高二数学同步辅导教材(第12讲)
高二数学第12讲 椭圆的几何性质
新培根讲义高二数学椭圆的几何性质一、知识回顾【回扣教材夯实基础】二、梯度练习【突破考点研析热点】三、课后作业【精题精炼规范答题】课前导读：1. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2b a，焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁. (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=（椭圆的第二定义）． 2．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>典型例题例1. 已知椭圆的方程为364922=+y x .（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆364922=+y x 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程.变式 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．例2.（1）求以原点为中心，一个焦点为),1,0(-且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.变式 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)；例3.已知直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x ，当k 在何范围取值时， （1） 直线与椭圆有两个公共点； （2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.例4. 设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．例4. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .（1）求椭圆方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆相较于M 、N 3262=，求直线l 的方程.例5. 已知椭圆13610022=+y x 上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为3:1，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标.变式 已知椭圆的焦点是()0,41-F 、()0,42F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1021=+B F B F .椭圆上不同的两点()()2211,,,y x C y x A 满足条件：A F 2，B F 2，C F 2成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标.当堂检测1. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 2. 曲线()6161022<=-+-m m y m x 与曲线()9519522<<=-+-m my m x 的（ ）. (A)焦距相等 (B)离心率相等 (C) 焦点相同 (D)准线相同3. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB 的，则椭圆的离心率为 （ ）()A()B ()C 12 ()D 454.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21(D)425．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，截口是一个椭圆， 该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7. 点P 在椭圆252x +92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.8. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,且焦点到椭圆上点的最短距离为3,求此椭圆的方程,准线方程,离心率.9. 点P 是椭圆14522=+y x 上的一点, F 1、F 2是左、右焦点,且321π=∠PF F ,求三角形21PF F 的面积.10. 椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，求 ab 值.1．在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）A ．2x =4yB ．2x ＋2xy ＋y=0C ．2x －42y ＝5xD ．92x ＋2y =4． 2. “0>>n m ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件．3．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A 有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距 ()C 有相等的离心率 ()D 有相同的准线 4. 对于椭圆369:221=+y x C 与椭圆21216:222=+y x C ，更接近于圆的是 . 5.椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则=a . 6. 求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标： (1)252x +42y -100=0； (2)2x +42y -1=0．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P(3，0)； (3)离心率等于0.8，焦距是8．。
20学而思教材讲义高二数学秋季秋季 第12讲 空间向量与立体几何综合 教师版
当前形势空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分高考要求内容要求层次具体要求A B C证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第17题14分新课标剖析满分晋级第12讲空间向量与立体几何综合立体几何9级点面距离与动点问题立体几何10级空间向量与立体几何综合立体几何11级折叠问题与最值问题考点1：空间向量的运算1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点P 满足等式：OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若1x y z ++=，则P A B C ，，，四点共面，必要性即证：若P A B C ，，，四点共面，则有1x y z ++=． 先证充分性：∵1x y z ++=， ∴1z x y =--，∴(1)OP xOA yOB x y OC =++--()()x OA OC y OB OC OC =-+-+xCA yCB OC =++． 即CP xCA yCB =+，由共面向量定理知P A B C ，，，四点共面． 再证必要性：设x y z k ++=， 由条件OP xOA yOB zOC =++， 得：()OP xOA yOB k x y OC =++--()()x OA OC y OB OC kOC =-+-+()()(1)x OA OC y OB OC OC k OC =-+-++-，∴()()(1)OP OC x OA OC y OB OC k OC -=-+-+-， 即(1)CP xCA yCB k OC =++-，∵P A B C ，，，四点共面，而点O 为空间任意一点， ∴只能1k =，即1x y z ++=． 综上知，命题成立．知识点睛12.1空间向量的概念与运算3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，． 如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．提高班学案1【铺1】 ⑴ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足a b =，则a b =； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC A C =；④若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑵ 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ） A ．111222a b c -++ B ．111222a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++⑶ 设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，且A B D ，，三点共线，则k =＿＿． ⑷ 若ABC △中，90C ∠=︒，()123A k -，，，()210B -，，，()402C k -，，，则k =＿＿．【解析】 ⑴ C当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②经典精讲c b a MD 1C 1B 1A 1DCBA错；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11A C 的方向相同，模也相等，应有11AC A C =，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． ⑵ D∵()12AM AB AD =+，∴()12AM a b =+，又∵11B A a =-，1A A c =，1111B M B A A A AM =++，∴()1111222B M a c a b a b c =-+++=-++．⑶ 8-∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A B D ，，三点共线，∴AB xBD =，∴()121212244e ke x e e xe xe +=-=-，∵1e ，2e 是不共线向量，∴24xk x =⎧⎨=-⎩，∴8k =-． ⑷ 10±()612CB k =-，，，()32CA k =--，，，则()()()263222200CB CA k k k ⋅=-⨯-++⨯-=-+=，∴10k =±．【例1】 ⑴已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A B C ，，一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++ Ｂ．2OM OA OB OC =--Ｃ．1123OM OA OB OC =++ Ｄ．111333OM OA OB OC =++⑵设a b ⊥，π3a c =，，π6b c =，，且1a =，2b =，3c =，则a b c ++=（ ）A ．1763+ Ｂ．1743+ Ｃ．63Ｄ．932⑶若()213a x =，，，()129b y =-，，，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．11x y ==，Ｂ．1122x y ==-， Ｃ．1362x y ==-， Ｄ．1362x y =-=，⑷已知空间三点()111A ，，，()104B -，，，()223C -，，，则向量AB 与CA 的夹角θ的大小是_______．【解析】 ⑴ D由向量四点共面的充要条件，只有D 选项中OA OB OC ，，系数和为1，所以选D ⑵ A∵2222ππ2221496cos 12cos 176336a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++++=+∴1763a b c ++=+；⑶ C∵()213a x =，，与()129b y =-，，共线，故有213129x y ==-，∴1362x y ==-，．⑷ 120︒()213AB =--，，，()132CA =--，，，()()()()2113321cos 21414AB CA -⨯-+-⨯+⨯-==-⋅，，∴120AB CA θ==︒，．【例2】 ⑴如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在1B B 和1D D 上，且113BE BB =，123DF DD =，①证明1A E C F ，，，四点共面；②若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++． F E ABC DA 1B 1C 1D 1⑵已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ∠=∠=∠，且OA OB OC ==，M N ，分别是OA BC ，的中点，G 是MN 的中点，求证：OG BC ⊥．【解析】 ⑴①∵11111233AC AB AD AA AB AD AA AA =++=+++111233AB AA AD AA ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB BE AD DF =+++AE AF =+，∴1A E C F ，，，四点共面 ②()EF AF AE AD DF AB BE =-=+-+112133AD DD AB BB =+--113AB AD AA =-++，∴1113x y z =-==，，，∴13x y z ++=．⑵ 如图，连接ON ，设AOB BOC AOC θ∠=∠=∠=，OA a =，OB b =，OC c =，则a b c ==，又()12OG OM ON =+()111222OA OB OC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()14a b c =++，BC c b =-，所以()()14OG BC a b c c b ⋅=++⋅- ()2214a c ab bc b c b c =⋅-⋅+⋅-+-⋅()22221cos cos 04a a a a θθ=--+=， 所以OG BC ⊥．12.2平行垂直问题GN MO CBA考点2：用空间向量证明平行垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ；线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ⇔⋅=（其中m n ，为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直：12l l 12120v v v v ⇔⇔⋅=；⑶线面垂直：1l α⊥11v n ⇔∥；⑷面面垂直：12120n n n n αβ⇔⇔⋅=；<教师备案>上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用．一般来讲，证明平行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用空间向量无脑算．提高班学案2【铺1】如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥．底面ABCD 为梯形，AB DC ∥，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．求证：PD ∥平面EAC ．EDCBAP【解析】 证法一：以A 为原点、AB 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则(000)A ，，，(00)B a ，，，(0)C a a ，，，(00)P a ，，，2033a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．设(0)D a y ，，，则()PC a a a =-，，，(0)AD a y =，，， ∵PC AD ⊥，∴20PC AD a ay ⋅=+=，解得y a =-； 则有(0)D a a -，，，()PD a a a =--，，， 经典精讲知识点睛z yPEB A2033a a EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，33a a EC a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，；∵2PD EA EC =+，PD ⊄平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．（或者求出平面EAC 的法向量(112)n =-，，得出PD 与n 垂直也可证明结论） 证法二：AB BC =，AB BC ⊥，∴ABC △是等腰直角三角形；PA ⊥平面ABCD ⇒PA AD ⊥，又AD PC ⊥，∴AD ⊥平面PAC ；∴AD AC ⊥．又AB DC ∥，∴DAC △也是等腰直角三角形； ∴22DC AC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则2DM DC MB AB==． 在BPD △中，2PE DMEB MB==，∴PD EM ∥．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．【例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．⑴求证：AF ∥平面PCE ；⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；【追问】PC 上是否存在一点H ，使得AC ⊥面EFH ？【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -．⑴ ()002P ，，，()020D ，，，()200B ，，，()220C ，，， 则()011F ，，，()100E ，，， 于是，()011AF =，，，()102EP =-，，，()120EC =，， 因为()12AF EP EC =+，所以AF 与EP EC ，共面． 又AF ⊄面ECP ，所以AF ∥平面PCE ．⑵ 因为()022PD =-，，，所以0AF PD ⋅=，即AF PD ⊥； 又()200DC =，，，所以0AF DC ⋅=，即AF DC ⊥． 于是AF ⊥面PCD ，由⑴AF ∥平面PCE ， 则面PCE ⊥面PCD ．【追问】设22H x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，则()220AC =，，，()111EF =-，，，212EH x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 易知0AC EF ⋅=，由()121202AC EH x x x ⋅=-+=⇒=．于是点112222H ⎛ ⎝⎭，，满足AC ⊥面EFH ． MPEBA DP FEDBAHz yx P FE DCBAMz yxPED CB A 【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面PCE 内找一向量与AF 共线；二是说明AF能用平面PCE 内的两不共线向量线性表示，三是证明AF 与平面的法向量垂直．证明面面垂直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面．尖子班学案1【拓2】 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得∥PM 平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；PFEDCBA【解析】 ⑴ ∵ABE △为等腰直角三角形，AB AE =，∴AE AB ⊥．又∵面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面ABCD AB =，∴AE ⊥平面ABCD ．∴AE AD ⊥．因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A xyz -． 设1AB =，则1AE =，(010)B ，，，(100)D ，，，(001)E ，，，(110)C ，，．∵FA FE =，45AEF ∠=︒，∴90AFE ∠=︒．从而，11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．∴11022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，(011)BE =-，，，(100)BC =，，．110022EF BE ⋅=+-=，0EF BC ⋅=．∴EF BE ⊥，EF BC ⊥．∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，∴EF ⊥平面BCE ．⑵ 存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE ．设(00)M m ，，，1102P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．从而112，，PM m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由11111002222，，，，PM EF m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即M 为AE 中点时，PM FE ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE ．目标班学案1【拓3】 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． ⑴ 求证：AC SD ⊥；⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】 ⑴ 连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a ， 则高()222622SO aa a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭． 于是600S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，200D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 200OC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，260SD a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥．从而AC SD ⊥．⑵ 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC ．由题设知，260DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，是平面PAC 的一个法向量， 设CE tCS =，则由260CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，220BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，可得： ()2261BE BC CE BC tCS a a t at ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 而22661003BE DS a a a at t ⎛⎫⋅=⇔⨯-+⨯=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭． 即当21SE EC =∶∶时，BE DS ⊥．而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC ．考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离12.3角度与距离问题OPC BA Sx y z EPDBA S1．设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，则12l l ，所成角θ满足：121212cos cos v v v v v v θ⋅=〈〉=，，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2．空间中的点面距离⑴体积法⑵空间向量法：定点A 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为AB n n⋅<教师备案>空间两条直线所成角的范围是π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，异面直线所成角的范围是π02⎛⎤⎥⎝⎦，，而两个向量之间的夹角范围是[]0π，，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方．尖子班学案2【铺2】如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点．⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值． 【解析】 ⑴ 解法一：∵AD BC ∥，∴AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角； ∵PBC △是正三角形，∴30MBC ∠=︒； ∴AD 和BM 所成的角为30︒． 解法二：设P 在底面的射影为O ，由于P ABCD -为正四棱锥， 所以O 为底面正方形的中心；以O 点为原点，DA 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -； 由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形， ∴斜高3PH =，2PO =；∴(110)A -，，，(110)B ，，，(110)C -，，，(110)D --，，，()002P ，，；∴11222M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(200)AD =-，，，31222BM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，； ∴3cos 23AD BM AD BM AD BM⋅===⋅，； 经典精讲知识点睛Oz yxMPD BAH AB CDPM1第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴向量AD 与向量BM 所成的角为30︒，即直线AD 和BM 所成的角为30︒． ⑵ 由⑴解法二得()112PD =---，，，33222AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，；∴5cos AM PD AM PD AM PD⋅==-⋅，； 而直线AM 和PD 所成角只能在0︒至90︒之间，∴直线AM 和PD 所成角的余弦值为5．【例4】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC的中点．⑴ 证明：直线MN ∥平面OCD ；⑵ 求异面直线AB 与MD 所成角的大小； ⑶ 求点B 到平面OCD 的距离．【解析】 作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．()000A ，，，()100B ，，，220D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，()002O ，，，()001M ，，，200P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，2210C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，2210N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ⑴ 2211MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，202OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，． 设平面OCD 的法向量为()n x y z =，，， 则00n OP n OD ⋅=⋅=，， 即2202220z y z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，，取2z =解得(042n =，，．∵(22110420MN n ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，，，， ∴MN ∥平面OCD ． ⑵ 设AB 与MD 所成的角为θ，∵()221001AB MD ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴1cos 2AB MDAB MD θ⋅==⋅，∴π3θ=，即AB 与MD 所成角的大小为π3．PNM O D CB AxyzNM ODCBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版⑶ 设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在平面OCD 的法向量(042n =，，上的投影的绝对值；由()102OB =-，，，得23OB n d n⋅==， 所以点B 到平面OCD 的距离为23．目标班学案2【拓3】 如图，已知棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面的射影O 落在正方形ABCD内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1．⑴ 求证：AB SC ⋅是定值；⑵ 已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为90︒？若不存在，说明原因；若存在，则求AQ 的长．O SPCD 解析图xyzOD ABCPS【解析】 ⑴ 以点O 为坐标原点，OS 所在的直线为z 轴，过点O 且与AD 平行的直线为x 轴，过点O 且与AB 平行的直线为y 轴，建立如图的空间直角坐标系． 设高OS h =，则由已知得()()()000210230O A B -，，，，，，，，，()()23000C S h -，，，，，，()()04023AB SC h ==--，，，，，，则()()0243012AB SC h ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即AB SC ⋅是定值．⑵ 在棱SA 上任取一点()000Q x y z ，，，使01AQ AS λλ=，≤≤．由已知得()3333003112222S P OP ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，()213AS =-，，． 由AQ AS λ=得()()00021213x y z λ-+=-，，，，， 从而022x λ=-，01y λ=-，03z λ=，()00023BQ x y z =--，，． 假设OP BQ ⊥，则0OP BQ ⋅=，即()()0003323022x y z --+-+=， ∴()()392400122λλλλ+-+=∈，，，∴34λ=． 故在棱SA 上存在点119244Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，使OP BQ ⊥．1第12讲·提高-尖子-目标·教师版此时()22233321314444AQ AS ==-++=．考点4：用空间向量求线面角设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则l 与α所成角θ满足： sin cos v nv n v nθ⋅=〈〉=，（π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）；<教师备案> 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值．【例5】如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒． ⑴ 求DP 与1CC 所成角的大小； ⑵ 求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．【解析】 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，1(001)CC =，，．连结BD ，11B D ． 在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA 〈〉=︒，， 由cos DA DH DA DH DA DH ⋅=〈〉， 可得2221m m =+．解得2m =，所以221DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，． ⑴ 因为1220011222cos 12DH CC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以145DH CC 〈〉=︒，． 即DP 与1CC 所成的角为45︒．⑵ 平面11AA D D 的一个法向量是(010)DC =，，． 因为220110122cos 212DH DC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以60DH DC 〈〉=︒，． 可得DP 与平面11AA D D 所成的角为30︒．经典精讲知识点睛D 1C 1B 1A 1D C BAPP D 1C 1B 1A 1D CB AH x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版尖子班学案3【拓2】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，且CP m =，⑴试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为32 ⑵在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则()100A ，，，()110B ，，， ()01P m ，，，()010C ，，，()000D ，，，()1111B ，，，()1001D ，，，所以()110BD =--，，，()1001BB =，，，()11AP m =-，，，()110AC =-，，，又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=知AC 为平面11BB D D 的一个法向量，设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2πsin cos 222AP AC AP AC mθθ⋅⎛⎫=-==⎪⎝⎭⨯⨯+， ()223222132m =⨯++，解得13m =，故当13m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为32⑵若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则()11Q x x -，，，()110D Q x x =-，，，依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于()1110102D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔-+-=⇔=，即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．目标班学案3【拓3】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD ．⑴ 求证：11B C ⊥平面11ABB A ；⑵ 设E 是1CC 的中点，试求出1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值．E A 1B 1C 1ABCD【解析】 ⑴ 连接1AB ，∵1AB B B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥．yz Q PD 1C 1B 1A 1DCBAz EC 1B 1A 1AB C D A 1B 1C 1D 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ， ∴111A B B C ⊥．又111BB B C ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ． ⑵ 在矩形11ACC A 中，由11AC A D ⊥可知11~A AD ACC △△，则11112CC CC AC AA AD AC==，故12AC AA =，从而AB BC =． 建立如图的空间直角坐标系，不妨设2AB =， 则()200A ，，，()1202A ，，，()1022C ，，，()021E ，，， 可得()1222AC =-，，，()1221A E =--，，． 由题意可知1AC 即为平面1A BD 的一个法向量， 设1A E 与平面1A BD 所成的角为θ， 则1111113sin cos 233AC A E AC A E AC A Eθ⋅====⨯⨯，．考点5：用空间向量求二面角设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则αβ，所成的二面角θ满足：121212cos cos n n n n n n θ⋅=〈〉=，（θ为平面α，β所生成的二面角，[]0πθ∈，）<教师备案> 利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【例6】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，PA PB ⊥， AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ．⑴ 求证：PA ⊥平面PBC ；⑵ 求二面角P AC B --的余弦值；⑶ 求异面直线AB 和PC 所成角的余弦值．【追问】在线段PC 上有一点E ，PE PC λ=，求λ的值，使得二面角C AB E --的大小为60︒？【解析】 在平面PAB 中作PO AB ⊥于点O ，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D ．经典精讲知识点睛PBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设6PA PB ==．∵PA PB ⊥， ∴233AB PO BO AO ===． ∵30AB BC BAC ⊥∠=︒，， ∴tan302BC AB =⋅︒=．∴()000O ，，，()030A ，，()030B ，， ()230C ，，，(003P ，，，()100.D ，， ⑴ ∵(033PA =-，，()200BC =，，， ∴0PA BC ⋅=，∴PA BC ⊥． 又∵PA PB ⊥， ∴PA ⊥平面PBC ．⑵ 由⑴知，(003OP =，，为平面ABC 的一个法向量，设()n x y z =，，为平面PAC 的一个法向量，∵()2230AC =，，则3302230n PA y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =得，31x z ==-，则()311n =--，，， ∴35cos 35n OP n OP n OP⋅-===⨯⨯，由图象知，二面角P AC B --为锐角，故二面角P AC B --5． ⑶ ∵()(0230233AB PC ==，，，，-，∴30cos AB PC AB PC AB PC⋅〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 30． 【追问】由PE PC λ=，可得点((2313E λλλ-，，，平面ABC 的法向量为()003OP =，， 可以算出平面ABE 的一个法向量为)()13102n λλ=--，，，于是11πcos 3OP n OP n ⋅=，解得13λ=（1-舍）．提高班学案3【拓1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4？PBOM DCxyz D 1C 1B 1A 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则()1101A ，，，()1001D ，，，()10E x ，，，()100A ，，，()020C ，，．由题意可知1DD 为平面ECD 的一个法向量，设平面1D EC 的法向量为()n a b c =，，，∵()120CE x =-，，，()1021D C =-，，，()1001DD =，，， ∴()120020.0b c n D C a b x n CE ⎧-=⋅=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1b =，得2c =，2a x =-， ∴()212n x =-，，． 依题意()121π22cos425n DD n DD x ⋅===⋅-+ ∴123x =+，223x =-∴23AE =1D EC D --的大小为π4．【备选】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==60ABC ∠=︒．⑴ 证明：1AB AC ⊥； ⑵ 求二面角1A ACB --的余弦值． 【解析】 方法一：⑴ ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB AA ⊥在ABC △中，1AB =，3AC ，60ABC ∠=︒， 由正弦定理得30ACB ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥．∴AB ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图，作1AD AC ⊥交1A C 于点D 点，连结BD ， 由三垂线定理知1BD AC ⊥∴ADB ∠为二面角1A ACB --的平面角． 在1Rt AAC △中，113366AA AC AD AC ⋅⋅== 在Rt BAD △中，6tan AB ADB AD ∠==∴15cos ADB ∠=， 即二面角1A ACB --15． 方法二：⑴∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．在ABC △，1AB =，3AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得30ACB ∠=︒，∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥． 如图，建立空间直角坐标系，则(000)A ，，，(100)B ，，，()030C ，，(1003A ，，DCBA C 1B 1A 1CB AC 1B 1A 1AB C DA 1B 1C 1D 1Ez y x24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴(100)AB =，，，()1033AC =-，，∵()11003030AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图可取(100)m AB ==，，为平面1AAC 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10A C n ⋅=，又()130BC =-，，，∴30330x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩∴3x y =，z y = 不妨取1y =，则()311n =，，()22222231101015cos 311100m n m n m n⋅⨯+⨯+⨯===⋅++⋅++，，结合图象知二面角1A ACB --为锐二面角， ∴二面角1A ACB --的余弦值为15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，且12AB AC A B ===． ⑴ 分别求出1AA 与底面ABC 、棱BC 所成的角；⑵ 在棱11B C 上确定一点P ，使14AP =并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解析】 ⑴ 因1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，则1A B ⊥底面ABC ．所以1A AB ∠就是1AA 与底面ABC 所成的角．因112AB A B A B AB ==⊥，，故1π4A AB ∠=，即1AA 与底面ABC 所成的角是π4．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()200C ，，，()020B ，，，()1022A ，，，()1042B ，，，()1222C ，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，，则1111cos 288AA BC AA BC AA BC⋅===-⨯⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3．⑵ 设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 于是()2214424142AP λλλ=+-+=（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐yzxC B AC 1B 1A 1Pyx A B CC 1B 1A 1A 1B 1C 1CBA1第12讲·提高-尖子-目标·教师版标为()132P ，，． 设平面PAB 的法向量为()1n x y z =，，，则11032022000n AP x y z x z y y n AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，， 不妨取1z =，得()1201n =-，，． 而平面1ABA 的法向量为()2100n =，，，则121212225cos 55n n n n n n ⋅-===-⋅，， 故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是255．【演练1】⑴ 设空间四点O A B P ，，，满足OP mOA nOB =+，其中1m n +=，则（ ）A ．P AB ∈ B ．P AB ∉C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上都不对⑵ 已知a b ，是空间两个向量，若2a =，2b =，7a b -=，则cos a b =，＿ 【解析】 ⑴ A已知1m n +=，则1m n =-，()1OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB ⇒=，0AB ≠∵，AP ∴和AB 共线，即点A P B ，，共线 ⑵18将7a b -=化为()27a b -=，求得12a b ⋅=，再由cos a b a b a b ⋅=，求得1cos 8a b =，【演练2】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N夹角的正弦值为（ ）A ．19B ．459C ．259D ．23 实战演练24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版NMA 1B 1C 1D 1AB CD解析图：zyxA 1B 1C 1D 1ABC DMN【解析】 B设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，可知()221CM =-，，，()1221D N =-，，， 1111cos 999CM D N CM D N CM D N⋅===-⨯⨯，，∴145sin CM D N =，【演练3】三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=︒，1A A ⊥平面ABC ，13A A =1122AB AC AC ===，D 为BC 中点．⑴ 证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵ 求二面角1A CC B --的余弦值．【解析】 ⑴ 如图，建立空间直角坐标系，则()()()000200020A B C ，，，，，，，，， ((11003013A C ，，，，，．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为()110，，． ∴()()()1110003220AD AA BC ===-，，，，，，，，， ∵()1212000AD BC ⋅=⨯-+⨯+⨯=， ()10202300AA BC ⋅=⨯-+⨯+=．∴1BC AD BC AA ⊥⊥，，又1AA AD A =，∴BC ⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ． ⑵ ∵AB ⊥平面11ACC A ，如图，可取()200m AB ==，，为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10CC n ⋅=． ∵(1013CC =-，，，∴22030x y y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 可取1y =，则311n ⎛= ⎝⎭，，． DABCA 1B 1C 1z yA 1B 1C 1ABDC1第12讲·提高-尖子-目标·教师版222222321010213cos 3200113m n ⨯+⨯+〈〉==⎛⎫++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ∴二面角1A CC B --21．【演练4】如图，已知长方体1AC 中，112AB BC BB ===，，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F ．⑴ 求证：1AC ⊥平面EBD ； ⑵ 求点A 到平面11A B C 的距离；⑶ 求直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值．【解析】 如图建立空间直角坐标系．∵1B BC BCE ∆∆∽，故2112BC CE BB ==； ⑴ ()()1000002A A ，，，，，， ()()()100010110B D C ，，，，，，，，，1112E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，∴()111112011022AC BE DE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， ∵()111011202AC BE ⋅=⨯+⨯+-⨯=， ()111110202AC DE ⋅=⨯+⨯+-⨯=． ∴1A C BE ⊥，1A C DE ⊥，即1AC BE ⊥，1AC DE ⊥， ∵BEDE E =，所以1A C ⊥平面EBD ．⑵ 设平面11A B C 的一个法向量为()m x y z =，，由11(100)A B =，，，1(012)B C =-，，，而1110A B m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02x y z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()021m =，，；而()1002AA =，，， ∴所求的距离为12555AA m d m⋅===⑶ 由⑵知，()021m =，，；而1102ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴设ED 与m 所成角为θ，则1cos 5m ED m EDθ⋅==-⋅所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．【演练5】如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，棱1DD 上是否存在点P ，使平面1APC ⊥平面1ACC ，证明你的结论．A 1D 1B 1C 1A BCD E F F E D 1C 1B 1A 1D CBA x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 如图建立空间直角坐标系，则()100A ，，，()120B ，，，()020C ，，，()1022C ，，，假设P 点存在，且DP a =，则∵平面1APC ⊥平面1ACC ，()00P a ，，， 法一：∴在平面1ACC 中作1CH AC ⊥，垂足为H 1A H C ∵，， 三点共线，∴()11CH CA CC λλ=+-()()()1201002λλ=-+-，，，， ()222λλλ=--，，，1CH AC ⊥∵，()()12221220CH AC λλλ⋅=--⋅-=∴，，，，， 49λ=∴，4810999CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，，，∵面1APC ⊥面1ACC ，1CH AC ⊥，CH ⊥∴面1APC CH AP ⇒⊥， ()4810100999CH AP a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭∴，，，，，25a =∴，∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使面1APC ⊥面1ACC ．法二：()10,0,2CC =，()11,2,2AC =-，()1,0,AP a =-，设平面1ACC 的法向量为(),,m r s t =，平面1APC 的法向量为(),,n x y z =， 则1120220m CC t m AC r s t ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，10220n AP x az n AC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 即可取()2,1,0m =，2,,12a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以平面1ACC ⊥平面1APC ⇔0m n m n ⊥⇔⋅=，即2202a a -+=，解得25a =．∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使平面1APC ⊥平面1ACC ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为AD 、1AA 、11A B 中点， ⑴ 求B 到平面EFG 的距离；⑵ 求二面角1G EF D --的余弦值．大千世界ABC DA 1B 1C 1D 1P zyxHP D 1C 1B 1A 1D C B AD 1C 1B 1A 1DCBAE FG1第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的坐标系．则(010)E ，，，()200B ，，，(001)F ，，，(102)G ，，； 于是向量(011)FE =-，，，(101)FG =，，； 设面EFG 的法向量为()n x y z =，，，则0n FE n FG ⋅=⋅=， 即00y z x z -=⎧⎨+=⎩，于是可取(111)n =-，，； ⑴ (210)EB =-，，，设B 到面EFG 的距离为h ；则33n EB h n⋅===⑵ 平面11ADD A 的法向量可取成(100)m =，，；于是3cos 3m n m n m n⋅===， 由图象知二面角1G EF D --3G EA C D1B 1C D 1xy。
2013高中数学精讲精练(新人教A版)第12章 导数及其应用
2013高中数学精讲精练 第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。
2．深刻理解导数概念。
概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。
5．加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。
第12讲直线的一般式方程(7种题型)(原卷版)-2024年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(
第12讲直线的一般式方程（7种题型）【知识梳理】一．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．二．直线的一般式方程与直线的平行关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．四．待定系数法求直线方程求直线方程的一般方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．（2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定A（x0，y0），可以利用直线的点斜式y﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．五．两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．六．方程组解的个数与两直线的位置关系两条直线的交点坐标：（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．七．与直线有关的动点轨迹方程1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．2、求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标（x，y）表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．【考点剖析】一．直线的一般式方程与直线的性质（共13小题）1．（2022秋•永昌县校级期末）已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（）A．x+y﹣3＝0B．4x﹣3y+9＝0C．3x﹣4y+3＝0D．2x+y﹣3＝02．（2022秋•西湖区校级期末）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是．3．（2022秋•项城市校级期末）过点A（3，2）且垂直于直线4x+5y﹣8＝0的直线方程为．4．（2022秋•福州期末）已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A（﹣2，﹣1），B（4，1），C（2，3）．（1）求AD所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．5．（2022秋•苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．6．（2022秋•玉林期末）在△ABC中，A（1，1），B（3，﹣2），C（2，0）．（1）求△ABC的中线AD所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．7．（2022秋•衡南县期末）已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为．（1）求直线l的方程；（2）直线，点P在l'上，求|P A|+|PB|的最小值．8．（2022秋•房山区期末）已知△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x﹣3y+1＝0，x+y＝0，顶点A（1，2）．（1）求顶点C的坐标；（2）求BC边所在的直线方程．9．（2022秋•聊城期末）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，点P（1，2）在边BC上．（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．10．（2022秋•雅安期末）在△ABC中，已知点A（8，4），B（4，﹣1），C（﹣6，3）．（1）求BC边上中线的方程．（2）若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．11．（2022秋•崇川区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC 边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0．（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．12．（2022秋•定州市期末）已知△ABC的顶点B（3，2），AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为x+2y﹣13＝0②BC边上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣12＝0 _____，求直线AC的方程．13．（2022秋•佛山期末）△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，0），C（4，5），M是AB的中点．（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；（2）求△BCM的面积．二．直线的一般式方程与直线的平行关系（共11小题）14．（2022秋•宁河区校级期末）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（2022秋•滕州市期末）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝016．（2022秋•河南期末）若直线mx﹣4y+1＝0与直线x+2y﹣3＝0平行，则实数m＝（）A．2B．﹣2C．D．17．（2023春•虹口区期末）已知平面直角坐标系中的三点A（﹣2，﹣1）、B（2，2）、C（0，3），若直线l 过点C且与直线AB平行，则l的方程为．18．（2022秋•红山区期末）求解下列问题：（1）求过直线x﹣y﹣5＝0与直线x+y﹣3＝0的交点，且与直线3x﹣4y+6＝0平行的直线方程；（2）已知A（1，﹣2），B（﹣1，4），求以线段AB为直径的圆的方程．19．（2022秋•钦州期末）已知点P（2，4）和直线l：2x+y+1＝0．（1）求经过点P且与l平行的直线方程；（2）求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程．20．（2022秋•沙市区校级期末）已知直线l1：mx+（1﹣2m）y+2﹣m＝0，．（1）当直线l1在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数m的值；（2）若l1∥l2，实数m的值．21．（2022秋•米东区校级期末）已知直线l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直线l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）当m为何值时，直线l1和l2平行？（2）当m为何值时，直线l1和l2重合？22．（2022秋•凌河区校级期末）已知直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0交于点P．（1）直线l1经过点P，且平行于直线3x﹣4y+5＝0，求直线l1的方程；（2）直线l2经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l2的方程．（注：结果都写成直线方程的一般式）23．（2022秋•金华期末）已知平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（5，﹣2），C（﹣1，﹣1）．（1）若直线l过点C且与直线AB平行，求直线l的方程；（2）求线段BC的垂直平分线方程．24．（2022秋•新化县期末）已知直线l的方程为ax+y﹣2a﹣2＝0（a∈R）．（1）若l与直线x+2y＝0平行，求a的值；（2）若l在x轴，y轴上的截距相等，求l的方程．三．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共11小题）25．（2023春•奎屯市校级期中）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x+2y﹣3＝0的直线方程为（）A．x+2y+5＝0B．2x﹣y+5＝0C．x+2y﹣5＝0D．2x﹣y﹣5＝026．（2022秋•郴州期末）直线ax﹣4y＝0与直线4x+2y﹣1＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．1D．﹣127．（2023•忻州开学）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y+1＝0垂直，则＝．28．（2023春•虹口区期末）若直线l1：ax+2y+3a＝0与直线l2：2x+（a﹣1）y+4＝0互相垂直，则实数a的值为．29．（2022秋•长春期末）求解下列问题：（1）求过点P（4，2）且平行于直线l：3x﹣y+1＝0的直线的方程；（2）求过点P（﹣2，3）且垂直于直线m：x﹣3y﹣4＝0的直线的方程．30．（2022秋•龙华区期末）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．31．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边的垂直平分线所在直线的方程．32．（2022秋•益阳期末）已知点P（2，﹣1）和直线l：x+2y﹣5＝0．（1）若直线l1经过点P，且l1⊥l，求直线l1的方程；（2）若直线l2过原点，且点P到直线l2，l的距离相等，求直线l2的方程．33．（2022秋•香坊区校级期末）（1）求与直线3x+4y+1＝0平行且过点（1，2）的直线l的方程；（2）当m为何值时，直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y＝4m﹣1与直线2x﹣3y＝5垂直．34．（2022秋•广安期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边的垂直平分线所在直线的方程．35．（2022秋•涪城区期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）．（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）若AD⊥BC，垂足为D，求点D的坐标．四．待定系数法求直线方程（共6小题）36．（2022秋•龙川县校级期末）过点P（﹣1，1）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5），两点到直线的距离相等，则直线方程是（）A．2x+y+1＝0B．x+2y﹣1＝0C．2x+y+1＝0或4x+y+3＝0D．x+2y﹣1＝0或4x+y+3＝037．（2022秋•钦州期末）若直线过点（，﹣3）和点（0，﹣4），则该直线的方程为（）A．y＝x﹣4B．y＝x+4C．y＝x﹣6D．y＝x+238．（2022秋•宿迁期末）过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程为．39．（2022秋•大丰区期末）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为．40．（2022秋•奉化区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0，则顶点C的坐标为．41．（2022秋•渝北区校级期末）已知直线l1：ax+2y﹣12＝0，直线l2过点A（﹣4，1），____．在①直线l2的斜率是直线y＝﹣x的斜率的2倍，②直线l2不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．（1）求l2的方程；（2）若l1与l2在x轴上的截距相等，求l1在y轴上的截距．五．方程组解的个数与两直线的位置关系（共3小题）42．（2022秋•崇州市校级月考）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a 的取值范围是（）A．B．a≥1或a≤﹣1C．﹣1≤a≤1D．或43．（2022秋•东安区校级月考）已知直线l：ax﹣y+1＝0，点A（1，﹣3），B（2，3），若直线l与线段AB 有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，1]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）44．（2022秋•武昌区校级期中）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为.（写出一个即可）六．与直线关于点、直线对称的直线方程（共6小题）45．（2022秋•泸州期末）点（0，0）与点（﹣2，2）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x+y+2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣2＝0D．x﹣y﹣2＝046．（2023春•仙桃校级月考）已知点A（5，2），B（7，﹣7），点P是直线y＝x上动点，则|P A|+|PB|的最小值是．47．（2022秋•新余期末）一束光线从点A（2，3）射出，经x轴上一点C反射后到达圆（x+3）2+（y﹣2）2＝2上一点B，则|AC|+|BC|的最大值为（）A．B．C．D．48．（2022秋•怀仁市校级期末）点（﹣1，3）关于直线x+y+2＝0的对称点的坐标为．49．（2022秋•淄博期末）直线ax+y+3a﹣1＝0恒过定点M，则点M关于直线2x+3y﹣6＝0对称的点N坐标为．50．（2022秋•海淀区校级期末）已知直线l1：y＝1与直线l2：y＝kx﹣2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．（Ⅰ）当k＝1时，求C点的坐标；（Ⅱ）当四边形ABCD为菱形时，求k的值．七．与直线有关的动点轨迹方程（共3小题）51．（2022秋•浦东新区校级月考）已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（Ⅰ）直线PQ是否经过点M（6，1）？（Ⅱ）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线上；②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标．52．（2022秋•洛阳月考）已知直线l：3x+y+2＝0与x，y轴的交点分别为A，B，且直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，则△P AB面积的最大值是．53．（2022•栖霞区校级开学）如图，在直角坐标系中，射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：x+3y＝0（x≥0），过点P （1，0）作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 点．①当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；②当AB 的中点在直线y ＝x 上时，求直线AB 的方程．【过关检测】一、单选题 1．（2023·全国·高二专题练习）直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()3,1 D ．()2,12．（2023·江苏·高二假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+= (,c d 不同时为0)的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关3．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线l 过点1,2且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．2350x y -+=B ．3270x y ++=)(,1)-∞- 2,1](2,3) 2][1,)+∞高二课时练习）已知直线Ax +在x 轴的截距大于在轴的截距，则0C B > 0 二、多选题B ．直线()12y k x -=-恒过定点()2,1C ．直线30x y +-=的倾斜角为135°D ．过点()2,1，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条12．（2023·江苏·高二假期作业）过点(2,1)，且斜率2k =-的直线方程为（ ）A ．()122x y -=--B ．210x y +-=C ．()122y x -=--D ．250x y +-=三、填空题13．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知直线:21l x y =+，则直线l 的斜率k =______． 14．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点(1,2)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是________．（用一般式表示）15．（2023·江苏·高二假期作业）直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距小1，且过定点(3,8)A -，则直线l 的方程为________________.16．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）两直线10ax y +-=与420x ay +-=平行，则a 的值是______；四、解答题 17．（2023·江苏·高二假期作业）已知ABC 在第一象限，若(1,1)A ，(5,1)B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边所在直线的点斜式方程.18．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线:3450l x y ++=，求：(1)过点()1,1A 且与直线l 平行的直线的方程；(2)过点()1,1A 且与直线l 垂直的直线的方程．19．（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成45°角和30°角，过点(1,0)P 作直线AB 分别与OA ，OB 交于点A 、B ，当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程.20．（2023·江苏·高二假期作业）对于问题“求经过点(21)(3,4)M N --,,的直线l 的方程”，某同学采取的方法如下：首先设直线:0l Ax By C ++=，然后由直线l 经过M ，N 两点得到20340A B C A B C -+=⎧⎨-++=⎩,做到这里，该同学认为题目条件不够，无法求解直线l 的方程，你同意该同学的观点吗？说明自己的观点及依据.21．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=.(1)若12l l ⊥，求实数a 的值；(2)若12l l ∥，求实数a 的值.22．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知ABC 的顶点分别为(2,4),(0,2),(2,3)A B C --，求：(1)直线AB 的方程;(2)AB 边上的高所在直线的方程;。
2022-2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第12章概率初步(单元提升卷)(解析版)
第12章概率初步（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.【答案】11 12【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.【详解】两个都不命中的概率为321114312⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故至少有一人命中的概率是11 12，故答案为：11 12.2．给出下列三个命题，其中正确命题有________个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.【答案】0【解析】从频率和概率的定义来分析选项.【详解】①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.故答案为：0.3．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=___________.【答案】{}0,2,4,6,8【解析】由取动物的次数来确定样本点。
【详解】解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0. 故答案为：{}0,2,4,6,8【点睛】注意鸡有2只脚，兔子有4只脚，以免计算错误。
4．从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为______． 【答案】{}0【分析】根据题意直接求解即可.【详解】取到的产品中没有次品，说明次品的个数为零， 故答案为：{}05．已知a 、{}1,1,2b ∈-，则直线10ax by ++=不过第二象限的概率是________. 【答案】29.【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果.【详解】因为基本事件(,)a b 有：(1,1)--，(1,1)-，(1,2)-，(1.1)-，(1,1)，(1,2)，(2,1)-，(2,1)，(2,2)，共9个，其中使得直线10ax by ++=不过第二象限的基本事件有：(1,1),-(1,2)-，共2个， 所以 直线10ax by ++=不过第二象限的概率是29. 故答案为：29.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.6．春节期间支付宝开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为_______.【答案】225【详解】由题意可得：小张扫第一次得到爱国福或敬业福，概率为125p =， 扫第二次得到另外一张福卡的概率215p =， 则小张再扫两次可以集齐五福的概率为12225p p p ==. 7．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a 的最大值是______.【答案】0.79.【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a 的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a ， ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴()()()110.510.410.3a ----≥， 解得0.79a ≤. ∴a 的最大值是0.79. 故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题8．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12，23，23，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 【答案】23【分析】设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”，则()12P A =，()23P B =，()23P C =，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：()()()()p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++，由此能求出结果．【详解】解：设事件A 表示“甲命中”，事件B 表示“乙命中”，事件C 表示“丙命中”， 则()12P A =，()23P B =，()23P C =， ∴他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：()()()()p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++121112122122233233233233=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯122183==．故答案为23．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．已知随机事件A ，B 互为对立事件，且()()3P A P B =，则()P A =___________.【答案】34【解析】根据对立事件的概率关系可求()P A .【详解】因为随机事件A ，B 互为对立事件，故()()1P A P B +=，而故()()3P A P B =， 故()34P A =，故答案为：34.10．假如()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，则()P A B =___________． 【答案】0.94【分析】根据给定条件求出()P AB ，再借助全概率公式即可计算作答. 【详解】因A 与B 相互独立，且()0.7P A =，()0.8P B =，则()()()0.70.80.56P AB P A P B =⋅=⨯=，所以()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=. 故答案为：0.9411．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为_____．【答案】43(,]32【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，所以有：0()10()10()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪<+≤⎩，即021*********a a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪<-+-≤⎩，解得4332a <≤， 故答案为：43(,]3212．通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________【答案】16【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==.故答案为：16【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题二、单选题13．甲、乙两个元件构成一串联电路，设E ：甲元件故障，F ：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（ ） A ．E F ⋃ B ．E FC ．E F ⋂D ．EF ⋂【答案】A【分析】根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.【详解】由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E F ⋃. 故选：A.14．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，设A ：第一次摸得白球，B ：第二次摸得白球，C ；第二次摸得黑球，则A 与B 、A 与C 的关系是（ ） A ．A 与B 、A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B 、A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立 【答案】A【分析】根据独立事件、互斥事件的定义逐一判断即可.【详解】由题意可知：332(),(),()555P A P B P C ===.因为3332()()(),()()()5555P AB P A P B P AC P A P C =⨯==⨯=，所以A 与B 、A 与C 均相互独立，因此选项A 正确； 因为事件A 与C 能同时发生，事件A 与B 能同时发生，所以事件A 与C 不互斥，事件A 与B 不互斥，因此选项B 、C 、D 不正确， 故选：A15．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）． A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可.【详解】对立事件的定义是：A ，B 两件事A ，B 不能同时发生，但必须有一件发生， 则A ，B 是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶， 所以对立事件是二次都不中靶. 故选：C.16．若()121(),,()933P AB P A P B ===，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立【答案】C【分析】根据相互独立的事件的定义判断即可；【详解】解：因为()23P A =，所以()()211133P A P A =-=-=，又1()9P AB =，1()3P B =，所以()()()P AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立；因为()()P A P B ≠，所以事件A 与B 显然不对立，无法确定事件A 与B 是否互斥； 故选：C三、解答题17．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ． (1)求()P A ，()P B ，()P C ； (2)求抽取1张奖券中奖的概率；(3)求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率． 【答案】(1)()11000P A =，()1100P B =，()120P C = (2)611000；(3)9891000【分析】（1）根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据互斥事件的概率加法公式，得到()()()()P D P A P B P C =++，即可求解； （3）根据对立事件的概率计算方法，得到()()()1P E P A P B =--，即可求解． (1)解：由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 故()11000P A =，()1011000100P B ==，()501100020P C ==．(2)解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D ，则()()()()111611000100201000P D P A P B P C =++=++=． (3)解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ， 则()()()119891110001001000P E P A P B =--=--=． 18．已知f (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]，给出事件A ：f (x )≥a . （1）当A 为必然事件时，求a 的取值范围；（2）当A 为不可能事件时，求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－1]；（2）(3，＋∞).【分析】 根据函数的解析式求得函数的最大值是3，最小值是1-，（1）当A 为必然事件时，即不等式()f x a 在[2-，1]-上恒成立，故有1a -，由此求得实数a 的取值范围．（2）当A 为不可能事件时，即不等式()f x a 在[2-，1]-上无解，故有3a <，由此求得实数a 的取值范围．【详解】∵ f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2，1] ∴ f (x )min ＝－1，此时x ＝－1. 又f (－2)＝0＜f (1)＝3 ∴ f (x )max ＝3. ∴ f (x )∈[－1，3]（1）当A 为必然事件时，即f (x )≥a 恒成立，故有a ≤f (x )min ＝－1，即a 的取值范围是(－∞，－1].（2）当A 为不可能事件时，即f (x )≥a 一定不成立，故有a ＞f (x )max ＝3，则a 的取值范围为(3，＋∞).19．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间；（2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件A 为“三次结果对应数字之和不小于2”，求()P A ．【答案】（1）{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}；（2）{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}；（3）12.【分析】（1）写出每一种情况即可； （2）在（1）中找出满足条件的样本点即可；（3）先求样本点的总数，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0.其样本空间为{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}； （2）三次结果对应数字之和为1的样本点为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}共3个；（3）三次结果对应数字之和不小于2的样本点为{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}共4个，故41()82P A ==. 20．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）0.025；（Ⅱ）0.814；（Ⅲ）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.【分析】（Ⅰ）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（Ⅱ）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（Ⅲ）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..【详解】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008002102000+++++=，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=，故所求概率为500.025 2000=；（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6200.83000.852000.758000.85100.91628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=部，由古典概型概率公式得()16280.814 2000P B==；（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【点睛】本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式()mP An=求出事件A的概率.21．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，求方程210ax bx++=有实数根的概率． 【答案】1936【分析】由题意得到{}1,2,3,4,5,6a ∈且{}1,2,3,4,5,6b ∈，得到(),a b 的不同取值情况共有36个，根据方程无实数根的条件是240b a ∆=-≥，即24b a ≥，分类讨论，求得事件A 包含的样本点共有19个，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ， 可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，{}1,2,3,4,5,6b ∈，所以(),a b 的不同取值情况共有6636⨯=， 即基本事件的总数36n =个，记“方程210ax bx ++=有实数根”为事件A ，又由方程无实数根的条件是240b a ∆=-≥，即24b a ≥， 当1b =时，此时无解； 当2b =时，可得1a =； 当3b =时，可得1,2a =； 当4b =时，可得1,2,3,4a =； 当5b =时，可得1,2,3,4,5,6a =； 当6b =时，可得1,2,3,4,5,6a =．所以事件A 包含的样本点共有1246619++++=（个），所以()1936P A =．。
新高二数学联赛班暑假第12讲二试真题分析数论
本讲将对前几年的数论问题进行分析，梳理常用的方法和解题思路. 特别的，近三年均把数论题作为最后一题，难度或复杂程度有所提升．【例1】 （2011高中数学联赛）证明：对任意整数4n ≥，存在一个n 次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++，具有如下性质：⑴011n a a a -，，，均为正整数；⑵对任意正整数m ，及任意k （2k ≥）个互不相同的正整数12k r r r ，，，， 均有()()()()12k f m f r f r f r ≠．【例2】 （2009高中数学联赛）设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．知识点睛经典精讲12.1数论问题第【例3】 （2013高中数学联赛）设,n k 为大于1的整数，2k n <．证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组， 则总有一组若干个数的和被n 整除．【例4】 （2009CMO ）求所有的素数对(,)p q ，使得|55pqpq +.【例5】 （2003高中数学联赛）设三角形的三边长分别是整数l ，m ，n ，且l m n >>，已知444333101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，其中{}[]x x x =-，而[]x 表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【例6】 （2014高中数学联赛）设整数1x ，2x ，…，2014x 模2014互不同余，整数1y ，2y ，…，2014y 模2014也互不同余．证明：可将1y ，2y ，…，2014y 重新排列为1z ，2z ，…，2014z ，使得11x z +，22x z +，…，20142014x z +模4028互不同余．【例7】 （1978IMO ）数1978n 与1978m 的最后三位数相等，试求出正整数n 和m ，使得m ＋n 取最小值，这里n ＞m ≥1．【例8】 （2012高中数学联赛）设1112n S n=+++，n 是正整数．证明：对满足01a b <≤≤的任意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ． 这里，[]x 表示不超过实数ｘ的最大整数．【例9】 （2010高中数学联赛）设k 是给定的正整数，12r k =+． 记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f fr l -≥． 证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．【演练1】求所有的素数对(,)p q ，使得|77p q pq +.实战演练【演练2】(第8届CWMO)设整数2m ≥，12,,...,m a a a 都是正整数. 证明：存在无穷多个正整数n,使得1mn kk ak =⋅∑都是合数.【演练3】 能否找到自然数的集合S ，满足：⑴1991S =；⑵S 中任意二数互质；⑶S 中任(2)k ≥个数的和为合数．【演练4】 (第5届CGMO 第8题)设p 为大于3的质数，求证：存在若干个整数12,,...,t a a a 满足条件：12 (22)t p pa a a -<<<<<，使得乘积1212t tp a p a p a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅是3的某个正整数次幂．【演练5】 (2007年国家集训队第6次测试)考虑一个77⨯的数表22()(),1,7ij a i j i j i j =++≤≤. 我们称将任意一个由7个整数组成的等差数列的每一项分别依次加到某一行（或列） 对应的项上为一次操作.问：是否可能经过有限步上述操作得到一个数表使其每一行的7个数都构成等差数列．。
配套K12高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.2.1平行直线教案新人教B版必修2
1.2.2.1 平行直线示范教案整体设计教学分析教材类比初中平面几何知识得到基本性质 4.直接给出了定理并加以证明．值得注意的是教学的重点是基本性质4和定理的应用，即平行直线的判定．三维目标1．掌握基本性质4和等角定理，提高类比和抽象思维能力．2．掌握空间四边形的概念，培养学生空间想象能力．重点难点教学重点：基本性质4和等角定理．教学难点：证明等角定理．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.前面我们学习了平面的基本性质——三个公理及其推论，讨论了公理及其推论的作用，并且对性质公理及其推论的简单应用进行了研究——共面问题的证明、点共线问题的证明、线共点问题的证明，通过具体问题与平面几何知识对照、类比，揭示了三类问题的证明思路、方法与步骤，这些内容是立体几何的基础，我们大家应予以足够的重视．从这节课开始，我们来研究平行直线(板书课题)．设计2.平行与垂直是空间点、直线、平面的位置关系中最重要的情况，在现实生活中，平行与垂直的情形也时常见到，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题回顾平行线的定义和有关定理.在平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？(3)在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(如下图，AO∥A′O′，BO∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，或∠AOB和∠A′O′B′互补．)在空间中呢？(4)阅读教材，给出空间四边形的概念．讨论结果：(1)在初中几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，还学过平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．(2)基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．即，如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c(下图)．上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性．(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．已知如下图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′DD′.同理可得AA′EE′.于是DD′EE′.因此DD′E′E是平行四边形．可得DE＝D′E′.于是△ADE≌△A′D′E′.因此∠BAC＝∠B′A′C′.(4)如下图(1)所示，顺次连结不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，下图(2)中的四边形可以表示为空间四边形ABCD，线段AC，BD是它的对角线．图(1) 图(2)应用示例思路1例1已知：如下图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 所以EH∥BD，EH ＝12BD.同理，FG∥BD，且FG ＝12BD.所以EH∥FG，EH ＝FG.所以四边形EFGH 是平行四边形． 点评：证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；对边分别平行；对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．变式训练空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC ＝BD. 求证：四边形EFGH 是菱形．证明：连结EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH ＝12BD.同理，FG∥BD，EF∥AC， 且FG ＝12BD ，EF ＝12AC.所以EH∥FG，且EH ＝FG.所以四边形EFGH 为平行四边形． 因为AC ＝BD ， 所以EF ＝EH.所以四边形EFGH 为菱形．思路2例2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和棱CC 1的中点． 求证：EB 1∥DF，ED∥B 1F.证明：如下图，设G 是DD 1的中点，分别连结EG ，GC 1.∵EG A1D1，B1C1A1D1，∴EG B1C1.∴四边形EB1C1G是平行四边形．∴EB1GC1.同理，可证DF GC1.∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形．∴ED∥B1F.变式训练正方体AC1中，E、F分别在棱AA1和CC1上，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如下图所示，在直线BB1上取一点G，使B1G＝AE，连结A1G，FG，∵B1G＝AE，∴A1E ＝BG.又∵A1E∥BG，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴EB A1G.同理，四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G D1F.∴EB D1F.(公理4)∴四边形EBFD1是平行四边形．知能训练1．如下图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：四边形EFGH 是梯形．分析：要证明四边形EFGH 有一组对边平行且不相等，先要考虑哪一组对边有平行的可能，由于E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 实质上分别是CB 、CD 的三等分点，连结BD ，问题就变得明了了．证明：连结BD ，∵E、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线．∴EH∥BD，EH ＝12BD.又在△CBD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG∥BD，FG ＝23BD.根据公理4，EH∥FG.又FG>EH ，∴四边形EFGH 是梯形．2．如下图，P 是△ABC 所在平面外一点，点D 、E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE ＝13AC.分析：由点D 、E 分别是△PAB、△PBC 的重心，想到连结PD 、PE ，并延长与AB 和BC 分别相交，从而构造三角形，充分利用重心的性质及三角形中位线定理．证明：连结PD 、PE 并延长分别交AB 、BC 于点M 、N ， ∵点D 、E 分别是△PAB、△PBC 的重心， ∴M、N 分别是AB 、BC 的中点．连结MN ，则MN∥AC，且MN ＝12AC.①在△PMN 中，∵PD PM ＝PE PN ＝23，∴DE∥MN，且DE ＝23MN.②由①②根据公理4，得DE∥AC，且DE ＝23MN ＝23×12AC ＝13AC.拓展提升已知空间四边形ABCD ，P 、Q 、R 、S 分别是线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，试找到P 、Q 、R 、S 的合适位置和四边形ABCD 所具备的条件，使得四边形PQRS 恰好为一个菱形，并证明你的结论．解：取P 、Q 、R 、S 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且使四边形ABCD 满足AC ＝BD ，可得四边形PQRS 为菱形．证明如下，如下图所示．∵P、Q 为AB 、BC 的中点， ∴PQ12AC ，同理RS 12AC ∴四边形PQRS 是平行四边形， 又PS12BD ，RQ 12BD ，AC ＝BD ， ∴PS＝PQ ，∴四边形PQRS 是菱形． 课堂小结本节课学习了基本性质4和等角定理，以及平行直线的判定． 作业本节练习A 2题；练习B 2题．设计感想平行直线是高考考查的重点．本节不仅选用了传统经典题目，突出了题目的开放性和探究性，并在教材的基础上加以适当拓展，突出了应用．。
高中数学苏教版必修第二册第十二章《复数的三角表示式》示范公开课教学课件
这些辐角的值之间有什么关系呢？
在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
一个复数的辐角的值有多少个？
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．
利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．
因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
⟺ 两个复数对应的向量相同
角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角．
为了解决问题2，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角呢？
你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？
由可以得到复数a+bi=，
其中r，，．
刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？
2沪教版(上海)高二数学第二学期-12.2 圆的方程-教案
圆的 方程【教学目标】在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
进一步提高用解析法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强用数学的意识。
【教学重难点】圆的标准方程的推导；圆的一般方程及其代数特征。
【教学过程】（一）圆的标准方程问题1：已知一定圆C 的半径为r ，求此圆的方程。
分析：设M 是圆上任意一点，根据圆的定义，可知点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}如左图，以圆心C 原点建立平面直角坐标系，设圆上任意一点),(y x M ， 因为r MC =，所以r y x =+22 整理得： 222r y x =+ （1）这里边我们要注意点M 的坐标与方程（1）的关系：由方程（1）的推导过程可知，若点M 在圆上，则M 的坐标满足方程（1）；反之，若点M 的坐标是方程（1）的解，即222r y x =+，则有r y x =+22，即r MC =，可知点M 在圆上。
综上可知，圆C 的方程是222r y x =+。
说明：求圆的方程应需考察以下两个方面：首先应建立一个合适的平面直角坐标系（若没有给出直角坐标系）；其次，所得方程是否为轨迹（圆）方程，可由曲线方程的定义验证。
问题2：若设一定圆C 的圆心在),(b a 半径为r ，求此圆的方程。
设圆上任意一点),(y x M ，因为r MC =，所以r b y a x =-+-22)()(， 整理后得：222)()(r b y a x =-+-。
同问题1，可以验证方程222)()(r b y a x =-+-是圆心在),(b a 半径为r 的圆的方程。
可以看到只要知道了圆心坐标和半径，就可以得出其相应的圆方程。
我们称方程222)()(r b y a x =-+- 是圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程。
说明：这种对应关系把圆和方程联系起来，我们把圆的定义从文字语言转化为数学语言，把圆的几何性质代数化，从而体现了解析几何的特点。
第12课时 定积分基本定理
潞城一中·高二数学（理）导学案 班级： 姓名：勤思勤问 百炼成钢1第12课时 微积分基本定理主备：魏国栋【学习目标】1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.【自学指导】复习回顾1. 如何求曲边梯形的面积2. 定积分的定义和几何意义 教材阅读（阅读P51-P54） 1.导数与定积分的关系⌡⌠abf (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝⌡⌠ab v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有⌡⌠ab v (t )d t＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分⌡⌠ab v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).2.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⌡⌠ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).3.常见函数的原函数(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x .【讲练互动】合作探究(1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？知识点一 求简单函数的定积分 【例1】 (1)计算下列定积分. (1) ∫ 21(x-1)d x ;(2)∫ 21�2xx -1xx �d x ; (3)∫ 0−π (sin x+e x )d x.(2)计算下列定积分.(1)∫ 211xx d x ; (2)∫ 10x 3d x ; (3)∫ 1-1e x d x.潞城一中·高二数学（理）导学案儒雅匠心 乐业爱生 2020年 月 日2知识点二 求较复杂函数的定积分 【例2】(1)计算下列定积分. (1)�1xx 2+2x 21d xx ;(2)∫si π20n 2xx 2d xx ;(3)∫|3xx 2-4|d xx .(2)计算下列定积分.(1)∫ 20(4-2x )(4-x 2)d x ;(2)∫ 21xx 2+2x−3xxd x.知识点三 求分段函数的定积分【例3】求函数f (x )=�xx 3,x∈[0,1),√xx,x∈[1,2),2xx ,x∈[2,3]在区间[0,3]上的积分.【检测训练】1.∫ 21�xx 2-2xx�d x 等于( ).A .3-ln 4 B.5-ln 4 C .34-ln 4 D .54-ln 4 2.∫ π-π(sin x+cos x )d x 等于( ). A.0B.-1C.1D.23.设集合P=�xx�∫(3xxtt 2-10t+6)dtt =0,xx >0�,则集合P 的非空子集个数是( ).A .2B .3C .7D .84.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+tt (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.求在此期间汽车继续行驶的距离s (单位:m).5.设f (a )=∫ 1|x 2-a 2|d x. 问题1:当a>1时,求f (a )的值. 问题2:当0≤a ≤1时,求f (a )的值. 问题3:当a ≥0时,求f (a )的最小值.潞城一中·高二数学（理）导学案班级：姓名：【自我评价】勤思勤问百炼成钢 3。
高中数学十二节课系列教案
高中数学十二节课系列教案课时安排：第一节课：整式的加减法第二节课：整式的乘法第三节课：整式的除法第四节课：一元二次方程的求解第五节课：二次函数的性质及图像第六节课：直线方程的求解第七节课：几何证明方法第八节课：几何作图方法第九节课：三角函数的概念及性质第十节课：平面向量的基本概念第十一节课：概率问题的求解第十二节课：数列与数列的求和第一节课整式的加减法教学内容：整式的加减法教学目标：掌握整式的加减法的基本运算方法教学重点：整式的加减法的概念和运算方法教学难点：整式的加减法的应用教学过程：1.复习整式的基本概念和运算规则；2.讲解整式的加减法的定义和运算步骤；3.练习整式的加减法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第二节课整式的乘法教学内容：整式的乘法教学目标：掌握整式的乘法的基本运算方法教学重点：整式的乘法的概念和运算规则教学难点：整式的乘法的运算步骤教学过程：1.复习整式的加减法，引出整式的乘法；2.讲解整式的乘法的定义和运算步骤；3.练习整式的乘法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第三节课整式的除法教学内容：整式的除法教学目标：掌握整式的除法的基本运算方法教学重点：整式的除法的概念和运算规则教学难点：整式的除法的应用教学过程：1.复习整式的加减法和乘法，引出整式的除法；2.讲解整式的除法的定义和运算步骤；3.练习整式的除法题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第四节课一元二次方程的求解教学内容：一元二次方程的求解教学目标：掌握一元二次方程的求解方法教学重点：一元二次方程的定义和解法教学难点：一元二次方程的应用教学过程：1.复习一元一次方程的求解方法；2.讲解一元二次方程的定义和解法；3.练习一元二次方程的求解题目，巩固所学内容；4.课堂小结，布置作业。
第五节课二次函数的性质及图像教学内容：二次函数的性质及图像教学目标：掌握二次函数的性质和图像的特点教学重点：二次函数的定义和性质教学难点：二次函数的图像绘制教学过程：1.复习函数的基本概念和性质；2.讲解二次函数的定义和性质；3.绘制二次函数的图像，掌握绘制方法；4.课堂小结，布置作业。
高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)+1
问题3：空间的基底唯一吗？
●不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组 成空间的一个基底．
因此，如果 i ， j ，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p ，存在唯一的有序 实数组 (x, y, z) ，使得
(2)因为CE CC' C'E 1 j k , 2
AG AD DG i 1 k 2
cosCE, AG CE AG CE AG
1 2
j
k
i
1 2
k
2
5 5
5
22
所以CE与AG所成角的余弦值为 2 5
D E
C
F
A
B
G
D
A 图1.2-4
C B
环节六:归纳总结，反思提升
用基底表示向量的三个步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空 间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需 要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、 向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出 空间所有向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不 能含有其他形式的向量．
环节三：抽象概括，形成概念
特别地, 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直, 且长度都为1,么这个基底叫做单位正交基底, 常用{i , j , k}表示.
由空间向量基本定理可知, 对空间中的任意向量a, 均可以分解为三个向量xi , yj , zk, 使a xi yj zk . 像这样, 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量, 叫做把空间向量进行正交分解.
(新人教A)高二数学同步辅导教材棱锥、多面体及其欧拉公式
高 二 数 学（第26周）主讲教师：徐 瑢 【教学内容】棱锥、多面体及其欧拉公式【教学目标】1掌握棱锥的体积公式及应用。
2【知识讲解】一、棱锥1、棱锥的概念：2、一般棱锥的性质 ①底面是多边形②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形 ③平行于底面的截面和底面是相似多边形，面面积的比等于上述相似比的平方。
3、正棱锥的概念理解。
对于正多边形，它的内心、外心、重心、垂心是重合的，直平分线的交点，到多边形各个顶点的距离相等，即外接圆半径；离相等，即内切圆半径；重心是多边形各边上中线的交点，把中线分为长度比为2∶1交点。
只有正多边形才有中心。
4、正棱锥的性质（1 （2也组成一个直角三角形，这两个重要的三角形可解决棱锥的绝大多数求值问题。
5、正棱侧的侧面积公式正棱锥的底面周长是C ，斜高是h ＇，那么它的侧面积是h C '21一般棱锥的侧面积可由各侧面面积相加而得。
6、锥体的体积公式：如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积是S ，高是h ，则它的体积是：13V =锥体二、多面体1、 多面体概念：若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。
两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。
2面体叫做凸多面体。
一个多面体至少有四个面。
多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。
3、正多面体的概念：一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的图多面体，叫做正多面体。
正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
4、简单多面体：在一种特定的连续变形中，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。
O 为正°，a ，h a '，其O 作15054)14(22=-h h 解得h=35 故棱锥的高为35cm 。
评述：棱锥平行于底面的截面的性质有着广泛的应用，尤其在解决有关棱台的上、下底的面积问题时常用此结论。
例4、如图，设正三棱锥v —ABC 的底面长为a ，侧棱长为2a ，过点A 作与侧棱VB 、VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值。
(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率
高 二 数 学（第33周）主讲教师：刘海滨 【教学内容】1、随机事件的概率；2、互斥事件有一发生的概率；3、相互独立事件同时发生的概率。
【教学目标】使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独立事件的意义；会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率；会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
【知识讲解】一、随机事件的概率1、随机事件及其概率（1）随机事件A 的频率指此事件发生的次数m 与试验总次数n 的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p 附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率，记作P （A ）。
（2）弄清随机事件概率的取值范围由于频率nm总介于0、1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A ，有1)(0≤≤A P ；对必然事件I ，显然有P （I ）=1，对不可能事件Φ，显然有P （Φ）=0。
2、等可能事件的概率nmA P =)(既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本公式，利用这个式子计算概率时关键是求出m 、n 。
N 为一次试验中等可能出现的结果数，m 为某个事件A 所包含的结果数。
求n 时，应特别注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上是很容易出错的。
二、互斥事件有一发生的概率 1、关于“互斥事件”“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。
2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中发有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。
三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件及其同时发生的概率 （1）理解“相互独立”的含义相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
高中数学辅导书排行榜 哪些辅导书值得买
高中数学辅导书排行榜哪些辅导书值得买高中数学辅导书推荐数学辅导书推荐 1.《高中数学精编•代数》《高中数学精编•解析几何、立体几何》郑日锋浙江教育出版社这套书上世纪八十年代就已经风靡一时了，堪称经典。
之前一直是四本，后来改成了两本，内容上也有更新，目前还是四校学生争先恐后刷掉的第一套书，可见其在高中教辅之中的地位。
可作为同步教辅。
数学辅导书推荐2.《多功能题典•高中数学》(第三版)况亦军华东师范大学出版社该书主编况亦军为上海中学数学教研组组长，各章编写者大多为华东师范大学第二附属中学的老师，可以保证该书品质。
该书非常厚(1000页)，每个题目后配有详细解析，非常适合有一定基础之后再进行阅读，否则只看解析不动笔做容易造成眼高手低的状况。
数学辅导书推荐3.《高中五星级题库•数学(课改版)》《高中五星级题库难题解析•数学(课改版)》(红皮) 沈子兴上海科技教育出版社还有一套蓝皮的五星级题库不推荐给各位，因为那本书是全国教材的编写顺序，而红皮的是上海教材的编写顺序。
该书为华师大二附中学生用于提高的教辅，部分五星题目达到高中联赛难度。
数学辅导书推荐4.《华东师大版一课一练》华东师范大学出版社该书为部分中学同步教辅，号称改革开放以来最具影响力的300本书之一，经常遇到学生问到该书上的问题，如果学校要求做就做，不要求做的话建议刷《精编》。
数学辅导书推荐5.《龙门专题•高中数学》(12本专题+1思想方法) 付荣强龙门书局高中教辅精五门之一(精编，五星级题库，龙门专题)，这是高中常规体系教辅材料里面少有的分专题呈现的教辅，专题之间穿插很多，综合性强，不适合作为同步教辅，当然学习能力非常强的学生可用该书自学。
高中数学选什么辅导书数学辅导书推荐：《王后雄教案》此书讲解详细，例题经典而且涉及考点较为全面，唯一不足就是某些地方过于啰嗦，看的时候可以选择性略过。
做这本书时，我的建议是先做习题，再做例题，并对照着例题的考点分类，把习题再过一下，主要是能熟练掌握解题的通法，以保证以后遇到同类型的题目时能马上反应过来用什么方法解决，毕竟高考中大部分是一般题，掌握通法是很有必要的。
高中数学教学选修12
高中数学教学选修12一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高中数学选修12的内容，这部分内容主要涉及复数及其运算，是高中数学教学的重要组成部分。
复数的概念与运算不仅对学生的数学思维有着较高的要求，而且对于他们理解数学的抽象美，培养解决复杂问题的能力有着至关重要的作用。
教学任务旨在使学生掌握复数的定义、性质，学会复数的四则运算，并能运用复数解决实际问题。
2、教学对象教学对象为高中二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了实数的概念及运算，具备了一定的数学推理和逻辑思维能力。
然而，由于复数的抽象性和新颖性，学生可能会在学习过程中遇到理解上的困难。
因此，教学过程中需要关注学生的个性化差异，提供足够的引导和实例，帮助他们逐步建立起复数的概念，并能够熟练地进行运算和应用。
此外，考虑到学生的年龄特点，教学中应注重激发他们的学习兴趣，引导他们主动探索和发现数学规律。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解复数的概念，掌握复数的表示方法及其几何意义；（2）掌握复数的四则运算规则，能够熟练进行复数的加减乘除运算；（3）了解复数的模和辐角的定义，能够计算复数的模和辐角；（4）能够运用复数解决实际问题，如解析几何中的应用、电学中的复阻抗等；（5）通过复数的学习，提高学生的数学运算能力、逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
2、过程与方法（1）通过导入实际生活中的问题，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探索复数的概念和性质；（2）采用直观的几何图形和动画演示，帮助学生形象地理解复数的几何意义，加深对复数概念的理解；（3）通过分组讨论、合作学习，培养学生团队合作精神和交流能力，使他们在探讨复数运算过程中相互启发、共同进步；（4）设计不同难度的习题，让学生在练习中逐步掌握复数的运算方法，提高解题技巧；（5）利用信息技术手段，如数学软件、网络资源等，帮助学生拓展学习视野，培养自主学习和解决问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热爱，使他们体会到数学的美妙和实用性；（2）通过复数的学习，引导学生认识到事物往往具有多样性，学会从不同角度看待问题，培养他们的创新思维；（3）在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励他们克服困难，增强自信心，形成积极向上的学习态度；（4）培养学生严谨、细致的学术态度，让他们在解决问题的过程中，遵循逻辑规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过小组合作学习，引导学生学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的人际交往能力和团队协作精神。
江苏省2020年高二数学第12讲 简单复合函数的导数 课件
(2) y
=
ln(2 x )由y
=
ln
u及u=2x复合而成,yⅱu =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 u
, ux
=
2,
yⅱu ?ux
2, u
又y
=
ln(2x)= ln
x
+ ln
2,
yⅱx =
1 x
=
yu
?u?x符合猜想.
2.3法则论证
对于y = (3x - 1)2, yu = u2,ux = 3x - 1 yⅱx = 6(3x - 1)，yu = 2u,u?x = 3
核心任务
如何获得复合函数的求导法则？
如何理解复合函数的求导法则？ 如何运用复合函数的求导法则？
01 简单复合函数的定义 ------研究对象的确定
1.1复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 如y = ln(5x +1)由y = ln u及u = 5x +1复合而成. y = f (j (x))由y = f (u)及u =j (x)复合而成.
考察特殊的位置：x =1时，u = 2 思考：此时yⅱ x =12，yu = 4,u?x = 3分别代表什么含义？
y¢x =12表示此时y增加的速度是x增加速度的12倍， yu¢= 4表示此时y增加的速度是u增加速度的4倍， u¢x = 3表示此时u增加的速度是x增加速度的3倍.
2.2法则归纳
若y = f (u),u = ax +b,则yⅱ x = yu ?u?x，即 yⅱ x = yu ?a
例2：求下列函数的导数
(1) y = (2x - 3)3
(2) y = 1 3x - 1
(1) y = (2x - 3)3可由y = u3及u = 2x - 3复合而成，从而
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高二数学同步辅导教材（第12讲）一、本章主要内容8． 1 椭圆及其标准方程 课本第92页至第97页本讲主要内容1、椭圆的定义及运用；2、用待定系数法求椭圆标准方程。
二、学习指导1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，其中F 1、F 2是两个定点，2a 为定值，2a>|F 1F 2|}当2a=|F 1F 2|时，点P 的轨迹为线段F 1F 2 当2a<|F 1F 2|时，点P 不存在椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。
课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。
字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。
2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。
当焦点在x 轴上时，方程类型为1by a x 2222=+当焦点在y 轴上时，方程类型为2222a y bx +=1恒有a>b>0。
字母x 通常写在前面。
为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax 2+By 2=1（A>0，B>0)等。
3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。
其步骤为：（1）选标准，即判定焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两种情况都有可能； （2）定参数，通过解方程组的思想求得a 2，b 2，或c 2，a 2=b 2+c 2。
实际上，定参数（a ，b ，c ）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。
四、典型例题例1、椭圆焦距|F 1F 2|=4，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=π32，若△F 1PF 2的面积S=313，求椭圆的标准方程。
解题思路分析： 因△F 1PF 2的面积可通过S=h |F F |2121⋅ 及S=2121PF F sin |PF ||PF |21∠⋅⋅两种方式转化，故本题有两种解题途径。
思路一：如图，建立坐标系，则F 1(-7，0)，F 2(7，0)，不妨设P(x 0，y 0)，（x 0>0，y 0>0） ∵ 021PF F y |F F |21S 21=∆ ∴ 3713y 0= 又 7x y k 00PF 1+=，7x y k 00PF 2-=直线PF 1到直线PF 2的角为π32 ∴ )7x )(7x (y 17x y 7x y 32tan 00200000-+++--=π∴ 49y x y 14320200-+=-∴ 49620x 20=∵ P 在椭圆上 ∴ 1b y a x 220220=+∴1b 49507a 4962022=+ ……① 又 a 2-b 2=c 2=49 ……② ①②联立，解得a 2=62，b 2=13 ∴ 所求椭圆方程为113y 62x 22=+ 当F 1，F 2在y 轴上时，椭圆方程为113x 62y 22=+ 思路二：不防设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则 π=∆32sin r r 21S 21PF F 21 ∴ r 1r 2=52 在△F 1PF 2中|F 1F 2|2=r 12+r 22-2r 1r 2cos π32∴ |F 1F 2|2=(r 1+r 2)2-r 1r 2 ∴ 142=(2a)2-52 ∴ a 2=62 ∴ b 2=a 2-c 2=13当焦点在x 轴上时，椭圆方程为113y 62x 22=+ 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为162y 13x 22=+ 注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△PF 1F 2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r 1+r 2，求得r 1+r 2，即求得2a ；对条件r 1r 2的整体运用等。
思路二是先定形状，再定位置。
例2、定点A （-1，1），B （1，0），点P 在椭圆13y 4x 22=+上运动，求|PA|+|PB|的最值。
解题思路分析：B 为右焦点若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通 考虑用平面几何知识求解 解题的突破口是用定义转化|PB|设左焦点为B 1（-1，0），则|PB|=2a-|PB 1|=4-|PB 1| ∴ |PA|+|PB|=4+|PA|-|PB 1| ∵ |PA|-PB 1|≤|AB 1|当且仅当P 、A 、B 1三点共线时，等号成立 ∴ 连AB 1，延长交椭圆于P 1，则|P 1A|-|P 1B 1|=|AB 1| ∴ 当P 在P 1时(|PA|-|PB 1|)max =|AB 1|=1∴ (|PA|+|PB|)max =5，此时P 1（-1，23-） 又 |PA|+|PB|=4+|PA-|PB 1|=4-（|PB 1|-|PA|） ∴ 当|PB 1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小 同刚才理由，延长B 1、A 交椭圆于P 2 则|PB 1|-|PA|≤|AB 1|=|P 2B 1|-|P 2A|=1∴ (|PA|+|PB|)min =3，此时P 2（-1，23） 注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|PB 1|-|PA|<|AB 1|。
当|AB 1|为常数，且严格不等号能取得等号时，|AB 1|为|PB 1|-|PA|的最大值。
这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立的条件。
例3、已知△ABC 的三边a>b>c ，且a 、b 、c 成等差数列，A 、C 坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点B 的轨迹。
解题思路分析： ∵ a 、b 、c 成等差数列 ∴ a+c=2b即 |BC|+|BA|=2|AC|=4 ∵ A 、C 为定点，4>|AC|>2∴ 由椭圆定义知，点B 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，其方程为13y 4x 22=+ 根据题设，需检查完备性∵ a>b>c ∴ |BC|>|BA| ∴ 点B 在y 轴右侧 又ABC 构成三角形 ∴ y ≠0∴ 所求轨迹为椭圆13y 4x 22=+在y 轴左侧部分，去掉（-2，0），如图 例4、已知椭圆两个焦点坐标是F 1（-2，0）、F 2（2，0），且经过点P （23,25-），试求椭圆的标准方程。
解题思路分析： 法一：利用待定系数法根据焦点坐标特征，设椭圆方程为1by ax 2222=+（a>b>0）则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-1b )23(a )25(4c b a 2222222解之得⎪⎩⎪⎨⎧==6b 10a 22，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==)(23b 25a 22舍∴ 椭圆的标准方程为16y 10x 22=+ 思路二：已知两焦点及椭圆上一点，利用定义求参数2a=|PF 1|+|PF 2|=102)23()225()23()225(2222=-+-+-++∴ a 2=10 ∴ b 2=a 2-c 2=6∴ 所求椭圆方程为16y 10x 22=+ 注：比较两种方法可知，思路一运算量大，利用定义则可大大减少字母运算，希望同学们重视定义法解题。
例5、已知两圆⊙O 1：x 2+y 2+2x-15=0，⊙O 2：x 2+y 2-2x=0 （1）证明两圆内含；（2）如果⊙P 与⊙O 1内切，又与⊙O 2外切，试求⊙P 圆心P 的轨迹方程。
解题思路分析：（1）⊙O 1：(x+1)2+y 2=42，⊙O 2：(x-1)2+y 2=1∴ 圆心O 1（-1，0），O 2（1，0），半径r 1=4，r 2=1 只需证|O 1O 2|<|r 1-r 2|即可 ∵ |O 1O 2|=2，|r 1-r 2|=r 1-r 2=3 ∴ ⊙O 1与⊙O 2内含 （2）设⊙P 的半径为r 1则 ⎩⎨⎧+=-=r 1|PO |r4|PO |21∴ |PO 1|+|PO 2|=5 ∵ 5>|O 1O 2|=2∴ 点P 轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其方程为149y 425x 22=+五、同步练习 （一）选择题1、焦距为6，焦点在x 轴上的椭圆经过点（0，-4），则如椭圆标准方程是 A 、136y 100x 22=+ B 、164y 100x 22=+C 、116y 25x 22=+ D 、19y 25x 22=+ 2、方程13m y m 7x 22=-+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A 、（3，7） B 、（3，5）∪（5，7） C 、（3，5） D 、（5，7） 3、过椭圆13y 4x 22=+的一个焦点，且垂直于x 轴的直线被此椭圆截得的弦长为 A 、23B 、3C 、23D 、34、若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点是（0，-4），则实数k 的值是A 、81B 、8C 、321 D 、325、已知F 1、F 2是椭圆19y 25x 22=+的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长是A 、10B 、16C 、20D 、326、若关于x 、y 的方程x 2sin α-y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cos α)2+ (y+sin α)2=1所表示的圆的圆心在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限7、已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等，则a 的值为 A 、9或179 B 、43或23 C 、9或43 D 、179或238、若F 是椭圆1b y a x 222=+（a>b>0）的一个焦点，MN 是过中心的一条弦，则△FMN 面积的最大值是 A 、ab B 、ac C 、bc D 、2ab（二）填空题9、椭圆4x 2+2y 2=1的焦点坐标是____________。
10、椭圆上一点P 与两焦点恰好构成边长为2的正三角形，则此椭圆标准方程为______________________________。
11、中心在原点，以直线3x+4y-12=0与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆方程是________________________。
12、对称轴在坐标轴上的椭圆经过点P （3，0），且长轴长是短轴长的三倍，则椭圆方程是_______________________。
13、若方程1k3y 5k x 22-=-+-表示椭圆，则实数k 的取值范围是______________。
14、若方程1k10y 5k x 22=-+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是______________。