2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书文北师大版
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
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4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
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5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十讲变化率与导数导数的运算课件
【高分训练】
1.(2020 年全国Ⅲ)若直线 l 与曲线 y＝ x和 x2＋y2＝15都相切，
则 l 的方程为( )
A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
解析：设直线 l 在曲线 y＝ x上的切点为(x0, x0)，x0>0，函数 y＝ x的
导数为
y′＝2
1
x，则直线
应用中考查.
(续表)
课标要求
考情分析
3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，2.本考点是高考的必
y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数.
考知识点，既可以 选择题或填空题的
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和 形式独立考查，也
导数的四则运算法则，求简单函数的导数； 可结合导数应用在
5.能求简单的复合函数[限于形如f(ax＋b) ] 解答题中综合考查，
考点二 导数几何意义的应用
考向 1 求切线方程
[例 1]设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线
y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A.y＝－2x
B.y＝－x
C.y＝2x
D.y＝x
解析：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 a－1 ＝0，则a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1， 所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.
( x0
a),得
ex0 (1－x0＋a)＝b，则由题意知
关于 x0 的方程 ex0(1－x0＋a)＝b 有两个不同的解.设 f(x)＝ ex(1－x＋a)，则 f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由 f′(x)＝0
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版
fx＋Δx－fx 称函数 f′(x)＝_Δlix_m→_0_______Δ_x______为 f(x)的导函数．
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(4)∵y＝1－1 x＋1＋1 x＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
[谨记通法] 求函数导数的三种原则
考点二 导数的几何意义 常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低 档题．
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
lim
Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导
数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy＝__Δ_lix_m→_0_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_. (2)导数的几何意义 ：
f′xgx－fxg′x
(3) gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
[小题体验]
1．曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为
高三数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(
)
A．xsin x
C．xcos x 【解析】 【答案】
B．－xsin x
D．－xcos x f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( A．e2 B． e ln 2 C. D．ln 2 2
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
导函数 f′(x)＝_________ n·xn－1 cosx f′(x)＝__________ f′(x)＝__________ －sinx
f(x)＝sin x
f(x)＝coaxlna (a＞0)
f(x)＝ex
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念 (1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数： ①定义：称函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率
____________________为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝ x0.
②几何意义：函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义 切线斜率 ． ( 瞬时速度就 是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x ， f(x ) 处的 __________
（2x＋3）′ · （x2＋1）－2xln（2x＋3） 2x＋3 （x2＋1）2 2（x2＋1）－2x（2x＋3）ln（2x＋3） ＝ . 2 2 （2x＋3）（x ＋1）
1．本题在解答过程中常见的错误有： (1)商的求导中， 符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则． 2．求函数的导数的方法 (1) 连乘积的形式： 先展开化为多项式的形式 ，再 求
导；
2020届高考一轮复习数学(理科) 第二章 函数、导数及其应用第十节 变化率与导数、导数的计算
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_l_n_a
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，且 a≠1)
1 f′(x)＝__x___
1 f′(x)＝_x_ln__a_
4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_f_′(_x_)±___g_′(_x_) ___； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′_(x_)____； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（x[g）（－x）f（]2x）g′（x）(g(x)≠0)．
角度 求切点坐标 【例 2】 (2019·郑州月考)已知曲线 y＝x42－3ln x 的 一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) 解A．析3：设切点B．的2横坐标为C．x0(1x0>0)，D.12 因为曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12， 所以 y′＝x2－3x，即x20－x30＝12，解得 x0＝3. 答案：A
[变式训练]
1．若 y＝x－cos
x 2sin
x2，则 y′＝________．
解析：因为 y＝x－12sin x，
所以 y′＝x－12 sin x′＝x′－12sin x′＝1－12cos x. 答案：1－12cos x
2．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)＝________．
解析：(1)f′(x0)表示 y＝f(x)在 x＝x0 处的切线斜率， (1)错．
(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则 f′(x)＝－cos x，(2)错． (3)求 f′(x0)时，应先求 f′(x)，再代入求值，(3)错． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
高考数学大一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件
2．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导 数的乘积．
判断正误
(1)sin
π3′＝cos
π 3
(2)若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
( ×) ( ×) ( √)
基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行简单复合函数的求导． (二)小题查验 1．判断正误
[类题通法] 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利 用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可 以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中 间变量，确定复合过程，然后求导．
D．3x－y＋1＝0
解析：∵y＝sin x＋ex， ∴y′＝cos x＋ex， ∴y′x＝0＝cos 0＋e0＝2， ∴曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 2x－y＋1＝0.故选 C.
基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知
能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． (二)小题查验
2020年浙江高考数学一轮复习：变化率与导数、导数的运算
••>必过数材美1. 导数的概念⑴函数y= f(x)在x = x o处的导数：函数y= f(x)在x= x o处的瞬时变化率li附0牛li碍0W fxo为函数y= f(x)在x= x0处的导数，记作f' (x o)或y' |x = x o，即f' (x o) = li 知0 严=ligO fxo+A x~ fxo .(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点X o处的导数f' (X o)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x o，y>)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—y o= f' (x o)(x —x o)_(3) 函数f(x)的导函数：称函数f' (x)= li A xrto ~x+ A xx^f-为f(x)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数n *f' (x)= n x n 1 2f(x)= x (n € Q)f(x)= sin x f' (x) = cos xf(x)= cosx f' (x)=—sin xx ln axf(x)= a (a>o)f' (x)= af(x) = e x f' (x) = £f(x)= log a x(a>o,且a* 1) f (x)= xln af(x) = In x1f' (x)=- ' 'x3.1 [f(x) dg(x)] '= f'(X) ±'(X)；2 [f(x) g(x)]'= f' (x)g(x)+ f(x)g' (x);［小题体验］1.下列求导运算正确的是(, 1B . (log2x)=而22+ x (cos x)' = 2xcosx — x sin x . 2.曲线y = x 3 — x + 3在点(1,3)处的切线方程为 答案：2x — y + 1 = 0必过易措关1.利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式 导公式(a%)' = ^In a 混淆.2.求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而 后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有 差别.［小题纠偏］1.函数y =呼的导函数为 答案：y '= —e 戶xe12. (2018杭州模拟)函数f(x) = x 2 + 一的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )f 'xgx — fxg x(g(Z0). ［gx ］4.复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数 y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= y u ' u x ',即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与 u 对x的导数C . (3x )'= 3xlog 3e 2D . (xcosx)'=— 2sin x解析：选B1 x y2 =1 — ~2； (3 )' = 3 In 3; x cosxx, )'=(x 2)zcos x 故选B.(x a )' = ax a "与指数函数的求A . x — y + 1 = 0B .3x — y — 1 = 0C . x — y — 1 = 0 3x —y +1 = 0切点为(1,2),可得图象在点 (1, f(1))处的切线方程为y — 2= x — 1,解析：选A1函数f(x) = x 2+1的导数为f '(x)=2x -x 2，可得图象在点 (1, f(1))处的切线斜率为k = 2— 1= 1,即为x — y + 1 = 0.故选A.』=鶴當°會闻奧館 圍詢^舎悔啄 酪圃區 金伺爾匪愿考点一导数的运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］求下列函数的导数. (1) y = x 2sin x ; 1(2) y = In x + X ；(3)y =讐； (4)(易错题)y = xsin 2x + 2 cos 2 (5)y = ln(2x — 5).解：(1)y ‘ = (x )' sin x + x (sin x)2=2xsin x + x cosx.1 1=_—飞 x xsin x + cosxxe(4) ■/ y = xsin 1 1=^xsin(4x + n= — ^xsin 4x , . / …y 1 1 =—^sin 4x — ^x 4cos 1=—2sin 4x — 2xcos 4c.(5)令 u = 2x — 5, y = In u ,［谨记通法］求函数导数的3种原则2x +n ； (2)y 'ln x +=(In x)(3)y '=讐'cosx 'e x — cosx e x (e )则 y ' = (In u)' u1 2 2x — 5 2= 2x — 5,即y '2 2x — 5.2x + n bosg +［提醒］复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元.考点二 导数的几何意义 题点多变型考点 一一多角探明 ［锁定考向］导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在 解答题的第 ⑴问中，难度偏小，属中低档题.常见的命题角度有： (1) 求切线方程; (2) 求切点坐标; (3)求参数的值(范围).［题点全练］角度一：求切线方程x 一 11.曲线y =——在点(0 , - 1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )X + 1程为y + 1= 2x ，即y = 2x — 1,与两坐标轴的交点坐标分别为 (0,— 1), ；，0 ,所以与两1 1 1坐标轴围成的三角形的面积S = 2X |— 1|X 1 = 4.角度二：求切点坐标2. (2018湖州模拟)曲线f(x) = X 3 + X — 2在P o 处的切线平行于直线 y = 4x — 1，贝V P 。
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件 理
(2)已知 f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)
的图象都相切，与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m＝ －2 .
解析：∵f′(x)＝1x，∴直线 l 的斜率 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为 y＝x－1.g′(x)＝x＋m， 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m＜0，∴m＝ －2.
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与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1))，即解方 程 f′(x1)＝k. (2)求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点 的切线，①曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0) ＝f′(x0)(x－x0)；②求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切 点 A(x0，f(x0))，则切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. (3) 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 参 数 的 值 时 ， 一 般 是 利 用 切 点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
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(2)分别求下列函数的导数： ①y＝exlnx；②y＝xx2＋1x＋x13； ③y＝x－sin2xcos2x；④y＝ln 1＋2x.
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解：①y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x. ②∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. ③∵y＝x－12sinx，∴y′＝1－12cosx. ④∵y＝ln 1＋2x＝12ln(1＋2x)， ∴y′＝12·1＋12x·(1＋2x)′＝1＋12x.
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书
第十节 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝limΔx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174 C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 【导学号：】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]导数的计算(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln(2x －9)．[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .4分(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.6分(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．10分(4)令u ＝2x －9，y ＝ln u ， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x . 因此y ′＝12x －9·(2x －9)′＝22x －9.15分 [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． [变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义☞角度1 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程. 【导学号：】 [解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.6分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.9分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，12分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.15分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2(2)(2017·嘉兴检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12 (1)B (2)A [(1)设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.(2)由y′＝－2x－12得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.[思想与方法]1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十二)变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) 【导学号：】A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)C[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )A．－e B．－1C．1 D．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0C [y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.] 4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]5．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254D.132C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]二、填空题6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________. 【导学号：】2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2101，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图21010 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x. 【导学号：】[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.5分(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10分(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2.15分 10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，2分 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.9分(2)由(1)得k ≥－1，12分所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2； 对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.]2．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：】y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.]3．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.2分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ， 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.8分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.12分曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.15分。
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算课件理新人教版
方向 3 未知切点的切线问题
【例 4】 (1)(2019·西安八校联考)曲线 y＝x3 上一点 B 处的切线 l
交 x 轴于点 A，△OAB(O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切
线 l 的倾斜角为( C )
A．30°
B．4ห้องสมุดไป่ตู้°
C．60°
D．120°
(2)(2019·广州市调研测试)已知直线 y＝kx－2 与曲线 y＝xlnx 相切，
解析：函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝ 3，在 x＝2 处的导数为 f′(2)＝2×2＝4.
3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2lnx 在点(1,0)处的切线方程为
y＝2x－2 .
解析：由题意知，y′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜 率 k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 y＝2x －2.
4．函数 y＝xcosx－sinx 的导数为( B )
A．xsinx
B．－xsinx
C．xcosx
D．－xcosx
解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′ ＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
5．(2018·天津卷)已知函数 f(x)＝exlnx，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(1)
Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
即 f′(x0)＝
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
2．导数的几何意义
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的运算课件理
3．过点(1，－1)的曲线 y＝x3－2x 的切线方程为________． 解析：设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x20－2. 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0)． 即 y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．
必修(bìxiū)部分
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第十节 变化率与导数(dǎo shù)、导数(dǎo shù)的运算
第一页，共27页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目 导
基础(jīchǔ)自主 2
梳理
3 考点(kǎo diǎn) 疑难突破
航
4 课时跟踪检测
第二页，共27页。
1
考情分析
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
；
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝___________[g__x__]2___________ (g(x)≠0)．
第八页，共27页。
4．复合函数的导数 复合函数 y＝f[g(x)]的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝ _y_u_′·_u_x′______，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
第二十页，共27页。
∵点 P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为 k＝x20＝1， 解得 x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为 y－53＝x－1 或 y－1＝x＋1. 即 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0.
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第十节 变化率与导数、导数的计算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．有关导数的基本概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B ．174C ．154D ．134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.] 3．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．(2016·豫北名校期末联考)曲线f (x )＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【导学号：66482098】5x ＋y ＋2＝0 [∵f ′(x )＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝f ′(0)＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.](1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝cos x ex .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝xx－cos xxx2＝－sin x ＋cos x ex. [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( )【导学号：66482099】A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]☞角度1 求切线方程已知曲线f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且f ′(x )＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0. 5分(2)设曲线f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. 7分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，9分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 12分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【导学号：66482100】(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(1)B (2)A [(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标． 易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f ′(x 0)是函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性． [易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．。