第三章 三角形复习课

【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC的内角和
为180°.故A正确.
2.(2012·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是
(
(A)1 cm,2 cm,4 cm (C)5 cm,6 cm,12 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm (D)2 cm,3 cm,5 cm
)
【解析】选B.A选项，1+2＜4,故不能构成三角形；B选项，4+6 ＞8,故能构成三角形；C选项，5+6＜12，故不能构成三角形；D 选项，2+Байду номын сангаас=5，故也不能组成三角形.
全等三角形的应用 【相关链接】
全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一,用全等
三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等,全等三角形
的周长和面积相等也是中考考查的内容.
【例3】(2012·北京中考)已知：如图，点E，A，C在同一直线
上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=DE.
【教你解题】
一点.
(5)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形.
(6)根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等.
3.三角形的分类：
(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
(2)按边分类： 没有相等边的三角形 三角形 等腰三角形 等边三角形 底与腰不相等的等腰三角形 4.全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【命题揭秘】 三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和 相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择
或填空；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全
等三角形的判别，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见.
1.△ABC的内角和为( (A)180° (C)540°
) (B)360° (D)720°
所以AB=BC+AD.
9.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD，CD=CE. (1)试说明△ACD≌△BCE. (2)若∠D=50°，求∠B的度数.
【解析】(1)因为点C是线段AB的中点， 所以AC=BC，又因为CD平分∠ACE，CE平分∠BCD， 所以∠1=∠2，∠2=∠3， 所以∠1=∠3. CD=CE， 在△ACD和△BCE中，∠1=∠3, AC=BC, 所以△ACD≌△BCE(SAS).
3.(2012·聊城中考)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的
度数是(
)
(A)75°
(B)90°
(C)105°
(D)120°
【解析】选C.∠a的度数为180°-45°-30°=105°.
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于_____度.
【解析】因为∠A+∠E+∠C=180°，∠D+∠B+∠F=180°，所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
【证明】(1)因为E是CD的中点， 所以DE=CE.因为AD∥BC， 所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE. 所以△ADE≌△FCE(AAS). 所以FC=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE， 所以AE=FE. 又因为BE⊥AE， 所以∠BEA=∠BEF=90°， 又因为BE=BE， 所以△BEA≌△BEF(SAS).所以AB=FB. 因为FB=BC+FC=BC+AD.
二、三角形的相关性质和判定 1.三角形的性质： (1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小
就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
(2)三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边.
2.三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°.
3.三角形外角性质：
【自主解答】因为BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
所以∠BEC=∠CDA=90°， 在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°， 在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°， 所以∠CBE=∠ACD， 在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，所以 △BEC ≌△CDA.
7.(2012·广州中考)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，
∠B=∠C.求证：BE=CD.
【证明】在△ABE和△ACD中,
∠A=∠A
AB=AC ∠B=∠C, ∴△ABE≌△ACD， 所以BE=CD.
8.如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE， BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC=AD. (2)AB=BC+AD.
(2)全等三角形的判定方法：
注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两
个三角形不一定全等.
(3)证明两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已
知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法，一般的思路
有： 已知两边 找夹角→SAS 找第三边→SSS 边为角的对边→找任一角→AAS 已知一角一边
答案：360
5. (2012·泰州中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分 线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______.
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以
∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，
所以△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4. 答案：4
(C)7 cm
(D)11 cm 查找答案
【思路点拨】 三边关系
第三边取值范围
【自主解答】选C.设第三边长为x cm，则由三角形三边关系定 理得7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10.因此，本题的第三边应满足4＜ x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案.3，4，11都不符合 不等式4＜x＜10，只有7符合，故选C.
6.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论： ①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM； ④△MCD≌△NBD中，正确的是_______.
【解析】因为∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF， 所以△AEB≌△AFC，所以BE=CF(②正确)； 因为△AEB≌△AFC，所以∠EAB=∠FAC，所以∠1=∠2(①正确)； 因为△AEB≌△AFC，所以AB=AC，∠B=∠C， 因为∠BAM=∠CAN，所以△ACN≌△ABM(③正确)； 所以AM=AN.因为AB=AC，所以BN=CM.因为∠B=∠C，∠MDC=∠NDB, 所以△MCD ≌△NBD(④正确). 答案：①②③④
一、三角形的相关概念 1.三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫 做三角形.三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形 的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角.三角形用符号 “△”及顶点字母表示.
2.与三角形有关的线段：
三角形的高线、中线、角平分线：
(1)三线都经过顶点. (2)都是线段. (3)除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上,钝角三 角形的两条高线在三角形外部,其他各线均在三角形内. (4)锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于 三角形的直角顶点，钝角三角形的高的延长线交于三角形外部
等三角形的对应元素. 理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中 的隐含条件，如图.
①平移型：
②旋转型：
③翻折型：
④组合型：
三、全等三角形的应用
1.全等三角形的应用主要体现在证明线段或角的相等问题中，
在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性
质解决测量(不能直接度量长度)问题、三角形物体复原问题等. 2.涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及 条件的局限性，叙述测量方案时要严谨,有条理.
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角.
4.全等三角形：
(1)全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高 线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分 别相等. 全等三角形的性质是证明线段、角相等的重要依据.
三角形的边角关系
【相关链接】
三角形的性质分为边的性质与内角的性质
1.三边关系：任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第 三边. 2.内角关系：三角形内角和是180°.
【例1】(2012·海南中考)一个三角形的两边长分别为3 cm和7
cm，则此三角形的第三边的长可能是( )
(A)3 cm
(B)4 cm
全等三角形的判别
【相关链接】
三角形全等的4种判别方法：SSS、SAS、ASA、AAS，说明
三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件.
【例2】 (2011·乌鲁木齐中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
说明△BEC ≌△CDA.
【思路点拨】
(2)因为∠1+∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°，
因为△ACD≌△BCE，所以∠E=∠D=50°，
所以∠B=180°-∠E-∠3=70°.
找角的另一邻边→SAS 边为角的邻边 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS
找夹边→ASA 已知两角 找两角中任一角的对边→AAS
(4)以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换.在学习的
过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，
在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全