安徽省六校教育研究会2013届高三测试数学理

安徽省六校教育研究会2013届高三联考
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的
1.复数2
1
(1)i
+的虚部是( )
A ．0
B ．2
C ．2-
D ．2i -
2.命题p ：若a ，b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|＞1的充分而不必要条件． 命题q ：函数21--=x y 的定义
域是(][)+∞⋃-∞-,31,，则 ( )
A.“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真
C.p 真q 假
D.p 假q 真
3.在极坐标系中，以A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（ ） A .ρ=4sin θ B.ρ=2 C.ρ=4cos θ D. ρ=2sin θ+2cos θ
4.
已
知
集
合
}
R
M ∈+==λλ),4,3()2,1(
，
}
R N ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，
则N M ⋂等于( )
A ．{(1,1)}
B ．{(1,1)，(－2，－2)}
C ．{(－2，－2)}
D ．φ 5.右图给出的是计算
20
1614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入关于i 的条件是 .（ ）
A.i=10
B.i ≥9
C.i ≤10
D.i ≥11
6.若双曲线12
2
=+
m
y x 的一条渐近线的倾斜角∈α(0，3π),则m 的取值范围是（ ） A.()0,3- B.()
0,3- C.()3,0 D.）（0,3
3
-
7.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右 图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的 线段长为22，则该球表面积为( )
A ．9π
B ．3π C
． D ．12π
8.角α的顶点在坐标原点O,始边在y 轴的正半轴上，终边在第三象限过点P ,且4
3
tan -
=α；角β的顶点在坐标原点O,始边在x 轴的正半轴上，终边在第二象限经过点Q ，且2tan -=β，则POQ ∠cos 的值为（ ）
A.
55 B. 55- C. 25511 D. 25
511- 9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（ ） A.
31. B. 32 C.6329 D.63
22 10.设,10a b +<<若关于x 的不等式2
2
)()(b x ax -<的解中恰有四个整数，则a 的取值范围是（ ）
A.13-<<-a
B. 21<<a
C. 32<<a
D. 63<<a
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11.已知不等式组10
10330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域为D ，若直线y=kx +1将区域D 分成面积相等的两部分，
则实数k 的值是 ．
12.某单位为了了解用电量y （度）与气温)(0
C x 之间的关系，统计了某4天的用电量与当 天气温，数据如下表：
由表中数据可得线性回归方程ˆy
bx a =+中的2b =-，预测当气温为10C -︒时，该单位用电量的度数约
为_______度．
13.高三某班级有6名同学参加自主招生，准备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________。

（用数字作答）
14.设函数)(,)2(1)11()
2()2()(211n f a x dx x x x a x f n x
=⎪⎩⎪
⎨⎧<--≥-=⎰
-π，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为 .
15.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]a b 内是单调函数；（2）()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有__________（只需填符合题意的条件序号）
①)0()(2
≥=x x x f ； ②()()x
f x e x =∈R ；
③)0(14)(2≥+=
x x x
x f ；
④)1,0)(8
1(log )(≠>-=a a a x f x
a
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
函数1)sin()(-+=ϕωx A x f
,00>>ω，（A ϕ)2
π
<
的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为
2π
，且经过点)2
1,12(π-. (1)求函数)(x f 的单调递增区间；
(2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.
17.（本小题满分12分）美国NBA 总决赛采用七局四胜制，赛前预计2012年参加决赛的两队实力相当，且每场比赛组织者可获得200万美元，问： （1）比赛只打4场的概率是多少？
（2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？ （3）组织者在本次比赛中获利的期望是多少？
18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F
A F C =．
（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求证：FC ∥平面EAD ； （3）求二面角B FC A --的余弦值．
19.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>
(2,0)M ，椭圆短轴
的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程；
(2）设过点M 且斜率不为0的任意直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分13分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>。

)()(''x g x f 、分别是)()(x g x f 、的导函数。

（1）若(1)(1)f g =，)1()1('
'g f =，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若
存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由;
（2）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点1x 和2x ，且1x 、0x 、2x 成等差数列，)('
x G ＇是)(x G 的导函
数，试探究)(0'
x G ＇值的符号．
21.（本小题满分14分）已知曲线C :1xy = ，过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率1
2
n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，其中7
111=x （1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列}3
1
21{
+-n x 是等比数列；
（3）求证：23123(1)(1)(1)(1)1(*)n n x x x x n -+-+-+-<∈N
安徽省六校教育研究会2013年高三素质测试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分) 11．
13 12．80 13．540 14．)4
7
,(-∞ 15．①③④ 三 解答题： 16．
解：（１）由已知：3,2,,()3sin(2)133
A f x x ππ
ωϕ===
=+- ……….3分
令222232k x k πππππ-≤+≤+ 得5()1212
k x k k Z π
πππ-≤≤+
∈ 所以()f x
单调递增区间是5[,]()1212
k k k Z π
πππ-+
∈； ……….6分
（2）由7()5f α=，得4
sin(2)35
πα+=，
[,]124ππα∈ 所以3
cos(2)35
πα+=-
2()3sin()13cos()12636f απππαα+=+-=+-=1 1． ………12分
17. （本小题满分12分）
（1）依题意，某队以4：0获胜。

其概率为P=2×.8
1)21
(4= …………4分 （2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元，则至少打6场，分两种情况： （1）只打6场，则比赛结果应是某队以4：2获得胜利，
其概率为16
5
21)2
1(5
2
51
21=⋅
⋅⋅=C C P ,(2)打7场·，则比赛结果应是某队以4：3获得胜利，其概率为P 2=,16
5
)21(7
3612=
∙C C 由于两种情况互斥，∴P=P 1+P 2=85，
∴获利不低于1200万美元的概率为8
5
.………8分
（3设组织者在本次比赛中获利ξ万美元，则ξ的分布列为：
E ξ=8005.116216
1400161200410008=⨯+⨯+⨯+⨯
（万美元） ……………12分 18.（本小题满分12分）
（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．
因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点．
又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． 因为 O BD FO = ，
所以 ⊥AC 平面BDEF ． …………3分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
所以AD //BC ，DE //BF ， 所以 平面FBC //平面EAD ． 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ……6分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．
因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥
平面ABCD ． 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ， 所以1OB =， OA OF ==
所以 )3,0,
0(),0,
0,3(),0,1,0(),
0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．
所以 CF = ，,0)CB =
．
设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．
03,
033y x z x 取1=x ，得)1
,3,1(--=n ． …………10分
易知平面AFC 的法向量为
(0,1,0)=v ．
由二面角B FC A --是锐角，得 cos ,⋅〈〉=
=
n v n v n v
．
所以二面角B FC A --的余弦值为
5
15
． …………12分 (本小题也可以作出二面角的平面角，直接计算出该角的余弦值) 19.（本小题满分12分）
（1）解：由 2222
22
519a b b e a a
-===-， 得 23b a =. 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =.
所以椭圆C 的方程是22
194
x y +=. …………5分
（2）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 2
2
(49)16200m y my ++-=.
所以 1221649m y y m -+=
+，122
20
49
y y m -=+. 若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . 设(,0)P a ，则有
12120y y
x a x a
+=--.将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得
1212122(2)()
0(2)(2)
my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=.
将 1221649m y y m -+=
+，12
220
49
y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=. 由于上式对任意实数m 都成立，所以 9
2
a =.
综上，存在定点9
(,0)2
P ，使PM 平分APB ∠. …………12分
20.（本小题满分13分）
（1）由f (1)=g (1)，f ′(1)=g ′(1),得 b =1, a +b =2，解得a =b =1则g(x )=ln x +x ……2分
因()f x 与()g x 有一个公共点(1，1)，而函数()f x =2
x 在点(1,1)的切线方程为y=2x -1.下面验证 f (x )≥2x -1 ,g(x )≤2x -1 都成立即可．
由2
21x x -+≥0，得2
x ≥2x -1，知f ()x ≥2x -1恒成立．
设h ()x =ln x +x -(21)x -，即()h x =ln x -x +1，易知其在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以h ()x =ln x +x -(21)x -的最大值为(1)h =0，所以ln x +x ≤2x -1恒成立．
故存在这样的k 和m ，且k =2，m =1-...………6分
（2）G ′(x 0)的符号为正，理由为：∵G (x )=x 2＋2－a ln x －bx 有两个不同的零点x 1，x 2，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
x 12
＋2－a ln x 1－bx 1＝0x 22＋2－a ln x 2－bx 2＝0
，两式相减得x 22－x 12－a (ln x 2－ln x 1)－b (x 2－x 1)=0.
即x 1＋x 2－b =
2121
(ln ln )a x x x x --，于是G ′(x 0)＝2x 0－a x 0－b =(x 1＋x 2－b )－2a
x 1＋x 2
=2121(ln ln )a x x x x --－2a x 1＋x 2 = a x 2－x 1[ln x 2x 1－2112
2()x x x x -+] = a x 2－x 1[ln x 2x 1－2
1
2
12(
1)1x x x x -+]，
①当0<x 1<x 2时，令x 2x 1=t ，则t >1，且G ′(x 0)=a
x 2－x 1[ln t －2(1)1t t
-+]，
故ϕ(t )=ln t －2(1)1t t -+ (t >1)，ϕ′(t )=1
t －24(1)t +＝22(1)(1)
t t t -+>0，则ϕ(t )在[1，＋∞)上为 增函数，而ϕ(1)＝0，∴ϕ(t )>0，即ln t －
2(1)
1t t
-+>0，又a >0，x 2－x 1>0，∴G ′(x 0)>0， ②当0<x 2<x 1时，同理可得：G ′(x 0)>0，综上所述：G ′(x 0)值的符号为正．…….13分 21.解：（1）直线方程为),(),(2
1
111+++-+-
=-n n n n n n y x A x x x y y 因为直线过点， 2)(2
1
11)(2111111+=⇒-+-=-⇒-+-
=-∴+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x y y ． ……………………4分
（2）设,3
1
21+-=
n n x a 由（1）得 n n n
n n n a x x x x a 2)3
1
21(231221312111-=+--=+-+=+-=
++
又}3
1
21{
,021+-≠-=n x a 故是等比数列； ……………………8分 （3）由（2）得3
1
)2(12)2(-
-+
=⇒-=n n n
n x a
3
1
)1(212)1()1(⋅
--+
⋅-=-∴n
n
n n n x ……………………10分
当n 为偶数时，则
11
11111
2
2229
12312222)1()
1(-------⋅+<-
⋅+⋅+=-+-n n n n n n n n n n n
n n x x n n 21211+=-
2312321111
(1)(1)(1)...(1) (112222)
n n n n x x x x ∴-+-+-++-<
+++=-<； ………12分 当n 为奇数时，则2
3
123(1)(1)(1)...(1)1(1)n
n
n n x x x x x -+-+-++-<+- 而11)1(1,03
1
212<-=-+>+
-
=n n n n n x x x 所以
1)1(...)1()1()1(33221<-++-+-+-∴n n x x x x
综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)(1)1n n x x x x -+-+-+-< 成立． ………14分。