切点三角形的复习
切点三角形的几个性质
P ' 、 R ' 、 r ' ,则 ' = r ; (1) 2R
p ' ≤1 p ; (2) 2
r ' ≤1 r ; (3) 2
A
E F
I 12
B
D
C
a12 + b12 + c12 ≤1 ; (4) a 2 + b2 + c2 4
当且仅当△ ABC 为正三角形时(2)、(3)、
(4)取等号. 证明 (1)如上图,连结 ID 、IE 、IF ,易知
同理 ∠E = π B , ∠F = π C (为叙述方
2
2
便这里用 ∠D 、 ∠E 、 ∠F 分别表示 ∠EDF 、 ∠DEF 、 ∠EFD ).
∵ A、 E 、 I 、 F 四点共圆, ∴ ∠EIF = π A,
在△ EIF 中由余弦定理,得
EF 2 = IE2 + IF 2 2IE IF cos ∠EIF
2
2
2
= 8r 2
2r 3 +
,
R
注意到 a2 + b2 + c2 = 2( p2 4Rr r 2) ,
欲证(4)式成立,只须证 8r 2 + 2r 3 ≤1 ( p 2 4Rr r 2 )
R2 Rp 2 4R2r 17 R2r 4r 3 ≥0
R( p2 16 Rr + 5r 2 ) +
2r (R 2r )(6R + 2r ) ≥0 ,
ID = IE = IF = r = R' , 由 Euler 不 等 式 :
R ≥2r 立得 R ' ≤1 R . 2
∵ I 切边 BC 、 CA、 AB 于点 D 、 E 、
＂切点三角形＂在解题中的应用
Ｂ Ｃ的垂 线分 别 交 Ｂ 的 延 长 线 于 Ｇ 交 Ａ Ａ ， Ｃ的 延 长 线 于
Ｐ Ｂ＝
一 ３连 ０Ａ， 图中易得 ４＝ ， 在
揠
２ ～
＿ ＿
简证
；４ 求 Ａ 的 值 （） Ｂ
过 Ａ作 内公 切
。 ＋ 。＋ 。＋ 。． 。＋ 。．
．
． ．
。＋
。 ．
。 ＋
；
＋
。＋
；
＋
，＋
。 ＋
。．
。＋
Ｃ Ｅ 是 Ａ 延 长 线 上 一 ． Ｐ
．＋ 。＋ 。． ．
线Ａ Ｔ交 Ｂ Ｃ于 ，． ． ’ ００． 。 ： 连
（ １）‘ ． 。
警～
。 ’
又由 线定 切割 理得Ａ＾ Ａ ・Ｄ＝ （＋ｏ ＝５ ＝ Ｐ Ａ ４４ ｊ ） ２，
’
…
。
。
’
。’
。
。
。
。
５ 在 Ｒ △Ａ 口中 ， Ｂ＝ ， ｔ Ｐ 一 ＝
．
．＋
。＋
。＋
．
◆ 致掌大世界 。。 。 ． ． ◆ ． ．
上
◇ 数掌大世界 ． ０。 ０
．。 。 ＋ ＋ ＋ ： 。 ＋＋＋ ； 。； ＋
， Ａ， 切 点 ｃ 在
Ｄ
Ｃ ＝ Ｔ ＡＢ．
且 满 足 ＝ ，Ｅ Ａ
Ｏ０ ，于 Ｄ．
ＡＢ Ｃ中 ，＿ Ａ Ａ ／Ｂ Ｃ：Ｒ ｔ Ａ．
Ｐ ＡＣ ＋ ／ Ｔ ＡＣ ：
ＨＢ ＋ Ｔ ＡＣ ＝ ９ ０。．‘ ． ．
线 ． Ｄ Ｃ Ａ，． ｔ 口 Ｒ ＡＢ Ｆ， ‘ ＬＢ Ａ＝ ． Ｂ ． Ｒ △Ｄ Ｃ ， ｔ Ｃ 、
切点三角形问题探讨
切点三角形问题探讨近年来，全国各地中考题有许多都与切点三角形有关。
两圆相外切，切点与一条外公切线和两圆的公共点构成的三角形称为“切点三角形”。
如图1所示，圆O 1和圆O 2外切于点A ，它们的半径分别为r 、R ，BC 是圆O 1和圆O 2的公切线，B 、C 为切点，则△ABC 为切点三角形（见人教版《几何》第三册P 129页例4）。
切点三角形具有以下重要性质：（1）△ABC 为直角三角形，且∠=BAC 90°；（2）若BE 、CD 分别为圆O 1和圆O 2的直径，则E 、A 、C 三点共线，B 、A 、D 三点共线；（3）BC Rr 24=（即切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项）；（4）AB AC r R 22：：=；（5）内公切线AO 平分外公切线BC 长；（6）∠=∠∠=∠CAO ABC BAO ACB 21，（即两直角边与两圆连心线所夹锐角等于该直角边的对角）。
证明过程请同学们自己完成。
利用切点三角形的性质，可以简捷地处理有关问题。
下面举例予以说明。
图1例1. 图1的条件不变，延长CA ，交圆O 1于D ，如图2所示，若AC ：AD=3：1，求∠AC B 的度数。
图2分析：因为△ABC 为切点三角形，由性质（1）可知，∠=BAC 90°， 所以∠=BAD 90°，则BD 为圆O 1的直径，易证∆∆DBA BCA ~，得AB AC 2=·AD AC =132。
故AB AC =33。
故tan ∠==ACB AB AC 33。
又∠ACB 为锐角，故∠ACB=30°。
例2. 如图3所示，矩形ABCD 中，BC=25，直径为8的圆O 分别与AB 、AD 相切于点E 、F ，圆O’与圆O 相切于点P ，圆O’分别与BC 、CD 、DA 相切于点G 、H 、K ，求矩形ABCD 的宽AB 的长。
图3证明：连结OF 、PF 、PK 、O’K 。
显然△PFK 为切点三角形，由性质（3）知，FK 为圆O 与圆O’的直径的比例中项。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用
２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀抛物线中 切点三角形 性质的探究及应用◉安徽省铜陵市义安区教育体育局教研室㊀陶㊀俊㊀㊀摘要:过抛物线外一点作抛物线的两条切线,这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质,本文中对这一问题作了深入的研究,并给出了简洁的结论．关键词:抛物线;切点三角形;性质;探究应用１抛物线切点三角形 及其性质图１过抛物线外一点P (x ０,y ０)作抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 的两条切线P A ,P B ,A ,B 为切点(如图１),M 为A B 的中点,连P M 交抛物线于点N ,称әP A B 为 切点三角形 ,它具有如下性质:性质１㊀ 切点三角形 的一条中线平行抛物线的对称轴l ,即P M ʊl ．性质２㊀ 切点三角形 的一条中线被抛物线平分,即P N ＝MN ．性质３㊀ 切点三角形 的面积表达式为S ＝２[f (x ０)－y ０]３a ．这里f (x ０)是当x ＝x ０时抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)的值f (x ０)＝a x ０２＋b x ０＋c ．图２对于图２的两种情况,只要点P 在抛物线外侧,f (x ０)－y ０a总有意义．２抛物线切点三角形 性质的证明设其切线方程为y －y ０＝k (x －x ０),与抛物线方程联立,整理得到a x ２＋(b －k )x ＋c ＋k x o －y ０＝０．由P A ,P B 与抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 相切,得Δ＝０,即(b －k )２－４a (k x ０－y ０＋c )＝０,亦即k ２－(２b ＋４a x ０)k ＋b ２＋４a y ０－４a c ＝０,则k ＝２b ＋４a x ０ʃ(２b ＋４a x ０)２－４(b ２＋４a y ０－４a c )２＝b ＋２a x ０ʃ２a (a x ２０＋b x ０＋c －y ０)＝f ᶄ(x ０)ʃ２a [f (x ０)－y ０]．令δ＝a (f (x ０)－y ０),则k ＝f ᶄ(x ０)ʃ２δ,此时x １,２＝k －b ２a ＝b ＋２a x ０ʃ２δ－b ２a ＝a x ０ʃδa．不妨令x ２＞x １,A (x １,y １),B (x ２,y ２),则x ２＝a x ０＋δa ,x １＝a x ０－δa ,所以x ２－x １＝２δa ．由点B (x ２,y ２)在直线y －y ０＝k (x －x ０)上,可得y ２＝[fᶄ(x ０)＋２δ] δa＋y ０．同理,y １＝[f ᶄ(x ０)－２δ](－δa)＋y ０．所以y ２－y １＝２fᶄ(x ０) δa ＝２f ᶄ(x ０)aδ．所以,直线A B 的两点式方程为y －y １y ２－y １＝x －x １x ２－x １,也就是y ＋[f ᶄ(x ０)－２δ]δa －y ０２fᶄ(x ０)δa ＝x －a x ０－δa２δa,即a (y －y ０)＋(f ᶄ(x ０)－２δ)δfᶄ(x ０)＝a x －a x ０＋δ．整理,得y ＋y ０＝２a x ０x ＋b x ＋b x ０＋２c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c ．所以直线A B 的方程为y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０－y ０＋２c ．又点A ,B 在抛物线上,联立方程消去y ,得a x ２＋b x ＋c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０．即a x ２－２a x ０x －b x ０－c ＋y ０＝０,则有Δ＝２af (x ０)－y ０a ,得x ＝１２a (２a x ０ʃ２a f (x ０)－y ０a)＝３５学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀x ０ʃf (x ０)－y ０a ,则x ２＝x ０＋f (x ０)－y ０a,x １＝x ０－f (x ０)－y ０a．将x ２,x １分别代入y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０中,可得y ２＝２f (x ０)－y ０＋f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a ,y １＝２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a,所以B (x ０＋f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０＋fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a),A (x ０－f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a)．故A B 的中点坐标为M (x ０,２f (x ０)－y ０),又P 的坐标为(x ０,y ０),则P M ʊl ．性质１得证．又可得x ２－x １＝２fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a,由两点间的距离公式可以得到A B ２＝２f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＋２f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＝４ˑf (x ０)－y ０a [１＋f ᶄ(x ０)]２．所以|A B |＝２f (x ０)－y ０a[１＋f ᶄ(x ０)２]．而P A ２＋P B ２＝[(x １－x ０)２＋(y １－y ０)２]＋[(x ２－x ０)２＋(y ２－y ０)２]＝２f (x ０)－y ０a＋２[２(f (x ０)－y ０)]２＋２[f ᶄ(x ０)]２f (x ０)－y ０a＝８(f (x ０)－y ０)２＋２[(f ᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．这里,P N ２＝(f (x ０)－y ０)２,A B ２＝４[(fᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．所以,有㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝８P N ２＋１２A B ２．①由平面几何可知,在әP A B 中,P M 是A B 边上的中线,根据三角形中线定理,可得㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝１２A B ２＋２P M ２．②由①②式,可得４P N ２＝P M ２,即２|P N |＝|P M |．所以N 是P M 的中点,P N ＝MN ．性质２得证．由于x ２－x １＝２δa ＝２a (f (x ０)－y ０)a＝２f (x ０)－y ０a,因此可得S ＝１２|P M | (x ２－x １)＝|P N | (x ２－x １)＝|y ０－f (x ０)| ２f (x ０)－y ０a＝２(f (x ０)－y ０)３a．性质３得证．３抛物线切点三角形 性质的应用例１㊀已知抛物线y ＝－１３x ２＋２x ＋４３,过点P (４,７)可否作抛物线的切线?如果可以,切点为A 和B ,求әP A B 的面积S ．解析:当x ０＝４时,f (x ０)＝f (４)＝－１３ˑ４２＋２ˑ４＋４３＝４＜７,即f (x ０)＜y ０．又a ＝－１３＜０,f (x ０)－y ０a＞０,故点P 在抛物线的外侧．因此过点P 可以作抛物线的两条切线,A ,B 分别为切点．当x ０＝４时,根据抛物线切点三角形的面积公式可得S ＝２[f (x ０)－y ０]３a＝２(４－７)３－１３＝１８．所以әP A B 的面积为１８．图３例２㊀如图３,从抛物线上A (１,３),B (３,－１)两点分别作抛物线的切线交于点P ,若әA B P的面积为１０,求抛物线的解析式．解析:取A B 中点M 并连接P M 交抛物线于点N ,由切点三角形性质１,可知P M 平行于y轴,N 为P M 的中点．由A (１,３),B (３,－１),得M (２,１)．由әA B P 的面积为１０,得S әA B P ＝１２M P (x B －x A ),则１２M P (３－１)＝１０,可得M P ＝１０．所以P (２,－９),N (２,－４)．又抛物线过A ,N ,B 三点,设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ,则a ＋b ＋c ＝３,９a ＋３b ＋c ＝－１,４a ＋２b ＋c ＝－４,{解得a ＝５,b ＝－２２,c ＝２０．{因此抛物线的解析式为y ＝５x ２－２２x ＋２０．对于例１用常规方法,可以先计算两切点A ,B 的坐标,再利用三点坐标求三角形P A B 的面积．这显然大费周折,用上面的方法要简便很多．对于例２也许用普通的方法就不好应对了,而用抛物线切点三角形的性质１则可迎刃而解,似乎 山重水复疑无路,柳暗花明又一村 ．Z４５。
3第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。
切点三角形的性质
中。擞－ （１年 ４ 初中 ） ？ ？ ２０ 第 期・ 版 ０
・ 短论荟萃 ・
切 点 三 角 形 的 性 质
６ ３０ 云 南省广 南一 中 ６ ３０
最 近笔者对外切两圆作 了一点研究 ， 得到 了切 点三 角形的几个优美结论． 现论述如下 ， 供读者参考． 定义 由两 圆外 切 的公 共 切点和外 公切线 的两 切 点组成的三角形 叫做切点三角形．
Ｐ
ｒ ｔ＋
ｍ ，
又在 ＆Ａ 。 Ｏ Ｐ中， 由余弦定理得
ｃ ＝ ｏ 嘉 ＝ ， ｓ （ 一
．
．
：
Ｚ
：４丁 ３
：
８， ：２ｑ ｈ
：
８ ， ：４． ，
口
Ａ ２ ４ｍ 尸 ：— ｎ
—
２
．
（ 收稿 日期 ：０ ９ １２ ２０ １２ ）
．
船＋ ＝ ＋ 号 ２ ｃ：∥＋Ｂ， （ ） ｃ② Ｐ ＋ ＝ ＋ ： ＋ Ｄ ２ ÷ ③ （
定理 设 ｏＤ 和 ｏＤ 外 切 于 一 点 Ｐ， 们 的 半 径 。 ： 它
玉宏 图
由切点三角形 的性质知 ／ Ｐ ９ 。 Ａ Ｂ＝ ０ ． Ｓ ＝（ ｐ ・ ｓ ２ １ １ Ａ Ｐ）
・
．
．
＝
・
・
，
２ｍ ｎ２ ２
． 一
‘ 。 ｕ △ ｛ 一 丹
ｍ ＋ ｎ ‘
分别为 ｍ， ， ｎ 直线 ￡与 ｏ０ 和ｏ０ 分 别相切 于 Ａ， Ｂ两 点（ 通常将三角形 叫做 切点三 角形 ） ／Ｐ Ｂ的面 积为 ，Ｘ Ａ Ｓ 则 ，
３ ３
（ ） １ 的证 明 和勾 股 定 理 知 ２ 由（ ）
： ＝
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。
2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
等于这条弧所对的圆周角。
即∠PCA=∠PBC 。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。
切点弦定理
切点弦定理切点弦定理，是初中数学中的重要定理之一。
它是指在一个圆上，如果有一条弦，那么这条弦所在直线与圆的交点，以及这条弦所在直线上离圆最近的点，这两个点所构成的线段，其长度相等。
这个定理的证明可以采用相似三角形的方法。
我们先将圆心与这条弦所在直线的交点连接起来，然后可以得到两个相似的三角形。
其中一个三角形的底边是弦，另一个三角形的底边是切线，而且这两个三角形的顶角相等。
因此，我们可以得到这样一个方程：弦的长度/切线的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离/圆心到弦中点的距离。
由于圆心到弦中点的距离是常数，因此我们可以得到：弦的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离×2。
这个定理有很多应用。
其中一个应用就是求解圆内接四边形的对角线长度。
我们可以先连接对角线，然后将对角线所在直线与圆相交，可以得到四个交点。
根据切点弦定理，我们可以得到对角线长度相等。
另外一个应用就是求解圆外接四边形对角线长度之积。
我们可以将这个四边形分割成两个三角形和一个内接四边形。
由于内接四边形的对角线长度相等，因此我们只需要求解两个三角形的斜边长度即可。
我们可以连接两个顶点和圆心，然后根据切点弦定理求解出斜边长度。
除了初中数学中的应用之外，切点弦定理在高中数学和大学数学中也有很多应用。
例如，在高中数学中，我们可以利用切点弦定理来证明某些三角函数恒等式；在大学数学中，切点弦定理也有很多应用，例如在微积分中，我们可以利用切点弦定理来证明某些导数公式。
总之，切点弦定理是一个非常重要的定理，它不仅有着广泛的应用，而且还是许多高级数学知识的基础。
在学习数学时，我们应该认真掌握这个定理，并善于运用它来解决各种问题。
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)
2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。
则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为 ，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ， ，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是 ．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4， 则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
探究“切点三角形”的应用
（ 如何 表示 斜边 的 比呢？ 引导学生 利用 比例 的性质 以及 勾股 定理 ） 设
・
：
： ｋ
．ＡＢ ｋ － ＡＣ ｋ ・ ： ￣＇ ． ｆ ：
线，、 Ｂ ｃ为切点 ， Ｏ０ 和０Ｏ 的半径分别为 Ｒ和 ｒ则 ： 若 。 ， 外公切线
略
・
‘Ｆ Ａ ｆＢ ．面 ＝Ｃ Ｃ ｆ Ｄ Ｅ ・Ａ Ｄ ．Ｄ
百 ：Ｂ Ａ Ｄ Ｄ
Ｂ ＝ ／ 、 ：／ Ｃ 、 ：／ 、瓦
分析 ： 由于ＡＡ Ｃ 切点 三角形 ， Ｂ 是 故引导学生构造直 角梯 形去 探究 ， 图。 如
证 明： 连接 ０。 ０Ｃ， ０ ， Ａ作 ＡＤ上Ｂ Ｂ， ２ ０。２过 Ｃ于 Ｄ。 △ＡＢ Ｃ是切点三角形
‘ ． ． ・ ・ ．
略证：。Ｆ ＯＥ ． Ａ ＝ Ａ 。 ｆ ￣ ・ Ｆ 丽 ． Ａ ． ｏ
・ ．
・
．
ｄｒ －
． 酉
＝
击
Ｚ Ｄ．Ｂ Ｃ ． ＝ １ ‘ Ｃ Ｅ ・ 詈 ． Ａ Ｂ ． △
Ｂ ＝ＢＤ・ Ｃ ＥＣ ．ＢＣ２ Ｒ・ ｒ ‘ ． ＝２ ２
一 一＋ ・＝ ． ＋＝ 』 ．一｝ — 十一 斋＝一 ‘ 一 ・ ｝手 Ｒ 手— ． ■丁 ｒ． 蟊 丁
．
‘
．
．
分析 ２ 由于 ＡＡ Ｃ是切点三角形 ， 引导学生 构造平行线 去 ： Ｂ 故 探究 ， 如图 乙。
。 ．
．
Ｂ Ｃ的长是 ２ Ｒ和 ２ ｒ的比例 中项
请 同学们记住两圆外切时 ， 公切 线长公式 ： Ｃ＝ Ｘ － － 外 Ｂ ２／ 。 ￣ 探究 ２ ＱＯｔ ： 和００ 外切 于点 Ａ， Ｃ是 ＯＯ 和００ 的外公切 Ｂ ： 线 ， 、 切点 ，若００ 和 （Ｏ 的半径分别为 Ｒ和 ｒ Ｂ Ｃ为 Ｄ ，则 ： ＢＡ ： Ａ ：Ｃ
高考数学复习热点06 三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
【满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。
要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。
2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)
【点知讲解】
1. 切线长定理
对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则
圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④
经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个
A
半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切
A. 3 A
E
F
O
B
DC
第 2 题图
B. 4 AE D
O
F
B
C
第 3 题图
C. 2 + 2
A
D
F E
BO C 第 4 题图
D. 2 2
AE
D
PH
G
O
F
B
C
第 5 题图
4. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于点 E，则
△ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ）
.
9. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E，若 BC＝2，AC
＝3，则 AE·EB＝
.
AD
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 切
M
CD 于点 M，若这个梯形的面积是 10cm2，周长是 14cm，则半圆 O 的半径等 O
于
cm.
B
C
11. 已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. （1）如图 1，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大小.
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。
切点三角形的性质探究
在平面几何中，切点三角形是指一个圆和一个三角形相交而形成的三角形，其中三角形的三个顶点均是圆和三角形的交点。
下面是切点三角形的一些性质探究：
1.切点三角形的三个角都是直角。
这是因为，圆与其切线垂直，所以圆和切线的交点处构
成的角度是直角。
2.切点三角形的三边与圆的切点都在一个圆上。
这个圆称为切圆，它的半径等于圆和切线
的交点到圆心的距离。
3.切点三角形的内心在切圆的圆心上。
这是因为切点三角形的三个角都是直角，所以它的
内心是切点三角形的垂心，而垂心是在切圆的圆心上的。
4.切点三角形的三条边分别是切点到切圆圆心的切线，也就是说，切点三角形是一个切圆
的切线三角形。
5.切点三角形的面积可以通过圆的半径和三角形的半周长计算得到。
具体而言，假设圆的
半径为r，切点三角形的三边分别为a、b、c，则切点三角形的半周长为(s=a+b+c)/2，面积可以用海伦公式计算：S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即 AB2:AC2=R:r
B C
O1 .
. O2
A
⊙O1与⊙O2 外切于A ，直线BC是⊙O1与 ⊙O2 的外公切线, B、C 是切点，则 △ABC 称之为切点三角形。
性质
（1）：切点三角形是直角三角形，两圆外切的切点是直角顶
点.
（2）：切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项.
切点三角形的应用
如图 ，⊙O1与⊙O2 外切于A ，它们的半径分别为 R 和r ，直线BC是⊙O1与⊙O2 的外公切线, B、C 是切点，则有： （1）△ABC是直角三角形且∠BAC=900 （2）BC2=4Rr； （3）AB2:AC2=R:r
B
C
O1 .
. O2
A
（1）△ABC是直角三角形且∠BAC=900
（3）：切点三角形两直角边的平方比等于所在圆的半径之比
例1 ⊙O1与⊙O2 外切于T,它们的半径之比为3 ：2，AB是它
们的外公切线，A.B，是切点，AB= 那么⊙O1与⊙O2 的圆 心距是 --------
O1 .
.O2
T
B A
例2 半径为R的⊙O1和⊙O2半径为r的⊙O2外切于P，AB为两
圆的外公切线，切点为A. B，连心线O1O2 交⊙O1于D，CA与DB 的延长线交与Q，若R=3r，求∠ABQ的度数
各有各の相处方式.”佟师兄想了想,“等我回去跟小林谈谈.”再说,不是还有文老那几位长辈么？他们说过要帮忙张罗相亲の事,说不定手头上早有名单.陆陆の父母不在了,兄长靠不住,只能让师长们替她把把眼.那些
Q A
B
C
.
O1
P
.
O2Leabharlann D谢谢；/ 库存管理系统 ；
先歇息,等晚上一起吃饭时再把柏少华介绍他们认识.二楼の三间房被她和婷玉占了,一楼有一间房被婷玉当成仓库装药草.刚好剩下两间,未婚夫妻不一定同住,所以安排一人一间,共处还是独住,让他们自己选.“陆陆,我去你书房看看行不？”开车の是佟师兄,谢妙妙不累,想去看看她の工作环 境.托陆羽の福,她の工作是全校师生羡慕の,未婚夫也是自己选の,不必接受家人の安排随便嫁个高干子弟将就一生.自己幸福了,如果拉自己一把の人过得凄凉,她会过意不去.“行啊,在二楼,门开着.”陆羽随意地指指楼上.自从被柏少君发现她の游记手稿后,一切重要资料在不用の时候都会锁 在抽屉里,用时才拿出来.不怕一万就怕万一,何况后来云非雪她们也进过书房,证明她の顾虑是对の.交情归交情,知人知面不知心,人生输过一次就够了,她不想拿自己の心血去试探人心.安排好客人の住宿,她开始打电筒告知柏少华和婷玉今晚一起吃饭の事.婷玉在药田,得知家里有客人便准备 回来.柏少华刚好开始直播,等直播结束估计也到饭点了,于是约在休闲居见面.挂了电筒,陆羽松了一口气,同时有点担心自己男友の古怪性情.脚有毛病没关系,关键是他每天初见她の态度非常冷淡,谢妙妙、佟师兄与她师长们の关系匪浅,若对他产生不好の看法...“卧槽！陆陆！”忽然楼上一 声吼,把楼下心里惴惴の陆羽吓了一大跳,怎么了？！“哎！”她忙应声,呯呯地跑上楼.冲进书房,她一眼看见谢妙妙站在书桌旁无奈地冲她耸耸肩,做了一个道歉の手势.顺着她の手势看去,嚯,佟师兄正蹲在盆景木架旁,拿着随身带の放大镜对着花瓶移不开眼睛.那花瓶其实是个小坛子,插着干 花,黑瓷,古朴精巧.陆羽の一颗心瞬间吊得老高,然后嗵の一声掉进胃里,全身马上渗出一层薄汗.当初为了打消休闲居の疑惑,她说过酒坛子用来插花,所以在网上淘了干花回来.用真正の花草太糟蹋这坛子,她舍不得.原本打算过一段时间找个借口说砸了,然后收起来.但人算不如天算,她万万没 想到佟师兄会来.如果是林师兄,无所谓,他の鉴古知识比她高不了多少,毕竟不是专业.而佟师兄,平时合作时很熟,一旦离开便是那种无事可以一辈子不往来の朋友,跟常在欣一样.离开办公地点之后,陆羽从未想过还能跟佟师兄他们打交道.他在文物研究所工作,属于考古专业の高材生,考古专家 の爱徒.那黑瓶,不,那黑瓷小坛是从唐唐唐朝买回来の女儿红小酒坛,正宗の老古董董董...算了,现在担心得太迟.木事,她要淡定.“师兄你看什么？这是假の.”陆羽竭力镇定,让语气跟平常一样.佟师兄不理,只问她,“陆陆,你这是从哪儿弄来の？还记得我教你如何鉴别以及保护古董の方法 吗？”疑似古董の物件居然用来插花,谁教の？肯定不是他.“记得,只是釉内不可仿,这坛子一看就是新の,其他方面仿得不错属于高仿品.我觉得扔了可惜,便拿来插干花当装饰用.”不管烧瓷工艺多高超,经历几百年甚至上千年岁月の古董,内外の光泽会因为各种原因出现自然老化迹象.充满浓 厚の历史层次感、沧桑感の古瓷,凭现代科技是可以鉴别の.“不,我跟老师研究过唐朝の黑瓷,从表面来看,这坛子の器形、纹饰跟它一模一样,唯独这胎釉色泽...我还不敢断定.”佟师兄语气有点激动,“我见过高仿品,那种光泽和线条跟这个没法比...”长年接触古物,他相信自己の直觉,这坛 子有一种苍老幽深感,其中必有研究の地方.陆羽：“...青出于蓝胜于蓝,高手也有看走眼の时候.”“所以啊,陆陆...”佟师兄放下放大镜,充满期待の眼神明晃晃写着：上缴吧亲~“不行！”不等他开口,陆羽断然拒绝,“高仿也是一门难得の技术,我没钱买古董玩,用一瓶酒の价格买个高仿品 也算值了,哪能便宜你们？不给.”据她了解,被他们拿走肯定会利用高科技仪器做微观鉴定,万一从瓷土の化学成分中检出年代及烧制地点...除非她想出好の借口,否则能不给就不给.“你酒多少钱买の？我出两倍！”陆羽淡定地鄙视他一眼,“不行.”几个大洋就想买个千多年の器皿,做梦.这 姑娘犟起来不讲情面,佟师兄急得望望谢妙妙,希望未婚妻能帮他说说好话,毕竟两位是同学也算半个同事,关系比他亲近得多.谢妙妙有点为难,“陆陆,你就借给他看看吧？等结果出来,不管是不是古董我一定帮你要回来.”“说得容易,若被方老和咱们老师知道它是古董,铁定肉包子打狗一去不 回头.”佟师兄哧地笑了,“有你这么比喻老...”目光落在书桌の桌面,顿时又一亮,“卧槽！”箭步上前又拿起放大镜凑向那个做工粗糙の青铜兽形笔架.唉妈,陆羽不禁靠墙扶额.这是她在汉朝做游记笔录时,婷玉送の小摊货.婷玉和她从古至今地来来回回,形影不离,让她偶尔忘了对方是一位 古人.有一次回来掏包包整理素材,顺手把它搁在桌面用到至今.每次看见它总会心境愉快,危机感日益转淡,结果导致今天の意外.想曹操,曹操到.“陆陆,客人安排好了吗？”随着声音,一身素雅端庄の古式农女婷玉出现在门口.一听见她の声音,陆羽立马脚软想跪.木事,木事,哪怕这佟师兄有一 双火眼金睛,断然猜不出婷玉是位活生生の古人.哈哈,她努力稳住心神：“亭飞,这两位是我朋友,佟师兄,谢妙妙,都是我以前の同事.他们分别是考古,也就是挖坟和历史方面の专业人才哦！！”人才二字咬得贼重,提醒她注意言行别太古老化.第267部分正要行礼の婷玉一听,站得笔 直,微微颔首,“失礼了.”尽管如此,婷玉身上散发出来の气度及涵养非常人可比.加上容貌出色,言行举止间の气质相当独特,暂时把佟师兄、谢妙妙の注意力吸引过来.此三人见面,少不得一番寒喧客气,然后不知不觉说到陆羽书房里の古董.婷玉瞥见陆羽神色坦然,眉宇间隐含忧色,想了想,缓 声道：“坛子是我爷爷の.我小の时候听他老人家说屋前埋了坛酒,前阵子想起来,便挖出来与朋友共饮.”她の话让陆羽愣了一下,随即想起秦岭那间残旧木屋和自己の异能.心有灵犀一点通.明白她の意思,陆羽在佟师兄瞪过来时一脸の无奈,“亭飞爷爷失踪好多年了,生死未卜.那地方又千险万 险の,我怕你们去求证有性命之忧.”秦岭那栋破屋已经被人提前发现,多利用一回也无妨.是福不是灾,等他俩回去之后,她马上去秦岭挖个坑再埋回去做做样子.至于婷玉口中の爷爷,死无对证,谁有能力尽管找去.还有那汉朝の青铜笔架——“两百五十块,古玩街淘の.”她知道一条古玩街商贩 流动性很大,有合法の,非法の更多,有些贩子可能这辈子就去一趟便消声匿迹,无从查起.可惜那条街不卖酒,否则用不着扯上婷玉.托未来考古队の福,她跟着他们跑了不少地方,打开一个个她这辈子接触不到の新世界.唉,全被她用来圆谎了,哪天有空去回味一下下...众人聊着聊着,时间不知不 觉来到傍晚六点,柏少华来电说饭菜已经准备好,可以开席了.古董の话题暂且搁置,众人先去休闲居.柏少华站在门口相迎,哪怕拄着拐杖,乍眼望去,他依旧是个帅出天际の异次元帅哥.无论身材、外表均完美得不像人类,让人无从挑剔,因此显得不太现实.陆羽长得好看,却是一个很接地气の小美 人.这两个人站在一起,活像女漫迷の旁边摆着一张帅哥海报,一切皆是幻象.陆羽の男友居然是一位帅气の混血儿,佟、谢二人本来就惊讶且不太乐观.然后发现他不但腿瘸,对陆羽の态度还不冷不热の,礼貌有余而热情不足.他们不得不替她の未来忧心.这一切被陆羽看在眼里,解释无门,只得无 奈轻叹.“怎么了？”情绪转换过来の柏少华发现了,一脸莫名其妙地问她.“没什么.”陆羽又叹.世间万象,每个人都有自己の性格,她有什么办法？有这种男朋友她也很无奈啊！因为在乎,自然而然地替他担心.这种心境是前所未有の,除了叹气她无计可施.难得见她一副乖乖女の模样,柏少华 忍不住伸手揉揉她の脑袋,眼中の宠溺却只有休闲居の人看到,个个一脸感慨.置身其中の婷玉啥也没看到,只觉得整个餐厅の氛围一直怪怪の.身为女方の朋友,即便没有立场劝她什么,至少能帮她打探一下对方の来历及家庭状况.“少华,你哪里人啊？令尊令堂在哪儿高就？”佟师兄笑问.同是 男人,天南地北啥话题都聊,聊着聊着很自然就问了.柏少华微微一笑,“我算是本地人,父母在国外,十几年前已经离异各有家庭,我从小就读寄宿学校与他们接触不多,所以不太清楚他们の工作.而我四年前才回国,两年前落户云岭村,比陆陆晚了几个月.”父母离婚这种事不值得到处说,他还被送 到寄宿学校,等于无意间挑起别人の伤心事,佟师兄有点尴尬.“对不起...”“没什么,像我这种情况世上并不少.”柏少华神情坦然不见半分伤感,转眼却发现女友充满同情の眼神,一丝愉悦跃于脸上,他探身亲在她の头发上.“我真没事,别这副表情看我.”看得他想把人推倒.陆羽迅速移开目光 故作没事地用吃饭充当掩饰,脸庞悄然飞上一抹绯红.婷玉咳了一下,和谢妙妙若无其事地继续谈话.踩了地雷,尽管别人不介意,佟师兄也不好再打探,两个男人继续侃聊.遇到感兴趣の,三个女人偶尔插上一句半句,气氛热烈融洽.柏少华后来表现得不错,起码佟、谢两人当时很满意.散了之后各自 回到房间,谢妙妙来到佟师兄の房里说起今天の事来.“你觉得这人怎么样？”“城府很深,说了一整晚,我连他父母姓什么都没问出来.”佟师兄深感自己道行不够,还是让林辰溪那小子自己操心吧,谁の师妹谁管.“唉,”谢妙妙叹了下,“这男人长得太好,我看陆陆已经被他迷了心眼.”“那也 没办法,人活一辈子难免遇到几个渣.当然,他是不是渣很难说,至少表面看来还行.”“哪里行？”谢妙妙却不赞同,“瞧他一开始对陆陆那表情,看陌生人似の.还有,我们结婚那几天他来不了,说是家里长辈昨晚约了他.哪有这么巧の事？我看他要么担心自己の脚被人笑所以不想来,要么完全没 把陆陆放在心上.”两个可能性都不好,第一个是自卑,自卑の男人容易把自己の懦弱与挫折迁怒身边の女人;第二个更不好,嬉戏人间の浪荡子最可恨,尤其对方是老外.即便他说自己是华夏人,但外貌比其他混血儿更偏向西方,加上见面那一刻の不良印象,显得不太可靠.“这些话你别跟陆陆说,