2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题26
2016-2017学年度第一学期高二阶段性测试数学试卷答案
2016-2017学年度第一学期高二阶段性测试数学试卷答案2016-2017学年度第一学期高二阶段性测试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确；故选：C．2．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量S=i1+i2+…+i2011的值，∵S=i1+i2+…+i2011=i1+i2+i3=﹣1；故选A3．解：在等比数列中，有a3•a11=4a7，即a7•a7=4a7，则a7=4，在等差数列中，b7=a7=4，则b5+b9=2b7=8，故选：B．4．解：∵b=c，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），∵a2=2b2（1﹣sinA），∴1﹣cosA=1﹣sinA，则sinA=cosA，即tanA=1，即A=，故选：C5．解：由题意，构建函数f（x）=+（m﹣1）x+m 2﹣2，∵两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，∴f（﹣1）＜0，f（1）＜0，∴0＜m＜1故选C．6．解：由正弦定理，∵C=2A∴=，∴=2cosA，当C为最大角时C＜90°∴A＜45°，当B为最大角时B＜90°∴A＞30°，∴30°＜A＜45°，2cos45°＜2cosA＜2cos30°，∴∈（，），故选A．7．解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S △ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．8．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+6y （a＞0）得y=﹣x+，则直线斜率﹣＜0，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，为﹣6，由得，即A （﹣2，0），此时﹣2a+0=﹣6，解得a=3，故选：C9．解：5位同学各自随机从3个不同城市中选择一个城市旅游，每人都有3种选择，由分步计数原理共有35=243种选择情况，若要3个城市都有人选，需要两步（先选后排）：①先将5人分成3组，若分为2、2、1的三组，有=15种情况，若分为3、1、1的三组，有=10种情况，共有15+10=25种分组方法，②将分好的三组，对应3个城市，有A33=6种情况，∴3个城市都有人选的情况有25×6=150种情况，∴3个城市都有人选的概率为=；故选：A10．解：由a＞0，b＞0，且4a+b=ab，可得+=1，则a+b=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9．当且仅当=，即b=2a，又4a+b=ab，解得a=3，b=6，a+b取得最小值9．故选：B．11．解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s 2，∴==5，s 2==＜2，故选：A．12．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}有唯一的最大项S3，∴公差d＜0，a1＞0，a1，a2，a3＞0，a4＜0．A．由S5==5a3＞0，S6==3（a3+a4）与0的大小关系不确定，可知A不正确；B．H5=S1+2S2+3S3+4S4+5S5＞0，H6=S1+2S2+3S3+4S4+5S5+6S6，由A可知：S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，H5•H6与0的大小关系也不确定，因此不正确．C．数列{a n}是单调递减数列，而数列{S n}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．D．若a3+a4＞0，则S6＞0，而S7==7a4＜0，因此H6有可能是数列{H n}最大项．故选：D．二．填空题（共4小题）13．解：不等式ax 2+x﹣2＞0可化成：a＞=，若（1，2）是一元二次不等式ax2+x﹣2＞0解集的真子集，则a＞在x∈（1，2）上恒成立，设，上式可转化为：a＞2t 2﹣t在t∈（，1）上恒成立，只须a大于2t 2﹣t在t∈（，1）上的上界即可，根据二次函数的性质得：2t 2﹣t在t∈（，1）上的上界为1．∴a≥1．故答案为：a≥1．14．解：由，可得，可得数列{}为，公差为3的等差数列，求得数列{}递推式为，可求出数列{a n}的通项公式为，故答案为．15．解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则=，解得x=．故答案为：．16．解：∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴==又S=absinC，∴sinC=，k==tan，锐角三角形ABC，∠C又不是最大最小角则45°＜C＜90°∴﹣1＜tan＜1∴﹣1＜k＜1故答案为：（﹣1，1）三．解答题（共6小题）17．解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a 2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．18．解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．19．解：（Ⅰ）由2a n+1=a n+2+a n（n∈N*），得数列{a n}为等差数列，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a3+a7=20，a2+a5=14．∴a1=2，d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，（Ⅱ）b n===（﹣），∴S n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），当n∈N +，S n=（1﹣）＜20．解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，∴小亮获得玩具的概率为；（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=，∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．21．解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．22．解：（I）∵a n=3﹣S n，当n=1时，a1=3﹣a1，解得a1=；当n≥2时，a n﹣1=3﹣S n﹣1，∴a n﹣a n﹣1=3﹣S n﹣（3﹣S n﹣1）=﹣a n，化为，∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为，可得：=．（II）设等差数列{b n}的公差为d，∵b5=15，b7=21．∴，解得b 1=d=3，∴b n=3+3（n﹣1）=3n．=．将数列{}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为=，=，公比都为8．∴数列{c n}的前2016项和=（c1+c3+…+c2015）+（c2+c4+…+c2016）=+=．【附加题】1．==4∴a n=5+4（n﹣2）=4n﹣3，∴=，∵（S 2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（）﹣（）===（）+（）＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，∴数列{S 2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1==∴只需≤，变形可得m ≥，又∵m是正整数，∴m的最小值为5．故选：C．【附加题】2．解：（I）由6S n=a n2+3a n+2，当n≥2时，+2，可得：6a n =﹣+3a n﹣3a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵数列{a n}是正项数列，∴a n+a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是等差数列，公差为3．由6a1=+3a1+2，解得a1=1或2．当a1=2时，a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，可得a2=5，a6=17，不满足a2是a1和a6的等比中项，舍去．当a1=1时，a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，可得a2=4，a6=16，满足a2是a1和a6的等比中项．∴a n=3n﹣2．（II ）=[log2（n+1）]，∴==n，∴=n•2n ．∴数列的前n项和T n=2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．第11页（共11页）。
数学高二上期中知识点(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13027]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：13005]设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．125．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P AB =（ ）A．12B．13C．23D．566．(0分)[ID：12977]执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．117．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，98．(0分)[ID：12962]如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.9．(0分)[ID ：12951]若框图所给的程序运行结果为S =20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k >8？B ．k ≤8？C ．k <8？D ．k =9？10．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：13024]已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ） A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．(0分)[ID ：12980]某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7B ．15C ．25D ．3513．(0分)[ID ：12948]6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．1514．(0分)[ID ：12939]我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 15．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13113]如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．17．(0分)[ID ：13106]某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.18．(0分)[ID ：13101]变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．19．(0分)[ID ：13093]执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．20．(0分)[ID：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x的值为__________．21．(0分)[ID：13071]三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.x，若这组数据的平均数、中位22．(0分)[ID：13065]已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2数、众数成等差数列，则数据x的所有可能值为__________．23．(0分)[ID：13055]从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．24．(0分)[ID：13042]如图程序框图的输出结果是_________.25．(0分)[ID：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID：13203]近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.27．(0分)[ID：13169]高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．28．(0分)[ID：13154]某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.3000,3500的频率；（1）求居民收入在[)（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按2500,3000的这段应抽取多少人？分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)29．(0分)[ID：13142]地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.30．(0分)[ID：13135]某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。
2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题22
习题课 数学归纳法【学习目标】1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．【知识导学】1．归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式例1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立．题型二 利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.题型三 利用数学归纳法证明几何问题例3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.【当堂检测】1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．2 证明x 2n －1＋y 2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．[呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(解析版)20
高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ）A ．x 2=8yB ．x 2=﹣8yC ．y 2=﹣8xD ．y 2=8x2．已知直线l 1：x ﹣y+1=0和l 2：x ﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ）A ．B ．C ．D ．23．设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．D ．或25．在四面体ABCD 中（ ）命题①：AD ⊥BC 且AC ⊥BD 则AB ⊥CD 命题②：AC=AD 且BC=BD 则AB ⊥CD ． A ．命题①②都正确 B ．命题①②都不正确C ．命题①正确，命题②不正确D ．命题①不正确，命题②正确6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD ．α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ⇒n ⊥β 7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且 B．且C．且D．且10．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C （x 0，y 0）是椭圆+y 2=1上的动点，以C 为圆心的圆过点F （1，0）．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；（Ⅱ）若圆C 与y 轴交于A ，B 两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C 的方程是，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，若F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，M ，N 分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=﹣8y C ．y 2=﹣8x D ．y 2=8x 【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据准线方程为y=﹣2，可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x 2=2py （p ＞0），根据准线方程求出p 的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x 2=2py （p ＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣2， ∴=2， ∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x 2=8y ． 故选A ．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．2．已知直线l 1：x ﹣y+1=0和l 2：x ﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，运算求得结果． 【解答】解：∵已知平行直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：x ﹣y+3=0，∴l 1与l 2间的距离 d==，故选C ．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．3．设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，知S △AFG =，，由此能求出三棱锥E ﹣AFG 体积．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ， ∴V=S △ABC •AA 1，∵E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，∴S △AFG =，，∴三棱锥E ﹣AFG 体积：V E ﹣AFG ===S △ABC •AA 1=．故选：D ．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．D ．或2【考点】圆的切线方程．【分析】算出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．【点评】本题给出直线与圆相切，求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．5．在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①作AE⊥面BCD于E，证得E是垂心，可得结论；对于②，取CD 的中点O，证明CD⊥面ABO，即可得出结论．【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE ⊥BD，证得E是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB ⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n ⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ⇒b ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a ⊂α⇒a ∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a ⊄α，a ⊄，a ∥α⇒ a ∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，得，设平面BB 1D 1的法向量=（a ，b ，c ），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小为θ，则cos θ===﹣，∴θ=．∴二面角A ﹣BD 1﹣B 1的大小为．故选：C ．【点评】本题考查二面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0， ∴y 1+y 2=16m ，y 1y 2=﹣32m ， ∴（y 1﹣y 2）2=256m 2+128m ， ∵y 12﹣y 22=1，∴256m 2（256m 2+128m ）=1，∴△OAB （O 为坐标原点）的面积为|y 1﹣y 2|=．故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质、直线和抛物线的位置关系的综合运用，注意抛物线性质的灵活运用，是中档题．9．已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【考点】二面角的平面角及求法．【分析】可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，由CH ＜CB ，可得sin β的范围；由二面角的定义，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，根据等积法和正弦函数的定义和性质，即可得到PB 与平面ABC 所成角α的范围．【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ， 则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ， 且CH ＜CB=a ，sin β=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ， 设P 到平面ABC 的距离为d ， 由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ，即有BC •S △ACP =d •S △ABC ，即a ••a •a •sin θ=d ••a •a ，解得d=sin θ，则sin α==≤，即有α≤．故选：B ．【点评】本题考查空间的二面角和线面角的求法，注意运用定义和转化思想，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2的公共点．设C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，∠F 1AF 2=2θ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得， =b 12tan θ，根据双曲线的几何性质可得，=，以及离心率以及a ，b ，c 的关系即可求出答案．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得， =b 12tan θ，∵e 1=，∴a 1=，∴b 12=a 12﹣c 2=﹣c 2，∴=c 2（）tan θ根据双曲线的几何性质可得， =，∵a 2=，∴b 22=c 2﹣a 22=c 2﹣=c 2（）∴=c 2（）•，∴c 2（）tan θ=c 2（）•，∴（）sin 2θ=（）•cos 2θ，∴，故选：B【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．双曲线C ：x 2﹣4y 2=1的渐近线方程是 y=±x ，双曲线C 的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，即可得到所求渐近线方程和离心率．【解答】解：双曲线C ：x 2﹣4y 2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．12．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S= cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．13．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，则满足=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos ∠NMF=把已知条件代入可得cos ∠NMF ，进而求得∠NMF ．【解答】解：设N 到准线的距离等于d ，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos ∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义、以及简单性质的应用．利用抛物线的定义是解题的突破口．14．已知直线l 1：y=mx+1和l 2：x=﹣my+1相交于点P ，O 为坐标原点，则P 点横坐标是（用m 表示），的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两条直线方程组成方程组，求出交点P 的坐标，再计算向量以及的最大值．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l 2：x=﹣my+1相交于点P ，∴，∴x=﹣m （mx+1）+1，解得x=，y=m ×+1=，∴P 点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．15．四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大；当AC⊥CD，AB⊥BD时，该四面体表面积取最大值．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：==．Smax∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，==1+．四面体表面积最大值Smax故答案为：，．【点评】本题考查四面体的体积的最大值和表面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合条件得出C为AB的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i ）当C 是AB 的中点时，则x 2=⇒2x 2=x 1+a ，把①②代入整理得：b=3a ，∴e===；（ii ）当A 为BC 的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x 1+2x 2=3a ，把①②代入整理得：a=3b ，∴e===．综上所述，双曲线G 的离心率为或．故答案为：或．【点评】本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AC|=|BC|得到C 是A ，B 的中点这以结论的运用．17．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m ，若满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为n ，则n 的最大值是 12 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】P 应是椭圆与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱B 1C 1，C 1D 1，CC 1，AA 1，AB ，AD 上各有一点满足条件，由此能求出结果． 【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD 1=，∵点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点）， 满足|PB|+|PD 1|=m ，∴点P 是以2c=为焦距，以2a=m 为长半轴的椭圆，∵P 在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2016秋•温州期末）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b 与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y﹣4b=0，利用|AB|=8，即可求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求出M的坐标，即可求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y 1﹣y 2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB 为直径的圆与x 轴相切，设AB 中点为M |AB|=|y 1+y 2|又y 1+y 2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M （，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x ﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．19．（15分）（2014•齐齐哈尔三模）在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点． （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥AE ；（Ⅲ）若AB=CE ，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理先证明BD ⊥平面ACE ，然后利用线面垂直的性质证明BD ⊥AE ；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，先假设CG ⊥平面BDE ，然后利用线面垂直的性质，确定G 的位置即可．【解答】解：（I ）连接OF ．由ABCD 是正方形可知，点O 为BD 中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）【点评】本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，综合性较强，难度较大．20．（15分）（2015•绍兴县校级模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由E，F分别是PC，PD的中点，得EF∥CD，由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小，由此能求出AC与平面ABEF所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin ∠MEH=．所以AC 与平面ABEF 所成的角的正弦值是．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（15分）（2016•湖州模拟）已知点C （x 0，y 0）是椭圆+y 2=1上的动点，以C 为圆心的圆过点F （1，0）．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；（Ⅱ）若圆C 与y 轴交于A ，B 两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当圆C 与y 轴相切时，|x 0|=，再由点C 在椭圆上，得，由此能求出实数x 0的值．（Ⅱ）圆C 的方程是（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=（x 0﹣1）2+，令x=0，得y 2﹣2y 0y+2x 0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C 与y 轴相切时，|x 0|=，（2分）又因为点C 在椭圆上，所以，解得，因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C 的方程是（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=（x 0﹣1）2+，令x=0，得y 2﹣2y 0y+2x 0﹣1=0，设A （0，y 1），B （0，y 2），则y 1+y 2=2y 0，y 1y 2=2x 0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x 0＜﹣2+2，又由P 点在椭圆上，﹣2≤x 0≤2，所以﹣2≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，4]．（15分）【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆、椭圆性质的合理运用．22．（15分）（2016秋•温州期末）已知椭圆C 的方程是，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，若F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，M ，N 分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，化简得：m 2=4k 2+3．利用点到直线的距离公式可得：d 1=|F 1M ，d 2=|F 2M|，代入d 1d 2，化简利用重要不等式的性质即可得出．（Ⅱ）当k ≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN||tan θ|，代入S=|MN|•（d 1+d 2）==，由于m 2=4k 2+3，对k 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线与椭圆C 仅有一个公共点知， △=64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）=0， 化简得：m 2=4k 2+3．设d 1=|F 1M=，d 2=|F 2M|=，d 1d 2=•===3，|F 1M|+|F 2M|=d 1+d 2≥=2．（Ⅱ）当k ≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN||tan θ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d 1+d 2）====，∵m 2=4k 2+3，∴当k ≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，．所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题18
简单曲线的极坐标方程学习目标：1.了解极坐标方程的意义2.掌握直线和圆的极坐标方程3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题 学习任务：阅读教材P22—24，理解下列问题： 1. 圆的极坐标方程如图，半径为a 的圆的圆心坐标为C (a ,0)(a ＞0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？圆经过极点O .设圆和极轴的另一个交点是A ，那么|设M (ρ,θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则OM ⊥AM. 在Rt △AMO 中，|OM|＝|OA|cos ∠MOA ,即ρ＝2a cos θ ①一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ,θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ,θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ,θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程. ①就是圆心在C (a ,0)(a ＞0)，半径为a 的极坐标方程. 2. 直线的极坐标方程如图，直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是4π，求直线l 的极坐标方程.射线OM 的极坐标方程是)0(4≥=ρπθ射线OM'的极坐标方程是)0(45≥=ρπθ 因此，直线l 的方程可以用)(454R ∈==ρπθπθ和3. 极坐标与直角坐标的互化.,sin ,cos 222ρθρθρ=+==y x y x.,sin ,cos 222y x y x +===ρθρθρ4. 求曲线极坐标方程的基本方法: (1)轨迹法①设曲线上任意一点M (ρ,θ)；②连OM ，确定ρ与θ关系；③化简，检查.(2)直角坐标法①求曲线的直角坐标方程；②(x ,y )→(ρ,θ)；③化简，检查. 练习题：1.说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图..sin 2 )3( );(65)2( ;5 )1(θρρπθρ=∈==R2.在坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程..)23,( )2(;)3(2, )1(的圆，半径为圆心在线，并且和极轴垂直的直过点a a ππ3. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状..5sin 3cos 2 )4( ;4 )3();cos (sin 9 )2( );0(cos 2 )1(=-=+=>=θρθρρθθρθρa a4.把下列直角坐标方程化为极坐标方程..16 )2( ;02 )1(22=-=+y x y5 .把下列极坐标方程化为直角坐标方程..sin 4cos 2 )2( ;04)sin 5(2cos )1(θθρθθρ-==-+. 43)4,2(.6的极坐标方程，求直线点且与极轴所成的角为过，直线设l P l P ππ.1)6sin( )611,2(.7的距离是到直线在极坐标系中，点=-πθρπP补充学习材料：1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为 ( )．A ．ρ＝22cos θB ．ρ＝－22cos θC ．ρ＝22sin θD ．ρ＝－22sin θ3．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )．4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________． 7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．8．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．9．求过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．(1)y 2＝4x ； (2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4； (5)ρ＝12－cos θ.11．在极坐标系中，求圆心为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，半径为5的圆的极坐标方程．.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
2016-2017学年高二数学上册知识点综合测试题15
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题：若a >0，则a 2>0 ) A ．若a >0，则a 2≤0 B ．若a 2>0，则a >0 C ．若a ≤0，则a 2>0 D ．若a ≤0，则a 2>0[答案] B[解析] 将原命题的条件、结论互换得原命题的逆命题． 2．设点B (－4,0)，C (4,0)，若△ABC 的周长为18，则动点A 的)A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 225＋y 216＝1(x ≠0) D.y 216＋x 29＝1(x ≠0)[答案] A[解析] 由已知得|AB |＋|AC |＝10>|BC |，由椭圆定义知，动点A的轨迹为椭圆(y ≠0)，且2a ＝10，a ＝5，c ＝4，所以b 2＝9，方程为x225＋y 29＝1(y ≠0)．3．已知向量a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] 已知a ∥b ，则∃t ∈R ，使得b ＝t a (t ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t ＝62μ－1＝02t ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3λ＝－3μ＝12.4．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a)A ．[0，2π3] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π3，π2][答案] D[解析] 设a 与l 所成角为θ，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，其中θ1＝π3，θ2∈[0，π2]得0≤cos θ≤12，∴π3≤θ≤π2.5．已知双曲线x 22－y 23＝1的左右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足|AB |＝32的直线l)A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 由a 2＝2，b 2＝3得，c 2＝a 2＋b 2＝5，∴F 1(－5，0)，将x ＝－5代入双曲线方程中得，y ＝±322，∴过F 1的通径长为32，又双曲线的实轴长为22，∴过F 1与x 轴不垂直的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，|AB |＝32时，这样的直线有2条，∴共有3条，选C.6．已知空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则) A ．点P 必在直线AB 上 B ．点P 必不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AP →与AB →方向必相同 [答案] A[解析] 由题设知mn ≠0，又m ＋n ＝1，则OP→＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA→－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，所以AP →＝nAB →，因此A ，P ，B 共线，即点P 必在直线AB 上．7．已知有相同两焦点F 1，F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△PF 1F 2)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 的变化而变化[答案] B[解析] 由题设得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝±2n ，并且m －1＝n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4m ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4n ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝4(m －1)＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形．8．命题p ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：定义域为R 的函数f (x )在(－∞，0)及(0，＋∞)上都是增函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．则下列说法正确的是) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是真命题 C ．¬p 是假命题 D ．¬q 是假命题[答案] A[解析] 若a ·b <0，则a 与b 夹角可为平角，故命题p 为假命题；对于命题q ：若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0－1x ，x ≠0，则f (x )在(－∞，0)及(0，＋∞)上是增函数，但是f (x )在(－∞，＋∞)上不是增函数，故命题q 也是假命题，因此命题p 且q 是假命题．9．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F ，则m 的)A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2[答案] D[解析] F 点的坐标为(16－m 2，0)，∴由16－m 216＋(2216－m 2)m2＝1得m 4＋8m 2－128＝0，∴m 2＝8，∴m ＝2 2.故选D.10．已知点P 是以F 1，F 2为左、右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 2F 1＝23，则此双曲线的)A. 3B.132C. 5D.13[答案] D[解析] 据已知设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝3m2，在直角三角形PF 1F 2中利用勾股定理可得m 2＋(3m 2)2＝4c 2，解得m ＝413c 13，则由双曲线定义可得|PF 2|－|PF 1|＝m 2＝213c 13＝2a ，故有e ＝ca ＝13.11．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b)A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件[答案] C[解析] 本题考查充要条件的判定若φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2，∴ab ＝0，当a ＝0时，由b 2＝b 知b ≥0；当b ＝0时，由a 2＝a 知a ≥0，∴a 与b 互补．反之，亦然．12．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB＝2BB 1，则AB 1与C 1B)A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，且令BB 1＝1，则〈a ，b 〉＝120°，AB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝b ＋c ，AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＋b·c ＋c 2＝2×2×cos120°＋1＝0，∴应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________[答案] m ≥6[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x 2＋2x －m ≤0，即4x ＋22≤m 恒成立，易知y ＝4x ＋2x (0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是____[答案] (－∞，－134)[解析] 过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得x 2－x －a －3＝0，因为直线x 与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之a <－134.15．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________[答案] π3[解析] 因为底面对角线长为26，所以底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所以二面角的正切值为3，所以侧面与底面所成二面角的大小为π3，本题也可用向量知识求解．16．设P 是曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点A (0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是________[答案]5[解析] 如右图，由定义可知，点P 到y 轴的距离等于点P 到F (2,0)的距离，即点P 到点A 与到y 轴的距离之和等于|P A |＋|PF |，又|P A |＋|PF |≥|AF |，即A ，P ，F 三点共线时最小，即最小值为|AF |＝(2－0)2＋(0－1)2＝ 5.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a[解析] 命题p 为真命题⇔f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ⇔ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立⇔a >2，所以命题p 为真命题⇔a >2.命题q 为真命题⇔2x ＋1－1<ax 对一切正实数均成立⇔a >2x ＋1－1x ＝2xx (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切正实数x 均成立，由于x >0，所以2x ＋1>1，所以2x ＋1＋1>2，所以22x ＋1＋1<1，所以命题q 为真命题⇔a ≥1.由题意知p 与q 有且只有一个是真命题．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，a ∈[1,2]．综上知a ∈[1,2]．18．(本小题满分12分)(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度(2)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，求椭圆C 离心率的取值范围．[解析] (1)由题意知2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＋2ac －3a 2＝0，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．(2)因为点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，则点B 的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得|y |＝b 2a ，又13<k <12，所以B (c ，b 2a )．易知顶点A 的坐标为(－a,0)，故直线AB 的斜率k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，所以13<1－e <12，解得12<e <23.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．[解析] (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A ，又因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，∴BD ⊥PC ， 而P A ∩PC ＝P ，所以，BD ⊥平面P AC ；(2)由(1)BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥AC ，又四边形ABCD 为矩形， 所以四边形ABCD 是正方形．设AC 交BD 于O 点，因为PC ⊥平面BDE ，所以∠BEO 即二面角B －PC －A 的平面角．∵P A ＝1，AD ＝2，AC ＝22，BO ＝OC ＝2，∴PC ＝P A 2＋AC 2＝3又OE ＝OE P A ＝CO PC ＝23在直角三角形BEO 中，tan ∠BEO ＝BO EO ＝223＝3.所以二面角B －PC －A 的正切值为3.20．(本小题满分12分)如图所示，已知动点P 与双曲线x 22－y 23＝1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值是 －19.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．[解析] (1)由题意得c 2＝5，设|PF 1|＋|PF 2|＝2a >25，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝2a 2－10|PF 1|·|PF 2|－1，又|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值． 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值为2a 2－10a 2－1， 令2a 2－10a 2－1＝－19，解得a 2＝9，又∵c ＝5，∴b 2＝4， 故所求P 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM→＝λDN →，可得(x ，y －3)＝λ(s ，t －3)， 故x ＝λs ，y ＝3＋λ(t －3)， ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，∴s 29＋t 24＝1，且(λs )29＋(3＋λt －3λ)24＝1， 消去s 可得(λt ＋3－3λ)2－λ2t 24＝1－λ2，解得t ＝13λ－156λ. 又由|t |≤2，即－2≤13λ－156λ≤2，解得15≤λ≤5，故实数λ的取值范围为[15，5]．21．(本小题满分12分)(2015·天津理，17)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．[解析] 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (2,0,0)，D (1，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，－2,2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2,1)．(1)依题意，可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，MN ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得，MN ―→·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1―→＝(1，－2,2)，AC ―→＝(2,0,0)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则 ⎩⎨⎧n 1·AD ―→＝0n 1·AC ―→＝0，即⎩⎨⎧x 1－2y 1＋2z 1＝02x 1＝0，不妨设z 1＝1，可得 n 1＝(0,1,1)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·AB 1―→＝0n 2·AC ―→＝0，又AB 1―→＝(0,1,2)，得⎩⎨⎧y 2＋2z 2＝02x 2＝0，不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2,1).因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010，所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E ―→＝λA 1B 1―→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE ―→＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知得cos 〈NE ―→，n 〉＝NE ―→·n|NE ―→||n |＝1(－1)2＋(λ＋2)2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2， 所以线段A 1E 的长为7－2.22．(本小题满分14分)(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．导学号 64150932(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[解析] (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得：a 2＝4b 2， 因为抛物线E 的焦点F (0，12)， 所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1． (2)①设P (m ，m 22)(m >0)． 由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ．因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )， 即y ＝mx －m 22．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0． 由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)，(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)， 因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 的方程为y ＝－14m x ． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m xx ＝m，得点M 的纵坐标y M ＝－14， 所以点M 在定直线y ＝－14上． ②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22． 令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G (0，－m 22)．又P (m ，m 22)，F (0，12)，D (2m 24m 2＋1，－m 22(4m 2＋1))， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)． 所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2． 设t ＝2m 2＋1．则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2， 当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94，此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点的坐标为(22，14)，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为(22，14)．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
2016-2017学年高二数学上册综合检测题33
章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－cos 10°解析：选A .sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0. 2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A .15 B ．14 C .13 D .12解析：选D .由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin 2θ＝4，得sin 2θ＝12，故选D .3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C .sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725＜0. 所以α为第三象限角．4．若函数f (x )＝()1＋3tan x cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C .3＋1D .3＋2解析：选B ．因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2＝1交点的横坐标为14，则cos α2等于( )A .104B ．－104 C ．－64D .64解析：选A .由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则 cos α2＝1＋cos α2＝1＋142＝104.6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A . 2B ．2C ．4D .22解析：选B ．PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则|PQ →|＝（cos β－cos α）2＋（sin β－sin α）2＝2－2cos （α－β），故|PQ→|的最大值为2. 7．已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )A .13B ．913C .139D ．3解析：选D .由于α，β均为锐角，cos α＝35，则sin α＝45，tan α＝43.又tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43＋131－43×13＝3.故选D .8.cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( ) A .12 B ．22 C . 2D ．2解析：选B ．依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50° ＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22. 9．已知tan α＝2，则（sin α＋cos α）2cos 2α的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2D ．2解析：选A .因为tan α＝2，所以（sin α＋cos α）2cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝－3. 10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 解析：选B ．因为cos A ＝55，所以sin A ＝255. 同理sin B ＝1010.因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B＝⎝⎛⎭⎪⎫－55×31010＋255×1010＝－210＜0，所以C 为钝角．11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )A ．2425B ．－2425C ．－1225D ．1225解析：选B ．因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[ (α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sin βcos β＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425. 12．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝( )A .225 B ．－25 C .25D ．－225解析：选B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.因为sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35. 所以22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，则sin 2x ＝________． 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，所以sin x ＋cos x ＝325，两边平方，得1＋sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝－725.答案：－72514．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________． 解析：由cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，可知cos(x －y )＝13，则cos(2x－2y )＝2cos 2(x －y )－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－7915．已知tan θ＝－22，则2cos 2θ2－sin θ－tan 5π42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________． 解析：因为tan θ＝－22，所以2cos 2θ2－sin θ－tan 5π42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋22.答案：3＋2 216．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )．若a·b ＝0，则A ＝________．解析：由已知a·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0.化简，得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4. 答案：3π4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35， 所以sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)． 解：(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α ＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f (－x )＝cos x －sin x . 又因为f (x )＝2f (－x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )且cos x ≠0， 得tan x ＝13. 所以cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611.(2)由题知，F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时， F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得函数F (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程．解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34 ＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34 ＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34 ＝14sin 2x －32×1－cos 2x 2＋34＝14sin 2x ＋34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由－π3≤x ≤π6， 得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )，所以函数的对称轴方程是x＝k π4＋5π24(k ∈Z )．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4生活中的优化问题举例
【学习目标】
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
【知识导学】
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是：
优化问题→用函数表示的数学问题
优化问题的答案←用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
【预习检测】
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为() A．4 B．6 C．4.5 D．8
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()
A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6
3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)
关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1
128 000x 3－
3
80x
＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速
度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
探究点一面积、体积的最值问题
例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
探究点二利润最大问题
例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
探究点三费用(用材)最省问题
例3已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
【当堂检测】
1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：
千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝a
x－3
＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。