2020-2021学年山西省大同市浑源县八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山西省大同市浑源县八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．3cm、4cm、5cm B．4cm、5cm、6cmC．2cm、4cm、7cm D．5cm、12cm、13cm2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°5．（3分）如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝（）A．80°B．90°C．100°D．110°6．（3分）如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，他每跑完一圈，跑步方向改变的角之和是（）A．540°B．360°C．180°D．108°7．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC 于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（）A．3B．4C．5D．69．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS10．（3分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙二、填空题（本大题含5个小题，每空3分，共15分）把结果直接写在横线上或按要求作答.11．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝．12．（3分）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是．13．（3分）如图，△ABC和△DEF的边AC，DF在同一直线上，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．（只写出一种情况即可）14．（3分）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为．三、解答题（本大题含6个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.16．（10分）（1）如图1，点C是线段AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE；（2）如图2，△ABC中，∠B＝∠C，若∠A＝70°，求∠B的度数．17．（6分）如图，在△ABC中，尺规作图：作△ABC的角平分线AE．（不写作法，保留作图痕迹）18．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC外部，且AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D、E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）若AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，求BE的长度．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（﹣1，0），C（5，0），如果△BCD与△ABC全等，请在图中画出满足条件的△BCD．21．（10分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE．（1）求证：BC＝AD；（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．四、解答题（本大题含2个小题，共20分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.22．（10分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）如果△ABC的两个内角分别为80°、75°，则△ABC（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；（2）如果一个直角三角形是“三倍角三角形”，则这个直角三角形三个角的度数分别为；（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为BC边上的一个动点（点D不与B、C重合），当△ABD是“三倍角三角形”时，求∠CAD的度数．23．（10分）综合与实践如图1所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外部作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，∠CAD＝∠CBE ＝90°，过点D作DF⊥l于点F，过点E作EG⊥l于点G．（1）如图2，当点E恰好在直线l上时（此时G与E重合），试证明：DF＝AB；（2）在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系．（不需要证明）参考答案一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．3cm、4cm、5cm B．4cm、5cm、6cmC．2cm、4cm、7cm D．5cm、12cm、13cm解：A、3+4＞5，能组成三角形，故此选项不合题意；B、4+5＞6，能组成三角形，故此选项不合题意；C、2+4＜7，不能组成三角形，故此选项符合题意；D、5+12＞13，能组成三角形，故此选项不合题意；故选：C．2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．解：根据三角形具有稳定性，四边形、五边形都不具有稳定性，可知B答案符合题意要求．故选：B．3．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．4．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故选：C．5．（3分）如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝（）A．80°B．90°C．100°D．110°解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×60°＝30°，∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝30°+70°＝100°．故选：C．6．（3分）如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，他每跑完一圈，跑步方向改变的角之和是（）A．540°B．360°C．180°D．108°解：由题意可得：他每跑完一圈，跑步方向改变的角之和即为五边形的外角和，∴跑步方向改变的角之和为360°，故选：B．7．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．8．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC 于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（）A．3B．4C．5D．6解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×2×4+×2×AC＝7，∴AC＝3．故选：A．9．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，在△OCD与△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′＝∠AOB．故选：A．10．（3分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．二、填空题（本大题含5个小题，每空3分，共15分）把结果直接写在横线上或按要求作答.11．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝60°．解：∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣50°＝60°，故答案为：60°．12．（3分）如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是130°．解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°＝130°．故答案为：130°13．（3分）如图，△ABC和△DEF的边AC，DF在同一直线上，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF或AF＝CD），使得△ABC≌△DEF．（只写出一种情况即可）解：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加条件AC＝DF或AF＝CD，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF或AF＝CD）．14．（3分）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为8m．解：在△CDE和△CAB中，，∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB＝8m，故答案为：8m．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为12．解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝12．故答案为：12．三、解答题（本大题含6个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.16．（10分）（1）如图1，点C是线段AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE；（2）如图2，△ABC中，∠B＝∠C，若∠A＝70°，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB，在△ACD和△CBE中，∵，∴△ACD≌△CBE（SSS）；（2）解：△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴70°+∠B+∠B＝180°，∴∠B＝55°．17．（6分）如图，在△ABC中，尺规作图：作△ABC的角平分线AE．（不写作法，保留作图痕迹）解：如图，AE为所作．18．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．解：∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC外部，且AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D、E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）若AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，求BE的长度．【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BEC＝∠D＝90°，∵∠BCE+∠ACD＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：∵△BEC≌△CDA（AAS）；∴CE＝AD，BE＝CD，∵AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，∴CE＝AD＝1.7（cm），∴BE＝CD＝CE+DE＝1.7+2.5＝4.2（cm）．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（﹣1，0），C（5，0），如果△BCD与△ABC全等，请在图中画出满足条件的△BCD．解：如图，满足条件的△BCD如图所示．21．（10分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE．（1）求证：BC＝AD；（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在Rt△ADB与Rt△BCA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），∴BC＝AD；（2）在△ADO与△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴AO＝BO，∴点O在AB的垂直平分线上，∵点E是AB的中点，∴点E在AB的垂直平分线上，∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．四、解答题（本大题含2个小题，共20分）解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.22．（10分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）如果△ABC的两个内角分别为80°、75°，则△ABC是（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；（2）如果一个直角三角形是“三倍角三角形”，则这个直角三角形三个角的度数分别为30°、60°、90°或22.5°、67.5°、90°；（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为BC边上的一个动点（点D不与B、C重合），当△ABD是“三倍角三角形”时，求∠CAD的度数．解：（1）∵△ABC的两个内角分别为80°、75°，∴第3个内角为25°，∵75°＝25°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；故答案为：是；（2）设最小的角为x°，当3x＝90°时，∴x＝30°，∴这个直角三角形三个角的度数分别为30°、60°、90°，当另一个锐角是3x°，则x+3x＝90°，∴这个直角三角形三个角的度数分别为22.5°、67.5°、90°；（3）①当∠BDA＝3∠B时，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝60°，∴∠CAD＝30°；②当∠ABC＝3∠BAD时，∴∠BAD＝10°，∴∠DAC＝80°；③∠BDA＝3∠BAD时，∴∠BAD＝37.5°，∴∠DAC＝52.5°，综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．23．（10分）综合与实践如图1所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外部作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，∠CAD＝∠CBE ＝90°，过点D作DF⊥l于点F，过点E作EG⊥l于点G．（1）如图2，当点E恰好在直线l上时（此时G与E重合），试证明：DF＝AB；（2）在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系．（不需要证明）【解答】证明：（1）∵∠DAC＝∠CBE＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝90°，∴∠DAF+∠CAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠DAF＝∠ACB，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠ABC＝90°，又∵AD＝AC，∴△DFA≌△ABC（AAS），∴DF＝AB；（2）AB＝DF+EG，理由如下：如图1，过C作CM⊥AB于M，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠AMC＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∠CAM+∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠CAM，∴AD＝AC，∠DFA＝∠AMC＝90°，∴△DFA≌△AMC（AAS），∴DF＝AM，同理：BM＝EG，∴AB＝AM+BM＝DF+EG；（3）AB＝DF﹣EG，理由如下：如图3，过点C作CN⊥AG于N，∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠ANC＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∠CAN+∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠CAN，∴AD＝AC，∠DFA＝∠ANC＝90°，∴△DFA≌△ANC（AAS），∴DF＝AN，同理可得BN＝EG，∴AB＝AN﹣BN＝DF﹣EG．。