计算方法 试题A 答案

计算方法试题A 答案

大连理工大学应用数学系

数学与应用数学专业2005级试A 卷答案

课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分

一、填空（每一空2分，共42分）

1．为了减少运算次数，应将表达式.543242

16171814131

1681

x x x x x x x x -+---++- 改写为

()()()()()()()1

816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；

2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-1

02

求得的近似值为

()

15.0214

1

--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为

()

15.0416

1

--++e e 。 1． 设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-

表示

为()()3

33

23

111)(+++-+++=x c x c x c x s 。

4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f 6 ,=]2,1,0[f 0 ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为x 6。

5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代

公式为：1

121---⨯-=+k k x k x k k e x e x x 。

姓名： 学号：院系：

班级： 授课教师：张宏伟

装

订

线

6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，

则A 的Jordan 标准型是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100000或⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛000000010；

7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ()A ρ；

8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）

Euler 法的显式化的格式为：()

2

1

1

111+++-++=n n n n t h ht u u 。

9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 5 位有效数字；

10．将()T 4,3=x ，化为()T

0,5=y 的Householder 矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-5354545

3

； 11．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑

∞

=k

k 0105.00⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1302； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为()2,1，进行二步后根所在区间为()2,5.1。

13．若()()∑⎰=≈n

k k k x f A dx x f 0

1

()2≥n 为Newton-Cotes 求积公式，则

=∑=n

k k k x A 021，若为Gauss 型求积公式，则=∑=n k k k x A 0451

。 14．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122151A ，则在Schur 分解H URU A =中，R 可取为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1001或⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1001。 15．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A ，则=t

A e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t , =t e t d d A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0010。

二、（8分）已知近似值21.11=a ，65.32=a ，81.93=a 均为有效数字，试估计算术运算3

2

13a a a a ⋅+的相对误差界。

解：由已知，

211102

1

1021--⨯=⨯≤

-n k a x ；222

102

1

-⨯≤

-a x

；233

102

1

-⨯≤

-a x

。

令

()3

3

2

1321,,x x x x x x x f +⋅=

，()3

3

2

132

1

,,a a a a a a

a f +⋅=

，

由函数运算的误差估计式 ()-3

2

1

,,x x x f ()3

2

1

,,a a a f ≈

()()

11321,,1a x a a a f x -'+()()

2232

1

,,2

a x a a

a f x -'+()()

3332

1

,,3

a x a a

a f x -'

()()()33232122311132

1a x a a a a x a a a x a a -⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⋅-+-+-=

从而，相对误差可写成

()()

()

≤

-321321321,,,,,,a a a f a a a f x x x f 3

3

2

13323

21223111321a a a a a x a a

a a x a a a x a a +⋅-⋅-+-+-﹟

三、（15分）设线性方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=+=+7

424343321

212

1x x

x x x x x （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出)det(A （要有换元、消元过程）；

（2）试问用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？

（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法