关于四面体的一个向量恒等式及其推论_孙秀亭
1[1].1.2类比推理教案设计(北师大版选修2-2)
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1．2 类比推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现类比推理的特征，概括类比推理的定义，知道类比推理是科学发现的重要方法；(2)掌握类比推理的一般性步骤“分析、比较→提出猜想→验证”，并能简单运用类比推理解决问题．2．过程与方法学生通过分析具体例子所反映出的思维过程，从中提炼类比推理的过程，然后再概括出类比推理的含义．培养学生以旧知识作基础，推测新结果的类比发现能力．3．情感、态度与价值观(1)通过空间与平面，向量与数、无限与有限，不等与相等的类比，使学生感受可以从熟悉的知识中得到启发，发现可以研究的问题及其研究方法；(2)通过本节的学习和运用实践，体会类比推理的价值，学习用类比的方法提出问题、解决问题的探究精神，培养创新思维．●重点难点重点：能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理做出猜想．教学时可从生活实例出发引导学生发现有类似特征的两类对象，然后根据学生对平面几何、立体几何中的诸多已知的公理、定理的比较、分析，及进一步拓展，引导学生概括类比推理的定义．通过例、习题的教学探究，让学生感悟类比推理的特点和步骤，从而强化重点，实破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是安排在学习了立体几何，平面几何等可类比知识之后，从中挖掘、提炼出类比推理的含义和方法，在人类发明、创造活动中，类比推理扮演了重要角色，因此，本节课的重点应放在学生主动探究新的结论上面，宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心设计的问题情境的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“类比－猜想”为基本内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，在探究中创新．●教学流程创设问题情境，引出问题：以仿生学等具体实例为背景.⇒引导学生发现立体几何与平面几何的类似特征，可让学生举例，得出类比推理的定义.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握等差、等比数列之间的相似特征，及类比规律.⇒通过例2及其互动探究，使学生通过概念的类比，掌握分析问题的角度及类比对象.⇒通过探究完成例3及其变式训练，使学生掌握由平面到空间，由“低维”到“高维”的类比规律，发现新结论.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识类比推理.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积，等于底面积与高乘积的13.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】 根据三角形的特征，推出四面体的特征． 3．以上两个推理是归纳推理吗？为什么？【提示】 不是，归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理(1)类比推理的定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理．(2)类比推理的特征：类比推理是两类事物特征之间的推理． 利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 2．合情推理与演绎推理合情推理是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．合情推理是科学研究最基本的方法之一，但是得出的结论不一定正确．对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.从上述结论可以看出两个数列中各自运算的规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，(1)对于等差数列{a n }，已知n ，n 1，n 2，n 3∈N *，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有an 1＋an 2＋an 3＝3a n .类比这一性质写出等比数列{b n }类似的性质；(2)你能将(1)的结论分别在等差数列{a n }和等比数列{b n }中加以推广吗？ 【思路探究】 根据两数列运算规律加以类比，然后用归纳推理加以推广．【自主解答】 (1)由题设知“和―→类比积，乘―→类比乘方”，故在等比数列{b n }中，若n 1＋n 2＋n 3＝3n ，则有bn 1·bn 2·bn 3＝b 3n .123m n 123＋…＋an m ＝m ·a n .对比数列{b n }有bn 1·bn 2·bn 3…bn m ＝b mn .1．找准等差数列、等比数列之间项与项之间运算的类比特征，是解决本题的关键． 2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_____________________________________，__________，T 16T 12成等比数列． 【解析】 等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 【答案】T 8 T 12a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，请写出该等和数列的通项公式与前n 项和公式．【思路探究】【自主解答】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.1．本题的关键是类比等差数列的定义写出等和数列的定义．2．这类题目一定要找准新、旧概念之间可以确切表达的相似性，进而由原有的概念去推测新的概念．把上例中的“等差数列”改为“等比数列”，“等和数列”改为“等积数列”，“公和为5”改为“公积为6”，结果如何？【解】 等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.11111交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .图1－1－8(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【思路探究】 (1)用“线面垂直”证“线线垂直”；(2)考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面，可选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．【自主解答】 (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN . 又∵CC 1∥BB 1， ∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1·S ▱ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . 由于S ▱BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ▱ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ▱ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴有S 2▱ABB 1A 1＝S 2▱BCC 1B 1＋S 2▱ACC 1A 1－2S ▱BCC 1B 1·S ▱ACC 1A 1·cos α.1．由“二维”平面扩展到“三维”空间，需要有“升维”的变化．因此，平面中的“点、线、面”一般类比成空间中的“线、面、体”．2．很多情形中，不仅仅是结论之间可以类比；解决问题的思路和方法也可以类比，如本题中结论的证明．平面中的三角形和空间中的四面体有很多类似的性质．例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；(4)三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆的半径，a ，b ，c 为三角形三边长)；……请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论．【解】 根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面，且等于第四个面面积的14；(4)四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体四个面的面积).类比不当而致误若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N ＋)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N ＋)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N ＋)也是等比数列．【错解】 注意到b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn中的分子是等差数列{a n }的前n 项和，故可类比成等比数列{c n }的前n 项的积．因此，得到d n ＝c 1·c 2·c 3·…·c n n 也是等比数列，应填c 1·c 2·c 3·…·c nn.【错因分析】 本题的解答忽视了对等差数列中“除法”运算的类比． 【防范措施】 运用类比推理解决问题时，首先明确类比关系，然后分析类比的角度．如本题中应抓住“运算”这一角度恰当类比．【正解】 由等差、等比数列之间运算的相似特征知，“和―→类比积，商―→类比开方”．容易得出d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n 也是等比数列，应填nc 1·c 2·c 3·…·c n .1．归纳推理与类比推理是常见的合情推理，其推测结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础．2．类比推理的一般步骤是：第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比．1．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 D2．已知“平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”，类比这一结论可得出以下结论：①空间内，过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条； ②空间内，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条； ③空间内，过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一条； ④空间内，过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个． 其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系．可借助长方体这一模型排除①③④，仅有②正确．【答案】 B3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的性质，你认为下列结论中正确的是________．①各棱长相等，同一顶点上任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．【答案】 ①②③4．如图1－1－9(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，类比这一结论，请写出图1－1－9(2)中相应结论，并证明．图(1) 图(2)图1－1－9【解】 V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC，证明如下：分别过B ′，B 作平面PAC 的垂线B ′D ′，BD ，垂足分别为D ′，D .易知△PB ′D ′∽△PBD ，故PB ′PB ＝B ′D ′BD，所以V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝13S △PA ′C ′·B ′D ′13S △PAC ·BD＝PA ′·PC ′·PB ′PA ·PC ·PB.一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形【解析】 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C. 【答案】 C2．关于合情推理的说法不正确的是( )①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A ．①④B ．②④C ．③④D ．①②③④【解析】 根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】 D3．下列几种推理过程是类比推理的是( ) A ．两直线平行，内错角相等B ．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C ．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D ．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人【解析】 四个选项中，只有B 为类比推理，故选B.【答案】 B4．下列类比推理：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n； ②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 由类比定义知①②的结论错，③的结论正确． 【答案】 B5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比 【解析】 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 【答案】 C 二、填空题6．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即1∶8.【答案】 1∶87．已知{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有： (m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有________． 【解析】 由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方”得a m －n p ·a n －p m ·a p －mn ＝1.【答案】 a m －n p ·a n －p m ·a p －mn ＝18．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_______________________________________________________________________.【解析】 Rt △ABC 类比到空间为三棱锥A －BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A －BCD 的外接球．【答案】 在三棱锥A －BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A －BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.三、解答题9．在椭圆中，有一结论：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两端点A 1、A 2连线，则直线PA 1与PA 2斜率之积为－b 2a2，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．【解】 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点A 1、A 2连线，则直线PA 1与PA 2斜率之积为b 2a2.证明如下：设点P (x 0，y 0)，点A 1(a,0)，A 2(－a,0)．椭圆中：kPA 1·kPA 2＝y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝y 20x 20－a 2＝b 21－x 20a 2x 20－a2＝－b 2a 2；双曲线中：kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－a 2＝b 2x 20a 2－1x 20－a2＝b 2a 2. 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①【解】 如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.图②如图②，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD 2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．11．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.(教师用书独具)已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．【思路探究】 本题的关键是等差数列与等比数列相似性质的类比．【自主解答】 由题设，若a k ＝0，那么有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：若b k ＝1，则有b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 2k －1－n (n <2k －1，n ，k ∈N *)成立．结合本题k＝9，得2k －1－n ＝17－n ，故本题应填：b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．【答案】 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)1．找准类比点是解答本题的关键，如等式的结构、运算符号等．2．等差数列与等比数列的定义、性质及一些重要的结论都可进行相应的类比，运算类比规律为：和―→类比积，差―→类比商，乘―→类比乘方，除―→类比开方．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A ．b 5b 7>b 4b 8B ．b 7b 8>b 4b 5C ．b 5＋b 7<b 4＋b 8D ．b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7)＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )]＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0 ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C。
直四面体中一组有趣的性质
二 ， ｓ＝ ， ＝ ， 斋同 ｉ 碧ｓ 器 理ｎ ｉ ａ ｎ ｇ
‘告ＡＰ・ ， 二 Ｐ ＢＰ ・ Ｃ 另方 、告 Ａ Ｐ 有 ＝ ＳＣ ０ 一面 ｏ ・， Ｂ
设三棱锥 Ｐ一Ａ Ｃ的体积为 ｖ一方面有 Ｂ ，
积， Ａ ， ＰＳ Ｗ 分别为 Ｓ Ｂ Ｓ Ｂ ， ｏ Ｐ ＯＣ ｏ 三月
而ＳＡ ＝ ， Ｐ十 ＡＣ ＋ ｏ ＝ ｏ Ｃ 丫ＳＡ２ ＳＢ２ Ｓ ２ Ｂ Ｂ Ｐ Ｃ Ａ Ｐ （ Ｐ ２ ２ 丙万Ｐ）＋ Ｐ）＋ Ｐ Ｐ） ＿（ Ｂ２ Ｂ・Ｃ， （Ｃ・Ａ １
的 面 分 为。ｐｙ则ｃ２ ＋ｏＰ ｃｔ 二 角 别 ，ｌ， ｏａ ｃ２＋ｏＹ ｓ ｓ ｓ
＝ １ ．
Ｃ Ｂ ② 设侧面 Ａ Ｂ ， Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ａ与底面Ａ Ｃ所成
）ＳＡ２ ＡＲ 十Ｓ Ｂ２ ｏ ｏＢ ＝ＳＡ２ ｏＣ ＋Ｓ ２ Ｃ Ｐ Ｐ ｃ ｖ 证明 因为 Ｓ ＡＺ ＤＢ ＇ Ｂ， ｏＢ ＝ Ａ Ｓ Ａ Ｐ Ｓ Ｃ ｏ Ｃ 同 Ｓ Ｂ ２ ｏＣ ・ ｏＢ， 理 ｏＣ 二Ｓ Ｂ Ｓ Ａ Ｐ Ｏ Ｃ Ｓ ２ ｏＡ・ ｏＢ， ｏ ＝Ｓ Ｃ Ｓ Ａ Ｃ Ａ Ｐ Ｏ Ｃ
＿ａ１（，交，两， ｘ ２ ａ） 于，点 ａ － ＞相 。 且 ２ １ ＝ ２
ｌ 过椭圆ｃ 的右焦点凡， Ｃ 左焦点为Ｆ， 椭圆 的 ， 若 Ａ， Ｂ， Ｆ 土 Ｆ， 求该椭圆 Ｃ的方程． 解 易知椭圆 ｃ 的半焦距为ｌ 右二焦点 ， 左、 分别为 Ｆ（ ，）Ｆ（，）１ ２ ， ０， ０，过Ｆ， 一１ ２ １ 所以ｂ＝ ｔ 一 即得ｌ 的方程为： ｙ二＊ １ 一， 代人椭圆ｃ 为程分 的 一 别消去ｙ 可得： 和ｘ （ａ 一１ｘ 一 ａｘ＋ ． 一ａ ＝０ ２ ）２ ２２ ２２ ａ ２ ４ 和
２０ 年 ０３
第８ 期
数学通报
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4尤溪第一中学罗世卿四、教学内容分析第三章三角恒等变换课程标准内容：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）知识结构：3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时安排：建议本节4课时第1课时:两角差的余弦公式；第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式；第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式；第4课时:公式的综合运用.教学要求：基本要求。
①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。
发展要求。
①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。
②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。
③能对公式进行简单的逆用。
说明。
①控制好拆分角度的难度。
②题型的变化不宜过多。
重点难点：重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。
难点：两角差的余弦公式的探索和证明。
教学建议：教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。
教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。
【苏教版】高中数学必修四：第3章三角恒等变换 学生版
第三章 三角恒等变换【学习导航】1． 本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2． 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。
三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。
学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。
以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。
知识结构学习要求1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
tan （α+β）=tan （α-β）=cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin βsin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α- sin 2α=2cos 2α-1=1-2 sin 2αtan2α=3.1两角和与差的三角函数 第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值. 3．培养探索和创新的能力和意识. 【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+ 反例：6cos 3cos )63cos(2cosπππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？ 解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角 3．探究：作单位圆，构造全等三角形 4．探究：写出4个点的坐标)0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P31P P = 42P P =6．探究 由31P P =42P P导出公式[]22cos()1sin ()αβαβ+-++学习札记[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得 所以 可记为 )(βα+C 7．探究 特征①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用 ③公式记号)(βα+C 8．探究 cos(α-β)的公式以-β代β得： 公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105︒ ②cos15︒③cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π【解】例2已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值. 【解】例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。
三角恒等式的推导与运用
三角恒等式的推导与运用在数学领域中，三角恒等式是一类重要而有趣的等式。
三角恒等式的推导和运用，对于解决各种数学问题、简化计算以及解决实际生活中的几何问题等都具有重要意义。
本文将对三角恒等式的推导和运用进行探讨，并给出一些实例说明其在解决实际问题中的应用。
一、基础知识回顾在开始探讨三角恒等式的推导与运用之前，我们先进行基础知识的回顾。
三角函数在几何中起到了至关重要的作用，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
经过前人的研究和总结，我们得到了一些重要的三角恒等式。
1. 正弦函数的恒等式（1）正弦函数的倒数恒等式：$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$（2）正弦函数的平方恒等式：$\sin^2\theta+cos^2\theta=1$……（更多正弦函数的恒等式）2. 余弦函数的恒等式（1）余弦函数的倒数恒等式：$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$（2）余弦函数的平方恒等式：$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$……（更多余弦函数的恒等式）3. 正切函数的恒等式（1）正切函数的倒数恒等式：$\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$（2）正切函数的平方恒等式：$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$……（更多正切函数的恒等式）通过对这些基础知识的回顾，我们可以更好地理解三角恒等式的推导和运用。
二、三角恒等式的推导三角恒等式的推导是综合运用基础知识和数学方法，从一个或多个基础等式出发，经过推理和变形，得到新的等式。
下面以一个具体的三角恒等式推导为例进行说明。
例1：推导正切函数的双角恒等式已知基础等式：$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$我们希望推导出：$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$推导过程如下：$\tan2\theta=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta}=\frac{\frac{2\tan\theta}{1+\ tan^2\theta}}{1-\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$通过对基础等式的变形和化简，我们成功推导出了正切函数的双角恒等式。
高中数学三角恒等式的变形与应用思路
高中数学三角恒等式的变形与应用思路在高中数学的学习中，三角恒等式是一个重要的内容。
掌握三角恒等式的变形与应用思路，不仅可以帮助学生解决各种数学题目，还可以提高他们的数学思维和解题能力。
本文将从几个常见的三角恒等式出发，通过具体的例题分析，介绍变形与应用思路。
一、基本的三角恒等式1. 余弦函数的平方与正弦函数的平方之和等于1这是最基本的三角恒等式之一，即cos²θ + sin²θ = 1。
通过变形，我们可以得到sin²θ = 1 - cos²θ，或者cos²θ = 1 - sin²θ。
应用思路：当遇到一个三角函数的平方与另一个三角函数的平方之和等于1的题目时，可以考虑使用这个恒等式进行变形。
例如，已知sinθ = 3/5，求cosθ的值。
根据sin²θ + cos²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25。
因此，cosθ = ±√(16/25) = ±4/5。
2. 正弦函数与余弦函数的平方之和等于1这是另一个基本的三角恒等式，即sin²θ + cos²θ = 1。
通过变形，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ，或者sin²θ = 1 - cos²θ。
应用思路：当遇到一个正弦函数与另一个余弦函数的平方之和等于1的题目时，可以考虑使用这个恒等式进行变形。
例如，已知sinθ = 4/5，求cosθ的值。
根据sin²θ + cos²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = 9/25。
因此，cosθ = ±√(9/25) = ±3/5。
高一数学三角恒等式知识点
高一数学三角恒等式知识点数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要作用。
而在数学中，三角恒等式是一个重要的概念。
三角恒等式是指在一定的条件下，两个三角函数相等的等式。
在高一数学中，我们需要学习和掌握一些常见的三角恒等式，下面将对其中的一些知识点进行介绍和讨论。
一、基本三角恒等式1. 正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1这是一条经典的三角恒等式，它表明在任意的角度θ下，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和都等于1。
这个恒等式可以通过单位圆的性质，或者通过将正弦函数和余弦函数的定义带入进行证明。
2. 余弦函数的基本恒等式：1 + tan²θ = sec²θ这个恒等式是由余弦函数和正切函数的定义推导而来。
它表示在任意的角度θ下，1加上正切函数的平方等于余切函数的平方。
3. 正切函数的基本恒等式：1 + cot²θ = csc²θ这个恒等式是由正切函数和余切函数的定义推导而来。
它表示在任意的角度θ下，1加上余切函数的平方等于余割函数的平方。
二、三角函数的互余关系在三角恒等式中，我们还有一个非常重要的概念，那就是三角函数的互余关系。
互余关系指的是一个三角函数的值等于另一个三角函数在补角上的值。
例如：sin(π/6) = cos(π/3)这个恒等式表明，sin(π/6)的值等于cos(π/3)的值。
这是因为sin(π/6)对应的角度是π/6，而cos(π/3)对应的角度是π/6的补角。
在计算和证明中，我们经常会使用互余关系来简化计算过程。
三、三角函数的加法公式除了基本恒等式和互余关系外，三角函数还有许多重要的加法公式，它们能够将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，便于计算和推导。
其中，最常用的加法公式有：1. 正弦函数的加法公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ这个公式表明，两个角的正弦函数的和等于这两个角的正弦函数和余弦函数的乘积之和。
高中数学 第三课时：恒等、伸压变换课件 苏教版选修4-2
解： (1 )将 曲 线 C ： yco sx上 每 一 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 2 倍
（ 纵 坐 标 不 变 ） ， 就 可 得 到 曲 线 C 1 ： yco s1 2x.
恒等变换、伸压变换
复习 什么是变换？
对于平面上的任意一点（x,y）若按照对应法则T，总能对 应惟一的一个平面点（x′,Y′）则称T为一个变换。
T:(x,y) (x,y)
或T
:
x y
x y
T:xyxycaxxdbyy
坐 标 变 换 的 形 式
x x a bx T:yyc dy
矩 阵 乘 法 的 形 式
矩 阵 或 单 位 矩 阵 .
数学应用：
例 1、 求 出 直 角 梯 形 A B C D 在 矩 阵 M = 1 0 1 0 作 用 后 的 图 形 ， 其 中 A (-3,0),B (2,0),C (2， 3),D (-3,2).
EX、在平面直角坐标系下求:
1 0
（1）点A（2，2）在矩阵M= 0
x T1:y
x y
1 0
102xy;
x x 2 0x T2:yy0 1y;
数学建构：
1 像
0
102， 02 10这 样 的 矩 阵 ， 称 为 沿y轴 或x轴 的
垂 直 伸 压 变 换 矩 阵 .
一般地，在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为 原来的k倍（k是非零常数），横坐标保持不变的线性
数学建构：
通过上例可以发现，在变换的T的作用下，ΔABC上 所有点的位置都没有发生改变：
数学必修4本章概览 第3章三角恒等变换 含解析 精品
第3章三角恒等变换
本章概览
三维目标
1.了解用单位圆与向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会到向量方法在解决数学问题中的重要作用；发展我们的应用意识和能力.培养探究数学问题的兴趣和能力.
2.能借助两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式并会灵活地正用、逆用、变形用，体验量与量之间的联系,感受其中的变化规律, 培养我们的科学探究精神.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换、会推导出半角公式、积化和差与和差化积公式，进一步提高运用联系转化的观点处理问题的自觉性，体会一般与特殊、换元、方程的思想、数形结合的思想在解决三角函数问题中的作用；
4.灵活运用角的变换处理三角函数问题的求解、证明与化简；会用三角恒等变换解决一些简单的实际问题(如求山顶上电视塔的高，物理中有关力的最小值问题及日常生活中材料的节省问题等)认识到三角变换在求一些非特殊角的三角函数值的应用，培养学习三角函数的兴趣.
知识网络。
高中数学复习三角恒等式与解法
高中数学复习三角恒等式与解法三角恒等式在高中数学学习中扮演着重要的角色。
它们是解三角函数方程、证明三角函数性质以及简化三角函数表达式等问题的基础。
本文将针对高中数学课程中常见的三角恒等式进行复习和解析。
一、基础恒等式1. 余弦的平方加正弦的平方等于1这是最基础的三角恒等式，表达式为：cos²θ + sin²θ = 1角度θ可以是任意实数。
这个恒等式在解三角函数方程时非常常用，也是其他恒等式的基础。
2. 正切的平方加1等于secant的平方这个恒等式可以表示为：tan²θ + 1 = sec²θ其中θ不等于90°，因为在90°时，secθ无定义。
3. cotangent的平方加1等于cosecant的平方该恒等式表达为：cot²θ + 1 = csc²θ同样，θ不等于0°的倍数，因为在这些角度上cscθ无定义。
1. 正弦的和差恒等式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，A和B是任意实数。
2. 余弦的和差恒等式cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB同样，A和B是任意实数。
这两个和差恒等式常用于化简三角函数表达式。
三、倍角恒等式1. 正弦的倍角恒等式sin2θ = 2sinθcosθ这个恒等式可以通过和差恒等式推导得到。
2. 余弦的倍角恒等式cos2θ = cos²θ - sin²θ通过基础恒等式cos²θ + sin²θ = 1，可以得到该恒等式。
3. 正切的倍角恒等式tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)通过sin2θ和cos2θ的定义，可以推导得到该恒等式。
1. 正弦的半角恒等式sin(θ / 2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]根据余弦的和差恒等式，可以推导得到该恒等式。
高一数学人教A版必修四课件第三章三角恒等变换章末小结与测评
[典例 2] 已知 tan α＝－13，cos β＝ 55，α，β∈(0，π)． (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
[典例 4] 在△ABC 中，sin A＝sin Btan A，且 B 为钝角． (1)证明：B－A＝π2； (2)求 sin A＋sin C 的取值范围．
解：(1)由 sin A＝sin Btan A，得ssiinn AB＝csions AA，所以 sin B ＝cos A，即 sin B＝sinπ2＋A.又 B 为钝角，因此π2＋A∈π2，π， 故 B＝π2＋A，即 B－A＝π2.
56πcos
2α＋sin
56πsin
2α＝－
3 2
×35＋12×－45＝－4＋130
3 .
三角恒等变换的应用
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给 出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等 变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三 角函数，讨论其图象和性质．
(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、 对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变 形为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 等形式，让角 和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质 和相关原理进行求解．
(1)不附加条件的恒等式证明 三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等 式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般 思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路， 找一个桥梁过渡．
高中数学教学备课教案三角恒等式的证明与应用方法总结
高中数学教学备课教案三角恒等式的证明与应用方法总结高中数学教学备课教案：三角恒等式的证明与应用方法总结一、引言三角恒等式是数学中的重要内容之一，在高中数学教学中也有着重要的地位。
本文旨在总结三角恒等式的证明方法和应用方法，以帮助教师进行备课，提高教学效果。
二、证明三角恒等式的方法证明三角恒等式是数学中的重要思维训练，下面列举了几种常见的证明方法。
1. 几何证明法几何证明法是通过利用几何图形的特点和性质来证明三角恒等式。
通过画图、辅助线等手段，可以将三角恒等式转化为几何关系的证明问题。
2. 代数证明法代数证明法是通过代数运算和等式变形来证明三角恒等式。
可以利用三角函数的定义和性质，结合代数运算的特点，从而得到等式两边相等的结果。
3. 数学归纳法数学归纳法是通过递归的方法，将三角恒等式的成立从一个特殊的情况推广到所有情况。
通过证明基础情况成立，并假设$n$个三角恒等式成立，然后证明$n+1$个三角恒等式也成立，从而完成整个证明过程。
三、三角恒等式的应用方法三角恒等式不仅在数学的证明中有着重要的作用，还有很多实际的应用。
下面列举了几个常见的应用方法。
1. 几何应用三角恒等式在几何中具有重要的应用。
通过利用三角恒等式，可以解决一些与角度和边长相关的几何问题，如计算三角形的面积、边长比例等。
2. 物理应用三角恒等式在物理学中也有广泛的应用。
例如在力学中，通过三角恒等式可以推导出物体在平面上运动的速度和加速度的关系式，进而解决相关的物理问题。
3. 工程应用在建筑工程、机械工程等领域，三角恒等式也有着实际的应用价值。
例如在设计桥梁结构时，可以利用三角恒等式来计算各种力的大小和方向，进而保证结构的稳定性和安全性。
四、三角恒等式的实例为了更好地理解三角恒等式的证明和应用，下面列举了一些常见的三角恒等式和它们的应用实例。
1. 正弦函数的恒等式正弦函数的一个常见恒等式是$\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$。
苏教版高中数学高二选修4-22.2.1恒等变换 伸压变换
选修4－2矩阵与变换 2.2.1恒等变换 2.2.2伸压变换编写人： 编号：003学习目标1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、 掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：给定一个矩阵,就确定了一个变换,它的作用是将平面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量). 反过来,平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢? 如果可以,又该怎样表示呢?如：1、已知△ABC, A(2,0), B(-1,0), C(0,2), 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M 来表示这一变换?2、将图中所示的四边形ABCD 保持位置不变，能否用矩阵M 来表示？（二）由矩阵M= 确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵 或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为 E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直） 变换，这时称矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001 变换矩阵． 当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩.变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以1k 0<<为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．练习1、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ）. Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、31 2、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.3、求圆C ：224x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型二、课堂训练：例1．求122=+y x 在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 作用下的图形.例2．已知曲线y ＝sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线y ＝sin2x ，画出相关的图象，并求出变换T 对应的矩阵M 。
立体几何总结(司婷)
立体几何知识点总结1、平面平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系2、平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点4.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.5、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②公理4：平行于同一直线的两直线平行，即若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.③线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα④面面平行的性质：两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=l,则l ∥m⑤线面垂直的性质：垂直于同一平面的两直线平行，若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a ∥α,a ∥β，则a ∥b.⑦中位线，平行四边形，比例线段…….(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b ∥c,a ⊥b,则a ⊥c③线面垂直：一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若l ⊥α,m ⊂α，l ⊥m.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a ⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c ，则a ⊥b,b ⊥c,c ⊥a.⑦直角三角形(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a ⊄α,b ⊂α，a ∥b,则a ∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l ⊂β，则l ∥α.平面平行.即若α⊥β,l ⊥β，l ⊄α，则l ∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A ∉α，B ∉α，A 、B 在α同侧，且A 、B 到α等距，则AB ∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a ⊥α,b ⊄α，b ⊥a ，则b ∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a ∥b,a ∥α,b ∥α(或b ⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m ⊂α，n ⊂α，m ∩n=B,l ⊥m,l ⊥n,则l ⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l ∥a,a ⊥α,则l ⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l ⊥β，则l ⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另l一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(1)异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.(2)直线和平面所成的角(线面角)(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.（3）二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角 .如图，∠P是二面角α-l-β的平面角.平面角∠P的大小与顶点p在棱l上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.10空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离...直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之..平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法 转化成为线面距离面面距离求解棱柱. 棱锥（1）. 棱柱.a.①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. b.{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则 1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附：以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.（3）. 球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） l ab c。