14.1.4单项式乘以多项式
14.1.4整式的乘法第一课时单项式和多项式相乘
问题2：光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗?列式：____________________________问题3：想一想：怎样计算这个式子？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2,怎样计算这个式子？议一议：根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？要点归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_______、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的________作为积的一个因式.二、课堂探究探究点1：单项式乘以单项式典例精析例1计算：计算：(1) 3x2·5x3；(2)4y ·(-2xy2)；(3) (-3x)2·4x2；(4)(-2a)3(-3a)2方法总结:(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．例2：计算:已知－2x3m＋1y2n与7x n－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．方法总结:单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．探究点2：单项式与多项式相乘问题1：如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？面积为 ____________ 面积为____________ 面积为____________ 总面积为_______________________问题2：若将三块小长方形草坪拼成一个大长方形草坪，那么如何求此大长方形的面积？长为___________________;面积为__________________.根据等积法，你能得出的结论是_________________=__________________.根据此结论，议一议如何计算单项式乘以多项式？要点归纳:单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.典例精析例3：先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.针对训练1.计算-3xy2z·x2y的结果是（）A.-3x3y3zB.-3x4y6C.4x5y4zD.-3x5y4z2.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为( ) A．3x3－4x2B．6x2－8x C．6x3－8x2D．6x3－8x3.要使(x2＋ax＋5)(－6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于( )A．1B．－1 C.16D．04.计算：(1)(2xy2－3xy)·2xy；(2)－2ab(a b－3ab2－1)；(3)x2(3－x)＋x(x2－2x)；(4)(－12ab)(23ab2－2ab＋43b＋1)三、课堂练习1.计算3a2·2a3的结果是（）A.5a5B.6a5C.5a6D.6a62.计算（-9a2b3)·8ab2的结果是（）A.-72a2b5B.72a2b5C.-72a3b5D.72a3b53.若（a m b n）·(a2b)=a5b3,那么m+n=( )A.8B.7C.6D.54.计算:(1)4(a-b+1)=__________; (2)3x(2x-y2)=_______________;(3)(2x-5y+6z)(-3x) =_______________；(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=_____________.5.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).6.解方程：8x（5－x）=34－2x（4x－3）.7.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.拓展提升8.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确的计算结果是多少？四、课堂小结实质注意事项单项式乘以单项式转化为同底数幂的运算(1)注意符号问题;(2)不要出现漏乘现象(3)运算要有顺序(4)混合运算，最后合并同类项单项式乘以多项式转化为单项式×单项式。
数学八年级上册14.1.4：单项式乘多项式教案
该教学内容主要是关于单项式乘多项式的基础知识。
在这里，我们将学习什么是单项式和多项式，以及如何将它们相乘。
我们将学习如何确定这些相乘的多项式的次数，并且也将了解如何确定挑选正确系数的方法。
通过这些学习，我们将建立数学思考和解决问题的能力。
一、教学目标1. 了解单项式和多项式的基本概念；2. 掌握单项式乘多项式的方法和技巧；3. 了解如何利用乘积的次数来确定多项式的次数；4. 学会如何确定正确的系数，从而解决实际问题。
二、教学重难点1. 如何将单项式与多项式相乘；2. 如何确定乘积的次数；3. 如何确定正确的系数。
三、教学内容1. 单项式和多项式在代数中，单项式指一个数字或者一个变量，或者是一个数字和一个或者多个变量的积。
例子如下：x，y，3，2xy，5x^2y^3另一方面，多项式指多个单项式相加或者相减的表达式。
常见的多项式如下：2x^4+3xy^2-5y2. 单项式与多项式的相乘设单项式 f(x)=kx^n，多项式 g(x) 的项数为 m，则 f(x) 与g(x) 相乘可以采用分配法则。
具体来说，乘积的项数为 m 个，并且每项都是单项式 kx^n 与 g(x) 中的每一项相乘得到的。
下面是一个例子：f(x)=3x^2, g(x)=2xy+5yf(x)·g(x) =(3x^2) · (2xy) + (3x^2) · (5y)= 6x^3y + 15xy3. 确定乘积的次数在前面的例子中，f(x)和g(x)相乘的结果是一个二次项和一个三次项的和。
具体来说，f(x)是一个二次项（n=2），而g(x) 的每个项都是一次项（n=1）。
在每个单项式相乘的基础上，我们可以通过将各个单项式的次数相加来确定乘积的次数。
例如，在上面的例子中，乘积 3x^2 与 2xy 和 5y 的次数相加，得到乘积的次数为 3。
4. 确定正确的系数在实际问题中，有时需要确定正确的系数以解决问题。
这就涉及到解决二元一次方程组。
14.1.4单项式乘以多项式
pa a
pb b
pc c
p
探索法则
不同的表示方法：
（ p a+b+c）
pa+pb+pc
你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？
探索法则
请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．
单项式乘以多项式的法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项，再把所得的积相加.
巩固法则
练习1 下列计算对吗？若不对，应该怎样改？
练习3 化简：
2 （ x-1 ） + 2（ x x 2 - 2 x+3）； （ 1） x 1 3 2 x x+1） -3（ x x - 2） . （ 2） （ 2 2
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为 应该注意哪些问题？ （3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现 了哪些思想方法？
2
a a-1 ）=3a ； （1） 3（ 2 3 2 2 x （ x y ） = 2 x 2 x ； （ 2）
2 3 2 （ 3 x ） （ x y ） =3 x 3 x y； （ 3）
（ 4） （-5a） （a 2 -b）=-5a3 +5ab.
巩固法则
例1 计算：
2
（- 4 x ） （3x+1）； （ 1） 2 2 1 （ ab -2ab） ab. （ 2） 3 2
巩固法则
练习2 计算下列各式： a 5a-2b）； （1） 3（
（ 2） （x-3 y） （-6 x）；
2 5 （ x 2 x -4x 3）； （ 3）
2 2 （ 2 a ） （ a ab + b ） . （ 4）
14.1.4整式的乘法-单项式乘以多项式
课题：14.1.4单项式乘以多项式一、教材分析：（一）学习目标：⒈掌握单项式与多项式相乘的法则，知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式.⒉会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.⒊通过例题教学，培养灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.（二）学习重点和难点：重点：掌握单项式乘以多项式的法则难点：熟练地运用法则，准确地进行计算（三）学习方法：操作，归纳.二、问题导读单：⒈复习巩固⑴单项式与单项式相乘的法则?⑵完成下列各题。
①=-∙)4(22xy x ；②=-∙-)3()2(2xy x ；③=∙-)32()21(2ab ab ；④写出多项式122--x x 的项 ⑤=+-⨯)654332(12 = = ⒉在)654332(12+-⨯中，用什么样的方法较简单? ⒊代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，如何计算)(c b a m ++.⒋你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?⒌单项式与多项式相乘的法则:单项式乘以多项式,就是 .三、问题训练单：⒈计算⑴)13()4(2+∙-x x ⑵ab ab ab 21)232(2∙-⑶)(5)21(22222ab b a a b ab a --+- ⑷)2(6)2(23332x x x x x ++-⒉先化简再求值 ⑴21),1(3)3()3(222=----++x x x x x x x x 其中⑵已知22-=xy ,求)53(5273y y x y x xy ---的值.练习)293)(32()12(23222323b a a b a ab b a ----,其中3,31-==b a。
14.1.4单项式乘以多项式
（2）计算：2a2·(3a25b)
（3）
2 (-2a)•(2a -3a+1)
火眼金睛
（1）（ － 3x)(2x － 3y)=6x2 － 9xy ( × ) 注意：各项符号的确定！ (2) 5x(2x2 － 3x+1)=10x3 － 15x2 防止漏项哦！ (×)
(3)
(-2x)•（ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x( × )
计算： (1)５x2y2·(-3x2y) (2) (x2)2 ·(-2x3y2) (3)(-2mx2)2·(-3m2x)3
-15x4y3 -2x7y2
-108m8x7
14.1.4 整式的乘法（2）
单项式乘以多项式
1.使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的
运算.
2.经历探究单项式与多项式相乘的方法，体验单项式 与多项式的乘法运算规律，总结运算法则，认识到单项式 与多项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项 式的项数相同.
【跟踪训练】
1.
2.
4a-4b+4 4·（a-b+1)=__________________.
2-3xy2 6x 2 3x·（2x-y )=__________________.
2+15xy-18xz -6x 3. -3x·（2x-5y+6z)=__________________.
4.
5-8a4b+4a4c 2 2 -4a (-2a ) ·（-a-2b+c)=________________.
深入探索----算一算
先化简再求值:
1 x ( x x 1) x( x x x 5)，其中 x . 25
14.1.4单项式乘多项式(教案)
一、教学内容
本节课选自人教版初中数学七年级下册第十四章“整式的乘法”，具体为14.1.4节“单项式乘多项式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.掌握单项式乘以多项式的运算法则，能够熟练地将单项式与多项式相乘。
2.能够运用单项式乘多项式的法则解决实际问题，提高数学应用能力。
3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力，通过单项式乘多项式的学习，使学生理解数学概念在现实生活中的应用。
4.增强学生的团队协作意识，通过小组讨论与合作完成练习题，培养学生沟通、交流、共享的数学学习习惯。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决实际问题时，运用不同方法拓展思维，提高问题解决能力。
三、教学难点与重点
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际摆放物品或使用计算器，演示单项式乘多项式的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“单项式乘多项式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
1.教学重点
-单项式乘多项式的运算法则：掌握单项式与多项式相乘的基本步骤和规律，能够准确无误地进行计算。
-运用乘法法则解决实际问题：将单项式乘多项式的法则应用于解决具体问题，如几何图形的面积计算等。
-例题及解题方法：理解和掌握教材中提供的典型例题及其解题方法，包括展开式、简化式等。
举例：重点讲解单项式“3x”乘以多项式“2x^2 + 5”的运算过程，强调先乘后加的顺序，以及如何将单项式分别与多项式中的每一项相乘。
2.教学难点
-理解并运用单项式乘多项式的法则：对于部分学生来说，理解单项式与多项式相乘的法则可能存在困难，需要通过具体的例子和图示来辅助理解。
14.1.4第2课时单项式乘以多项式(优秀经典公开课比赛课件)
五、作业
数学课本：P100页练习1,2 P105页习题4,7
六、中考连接
先化简，再求值： x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中 x＝ 3.
2．计算(2a－3b)·(－3a)＝______．
3．计算 2x(3x2＋1)，正确的结果是( ) A．5x3＋2x B．6x3＋1 C．6x3＋2x D．6x2＋2x
4．如图，是一个 L 形钢条的截面，它的面积为( ) A．ac＋bc B．ac＋(b－c)c C．(a－c)c＋(b－c)c D．a＋b＋2c＋(a－c)＋(b－c)
三、课堂练习
1 计算： （1）(－2x)·(x－x2＋2x3＋2)；
（2）(5m2n－10m3n2＋1)·(－0.2mn)；
33Biblioteka （3）1x(－3x2＋2x－1)－1x2(2x－6x2)
2
3
2.若三角形的底边长为 2m＋1，高为 2m，
则此三角形的面积为(
)
A．4m2＋2m
B．4m2＋1
C．2m2＋m
一、预习检测
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多 项式的_______，再把____________． 即p(a＋b+c)＝____________________．
二、探究案
1．计算： ⑴ (2a2 ) (3ab2 5ab3 ) ⑵（ 2 ab2 - 2ab）• ab
3
⑶ (-2a) • (2a2 - 3a+1)
D．2m2＋1m 2
3．已知 x2＋x－1＝0，则 3x2＋3x－5＝____．
4.要使(x2＋ax＋1)·(－6x3)的展开式中 不含 x4 项，则 a＝____．
5．先化简，再求值： x2(x－1)－x(x2＋x－1)，其中 x＝－1.
14.1.4(第1-2课时)_____单项式乘以单项式、乘以多项式.
各因式系数的积 作为积的系数
只在一个单项式里含有 的字母连同它的指数作 为积的一个因式 单项式乘以单项式的结果仍是单项式.
例2 计算
(1)(-2a2)3 · (-3a3)2
2 a
3 23
例1
计算
8 9 a a
6
3 a
2 6
32
(1)4a3 7a 4
一般形式：(a
m n
) a
n
mn
(m,n为正整数)
3、积的乘方等于把各因数分别乘方后 的积
一般形式： (ab)
n
a b
n (n为正整数)
（பைடு நூலகம்）
3a 想一想：
单项式
b 2ab 及xyz y z 你是怎样计算的？
2 3 2
等于什么？
单项式
3a b 2ab = 2 3 3 3 a b 2 a b 3 4 6 a b
如a2 -3a -2的项分别有 a2, -3a, -2 ，
-2 ，最高次项的次数是_____ 2 。 常数项是____ ∴a2- 3a -2为二次三项式。
下列多项式的项分别是什么
项
次数 几次 几项式
X+Y a2+b-3c
1
2
X、Y a2、b、-3c 1
2
1次 2次 2次 5次
（一次二项式）
（二次三项式）
(2)7ax (2a 2bx2 )
72a12
注意:
(1)先做乘方，再做单项式相乘。 (2)系数相乘不要漏掉负号
例3：求单项式
1 3 2 2 3 3 2 2 x y , xy z , x yz 2 3 5
14.1.4 单项式乘多项式
m(a+b＋c) = ma+mb＋mc
思路：单×多
转 化
分配律
单×单
单项式与多项式相乘法则: 单项式与多项式相乘，就是用单 项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加。
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(m、a、b、c都是单项式)
(1)(-2a)·(2a2-3a+1)； 2 2 3 2 (2)- 2 xy 5 x y 7 x 3xy 注意:多项式中”1”这项不要漏乘.
人教版初中数学八年级上
如何进行单项式乘单项式的运算？ （系数×系数）×（同字母幂相乘）×单独的幂 计算：
(1) 4y·(-2xy2)
(2) (-4a2解单项式与多项式的乘法。 2、熟练运用法则进行计算。
学习重点：单项式乘以多项式的法则
学习难点：熟练运用法则进行计算。
自主预习课本99---100页练习以上部分内容， 思考下列问题：（5分钟） 1.扩大后的绿地面积有几种表示方法？它们之间 有什么联系？ 2.单项式与多项式相乘的法则是什么？ 3.你认为运用法则计算时应注意哪些问题？
1.通读全部内容。 2.整理自己的收获（用笔画出来）。 3.明确自己的疑问（做上标记）。
其中,x=-1
……
能力收获 知识收获
单 项 式 乘 以 多 项 式
情感收获
（要求独立完成1---3题 每题20分，共80分） 1.单项式与多项式相乘用单项式去乘多项式 的 ，再把所得的积 。 2.若三角形的底边为2a+1,高为2a,则此三角形 的面积为 。 •3.计算2x(3x2+1),正确的结果是 。 A、 5x3+2x B、 6x3+1 C 、 6x3+2x D、 6x2+2x •4.计算：（每题20分，共80分） 1 2 2 a 3 a 6a 1 （1） 9 （2）2mn 2 n 4mn
14.1.4 单项式乘以多项式
乘时，要注意积的符号的确定：
同号相乘得正，异号相乘得负
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序.
混合运算怎么办？
(2)x(x2 xy y2 ) y(x2 xy y2 );
合 并 同 类 项
化简求值：
（3）、当x=5时，计算下式的值：
单项式乘以多项式法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式
去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例：计算 1 ab（2 ab2 2ab）
23
巩固 & 练习 ☞
1、计算：
例2：
明辨 & 是非 ☞
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）（ － 3x)(2x － 3y)= 6x2 － 9xy ( × )
回顾
如何进行单项式乘单项式的运算？
计算 3x2 y2 • (9x3 y6 )
a
b
c
P
如果把它看成三个小长方形，那么它们的
面积可分别表示为___P__a、____P_b、___P_c_.
如果把它看成一个大长方形，那么它的
面积可表示为___P__(a__+_b_+. c)
P(a+b+ Pa+Pb+Pc c)
（x x 1） 2（x x 1）3（x 2x 5）
课时小结：
1、单项式与多项式相乘的实质是把单项式乘以多项 式转化为单项式乘法
2、相关的混合运算，要弄清顺序 （1）单项式乘以单项式或单项式乘以多项式。 （2）整式加减注意最后应合并同类项。
几点注意： 1、 单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积
八年级 数学
第十五章 整式的乘法
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m
ma a
mb b
mc c
m(a b c) = ma mb mc
m(a+b＋c) = ma+mb＋mc
观察这个式子有什么特征? 思考： 你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？
如何进行单项式与多项式相乘的 运算？
用单项式分别去乘多项式的 每一项，再把所得的积相加。
你能用字母表示这一结论吗？
八年级 数学 单项式与多项式相乘
第十五章 整式的乘法
感受新知----算一算
(1)2a(3ab a 2 ) 2a 3ab 2a a 2 2 3 6a b 2 a
2
计算:
(2) m(m n) m (m) (m) n 2 m mn
2 2 3 1 ( 4 )( 5 a a 1 ) ( 6 a ) (3) m ( 2m n) 3 3 1 2 2 3 2 2 m 2m m ( n) 5a (6a ) a (6a 3 ) 1 (6a 3 ) 3 3 1 2 3 2m m n 30a5 4a 4 6a3 3
1. 写出多项式 2x x 1. 的项
2
. 2. 乘法对加法的分配律
a(b c) ab ac
八年级 数学
情景 & 导入
☞
某街道为美化环境,对街道进行了大整治.其中一 项就是把一块矩形的空地补上了彩色地砖(如下图 ),成为市民休闲健身的场所. 你能够表示出这块矩形空地的面积吗?
八年级 数学 单项式与多项式相乘
第十五章 整式的乘法
继续探索----试一试
1.先化简，再求值 2 2 2 9 2 3 2a b (2ab 1) ( a b )(3a a b ) 3 2 1 其中a , b 3 3
3 2 3
解：原式 4a b 2a b 2a b 3a b
2 2 3 2
解：原式 x 4 x3 x 2 x 4 x3 x 2 5x
5x
当x
1 时 25
1 1 原式 5 25 5
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
练一练：
下列各题的解法是否正确，如果错了，指 出错在什么地方，并改正过来。
1 2 1 3 3 ① -2a b × - ab c = a b 4 2
2
1 3 3 a b c× 2
② 3a 2 b 1- ab2c = -3a 3 b3 3a 2 b - 3a 3 b3c
a(b c) ab ac
思路：单×多
转 化
分配律
单×单
单项式与多项式相乘，就是用单项 式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加．
例５
计算： (1) (-4x2) •(3x+1);
解： (1) (-4x2) •(3x+1)
＝(－４x2) •(3x)+(-4x2) • 1
=(-4×3)(x2 • x)+(-4x2)
如何进行单项式与多项式乘法运算？
作业：1.计算 2.蓝皮79页 课后训练第5题化简求值
1.
3 2 3 (-2ab) (5a b–2b )
2.(3x2y-xy2)·(-3xy)
3 2 1 2 5 3 2 3.( x y xy y ) (4 xy ) 4 2 6
4.-2a2·(ab+b2)-5a(a2b-ab2)
(2)(2 xy 5 x y 7 x )( 3 xy )
2 2 3 2
＝6x
2
y -15x y + 21x y
4
3
3
4
2
单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项 式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
几点注意：
1.单项式乘多项式的结果仍是多项式， 积的项数与原多项式的项数相同。 2.在单项式乘法运算中要注意系数的符 号。
3 2 3
八年级 数学 单项式与多项式相乘
第十五章 整式的乘法
深入探索----解一解
解方程
7x-(x–3)x–3x(2–x)=(2x+1)x+6
解：去括号，得
7x–x2+3x–6x+3x2=2x2+x+6
移项，得7x–x2+3x–6x+3x2-2x2-x=6 合并同类项，得 系数化为1，得 3x = 6 x = 2
4 5 3 2 3 2
4 5
1 4 5 原式 （ ） （ 3） 3 3
1 当a , b 3时 3
a b
4 5
八年级 数学 单项式与多项式相乘
第十五章 整式的乘法
深入探索----算一算
先化简再求值:
1 x ( x x 1) x( x x x 5)，其中 x . 25
=-12x3-4x2.
思路：单×多
转 化
分配律
单×单
例
计算：
（1）(- 2a) • (2a 2 - 3a + 1)
= (- 2a) • 2a 2 +(- 2a) •( - 3a)+(- 2a) • 1
（乘法分配律）
=-
3 2 4a +6a
- 2a
（单项式乘法）
2 2 2 2 3 2 -2xy × -3xy + 5x y × -3xy + -7x × -3xy 解:原式＝
八年级 数学 单项式与多项式相乘
小李家住房的结构如图所示,小李打算把客 厅和卧室铺上木地板,请你帮他算一算,他至少 a 2a 需买多少平方米木地板?
2a(2a+b)+4a×2bb Nhomakorabea2a
卫 生 间 卧室
厨房 客厅
4a
=4a2+10ab
2b
回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？ 单项式乘以多项式的依据是什么？
2 2 4 3 2 -3a a + 2a -1 = -3a + 6a 3a ③
×
×
-3a 4 - 6a3 + 3a 2
做一做
P100 练习1、2
1.已知 ab
2 2
6
5
求 ab ( a b
ab
3
b ) 的值
2.先化简，再求值 2 2 2 9 2 3 2a b (2ab 1) ( a b )(3a a b ) 3 2 1 其中a , b 3 3