高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》基础测试题及答案解析

【最新】数学《平面向量》高考复习知识点

一、选择题

1．已知ABC V 为直角三角形，,6,82

C BC AC π

===，点P 为ABC V 所在平面内一点，

则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r

的最小值为（ ）

A ．252

-

B ．8-

C ．172

-

D ．175

8

-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据,2

C π

=以C 点建系, 设(,)P x y ,则2

2

325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当

3

=2=2

x y ，时,取得最小值.

【详解】

如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,

设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r

， 则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r

2

2

325252(2)2222x y ⎛

⎫=-+--≥- ⎪⎝

⎭.

故选:A. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.

2．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23,P Q 在圆

2

2

2:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r

的最小值为（ ）

A ．18122-

B ．19122-

C ．18122+

D ．19122+【答案】B 【解析】 【分析】

设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得2

3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再

利用圆与圆的位置关系，即可求解故()

2

3223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.

【详解】

依题意，设PQ 中点D ，

则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以2

3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，

2

2

2

22(

)12

PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，

1221min min MD C C C D MC ∴=--

故()

2

322

319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r

.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.

3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u

r 方向上的投影为4-，则

向量BA u u u r 与AC u u u

r 的夹角为（ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°

【答案】C 【解析】 【分析】

设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r

方向上的投影为

cos =4BD α-u u u r

，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．

【详解】

312AB AC ==，D 是AC 的中点，

则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r

方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r

的夹角为θ，

则cos =4BD α-u u u r

，

∴()

cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC

BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC

α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r

u ur r u

， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】

本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.

4．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3

π，(),c a b R μλμ+

=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的

最小值为（ ）

A

B

C

D 【答案】D 【解析】 【分析】

利用向量的数量积的运算公式，求得1

2

a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到

2

4c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．

【详解】

由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π

，所以11cos 11322

a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，

又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r

，

所以()

2222222

2()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，

因为,R λμ+

∈时，所以2

22()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪

⎝⎭

，当且仅当λμ=时取等号， 所以2

3c ≥u r

，即c ≥u r

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

5．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）