高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型：第2节 零点的应用
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第2节 函数零点的应用
【基础知识】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若
方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
【规律技巧】
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典例讲解】
例1、若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．
探究提高 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决．
【变式探究】已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．
【答案】(0,1)∪(1,4)
【解析】根据绝对值的意义，
y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1. 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．
根据图象可知，当0 例2、已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围． 【解析】(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1 与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0，f －1＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f 2＝6m ＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56. 即－56 . 【探究提高】 对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件． 【变式探究】 关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时： (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解． 【解析】(4)由已知条件f (1)f (3)<0，解得115