四川省遂宁市2016届高三零诊数学(理)试题

遂宁市高中2016届零诊考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若全集U R =，集合{}|2A x x =<，{}|1B x x =>，则B C A U = ABCD ．{}|1x x ≤2．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z= A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3. 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.454．已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1xe >，则A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题5．已知50,,3,0,x y x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩满足则24z x y =+的最小值为A ．6B ．6-C ．5D ．5- 6．若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是A ．5B ．6 C.7 D ．87．已知c b a ,,分别为方程1log ,3log ,3log 343=+=+=+x x x x x x 的解，则c b a ,, 的大小关系为 Ａ．b a c >> Ｂ．a b c >> Ｃ．c b a >> Ｄ．c a b >>8．如图，平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠A =60°，点M 在AB 边上，且AM =13AB ，则DM DB 等于A ．－1B ．1C ．D 9．将函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数)(x g 为奇函数，则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值 A ．23-B ．21- C ．21 D ．2310. 对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：1，且对于任意，点1n n +都在函数)的图像上，则201620154321x x x x x x ++++++ 的值为A ．7549B ．7545C ．7560D ．755311．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O ,12,O O .动点P从A点出发沿着圆弧按（其中12,,,,A O O O B 五点共线），A O B C A D B →→→→→→的路线运动记点P 运动路程为x ，设21,y OP y =于x 的函数关系为()y f x =，则()y f x =的大致图象是12．对函数(),f x 若对于定义域中的任意三个数123,x x x 、、123()()()f x f x f x 、、都能作为一个三角形的三边长，则称)(x f 为“三角型函数”。

已知函数139139)(+++⋅+=xx x x m x f 是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 A ．[1，4] B ．（21-，1） C ．[21-，4] D ．[1，2]第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S = ▲14．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ▲ .（用数字填写答案）15．向量,a b 满足||||2a b a b === ，向量c 满足()()0a c b c --≤，则c的最小值为 ▲ ；16．关于x 的函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，且2a b += ，则实数t 的值为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知命题：“{}12x x x ∃∈<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(4)0x a x a ---<的解集为N ，若x N ∈ 是x M ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，以ox 为始边作角α与()παββ<<<0，它们的终边分别与单位圆交于点P 、Q ，已知点P的坐标为)54,53(-。

（1）sin 2cos 211tan ααα+++求的值；（2）()0sin OP OQ αβ=+ 若，求的值。

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且344n n S a =-)(*∈N n 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222log log log n n c aa a =+++ ，2+>n T n λ对任意*∈N n 恒成立的实数λ的取值范围。

20.（本小题满分12分）在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x b x a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，49070-+=x y .已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.01元/千克）.21. （本小题满分12分）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）已知13)6()(--=πx f x g .（ⅰ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A 为锐角。

已知835)(-=A g ，1=b ，△ABC 的面积为CB cb sin sin ,23++求的值； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．22. （本小题满分12分）已知函数()x f x e x =-（1）求曲线()1(1)y f x f =在（，）处的切线方程； （2）当0,x >(2)4()(2)4()f x bf x f x bf x ->---恒成立，求b 的最大值 （3）解关于x 的不等式：()(1)()(1)f x f f x f ≤⎧⎨-≤⎩遂宁市高中2016届零诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见13.15 14. 20-1 16.1 三、解答题：本大题共6个小题，共70分． 17. （10分）解：(1)由题意知，方程20x x m --=在(1,2)上有解，即m 的取值范围就为函数2y x x =-在(1,2)上的值域，易得}{02M m m =<<． ……………4分(2) x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，所以M N ⊆,且M N ≠ ……………6分集合}{4M x a x a =<<+， ……………8分 则⎩⎨⎧≥+≤240a a ，解得{}20a a -≤≤。

……………10分18. （12分）（1）三角函数的定义，得,54sin ,53cos =-=αα……………2分 则原式=2518cos 2cos sin 1cos 2cos sin 222==++ααααα。

……………6分 （2）,,OP OQ OP OQ ⋅⊥ 即 ……………7分,22ππαββα∴-==-，即53cos )2sin(sin =-=-=∴απαβ，54sin )2cos(cos ==-=απαβ， ……………10分257sin cos cos sin )sin(=+=+∴βαβαβα。

……………12分 19.（12分）解：（I ）由344n n S a =-可得14a =，…1分 ∵344n n S a =-，∴当2n ≥时，1133(44)(44)n n n n S S a a ---=---，∴1344n n n a a a -=-，……………3分 ∴数列{}n a 是以14a =为首项，公比为4的等比数列，∴242n n n a ==．……5分 （Ⅱ）21222log log log 242(1)2(1)n n c a a a n n n n =+++=+++-+=+………7分…………9分 由2+>n T n λ对任意*∈N n 恒成立，23,1111)2(<+-+=++<λλ即n n n n n……………12分20．（12分）解：（1）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b ==每日的销售量2300400(3)(13)170490(35)x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩ ； ……………4分 （2）由（1）知，当13x <≤时：每日销售利润2300()[400(3)](1)1f x x x x =-+--2400(3)(1)300x x =--+32400(7159)300x x x =-+-+（13x <≤） ………5分'()f x =2400(31415)x x -+当5,3x =或3x =时'()0f x =当5(1,)3x ∈时'()0f x >，()f x 单增；当5(,3)3x ∈时'()0f x <，()f x 单减． ∴53x =是函数()f x 在(1,3]上的唯一极大值点， ……………7分532()400300327f =⨯+700>； ……………8分当35x <≤时：每日销售利润()(70490)(1)f x x x =-+-=270(87)x x --+…9分()f x 在4x =有最大值，且(4)630f =5()3f <．……………11分综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大． ……………12分 21．（12分）（1）因为()2cos 10cos 222x x x f x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． ……………4分 （2）（i ）由已知得()10sin 8g x x =-，3π=A , ……………5分11sin 12,2222ABC S bc A c c ∆==⨯⨯== 又解得 ……………6分222,:2cos 3,ABC a b c bc A a ∴∆=+-=在中由余弦定理得即……………7分由,sin 2,sin 2,233sin sin sin C c B b Aa C c Bb =====得.2sin sin =++∴CB cb……………9分（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-， 使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． ……………12分 22.（12分）解：（1）由题意知：()1(1)1xf x e f e ''=-⇒=- ……………2分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)y e x =- ……………3分（2）()g x 224()(84)x x x x e e b e e b x --=---+-'()g x =2222()(42)x x x x e e b e e b --⎡⎤+-++-⎣⎦=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+（i ）当2b ≤时，'()g x ≥0，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增。