湖南省长沙市一中高三月考试卷(六)理科数学

高三月考试卷（六）理 科 数 学命题：长沙市一中高三数学备课组时量:120分钟满分:150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x y 2-=按向量a =（-2，3）平移后，得到的直线方程为 （D ）A.32--=x yB.32+-=x yC.42+-=x yD.12--=x y 【解析】⎩⎨⎧-'=⇒+='+'=⇒-='3322y y y y x x x x .∴12012)2(23--=⇒=+'+'⇒+'-=-'x y y x x y .2．已知集合}12|{+==x y x A ，}1|{2++==x x y y B ，则B A 等于 （D ）A ．)}3,1(),1,0{( B.R C.),0(+∞ D.),43[+∞3.函数)2(231)(≠-+=x x xx f 的反函数)(1x f y -=的一个单调减区间是 （C ） A.),2(+∞- B.),2(+∞ C.),3(+∞ D.),3(+∞-【解析】312)(1-+=-x x x f ，∴)(1x f -在)3,(-∞和),3(+∞上单调递减，故选C 。

4．数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2008a 等于 （A ）A ．2 B.31-C.23- D.1 【解析】2211,23321,31,24321=--=-=-=-==a a a a . ∴}{n a 是周期为3的周期数列，∴21166932008===+⨯a a a .5．代数式522)1)(524(+--x x x 的展开式中，含x 4项的系数是 （A ） A ．－30 B ．30 C ．70 D ．90【解析】24x ·)5(C 215-+x ·25C ·44422305020)(x x x x -=-=. 6△ABC 中，已知：2:1:1sin :sin :sin =C B A ，且21=∆AB CS ，则∙+∙+∙ 的值是 （C ）A ．2 B.2 C.－2 D.2- 【解析】由正弦定理得：2:1:1::=c b a ，设a =k ,则)0(2,>==k k c k b . 又22222c k b a ==+，∴2π=∠C ，又S △ABC 21212==k ，∴12=k . ∴原式2)2()(022-=-=-=∙=+∙=∙++∙=k AB BA AB CA BC AB AB CA BC AB . 7．若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)-f (x 1) |<|x 2-x 1|恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 （A ）A ．xx f 1)(=B.||)(x x f =C.2)(=x f xD.2)(x x f = 【解析】|||||||11||)()(|12211221211212x x x x x x x x x x x x x f x f -<-=-=-=-，成立. |||||||||)()(|121212x x x x x f x f -=-=-，不满足.可知选项B 不正确.(2x ) ′=2x ln2在（1，2）上恒有2x ln2>1，不满足.可知选项C 不正确. (x 2) ′=2x >2不满足.可知选项D 不正确.8．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球， 又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为（C ）A.3B.6C.12D.18【解析】1°13A 211：122：⎭⎬⎫，，，，白黑 2°3A 211：311：13⨯⎭⎬⎫，，，，白黑 ∴.12A 3A 1313=+ 9．设双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ，直线l 过A （a ，0），B （0，b ）两点，若原点O 到l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为（B ） A.2332或 B.2 C.3322或 D. 332 【解析】作OH ⊥AB 于H ，则|AB|=.22c b a =+. ∴|OH|·|AB|=|OA|·|OB|⇒|OH|=cab. 由题知：cab =⇒c 4316a 2b 2=3c 4，即3e 4－16e 2+16=0，∴e 2=4或34， 又b >a ，∴e 2>2，∴e 2=4⇒e =2.10．对于任意的两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定当且仅当a =c , b =d 时（a, b ）=（c ，d ）；现定义两种运算，运算“⊗”为：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，bc+ad ）；运算“⊕” 为：（a ，b ）⊕（c ，d ）=（a+c ，b+d ）.设p 、q ∈R .若（1，2）⊗（p 、q ）=（5，0）.则（1，2）⊕（p ，q ）等于 （B ）A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，－4）【解析】（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0）⇒⎩⎨⎧=+=-0252q p q p ⇒⎩⎨⎧-==.21q p选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案DDCAACACBB二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上．）11．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为21. 12．设直线ax －y +3=0与圆(x －1)2+(y －2)2=4相交于A 、B 两点，且弦长为32，则a = 0 .【解析】.011|32|2=⇒=++-a a a13．已知：点P 的坐标（x ，y ）满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x 及A （2，0），则||·cos ∠AOP （O为坐标原点）的最大值是 5 .【解析】||·cos ∠AOP 即为在上的投影长由，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-∴||·cos ∠AOP 的最大值为5.14．关于x 的不等式：2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则a 的取值范围是 （－49，2） . 【解析】（数形结合）画出y 1=2－x 2，y 2=|x －a |的图象.由02222=--+⇒⎩⎨⎧-=-=a x x ax y x y . 由Δ=1+4（a +2）=0⇒a =－49. 由图形易得：a <2. ∴a ∈（－49，2）. 15．已知：f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意a 、b ∈R ，满足：f (a ·b )=af (b )+bf (a )，且f (2)=2，a n =nf n )2(-，则f (21)= －21 ；数列{a n }的通项公式a n = －n 21.【解析】令a =b =1⇒f (1)=2f (1) ⇒f (1)=0. f (2×21)=2f (21)+21f (2) ⇒0=2f (21)+21×2⇒f (21)=－21 f (n21)=f (21·121-n )=21f (121-n )+121-n f (21).∴f (n 21)=21f (121-n )－n 21=21［21f (221-n )－121-n ］－n 21=221f (221-n )－n22=…=121-n f (21)－n n 21-=－nn 2. ∴a n =nf n )2(-=－n 21.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知函数f (x )=3sin ωx ·cos ωx +23(ω∈R ，x ∈R )的最小正周期为π，且当x =3π时，函数取最大值. （1） 求f (x )的解析式；（2） 试列表描点作出f (x )在［0，π］范围内的图象.【解析】（1）f (x )=23sin2ωx －1)6π2sin(2322cos 1+-=++x x ωω (4分) ∵f (x )的周期为π， ∴|2|π2ω=π⇒|ω|=1，∴ω=±1.1° 当ω=1时，f (x )=sin(2x －6π)+1. ∵f (3π)=sin 2π+1=2是函数的最大值，∴ω=1. （5分） 2° 当ω=－1时，f (x )=－sin(2x +6π)+1. ∵f (3π)=－sin 6π5+1不是函数的最大值，∴ω=－1（舍去） （7分） ∴f (x )=sin(2x －6π)+1. （8分）（2）（10分）x6π 3π 2π 3π2 6π5 πf (x )21 23 223 21 021 作图如下.（12分）17．（本小题满分12分）国家射击队为备战2008年北京奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动.在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为32. （1）如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一枪．．．至少有一次击中的概率.（2）如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米（此后飞碟不在射程之内）.已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比．．．．．.求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率. 【解析】（1）记“队员甲在三次游戏中，第一枪至少有一次命中”为事件A . P (A )=1－P (A )=2726(5分) (2)记在一次游戏中“第i 次击中飞碟”为事件B i (i =1，2，3) P （B 1）=32，P （B 2）=32×（21）2=61，P （B 3）=32×（31）2=272. （8分） 又B i 是相互独立事件.∴P （B ）=P （B 1）+P （1B ·B 2）+P （1B ·2B ·B 3）=P （B 1）+P （1B ）·P （B 2）+P （1B ）·P （2B ）· P （B 3）=32+31×61+31×65×272=486361. （12分） 18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A =AB =32，AC =3，∠CAB =90°，P 、Q 分别为棱BB 1、CC 1上的点，且BP =31BB 1，CQ =32CC 1.（1）求平面APQ 与面ABC 所成的锐二面角的大小.（2）在线段A 1B （不包括两端点）上是否存在一点M ，使AM +MC 1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系A －xyz .A （0，0，0），P （32，0，2），Q （0，3，22），AP =（32，0，2），AQ =（0，3，22）.设平面APQ 的一个法向量为n 1=(x ,y ,z )⎪⎩⎪⎨⎧=+⇒==+⇒=.02230·.02230·21x y AQ n x x AP n 令z =3，则x =－1，y =－22，∴n 1=(－1，－22，3) 平面ABC 的一个法向量n 2=(0，0，1). ∴cos 〈n 1，n 2〉=.229813=++ ∴平面APQ 与面ABC 所成的锐角大小为45°. （6分） （1）问也可用传统方法求解.（并参照计分）（2）沿A 1B 将面A 1BC 1与面A 1BA 展开，连结AC 1与A 1B 交于点M ，此时AM +MC 1有最小值. ∵∠A 1AB =90°，AA 1=AB ，∴∠A 1AB =45°，又C 1A 1⊥面ABB 1A 1，∴C 1A 1⊥A 1B . ∴△AA 1C 1中，∠AA 1C 1=135° AC 1=5318918135cos 211121121=++=︒∙∙-+C A AA C A AA , ∴存在点M ，使AM +MC 1取最小值为35. （12分）19．（本小题满分13分）已知圆M ：(x +5)2+y 2=36及定点N （5，0），点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足CQ NQ NP ,2=·.0= （1）求点G 的轨迹C 的方程.（2）过点K （2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两，O 是坐标原点，设OB OA OS +=，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=∙=02NP GQ NQ NP ⇒Q 为PN 的中点，且CQ ⊥PN ⇒GQ 是PN 的中垂线.∴|PG |=|GN |.又|GM |+|GP |=|GM |+|GN |=|PM |=6.∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，a =3，c =5.∴b =22c a -=2，∴G 的轨迹方程是14922=+y x . （5分）（2）∵OB OA OS +=⇒四边形OASB 为平行四边形，假设存在直线l ，使|OS |=|AB |；则四边形OASB 为矩形. ∴OA ·OB =0. 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x =2.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=149222y x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧±==.3522y x∴OA ·OB =916>0，这与OA ·OB =0矛盾，故l 的斜率存在. (7分) 设直线l 的方程为y =k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2).⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149)2(22y x x k y ⇒（9k 2+4）x 2－36k 2x +36(k 2－1)=0 （9分） ∴x 1+x 2=493622+k k ，x 1x 2=49)1(3622+-k k .∴y 1y 2=［k (x 1－2)］［k (x 2－2)］=k 2［x 1x 2－2(x 1+x 2)+4］=－492022+k k .又OA ·OB =0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，49)1(3622+-k k －492022+k k =0 （12分） ∴k =±23.∴存在直线l ：3x －2y －6=0或3x +2y －6=0满足条件. （13分）20．（本小题满分13分）某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：AC =3，AB =33，BC =6. 工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起. 请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解析】设容器的高为x ，∵AC =3，AB =33，BC =6，∴BC 2=AC 2+AB 2⇒∠A =2π，∠C =3π， ∠CED =3π，∠FEG =3π，∴CD =DE ·tan ∠CED =3x . ∴GE =3－x －3x =3－(3+1)x . ∴GF =3GE =3［3－（3+1）x ］又GE >0，∴0<x <133+.设容器的容积为V ， 则V =21x ·3·［3－（3+1）x ］2 （6分） ∴V ′=23［3－（3+1）x ］2－3x ［3－（3+1）x ］·（3+1） =233［3－（3+1）x ］［1－（3+1）x ］ （7分） 令V ′=0，又0<x <133+，∴x =131+=213-. （10分） 当0<x <213-时，V ′>0，213-<x <133+时，V ′<0. ∴当x =213-时，V max =3－3. （13分） 21．（本小题满分13分）数列{a n }和{b n }，由下列条件确定：①a 1<0，b 1>0. ②当k ≥2时，a k 和b k 满足下列条件：当0211≥+--k k b a 时，a k =a k －1，b k =211--+k k b a ；当211--+k k b a <0时，a k =211--+k k ba ，b k =b k －1. (1)若a 1=－2，b 1=5，分别写出{a n }、{b n }的前四项. (2)证明数列{a k －b k }是等比数列.(3)设n ≥2，n 是满足b 1>b 2>…b n 的最大整数时，用a 1、b 1表示n 满足的条件.【解析】(1)a 1=－2，a 2=－2，a 3=－41，a 4=－41； b 1=5，b 2=23，b 3=23，b 4=85（3分） （2）当0211≥+--k k b a 时，a k －b k =22111-----k k k b a a =)(2111---k k b a 当211--+k k b a <0时，a k －b k =1112--+-+k k k b b a =)(2111---k k b a ， 又a 1－b 1≠0，数列{a k －b k }是等比数列. （9分） (3)当b 1>b 2>…>b n (n ≥2)时，b k ≠b k －1(2≤k ≤n ). 由（2）知：211--+k k b a <0不成立，∴211--+k k b a ≥0. 从而对于2≤k ≤n 有a k =a k －1，b k =211--+k k b a 于是a n =a n －1=…=a 1. （11分） ∴b n －a n =(b 1－a 1)·(21)n －1，∴b n =a 1+(b 1－a 1)·(21)n －1. ∴.)21)((221111n n n n a b a b a b a -+=+=+若2n n b a +≥0，则b n +1=2nn b a +. ∴b n +1－b n =－(b 1－a 1) (21)n<0，∴b n >b n +1. 这与n 是满足b 1>b 2>…b n (n ≥2)的最大整数矛盾.∴n 是满足2nn b a +<0的最小整数. 2n n b a +<0⇔a 1+(b 1－a 1) (21)n <0⇔<111a a b --2n .∴n >log 2 111a b a -. ∴n 是满足大于log 2 111a ba -的最小整数. （13分）。