舟山市2012-2013学年高一期末学科质量检测数学试题

舟山市2012-2013学年高一期末学科质量检测数学试题
参考答案
一、选择题（每小题5分）
二、填空题（每小题4分）
11．
4
1 12. -1 13. 33π
15. 18 16. (0,2)
三、解答题 17.(本题满分6分)计算：03)8.9(27log 4lg 25lg -+-+
解：原式
分分1----235------123213
log 10lg 2332=+-=+-=
18.(本小题满分12分)已知集合}.0))(9(|{},06|{2<---=<--=m x m x x B x x x A
（1）当2=m 时，求;C B A R
（2）若,A B A = 求实数m 的取值范围。

解：（1）当2=m 时，分）（2------11,2),3,2(=-=B A
分2),11[]2,(----+∞-∞= B C R 所以分2]2,2(-----=B C A R
（2）
269322,,),9,(-≤≤-⇒⎩⎨⎧+≤≥-∴----⊆∴=+=m m m B A A B A m m B 分
所以m 的取值范围是分4]2,6[----------
19.(本题满分12分)已知函数4
3sin 23cos sin 23)(2+-⋅=x x x x f （1)求函数)(x f 的单调递增区间；
（2)已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若,0)(=A f ,2,3==b a 求ABC ∆的面积S.
(1)由题知，f (x )＝32sin x cos x －32sin 2x ＋34＝34sin 2x ＋34cos 2x ＝32sin(2x ＋π3
)．-------4分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12
，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12
]，k ∈Z.-----2分 (2)由(1)及f (A )＝0，得
32sin(2A ＋π3)＝0，解得A ＝π3或A ＝5π6. 又a <b ，所以A ＝
π3-------2分 .由a sin A ＝b
sin B
，得sin B ＝1，则B ＝π2，所以C ＝π6，-------2分 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝32
.----------2分
20.(本题满分12分)已知正项数列}{n a 中，11=a ，点))(,*1N n a a n n ∈+（在函数12+=x y 的图象上，
数列}{n b 的前n 项和n n b S -=2
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）设,log 1
1
21++-=n n n b a c 求数列}{n c 的前n 项和n T
【解】 (1)∵点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1图象上，
∴a n ＋1＝a n ＋1，
∴数列{a n }是公差为1的等差数列．
∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，------------2分
∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，
两式相减得：b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，----------2分
即b n ＋1
b n ＝12
，由S 1＝2－b 1即b 1＝2－b 1，得b 1＝1.
∴数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，
∴b n ＝(12)n －1
.-------------------2分
(2)log 2b n ＋1＝log 2(12)n
＝－n ，
∴C n ＝1n n ＋1＝1n －1
n ＋1，-------------2分
∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n
＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1
n ＋1)
＝1－1n ＋1＝n
n ＋1.----------------------4分
21.(本题满分14分) 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足1233OC OA OB =+.
（1）求证：23
AC AB =； (2)已知()1,cos A x 、()1cos ,cos 0,2B x x x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭，记2()23f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭ ①若)(x f 的最小值为32
-，求实数m 的值； ②当]1,0[∈m ，]2
,0[π∈x 时，存在],1,0[∈t 使得),(4)](1[42x f t x f t t ⋅≤-++求m 的最大值。

21.解：(1)由已知得()23OC OA OB OA -=
- 即23AC AB =……………………………2分 （2）① 1233OC OA OB =+ ∴)cos ,cos 3
21(x x OC += ∵()cos ,0AB x =，∴2()23f x OA OC m AB ⎛
⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭
2221cos cos 2cos 33x x m x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝
⎭…………………………………1分 ()22cos 1x m m =-+-……………………………………………………1分
∵0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈ .10当0m <，当且仅当cos 0x =时，
()f x 取得最小值为1（舍去）……………………………………………1分 .20当01m ≤≤时，当且仅当cos x m =时，()f x 取得最小值为21m -，
2
m =±
（舍去）……………………………………………………1分
.30当1m >时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值为22m -， 372224m m -=-
⇒=………………………………………………1分 综上74
m =……………………………………………………………1分 当],1,0[∈t )()
1(44)(4)](1[422x f t t t x f t x f t t ≤+++⇔⋅≤-++ 由题意得的最小值的最小值)()
1(442x f t t t ≤+++----------2分 而4
341)11412411141)1(442=-++≥-+++=+++t t t t t t t （-----------2分 由上可知当01m ≤≤时，当且仅当cos x m =时，()f x 取得最小值为2
1m -， ∴,21211432≤≤-⇒-≤m m 又]1,0[∈m ，∴210≤≤m ，即m 的最大值为21--2分。