新北师版初中数学九年级上册1.2第1课时矩形的性质3精编习题
1.2 矩形的性质与判定北师大版九年级上册数学 1.2 矩形的性质与判定1.2 矩形的性质和判定 练习
1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。
2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。
7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形二、解答题y xPDCBAO1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
最新北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定导学案及答案
第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.自学反馈1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?2.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )(2).平行四边形是矩形.( )(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.( )3.已知△ABC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线.若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝;活动1 小组讨论例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD. ∴OA=OD.∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=21(180°-120°)= 30°. 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),∴BD=2AB =2×2.5=5.活动2 跟踪训练1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对边相互平行B ．对角线相等C ．对角线相互平分D ．对角相等2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A.3∶2B.2∶1C.1.5∶1D.1∶13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.8B.6C.4D.24.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是（ ）A.CD ＝ADB.∠B ＝∠BCDC.∠AED ＝90°D.AC ＝2DEA B CDE5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上中线长为 .6.矩形的一条对角线长10cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为 cm .7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．8.如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，则AE ＝_______．A BCDEF9.在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF=DC ．课堂小结1.矩形的定义及性质.2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.2.(1)√ (2)× (3)√3.6【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.B3.C4.D5.6.5 6.57.98.39.解：连接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．第2课时矩形的判定1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
1.2第1课时矩形的性质-秋北师大版九年级数学上册习题课件
1.2 第1课时 矩形的性质-2020秋北师大版九年级数 学上册 习题课 件（图 片版）( 共30张 PPT) 1.2 第1课时 矩形的性质-2020秋北师大版九年级数 学上册 习题课 件（图 片版）( 共30张 PPT)
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北师大版数学九年级上册：1.2.1 矩形的定义及性质 同步练习(含答案)
1.2.1 矩形的定义及性质一、选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.如图K-4-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段的条数为()图K-4-1A.4B.6C.8D.103.如图K-4-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,D为AB上一点,AD=DB,CD=3,则AB的长度为()图K-4-2A.3B.4C.5D.64.如图K-4-3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=92,则线段OB的长为()图K-4-3A.7B.8C.152D.1725.如图K-4-4,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为()图K-4-4A.10B.4C.4.5D.53二、填空题6.如图K-4-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=°.图K-4-57.如图K-4-6,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,已知AD=4 cm,图中阴影部分的面积为6 cm2,则对角线AC的长为cm.图K-4-68.如图K-4-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是直线BC上一点,且BE=OB,连接AE,若∠BAC=60°,则∠CAE的度数是.图K-4-79.如图K-4-8,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A也随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2,运动过程中点D到点O的最大距离是.图K-4-8三、解答题10.如图K-4-9,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图K-4-911.如图K-4-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图K-4-1012.如图K-4-11,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,且E是AB的中点,CE∥AD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AC=6,CE=5,求四边形ABCD的面积.图K-4-1113.如图K-4-12,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.图K-4-1214.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图K-4-13①所示,两阴影部分面积相等)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图①完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+),易证S△ADC=S△ABC,=,=,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.图K-4-13[变式]如图②,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为.参考答案1.B2.B [解析] 根据题意可知,△AOB 和△COD 都是边长为8的等边三角形,所以长度为8的线段有6条.3.D [解析] ∵在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°. ∵AD=DB ,∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴AB=2CD=6.故选D .4.C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是CD 边的中点, ∴OM 是△ADC 的中位线,∴AD=2OM=9.∵四边形ABCD 是矩形,AB=12,∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12, ∴AC=2+CD 215,∴OB=12AC=152.故选C .5.D [解析] 设FC'=x ,则FC=x ,FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,∴AD=BC=6,C'D=3,∠D=90°.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,FC'=x ,FD=9-x ,C'D=3,∴FC'2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32,解得x=5.故选D . 6.357.5 [解析] ∵图中阴影部分的面积为6 cm 2,AD=4 cm,则12AD ·CD=12×4×CD=6,∴CD=3(cm).在Rt △ACD 中,AD=4 cm,CD=3 cm,由勾股定理得AC=5 cm,即对角线AC 的长为5 cm . 8.15° [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD ,∴OA=OB. 又∵∠BAC=60°,∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OB.又∵BE=OB ,∴AB=BE , ∴△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAE=45°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.故答案为15°. 9.2+2√210.解:(1)证明:在矩形ABCD 中,AD=BC ,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1),知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.AB=3,在Rt△ADE中,AD=4,AE=12由勾股定理,知DE=√AD2+AE2=√42+32=5,∴△CDE的周长=DE+CE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD.又∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=√AC2-AB2=6√3,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6√3=36√3.12.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,E是AB的中点,AB,∴四边形AECD是菱形.∴CE=AE=12(2)由(1)知AB=2CE=10.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8,∴S △ABC =12BC ·AC=24.∵E 是AB 的中点,四边形AECD 是菱形, ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =12, ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =36.13.[解析] (1)根据“矩形的对角线相等”可得AC=BD ,然后证明四边形ABEC 是平行四边形,再根据“平行四边形的对边相等”可得AC=BE ,从而得证;(2)根据矩形的对角线相等且互相平分求出BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD ,AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ,∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE , ∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°,∠DCB=90°, ∴CD=12BD=12×8=4, ∴AB=CD=4,∴DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.在Rt △BCD 中,BC=√BD 2-CD 2=√82-42=4√3, ∴AD=BC=4√3,∴四边形ABED 的面积=12×(4+8)×4√3=24√3.14.S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FCM变式 16。
北师大版九年级数学上1.2 第1课时 矩形及其性质 同步练习(含答案)
2 矩形的性质与判定第1课时矩形及其性质1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线相等2．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°图13．如图3，A，B，C三点的连线恰好构成一个直角三角形，A，B之间的距离为40 km，D恰好为AB的中点，则点D与点C之间的距离是________km.图34．如图4，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为()图4A．5 B．4 C.342 D.345．如图5，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，则△BOF的面积为________．图56．如图6，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE ＝15°，求∠COD 与∠COE 的度数．图67．如图7，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为AD 的中点，F 为BC 边上任一点，过点F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为G ，H ，则FG ＋FH 的值为( )图7A.52B.5210C.31010D.3510 8．在矩形ABCD 中，∠A 的平分线AE 分BC 成两部分的比为1∶3，若矩形ABCD 的面积为36，则其周长为________．9．⑤在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图8所示的方法．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠F AE ＝∠FEA.若∠ACB＝21°，求∠ECD的度数．图810．如图9，已知在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．图911.2017·葫芦岛 如图10，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C ′处，点B 落在点B ′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC ′的长为( )图10A.103B ．4C ．4.5D ．5 12．2017·贵阳 如图11，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是________．图1113．如图12①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F .(1)求证：△BDF 是等腰三角形．(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O . ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．图1214．如图13，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM 的周长是__________．图1315.如图14，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，FD⊥BC于点D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.图1416．如图15，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB，OC 为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1；…，依此类推．图15(1)矩形ABCD的面积为________；(2)第1个平行四边形OBB1C的面积为__________，第2个平行四边形的面积为__________，第6个平行四边形的面积为__________．17．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为________．参考答案1．D 2.B 3．20 4 D. 5.7586．解：因为DE 平分∠ADC ，所以∠ADE ＝45°，所以∠ADB ＝∠ADE －∠BDE ＝45°－15°＝30°，所以∠ODC ＝∠ADC －∠ADB ＝90°－30°＝60°.因为四边形ABCD 为矩形，所以△OCD 为等腰三角形，所以∠COD ＝180°－2∠ODC ＝60°，所以△OCD 是等边三角形，所以OC ＝CD .又在Rt △ECD 中，∠EDC ＝45°，所以CE ＝CD ，所以OC ＝CE .又因为四边形ABCD 是矩形，所以∠OCE ＝∠ADB ＝30°，所以在△CEO 中，∠COE ＝12(180°－∠OCE )＝12×(180°－30°)＝75°. 7 D.8．30或14 39．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FEA ＝∠ECD ，∠DAC ＝∠ACB ＝21°.∵∠ACF ＝∠AFC ，∠F AE ＝∠FEA ，∴∠ACF ＝2∠FEA .设∠ECD ＝x °，则∠ACF ＝2x °，∴∠ACD ＝3x °. 在Rt △ACD 中，3x °＋21°＝90°，解得x ＝23. ∴∠ECD 的度数为23°.10．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF ，∴∠DEA ＝∠B ＝90°. ∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD .在△ABF 和△DEA 中，∠AFB ＝∠DAE ，∠B ＝∠DEA ，AF ＝AD ， ∴△ABF ≌△DEA (AAS)．(2)由(1)知△ABF ≌△DEA ，∴DE ＝AB . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°，DC ＝AB ， ∴DC ＝DE ，∠C ＝∠DEF .在Rt △DEF 和Rt △DCF 中，DF ＝DF ，DE ＝DC ， ∴Rt △DEF ≌Rt △DCF ，∴∠EDF ＝∠CDF ， 即DF 是∠EDC 的平分线． 11．D 12.10－113．解：(1)证明：根据折叠知，∠DBC ＝∠DBE .又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴FD ∥BG .又∵DG ∥BE ，∴四边形BFDG 是平行四边形． 又∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形． ②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2， 解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152.14．1315．证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，FD ⊥BC ， ∴∠BED ＝∠FDC ＝90°，∴∠1＋∠B ＝90°，∠3＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠3.∵G 是Rt △FDC 的斜边的中点， ∴GD ＝GF ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2. ∵∠FDC ＝∠2＋∠4＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°，∴∠2＋∠FDE ＝90°，即GD ⊥DE .16．(1)192 (2)96 48 3[解析] (1)∵四边形ABCD 是矩形，AC ＝20，AB ＝12， ∴∠ABC ＝90°，BC ＝AC 2－AB 2＝202－122＝16， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝12×16＝192. (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴▱OBB 1C 是菱形，∴OB 1⊥BC ，A 1B ＝12BC ＝8，OA 1＝12OB 1＝OB 2－A 1B 2＝6，∴OB 1＝2OA 1＝12，∴S 菱形OBB 1C ＝12BC ·OB 1＝12×16×12＝96.∵BC ⊥OB 1，∴四边形A 1B 1C 1C 是矩形， ∴S 矩形A 1B 1C 1C ＝A 1B 1·A 1C ＝6×8＝48. …第n 个平行四边形的面积S n ＝1922n ，∴S 6＝19226＝3.17．(7，3)或(15，1)或(23，－2) [解析] ∵点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)， ∴BC ＝OA ＝4，OB ＝AC ＝7. 分两种情况：(1)当点A ′在矩形AOBC 的内部时，过点A ′作OB 的垂线交OB 于点F ，交AC 于点E ，如图①所示．当A ′E ∶A ′F ＝1∶3时，∵A ′E ＋A ′F ＝BC ＝4，∴A ′E ＝1，A ′F ＝3. 由折叠的性质得OA ′＝OA ＝4. 在Rt △OA ′F 中，由勾股定理得OF ＝42－32＝7， ∴A ′(7，3)；当A ′E ∶A ′F ＝3∶1时，同理得A ′(15，1)．(2)当点A ′在矩形AOBC 的外部时，此时点A ′在第四象限，过点A ′作OB 的垂线交OB 于点F ，交AC 于点E ，如图②所示．∵A ′F ∶A ′E ＝1∶3，∴A ′F ∶EF ＝1∶2， ∴A ′F ＝12EF ＝12BC ＝2.由折叠的性质得OA ′＝OA ＝4.在Rt △OA ′F 中，由勾股定理得OF ＝42－22＝23，∴A ′(23，－2)． 故点A ′的坐标为(7，3)或(15，1)或(23，－2)．。
北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。
数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定(3)同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定（3）同步训练（含解析）B.C. 3D.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（）A.B.C.4D.26.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE 的长是（）A.B. 2C.2D.47.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A.AC＝DEB.AB＝ACC.AD＝ECD.OA＝OE8.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：①m+n=q+p；②m+p=n+q；③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；④若m=n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④9.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A.15B.20C.35D.4010.如图，在中，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于( )A.2B.C.D.二、填空题11.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD 的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF 长为________.12.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为________．13.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC ＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．15.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为________．16.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三角形；③AC=3OG；④S △AOG = 61 S △ABC其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题17.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．18.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，EF⊥CE 且与AB 相交于点F ，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF ，求AE的长。
最新北师版初中数学九年级上册1.2 第1课时矩形的性质1过关习题及解析答案
1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．5．矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．83cm2B．43cm2C．23c m2D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E 处，则∠ABE的度数是（）A．29°B．32°C．22°D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BC O的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（）A．5B．4 C．23D．712．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且A E=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．答案:1．有一个角是直角的平行四边形2．平行四边形，平行四边形（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等3．中心对称，轴对称，2 4．4，4 5．3 6．437．A 8．B 9．B 10．C 11．D 12．15°13．证四边形BDCE是平行四边形，得CE=•BD=AC14．3 15．（1）s=52t （2）s=-52t+35 （3）略。
北师大九年级上1.2矩形的性质与判定(第3课时)同步练习含答案
初中数学·北师大版·九年级上册——第一章特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定测试时间:15分钟一、选择题1.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A.AB=CD,AD=BC,AC=BDB.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BDD.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD答案 C ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴A能判定四边形ABCD为矩形;∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴B能判定四边形ABCD为矩形;∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥DC,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∴C不能判定四边形ABCD为矩形;∵∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴AD∥BC.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴D能判定四边形ABCD为矩形.故选C.2.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6B.8C.6D.6答案 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=AC=6.∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=-=3.∴BC=2EC=6.故选A.二、填空题3.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.答案14解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,∴AO=OC=OD=OB,∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,即8OA+2AB+2BC=86厘米,∵矩形ABCD的周长是30厘米,∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= .答案75°解析∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴∠BAE=∠AEB=45°,∴AB=BE,∵BO=BE,∴AB=BO=OA,∴△BAO是等边三角形,∴∠ABO=60°,∴∠OBE=90°-60°=30°,又∵OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=×(180°-30°)=75°.三、解答题5.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.(1)求证:AF=DC;(2)当AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形?并说明理由.解析(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E为AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.(2)当AD=CF时,四边形AFDC是矩形.理由如下:由(1)得:AF=DC,又∵AF∥DC,∴四边形AFDC是平行四边形,又∵AD=CF,∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,那么EF=DC吗?试说明理由.解析EF=DC.理由如下:∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=AD=DB=AB,∵DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,∴DE⊥AC,DF⊥BC,∠ADE=∠EDC,∠CDF=∠BDF,又∵∠ADC+∠BDC=180°,∴∠EDC+∠CDF=×180°=90°.∴四边形ECFD是矩形,∴EF=DC.。
北师大版九年级数学上册 1 2 1 矩形的性质 练习题 (含答案)
1.2.1 矩形的性质一、单项选择题1. 在下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是( )A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( )A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A．①②③ B．②③④ C.②⑤⑥ D．④⑤⑥4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A．33cm B．4cm C．23cm D．3cm5. 直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长为( )A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．10.56. 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题7. 已知在四边形ABCD中，AB平行于CD，请添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，加上的条件可以是．8. 已知直角三角形斜边的中线长为3，则斜边长为．9. 如图，一张矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数为．10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB 的长是 cm．11. 如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为．12. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为．13. 如图，在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为 cm．三、解答题14. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，求OC.15. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm.求AE的长．16. 矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.17. 矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.答案： 一、1-6 CDCBA C 二、 7. ∠A＝90° 8. 6 9. 90° 10. 3 11. 10 12. 6 13. 103三、14. 解： OC ＝4.15. 解：在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥CE，∴∠AEF＋∠CED＝90°. ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠CED＝∠AFE.∵EF＝EC ，∴△AEF≌△DCE.∴AE＝CD. 又∵矩形ABCD 的周长是32cm ，∴AD＋CD ＝12×32＝16.∴2AE＋DE ＝16，即2AE ＝16－DE,2AE ＝12，AE ＝6cm.16. 证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD ＝BC ， ∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE＝12AD ，CF ＝12BC ，∴AE＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形；(2)∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF，∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH，在△DEG 和△BFH 中⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE＝∠BHF ∠EDG＝∠FBHDE ＝BF ，∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG ＝FH.17. 证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD ＝BC ， ∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE＝12AD ，CF ＝12BC ，∴AE＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形；(2)∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF，∵AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBH，在△DEG 和△BFH 中⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE＝∠BHF ∠EDG＝∠FBH，DE ＝BF ∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG ＝FH.。
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1.2矩形的性质与判定
第1课时矩形的性质
1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）
A．对角线互相平分 B．邻角互补．对角相等 D．对角线相等
2．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
3、如左下图，在矩形ABD中，两条对角线A和
BD相交于点O，AB＝OA＝4 c，求BD与AD的长
4、如右上图，矩形ABD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角
线A的长是______
5、已知：△AB的两条高为BE和F，点M为B的中点求证：ME＝MF
6、如左下图，矩形ABD中，A与BD相交于一点O，AE平分∠BAD若∠EAO＝15°
求∠BOE的度数．
7、把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）
A．85° B．90°．95° D．100°
8、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FA=_______，
∠FA=________．
9、如右图，在矩形ABD中，EF∥AB，GH∥B，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等
的四边形有（）
A．3对 B．4对．5对 D．6对
10、如图4，矩形ABD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABD•的面积为（）
A．98 B．196 ．280 D．284
11、如左下图所示，矩形ABD中，M是B的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36 c，求此矩形的面积。
E
D C
12、如右上图，折叠矩形，使AD边与对角线BD重合，折痕
是DG，点A的对应点是E，
若AB=2，B=1，求AG
=，且13、如右下图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF CE
⊥=，
EF CE DE cm
,2
矩形ABCD的周长为16cm，求AE与CF的长．
15、【提高题】
如图，将矩形纸片ABD沿对角线A折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与D交于点E （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明
（2）若AB=8，DE=3，P为线段A上的任意一点，
PG⊥AE于G，PH⊥E于H，试求PG+PH的值，并说明理由
矩形的性质 答案
1、【答案】 D
2、【答案】 D
3、【答案】BD ＝8 c ，AD ＝34 (c)
4、【答案】 4
5、【提示】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6、【答案】 ∠BOE=○75
7、【答案】 B
8、【答案】 90° 45°
9、【答案】
10、【答案】
11、【答案】 72
12、【答案】
13、【答案】 3＝AE ， 26＝CF
14、【答案】
2
15－。