桂林理工大学《误差理论与测量平差》复习题

桂林理工大学《误差理论与测量平差》复习题一、 写出五种衡量精度指标的名称，并指出他们之间的关系是什么？答：五种衡量精度指标的名称：方差2σ或中误差σ，平均误差θ，或然误差ρ，相对误差和极限误差； 关系：方差nn ][lim 2∆∆=∞→σ，平均误差σθ54≈，或然误差σρ32≈，相对误差Km 1==观测值大小σ，极限误差=2σ或3σ。

二、已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1σ、2σ，求下列函数的中误差：（1） 2132L L x -=； （2） 212132L L L x -=；（3） )cos(sin 211L L L x +=。

解 (1) 2132L L x -==[]03221+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅KL L L ， 利用协方差转播公式：TK KL x K KD D LLxx =+=则，,0[][]22212221222122212949432323232σσσσσσσσσσ+±=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==x xxx 则，因此，D （2）212132L L L x -=，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：[]KdL dL dL L L L dL L dL L L dx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⋅-+⋅-=21010212011021)3()3()3()3(利用协方差转播公式：[]2221212212221212210102122210102129)3(9)3()3()3()3()3(σσσσσσσσL L L L L L L L L L L L x xxx +-±=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--==则，因此，D（3）)cos(sin 211L L L x +=，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos 2021221110212211211ρρdL L L L L L dL L L L L L L L L dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⋅= 222212211************")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++±=L L L L L L L L L L L L L x三、若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差 B Ah H h h Hf -++=21由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-=-==21212121则线路中点高程()()数点的高程化成观测值函此步的目的是将线路中中点,2121212121212121ˆ212121111B A BA B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-++-+=++=设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121km S S s s s s hhh h H≤≤=⋅⨯+⋅⨯=⨯+⨯=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σσσσσσσ中点四、设1P 点及2P 点的坐标为：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==mY m X m Y m X 00.150000.1800,00.100000.10002211 向量[]TY X Y X 2211,,,的协方差阵为： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----823261231420223(cm)2 试求坐标差函数12X X X -=∆与12Y Y Y -=∆的方差协方差阵；解：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-=-=∆2211120101Y X Y X X X X []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-=-=∆2211121010Y X Y X Y Y Y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆22111121210100101Y X Y X Y Y X X Y X 则坐标差函数12X X X -=∆与12Y Y Y -=∆的方差协方差阵：2)(61151001100151122431100110018232612314202231010101cm D D D D Y Y X Y Y X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆∆∆五、有三角网（如图1），其中B 、C 为已知点，A 、D 、E 为待定点，观测角i L （i =1，2，…，10）。

试写条件方程式并对非线性的条件方程进行线性化；图1解：本题，观测值个数为10个，必要观测个数是6个（3个未知点），可以列4个条件，分别为2个三角图形条件、1个圆周角条件、1个极条件。

2个三角图形条件：180ˆˆˆ0180ˆˆˆ08540762=-++=-++L L L L L L1个圆周角条件：0360)ˆˆ180(ˆˆ03187=---++L L L L1个极条件：01ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 532641=-⋅⋅⋅⋅LL LL L L这个极条件为：01ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 532641=-⋅⋅⋅⋅LL LL LL.,,,,ˆsin ˆsin ,,ˆsin ˆsin ,,ˆsin ˆsin ,,1542631需要线性化因为该条件是非线性的可以得到极条件上式将三个图形的正弦代入中在中在中而在从图上可以看出LL BD CD BCD L L CD AD ACD L L AD BD ABD BD CDCD ADAD BD=∆=∆=∆=⋅⋅利用泰勒级数展开并取至一次项，经过推导可以得到以下规律，)sin sin sin sin sin sin 1("cot cot cot cot cot cot 641532665544332211=⋅⋅⋅⋅-+⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-⋅L L L L L L v L v L v L v L v L v L ρ（总结其规律性） 六、在图2中,C B A 、、是已知点, 21P P 、为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。

已知测角中误差为5.1''±，边长测量中误差为0.2±cm ，试用符号表示12号观测角和18号观测边的误差方程（线性化）和权。

图2解：根据一般公式：))((ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(00200"200"200"200"20"20"20"20"jh jk L y S X x S Y y S X x S Y yS XxS Y yS XxS Y v h jk jkh jh jhj jh jhj jh jhk jk jk k jk jkj jk jk j jk jki ααρρρρρρρρ---⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆+∆-∆-∆-∆+∆-∆-∆=该式子是是对应上面的图形，针对本题的12号观测角，则：))((ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(00121200"1200"200"200"2200"2200"200"2"12111111122222222CP CP CP CP CP C CP CP C CP CP CP CPCP CPC CP CPC CP CPi L y X x S Y y S X x S Y ySX xSY ySX xSY v ααρρρρρρρρ---⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆+∆-∆-∆-∆+∆-∆-∆=边长：)(ˆˆˆˆ00000000jki k jkjkk jkjkj jk jk j jk jki S L y SX xSX ySY xSX v --∆+∆+∆-∆-= 该式子是是对应上面的图形，针对本题的18观测边，则： )(ˆˆˆˆ01800018212121212121212121P P k P P P P k P P P P j P P P P j P P P P S L y S X xS X yS Y xS X v --∆+∆+∆-∆-= 七、已知观测值的协因数阵为LL Q ，求条件平差L L Q ˆˆ。

解：根据条件平差的基础方程，建立平差值与观测值之间的关系式子因为，在条件平差中：1111011111110000))(()(,,0)(:,)(0,0)(,0)(,0ˆA NA P L A NA P A AL NA P W N A P K A P V W NK WK N W K A AP A AL W W AV A AL AV A V L A A L A TTT TTT------------⋅-=+-⋅=⋅==⋅=-⋅=-⋅+-==-=++=++=+即其法方程根据条件平差原理其中111101111)(ˆA N A P L A N A P E A N A P L A N A P L V L L T T T T ---------⋅-=-⋅-=+= LLTLL LL T LL LL TLL T T LL LL T LL TT LL LL T LL T LL T TLL LL T LL T LL T TLL TLL TT LL T L L AQ N A Q Q APNA Q Q APNA P AQ NA P AP N A Q Q APNN N A P AQ N A P AP N A Q Q APN A AQ N A P AQ N A P AP N A Q Q APN A E AQ NA P Q A NA P E AQ N A P Q A NA PE Q A NA PE Q 11111111111111111111111111111111111111ˆˆ)()()()()()(---------------------------------------=-=+--=+--=+--=-⋅-=-⋅-=-⋅⋅-= 八、已知观测值的协因数阵为LL Q ，求间接平差L L Q ˆˆ。