学年安徽省安庆市石化一中八年级 下 期中数学试卷

2015-2016学年安徽省安庆市石化一中八年级（下）期中数学试卷
一、单选题
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（? ）
A、
B、
C、
D、
2、下列各组数中，能构成直角三角形的是（? ）
A、4，5，6
B、1，1，
C、6，8，11
D、5，12，23
3、已知a为实数，那么等于（? ）
A、a
B、﹣a
C、﹣1
D、0
4、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是（? ）
A、9
B、8
C、7
D、6
5、关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（? ）
A、k≤
B、k≥﹣且k≠0
C、k≥﹣
D、k＞﹣且k≠0
6、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（? ）
A、x2+3x﹣2=0
B、x2﹣3x+2=0
C、x2﹣2x+3=0
D、x2+3x+2=0
7、某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（? ）
A、300（1+x）=363
B、300（1+x）2=363
C、300（1+2x）=363
D、363（1﹣x）2=300
8、已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（? ）
A、（x﹣p）2=5
B、（x﹣p）2=9
C、（x﹣p+2）2=9
D、（x﹣p+2）2=5
9、若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（? ）
A、2005
B、2003
C、﹣2005
D、4010
10、△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（? ）
A、14
B、4
C、14或4
D、以上都不对
二、填空题
11、函数y= 中，自变量x的取值范围是________．
12、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面________（填“合格”或“不合格”）．
13、方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是________．
14、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于________．
三、解答题
15、化简：．
16、解方程：x2+5x+3=0．
17、有两个角都相等的多边形，它们的边数之比为1：2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数．
18、如图所示，有一条等宽的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=60m，BC=84m，AE=100m，则这条小路的面积是多少？
19、已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．
20、已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．21、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
22、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a
∵S
四边形ADCB
=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a（b﹣a）
∴b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．
23、解答
(1)如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大（保留作图痕迹）
(2)平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大，则点P，Q的坐标分别为________，________
(3)代数式+ 的最小值是________，此时x=________
(4)代数式﹣的最大值是________，此时x=________．
答案解析部分
一、<b >单选题</b>
1、
【答案】C
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】解：C、∵= = ；∴它不是最简二次根式．
故选：C．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2、
【答案】B
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
3、
【答案】D
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0，
故只有a=0时，有意义，
所以，=0．故选D．
【分析】根据非负数的性质，只有a=0时，有意义，可求根式的值．
4、
【答案】B
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则1080°=（n﹣2）?180°，
解得n=8．
故选：B．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解．
5、
【答案】C
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根，
当k≠0时，△=b2﹣4ac=32﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0，
解得k≥﹣．
综上可知，当k≥﹣时，方程有实数根；
故选C．
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．
6、
【答案】B
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．
A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；
D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，
故选：B．
【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．
7、
【答案】B
【考点】一元一次方程的解，一元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，
300（1+x）2=363．
故选B．
【分析】知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．
8、
【答案】B
【考点】解一元二次方程-配方法
【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+q=0
∴x2﹣6x=﹣q
∴x2﹣6x+9=﹣q+9
∴（x﹣3）2=9﹣q
据题意得p=3，9﹣q=7
∴p=3，q=2
∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2
∴x2﹣6x=0
∴x2﹣6x+9=9
∴（x﹣3）2=9
即（x﹣p）2=9
故选：B．
【分析】已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，把x2﹣6x+q=0配方即可得到一个关于q的方程，求得q的值，再利用配方法即可确定x2﹣6x+q=2配方后的形式．
9、
【答案】B
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．
α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．
故选B．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．10、
【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
故选：C．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．
二、<b >填空题</b>
11、
【答案】x≥﹣2
【考点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
12、
【答案】合格
【考点】勾股定理的应用，矩形的判定
【解析】【解答】解：∵802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
∴∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
13、
【答案】2
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0，
∴（a+1）（x+1）=0，
解得，x=﹣1，
当x=﹣1时，
a=x2﹣x=1+1=2．
故答案是：2．
【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得x与a的关系，故可以解得公共解x，然后求出a．
14、
【答案】25或16
【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，
此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；
当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．
故答案为25或16．
【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．
三、<b >解答题</b>
15、【答案】解：原式=（6 ﹣+4 ）÷2
=3﹣+2
= ．
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算．
16、
【答案】解：a=1，b=5，c=3
∴b2﹣4ac=13
∴x=
∴x1= ，x2=
【考点】解一元二次方程-公式法
【解析】【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
17、
【答案】解：设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，
因而这两个多边形的外角是和，
第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即是第一个多边形的外角比第二个多边形的外角大15°，
就得到方程：﹣=15°，
解得n=12，
故这两个多边形的边数分别为12，24．
【考点】多边形内角与外角
【解析】【分析】一个多边形的边数与另一个多边形边数的比为2：1，因而设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，因而这两个多边形的外角是和，根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即是第一个多边形的外角比第二个多边形的外角大15°就可以解得n的值．
18、
【答案】解；路等宽，得BE=DF，
△ABE≌△CDF，
由勾股定理，得BE= =80（m）
S△ABE=60×80÷2=2400（m2）
路的面积=矩形的面积﹣两个三角形的面积
=84×60﹣2400×2
=240（m2）．
答：这条小路的面积是240m2．
【考点】勾股定理，生活中的平移现象
【解析】【分析】根据勾股定理，可得BE的长，再根据路等宽，可得FD，根据矩形的面积减去两个三角形的面积，可得路的面积．
19、
【答案】解：根据分析得：
a﹣2=0，b+1=0，c+3=0
a=2，b=﹣1，c=﹣3
方程ax2+bx+c=0
即为2x2﹣x﹣3=0
∴x1= ，x2=﹣1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】本题要求出方程ax2+bx+c=0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝
对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．
20、
【答案】
（1）解：由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4
（2）解：由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得
x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，
当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得m=﹣，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
【考点】一元二次方程的解，根的判别式
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；（2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
21、
【答案】
（1）解：设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000
解得x=5或x=10，
为了使顾客得到实惠，所以x=5
答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元
（2）解：设涨价z元时总利润为y，
则y=（10+z）（500﹣20z）=﹣20z2+300z+5 000
=﹣20（z2﹣15z）+5000
=﹣20（z2﹣15z+ ﹣）+5000
=﹣20（z﹣7.5）2+6125
当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125
答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多
【考点】二次函数的最值，二次函数的应用
【解析】【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
22、
【答案】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S
五边形ACBED
=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．
【考点】勾股定理的证明
【解析】【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
23、
【答案】
（1）解：①作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点P，此时PA+PB最小，点P如图所示．②延长BA交直线m于Q，此时，|QB﹣QA|最大，点Q如图所示．
（2）（，0）①（0，1）
（3）10①
（4）2①﹣1
【考点】坐标与图形性质，轴对称-最短路线问题
【解析】【解答】解（2）点A关于x轴的对称点A′（2，﹣3），
直线A′B的解析式为y=4x﹣11，y=0时，x= ，
所以点P坐标（，0）．
直线AB解析式为y=x+1，与y轴的交点为（0，1），
所以点Q坐标（0，1）．
故答案为（，0），（0，1）
3）∵+ = + ，
欲求+ 的最小值，
可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小，
由（2）可知x= ，最小值= =10，
故答案为10，．
4）∵﹣═ ﹣，
欲求﹣的最大值，
可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之和最大，
∵直线AB解析式为y=x+1，与x轴交于点Q（﹣1，0），
∴x=﹣1时，此时最大值=2 ．
故答案为2 ，﹣1．
【分析】（1）①利用对称的性质即可解决问题．②利用三角形两边之差小于第三边即可解决问题．（2）①点A关于x轴的对称点A′（2，﹣3），求出直线A′B即可解决问题．②求出直线AB的解析式即可解决问题．（3）欲求+ 的最小值，可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小．（4）欲求﹣的最大值，可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之和最大．。