹣1﹣x1，﹣y1），∴…（7分）又E是椭圆D上的一点，则∴解得：或λ≤﹣2…（9分）（Ⅲ）由P（﹣2，0），设Q（x1，y1）根据题意可知直线l1的斜率存在，可设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=∴线段PQ的中点坐标为，（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴于是由，解得：…（11分）（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y﹣由点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，令x=0，得：于是由，解得：代入，解得：综上，满足条件的实数t的值为或．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．30475 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2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)
BM★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(甲卷)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1. ( 5分) （2021·全国甲卷）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| ≤x≤5｝，则M∩N=（）A. ｛x|0＜x≤ ｝B. ｛x| ≤x＜4｝C. ｛x|4≤x＜5｝D. ｛x|0＜x≤5｝2. ( 5分) （2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3. ( 5分) （2021·全国甲卷）已知，则z=（）A. -1- iB. -1+ iC. - +iD. - -i4. ( 5分) （2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）（≈1.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65. ( 5分) （2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A. B. C. D.6. ( 5分) （2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.7. ( 5分) （2021·全国甲卷）等比数列｛a n｝的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙:｛S n｝是递増数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. ( 5分) （2021·全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足.由c点测得B点的仰角为15°，曲，与的差为100 :由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面的高度差约为（）A. 346B. 373C. 446D. 4739. ( 5分) （2021·全国甲卷）若, ，则（）A. B. C. D.10. ( 5分) （2021·全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（）A. B. C. D.11. ( 5分) （2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（）A. B. C. D.12. ( 5分) （2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当时，.若,则（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷(附答案和解释)
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷（附答案和解释）浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgyC．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=A．43B．34C．?34D．?43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tanα=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。
2021年高三3月联合检测数学(理)试题 含答案
2021年高三3月联合检测数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合,.若,则实数的值是（☆）A. B.或C. D.或或2．如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于（☆）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．若向量,,,则下列说法中错误．．的是（☆）A. B. 向量与向量的夹角为 C. ∥D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得4．在△ABC中,已知,,△ABC的面积为,则=（☆）A. B. C. D.5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（☆）A. B. C. D.6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（☆）A. B.C. D.8．函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（☆）9．已知x,y满足，则的最小值为（☆）A. B. C. D.10．已知命题:存在，曲线为双曲线；命题:的解集是．给出下列结论中正确的有（☆）①命题“且”是真命题；②命题“且()”是真命题；③命题“()或”为真命题；④命题“()或()”是真命题．A.1个B.2个C.3个D.4个11．如右图二面角的大小为，平面上的曲线在平面上的正射影为曲线，在直角坐标系下的方程，则曲线的离心率（☆）A. B. C. D.12．设函数，其中表示不超过的最大整数,如，，，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是（☆）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设5260126(1)(12)x x a a x a x a x,则☆．14．函数的最小值为☆．15．已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若，则的取值范围为☆．16．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为☆．三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.18．某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(Ⅰ)从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率； (Ⅱ)在参加问卷调查的名学生中,从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示抽得中学的学生人数,求的分布列及期望值.19．在梯形中，，，，，如图把沿翻折，使得平面平面. （Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离．20．设到定点的距离和它到直线距离的比是． （Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,,若,求△的面积． 21．设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:；(Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值．请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分． 22．（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线．（Ⅰ）求∠BAE 的度数； （Ⅱ）求证:23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)射线与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标. 24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数.证明：； (Ⅱ)若实数满足,求证:B宝鸡石油中学 张新会 宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCCAAABBCD13． 30 14． 15． 16．（课本P95第6题）旋转体的体积为323300124(1)8()16927x V dx x x πππ=-=-=⎰三、解答题：本大题5小题，每题12分，共70分.17．解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知. 由,又可得. 由,得,可得.所以.可得 ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 当时,当时,满足上式，所以 所以，即, 因为，所以数列是首项为,公比为的等比数列. 所以前项和 ………………………12分18．解: (Ⅰ)从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种， 来自同一所中学的取法共有∴从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为. (Ⅱ)因为名学生中,来自两所中学的学生人数分别为. 依题意得,的可能取值为, ,,∴的分布列为:的期望值为 ………………………12分 19．解：（Ⅰ）证明:因为,， ,, 所以,222(22)2222cos 45CD =+-⨯⨯,,所以.因为平面平面,平面平面, 所以平面．………… 6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知.以点为原点，所在的直线为轴, 所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则,,,,． 所以,,．设平面的法向量为,则且,所以令,得平面的一个法向量为所以点到平面的距离为．………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知得化简得点的轨迹方程为．………………………6分 （Ⅱ）设直线的方程为.联立方程组 消去并整理得 故22121212122(3)(3)[3()3]41k y y k x k x k x x x x k -=--=-++=+ 又所以,可得,所以由222121212||11()42AB k x x k x x x x =+-=+⨯+-= 原点到直线的距离所以 ……………………………… 12分21．(Ⅰ)证明：121212222211(e e 2e )(e e )0.22x x x x x x +=+-=-≥ ………………………6分(Ⅱ)22()()11xg x f x ax bx e ax bx =---=---，，（1）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递增, 所以. （2）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递减, 所以. （3）当时，得在上单调递减,在上单调递增, 所以 ………………………12分23．解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是，又所以圆C 的极坐标方程是 ………………………5分 (Ⅱ)因为射线的普通方程为联立方程组消去并整理得解得或，所以P点的坐标为所以P点的极坐标为………………………10分解法2：把代入得所以P点的极坐标为………………………10分24．证明:(Ⅰ)由，有111()=|||||)()|2 f x x x a x x a aa a a-++≥--+=+≥(所以………………………5分(Ⅱ),由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z+++≥++(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分37642 930A 錊 40321 9D81 鶁-28712 7028 瀨~U35047 88E7 裧f37195 914B 酋)40405 9DD5 鷕31753 7C09 簉u21206 52D6 勖。
2021年高三3月综合测试数学试题 含解析
2021年高三3月综合测试数学试题含解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲ ．【答案】2【解析】试题分析：为实数,所以考点：复数概念，复数运算2.已知集合，，且，则实数的值是▲ ．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1或，解得++=≠==a a a a考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为▲ ．【答案】20【解析】试题分析：松树苗的棵数为考点：分层抽样4.在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是▲ ．【答案】【解析】试题分析：当时，点为边三等分点M（靠近B点），所以的概率是考点：几何概型概率5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为，所以考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出的值是▲ ．【答案】25【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.函数的定义域为▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以定义域为考点：函数定义域8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为▲ ．【答案】【解析】试题分析：三棱锥的高为，体积为考点：三棱锥的体积9.在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲ ．【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-== 考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．【答案】【解析】 试题分析：由题意得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以)(1)11f x f x x ⇔+⇔≥-≤，即解集为考点：利用函数性质解不等式11.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得：,所以，即，又，所以，即单调增区间为考点：三角函数性质12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 ▲ ．【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由得，所以考点：等比数列性质13.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．【答案】7【解析】 试题分析：因为，所以，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅==考点：向量数量积14.在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为考点：线性规划求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：，再代入式子化简即可： (2)先由得，化简得，再根据平方关系解得，所以223472 sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由可得，，即，①………………………………………10分又，且②，由①②可解得，，……12分所以223472sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=．……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点作，则平面,从而，又，从而平面,因此试题解析：（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．……………………………………6分（2）在平面内过点作，垂足为．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为30列式，再解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去，从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则，所以，…………………………………4分(2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分 装饰总费用为， ……………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用.18.(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】(1) 或． (2)【解析】试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为．………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．……………………………………8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即……………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以2222-≤-++-+≤+，…12分r r m n r r(2)(36)(24)(2)又，所以对]成立．而在上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为．……………………………16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.【解析】(3) 设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．……………………12分由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数，使得，所以常数，使得解得常数，使得，．………15分故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分考点：函数与方程、导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，即，又，所以， ……………………2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为， …………………………………5分所以其前项和，所以， ……7分当或时，；当或时，；当时，．…………………………………………………………9分（2）由知，两式作差，得， ……………………10分所以,再作差得，………………………………………………11分所以，当时，；当时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-；当时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线的方程再与方程加以比较得出的值，也可在曲线上取两特殊点经阵所对应的变换作用下得到点在曲线上，代入方程，求出的值.试题解析：设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即．…………………………………………………………5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程．又曲线的方程为，故，，因为，所以．…………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．【答案】．【解析】试题分析：先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,…4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是=所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.22.（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． ………………………………4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，．所以的分布列为……………………………8分数学期望．………………………………………………10分考点：随机变量的概率分布.23.（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．考点：曲线与方程.37464 9258 鉘37017 9099 邙ek29596 739C 玜35762 8BB2 讲U24153 5E59 幙5 N36124 8D1C 贜40312 9D78 鵸U5。
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷 理(含解析)
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷理（含解析）一、选择题B=( ) 1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩CUA．{x|0≤x＜4} B．{x|0＜x≤4}C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用全集U=R，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，先求出CB={x|﹣1≤x≤4}，再由集UB．合A={x|2x＞1}，求出集合A∩CU解答：解：全集U=R，集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩C U B={x|0＜x≤4}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题．分析：问题等价于：函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象可得结论．解答：解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．3．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为( )A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．4．下列命题：p：函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；q：已知向量=（λ，1），=（﹣1，λ2），=（﹣1，1），则（+）∥的充要条件是λ=﹣1；r：若（a＞1），则a=e．其中所有的真命题是( )A．r B．p，q C．q，r D．p，r考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：化简f（x）=sin4x﹣cos4x后求周期，判断出命题p为真命题；由建立λ的方程求解λ；由建立关于a的方程，求出a的值再判断．解答：解：命题P：f（x）=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，所以函数f（x）为π，故命题P为真命题；命题q：=（λ﹣1，λ2+1），由得，﹣（λ2+1）+（λ﹣1）=0，解得λ=0或λ=﹣1，故命题q为假命题；命题r：由得，lna﹣ln1=1，解得a=e，所以命题r是真命题．故选D．点评：本题主要以判断命题的真假为背景，考查了简单三角变换公式、正弦函数的周期、两向量的加法运算、两个向量共线的充要条件、定积分计算、方程思想的综合应用．5．为了得到函数y=sin2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象( ) A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用函数y=sin（2x）的图象变换即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x），则f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=sin2x，∴为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握平移变换的规律是解决问题的关键，属于中档题．6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为( ) A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f （1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是( )A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题．分析：由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可解答：解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．点评：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是( )8．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．已知α∈（0，2π），且α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则α等于( ) A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由α的终边上一点的坐标为（sin，cos），利用三角函数的定义，可求tanα，结合点所在象限，即可得出结论．解答：解：∵α的终边上一点的坐标为（sin，cos），∴tanα==﹣，且点在第四象限，∵α∈（0，2π），∴α=．故选B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．解答：解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．12．已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．13．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．解答：解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于导数的常规题，应当掌握．14．设，则=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．15．关于函数f（x）=sin2x﹣cos2x有下列命题：①函数y=f（x）的周期为π；②直线是y=f（x）的一条对称轴；③点是y=f（x）的图象的一个对称中心；④将y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象．其中真命题的序号是①③．（把你认为真命题的序号都写上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），利用三角函数的性质对①②③④进行一一判断；解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），可得周期为：T==π，故①正确；当x=可得，y=1＜，故x=不是对称轴，故②错误；f（x）的对称中心为：2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，故③正确；可知f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），将其向左平移个单位，可以得到y=sin2x，故④错误，故答案为①③；点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，主要考查三角函数的性质以及函数平移的内容这也是常考的内容，此题是一道基础题；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P 且q为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：若命题p为真，由一元二次方程的判别式和韦达定理，联列不等式组并解之得m＞2；若命题q为真，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0的根的判别式小于0，解之得1＜m＜3．命题p 且q为真，说明命题p和q都是真命题，取交集即得实数m的取值范围．解答：解：由题意，得p：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…∵p且q为真，∴p，q同时为真，则，解之得2＜m＜3，…∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式和不等式的解法等知识，属于基础题．17．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC 的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…∵A∈（0，π），∴A=；…（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求|+|的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合θ的范围可得θ的值；（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|+|的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵⊥，∴•=…整理，得又∵，∴θ=…（Ⅱ）∵||==1，||==2，•=∴|+|===…∵∴…∴，可得∴，即|+|的取值范围是[，3]…点评：本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1∴≤2x﹣≤（k∈Z）∴（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立∵x∈[0，]，∴2x﹣∈∴sin（2x﹣）∈∴f（x）=2sin（2x﹣）+1∈[0，3]∴m≤0∴m的最大值为0．点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．20．已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0＜x＜，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象过点（0，1），得到sinφ=，再根据其范围求解；（2）直接根据三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（1）显然，A=2，又图象过点（0，1），∴f（0）=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，由图象结合“五点法”可知，（，0）对应函数y=sinx图象的点（2π，0），∴所求函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+），（2）当0＜x＜时，2x+∈（，），2sin（2x+）∈[﹣2，2]，∵方程f（x）=m有两个不同的实数根，∴m∈（1，2）．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、五点法画图等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件得到方程组即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断f（x）的单调性，求出单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求出函数的极值，然后求m的值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=﹣2时取得极值，∴f′（﹣2）=0，即12﹣4a+b=0①，∵函数图象与直线y=﹣3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=﹣3，即 3+2a+b=﹣3②，由f（1）=0，即1+a+b+c=0③，由①②③解得a=1，b=﹣8，c=6；（2）由（1）知，f（x）=x3+x2﹣8x+6，f′（x）=3x2+2x﹣8=（3x﹣4）（x+2），由f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞，由f′（x）＜0得，﹣2＜x＜，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上递增，在（﹣2，）上递减，（3）由（2）知，当x=﹣2时f（x）取得极大值f（﹣2）=18，当x=时f（x）取得极小值f（）=，因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，所以＜m＜18，即为m的取值范围．点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．26665 6829 栩!25772 64AC 撬28173 6E0D 渍+\€ 30768 7830 砰H29875 74B3 璳24601 6019 怙\A21476 53E4 古。
2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。
浙江省2021届高考数学模拟试卷(一)(3月份)(含答案解析)
浙江省2021届高考数学模拟试卷(一)(3月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知集合M =x ={x|−3<x <1}，N ={x|x ≤3}，则集合{x|x ≤−3或x ≥1}=( )A. M ∩NB. M ∪NC. ∁M (M ∩N)D. ∁M (M ∪N)2.复数z 满足z(1−i)=|3+4i|，则z =( )A. −12+72iB. 12+72iC. 52−52iD. 52+52i3.已知向量a =(x + z ，3)，b =(2,y − z )，且a ⊥ b .若x ，y 满足不等式| x |+| y |≤1，则z 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [−2,3]C. [−3,2]D. [−3,3]4.周长为1，圆心角为1rad 的扇形的面积等于( )A. 1B. 13C. 19D. 1185.下列图象中，函数f(x)=(e x −e −x )sinx ，x ∈[−π,π]图象的是( )A.B.C.D.6. 已知集合，，则“”是“A ⊆B “的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在数列{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)，从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列．例如数列12、13、15、18为{a n }的一个4 项子列．若{b n }为数列{a n }的一个k (k ⩾3)项子列，且{b n }为等差数列，则{b n }的公差d 的最小值为( )A. −16B. −14C. −13D. −128. 已知双曲线右支上的一点到左焦点距离与道右焦点的距离之差为，且两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.9.函数f(x)=2x 2−13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A. 323B. 163C. 12D. 910. 设正数a 、b 、c ∈R,a +b +c =1,M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )，则( )A. M ∈(−∞,−8]B. M ∈(−8,0)C. M ∈[0,8)D. M ∈[8,+∞)二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为56√3，则图中x =_________12. 已知(1+ax)5=1+10x +bx 2+⋯+a 5x 5，则b =_________． 13. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若asinA+bsinB−csinCasinB=2sinC ，则∠C 的大小为______． 14. 曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆(x −√3)2+(y −1)2=1相切，则此双曲线的离心率为______15. 为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)16. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是______ ．17. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x =π4时，y 取最大值1，当x =7π12时，y 取最小值−1．(1)求函数y =f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．19. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上且B 1F =2FB ． (1)求证：EF ⊥A 1C 1；(2)求平面AEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．20. 若数列{a n }同时满足条件：①存在互异的p ，q ∈N ∗使得a p =a q =c(c 为常数)； ②当n ≠p 且n ≠q 时，对任意n ∈N ∗都有a n >c ，则称数列{a n }为双底数列． (1)判断以下数列{a n }是否为双底数列(只需写出结论不必证明)： ①a n =n +6n ； ②a n =sinnπ2； ③a n =|(n −3)(n −5)|；(2)设a n ={101−2n,1≤n ≤502n−50+m,n >50，若数列{a n }是双底数列，求实数m 的值以及数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设a n =(kn +3)(910)n ，是否存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列？若存在，求出所有的k 的值，若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知椭圆：( )的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)直线：()与椭圆有两个交点.若线段的中点为，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．(为坐标原点)22. 已知函数，y=f(x)=−x3+ax2+b(a,b∈R)(Ⅰ)要使f(x)在(0,1)上单调递增，求a的取值范围；(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的极小值和极大值分别为1、31，试求函数y=f(x)的解析式；27.时，求a的取值范围．(Ⅲ)若x∈[0,1]时，y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，当0≤θ≤π4【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合M={x|−3<x<1}，N={x|x≤3}，所以M∩N={x|−3<x<1}，M∪N={x|x≤3}，则∁M(M∩N)={x|x≤−3或x≥1}，∁M(M∪N)={x|x>3}，故选：C．根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、∁M(M∩N)、∁M(M∪N)，即可得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵|3+4i|=√32+42=5，∴z=51−i =5(1+i)(1−i)(1+i)=52+52i．故选：D．先求复数的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：由题意a⊥b得2x+3y=z，而|x|+|y|≤1表示的区域如图阴影所示，根据线性规划知识可知：直线通过A(0,1)时，z取得最大值，且z max=2×0+3×1=3；当直线通过B(0,−1)时，z取得最小值，且z min=2×0+3×(−1)=−3.故z∈[−3,3]．4.答案：D解析：根据扇形的面积公式进行求解即可．本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=1，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=1，则r=13，l=13，则对应的扇形的面积S=12×lr=12×13×13=118，故选：D．5.答案：D解析：解：根据题意，f(x)=(e x−e−x)sinx，则f(−x)=(e−x−e x)sin(−x)=(e x−e−x)sinx=f(x)，则f(x)为偶函数，排除BD，在区间(0,π)上，(e x−e−x)>0，sinx>0，则有f(x)>0，排除A；故选：D．根据题意，分析可得f(x)为偶函数且在区间(0,π)上，f(x)>0恒成立，据此由排除法分析可得答案．本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性或特殊值．6.答案：A解析：7.答案：A解析：本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列通项公式的运用，以及不等式的证明，考查推理能力，属于难题．解：由题意，知1≥b1>...>b k>0，所以d=b2−b1<0．假设b1=1，由{b n}为{a n}的一个k项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12，因为b k=b1+(k−1)d,b k>0，所以(k −1)d =b k −b 1=b k −1>−1，即d >−1k−1≥−12，这与d ≤−12， 所以假设不成立，即b 1≠1． 所以b 1≤12，所以当b 1=12，b 2=13，b 3=16时{b n }公差最小，此时公差为−16． 故选A ．8.答案：D解析：试题分析：依题意，，又双曲线的渐进线方程为，又点两条渐近线的距离之积为，则，而点在双曲线上，，∴，代入求得，∴，选D ．考点：双曲线的性质，点到直线的距离公式．9.答案：A解析：考查利用导数求函数的最值，属中档题，当函数在一区间上有唯一的极值时，该极值即为相应的最值．求导数f′(x)，根据导数的符号变化可求函数的极大值，易判断该极大值即为最大值． 解：f′(x)=4x −x 2=−x(x −4)， 当0≤x ≤4时，f′(x)≥0，f(x)递增； 当4<x ≤6时，f′(x)<0，f(x)递减； ∴x =4时f(x)取得极大值，也即最大值， ∴f(x)max =f(4)=2×16−13×43=323，故选：A ．10.答案：A解析：解：∵a +b +c =1， ∴M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )=(a−1a)(b−1b)(c−1c) =−(b+c a)(a+c b)(b+c c)≤−(2√bc a)(2√ac b )(2√bcc )=−8．当且仅当a =b =c 时，取等号． 故选A ．.利用题中条件：“a +b +c =1”将式子M ：M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )进行转化成：−(b+c a)(a+c b)(b+c c)，最后利用基本不等式即可求得M 的取值范围即可．本小题主要考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．11.答案：√3解析：本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即可得出．解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体， 其直观图如下图所示：∴该几何体的体积为56√3=1×12×1⋅x +13×12⋅x ， 解得x =√3． 故答案为√3．12.答案：40解析：由条件可知·a =10且·a 2=b ，∴b =40．13.答案：π4解析：解：在△ABC 中，∵asinA+bsinB−csinCasinB=2sinC ，∴由正弦定理可得：a 2+b 2−c 2ab=2sinC ，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =2absinC2ab=sinC，∴√2sin(C−π4)=0，可得：sin(C−π4)=0，∵C∈(0,π)，C−π4∈(−π4,3π4)，∴C−π4=0，可得：C=π4．故答案为：π4．由已知及正弦定理，余弦定理可得cosC=sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin(C−π4)=0，结合范围C−π4∈(−π4,3π4)，即可得解C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2解析：解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为√3b−a|√a2+b2=1或√3b+a|√a2+b2=1，求得√3a=b，∴c2=a2+b2=4a2，∴e=ca=2．故答案为：2．先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．15.答案：120解析：解：根据题意，分2步进行分析：①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有A54=120种安排方法，故答案为：120根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.答案：1.2解析：解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2， 当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球， 当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球， ∴P(ξ=0)=C 22C 52=0.1， P(ξ=1)=C 21C 31C 52=0.6P(ξ=2)=C 32C 52=0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2． 故答案为：1.2．由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．17.答案：9解析：解：∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+119AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×32+13×32+0=9． 故答案为：9．由平面向量基本定理，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作基底表示向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算，用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作基底来表示题中的向量是解决问题的关键，属中档题．18.答案：解：(1)函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x =π4时，y 取最大值1，当x =7π12时，y 取最小值−1．故T2=7π12−π4=4π12=π3，所以T =2π3．解得ω=2π2π3=3，由于|φ|<π2，所以当x =π4时，f(π4)=sin(3π4−φ)=1， 解得φ=−π4，所以f(x)=sin(3x −π4)， 令π2+2kπ≤3x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得π4+23kπ≤x ≤23kπ+7π12(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为[π4+23kπ,23kπ+7π12](k ∈Z)，(2)函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，在[0,2π]内恰有3个周期． 所以6个实数根的关系满足x 1+x 2=π2，x 3+x 4=11π6，x 5+x 6=19π6，所以在[0,2π]内的所有实数根之和为π2+11π6+19π6=11π2．解析：(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质，求出函数的单调递减区间． (2)利用函数函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，在[0,2π]内恰有3个周期，所以有6个实数根，故x 1+x 2=π2，x 3+x 4=11π6，x 5+x 6=19π6，进一步求出和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：(1)证明：连D 1B 1，DB ，A 1C 1⊥D 1B 1，又BB 1⊥面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊥BB 1， 又BB 1∩D 1B 1=B 1，A 1C 1⊥面DBB 1D 1， 又∵EF ⊂面DBB 1D 1，∴A 1C 1⊥EF ． (2)解：由ED ⊥面ABCD ，FB ⊥面ABCD ， 得△ABD 是△AFE 在面ABCD 内的投影图形，S △ABD =12×1×1=12，又AF =√1+19=√103，AE =√1+14=√52， 在DE 上取点G ，使DG =BF =13，则EG =16， ∴在Rt △EGF 中，EF =√2+136=√736，∴cos∠EAF =109+54−73365√33=√210，∴sin∠EAF =7√210，∴S △AEF =12AE ⋅AF ⋅sin∠EAF =12×√52×√103×7√210=712，设二平面AEF 与ABCD 所成角为θ， 则cosθ=12×127=67，即二平面AEF 与ABCD 所成角余弦值为67．解析：(1)连D 1B 1，DB ，D 1B 1，DB ，由已知得A 1C 1⊥面DBB 1D 1，由此能证明A 1C 1⊥EF ． (2)由ED ⊥面ABCD ，FB ⊥面ABCD ，得△ABD 是△AFE 在面ABCD 内的投影图形，由此求出AF =√103，AE =√52，在DE 上取点G ，使DG =BF =13，则EG =16，由此能求出二平面AEF 与ABCD 所成角余弦值．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.答案：解：(1)在①中，a n =n +6n 是双底数列；在②中，a n =sinnπ2不是双底数列；在③中，a n =|(n −3)(n −5)|是双底数列．(2)∵a n ={101−2n,1≤n ≤502n−50+m,n >50，数列{a n }是双底数列，∴a 50=a 51，即101−100=251−50+m =2+m ，解得m =−1， 当1≤n ≤50时，a n =101−2n ，{a n }是首项为a 1=99，公差d =−2的等差数列，∴S n =99n −n(n−1)2×2=100n −n 2；当n ≥51时，a n =2n−50−1，∴S n =(a 1+a 2+⋯+a 50)+(a 51+⋯+a n ) =100×50−502+2(1−2n−50)1−2−(n −50)=2n−49−n +2548；(3)a n =(kn +3)(910)n ，假设存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列， 根据题意，k <0，由a n =a n+1，得(kn +3)⋅(910)n =[k(n +1)+3]⋅(910)n+1， 整理，得n =9−3k ，∵k ∈Z ，∴k =−1或k =−3．解析：(1)在①中，a n =n +6n 是双底数列； 在②中，a n =sin nπ2不是双底数列；在③中，a n =|(n −3)(n −5)|是双底数列．(2)由a 50=a 51，能求出实数m 的值以及数列{a n }的前n 项和S n ．(3)假设存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列，由a n =a n+1，得(kn +3)⋅(910)n =[k(n +1)+3]⋅(910)n+1，从而n =9−3k，由此能求出结果．本题考查双底数列的判断，考查实数值、数列的前n 项和的求法，考查满足双底数列的实数值的求法，考查等差数列、双底数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：(1)由题意得， ，解得 ，所以求椭圆 的方程为 ．(2)由，消得，即．设，则，所以线段的中点为的坐标为(．所以直线的斜率，所以(定值)．解析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系。
2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷(理科)(三模)(解析版)
2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷（理科）（三模）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，则（M∪N）∩（∁R P）＝（）A．{1，2，3}B．（2，3）C．{2}D．{x∈R|0≤x≤3} 2．若复数（1+i）（a﹣i）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（）A．综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡B．三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的C．六门学科中，小张存在偏科情况D．小陈在英语学科有较强的学科优势4．已知等差数列{a n}中，a2+a14＝18，a2＝3，则a10＝（）A．10B．11C．12D．135．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜06．的常数项为25，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．函数f（x）的部分图象如图，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．8．函数的部分图象如图，点A的坐标为，则φ的值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，•，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．10．国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．其中已知：OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝1，A1，A2，A3，⋯，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为{l n}，{S n}，则关于此两个数列叙述错误的是（）A．{S n2}是等差数列B．C．D．l n﹣1＝2S n+2S n+111．如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱D1D的中点，F是棱C1B1上的动点，下列命题中：①若过CF的平面与直线EB垂直，则F为C1B1的中点；②存在F使得D1F∥BE；③存在F使得△BEF的主视图和侧视图的面积相等；④四面体EBFC的体积为定值．其中正确的是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④12．已知x∈（0，+∞），不等式ax+eαx≥lnx+x恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．0D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数则＝．14．在△ABC中，，O为△ABC的外心，若，则的值为．15．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是．16．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切．椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N．由球和圆的几何性质可知，PN ＝PF1，PM＝PF2.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步：。
2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷(理科)(解析版)
2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B的子集的个数为（）A．1B．2C．3D．42．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则f（8）的值为（）A．1B．2C．0D．﹣13．已知直线l经过点（1，﹣1），且与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y+1＝0D．2x﹣y﹣3＝0 4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）A．4.5尺B．3.5尺C．2.5尺D．1.5尺5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝16．（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为（）A．﹣6B．﹣5C．9D．157．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的离心率为（）A．B．或2C．D．或10．如图：△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形；且BC∥EF．一个质点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内”，N表示事件“质点P落在△DEF内”，则P（N|M）＝（）A．B．C．D．11．已知A、B为平面上的两个定点，且||＝2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，＝6，＝﹣2，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．10812．对于∀x＞0，ae x﹣lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题（共4小题）.13．己知i是虚数单位，复数z＝，则z的虚部为．14．设a＝e1.5，b＝log3e，c＝log5，则a，b，c按从小到大的顺序为．15．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有种．16．已知圆C：（x+1）2+y2＝16，P是圆C上任意点，若A（1，0），线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是；若A是圆C所在平面内的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：①一个点；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线，其中可能的结果有．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量＝（1，a），＝（﹣a，cos B），且⊥．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝2，a＝2，求角A．18．2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：12345土地使用面积x管理时间y811142423并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060女性村民40（Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r 说明相关关系的强弱，（若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）．（Ⅱ）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：r ＝．参考数据：＝16，＝206，≈22.7．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝4，AC ＝2，M是AB中点，N是A1B1中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）若二面角A1﹣CM﹣A 的余弦值是，求点B到平面A1CM的距离．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点（x0，1）到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点．（Ⅰ）求抛物线C的方程及F的坐标；（Ⅱ）设△OAB，△QAB的面积分别为S1，S2，求﹣的最大值．21．已知函数f（x）＝e x﹣2x+sin x，g（x）＝e x（﹣sin x+cos x+a）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）∃x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立．求整数m的最大值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．（Ⅰ）解不等式：f（x）≤5；（Ⅱ）记f（x）的最小值为M，若正实数a，b满足a+b＝M，试求：的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B的子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}，故A∩B的子集的个数为22＝4．故选：D．2．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则f（8）的值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：根据题意，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，又由f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（8）＝f（4）＝f（0）＝0，故选：C．3．已知直线l经过点（1，﹣1），且与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y+1＝0D．2x﹣y﹣3＝0解：因为直线l与直线2x﹣y﹣5＝0垂直，所以直线l可设为x+2y+m＝0，因为直线l经过点（1，﹣1），所以1+2×（﹣1）+m＝0，解得m＝1，则直线l的方程为x+2y+1＝0故选：C．4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）A．4.5尺B．3.5尺C．2.5尺D．1.5尺解：设影长依次成等差数列{a n}，其公差为d．则a1+a2+a3＝28.5，a10+a11+a12＝1.5，∴3a1+3d＝28.5，3a1+30d＝1.5，解得a1＝10.5，d＝﹣1，∴a7＝10.5+6×（﹣1）＝4.5，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为4.5尺．故选：A．5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1解：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A．6．（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为（）A．﹣6B．﹣5C．9D．15解：（1+）（1﹣x）6的展开式中x的系数为•（﹣1）+•（﹣1）2＝9，故选：C．7．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：设圆锥的高为h，则由题意可得，，解得，所以母线与底面所成角的正切值为，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为．故选：A．8．已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，2π＜＜3π，即＜a＜1．故函数y＝log a（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），故选：A．9．已知m是1和9的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的离心率为（）A．B．或2C．D．或解：由题意，实数m是1，9的等比中项，∴m2＝1×9，∴m＝±3，当m＝3时，方程为x2+＝1，表示椭圆，a2＝3，b2＝1，c2＝2，c＝，离心率为e＝＝＝；当m＝﹣3时，方程为x2﹣＝1，表示双曲线，a2＝1，b2＝3，c2＝4，c＝2，离心率为e＝＝2，故选：B．10．如图：△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形；且BC∥EF．一个质点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内”，N表示事件“质点P落在△DEF内”，则P（N|M）＝（）A．B．C．D．解：∵△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形，设半径OE＝r，∴∠EOF＝，∴S△OEF＝r2sin＝r2，S扇形OEF＝πr2，∴P（M）＝，P（MN）＝，∴P（N/M）＝＝，故选：A．11．已知A、B为平面上的两个定点，且||＝2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，＝6，＝﹣2，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．108解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），∴＝（x，y），＝（2，0）；由||≤5，得x2+y2≤25；又＝6，∴2x＝6，x＝3；∴y2≤16；∴﹣4≤y≤4∴动点P在直线x＝3上，且﹣4≤y≤4，由相似三角形可知AQ扫过的面积为48，即|PC|＝8，则AP扫过的三角形的面积为×8×3＝12，设点Q（x0，y0）∵＝﹣2，∴（x0，y0）＝﹣2（x，y）＝（﹣6，﹣2y），∴x0＝﹣6，y0＝﹣2y，∴动点Q在直线x＝﹣6上，且﹣8≤y≤8，∴|QD|＝16，∴AQ扫过的三角形的面积为×16×6＝48，∴因此和为60，故选：B．12．对于∀x＞0，ae x﹣lnx+lna≥0恒成立，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，+∞）D．[，+∞）解：ae x﹣lnx+lna≥0对于∀x＞0恒成立，所以ae x≥lnx﹣lna对于∀x＞0恒成立，即ae x ≥对于∀x＞0恒成立，因为函数y＝ae x与y＝互为反函数，则有ae x≥x对于∀x＞0恒成立，故对于∀x＞0恒成立，令（x＞0），则，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以当x＝1时，f（x）取得最大值f（1）＝，所以，故a的取值范围为．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分第二个空填对得3分.13．己知i是虚数单位，复数z＝，则z的虚部为﹣1．解：z＝＝1﹣i，则z的虚部为﹣1，故答案为：﹣1．14．设a＝e1.5，b＝log3e，c＝log5，则a，b，c按从小到大的顺序为a＞b＞c．解：因为a＝e1.5＞e0＝1，0＜b＝log3e＜log33＝1，c＝log1＝0，所以a，b，c的大小关系为：a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．15．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有38种．解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，所以一类：“人民英雄”“时代楷模”，发言方案：＝6，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，＝8，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，＝24，共有38种发言方案．故答案为：38．16．已知圆C：（x+1）2+y2＝16，P是圆C上任意点，若A（1，0），线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是；若A是圆C所在平面内的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：①一个点；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线，其中可能的结果有①②③．解：圆C：（x+1）2+y2＝16，则圆心C（﹣1，0），半径r＝4，因为线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则QA＝QP＝PC﹣QC＝4﹣QC，所以QA+QC＝4＞AC＝2，故点Q的轨迹是以A（1，0），C（﹣1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，所以c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，所以点Q的轨迹方程是；（1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有QP+QC＝PC＝4＞AC，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，故选项③成立；（2）若点A在圆心C处，如图（2）所示，则有QP＝QA＝，由圆的定义可知，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，故选项②成立；（3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则有AP的垂直平分线与PC交于点C，故点Q与点C重合，点Q的轨迹为一个点，故选项①成立；（4）若点A在圆外，如图（4）所示，则QA＝QP＝PC+QC＝4+QC，所以QA﹣QC＝4＜AC，故点Q的轨迹是以A，C为焦点，4为实轴长的双曲线的一支，故选项④不成立；点A不论在什么位置，点Q的轨迹都不可能是抛物线，故选项⑤不成立．故可能的结果有①②③．故答案为：；①②③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量＝（1，a），＝（﹣a，cos B），且⊥．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝2，a＝2，求角A．解：（I）由题意得＝﹣a+cos B＝0，故cos B＝，因为B为三角形的内角，所以B ＝；（II）若b＝2，a＝2，B ＝，由正弦定理得，所以sin A ＝＝＝，因为b＜a，所以A＞B，故A ＝或A ＝．18．2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：12345土地使用面积x管理时间y811142423并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060女性村民40（Ⅰ）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r 说明相关关系的强弱，（若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）．（Ⅱ）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意愿互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：r＝．参考数据：＝16，＝206，≈22.7．解：（Ⅰ）散点图如下所示．由散点图知，土地使用面积x与管理时间y线性相关．由题意知，＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（8+11+14+24+23）＝16，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣5）+0×（﹣2）+1×8+2×7＝43，2＝（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，2＝（﹣8）2+（﹣5）2+（﹣2）2+82+72＝206，∴相关系数r＝＝＝≈≈0.947＞0.75，故土地使用面积x与管理时间y的线性相关性很强．（Ⅱ）由题意知，调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为300﹣（140+40+60）＝60名，从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率p＝＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝4，AC ＝2，M是AB中点，N是A1B1中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）若二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是，求点B到平面A1CM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连结MN，因为侧棱AA1⊥底面A1B1C1，所以三棱柱为直三棱柱，由M，N是AB，A1B1的中点，则MN∥CC1，MN＝CC1，故四边形MNC1C为平行四边形，则NC1∥MC，因为NC1⊄平面A1CM，MC⊂平面A1CM，所以NC1∥平面A1CM，连结PN，由P，N是B1C，A1B1中点，则PN∥A1C，又PN⊄平面A1CM，A1C⊂平面A1CM，所以PN∥平面A1CM，又PN∩NC1＝N，所以平面PNC1∥平面A1CM，因为PQ⊂平面PNC1，所以PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）解：以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设A1（0，0，h）（h＞0），M（0，2，0），C（2，0，0），B（0，4，0），所以，设平面A1CM的法向量为，则，令z＝2，则x＝y＝h，故，又平面ACM的一个法向量为，因为二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是，则，又h＞0，解得h＝2，所以，又，故点B到平面A1CM的距离．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点（x0，1）到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点．（Ⅰ）求抛物线C的方程及F的坐标；（Ⅱ）设△OAB，△QAB的面积分别为S1，S2，求﹣的最大值．解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，由抛物线的定义可得，1+＝，解得p＝1，所以抛物线的方程为x2＝2y，F（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），易得直线l存在斜率，设为k，直线l的方程为y＝kx+，与抛物线的方程x2＝2y联立，消去x，可得y2﹣（2k2+1）y+＝0，△＝4k4+4k2≥0恒成立，y1+y2＝2k2+1，|AB|＝y1+y2+p＝2k2+2，设原点O到直线l的距离为d1，d1＝，所以S1＝|AB|d1＝×2（k2+1）×＝，易得Q（k，﹣），设Q到直线l的距离为d2，d2＝，所以S2＝|AB|d2＝×2（k2+1）•＝（k2+2），故﹣＝﹣＝＝，设m＝≥1，﹣＝＝≤＝1，当且仅当m＝，即m＝1时，取得等号，所以﹣的最大值为1．21．已知函数f（x）＝e x﹣2x+sin x，g（x）＝e x（﹣sin x+cos x+a）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）∃x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立．求整数m的最大值．解：（I）f′（x）＝e x﹣2+cos x，f′（0）＝0，①当x＜0时，e x＜1，cos x≤1，e x﹣2+cos x＜0，即f′（x）＜0的解集（﹣∞，0），所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，②当x＞0时，设h（x）＝e x﹣2+cos x，则h′（x）＝e x﹣sin x＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）＝0，所以h（x）＞h（0）＝0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，综上f（x）的单调减区间（﹣∞，0），增区间（0，+∞）；（II）由（I）知f（x）min＝f（0）＝1，∃x1，x2∈[0，]，使得不等式g（x1）≥f（x2）成立，等价于不等式e x（cos x﹣sin x+a）≥1在[0，]时有解，即a≥sin x﹣cos x+e﹣x在[0，]上有解，设F（x）＝sin x﹣cos x+e﹣x，x∈[0，]，则F′（x）＝sin x+cos x﹣e﹣x，由于x∈[0，]，sin x+cos x∈[1，]，e﹣x≤1，故F′（x）≥0恒成立，F（x）在[0，]上单调递增，F（x）min＝F（0）＝0，故a的范围[0，+∞）；（III）不等式＞lnx在（1，+∞）上恒成立等价于m＜（e x﹣2+cos x﹣xlnx）min，令H（x）＝e x﹣2+cos x﹣xlnx，则H′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，H″（x）＝，因为x＞1，所以e x＞e，﹣cos x≥﹣1，﹣＞﹣1，故H″（x）＞e﹣2＞0，故H′（x）在（1，+∞）上单调递增，H′（x）＞H′（1）＝e﹣sin1﹣1＞e﹣1﹣1＞0，故H（x）在（1，+∞）上单调递增，H（x）＞H（1）＝e﹣2+cos1，故m＜e﹣2+cos1，因为e﹣2+cos1∈（1，2）且∈Z，所以整数m的最大值1．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0，整理得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣4y＝0，得到，所以，t1t2＝﹣3，故|PA|+|PB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．（Ⅰ）解不等式：f（x）≤5；（Ⅱ）记f（x）的最小值为M，若正实数a，b满足a+b＝M，试求：的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|＝，∵f（x）≤5，∴或1≤x≤4或，∴4＜x≤5或1≤x≤4或0≤x＜1，∴0≤x≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝M＝3，∴a+b＝M＝3，∴（a+2）+（b+1）＝6，∴＝（）[（a+2）+（b+1）]＝（2++）≥（2+2）＝，（当且仅当a+2＝b+1时“＝”成立），故的最小值是．。
北京市2021届高三下学期3月学科综合能力测试数学试题 含答案
2020-2021学年北京市高三年级学科综合能力测试数学试题本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3},{|(2)0}A B x x x ==-≥，则AB =（A ）{1,2} （B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,23},（2）已知3log 2a =，0.12b =，123c =，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）b c a >>（D ）c b a >>（3）在复平面内，复数sin icos z θθ=+对应的点位于第二象限，则角θ的终边在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（4）在4(2)x -的展开式中，2x 的系数为（A ）6 （B ）12 （C ）24（D ）48（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（A ）2 （B ）22 （C 6（D ）4（6）已知函数()|1||1|f x x a x =-++，则“1a =-”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是（A ）4 （B ）2 （C（D ）12（8）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知15a =-，31a =-．记nn nS b a =(1,2,)n =，则数列{}n b 的（A ）最小项为3b（B ）最大项为3b （C ）最小项为4b（D ）最大项为4b（9）抛物线2:8W y x =的焦点为F . 对于W 上一点P ，若W 的准线上只存在一个点Q ，使得FPQ △为等腰三角形，则点P 的横坐标为（A ）2 （B ）4 （C ）5（D ）6（10）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内，且不在棱上，则（A ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQAC（B ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥ （C ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC 平面ABC（D ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQCD 1C 1B 1DC BA 1A第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021年高三数学3月联考试题理
第4题图2021年高三数学3月联考试题理注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知复数满足，则=（ ）A. B. C. D.3.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( )A ．B ．C ．D ． 5.下列命题正确的个数为（ ） ①“都有”的否定是“使得”; ②“”是“”成立的充分条件;③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题A. B. C. D.6.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。
美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。
程序框图如图所示，若输入的值分别为,,，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ）A. B. C. D.第6题图7.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女，结果如右图． 由算得，参照附表，得到的正确结论是( ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8.若满足条件，则目标函数的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 9.已知,若直线与线段相交,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.已知函数的部分图像如下图所示，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于、两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 若函数在区间上存在极大值点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13.的展开式中项的系数为 ． 14. ．15.已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是 ． 16.中，，是边的一个三等分点，记，则当取最大值时， ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足， （1）求数列和的通项公式； （2）令,设数列的前项和为,求.非一线 一线 总计愿生 不愿生 总计x o y-55π34π3附表：18.(本小题满分分)在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形，为直角，平面平面.（1）求证：；（2）若求二面角的余弦值.19.（本小题满分分）一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”,连续抛掷“骰子”两次.（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分分）已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．21.（本小题满分分）已知函数,其图像与轴交于两点，且.（1）求的取值范围；（2）证明：；(为的导函数)（3）设点在函数的图像上，且为等边三角形，记,求的值.请考生从第，两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分分）[选修：参数方程与坐标系]以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求.23．（本小题满分分）[选修：不等式选讲] 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明: .xx 学年高三下学期江西省九校联合考试数学(理科)答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDADBDCBCABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则 由得解得 所以，． …………………6分 (2)由(1)可知01221325272(21)2(21)2n n n T n n --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ………………①12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ………………② ①-②得:1213222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅…………………12分18. 解：（1）90,//=∠EAB BF AE ABFE 为直角梯形，底面AB ABFE ABCD ABFE ABCD =⊥平面平面平面平面 ,设轴建立如图坐标系所在的直线分别为以z y x BC BF BA t AE ,,,,,=，…………………6分(2)的一个法向量是平面）知由（BEF )1,0,0(1= ,的一个法向量是平面故得令CEF y x z )2,1,1(,1,1,2====,即二面角……………12分19. 解：(1)两次点数之和为16,即两次的底面数字为:(1,3),(2,2),(3,1), ……………5分 (2)的可能取值为0,1,2,3 且……………9分则的分布列为……………12分12222220.222422,4,11 (44)c e a MF F a c a c a c a b x C y ==+=+∴+=+==∴==∴+=解（1）又的周长为椭圆的方程为分（2）∵，∴四边形为平行四边形， 显然直线的斜率存在，设的方程为， 把代入得， 由得， ∴，，∵………………………7分∴21221214)(2||22x x x x x x S S OAB OANB -+=-==∆=222222)41(34841124)4116(2k k k k k +-=+-+， 令，∴， ∴2161816818)4(82=≤++=+=tt t tS OANB …………………10分 当且仅当，即时取等号，∴，此时的方程为。
2021年高三数学3月联考试题 理
2021年高三数学3月联考试题理注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则( )A． B． C． D．2．若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为( )A． B． C． D．或3．在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则 ( ) A．32 B．62 C．27 D．814．已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像( )A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )A． B． C． D．6．已知定义在R上的函数满足，，且当时,,则= ( )A． B． C． D．7．若如下框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框①中应填入的是( ) A．B．C．D．8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为( ) A． B． C． D．10．已知变量满足若目标函数取到最大值，则的值为( )A． B． C． D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A． B．C． D．12．已知直线与曲线相交于,且曲线在处的切线平行，则实数的值为( )A． B．4或 C．或 D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知，则二项式的展开式中的系数为．14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．16．已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若点为中点，且，求．18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）总人数20 36 44 50 40 10 将学生日均课外课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望和方差． 参考公式：，其中参考数据：19．(本小题满分12分)已知四棱锥,底面是直角梯形，∥,,， 是边长为的等边三角形，． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点为中点,求二面角的余弦值． 20．（本题满分12分）已知抛物线上点处的切线方程为． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值． 21．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调性；（Ⅱ）若,且方程有两个不相等的实数根．求证： ．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．(本小题满分10分) 选修4-1 ：几何证明选讲如图，在锐角三角形中，，以为直径的圆与边 另外的交点分别为，且于． （Ⅰ）求证：是的切线； （Ⅱ）若，，求的长．23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径． （Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程； （Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828E24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数的定义域为．（Ⅰ）求实数的范围；（Ⅱ）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值．湖北省八校xx 届高三第二次联考理科数学试题答案及评分参考一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B 二、填空题13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解答：（Ⅰ），sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++， ，，所以，得． ………6分 （Ⅱ）解法一：取中点,连,则,则，则，由（Ⅰ）知，， 由正弦定理知，，得. ………12分 解法二：由（Ⅰ）知，又为中点，， 在中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+-又，，由正弦定理知，，得. 18 ．解答：（Ⅰ）()2220060203090200=6.060 6.635,150509011033K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯ ………5分 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关．………6分（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率， ………8分 ． ………12分 19．解答：（Ⅰ）是边长为的等边三角形, 底面是直角梯形，又又………6分（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则设平面的法向量为，则取 ………8分 为中点，则，设平面的法向量为，则取 ………10分由．二面角的余弦值为． ………12分 20．解答：（Ⅰ）设点，由得，求导， 因为直线的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线的方程为． ………4分 （Ⅱ）设线段中点，则 ，∴直线的方程为，即，过定点. ………6分 联立0022002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得，()()222200001324484x x x x =+-=+-（）（）， ………8分设到的距离， ()2223000111124(4)4(162)()822223x x x =++-≤=， ………10分 当且仅当，即时取等号，的最大值为8. ……12分 21．解答：（Ⅰ）设当时，在上单调递增． ………4分 （Ⅱ） 在上单调递增， 当时， 必存在使得即在上单调递减，在上单调递增， 又设则在上单调递减，在上单调递增， 又不妨设则 由（Ⅰ）知，2202221011()()()()()()f x x x h x h x f x x x ∴->=>-，222211212112()()()(1)0, 1.x x x x x x x x x x ∴---=-+->∴+> ………12分22．解答：（Ⅰ）连结则又，∴为的中点，而为中点，∴，又，∴，而是半径，∴是的切线. ………5分 （Ⅱ）连，则，则， ∴，设，则， 由切割线定理得：， 即，解得：（舍），∴ ………10分 23．解答：（Ⅰ）直线的参数方程为，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为. ………5分 （Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则, ………10分 24． 解答：（Ⅰ）函数的定义域为R ，，.………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式知，，当且仅当时取等号，的最小值为. ………10分27862 6CD6 泖32049 7D31 紱~40810 9F6A 齪39833 9B99 鮙29732 7424 琤29286 7266 牦el27415 6B17 欗28031 6D7F 浿30625 77A1 瞡r 32327 7E47 繇。
2021年高三3月高考模拟试考试数学(理)试题 含解析
2021年高三3月高考模拟试考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，=（）A． B． C． D． 2i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：===﹣．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行判断即可．【解析】：解：若f（x）是奇函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|为偶函数，即充分性成立，若f（x）=2，满足|f（x）|是偶函数，但f（x）是奇函数不成立，故“f（x）是奇函数”是“|f（x）|是偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3．（5分）{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d=（）A．2 B．C．1 D．【考点】：等差数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．【解析】：解：∵{a n}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2，解得d=1故选：C【点评】：本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．4．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）在区间（，）上单调递增，常数φ的值可能是（）A．0 B．C．π D．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的单调性进行求解即可．【解析】：解：由2kπ﹣≤x+φ≤2kπ+，k∈Z，则2kπ﹣φ﹣≤x≤2kπ+﹣φ，k∈Z，若在区间（，）上单调递增，则，即，即2kπ﹣≤φ≤2kπ﹣，k∈Z，若k=1，则≤φ≤，此时φ=满足条件．，故选：D【点评】：本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件先求出函数的单调递增区间，结合k的取值进行求解即可．5．（5分）双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则tanθ=（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到．【解析】：解：双曲线C：﹣y2=1的两条渐近线分别为y=x，则斜率分别为，．由两直线的夹角公式可得，tanθ=||=．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键．6．（5分）一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V=（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，利用体积公式，即可得出结论．【解析】：解：由题意，四面体的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以体积V=1=，故选：C．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．7．（5分）（﹣）16的二项展开式17个项中，整式的个数是（）A． 1 B． 3 C． 5 D．7【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：展开式的通项为：T r+1=，即可得出结论．【解析】：解：展开式的通项为：T r+1=，由题意，r=6，8，10，故选：B．【点评】：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）设a＞b≥1，集合A={x|x∈Z，0＜x＜a}，B={x|x∈Z，﹣b＜x＜b}，记“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N．给定下列三个命题：①当a=5，b=3时，P（M）=P（N）=；②若P（M）=1，则a=2，b=1；③P（M）+P（N）=1恒成立．其中，为真命题的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：概率与统计．【分析】：①，当a=5，b=3时，可求得集合A与集合B，继而可得事件M={3，4}，事件N={1，2}，从而可求得P（M）=P（N）=，可判断①；②，依题意知，1≤b＜a≤2，b=1，可判断②；③，利用对立事件的概率公式可判断③．【解析】：解：对于①，当a=5，b=3时，集合A={1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，事件M={3，4}，事件N={1，2}，所以P（M）==，P（N）==，即P（M）=P（N）=，故①正确；对于②，若P（M）=1，则1≤b＜a≤2，b=1，故②错误；对于③，因为“从集合A中任取一个元素x，x∉B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x∈B”为事件N，所以，事件M与事件N为对立事件，所以P（M）+P（N）=1恒成立，故③正确，综上所述，①③为真命题，故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，理解题意，正确分析、解答是关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：对x分x＜﹣1，﹣1≤x≤2与x＞2范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集．【解析】：解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔﹣x﹣1+2﹣x≤5，解得：﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+2﹣x=3≤5恒成立，∴﹣1≤x≤2；当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+x﹣2=2x﹣1≤5，解得：2＜x≤3．综上所述，不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．故答案为：[﹣2，3]．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|=8，则点P的坐标为（6，4）．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y【解析】：解：设该点坐标为（x，y）根据抛物线定义可知x+2=8，解得x=6，代入抛物线方程求得y=±4，∵P在第一象限，∴P（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．11．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值M=．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合；不等式的解法及应用．【分析】：由题意画出可行域，数形结合得到使z=x+2y取得最大值的直线x+2y﹣z=0的位置，由点到直线的距离公式求得z=x+2y的最大值M．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当直线与圆相切时直线在y轴上的截距最大，z最大，化目标函数z=x+2y为x+2y﹣z=0，由原点到直线x+2y﹣z=0的距离等于半径得：，即z的最大值M为．故答案为：．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．12．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的结果S=62．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故答案为：62．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）已知x与y之间的几组数据如下表：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则＜b，＞a．（填“＞”或“＜”）【考点】：线性回归方程．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求，的值，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得a，b，即可得出结论．【解析】：解：由系数公式可知，=4.5，=3.5，由于参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得b=1，a=﹣1，∴＜b，＞a，故答案为：＜；＞【点评】：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2上到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为1的点的个数是3．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，最后利用圆心到直线的距离，来确定点的个数．【解析】：解：极坐标方程ρ=2，转化成直角坐标方程为：x2+y2=4直线ρcos（θ﹣）=1转化成直角坐标方程为：x+y﹣=0则：圆心到直线的距离：d=恰好平分圆的半径，所以圆上得点到直线的距离为1的点的个数为：3故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离的应用．属于基础题型．（几何证明选讲选做题）15．如图，圆O的弦AB、CD相交于点P，若AC=AD=2，PB=3，则AB=4．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：连结PD，由已知推导出△PAD∽△DAB，从而，由此能求出AB的长．【解析】：解：连结PD，∵AC=AD=2，∴由已知得∠ADP=∠ABD，∠DAP=∠BAD，∴△PAD∽△DAB，∴，即∵AC=AD=2，PB=3，∴，解得AP=1，∴AB=AP+PB=1+3=4．故答案为：4．【点评】：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和三角形相似的性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，﹣7）．（1）求cosB的值；（2）若=（﹣2，﹣5），证明：B、C、D三点共线．【考点】：余弦定理；直线的斜率．【专题】：解三角形；平面向量及应用．【分析】：（1）（方法一）由两点间距离公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出两个向量，由向量的夹角公式即可得解．（2）（方法一）求出向量，，可得，从而得证．（方法二）先求直线BC的方程，设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）可解得D点坐标，从而可求得B、C、D三点共线．【解析】：解：（1）（方法一）AB==5，AC=13，…（3分）…（6分）（公式2分）（方法二），…（2分）…（6分）（公式2分）（2）（方法一），…（9分）∵，∴、共线…（11分）∵、有共同的始点，∴B、C、D三点共线…（12分）（方法二）经过B（0，1）、C（8，﹣7）两点的直线BC的方程为（即x+y=1）…（9分）设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）得（x﹣3，y﹣5）…（10分）解得D（1，0）…（11分）∵（或1+0=1），∴（D在BC上）B、C、D三点共线…（12分）【点评】：本题主要考查了余弦定理，直线的方程，向量的夹角公式以及两点间距离公式的应用，熟练记忆和使用公式是解题的关键，属于中档题．17．（13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：组距频数频率[100，102）17 0.17[102，104）18 0.18[104，106）24 0.24[106，108）a b[108，110）6 0.06[110，112）3 0.03合计100 1（1）求上表中a、b的值；（2）估计该基地榕树树苗平均高度；（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112）内的有X株，求X的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）由频率分布表，能求出a和b．（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度．（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解析】：解：（1）由频率分布表，知：a=100﹣17﹣18﹣24﹣6﹣3=32，b==0.32．…（2分）（2）估计该基地榕树树苗平均高度为：=105.02（cm）…（6分）（列式（2分），求值（1分），文字说明与单位完整（1分）．）（3）由频率分布表知树苗高度在[108，112）范围内的有9株，在[110，112）范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3…（7分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，…（11分）∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…（12分）X的期望为EX==．…（13分）（列式正确1分）【点评】：本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（14分）设数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*（1）求a1的值．（2）求数列{a n}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有+…．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）令n=1直接计算即可；（2）根据S n与a n的关系，即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用=并项即可计算．【解析】：解：（1）a1=S1==1；（2）a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n（2n﹣1）；显然，当n=1时，a1=1×（2×1﹣1）=1，故数列{a n}的通项公式为a n=n（2n﹣1）．（3）根据（2）可得：a n=n（2n﹣1），故===，所以+…＜=∵当n=1时，原式=1，当n=2时，原式=，∴原式，故对一切正整数n，有+…．【点评】：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．19．（13分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，由已知得，，，从而AE⊥CE，由直四棱柱性质得C1C⊥ABCD，从而AE⊥平面BCC1B1，由此能证明平面AC1E⊥平面BCC1B1．（2）过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH，由已知得∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．【解析】：（1）证明：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴…（1分）由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，得，…（2分）∵，∴AE2+CE2=AC2，AE⊥CE…（3分）∵ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴C1C⊥AE，∵CE∩CC1=C，∴AE⊥平面BCC1B1…（4分）∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1…（5分）（2）解：过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH…（6分）由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1=C1E，CH⊥平面AC1E…（7分）∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH=C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E﹣AC1﹣C的平面角…（9分）在Rt△ACC1中，，CC1=a，AC1=2a，，在Rt△ECC1中，，CC1=a，，，、，求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）GH==，cos∠CGH==．∴二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值是．…（13分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆Σ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点为F1、F2，直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，并与Σ相交于A、B两点．（1）求的方程；（2）在上是否存在C、D两点，满足CD∥AB，F1C=F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）根据题意求出焦点F2的坐标，的c的值，利用离心率e求出a、b的值；（2）（方法一）假设存在满足条件的直线CD，由直线CD的方程与椭圆方程联立，消去y，得方程①，计算△＞0；再由F1C=F1D，E为CD的中点，推导出△＜0，从而得出结论．（方法二）设出C、D以及线段CD的中点E的坐标，利用差值法求出中点满足的关系式，再由F1C=F1D，得出直线CD的方程，它与椭圆方程联立，判断方程组是否有解即可．【解析】：解：（1）∵直线l：x+y﹣2=0经过焦点F2，∴F2（2，0），即c=2；又e==，∴a=；∴b==，∴椭圆∑的方程为+=1；（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD，∵CD∥AB，∴k CD=k AB=﹣1，设直线CD的方程为y=﹣x+m，由，得x2+3（﹣x+m）2﹣6=0；即4x2﹣6mx+（3m2﹣6）=0，∴△=（﹣6m）2﹣4×4（3m2﹣6）=96﹣12m2＞0；（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=；由已知F1C=F1D，若线段CD的中点为E，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；F1（﹣2，0），E（，），即E（，）；由==1，解得m=﹣4；当m=﹣4时，96﹣12m2=﹣96＜0，这与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD．（方法二）假设存在C（x1，y1），D（x2，y2），且线段CD的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=，=﹣1；由，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，代入、化简得：x0﹣y0=0，①由已知F1C=F1D，则F1E⊥CD，∴=﹣=1；由==1，得y0=x0+2，②由①②解得x0=﹣3，y0=﹣1，即E（﹣3，﹣1）直线CD的方程为：y=﹣（x+4），联立方程组，消去y得4x2+24x+42=0，∵△=242﹣4×4×42=﹣96＜0，∴方程（组）无解，即不存在满足条件的直线CD．【点评】：本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．21．（14分）设函数f（x）=e x（lnx﹣a），e是自然对数的底数，e≈2，718，a∈R为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线l的斜率为2e，求a的值；（2）在（1）的条件下，证明切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）若[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求出函数的导数，得到方程e（ln1﹣a+1）=2e，解出即可；（2）先求出切线l的方程，得到g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，从而证出结论；（3）先求出a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，再通过比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而求出a的范围．【解析】：解：（1）f′（x）=e x（lnx﹣a+），依题意，k=f′（1）=e（ln1﹣a+1）=2e，解得：a=﹣1，（2）由（1）f（1）=e，直线l的方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，作g（x）=f（x）﹣（2ex﹣e）=e x（lnx+1）﹣2ex+e，则g（）=（1﹣ln2）＞0，g（e﹣4）=﹣3﹣2e﹣3+e＜﹣3+e＜0（用其他适当的数替代e﹣4亦可）因为y=g（x）在（e﹣4，）上是连续不断的曲线，g（e﹣4）g（）＜0，y=g（x）在（e﹣4，）内有零点，而（e﹣4，）⊂（0，），从而切线l与曲线y=f（x）在区间（0，）至少有1个公共点；（3）f′（x）=e x（lnx﹣a+），[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作h（x）=lnx+h′（x）=﹣，由h′（x）=﹣=0得x=1，x [ln2，1）1 （1，ln3]h′（x）﹣0 +h（x）↘最小值↗h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小由23＜32＜e3，2＜＜e，ln2＜ln3＜1以及h（x）在[ln2，1）上单调递减得h（ln2）＞h（ln3），h（ln2）﹣h（ln3）＞h（ln3）﹣h（ln3）=ln+=，ln3ln＜（ln3+ln）2=＜（ln7）2＜（lne2）2=1，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当a≥lnln2+时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[lnln2+，+∞）．【点评】：本题考查了函数的单调性，曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道综合题．%34430 867E 虾35238 89A6 覦25862 6506 攆] 25777 64B1 撱38364 95DC 關33090 8142 腂xDWcu37555 92B3 銳。
湖南省新2021届高考2021届高考数学联考试卷(一)(3月份)(含答案解析)
湖南省新2021届高考2021届高考数学联考试卷(一)(3月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.数集S ={x|x =2m +1,m ∈Z}，T ={y|y =4n ±1,n ∈Z}，则以下正确的是( )A. S =TB. S ⫋TC. S ⫌TD. S ∩T =⌀2.已知直线l ：y =x +2与圆O ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 8B. 4√2C. 4D. 23.在(2x −1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为1：64，则展开式中常数项为( )A. 240B. −240C. 160D. −1604.设向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(f(x),−x)且a ⃗ ⋅b ⃗ =g(x)，x ∈R ，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为( )A. x 3B. 1+xC. cos xD. xe x5.甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是( )A. x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定B. x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定C. x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定D. x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定6.已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线方程为( )A. x 24−3y 24=1 B. x 24−4y 23=1 C. x 24−y 28=1 D. x 24−y 212=1 7.如图E 、F 、G 分别是各棱长均相等的三棱锥A −BCD 的棱AB 、BC 、AC 的中点，点P 在侧面ABC 及其边界上运动，DP ⊥AB ，则动点P 的轨迹是( )A. 线段FGB. 线段EGC. 线段EFD. 线段EC8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面的中心，E是CC1的中点，那么异面直线A1D与EO所成角的余弦值为()A. √32B. √22C. 12D. 0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若复数z满足其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则()A. ∥z∥=√5B. z 的实部是C. z的虚部是1D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限10.以下选项中，是a<0，b<0的一个必要条件的为()A. a−b>0B. ab<−1 C. a+b<0 D. a+2b<1 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，下列结论正确的有()A. 函数f(x)的最小正周期为π2B. 直线x=−π12为函数f(x)的一条对称轴C. 函数f(x)的图象可由y=2sin2x向右平移π3个单位得到D. 直线y=1与函数y=f(x)(π6≤x≤11π6)的图象的所有交点的横坐标之和为113π12.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n2，数列{b n}满足b n=1an，若b n，b n+2，b n+k(k∈N∗,k>2)成等差数列，则k的值不可能是()A. 4B. 6C. 8D. 10三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l：x−√3y+6=0，若直线l′过点(0,1)，倾斜角为已知直线l倾斜角的两倍，则直线l′的方程为______ ．14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系．诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：11位的回文数总共有______ 个．15.(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，|F1F2|=4√5，点P为椭圆上一点，若ΔPF1F2周长为4√5+12，则椭圆C的离心率为．(2)已知i为虚数单位，复数z=1+3i1−i，则复数z的共轭复数是．(3)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．(4)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f′(x1)f′(x2)的值为．16. 动点P(x,y)到点F(0,1)的距离与它到直线y+1=0的距离相等，则动点P的轨迹方程为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足(c−2a)cosB+bcosC=0．(1)求角B的大小；(2)若a=2，cosA=17，求c的值．18. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若A，B，C成等差数列，且AB=2，AC=2√3，求△ABC的面积；(2)若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；(2)若PD//平面EAC，并且二面角B−AE−C的大小为45°，求PD∶AD的值．20. 如图O为坐标原点，圆O：x2+y2=4点F1(−√3,0)，F2(√3,0)，以线段F1M为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)证明：|F1M|+|F2M|为定值，并求曲线C的方程；(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过F2作直线l//F1Q，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形RQF1F2面积的取值范围．21. 某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一(1)班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同)．(Ⅰ)求选出的3名同学来自不同班级的概率；(Ⅱ)设X为选出同学中高一(1)班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．22. 已知为常数，，函数，.(是自然对数的底数)(Ⅰ)过坐标原点作曲线的切线，设切点为，试求的值；(Ⅱ)令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：S ={x|x =2m +1,m ∈Z}={奇数}T ={y|y =4n ±1,n ∈Z}，集合T 的元素满足：x =4n +1，或x =4n −1=4(n −1)+3，n ∈Z ，可知是整数除以4得到的余数为1或3的数，即为奇数，因此集合T 也是由所有奇数组成的集合，故S =T 故选：A ．由已知及奇数的性质可得：集合S ，T 都是由所有奇数组成的集合；集合T 的元素满足：x =4n ±1，n ∈Z ，可知是整数被4除以余数为1或3的数，即为奇数，因此集合T 也是由所有奇数组成的集合，即可得到集合S 、T 之间的关系本题考查集合相等的定义．熟练掌握奇数的表达形式及其性质、集合之间的关系是解题的关键．2.答案：C解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =x +2x 2+y 2=4得x 2+2x =0， 解得x =0，x =−2， 设A(0,2)，则B(−2,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2)⋅(0,−2)=−2×0+2×2=4． 故选：C ．联立直线与圆的方程先求A ，B 的坐标，进而可求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示可求．本题主要考查了直线与圆相交的位置关系，向量数量积的坐标表示，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 先由题意求得n 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：(2x −1x )n 的展开式中，各项系数和1与二项式系数和2n 之比为1：64， ∴n =6，故展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅(−1)r ⋅26−r ⋅x 6−2r ．令6−2r =0，求得r =3，可得展开式中常数项为−C 63⋅23=−160，故选：D ．4.答案：C解析：解：∵向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(f(x),−x)且a ⃗ ⋅b ⃗ =g(x)， a ⃗ ⋅b ⃗ =f(x)−x 2=g(x)， ∴f(x)=x 2+g(x)， 结合选项，选项A 为奇函数，不成立；B 为非奇非偶函数，不成立；C 为g(x)=cosx 时，函数f(x)为偶函数，成立；D 为奇函数，不成立． 故选：C ．运用向量数量积的坐标表示可得f(x)=x 2+g(x)，由题意可得g(x)为偶函数，结合选项，可知A ，B ，D 不成立，C 正确．本题考查函数的奇偶性的性质和判断，考查向量数量积的坐标表示，考查判断能力，属于中档题．5.答案：B解析：由茎叶图可得原式数据，可得各自的平均值和方差，比较可得结论． 本题考查茎叶图，考查平均值和方差，属基础题． 解：由题意可知甲的成绩为：72，77，78，86，92， 乙的成绩为：78，88，88，90，91， ∴x 甲=15(72+77+78+86+92)=81， x 乙=15(78+88+88+90+91)=87，s 甲2=15[(72−81)2+(77−81)2+(78−81)2+(86−81)2+(92−81)2]=50.4，s 乙2=15[(78−87)2+(88−87)2+(88−87)2+(90−87)2+(91−87)2]=21.6， ∴x 甲<x 乙，且s 甲2>s 乙2，乙比甲成绩稳定．故选：B ．6.答案：D解析：解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x 2+y 2=4，双曲线的两条渐近线方程为y =±b2x ， 设A(x,b2x)，x >0， ∵四边形ABCD 的面积为2b ， ∴由对称性可得2x ⋅bx =2b ， ∴x =±1，将A(1,b2)代入x 2+y 2=4，可得1+b 24=4，∴b 2=12， ∴双曲线的方程为x 24−y 212=1，故选：D ．以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x 2+y 2=4，双曲线的两条渐近线方程为y =±b2x ，利用矩形ABCD 的面积为2b ，求出A 的坐标，代入圆的方程，求得b ，即可得出双曲线的方程．本题考查双曲线的方程与性质，注意运用对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：D解析：确定DA 在侧面ABC 上的射影为CE ，CE ⊥AB ，根据CP ⊥AB ，即可得出结论． 本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，确定CE ⊥AB 是关键． 解：因为E 是各棱长均相等的三棱锥A −BCD 的棱AB 的中点， 所以DA 在侧面ABC 上的射影为CE ，CE ⊥AB ， 因为点P 在侧面ABC 及其边界上运动，DP ⊥AB ， 所以动点P 的轨迹是线段EC ， 故选：D ．8.答案：D解析：解：如图以DA 所在直线为X 轴，以DC 所在直线为Y 轴，以DD 1所在直线为Z 轴建立如图的坐标系，由题设条件棱长为2，O 为底面的中心，E 是CC 1的中点，故有A 1(2,0，2)，D(0,0，0)，O(1,1，0)，E(0,2，1)故A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，−2)，EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1)，cos <A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EO ⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0√8×√3=0 故选D本题可以建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线A 1D 与EO 所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的求法，由于本题中两个异面直线所存在的背景是一个正方形，故采取向量法求两线的夹角比较方便，用向量法求两异面直线的夹角最大的好处是不用再作角，证角，简化了思维．9.答案：ABD解析：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断．，∴z =3+i1+i =(3+i )(1−i )(1+i )(1−i )=4−2i 2=2−i ，∴|z |=√22+1=√5，故选项A 正确， z 的实部是，故选项B 正确， z 的虚部是−1，故选项C 错误，复数z =2+i 在复平面内对应的点为(2,1)，在第一象限，故选项D 正确． 故选：ABD ．10.答案：CD解析：解：由a <0，b <0，可得：a +b <0，a +2b <0<1． 而a 与b 大小关系不确定，ab >0，因此是a <0，b <0的一个必要条件的为CD ． 故选：CD ．利用不等式的性质即可判断出正误．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：BD解析：解：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象， 可得T2=2π3−π6=π2，可得函数f(x)的最小正周期T =π，故A 错误； ω=2πT =2，由五点作图法可得2×π6+φ=0，解得φ=−π3，由f(0)=Asin(−π3)=−√3，可得A =2， 所以f(x)=2sin(2x −π3)，当x =−π12时，f(x)=2sin(−π6−π3)=−2，所以直线x =−π12为函数f(x)的一条对称轴，故B 正确； y =2sin2x 向右平移π3个单位得到y =2sin(2x −2π3)≠f(x)，故C 错误；令f(x)=2sin(2x −π3)=1，即2x −π3=2kπ+π6，或2x −π3=2kπ+5π6，k ∈Z ，解得x =kπ+π4或x =kπ+7π12，k ∈Z ， 因为π6≤x ≤11π6，所以x =π4，7π12，5π4，19π12，所以直线y =1与函数y =f(x)(π6≤x ≤11π6)的图象的所有交点的横坐标之和为π4+7π12+5π4+19π12=113π，故D 正确．故选：BD ．由图象可求得f(x)的周期，即可判断选项A ；由周期公式可求得ω，由五点作图法可求得φ，再由f(0)=−√3可求得A ，从而可求得f(x)的解析式，将x =−π12代入解析式中取得最值，即可判断选项B ，由三角函数的图象变换即可判断选项C ，令f(x)=2sin(2x −π3)=1，求得x 的值，即可判断选项D ，从而可得出结论．本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是解题的关键，属于中档题．12.答案：AD解析：解：∵S n =n 2+n 2，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+n 2−(n−1)2+(n−1)2=n ，又当n =1时，a 1=S 1=1也适合上式， ∴a n =n ，b n =1a n=1n ，∵b n ，b n+2，b n+k (k ∈N ∗,k >2)成等差数列， ∴2b n+2=b n +b n+k ，即2n+2=1n +1n+k ， ∴k =4nn−2=4+8n−2(k ∈N ∗,k >2)， 则n −2的取值为1，2，4，8， 则对应的k 的值为12，8，6，5， ∴k 的值不可能是4，10， 故选：AD ．先由题设利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求得a n ，进而求得b n ，然后由b n ，b n+2，b n+k (k ∈N ∗,k >2)成等差数列得到n 与k 的关系式，即可得到正确选项．本题主要考查数列通项公式的求法及等差数列定义，属于中档题．13.答案：√3x −y +1=0解析：本题考查直线的方程，涉及直线的斜率和倾斜角，属基础题．由题意可得已知直线的斜率，进而可得倾斜角，可得直线l′的斜率，写出其点斜式方程化为一般式即可．解：∵直线l ：x −√3y +6=0的斜率为√3=√33， ∴直线l ：x −√3y +6=0的倾斜角为30°， ∴直线l′的倾斜角为60°，斜率为tan60°=√3， 又∵直线l′过点(0,1)，∴直线l′的方程为y −1=√3(x −0)， 化为一般式可得√3x −y +1=0． 故答案为：√3x −y +1=0．14.答案：900000解析：本题考查计数原理的应用，关键是理解回文数的定义与特点．对于回文数，因为首位和末位的数字是一样的，所以2位以上的回文数末位不能出现0，所以个位的数字只有9种选择的可能(1～9)，其余位数都有10种选择(0～9)；对于位数是偶数的回文数，其中一半的位数上的数字被定下，那么这个数也就定了；对于奇数位数的回文数，中间的那位的数字可以任取，共10种选法(0～9).所以，结果如下：1位：0～9共10个，2位：9个(11,22，33，44，55，66，77，88，99)，3位：9×10=90个，4位：9×10=90个，5位：9×10×10=900个，6位：9×10×10=900个；由此解答即可．解：二位回文字也有9个；三位回文数有9×10=90(个)；四位回文数也有90个；五位回文数有9×10×10=900(个)；六位回文数也有900个；…11位的回文数总共有9×10×10×10×10×10=900000个故答案为900000．15.答案：(1)√53(2)−1−2i(3)2 5(4)1 4解析：(1)本题考查了椭圆的定义和性质．|F1F2|=4√5即2c=45，ΔPF1F2周长为2a+2c．解：设椭圆的半焦距为c，由题意得，{2a+2c=4√5+122c=4√5⇒{c=2√5a=6，所以e=ca =√53．故答案为√53．(2)本题考查了复数的运算和共轭复数的概念.先化简复数，再根据共轭复数的概念求解．解：由题意可得：z=1+3i1−i=(1+3i)(1+i) (1−i)(1+i)=1+3i−3+i2=−1+2i，则复数z的共轭复数是z=−1−2i．故答案为−1−2i．(3)本题考查了古典概型.从袋子中取出两个小球，列出所有情况，再列出标注的数字之和为5或7的情况即可解决．解：从袋子中取出两个小球，其号码的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种；其中取出的小球上标注的数字之和为5或7有：(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，共4种；由古典概型概率公式得所求概率为P=410=25．故答案为25．(4)本题考查了导数的几何意义.函数的几何意义是函数在一点的导数就是过该点切线的斜率．解：因为函数f(x)=x3，所以f′(x )=3x 2；则曲线y =f(x)在点P(x 1,f(x 1))处的切线斜率为k 1=f′(x 1)=3x 12，所以曲线y =f(x)在点P(x 1,f(x 1))处的切线方程为：y −x 13=3x 12(x −x 1)，联立f (x )=x 3得：x 3−3xx 12+2x 13=0⇒(x −x 1)2(x +2x 1)=0，即x 2=−2x 1，所以f′(x 2)=3x 22=12x 12， 则f′(x 1)f′(x 2)=14．故答案为14．16.答案：x 2=4y解析：解：∵直线l ：y +1=0即y =−1，而点P(x,y)到点F(0,1)的距离等于P 到直线l 的距离 ∴点P 位于以F 为焦点、直线l ：y =−1为准线的抛物线上， 因此，设P 的轨迹方程为x 2=2px ，(p >0) 可得12p =1，解得p =2，2p =4 ∴动点P 的轨迹方程为x 2=4y ． 故答案为：x 2=4y由抛物线的定义，可得点P 位于以F 为焦点、直线y =−1为准线的抛物线上．因此设P 的轨迹方程为x 2=2px(p >0)，根据抛物线的简单几何性质即可求出点P 的轨迹方程．本题给出动点满足的条件，求该点的轨迹方程，着重考查了圆锥曲线的定义和轨迹方程的求法等知识，属于基础题．17.答案：解：(1)已知等式(c −2a)cosB +bcosC =0，利用正弦定理化简得：(sinC −2sinA)cosB +sinBcosC =0，整理得：sinCcosB +sinBcosC =2sinAcosB ，即sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ， ∵sinA ≠0， ∴cosB =12，则B =60°； (2)∵cosA =17，∴sinA =√1−(17)2=4√37， ∵a =2，sinB =√32， ∴由正弦定理asinA =bsinB 得：b =asinB sinA=2×√324√37=74， 则由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即4=4916+c 2−12c ， 解得：c =54．解析：(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；(2)由cos A 的值求出sin A 的值，再由a ，sin B 的值，利用正弦定理求出b 的值，根据余弦定理即可求出c 的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B =A +C ， ∵A +B +C =180°， ∴B =60°，设BC =x ，由余弦定理得： 12=4+x 2−2×2×x ·cos60°，x 2−2x −8=0，解得x =6(x =−2舍去)，即BC =6， ∴S △ABC =12AB ⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．(2)∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ∴ac =a 2+c 2−2accosB又∵c =2a ，∴2a 2=a 2+4a 2−4a 2cosB ，∴cosB=3．4解析：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，涉及等差数列和等比数列的简单性质，属于中档题．(1)由A，B，C成等差数列，求出B=60°，由余弦定理求出BC=6，根据三角形的面积公式求出△ABC 的面积；(2)由a，b，c成等比数列得b2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，将已知c=2a代入即可求出cos B，19.答案：(1)见解析(2)∶2解析：(1)证明因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD=D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC．所以平面EAC⊥平面PBD．(2)解连接OE，因为PD//平面EAC，所以PD//OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．设OB=m，OE=ℎ，则OA=m，A，B(0,m，0)，E(0,0，ℎ)，=(−m，m，0)，=(0,−m,ℎ)，向量n1=(0,1，0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2=(x,y，z)则n2·=0，且n2·=0，即−mx+my=0且−my+ℎz=0．取x=1，则y=，z=，则n2=，∴cos45°=|cos〈n1，n2〉|===，解得=，故PD∶AD=2ℎ∶2m=ℎ∶m=∶2．20.答案：(Ⅰ)证明：由题知：O，P，N三点共线，连接MF2，则|MF1|+|MF2|=2|MN|+2|ON|=2|NP|+2|ON|=4，∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，a =2，c =√3，则b =1， 则动点M 的轨迹方程是x 24+y 2=1；(Ⅱ)解：如图：S RQF 1F 2=12S PQTG =S △F 1RG ． 设l ：x =ty +√3，R(x 1,y 1)，G(x 2,y 2)，联立{x =ty +√3x 24+y 2=1，消去x 有：(t 2+4)y 2+2√3ty −1=0． ∴t 1+t 2=−2√3tt +4，t 1t 2=−1t 2+4．由弦长公式可得：|RG|=√1+t 2√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√1+t 2⋅4√t 2+1t 2+4． 又∵点F 1 到直线l 的距离d =√3√1+t 2．∴S =12|RG|d =4√3√t 2+1t 2+4=√3√t 2+1+3√2≤√32√3=2(当且仅当t =√2等号成立)．∴四边形RQF 1F 2面积的取值范围是(0,2]．解析：(Ⅰ)由题知：O ，P ，N 三点共线，连接MF 2，可得|MF 1|+|MF 2|=2|MN|+2|ON|=2|NP|+2|ON|=4，由此可知M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，则轨迹方程可求； (Ⅱ)S RQF 1F 2=12S PQTG =S △F 1RG ，由题意设l ：x =ty +√3，与椭圆方程联立，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求点F 1 到直线l 的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.答案：(本小题满分13分)解：(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ， 则P(A)=C 31C 72+C 30C 73C 103=4960．所以选出的3名同学来自不同班级的概率为4960.…(5分) (Ⅱ)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 73C 103=724， P(X =1)=C 31C 72C 103=2140， P(X =2)=C 32C 71C 103=740，P(X=3)=C33C70C103=1120，∴随机变量X的分布列是X0123P 72421407401120随机变量X的数学期望E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．解析：(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．22.答案：(Ⅰ)x0=1(Ⅱ)a≤2解析：本题主要考查的是导数的运算以及利用导数研究函数的单调性．(Ⅰ)f′(x)=2x+a−(x>0)所以切线的斜率k=2x0+a−=整理得x02+lnx0−1=0显然x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx−1在(0.+)上是增函数所以方程x2+lnx−1=0有唯一实数解，故x0=1(Ⅱ)F(x)==，F′(x)=设则易知ℎ′(x)在(0,1]上是减函数，从而ℎ′(x)ℎ′(1)=2−a(1)当2−a≥0时，即a2时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0.1)上是增函数∵ℎ(1)=0，∴ℎ(x)0在(0,1]上恒成立，即F′(x)0区间(0,1]上是单调递减函数，所以a2满足题意(2)当2−a<0时，即a>2时，设函数ℎ′(x)的唯一零点为x0，则ℎ(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)单调递减，又∵ℎ(1)=0，∴ℎ(x0)>0，又∵ℎ(e−a)<0∴ℎ(x)在(0,1)内有唯一一个零点x′，当x(0,x′)时，ℎ(x)<0，当x∈(x′,1)时，ℎ(x)>0，从而F(x)在(0,x′)上单调递减，在(x′,1)上单调递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾，∴a>2不合题意，综合(1)(2)得a≤2。
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2021年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线C．线段D．圆3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log234．已知数列{an }满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若akak+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．95．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB．C．3π D．4π6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A．B．C．1 D．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．xx年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2，可得z===1﹣i．则z的共轭复数=1+i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题．2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线 C．线段 D．圆【分析】A代入圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），∴（1﹣a）2+（0﹣b）2=1，∴（a﹣1）2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n＞5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n＞5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n＞5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n＞5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（×××）=log2．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题．4．已知数列{a n}满足a1=10，且2a n+1=2a n﹣3，若a k a k+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用2a n+1=2a n﹣3，判断数列{a n}是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2a n+1=2a n﹣3，所以a n+1﹣a n=﹣，所以数列{a n}是首项为10，公差为﹣的等差数列，所以a n=10﹣（n﹣1），由a n=10﹣（n﹣1）＞0，得n＜7，所以使a k a k+1＜0的k值为7，故选：B．【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB． C．3πD．4π【分析】由三视图可知：该几何体为一个球的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的．∴这个几何体的表面积=×4×π×12+π×12=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．【解答】解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．∴“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A． B． C．1 D．【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可．【解答】解：∵单位向量，满足2=2，∴2=1，∵，∴=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（a﹣x）2+x（a﹣x）=x2﹣ax+a2=（x﹣）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故||的最小值是=，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论．【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故选：C．【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题．二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200．【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数．【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．综上a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．【分析】根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．【解答】解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r（x）10﹣2r（﹣）r=（﹣1）r C5r（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2．【分析】由题意可得|OM|=ρ=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=ρ==，故当sinθ=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为[0，3] ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为1．【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=﹣A，故a的最小值为f（x）的半周期．（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为﹣A，f（x+a）﹣f（x）=2A，∴f（x+a）=A，f（x）=﹣A，∴a的最小值为f（x）的半周期．∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为．（2）f（x+）=sin（2x++φ），f（x）=sin（2x+φ）．∴f（x+）﹣f（x）=sin（2x++φ）﹣sin（2x+φ）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x++φ）．∴f（x+）﹣f（x）的最大值为1．故答案为，1．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB，代值计算可得；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB=32+72﹣2×3×7×=25，∴DC=5；（Ⅱ）在△ABC中，由cosB=可得sinB==，由正弦定理可得AC===【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．【分析】（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【解答】解：（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，P（X=0）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==1．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，g′（x）=e x﹣2﹣，根据函数单调性及零点定理可知存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x0），lnx0=2﹣x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），因为f′（x）=e x﹣t﹣，x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=e1﹣t﹣1=0，所以t=1，所以f′（x）=e x﹣1﹣，因为y=e x﹣1和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e x﹣t﹣lnx≥e x﹣2﹣lnx，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，则g′（x）=e x﹣2﹣，因为y=e x﹣2和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g′（1）=﹣1＜0，g′（2）=1﹣=＞0，所以存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0），因为g′（x0）=0，即e x0﹣2=，所以lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2，因为x0∈（1，2），所以g（x0）=+x0﹣2＞2﹣2=0，所以f（x）＞0．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．【分析】（Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．（Ⅱ）由，得2﹣6=0，由此利用韦达定理能推导出y1=﹣y2，从而能证明B、C、O三点共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，∴m=4+2=6，∴椭圆的标准方程为，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（﹣，0）和（，0）．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，消去y，化简，得：2﹣6=0，∴，同理得，∵2k1k2=﹣1，∴====﹣x1，∴2k1k2==2×===﹣1，∴y1=﹣y2，∴B、C、O三点共线．【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．【分析】（Ⅰ）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，推出f（）=d n×99，若d1=6，得到=f（）=6×99=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，d n+1=，d n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数，n≥6时，=495．【解答】解：（Ⅰ）当=636时，=663﹣366﹣297，=972﹣279﹣693d2=6；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，则f（）=（a n×100+b n×10+c n）﹣（c n×100+b n×10+a n）=（a n﹣c n）×99=d n×99，若d1=6，则=f（）=6×99=495，可得d2=9﹣4=5，所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d k=5，则=f（）=d k×99=495，d k+1=9﹣4=5．综上：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，=f（）=，所以a1=d﹣1，b1=9，c1=10﹣d，所以d1=，所以d1∈{5，6，7，8，9}，同理：=f（）=d k×99=，所以a n+1=d n﹣1，b n+1=9，c n+1=10﹣d n，所以d n+1=，dn∈{5，6，7，8，9}，当n≤5时，d n=5，所以n≥6时，n≥6时，=d n+1×99=5×99=495．【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．35187 8973 襳32231 7DE7 緧38928 9810 預21153 52A1 务33932 848C 蒌29998 752E 甮39737 9B39 鬹32677 7FA5 羥W36973 906D 遭27404 6B0C 欌T。