《必修五》第二章数列综合检测题演示版

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高中数学人教A版必修5《数列》综合测试卷(详解)

b1
+ b1
+ + bn
=
2 1 2
+
2 23
++
2 n(n +1)
= 2[(1− 1) + (1 − 1) ++ (1 − 1 )]
2 23
n n+1
= 2(1− 1 ) = 2n . n+1 n+1
18.解：∵ Sn = −(n −16)2 +162 , 当 n = 16 时， S n 取得最大值162 .
Sm Sn
=
m2 n2
，其中 m, n N*, m
n，
则 am = （） an
A． m n
B． m −1 n −1
C． 2m −1 2n −1
D． m + 2 n +1
1 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5.等比数列 an 中， a2 + a5 + a11 = 2, a5 + a8 + a14 = 6, 则 a2 + a5 + a8 + a11 + a14 = （）
= q3
= 3, ∴ a2
=
2 31
，∴
a2
+ a5
+ a8
+ a11 + a14
=
242 .答案 C 31
6.解析
由已知得
100a1
+
100 2
99
2
=
100
，即
a1
= −98 ，
∴
a4
+

人教B版数学必修五：第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)

第二章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9. ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.]9．C [因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d.所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 14．216解析设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，….证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1nT i ＝32∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝⎛⎭⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)，整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)．(3)解设数列{a n }的前n 项和为T n ，T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0，∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n ＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎨⎧1＋n (3n ＋1)2－2n (n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2(n >4).。

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高中数学必修五第二章数列测试卷一、选择题：( 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60分，)1．如图 ,这是一个正六边形的序列, 则第 ( n ) 个图形的边数为（）.A.5n-1B.6nC. 5n+1D.4n+22数列 a n 的通项公式 a n1 ，则该数列的前（）项之和等于 9nn1A 98B99C96D973．在等比数列a nnn 项的积，若 5=1，则（）中 T 表示前 T．a 3 1B ． a 11C． a 4 1 D ． a 51A4在等差数列a n 中，若 S 4 1, S 8 4 ，则 a 17a18a19a 20 的值为（）A9B12C16D175 在等比数列a n 中，若 a 26 ，且 a 52a 4 a 3 120 则 a n 为（）A6 B6 ( 1)n 2C6 2n 2D6 或 6 ( 1)n 2 或 6 2 n 26．等差数列 { a n } 共有 2n1项，其中奇数项之和为 319 ，偶数项之和为 290 ，则其中间项为（） .A. 28B. 29C. 30D.317 在等差数列a n 中， a 1a 2 ...a50200, a 51a52...a1002700 ，则 a 1 为（）A22.5B21.5C20.5D208已知等差数列 { a n }的前 n 项和为 S n , 若 m 1,且 a m 1am 1a m 2 0, S 2 m 1 38,则 m等于（）A38B20C10D99. 在等比数列 {a n } 中 ,a 5a 7=6,a 2 +a 10=5, 则a 18等于( )a10A. 2 或 3B.2 C.3 D.2 或 332323 210. 已知等比数列a n 的前 n 项为 S n , S 3 3 , S 627 ，则此等比数列的公比 q 等于（）A．2B．2C．1D ．12211等差数列 { a n} , { b n } 的前 n 和分S n, T n,若Sn2n,an=（）T n 3n1b nA 2B2n1C2n1D2n1 33n13n13n412、在等比数列a n中 ,a1 2 ,前 n 和 S n,若数列n1也是等比数列 , S n等于aA. 2n 12B.3nC.2nD.3n1二、填空： ( 本共 5 小，每小6分，共 30分． )13．等差数列a中， a1a220, a3a480，10________n S14已知数列a n中， a11， a n 1a n a n1a n，数列通 a n___________15在等差数列a n中，公差 d 1100 的和S10045，前，2a1a3a5... a99=_____________16、已知数列的 S n n 2n1， a8a9a10a11a12=_____________17、f ( x)=1, 利用本中推等差数列前n 和的公式的方法,2x2可求得f ( －8)+f( － 7)+ ⋯+ (0)+ ⋯+ (8)+f(9) 的 ___________________.f f三、解答（ 10+12+12+12+14 ）18、（本小分12 分）已知数列a n的前 n 和 S n32n，求 a n19、（本小分12 分）一个有等比数列的首1，数偶数，如果其奇数的和85，偶数的和 170，求此数列的公比和数20、（本小分12 分）等比数列 {a n}的前 n 和s n，已知S1 , S3, S2成等差数列（1）求 { a n } 的公比 q；（2）求a1－a3＝ 3，求s n21、本小分12 分）已知数列{ a n} 是等差数列，且a1 2 ， a1a2a312 .⑴求数列 { a n} 的通公式；⑵令 b n a n３n (n N * ) ，求数列 {b n} 的前n和的公式.22、（本小题满分 14 分）甲、乙两企业， 2000 年的销售量均为 p （ 2000 年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n 年的总销量为p (n 2 n 2) ，乙企业第 n 年的销售量比前一年的销售量多p.22n 1（ 1）求甲、乙两企业第 n 年的销售量的表达式；（ 2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的 20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由。

人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试A卷

第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2，因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)．答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16，所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估第二章数列(含答案解析)

单元质量评估(二)第二章数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（）（A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（）（A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（）（A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（）（A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ；（2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1，即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

高中数学必修5第二章《数列》单元检测卷含解析

必修5第二章《数列》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2D ．14 22．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134D.1745．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.328．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.129．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( ) A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19 D ．S 2010．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 05011．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－712．已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 14．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.19．(本小题满分12分)已知{a n}为递减的等比数列，且{a1，a2，a3) {－4，－3，－2,0，1,2,3,4}．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当b n＝1(1)2n--a n时，求证：b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1<163.20．(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .21．(本小题满分12分)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．必修5第二章《数列》单元检测题参考答案【第4题解析】由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8× 8－1 d2＝30，4a 1＋4× 4－1 d 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，d ＝1.故a 4＝a 1＋3＝134. 故选C .【第5题解析】依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝12 1－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈[12，1)．故选C .【第6题解析】当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．故选C. 【第7题解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3. 故选B. 【第8题解析】a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12. 故选C.【第9题解析】∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0. S 20＝20 a 1＋a 202＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19 a 1＋a 19 2＝192·2a 10<0. 故选C.【第10解析】在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列．因前99组数的个数共有 1＋99×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950. 故选A.【第12题解析】S 5＝5 a 1＋a 5 2＝5 a 1＋5 2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1 .设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101. 故选A.【第13题解析】由题得1955599()2972822a a a a a +=⋅==∴= a 2＋a 4＋a 9＝ 1595552324a a a a a a ++=+==，故填24.【第14题解析】∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝(1)12n n ++, 故填(1)12n n ++. 【第15题解析】n ≥2时，S n ＝32a n －3，① S n －1＝32a n －1－3，②①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝32a n －1.∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3，得S 1＝a 1＝32a 1－3.故a 1＝6，∴a n ＝2·3n . 故填a n ＝2·3n.【第16题解析】设第二层数列到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2. 故填123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2.【第18题答案】（1）a n ＝－2n ＋27；（2）－3n 2＋28n . 【第18题解析】(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .【第19题答案】(1) a n ＝82n ；（2）见解析.【第19题解析】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．又∵{a 1，a 2，a 3} {－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝82n . (2)由已知得b n ＝8[1－－1 n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n . 即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝2k ，k ∈N *，a n ， n ＝2k －1，k ∈N *.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4[1－ 14 n]1－14＝163[1－(14)n ]<163.【第20题答案】（1）a n＝(12)n; (2) T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 11－n 4 n ≤6 ，n 2－11n ＋604 n ≥7 .(2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n2.当n ≤6时，b n ≥0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n 11－n4；当n >6时，b n <0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n )＝6×54－ [(n －6)(－12)＋ n －6 n －7 2·(－12)] ＝n 2－11n ＋604.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 11－n4 n ≤6 ，n 2－11n ＋604 n ≥7 .【第21题答案】（1）a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70× 34 n －6，n ≥7.；（2）需在第9年初对M 更新．【第21题解析】(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，此时a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 130－10n ，n ≤6，70× 34 n －6，n ≥7.(2)证明设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6. A n ＝780－210× 34 n －6n. 易知{A n }是递减数列．又A 8＝780－210× 34 28＝824764>80， A 9＝780－210× 34 39＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．(2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n 1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. ∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立． ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立． ∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。

【优质文档】必修五第二章数列全章练习题(含答案)

a
1＝
1，
a
n＋
1＝
3
an an＋
，则给出的数列 1
{ an} 的第 7 项是
()
1 A. 16
1 B.17
1 C.19
1 D.25
4．由 1,3,5 ， , ， 2n－ 1， , 构成数列 { an} ，数列 { bn} 满足 b1＝ 2，当 n≥ 2 时， bn ＝abn－1，则
b6 的值是
()
a1 ＝1，且满足
a
n＋
1＝
1 2an
＋
1 2n，则此数列的第
4 项是
()
1
3
5
A ．1
B.2
C.4
D.8
2．数列 { an} 中， a1 ＝1，对所有的 n≥ 2，都有 a1·a2·a3·, ·an＝ n2，则 a3＋ a5 等于 (
)
25 A. 9
25 B.16
61 C.16
31 D.15
3．若
5 个图形中的花盆数为 ________．
12．在数列 { an} 中， a1＝ 2， a17＝ 66，通项公式 an 是 n 的一次函数．
(1)求 { an} 的通项公式；
(2)88 是否是数列 { an} 中的项？
三、探究与拓展
9n2－ 9n＋ 2
13．已知数列
9n2－ 1 ：
(1)求这个数列的第 10 项； (2)19081是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1) 内；
(4)在区间
1， 2 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 33
答案
1． C 2.C 3.C 4.C 5. 66．an＝2n＋ 1 7．解 (1) an＝ 2n＋ 1.

人教新课标版数学高二-人教数学必修5检测第二章《数列》综合检测

综合检测(二)第二章数列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·郑州高二检测)数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n n 22n －1 B ．a n ＝(－1)n n (n ＋1)2n －1C ．a n ＝(－1)n n 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 32n －1 【解析】观察各项知符号可用(－1)n 表示，各项绝对值的分母为1,3,5,7…，故可表示为2n －1，分子为1,4,9,16…可表示为n 2，故a n ＝(－1)nn 22n －1. 【答案】 A2．(2013·咸阳高二检测)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9＝2，则S 13＝( )A ．11B ．12C ．13D ．不确定【解析】 S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 5＋a 9)2＝13. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64【解析】由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴d ＝8－18－4＝74，∴a 12＝1＋8×74＝15.【答案】 A4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 【解析】 ∵a 5＝a 2q 3，∴q 3＝a 5a 2＝2439＝27，∴q ＝3，∴a 1＝3，∴S 4＝3(1－34)1－3＝120. 【答案】 B5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．84C ．72D ．189【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4×3q ＝4×3＋3q 2，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3(22＋23＋24)＝84.【答案】 B6．(2013·合肥高二检测)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.【答案】 A7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 012等于( ) A.12B ．2C ．－1D ．1【解析】由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，因此a 2 012＝a 3×670＋2＝a 2＝2. 【答案】 B8．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058【解析】由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 【答案】 A9．(2013·宜昌高二检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1 B.2n (n ＋1)C.n (n ＋1)2D.n 2(n ＋1) 【解析】由题意，a n －a n ＋1＋1＝0.∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }为等差数列，且a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2n n ＋1. 【答案】 A10．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n【解析】依题意可得a 2＝a 1＋ln(1＋11)，a 3＝a 2＋ln(1＋12)，…a n ＝a n －1＋ln(1＋1n －1)，则a n ＝a 1＋ln[(21)(32)(43)…(n n －1)]＝2＋ln n . 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．(2013·烟台高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *), 则a 5＝________.【解析】由已知a n ＋1a n＝2，∴{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴a 5＝a 1q 4＝1×24＝16.【答案】 1612．(2013·洛阳高二检测)首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 (83，3]13．等差数列{a n }中，a 1>0，S 3＝S 10，则当S n 取最大值时n 的值是________．【解析】由S 3＝S 10可知，a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 7＝0.又a 1>0，∴a 6>0，∴S n 取最大值时，n 的值为6或7.【答案】 6或714．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第2层价格为a 元/m 2，从第3层开始每层在前1层价格上加价a 100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．【解析】设第2层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a 100，共21项．所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a .故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.【答案】 123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．【解】根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.16．(本小题满分12分)(2013·德州高二检测)设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故a 22＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d ，化简得a 1＝d .(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110，由(1)a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .17．(本小题满分12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 18．(本小题满分14分)(2013·绵阳高二检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n ＝2a n －3n .(1)设b n ＝a n ＋3，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．【解】 (1)∵S n ＝2a n －3n 对于任意的正整数都成立， ∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－3(n ＋1)－2a n ＋3n ∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2对一切正整数都成立． ∴数列{b n }是等比数列．由已知得S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，∴首项b 1＝a 1＋3＝6，公比q ＝2，∴b n ＝6·2n －1.∴a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.(2)∵na n ＝3×n ·2n －3n ， ∴S n ＝3(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－3(1＋2＋3＋…＋n ) 2S n ＝3(1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1)－6(1＋2＋3＋…＋n )，－S n ＝3(2＋22＋23＋…＋2n )－3n ·2n ＋1＋3(1＋2＋3＋…＋n )＝3·2(2n －1)2－1－6n ·2n ＋3n (n ＋1)2， ∴S n ＝(6n －6)·2n＋6－3n (n ＋1)2.。

新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)

新人教A 版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.，的一个通项公式是（）A. n a =B. n a =C. n aD. n a =2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 2011是数列7,13,19,25,31,,中的第（）项.A. 332B. 333C. 334D. 3354. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （）A.45B.75C. 180D.3005. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－56. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A.21B.2C. 41D.47. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列｛an ＋b n ｝的前100项之和是( )A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于()A.97B.95C.93D.919.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A.21 B. 31 C.2 D.311. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( )A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( )A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 二、填空题（每小题4分，共计16分）13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛na 1｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ .16. 数列121，241，341，4161，…的前n 项和为 . 三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n .18.（本题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.19. （本题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a 1＝5，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，求｛a n ｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋54＋257＋…＋1523--n n 22.（本题满分14分）已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)求证｛b n ｝是等比数列；(2)设c n ＝n n a 2(n ＝1，2…)求证｛c n ｝是等差数列；(3)求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式.数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C 10.D 11.C 12.B二、填空题13. ⎩⎨⎧≥+==22215n n n a n 14. －4772+ 15. 70 16. n n n 21222-++三、解答题17. 解析：设S n ＝ｐn 2＋qnS n ＝ｐn 2＋qn ＝m ； ①则S m ＝ｐm 2＋qm ＝n ②①－②得：ｐ(n 2－m 2)＋q (n －m )＝m －n 即ｐ(m ＋n )＋q ＝－1 (m ≠n ) ∴S m ＋n ＝ｐ(m ＋n )2＋q (m ＋n )＝(m ＋n )［ｐ(m ＋n )＋q ］＝－(m ＋n ).18. 解析：由S 12＞0及S 13＜0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〈⨯+〉⨯+021213130211121211d a d a2a 1＋11d ＞0 24＋7d ＞0即又∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ∴a 1＋6d ＜0 3＋d ＜0∴－724＜d ＜－3.19. 解析：设数列｛a n ｝的公差为d∵S 10＝S 20，∴10×29＋2910⨯d ＝20×29＋21920⨯d 解得d ＝－2∴a n ＝－2n ＋31设这个数列的前n 项和最大，a n ≥0 －2n ＋31≥0则需：即a n ＋1≤0 －2(n ＋1)＋31≤0∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ，∴n ＝15∴当n ＝15时，S n 最大，最大值为S 15＝15×29＋21415⨯ (－2)＝225.20. 解析：令a n ＝b n ＋ｋ，则a n ＋1＝b n ＋1＋ｋ ∴b n ＋1＋ｋ＝2(b n ＋ｋ)＋3 即bn ＋1－2b n ＝ｋ＋3令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－3则an ＝b n －3，b n ＋1＝2b n 这说明｛b n ｝为等比数列，q ＝2 b 1＝a 1－ｋ＝8，∴b n ＝8·2n －1＝2n ＋2 ∴a n ＝2n ＋2－3.21. 解析：设S n ＝1＋54＋257＋…＋2523--n n ＋1523--n n ① 则51S n ＝51＋254＋357＋…＋1553--n n ＋n n 523- ② ①－②得：22. 解析：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2 ①∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2 ② ②－①得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1，2，…)即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形，得an ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列｛b n ｝是公比为2的等比数列；由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，得a 2＝5故b 1＝a 2－2a 1＝3∴b n ＝3·2n －1. 将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝43(n ＝1，2，…)由此可知，数列｛cn ｝是公差为43的等差数列，它的首项c 1＝,2121=a 311(3)(31)444n c n n =-=-∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1，2，…)；当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式，所以所求｛a n ｝的前n 项和公式是：S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

数学人教B必修5第二章数列单元检测B卷含解析

第二章数列单元检测(B 卷)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在数列{a n }中，a 1＝1，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )．A ．49B ．50C ．51D ．522．在等差数列{a n }中，已知S 15＝90，那么a 8等于( )．A ．3B ．4C ．6D ．123．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( )．A ．4B ．2C ．1D ．－24．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则52S S ＝( )． A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－115．(辽宁高考，文5)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )．A ．2B ．4C ．8D ．166．已知数列{a n }是等比数列，且每一项都是正数，若a 2，a 48是2x 2－7x ＋6＝0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )．A ．212B． C． D ．35 7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )． A ．35 B ．33 C ．31 D ．298．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数16111位转换成十进制数是( )．A ．217－2B ．216－1C ．216－2D ．215－19．将n 2个正整数1，2，3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．下图就是一个3阶幻方，定义f (n )为n 阶幻方对角线上数的和，例如f (3)＝15，那么f (4)等于( )．8 1 63 5 74 9 2A ．32B ．33C ．34D ．3510．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )．A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．已知在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.12．设等比数13．设a 1，d 为实数，首项为a 1公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是______．14．(江苏高考，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .16．(10分)(浙江高考，文19)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且11a ，21a ，41a 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N ＋，试比较2222321111n a a a a ++++与11a 的大小． 17．(10分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令211n n b a =-(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 18．(12分)在4月份，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出10件，第二天售出35件，第三天销售60件．之后，每天售出的件数分别递增25件，直到日销售量达到最大后，每天销售的件数分别递减15件，到月底该服装共销售出4 335件．(1)问4月几号该款服装日销售件数最多，其最大值是多少？(2)按规律，当该商场销售此服装超过2 000件时，社会上就流行，而当日销售量连续下降，且低于150件时，则流行消失，问该款服装在社会上的流行时间是否超过10天？请说明理由．19．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N ＋，都有S n ＝2a n －3n .(1)求数列{a n }的首项与递推关系式a n ＋1＝f (a n )；(2)先阅读下面的定理，若数列有递推关系：a n ＋1＝Aa n ＋B ，其中A ，B 为常数，且A ≠1，B ≠0，则数列1n B a A ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以A 为公比的等比数列，请你在第(1)题的基础上应用本定理，求数列{a n }的通项公式；(3)求数列{a n }的前n 项和S n .参考答案1. 答案：C2. 答案：C3. 答案：A4. 答案：D解析：由8a 2＋a 5＝0，∴528a a =-，即q 3＝－8，q ＝－2. ∴5155221211331111131a q S q q a q S q q(-)--====-(-)---. 5. 答案：B解析：令n ＝1，得a 1a 2＝16，①令n ＝2，得a 2a 3＝162，②②÷①，得3116a a =，q 2＝16，∴q ＝±4. 又由①知q ＞0，∴q ＝4.6. 答案：B解析：由题意a 2·a 48＝3，∴225a ＝a 2·a 48＝a 1·a 49＝3，∴25a =∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49＝.7. 答案：C8. 答案：B9. 答案：C解析：由题意知，4阶幻方各个方格的和为S 16＝1＋2＋3＋…＋16＝136.又因为每行或每列上各个数的和都相等，所以每行或每列上各个数字之和为136÷4＝34，∴f (4)＝34.10. 答案：D解析：由等比数列的性质：若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，∴X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列，即(Y －X )2＝X (Z －Y )，整理得Y (Y －X )＝X (Z －X )．11. 答案：2n －112. 答案：1513. 答案：(－∞，-)∪()解析：∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即212a ＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，∴d 2≥8，则d 的取值范围是(－∞，-)∪(＋∞)．14.解析：由题意知1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3. ∴322223121.q a q a q ⎧≥+≥⎪≥+≥⎨⎪≥⎩，，解得q ≥15. 解：(1)设{a n }的公比为q .由已知得16＝a 1q 3＝2q 3，∴q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设数列{b n }的公差为d ，则有1128,432,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得116,12.b d =-⎧⎨=⎩∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12n －28.∴数列{b n }的前n 项和2161228==6222n n n S n n (-+-)-. 16. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知2214111a a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2，因为d ≠0，所以d ＝a 1＝A ．故通项公式a n ＝nA ．(2)记2222111n nT a a a =+++，因为a 2n ＝2n a ，所以21111222n n T a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭＝11122111=11212n n a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 从而，当a ＞0时，11<n T a ；当a ＜0时，11>n T a . 17. 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，12n n n a a S (+)=，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以2n a －1＝4n (n ＋1)．因此11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝111111142231n n ⎛⎫-+-++- ⎪+⎝⎭＝1114141n n n ⎛⎫-= ⎪+(+)⎝⎭. 所以数列{b n }的前n 项和41n n T n =(+). 18. 解：(1)设4月份第n 天销售的件数最多为10＋(n －1)·25＝25n －15，则4月30日的销售件数为(25n －15)－(30－n )·15＝40n －465，则130291025(30)(40465)15=4 33522n n n n n n n (-)(-)(-)⎡⎤⎡⎤+⋅++⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－. 解得n ＝12，即4月12日的销售量最大，其最大值为25×12－15＝285(件)．(2)n ＝12时，S 12＝10×12＋12112⨯×25＝1 770＜2 000，即未流行； n ＝13时，S 13＝S 12＋a 13＝1 770＋270＝2 040＞2 000，即从4月13日起，社会上开始流行；当n ＞13时，a n ＝a 13－(n －13)×15＝465－15n ，令a n ＜150，解得n ＞21，即从4月22日起，社会上流行消失．故流行时间只有9天．19. 解：(1)令n ＝1，a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，S n ＝2a n －3n .两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3.(2)按照定理A ＝2，B ＝3，则1B A-＝－3，∴{a n＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝6. ∴a n＋3＝6×2n－1.∴a n＝6×2n－1－3.(3)S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(6×20－3)＋(6×21－3)＋(6×22－3)＋…＋(6×2n－1－3) ＝6×20＋6×21＋6×22＋…＋6×2n－1－3n＝6×(20＋21＋22＋…＋2n－1)－3n＝6×1212n--－3n＝6×2n－3n－6.。

数学人教B必修5第二章数列单元检测A卷含解析

第二章数列单元检测(A 卷)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n 2－3n ＋1，则a 4＋a 5＋…＋a 10等于( )．A ．171B ．21C ．10D ．1612．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )．A ．120B ．105C ．90D ．753．(天津高考，理4)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )．A ．－110B ．－90C ．90D ．1104．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )．A ．64B ．81C ．128D ．2435．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S n T n =+，则55a b 等于( )． A ．23 B ．79 C ．2031 D ．9146．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )．A ．7B ．8C ．15D ．167．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是( )．A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 0508．数列{a n }的通项公式为n a =n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )．A ．6B ．7C ．48D ．499．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．(上海高考，理18)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )．A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝__________.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝__________.13．已知公差不为0的正项等差数列中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝__________.14．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N ＋，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1，2，3，…，n …，则数列{(a n )*}是0，1，2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，[(a n )*]*＝________.三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)(福建高考，文17)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．16．(10分)设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2n n +S n (n ＝1，2，3，…)，求证：(1)数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .17．(10分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设12n n n a b -=，证明数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .18．(12分)某人计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元(精确到1元)？(1.0410≈1.480 2)19．(12分)已知数列{a n }的首项123a =，a n ＋1＝21n n a a +，n ＝1，2，…. (1)证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n .参考答案1. 答案：D2. 答案：B解析：由12312315,80,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩可得25,3,a d =⎧⎨=⎩∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝105.3. 答案：D解析：∵公差d ＝－2，则a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12；a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4；a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16.∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴2739a a a =⋅，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，∴a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋1092⨯d ＝110. 4. 答案：A解析：设等比数列的公比为q ，∵a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝6，∴q ＝2.又a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3，∴3a 1＝3.∴a 1＝1.∴a 7＝26＝64.5. 答案：D解析：595918939114a Sb T ===⨯+. 6. 答案：C7. 答案：A解析：由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组共有199992(+)⨯＝4 950个数，故第100组中的第一个数为34 951－1＝34 950.8. 答案：C解析：n a ==∴+(11n S n =+++=，由S n ＝67=，∴n ＝48.9. 答案：B 解析：若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正，取负，一定能够得到{a n }是递增数列，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件．选B ．10. 答案：D 解析：由题意可知，A n ＝a n ·a n ＋1.要使{A n }为等比数列，只需11n n n n A A A A +-=，即121n n n na a a a ++-=，也就是说，a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同．11. 答案：4n －112. 答案：24解析：∵1999722a a S (+)==，∴a 1＋a 9＝16. ∵a 5为a 1和a 9的等差中项，∴a 5＝8.又a 1＋a 5＝a 2＋a 4，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝16＋8＝24.13. 答案：30解析：由题意可得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，又d ≠0，故d ＝a 1，∴a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2.∴S 5＝5a 1＋542d ⨯＝30. 14. 答案：2 n 2解析：当n ＝5时，a m ＝m 2＜5，所以m ＝1，2，故(a 5)*＝2.计算可知(a 1)*＝0，(a 2)*＝(a 3)*＝(a 4)*＝1，(a 5)*＝(a 6)*＝(a 7)*＝(a 8)*＝(a 9)*＝2，所以[(a 1)*]*＝1，[(a 2)*]*＝4.同理可知[(a 3)*]*＝9，…，由归纳推理知[(a n )*]*＝n 2.15. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)D ．由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以2[132]22n n n S n n +(-)==－. 进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0.解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7为所求．16. 证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝2n n +S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )．整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴121n n S S n n +=+. 故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列． (2)由(1)知11411n n S S n n +-=⋅+-(n ≥2)，于是S n ＋1＝4(n ＋1)·11n S n --＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，故S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1，因此对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .17. (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋2n ， ∴11=122n n n n a a +-+. ∴b n ＋1＝b n ＋1，b n ＋1－b n ＝1(常数)．又b 1＝a 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)知，b n ＝12n n a -＝b 1＋(n －1)d ＝n ， ∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1，①2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n .② 由②－①，得S n ＝n ·2n －20－21－22－…－2n －1 ＝21·221n nn --- ＝n ·2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.18. 解：10万元在10年后(即贷款全部付清时)的价值为105(1＋4%)10元．设每年还款x 元，则第1次偿还的x 元在贷款全部付清时的价值为x (1＋4%)9；第2次偿还的x 元在贷款全部付清时的价值为x (1＋4%)8；…；第10次偿还的x 元在贷款全部付清时的价值为x 元．由题意有105(1＋4%)10＝x (1＋4%)9＋x (1＋4%)8＋…＋x (1＋4%)＋x ，∴105(1＋4%)10＝101.0411.041x -⋅-. ∴51051010 1.040.0410 1.48020.04123301.041 1.48021x ⋅⨯⨯⨯=≈≈-- (元)．答：每年应还12 330元．19. (1)证明：∵a n ＋1＝21n n a a +， ∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅. ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 又123a =， ∴11112a -=. ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：由(1)知111111222n n n a --=⋅=，即1112n n a =+，∴n 2n n n n a =+. 设231232222n n n T =++++，① 则231112122222n n n n n T +-=++++，② ①－②，得21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---， ∴11222222n n n n n n T -+=--=-. 又1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)， ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2214222222n n n n n n n n n S +(+)+++=-+=-.。

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《必修五》第二章数列综合检测题一、选择题答案表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B A D C C B C一、选择题：1、在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=a n+1+2a n(n∈N*)，则a5=A、29B、23C、18D、16解：在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=a n+1+2a n(n∈N*)，则a3=a2+2a1=2+2×1=4，a4=a3+2a2=4+2×2=8，a5=a4+2a3=8+2×4=16，故选择D. 2、等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于A、66B、99C、144D、297 解：方法一a1+a4+a7=3a1+9d=39，a3+a6+a9=3a1+15d =27，两式相减得，d =－2，又3a1－18=39，得a1=19，S9=9×19+0.5×9×8×(－2)= 99，故选择B.方法二等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则3a4=39，3a6=27，得a4=13，a6=9，2a5=a4+a6=22，得a5=11，S9=9a5=99，故选择B. 3、等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为A、81B、120C、168D、192 解：等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则q3= a5÷a2=27，q=3，a1=3，故{a n }的前4项和为443(31)S 12031-==-，故选择B.4、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=A 、– 4B 、－6C 、－8D 、－10 解：等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 32=a 1a 4，即(a 1+4)2=a 1(a 1+6)，得a 1=－8，则a 2=a 1+d=－6，故选择B.5、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5：a 3=5：9，则S 9：S 5=A、1B、－1C、2D、0.5解：19955533151(a a)9S9a a995211S5a5a59(a a)52+⨯===⨯=⨯=+⨯，故选择A.6、若lg2，lg(2x－1)，lg(2x+3)成等差数列，则x的值等于A、1B、0或32C、32D、log25解：若lg2，lg(2x－1)，lg(2x+3)成等差数列，则2lg(2x－1)=lg2+ lg(2x+3)，即lg(2x－1)2=lg2(2x+3)，即(2x－1)2=2(2x+3)，整理化简得，(2x)2－4(2x)－5=0，解得，2x=5或2x=－1(舍去)，x= log25，故选择D.7、21+与21-两数的等比中项是A、1B、－1C、±1D、0.5 解：21+与21-两数的等比中项±+-=±，故选择C.是(21)(21)18、在公比为整数的等比数列{a n}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为A 、513B 、512C 、510D 、8225解：在公比为整数的等比数列{a n }中，若a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则a 1(1+q 3)=18，a 1q(1+q)=12，两式相除得，3221q (1q)(1q q )1q q 183q(1q)q(1q)q 122++-+-+====++，整理化简，2q 2－5q+2=0，解得q=2，a 1=2，故{a n }的前8项和为882(21)S 51021-==-，故选择B.9、数列{a n }的通项公式n 1a =n +n +1，则该数列的前( )项之和等于9.A 、98B 、99C 、96D 、97 解：由n 1a =n +1n n +n +1=-，得n S (21)(32)...(n +1n)=-+-++-n +11=9=-，n=99，故选择B.10、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m>1，且a m-1+a m+1－a m 2=0，S 2m-1=38，则m 等于A、38B、20C、10D、9解：∵a m-1+a m+1=2a m，∴a m-1+a m+1－a m2=2a m－a m2=0，∴a m=0或a m=2.若a m=0，显然S2m-1=(2m－1) a m不成立；若a m=2，S2m-1=2(2m－1)=38，∴m=10，故选择C.二、填空题：11、等差数列{a n}中，a2=9，a5=33，则{a n}的公差为8.解：等差数列{a n }中，a 2=9，a 5=33，则{a n }的公差为a 5－a 2=3d=24， ∴d=8.12、在正数等比数列{a n }中，若a 3=3，a 9=24，则a 10=242±. 解：在正数等比数列{a n }中，若a 3=3，a 9=24，则693a q =8a =，q=2±，109a a q=224 2.4(2)=⨯±±=13、在等比数列{a n }中，若a 1，a 10是方程3x 2－2x －6=0的两根，则a4a7=－2.解：在等比数列{a n}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6=0的两根，则a1a10=－2，故a4a7= a1a10=－2.14、在等差数列{a n}中，公差d=0.5，前100项的和S100=45，则a1+a3+a5+…+a99=10.解：在等差数列{a n}中，公差d=0.5，前100项的和S100=45，则a1+a2+a3+ a4+a5+…+a99 +a100=45，即a1+(a1+d)+a3+(a3+d)+a5+…+a99+(a99+d)=45，2(a1+a3+a5+…+a99)+50d=45，即2(a1+a3+a5+…+a99)=20，故a1+a3+a5+…+a99=10.三、解答题：15、三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？解：设三个数分别为：3x，4x，5x，(x≠0)，且最小数加上1，则三数成等比数列.①当x>0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，∴(4x)2=5x(3x+1)，化简可得x2－5x=0，即x(x－5)=0，解得x=0(舍去)或x=5，∴原三个数是15，20，25；②当x<0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，∴(4x)2=(5x+1)3x，化简可得x2－3x=0，即x(x－3)=0，解得x=0(舍去)或x=3，又∵x＜0，∴x无解．综合①②可得，原三个数为15，20，25.【点评】本题考查了等比数列以及等差数列的通项公式，要求学生掌握等比数列及等差数列的性质．在遇到有关于比例问题时一般会设出相应的值进行求解．属于基础题.16、求和：1+2x+3x2+…+nx n-1. 解：由题可知，{nx n-1}的通项是等差数列{n}的通项与等比数列{x n-1}的通项之积，故利用错位相减法求和.∵S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1，∴xS n = x+2x 2+3x 3+…+(n －1)x n-1+ nx n ，两式相减得，(1－x)S n =(1+x+x 2+...+x n-1)－nx n .①当x ≠1，0时，由等比数列的求和公式得：n n n 1x (1x)S n x 1x--=-⋅-， n n n n n 221x n x 1x (1x)n x S (1x)1x (1x)-⋅---⋅=-=---n+1n2n x (n 1)x 1(1x)⋅-+⋅+=-； ②当x=1时，S n =1+2+3+…+n 1n (n 1)2=⋅+； ③当x=0时，S n =1+0=1．【点评】熟练掌握分类讨论思想、“错位相减法”、等差数列的前n 项和公式，等比数列的前n 项和公式是解题的关键．17、已知数列{a n }的通项公式a n =－n+11，如果b n =|a n |( n ∈N)，求数列{b n}的前n项和.解：∵数列{a n}的通项公式：a n=－2n+11，∴{a n}是首项为a1=9，公差为－2的等差数列，∴{a n}的前n项和S n=9n+0.5n(n－1)×(－2)=－n2+10n．又b n=|a n|(n∈N)，设数列{b n}的前n 项和为T n，∵由a n=－2n+11≥0，得n≤5.5，当n≤5时，T n=S n=－n2+10n；当n≥6时，T n=－S n+2S5 =n2＋10n+50．∴2n2n10n n5 T.n10n50n5⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，【点评】本题考查数列的前n项和最大时项数n的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．18、在等比数列{a n}中，a1a3=36，a2+a4=60，S n>400，求n的范围.解：由等比数列的性质可得，a 1a 3= a 22=36，a 2(1+q 2)=60，a 2>0，a 2=6，1+q 2=10，q=±3.①当q=3时，a 1=2，S n =2(1－3n )>400，3n ＞401，n≥6，n ∈N ； ②当q=－3时，a 1=－2， nn 2[1(3)]S 4001(3)---=>--，(－3)n ＞801，n≥8，n 为偶数，∴n≥8，且n 为偶数．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基本公式得应用，属于基础试题.19、已知数列{a n}前n项和为S n，若S n=2a n－1(n≥1，n∈N).(1)求出数列的前4项；(2)求数列的通项a n.【分析】当n=1时，a1=S1=2a1－1，解得a1=1；当n≥2时，a n=S n－S n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．解：(1)当n=1时，a1=S1=2a1－1，解得a1=1；当n=2时，a2=S2－S1=(2a2－1)－(2a1－1)，a2=2a1=2；当n=3时，a3=S3－S2=(2a3－1)－(2a2－1)，a3=2a2=4；当n=4时，a4=S4－S3=(2a4－1)－(2a3－1)，a4=2a3=8，即数列的前4项为：1，2，4，8；(2)当n=1时，a1=S1=2a1－1，解得a1=1；当n≥2时，a n=S n－S n-1=(2a n－1)－(2a n-1－1)，化为a n=2a n-1．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=a1q n-1= 2n-1．【点评】本题考查了利用递推式求数列的通项公式、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.。

《必修五》第二章 数列综合检测题演示版