复数域上混沌系统的修正函数投影同步
一种新的超混沌系统修正函数投影同步
2017年3期第19卷（总第103期）淮南师范学院学报JOURNAL OF HUAINAN NORMAL UNIVERSITYNo. 3, 2017G eneral No. 103, V ol.19种新的超混沌系统修正函数投影同步朱红旗,张秀兰(淮南师范学院金融学院，安徽淮南232038)[摘要]针对一种新的超混沌系统，基于Lyapunov稳定性理论建立同步控制器。
该控制器在实现 任意初值的超混沌系统修正函数投影同步的同时，能保证闭环系统所有信号有界。
数值仿真的结果也 验证了该方法的有效性。
[关键词]同步;修正函数投影同步；超混沌系统[中图分类号]TP273 [文献标识码]A[文章编号]1009-9530(2017)03-0085-031引言自从O tt等提出0GY方法控制混沌系统以来®，对混沌系统的控制已成为非线性科学的研究热点，并提出了许多有效的控制方法，如PID 控制譺，自适应状态反馈控制®，滑模控制譼，自适应模糊控制譽等。
混沌系统的同步问题作为混沌控制的一个重要方面在信息处理，通讯安全，生态系统中得到广泛的应用譾。
目前，学者们提出了 多种同步方法，如完全同步、时滞同步、修正函数同步、投影同步及修正函数投影同步等訛。
其中，投 影同步因为能使两个混沌系统按照一定的比例因子进行同步，由于比例因子的不可预测性能使保 密通信更加安全可靠。
近来，在投影同步的基础上 学者们进一步提出了修正函数投影同步訛。
譹O tt E,G re b o g i C,Y o rk e J A."C o n tro l!in g ch aos",P h ysical R e v ie w Letters, 1990,64(11):p p.1196-1199.(譺C h ezi L L,Peccardi C." P ID con trol o f a chaotic system:A n application to an ep idem io lo gical m o d e l".A u-to m atic, 1997, 33(2):p p.181-191.(譻F eki M."A n adaptive feedback controller fo r linearizable chaotic system s".C h a o s,Solitons &Fractals. 2003, 15(5):p p. 883-890.(譼A blay G."S lid in g m o d e control o f uncertain u n ified chaotic system s".N o n lin ear A nalysis:H ybrid system s, 2009,R3(4):p p.R531-535.(訛B o u lk ro u n e A,C h e k ireb H,T ad jin e M."O b se rv e r-b ase d adaptive feedback controller o f a class o f chaotic system s".In tern ation al Jo u rn al o f B ifu rcatio n and C h ao s, 2006,16(2):189-196L iu H,Li S,Su n Y，W an g H. P rescribed perform an ce synchronization fo r fractio n al-o rd er chaotic sy stem s".C h in ese Physics B, 2015, 24(9): 090505.P oursam ad A,M arkazi A H D."A d aptive fuzzy slidin g-m o d e control fo r m u lti-in p u t m u lti-o u tp u t chaotic system s".C h a o s,Solitons &Fractals,2009, 42(5): 3100-3109.(訛L iu H,L i S,W an g H,H u o Y,L u o J.A daptive synchronization for a class o f uncertain fractio n al-o rd er neural n etw orks.E n tro p y, 2015,17(10): 7185-7200.C D L iu H,L i S,W an g H,H u o Y,L u o J."A d ap tiv e synchronization fo r a class o f uncertain fractio n al-o rd er neural n etw orks",E n tro p y, 2015, 17(10): 7185-7200.C arroll T L,H eagy J F,P ecora L M."T ran sform in g signals w ith chaotic sychronization.Phys R e v E,1996, 54: 4676-4680,.R o se n b lu m M G,P ikovsky A S,K urth s J. ”F ro m phase to lag synchronization in co u p led chaotic oscillatrors".Phys ev L e tt,1997, 78: 4196-4193. M ainieri R,R e h a c e k J.P ro jec tiv e synchronization in th re e-d im e n sio n al chaotic system s.Phys R e v L e tt, 1999,82:p p. 3042-3045.刘恒，李生刚，孙业国，王宏兴：《带有未知非对称控制增益的不确定分数阶混沌系统自适应模糊同步控制》，《物理学报》2015年第7期，第64页。
新超混沌系统的线性反馈修正投影同步的电路实现
新超混沌系统的线性反馈修正投影同步的电路实现李德奎【摘要】研究了新超混沌系统的线性反馈修正投影同步及电路实现.首先对Lorenz 系统反馈控制并应用Lyapunov指数方法,提出一个新超混沌系统,然后基于Lyapunov稳定性定理,利用最简单的线性反馈控制,实现该新超混沌系统的修正投影同步,最后通过数值仿真验证理论分析的正确性,并构建新超混沌系统修正投影同步的仿真电路,示波器显示出的修正投影同步波形图与数值仿真的结果一致,说明该新超混沌系统修正投影同步电路实现的可行性及正确性.%In the report,the linear feedback modified projective synchronization and circuit implementations were studied.At first,a new hyperchaotic system was put forward by a feedback control for Lorenz system;secondly,based on the Lyapunov stability theorem,the simplest linear feedback control was used to implement the modified projective synchronization of the new superchaotic system;finally,the numerical simulation experiments were performed to verify the correctness of the theoretical analysis,and the simulation circuit of a modified projective synchronization for the new hyperchaotic system was constructed.The results indicated that some modified projection synchronization waves from the oscilloscopes were consistent with the results of numerical simulation,which suggested that the circuit implementation of the modified projection synchronization for the new hyperchaotic system was feasible and correct.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(035)004【总页数】8页(P329-336)【关键词】线性反馈;修正投影同步;电路实现;新超混沌系统【作者】李德奎【作者单位】甘肃中医药大学,理科教学部,甘肃定西743000【正文语种】中文【中图分类】O415.5构造和研究混沌系统模型是混沌应用的基础，1963年，气象学家Lorenz提出了著名的Lorenz混沌系统[1]，该系统的提出开启了混沌研究和应用的新纪元．随后许多混沌和超混沌系统模型被先后提出[2-8]．Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，表示了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率.正的Lyapunov指数表示在系统相空间中，无论初始2条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加，达到无法预测的混沌现象.正的Lyapunov指数越多，表明系统的混沌特性越强，具有1个正的Lyapunov指数值的系统称为混沌系统，具有2个或2个以上正的Lyapunov指数值的系统称为超混沌系统，超混沌系统模型的构造是混沌研究的一个热点.文献[9]提出了一个新超混沌系统，研究了系统发生Hopf分岔的参数条件，并构建了新超混沌系统的仿真电路，得到了与数值仿真相同的混沌吸引子.1990年，Pecora 和Carroll提出了驱动-响应混沌同步策略[10]．随后耦合控制策略[11-12]、反馈控制策略[4,13]、自适应控制策略[14]等．通过自适应控制器的作用，2个混沌系统不需要人为干预，随着时间的变化就能够实现同步，但是自适应控制器结构比较复杂，电路实现比较困难.反馈控制法分为线性反馈同步[4, 13-15]和非线性反馈同步[16-17]方法，其中非线性反馈同步同样有电路实现比较困难的缺陷，线性反馈同步电路实现较为方便.近年来，许多混沌同步方法先后被学者提出，例如完全同步[18]、相同步[19]、滞后同步[20]、广义同步[21]和投影同步[22-23]．投影同步是指驱动系统与响应系统的状态变量之间以不等于1的常数比例实现同步.相比较以上各种同步方法，投影同步能够使得混沌通信更加安全可靠，所以投影同步近年来得到广泛的研究[24-25]．修正投影同步是指驱动系统和响应系统的各对状态变量以不同的比例因子实现同步，因此，在混沌遮掩保密通信中，攻击者即使得到信道中的传输信号和遮掩有用信号的混沌系统，由于不知道其同步比例因子，就很难准确将有用信号重新还原，提高了保密通信的安全性[26]．基于以上考虑，笔者利用Lyapunov稳定性定理和牵制控制方法，设计同步线性反馈控制器.在控制器作用下实现新超混沌系统[9]的修正投影同步，然后进行数值仿真验证同步控制器的有效性，最后利用Multisim电路仿真平台构建新超混沌系统修正投影同步的仿真电路，为新超混沌系统修正投影同步在保密通信中应用奠定电路基础.新超混沌系统[9]的微分方程组为当参数a=10,b=28,c=2,θ=4，k=8时，系统(1)处于超混沌状态，且有如图1所示的混沌吸引子．线性反馈控制结构形式简单，电路实现容易，在实际应用中具有更大普适性，针对超混沌系统(1)构造响应系统为其中，[y1,y2,y3,y4]为响应系统的状态向量，[k1,k2,k3,k4]线性反馈系数向量，[α1,α2,α3,α4]为修正投影同步的比例因子向量．设误差e1=y1-α1x1，e2=y2-α2x2,e3=y3-α3x3,e4=y4-α4x4,且设同步比例因子α1=α2=α4，于是得到驱动系统(1)和响应系统(2)的误差系统为当修正投影同步的比例因子满足α2=α1α3，α3=α1α2时，误差系统(3)重写为构造李雅普洛夫函数由误差系统(4)可得V=e1+e2+e3+e4=ae1e2-(a+k1)+be1e2-(1+k2)+ce2e4-y1e2e3-α3x3e1e2- (θ+k3)+y1e2e3+α2x2e1e3-ke1e4-k4=-[-(a+b-α3x3)e1e2-α2x2e1e3+ke1e4-ce2e4+(a+k1)+(1+k2)+(θ+k3)+k4]=-{[(e1-3e2]2+(3e1-e3)2+(e1+e4)2+(e2-e4)2+[a+k1--10]+(k2--8)+(θ+k3-)+(k4--1)}.新超混沌系统的参数a=10,b=28,c=2,θ=4,k=8，且同步比例因子满足α2=α1α3，α3=α1α2,α1=α2=α4时，要使李雅普洛夫函数的变化率则线性反馈系数需满足以下条件当线性反馈系数满足(5)式时，根据李雅普诺夫稳定性定理，可知误差系统(3)是渐近稳定，即系统(1)和(2)实现同步．当系统(1)和(2)同步时，比例因子满足此方程组有2组解α3=1,α1=α2=α4=-1和α1=α2=α2=α4=1．取系统(1)和(2)实现同步的比例因子为α3=1，α1=α2=α4=-1，系统(1)和(2)实现修正投影同步.新超混沌系统的参数a=10,b=28,c=2,θ=4,k=8，取同步比例因子α3=1,α1=α2=α4=-1仿真实现新超混沌系统的线性反馈修正投影同步．线性反馈系数需满足(5)式，令函数g(t)=，h(t)=-4，根据混沌系统具有有界性，则函数g(t)和h(t)具有最值，为了得到线性反馈系数的值，需求出g(t)和h(t)的最大值．为此，先描绘g(t)和h(t)的图像如图2所示．根据(5)式并结合图2，取线性反馈系数，k1=40，k2=10，k3=20,k4=18．取初值为[x1,x2,x3,x4]=[0.1，-1，2，-0.3]，[y1,y2,y3,y4]=[1,0,1,-1]，采用步长为0.01的四阶龙格库塔方法进行仿真，得到系统(1)和(2)的同步状态误差曲线，如图3所示．由图3可以看出，通过线性反馈控制，系统(1)和(2)能够在不到0.5 s的时间里实现修正函数投影同步，同步时间非常快．图4中实线表示系统(1)的状态曲线，虚线表示系统(2)的状态曲线．从图4所示的系统(1)和(2)的状态同步时间序列图可以看出，系统(1)的状态变量x1，x2，x4和系统(2)的状态变量y1，y2，y4按比例因子-1实现反相位同步，而系统(1)的状态变量x3和系统(2)的状态变量y3按比例因子1实现完全同步．在2个系统之间的各状态变量按照不同的比例因子实现同步，从而验证了系统(1)和(2)之间通过线性反馈控制，能够实现修正投影同步．基于非线性电路设计原理，基于同相比例器、反相比例器、乘法器和积分运算器等，设计驱动系统(1)和响应系统(2)的修正投影步电路(如图5所示)，其中虚线框里面的电路实现了驱动系统(1)，电路中所有的运算放大器型号均为TL084CN，乘法器型号为AD633(增益为0.1),所有的电容器的电容为1μF，其余电路元件参数值如图5所示．虚线框内的电路仿真驱动系统(1)，用电压u1,u2,u3,u4分别实现驱动系统⑴的状态变量x1,x2,x3,x4．虚线框外的电路仿真响应系统(2)，用电压v1,v2,v3,v4分别实现响应(2)的状态变量y1,y2,y3,y4．设计新超混沌系统线性反馈修正投影同步的仿真电路如图5所示．根据图5所示的驱动系统(1)和响应系统(2)的修正投影同步电路图，并结合电路理论知识，可以得图5的电路状态方程为图5所示模拟电路的示波器显示出修正投影同步的电压波形如图6所示．示波器1、2、4上分别显示出u1和v1,u2和v2,u4和v4按比例因子-1实现反同步，而示波器3上显示出u3和v3按比例因子1实现完全同步．图6所示的驱动响应系统同步波形图,与Matlab仿真得到的图4所示的同步波形图一致，说明新超混沌系统线性反馈修正投影同步电路实现是可行的．通过研究新超混沌系统的线性反馈修正投影同步及其电路仿真，得出以下结论1) 理论分析和数值仿真的结果表明，所构造的线性反馈控制器能够实现新超混沌系统的修正投影同步，该线性反馈控制器具有有效性.2) 构建实现新超混沌系统修正投影同步的仿真电路，示波器显示出的修正投影同步波形图与数值仿真的波形图一致，说明电路实现新超混沌系统修正投影同步的可行性和电路设计的正确性．【相关文献】[1] Lorenz E N. 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一类时滞混沌系统的修正函数投影拟同步
２ ０ １ ５ 年 ５ 月
第５ 期
计
算
机
科
学
Ｖｏ １ ． ４ ２ Ｎｏ ． ５
Ｍａ ｙ ２ ０１ ５
Ｃｏ ｍｐ ｕｔ ｅ ｒ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ
一
类 时 滞 混 沌 系统 的 修 正 函 数 投 影 拟 同步
柴秀 丽 甘 志华。 王 俊
（ 河 南大 学 图像 处理 与模 式识 别研 究所 开 封 ４ ７ ５ ０ ０ ４ ） （ 河南 大学 软件 学院 开 封 ４ ７ ５ ０ ０ ４ ） 。
给 出了拟 同步 的充分条件 ， 估计 了拟 同步误差 限， 最后通过数值仿真验证 了理论分析 的正确有 效性 。
关键词
修正 函数投 影拟 同步， 时滞混沌 系统 ， 参数 失配 ， 脉 冲控 制
Ｏ４ １ ５ ． ５ ， ＴＰ ２ ７ ３ ＋． ２ 文献标识码 Ａ Ｄ Ｏ Ｉ １ ０ ． Ｉ １ ８ ９ ６ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ２ — １ ３ ７ Ｘ ． ２ ０ １ ５ ． ５ ． ０ ３ ４
ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ａ ｓ ｉ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ａ ｎ ｄ ｑ ｕ ａ ｓ ｉ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ０ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｗａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｄ ． Ｆ ｉ ｎ ｔ ｈ ｏ ｄ ， ｗ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ｄ ｍｏ ｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｑ ｕ ａ ｓ ｉ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄ ｒ ｉ ｖ ｅ － ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ
四维混沌系统的自适应修正函数投影同步
Ａｄ ｐｉｅｍｏ ｉｉ ｕ ｃｉｎｐ ｏ ｔ ｅｓｎ ｈ ０ ｉａｉｎ ｆｒ ａ ｔ ｄｆｅ ｆｎ ｔ ｒｊｃｉ ｙ ｃ ｒ ｎｚ ｔ ｏ ｖ ｄ ｏ ｅ ｖ ０
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（ ．Ｓｃ ｏ ｌ ｆ Ｉｒｏ ｍａ ｉｎ Ｅｎ ｉ ｅｒｎ １ ｈ ｏ ｎ ｒ ｔｏ ｇ ｎ ｅ ｉｇ，Ｕｎ ｖ ｆ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ Ｂｅｊｎ ｏ ｆ ｉ ．ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｉｉｇ，Ｂｅｊｎ ０ ０ ３，Ｃ ｉａ； ｉｉｇ １ ０ ８ ｈｎ ２．Ｃｏ１ ｆＥｌｃｒｃ ｌ ｎ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｎ ｅ ｉｇ，Ｂｅｊｎ ｉ ．ｏ ｌ．ｏ ｅｔｉａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｇｉｅｒｎ ａ ｉｉｇ Ｕｎ ｖ ｆ Ｃｉｉ Ｅｎ ｎ ｅｉｇ ＆ Ａｒｈ ｔｃｕ ｅ ｖ ｌ ｇｉｅｒｎ ｃ ｉｅｔ ｒ ，Ｂｅ ｉｇ １ ０ ４ ｉ ｎ ０ ０ ４，Ｃ ｉａ ） ｊ ｈｎ
参数未知混沌系统的全状态混合投影同步
参数未知混沌系统的全状态混合投影同步朱少平;刘瑾【摘要】针对参数未知混沌系统的全状态混合投影同步问题,提出一种自适应控制方法.该方法基于Lyapunov稳定性理论给出参数未知混沌系统的全状态混合投影同步的一个充分条件,并证明参数估计的收敛性.通过对Liu混沌系统与Lorenz混沌系统的数值仿真,验证所提方法的有效性.%In view of the issus of full state hybrid projective synchronization (FSHPS) of uncertain chaotic systems, based on Lyapunov theory and adaptive control method, a general sufficient conditions for the FSHPS of identical or different chaotic systems with fully unknown parameters are presented.Meanwhile,parameters estimates convergence is proved.Numerical simulations on the chaotic system and the hyperchaotic system are presented to verify the effectiveness of the proposed scheme.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2017(030)002【总页数】6页(P230-235)【关键词】全状态混合同步;不确定混沌系统;自适应控制;参数辨识【作者】朱少平;刘瑾【作者单位】西安财经学院统计学院,陕西西安 710100;西安财经学院统计学院,陕西西安 710100【正文语种】中文【中图分类】O231.2;TP301.5Abstract：In view of the issus of full state hybrid projective synchronization （FSHPS）of uncertain chaotic systems，based on Lyapunov theory and adaptive control method，ageneral sufficient conditions for the FSHPS of identical or different chaotic systems with fully unknown parameters are presented．Meanwhile，parameters estimates convergence is proved．Numerical simulations on the chaotic system and the hyperchaotic system are presented to verify the effectiveness of the proposed scheme．Key words：FSHPS（full state hybrid projective synchronization）；uncertain chaotic system；adaptive control；parameters identification同步是自然界的一种现象，是指在两个或多个相互作用着的动力学系统的相位间协调一致现象．随着混沌同步在保密通信、生命科学、信号处理等领域广泛应用，混沌同步问题已经成为混沌控制中的一个研究热点．1990年Pecora和Carroll［1］提出驱动－响应同步方法，由此开始，对混沌同步的研究进入了一个新时代．人们提出了混沌同步的很多控制方法，如非线性反馈法［2］、跟踪控制法［3］、backstepping方法［4］、主动控制法［5］、自适应控制［6］等．同时，人们也提出了众多类型的同步概念，如全同步、投影同步、反同步、广义同步、相同步、延迟同步等［7－12］．2008年，Hu［13］等提出混沌系统全状态混合投影同步（Full State Hybrid Projective Synchronization，FSHPS）概念，该概念包含了全同步、投影同步、反同步形式，全同步、投影同步、反同步是FSHPS的特殊情况．自FSHPS概念被提出后，引起了研究者的较多关注．文献［14］针对两个具体的超混沌系统，利用主动控制法研究了混沌系统的FSHPS问题，此结果不具有普遍意义；文献［15－16］研究了整数阶连续混沌系统的FSHPS问题，文献［17］研究了分数阶混沌系统FSHPS问题，这些研究都是在系统参数已知时进行的，但系统参数未知广泛存在于实际系统中，因此结论有局限性．本文研究的是驱动系统与响应系统可以相同也可以不同，两系统参数均未知的FSHPS问题，弥补了当前对该问题研究的不足．依据Lyapunov稳定性理论，采用自适应控制方法，给出实现参数未知的两个混沌系统FSHPS的一般方法，获得了FSHPS的一个充分条件，通过对混沌Liu系统与混沌Lorenz系统的数值仿真验证了该方法的有效性．定义1［13］设有两个动态混沌系统＝F1（x）——驱动系统＝H1（x，y）——响应系统，其中x＝（x1，x2，…，xn）T∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）T∈Rn分别是驱动系统和响应系统的状态向量，如果存在一个非零常数矩阵H＝diag｛m1，m2，…，mn｝∈Rn×n，使得成立，则称两个动态系统为全状态混合投影同步（FSHPS）．‖·‖是向量2－范数．考虑如下一类混沌系统其中x＝（x1，x2，…，xn）T∈Rn是系统的状态向量，α＝（α1，α2，…，αm）T∈Rm为系统未知参数向量，f（·）是n维向量函数，F（·）是n×m实矩阵．Lorenz系统、Rssler系统、Lü系统、Liu系统、Chen系统等混沌系统都可化为式（1）形式．设驱动系统为（1），响应系统为其中y＝（y1，y2，…，yn）T∈Rn是系统的状态向量，β＝（β1，β2，…，βs）T∈Rs是系统未知参数向量，g（·）是n维向量函数，G（·）是n×s实矩阵，u∈Rn是控制律．根据以上定义，令FSHPS误差为e＝y－Hx，则FSHPS误差的状态方程为下面给出参数未知的相同或不同混沌系统的全状态混合投影同步的一个充分条件．定理1 设r是正实数，P是n×n阶正定矩阵，R1是m×m阶正定矩阵，R2是s×s阶正定矩阵，令则驱动系统（1）与响应系统（2）是FSHPS．证明将式（4）代入式（3）得根据Lyapunov稳定性理论可知，沿系统（5）、系统（6）及系统（7）在各自原点都是渐近稳定的．所以有从而驱动系统（1）与响应系统（2）是FSHPS．证毕．由定理1看出，在控制律（4）及参数＾α，＾β的更新律（5）和（6）共同作用下，驱动系统（1）与响应系统（2）是FSHPS．设Liu混沌系统方程［18］为其中x1，x2，x3是状态向量，a，b，c，k，h是实常数．当a＝10，b＝40，c＝2．5，k＝1，h＝4时，系统有混沌吸引子．设Lorenz混沌系统［19］方程为设H＝diag｛1，－1／2，2｝．取P，R2都是3×3阶单位矩阵，R1是5×5阶单位矩阵，依据式（4）可得FSHPS的控制律u为依据式（7）可得FSHPS误差e的动态方程为选取r＝0．01，驱动系统的初值为x（0）＝（－5，8，5）T，响应系统的初值为y（0）＝（11，5，－4）T，FSHPS误差系统的初值为e（0）＝（2，－4，6）T，参数＾α更新方程的初值为（0）＝（10，10，10，10，10）T，参数更新方程的初值为＾β（0）＝（5，5，5）T时，进行数值仿真．图1是FSHPS误差变化图．由图1中FSHPS误差e1，e2，e3变化情况，容易看到FSHPS误差收敛到零．图2 ～4是Liu系统和Lorenz系统参数的自适应变化图．由图2，3中Liu系统估计参数的变化情况容易看到，估计参数收敛到其真值，→10→40→2．5→1，→4．由图4中Lorenz系统估计参数的变化情况容易看到，估计参数收敛到其真值，＾a→10，＾b→28，＾c→．111在混沌同步的研究中，受系统结构、参数等因素影响的混沌系统同步实现富有挑战性，也具有重要的应用价值．本文针对驱动系统、响应系统参数均未知时，依据Lyapunov稳定性理论，采用自适应控制方法，给出了确定混沌系统全状态混合投影同步控制律的一个新方法．与现有其它方法相比，该方法具有通用性．既适用于整数阶Lorenz、Rssler、Lü、Liu、Chen混沌系统间全状态混合投影同步，也可推广到分数阶混沌系统间全状态混合投影同步问题上．【相关文献】［1］ PECORA L M，CARROLL T L．Synchronization in chaotic systems［J］．Physical Review Letters，1990，64：821－824．［2］ PARK J H．Chaos synchronization of a chaotic system via nonlinear control ［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2005，25：579－584．［3］李建芬，林辉，李农．基于追踪控制的混沌异结构同步［J］．物理学报，2006，55（8）：3992－3996．LI Jianfen，LIN Hui，LI Nong．Chaotic synchronization with diverse structures based on tracking control［J］．Acta Physica Sinica，2006，55（8）：3992－3996．［4］朱少平，钱富才，刘丁．不确定动态混沌系统的最优控制［J］．物理学报，2010，59（4）：2250－2255．ZHU Shaoping，QIAN Fucai，LIU Ding．Optimal control for uncertainy dynamic chaotic systems［J］．Chin Phys Soc，2010，59（4）：2250－2255．［5］朱少平，钱富才，刘丁．基于两级算法的混沌控制［J］．控制理论与应用，2010，27（9）：1259－1262．ZHU Shaoping，QIAN Fucai，LIU Ding．Chaos control based ontwo－level algorithm［J］．Control Theory ＆Applications，2010，27（9）：1259－1262．［6］ ABARBANEL H，RULKOV N．Generalized synchronization of chaos：The auxiliary system approach［J］．Physical Review E，1996，53（5）：4528－4535．［7］ ROSENBLUM M G，PIKOVSKY A S，KURTHS J．Phase synchronization of chaotic oscillators［J］．Physical Review Letters，1996，76：1804－1810．［8］ MAINIERI R，REHACEK J．Projective synchronization in three－dimensional chaotic systems［J］．Physical Review Letters，1999；42：3042－3046．［9］ BOCCALETTI S，KURTHS J，OSIPOV G，et al．The synchronization of chaotic systems［J］．Physics Reports，2002，366：1－101．［10］ ZHAN Meng，WANG Xingang，GONG Xiaofeng，et al．Complete synchronization and generalized synchronization of one－way coupled time－delay systems［J］．Physical Review E，2003，68：036208（1－5）．［11］ CAI Guoliang，ZHENG Song．Anti－synchronization in different hyperchaotic systems［J］．Journal of Information and Computing Science，2008，3（3）：181－188．［12］邢志伟．一类分数阶混沌系统的投影对偶同步［J］．纺织高校基础科学学报，2016，29（3）：340－345．XING Zhiwei．Projective－dual synchronization of a class of fractional－order chaotic systems［J］．Basic Sciences Journal of Textile Universities，2016，29（3）：340－345．［13］ HU Manfeng，XU Zhenyuan，ZHANG Rong．Full state hybrid projective synchronization in continuous－time chaotic（hyperchaotic）systems ［J］．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2008，13：456－464．［14］张群娇．超混沌Rssler系统和超混沌Lorenz系统的全状态混合投影同步［J］．动力学与控制学报，2009，7（2）：148－152．ZHANG Qunjiao．Full state hybrid projective synchronization of hyperchaotic Rssler system and hyperchaotic Lorenz system ［J］．Journal of Dynamics and Control，2009，7（2）：148－152．［15］杨洋，冯浩，杨世平．连续混沌系统的全状态混合投影同步［J］．太原理工大学学报，2009，40（6）：651－656．YANG Yang，FENG Hao，YANG Shiping．Full state hybrid projective synchronization in continuous－time chaotic systems［J］．Journal of Taiyuan University of Technology，2009，40（6）：651－656．［16］方娜，李辉．一个新超混沌系统的全状态混合投影同步的实现与仿真［J］．郑州轻工业学院学报（自然科学版），2011，26（2）：64－70．FANG Na，LI Hui．Implementation and simulation of a new hyperchaotic system full state hybrid projective synchronization ［J］．Journal of Zhengzhou University of Light Industry（Natural Science），2011，26（2）：64－70．［17］薛怀庆，彭建奎，安新磊，等．分数阶混沌系统全状态混合投影同步及在保密通信中的应用［J］．信息与控制，2013，42（2）：229－235．XUE Huaiqing，PENG Jiankui，AN Xinlei，et al．Full state hybrid projective synchronization of fractional－order chaotic systems and its application to secure communication［J］．Information and Control，2013，42（2）：229－235．［18］ LIU Chongxin，LIU Tao，LIU Ling，et al．A new chaotic attractor［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2004，22：1031－1038．［19］ LORENZ E N．Deterministic nonperiodic flow［J］．Journal of Atmoshpere Science，1963，20：130－141．。
激活控制超混沌系统实现修正函数投影同步
驱 动 系统 的动力 学 方程为 ：
ｘ （ ￡ ） ＝ｆ （ ｘ （ ｔ ） ） （ １ ）
献［ ５— ６ ］ 中研究 了混沌 系统 的广义 投 影 同步 ， 文 献 ［ ７— ８ ］ 中通 过 自适 应 控 制 策 略 实 现 了 动 态 网 络 模 型 的函数 投 影 同步 ， 文献 ［ ９ ］ 研 究 了不 同 维 混 沌 系 统 的函数 投影 同步 问题 。该 文研 究修 正 函数 投影 同 步， 修 正 函数投 影 同步 是 指 驱 动 系统 和受 控 响 应 系 统 不 同 的变量对 之 间 以不 同的 函数 比例 实现 同步 。 激 活 控 制 是通 过 设 计 适 当的控 制 器 ， 将 同步 误
ｃ ｕｒ ｅ ｎ．
Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： ｈ ｙ ｐ ｅ ｒ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ； ｍ ｏ ｄ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ
Roessler混沌系统的函数投影同步
着混沌同步研 究不断深入人们发现它在保密通讯，信息科学，生物 ，医学，工程等领域有着广 阔的应用 前景 ，因而 引起 了广泛 的重视 。至今 ，人们 已经提 出了各种 混沌控制与 同步的方法 ， 例 如 ：驱动一 响应 同步ｆ 、线性 与非线性 反馈 同步ｆ３、耦 合 同步［ 、脉冲 同步ｆ ］ 自适 应 同 １ Ｊ ０Ｊ ， ４ ］ ７ 、 步［０等 。最初 大多数混沌 同步都 是考虑 完全 同步 （ ｍｐｅｅｓｎ ｈｏ ｉ ｔ ｎ ，后来 人们把完 】 ， ｃ ｏ ｌ ｙ ｃｒｎｚ ｉ ） ｔ ａｏ
分类号：ＡＭ Ｓ（０ ０ ３ Ｃ ８ ２０） ４ ２
中图分类号： ９ Ｏ１３
文献标识码：Ａ
１ 引言
混沌是非线性确 定性系统的一种 内在 随机 现象，是一种特殊 的非线性动力学行 为。混 沌系 统 的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感 ，因此从长期意义上讲系统的行为是不可 预测 的。正是 由于混沌 系统对初始条件 的极其敏感性 ，过去人们认为混沌同步是非常 困难的。
第２卷 第５ ７ 期
２ １ 年１ 月 ００ ０
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ ｏ ５ ｏ ７ ． ． Ｎ
Ｏｃ．２ １ ｔ ００
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＳ
文章编￣： ０—０５２ １）５００—１ １ ５３８ （０００—８９１ ０
论 Ｒ ｓｌｒ Ｓ ｓ 混沌系统 的函数投 影同步，分别考虑 了参数 已知和未知的两种情形 ，由线性系统 的稳 ｅ 定性 理论 和 Ｌ ａ ｕ ｏ 定性 理 论 给 出 了两 个 混 沌 系 统 渐 近 稳 定 的充 分 条 件 ，并 通 过 数 值 模 拟 说 ｙ ｐ ｎ ｖ稳
统一混沌系统的修正投影同步
Ａｂｔａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｉｖｓｉａｅ ｄｆ ｄ ｐｏｅｔ ｅ ｙ ｃ ｒｎｚ ｔ ｎｂ ｔ ｅ ｗ ｎｆ ｄｃ ａ ｔ ｙｔｍｓ ｓｒｃ： ｈｓ ａ ｅ ｎ ｅｔ ｔｓｍｏ ｉｅ ｊｃｉ ｎ ｂ ０ ｊａｉ ｅｗｅｎｔ ｏｕ ｉｅ ｈ ｏｉ ｓｓｅ 。 ｇ ｉ Ｊ ｖｓ ｏ ｉ ｃ
ｔｅ ｒ，ｗｈｃ ｃ ｎ ｈｏｙ ｉｈ ａ ｍａ ｅ ｔｅ ｔｔｓ ｏ ｈ ｒ ｅ ｓｓｅ ａ ｄ ｅｐ ｎｅ ｙｔｍ ｃ ｉ ｅ ｋ ｈ ｓａｅ ｆｔｅ ｄ ｉ ｙｔｍ ｎ ｒｓ ｏ ｓ ｓｓ ａｈｅ ｍｏ ｉｅ ｐｏｅｔ ｅ ｖ ｅ ｖ ｄｆ ｄ ｒｊｃｉ ｉ ｖ
ｓ ｙｎｃ Ｏｎｉａ ｉ ｈｒ ｚ ｔＯｎ．Ｂｅ ｉ ｓｄｅｓ ，ｐａ ａｍ ｅ ｅ ｄｅｎ ｉ ｃ ｔｏ ｏ ｈｅ ｄｒｖｅ ｓ ｔ ｍ ａｎ ｅ ａ ｒ ｔ ｒｉ ｔｆ ａ ｉ ｎ ｆｔ ｉ ｙｓ ｅ ｃ ｂ ｃｈｉｖ ｉ ｕｌａｎｅ ｓｙ ｗ ｈｅ ｈｅ ｉ ｅ ｅｄ ｓｍ ｔ ｏｕ ｌ ｎｔ
ｓ ｔ ｍ ｐ ａｍ ｅ ｅ ｉ ｕｎｋｎｏｗｎ． Ｆｉ ｌ ， ｎｕｍ ｅ ｉ ｌ ｉ ｕｌ ｔｏｎ ｓ ｗ ｔ ｅ ｆ ｔｖｅ ｓ ｏｆ ｔ ｐｒ ｏｓ ｄ ｏｎｔｏｌ ｙｓ ｅ ａｒ ｔｒ ｓ ｎａｌｙ ｒｃａ ｓｍ ａ ｉ ｓ ｈｏ ｈｅ ｆｅｃ ｉ ｎｅ ｓ ｈｅ ｏｐ ｅ ｃ ｒ
文章编号：０ ８７２ （０ ００ ．０ ５０ １０ ．８ ６２ １ ）３０ １．７
统 一混沌 系统的修 正投 影 同步
冯怡蓝 ，王锦 成
（ 州师范学 院 数 学与信息科学系，福建 漳 州 ３ ３ ０ ） 漳 ６ ０ ０
摘 要：本文研究两个统一混沌系统之间的修正投影 同步． 应用李雅普诺夫稳定性理论，在系统参数已知和
２ １ 年第 ３期 ００ （ 总第 ６ ９期 ）
激活控制超混沌系统实现修正函数投影同步
激活控制超混沌系统实现修正函数投影同步颜鲁林;李德奎【摘要】研究激活控制实现超混沌系统的修正函数投影同步问题.设计激活同步控制器,实现四维超混沌系统的修正函数投影同步,同时数值仿真验证了控制器的有效性,为混沌系统在保密通信的应用奠定理论基础.%Active control to realize modified function projection synchronization of hyperchaotic systems is studied in this paper.The paper designed an active controller to realize modified function projection synchronization of four dimension hyperchaotic systems.At same time,the numerical simulations is to verify effectiveness of the controller,the study will be lay the foundation of chaos application in the secure communication.【期刊名称】《工业仪表与自动化装置》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】4页(P131-134)【关键词】超混沌系统;修正函数投影同步;激活控制【作者】颜鲁林;李德奎【作者单位】甘肃中医药大学理科教学部,甘肃定西743000;甘肃中医药大学理科教学部,甘肃定西743000【正文语种】中文【中图分类】O3221990年，Pecora和Carroll[1]提出了混沌系统的同步概念，随后许多混沌同步方式[2-4]被提出。
文献[5-6]中研究了混沌系统的广义投影同步，文献[7-8]中通过自适应控制策略实现了动态网络模型的函数投影同步，文献[9]研究了不同维混沌系统的函数投影同步问题。
基于反步法的混沌系统函数投影同步
２
系统 的函数投 影同步
系 统 由 吕金 虎和 陈 关荣 在 ２０ ０２年 发现 ，
根 据 Ｖ ｎｃｋ和 Ｃ ｌ ｏｓｙ的标 准 ，ｏｅｚ系 统 满 ａｅｅ ｅｉ ｖｋ ｋ Ｌｒｎ 足 ａ２２＞０，ｈｎ系 统满 足 ａ２２＜０ Ｌｉ 统 满 １ １ ａ Ｃｅ １ １ ，／系 ａ 足 ａ２２＝ 它是 一 个连 接 Ｌｒｎ 系统 和 Ｃ ｅ ｌ １ ０， ａ ｏｅｚ ｈｎ系 统 的临界 系统． 系 统 的动力 学方程 为 ：
连续 ， 可导 且有 界．
Ｘ ｕ等人 ＿通过对 耦合 驱动 一响应 系统 中的响 ４ 应 系统加 入控 制 项 实现 了非 部 分线 性 系统 的投 影 同步 ， 而突破 了投影 同步 只局 限 于部分 线 性 系统 从 的界 限． ｉ Ｌ【 也通过 对耦 合 系统 的响 应 系统 加入 控 制 实现 了 Ｃ ｅ ｈｎ系统和 Ｌｒｎ ｏｅｚ系统 的投影 同步．但 是 以前 的文 章都 是 研 究 驱 动一 响应 系 统之 问按 照 某 一常数 尺度 因子演 化 ， 但是 实际 问题 中有 时需 要 驱 动一 响应 系统之 问按 照某一 时 间函数 演 化 ， 即所 谓 函数 投影 同步 ．本文 针对 最新 提 出 的 系统 和 超 系统 的耦 合系统 ， 响应 系 统加 入控 制 项 ＋
其 中 ｍ＝（ ｍ ｍ … ， ｍ ， （ ， ，瑚） １，２， ） １ … ，： ， Ｒ， Ｒ ｇ： ， １ ２ … ， ） 设 计 的控 ＝（ ， ， 是
且指出这一比例依赖于混沌系统的演化和初始条件 的选取． 投影同步技术已经在混沌保密通讯及混沌
维普资讯
维普资讯
动
力
学
与 控
制
学
２
具有未知扇区非线性输入的混沌系统修正投影同步
投 影 同步． 该 方 法考 虑 了 由于 执行 器 限制 等 因素 引起 的控制 输入 的非线 性影 响 ， 并且 在 控制器 的设计 中， 不 需要预 先 知道扇 区非 线性输 入 函数 的界值 ． 所 设计 控 制器 不 受 系统模 型不 确定 性 、 外界 干扰 和 非线 性输 入 的影 响 ， 可 适用 于任 意混 沌 系统 ， 具 有很 强 的鲁棒 性 和通 用性 ． 以Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ混 沌 系统 和 Ｃ ｈ ｅ ｎ混 沌 系统 为 例 的 仿 真研 究表 明该 控制 方法 的有 效 性．
计合适 的滑模控制器， 使被控状态轨迹在有 限时间 内到达滑模 面． 文献 ［ １ ７ ］ 基于滑模 变
结构 控制 方法 ， 分 析 了具 有 扇 区 非 线 性 输 入 的 不 确 定 节 点 型 主 从 混 沌 系 统 同 步． 文 献
［ １ ８ ］ 通过设计具有积分形式的滑模面和滑模变结构控制器 ，实现了具有扇区非线性输入 的具有不匹配参数和外界扰 动的同结构混沌 系统 的完全 同步． 文献 ［ １ ９ ， ２ Ｏ ］ 分别基于
于原驱动系统的混沌输出信号 ， 这种同步现象对实现数字保密通信的安全快速传输具有 重要的应用前景 ， 其研究 已引起中外学者的广泛关注． 但现有的对混沌修正投影同步控制
的研究 ， 控 制输 入一 般都 是线 性 的 ， 而 在控 制器 的实 际执行 中 ， 由于 系统 物理器 件 的限制 ， 系统不 可避 免 的存在 非线 性 控制 项 ， 非 线 性项 的存 在会 降低 系 统 的控制性 能 ， 甚至使 系 统 出现 不稳 定 的特 征 ， 因此 非线 性控 制项 的存 在 在混 沌 同步控 制 中是 不可 忽视 的 ， 研 究具 有
节点为混沌系统的延迟复杂网络混合复函数投影同步
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ７
文章编号 ： １ ０ ０ ９ — ４ ８ ２ ２ （ ２ ０ １ ７ ） Ｏ １ — ０ １ ３ ５ — ０ ６
ＤＯＩ ： １ ０ ． １ １ ７ １ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ ・ ４ ８ ２ ２ ． ２ ０ １ ７ ． ０ １ ． ０ ３ １
第ｌ ８卷 第 １ 期
２ ０ １ ７年 １月
北 华大学学报（ 自然科学版 ）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ Ｉ Ｈ Ｕ Ａ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． １ ８ Ｎｏ． １
ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｎ ｅ ｔ ｗ ｏ ｒ ｋ ｓ ｉ ｓ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ， ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｕ ｐ ｌ ｅ ｄ ｎ ｏ ｄ ｅ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｎ ｅ ｔ ｗ ｏ ｒ ｋ ｓ ｒ ｅ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｄ ｆ ｒ ｏ ｍ ｒ ｅ ａ ｌ ｉ ｆ ｌ ｅ ｄ ｔ ｏ ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ
确性．
关键词 ： 复混 沌系统 ； 延迟 ； 同步 ； 复杂网络
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ３ — ０ ５ ； Ｏ ４ １ ５ ． ５
激活控制超混沌系统实现错位修正函数投影同步
统的错位修正函数投影 同步， 同时数值仿真验证控制器是有效的 ， 为混沌系统在保密通信 中的应用奠定理论基础．
关 键 词 ： 超 混 沌 系统 ； 错 位修正函数投影同步 ； 激 活控 制
中 图分 类 号 ： ０ ３ ２ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ２ － ０ ０ ５ １ － ０ ４
其 中系数 矩 阵 Ａ的所有 特征 值 （ Ａ 、 Ａ 、 …Ａ ） 都 具有 负 实部 ， 则ｅ （ ） 有 形如 ｅ ＾ ｉ ｌ Ｔ ｉ （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， …， ｍ）的 指数 衰减趋 于零 的解 （ 为Ａ 的特征 向量 ） ， 这 表 明驱动 系统 与 响应 系统实 现错 位修 正 函数 投 影 同步 ． 文献 ［ １ １ ］ 构 造 了一个新 超 混沌 系统 ， 其微 分方 程组 为
５ ２
同步 比不 错位 同步 在保 密通 信 中有更 大 的密钥 空 间． 激 活控制 是通 过设 计适 当的控 制器 ， 将 同步误 差 系
统控 制成 为一个 系 数矩 阵的所 有特 征值 都具 有 负实部 的误 差线 性 系 统． 激活 控 制 的 同 步控 制 器 容 易设 计， 且 同步 误差 能够 快速趋 向于零 ， 同 时激活 控制 不需 要构 造误 差 系统 的李 雅普 洛 夫 函数 ． 文献 ［ １ ０ ］ 通 过激 活控 制研究 了三维混 沌 系统 的同 步． 超混 沌 系统 因具 有两个 正 的李 雅普 诺夫 指数 ， 使 其混 沌特 性 比 三维混 沌 系统更 强 ， 利用超 混沌 系统 进行 保密 通信 信 息更 加 安 全． 基 于 以上讨 论 ， 本文 研 究 激 活控 制 实 现超 混沌 系统 的错位 修正 函数投 影 同步 ．
R(o)ssler混沌系统的函数投影同步
R(o)ssler混沌系统的函数投影同步
罗润梓;邓述程;魏正民
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2010(027)005
【摘要】混沌同步是非线性科学中的一个重要课题.目前大多数同步都是考虑参数已知的情形,然而在实际情况下,一些系统的参数是不能事先确定的,因此考虑参数未知系统的同步就很必要.本文讨论P(o)ssler混沌系统的函数投影同步,分别考虑了参数已知和未知的两种情形,由线性系统的稳定性理论和Lyapunov稳定性理论给出了两个混沌系统渐近稳定的充分条件,并通过数值模拟说明所给方法的有效性.【总页数】11页(P809-819)
【作者】罗润梓;邓述程;魏正民
【作者单位】南昌大学数学系,南昌,330031;南昌大学数学系,南昌,330031;南昌大学数学系,南昌,330031
【正文语种】中文
【中图分类】O193
【相关文献】
1.超混沌R(o)ssler系统和超混沌Lorenz系统的全状态混合投影同步 [J], 张群娇
2.不确定R(o)ssler混沌系统的自适应投影同步 [J], 路杨;尹柯
3.R(o)ssler超混沌系统的改进广义混合投影同步 [J], 安新磊;俞建宁;张莉;张建刚
4.滑模控制的多混沌系统组合函数投影同步 [J], 方洁; 娄新杰; 许丹莹; 邓玮
5.激光复混沌系统构建及其点乘函数投影同步 [J], 方洁;姜明浩;安小宇;邓玮
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节点为混沌系统的延迟复杂网络混合复函数投影同步
节点为混沌系统的延迟复杂网络混合复函数投影同步魏强;解成俊【摘要】提出了具有扰动且节点为复混沌系统的延迟复杂网络的一种同步方法———复函数投影同步，即投影比例函数为复数，复函数投影同步把函数投影同步的投影比例函数推广到复数域。
通过数值模拟验证了该方法的正确性。
%We present a synchronization method for complex oscillators networks with time delay. The node of complex networks is complex system,the coupled node of complex networks realize complex function projective synchronization. The contribution of this paper is that projective scale function changed from real filed to complex field. Numerical simulations are provided to show the effectiveness of the proposed method.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(018)001【总页数】6页(P135-140)【关键词】复混沌系统;延迟;同步;复杂网络【作者】魏强;解成俊【作者单位】北华大学计算机科学与技术学院，吉林吉林 132021;北华大学计算机科学与技术学院，吉林吉林 132021【正文语种】中文【中图分类】TP3-05;O415.5复杂网络是由节点相互耦合形成的[1-7]，每个节点代表的系统类型可以相同或不同.同步是自然界的一种现象，已成为研究热点[8-13].目前，同步的研究成果包括完全同步、投影同步、函数投影同步等.其中函数投影同步具有普适性[14-18]，因为当投影比例函数为常数时，函数投影同步变成投影同步；当投影比例函数为常数1时，函数投影同步变成完全同步.到目前为止，现有的大部分投影比例函数研究集中在实数域，即投影比例函数为实数域内的函数[19-22].但对于节点是复系统的复杂网络而言，投影比例函数为复数更加适合节点是复系统的复杂网络的同步.所以，本文针对节点是复系统的复杂网络提出了复函数投影同步方法，投影比例函数为复数域内的(复)函数；并且实现了节点是复函数的复杂网络的复函数投影同步.由于复函数投影同步的比例函数为复数，当投影比例函数为实数时，复函数投影同步变为函数投影同步，所以复函数投影同步比函数投影同步更具有普适性.一个由N个相同节点耦合成的延迟复杂网络可以用如下模型描述：其中：xi=(xi1，xi2，…，xin)T∈n为第i个节点的状态矢量； f：n→n为一个连续的矢量函数，决定了节点的动力学行为；τ≥0为耦合延迟；ui(t)∈n为控制输入；ε和κ为扰动项.如没有扰动ε=0,κ=0，假如网络没有时间延迟，则τ=0；G=(gij)∈N×N为耦合结构矩阵，代表网络拓扑结构，其中，gij定义为假如在节点i和节点j之间有连接gij>0，否则 gij=gji=0.矩阵G的对角元素为gij不仅表明从节点i 到节点j是否存在连接，而且还表明连接强度.令xi=xiRe+ixiIm及ui(t)=uiRe(t)+iuiIm(t)，式(1)可写为对于上式(3)，令定义1(复函数投影同步) 具有延迟的复杂网络(1)能实现复函数投影同步，当存在一个连续微分比例函数α(t)满足其中：·代表欧几里德向量范数并且s(t)∈n可以是一个平衡点，或者一个周期轨迹，或者一个混沌吸引子的轨迹，满足令s(t)=sRe(t)+isIm(t)，式(5)可写为令α(t)=αRe(t)+iαIm(t)，式(4)可写为令对式(7)求导有式(2)，式 (9) 可写为对式(8)求导有式(2)，(11)可写为(t)).根据式(6)～(8)可推得引理1[11] 对于任意的矢量x，y∈n和正定矩阵Q∈n×n，下面的矩阵不等式成立：本文通过一个混合反馈控制方法实现不延迟复杂网络复函数投影同步.定理1 对于给定的同步比例复函数α(t)及任意初始条件xi(0)，s(0)及di(0)，具有延迟的复杂网络(1)通过如下的控制方案能实现复函数投影同步：式中：，其中，kiRe及kiIm是任意常数并且满足(t)).证明：构建如下Lyapunov函数其中：，其中：及是两个要估计的正值.将式(14)及(16)代入式(10)，得将式(17)，(18)及(19)代入式(12)，得对V1求导有令nN，Q=G⊗In，其中：⊗为克罗内克积.由引理1可得其中：λmax(M)为对称矩阵M的最大特征值.令，可得对V2求导有令nN，Q=G⊗In，由引理1得根据式(20)及(21)可得由Lyapunov稳定性理论可知，误差系统(13)是渐近稳定的.证毕.采用超混沌复Lorenz系统作为复杂网络的节点证明理论分析的有效性.超混沌复Lorenz系统其中：α，γ，σ及β是正数；λ为外部扰动项；δ为参数扰动项.x1=x1Re+ix1Imx2=x2Re+ix2Imλ=λRe+iλIm是复变量，λRe，λIm，x3及x4是实变量.式(22)可以重写为.当α=14,β=5,γ=45,σ=5.5时，系统(22)是混沌状态.耦合矩阵G=(gij)选择为节点是混沌的Lorenz系统的延迟复杂网络可描述为其中：τ为不变时间延迟.通过定理1可以设计控制器uiRe(t)及uiIm(t)：其中,,,,N.初始状态选取：x1=(1+4i，5+3i，6+4i)T，x2=(1+2i，8+3i，5+9i)T，x3=(1，4，7)T,x4=(2，4，1)T,τ=1，α(t)=cos(πt/4)+isin(2πt/7)，λ=sinθ+icosθ，δ=cosθ.图1为数值模拟结果：eiRe(t)→0及eix(t)→0，当t→；那么e i(t)→0，当t→.结果表明：复杂网络(23)实现了复函数投影同步.本文针对节点为复混沌系统的复杂网络，且存在扰动情况下，提出了一个新的同步方法——复函数投影同步.复杂网络每个节点复变量之间的同步比例函数为复数.对于节点为复系统的复杂网络而言，复函数投影同步比函数投影同步更具有普适性，复函数投影同步还适用于其他的复系统的同步.节点为复函数的复杂网络的同步方法还有待进一步研究，比如具有时变延迟的复函数投影同步、具有扰动的复函数投影同步、混合延迟的复函数投影同步等.【相关文献】[1] Yong Chen，Xin Li.Function projective synchronization between two identical chaotic systems[J].International Journal of Modern Physics C，2007，18(5)：883-888.[2] Qian Yu，ZhaoYaru，Liu Fei，et al.Effects of time delay and coupling strength on synchronization transitions in excitable homogeneous randomnetwork[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18(12)：3509-3516.[3] Xiao Jian，Yang Yehong，Long Jushu.Synchronization of complex networks with derivative coupling via adaptive control[J].International Journal of Systems Science，2013，44(12)：2183-2189.[4] Jia Zhen，Fu Xinchu，Deng Guangming，et al.Group synchronization in complex dynamical networks with different types of oscillators and adaptive couplingschemes[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18 (10)：2752-2760.[5] Wang Guan，Shen Yi.Cluster synchronization of directed complex dynamical networks with nonidentical nodes via pinning control[J].International Journal of Systems Science，2013，44(9)：1577-1586.[6] Chen Liping，Chai Yi，Wu Ranchao，et al.Cluster synchronization in fractional-order complex dynamical networks[J].Physics Letters A，2012，376(35)：2381-2388.[7] Ma Tiedong，Jiang Weibo，Fu Jie.Modified impulsive synchronization of fractional order hyperchaotic systems[J].Chinese Physics B，2011，20(12)：160-166.[8] Arkady Pikovsky，Michael Rosenblum，Jürgen Kurths.Synchronization，a universal concept in nonlinear sciences[J].New York：Cambridge University Press，2001.[9] Arenas Alex，Diaz-Guilera Albert，Kurths Jurgen，et al.Synchronization in complex networks[J].Physics Reports，2008，469：93-153.[10] Lu Jinhu，Chen Guanrong.A time-varying complex dynamical network model and its controlled synchronization criteria[J].IEEE Trans Autom Control，2005，50(6)：841-846. [11] Wu Xiaoqun.Synchronization-based topology identification of weighted general complex dynamical networks with time-varying coupling delay[J].Physica A，2008，387(4)：997-1008.[12] Sorrentino Francesco，Edward Ott.Adaptive synchronization of dynamics on evolving complex networks[J].Physical Review Letters，2008，100：114101.[13] Porfiri Maurizio，Pigliacampo Roberta.Master-slave global stochastic synchronization of chaotic oscillators[J].SIAM Journal on Applied Dynamical Systems，2008，7(3)：825-842.[14] Du Hongyue，Zeng Qingshuang，Ling Mingxiang.Adaptive Modified Function Projective Synchronization with Known or Unknown Parameters[J].Chinese Physics B，2007，5(4)：216-219.[15] Chen Yong，Li Xin.Function projective synchronization between two identical chaotic systems[J].International Journal of Modern Physics C，2007，18(5)：883-888.[16] Du Hongyue，Zeng Qingshuang，Wang Changhong，et al.Function projective synchronization in coupled chaotic systems[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11(2)：705-712.[17] Wu XiangJun，Wang Hui，Lu HongTao.Hyperchaotic secure communication via generalized function projective synchronization[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12(2)：1288-1299.[18] Du Hongyue，Zeng Qingshuang，Lü Ning.A general method for modified function projective lag synchronization in chaoticsystems[J].Physics Letters A，2010，374(13-14)：1493-1496.[19] Du Hongyue，Zeng Qingshuang，Wang Changhong.Function projective synchronization of different chaotic systems with uncertain parameters[J].Physics Letters A，2008，372(372)：5402-5410.[20] Wu Zaoyan，Fu Xinchu.Adaptive function projective synchronization of discrete chaotic system with unknown parameters[J].Chinese Physics Letters，2010，27(5)：33-35.[21] Du Hongyue，Li Feng，Meng Guangshi.Robust function projective synchronizationof two different chaotic system with unknown parameters[J].Journal of the Franklin Institute，2011，348(10)：2782-2794.[22] Park Ju H.Further results on functional projective synchronization of Genesio-Tesi chaotic system[J].Modern Physics Letters B，2011，23(15)：1889-1895.。
基于滑模自适应控制的不确定混沌系统修正函数投影同步
基于滑模自适应控制的不确定混沌系统修正函数投影同步余名哲;张友安;吴华丽【摘要】研究了一类不确定混沌系统的修正函数投影同步。
首先，设计了一类滑模曲面；基于该曲面设计了同步控制器，并采用自适应技术设计了自适应律对不确定参数进行逼近。
在一定条件下，该同步控制方案可以实现2个不确定异结构混沌系统的修正函数投影同步。
然后，为保证合适的控制量，对控制增益进行了优化。
从同步效果来看，所设计的控制器对混沌系统的不确定项的影响具有较强的鲁棒性。
最后，数值仿真验证了该控制器的有效性和可行性。
%A modified function projective synchronization of a class of chaotic systems with uncertainties was investigated. Firstly, a sliding mode was designed based on the sliding mode, the synchronization controller was designed, and the adap-tive technology was used to design the adaptive laws to approach the unknown parameters. Under certain conditions, the modified function projective synchronization could be realized between two non-identical chaotic systems. Then, in order to get the appropriate control input, the control gain was optimized. From view point of the effect of the synchronization, the controller was robust for the uncertainties of systems. Finally, the simulations verified the feasibility and effectiveness of the method.【期刊名称】《海军航空工程学院学报》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P101-104)【关键词】混沌系统;修正函数投影同步;滑模自适应控制;鲁棒性【作者】余名哲;张友安;吴华丽【作者单位】海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001;海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001;海军航空工程学院控制工程系，山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】TP391混沌现象在工程实践中特别是在生物医学、保密通信、图像加密、信息处理、光学、化学工程、航天等领域获得了广泛的应用。
Lurie混沌系统的修正函数投影同步
Lurie混沌系统的修正函数投影同步毛北行;程春蕊;卜春霞【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2013(033)004【摘要】本文研究了Lurie混沌系统的同步问题.利用修正函数投影同步方法,基于单向耦合原理给出了相应系统的设计方案,说明了Lurie混沌系统在修正函数投影方法下是同步的,最后仿真例子表明了方法的有效性.%The problem of synchronization of Lurie chaotic system is studied in the ing modified function projective synchronization approach,the scheme of obtaining the response system from chaotic system is established based on unidirectional coupled principle.It is proved that Lurie chaotic systems is synchronized using modified function projective synchronization approach.Numerical simulations example of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.【总页数】4页(P717-720)【作者】毛北行;程春蕊;卜春霞【作者单位】郑州航空工业管理学院数理系,河南郑州 450015;郑州航空工业管理学院数理系,河南郑州 450015;郑州大学数学系,河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】O231.1【相关文献】1.分数阶超混沌系统的修正函数投影同步研究 [J], 高远;胡杭芳;袁海英;文家燕2.分数阶统一混沌系统的修正函数投影同步 [J], 耿彦峰;王立志;何瑞强3.一类分数阶混沌系统的修正函数投影同步 [J], 孟晓玲;程春蕊4.连续混沌系统的修正函数投影同步及其电路仿真 [J], 李德奎5.混沌系统的广义修正函数投影同步及其电路仿真 [J], 李德奎因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步
一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步程杰;张兰【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【摘要】考虑一个新超混沌系统的脉冲控制与修正投影同步，基于脉冲控制系统的稳定性理论，给出了脉冲修正投影同步的充分判据，由定理易知当同步比例因子α1，α2，α3，α4满足α21＝1，α2＝α1a3时所给同步方法无需添加控制器U，所以此方法可以看做是脉冲完全同步的推广。
%The impulsive control and modified projective synchronization of a new hyperchaotic system is investigated in this paper .Applying the impulsive theory ,some sufficient conditions for its asymptotic sta-bility via impulsive control are derived .It is easy to see by Theorem that if the scaling factors α1 ,α2 ,α3 ,α4 satisfied α21=1,α2=α1α3 ,then systems will achieve modified projective synchronization without con-trollers,which implies that the proposed synchronized method can be regarded as the generalization of the complete synchronization via impulsive control .【总页数】4页(P133-135,138)【作者】程杰;张兰【作者单位】重庆师范大学数学学院，重庆401331;重庆师范大学数学学院，重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O415.5【相关文献】1.一个新超混沌系统全状态混合投影同步的实现与仿真 [J], 方娜;李辉2.一种新的超混沌系统修正函数投影同步 [J], 朱红旗;张秀兰3.系统参数完全未知的一个新超混沌系统自适应修正投影同步 [J], 唐漾;方建安;庄梅玲;顾全4.新超混沌系统的线性反馈修正投影同步的电路实现 [J], 李德奎5.一个新的超混沌系统及其投影同步 [J], 申玉发;刘建平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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有 一 定 规律 的 复 响应 系统 和 结 构 简单 的控 制 器 ， 使得驱动一 响应 复 系统 能 够 同步 ， 并 从 理 论 上 证 明 参 数 已知 和 未 知 情 况 下 复 混 沌 系统 的修 正 函数 投 影 同步 ． 最后 。 通过 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ数 值 仿 真 验 证 同步 控 制 方 案 的 可 行 性 和 有 效性 ． 关 键 词 ： 复 混沌 系统 ； 修 正 函数 投 影 同 步 ； Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 稳 定性 理 论
ｈｅ ｔ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｓ ｄ ｅ ｍｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ｅ ａ ｓ ｉ ｂ ｉ ｈ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ： ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ＭＦ Ｐ Ｓ ； Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ ｒ
保密 通信相 比 垌， 增益 函数 的不 可 预测性 增 加 了基 于复 系统修 正 函数投 影 同步 的保 密通 信 的安 全性 ． 然而 ， 从 目前 已有 的 大量 文献 来 看 ， 在两 个相 同复 混沌 系统 的修正 函数 投 影 同步 方 案 中 ， 会普遍 存 在
Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ｉ ｎ Ｃｏ ｍ ｐｌ ｅ ｘ Ｆｉ ｅ ｌ ｄ
Ｌ Ｉ Ｎ Ｊ ｉ ｅ ． Ｗ ＥＮＧ Ｍｅ ｉ — ｑ ｉ ｎ ｇ （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｍ ｉ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ ３ ６ ３ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
人 们对 复混沌 系 统模 型 的研究 开始 于 Ｆ ｏ ｗ ｌ ｅ ｒ 】 提 出的复 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 ． 众 所周 知 ， 复混沌 系统 是实 数
域 中混 沌 系统 的推 广 ． 它能 描绘 出很 多奇特 的动 力学 现象［ ２ － ８ １ ． 近年来， 人 们 在 复混沌 系统 的 同步控制 理论 研 究 中取 得进 展 ， 如 两个 复混 沌 系统 的反 同步Ｉ ９ １ ， 投影 同步 Ｉ ｌ ｑ 】 ” ． 同样 地 ， 根据 实 数 域 中修 正 函数投 影 同 步 的定 义 。 复数 域 中的驱 动 响应 系 统 能通 过 不可 预 测 的增益 函数矩 阵 实 现 同步 【 ｌ ｚ ３ １ ． 此外 。 与实 混沌 系 统 的
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｎ ｏ ｖ ｅ ｌ ｍ ｏ ｄ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｉ ｔ ｖ ｅ ｓ ｙ ｎ ｅ ｈ ｒ ｏ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ （ ＭＦ Ｐ Ｓ ） ｏ ｆ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｉ ｓ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ ａ ｎ ｄ ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ —
２ ０ １ ５年 第 ２期 （ 总第 ８ ８期 ）
闽 南 师 范 大学 学 报 （ 自然 科 学 版）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｍｉ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ． Ｓ ｅ ｉ ． ）
Ｎｏ ． ２ ． ２ ０ １ ５年
中图 分 类 号 ： Ｏ２ ３ １ ． ２ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编号： ２ ０ ９ ５ — ７ １ ２ ２（ ２ ０ １ ５） ０ ２ — ０ ０ １ ２ — ０ ９
Ｍｏ ｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｓ ｙ ｎ ｃ ｈ ｒ ０ ｎ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ Ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ
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Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ Ｎｏ ． ８ ８
复数域上混沌系统的修正函数投影同步
林 洁， 翁 妹 清
（ 闽南师范大学 数 学与统计 学院， 福建 漳州 ３ ６ ３ ０ ０ ０ ）
摘 要 ：提 出一 种 复数 域 上 混 沌 系统 的 修 正 函数 投 影 同步 方பைடு நூலகம்法 ． 基 于 同步 定 义 和 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ稳 定性 理 论 ． 设 计 具