高考数学 第21题优美解 新课标

2011年全国高考数学（新课标）第21题（理）试题优美解

试题（21）（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值。 优美解：（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+

⇒==⇔= 得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+

⇒==-+

()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）21()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增，但 x →-∞时，()h x →-∞与条件()0h x ≥矛盾。

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>⇔<<

<⇔>

当x =max ()2e F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为

2e 赏析：函数与其导数，不等式的有机结合，给考查学生的综合应用能力和理解推理论证提供了很好的空间。