初中数学最值问题研究与解题策略
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧发表时间：2019-06-26T13:19:43.387Z 来源：《中小学教育》2019年第367期作者：于宏媛[导读]吉林省洮南市瓦房镇中学137119 最值问题是近年来中考数学热点之一，代数与几何问题中都有涉及，考查知识点丰富，形式多样，综合性强，是学生易错疑难点之一。
本文主要从代数与几何两个方面就具体例题对常见最值问题的解题策略与技巧给以简单的整合。
其中，代数中最值求解主要运用配方、均值不等式、分类讨论、数形结合、函数增减性等方法，将陌生复杂的问题化为简单的熟悉的问题。
几何最值问题又分为平面几何与立体几何最值：平面几何主要在三角形、四边形、圆中最值居多，复杂多变，通常利用轴对称变换、平移变换的性质，将复杂的几何问题转化为简单几何模型求解；立体几何最值主要通过化归思想，将立体图形沿侧棱展开成平面图形，再依据平面几何最值性质求解。
一、代数中最值常见解题策略与技巧1.配方法。
主要依据完全平方项的非负性，利用恒等变形，将原代数式分组配成完全平方项与实数项和的形式即可求解最值问题。
例1：设x、y为实数，代数式2x2+y2-2xy+2x+4的最小值为____。
分析：该代数式只需将 x2与y2-2xy组合成完全平方、x2与2x+1组合成完全平方即可。
2.分类讨论法。
含绝对值的函数最值通常含有不确定因素，对于这类问题一般需要依据绝对值零点意义对其分类讨论，再结合函数单调性求解最值。
例2.求|x-1|+|x-2|的最小值。
分析：此题只需要找到绝对值零点1、2，然后分段讨论利用函数单调性求解即可.3.数形结合法。
对于一些有明显几何意义或与几何图形相关联的题，我们采用数形结合的思想往往会收到事半功倍的效果。
比如例2的式子可以看成是数轴上x到1的距离与x到2的距离的和，只有当x在1与2之间时，它们的和最小。
这样就少了像例2那样繁琐的讨论，反而显得明朗化、清晰化、简单化。
这种解法对于像这样的式子“|x-1|+|x-2|+…+|x-10|求最小值”就显得更为直观简单，x取值只要在5与6之间即可。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
对初中数学最值问题解法的探析
2.双基知识掌握不实。双基知识是初中数学学习的基础知识，由于有的初中学生对双基知识掌握不牢固，造成其分析与综合思维能力较弱，这样就直接影响到求最值计算技巧的掌握和运用。加强双基知识的掌握力度，对提高初中学生求最值运算的逻辑思维与演绎能力至关重要。
3.算理不清，概念不明。算理不清、概念不明主要指的是学生在求最值计算学习过程中，对于一些基本的求最值计算技巧与原理缺乏必要的了解，无法做到对其含义的深刻了解，造成算理不明，导致计算错误。算理不清不仅仅使得学生对求最值计算原理和技巧不明就里，还会导致他们在以后的求最值计算过程中混淆概念，造成概念的混乱，严重影响了求最值计算正确性的提高。
三、总结
最值问题是初中数学教学的重要组成部分，具有很强的灵活性、开放性及综合性，在初中数学中占据着较高地位，贯穿于初中数学的始终。数学最值问题教学质量的高低在一定程度上影响着我国初中生的数学学习成绩，甚至对学生以后的数学学习水平和能力有着深远影响。我国在初中数学最值问题教学方面取得了重大进展，但是在实际的初中数学最值问题教学过程当中，仍存在着各种各样的问题需要解决。有关部门及人员应该深入研究我国初中教师在初中数学最值问题教学方面出现的问题，针对出现的问题提出相应的解决策略，为我国初中数学教师在初中数学最值问题教学方面的发展提供借鉴与参考。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
初二最值问题的基本结构和解题策略
初二最值问题的基本结构和解题策略嘿，大家好，今天咱们聊聊初二的最值问题，这可是个挺有趣的数学话题哦。
说到最值问题，很多同学一听就觉得头疼，心想：“这玩意儿怎么这么复杂呀？”别担心，咱们把它拆开来，就像剥洋葱一样，一层一层来，慢慢弄清楚，保证你听完后觉得这简直是小菜一碟。
最值问题其实就是找最大值和最小值的事情。
听起来是不是有点儿高大上？其实就像咱们在生活中找最爱吃的食物一样，比如说，谁不想知道今天的午餐是炸鸡好，还是披萨好呢？同样，数学里也是让我们找出某个函数或者数值中的最大或最小。
这就像在众多的选择中挑出最心仪的那个，想想，生活中不也经常面临这样的选择吗？最值问题常常出现在函数图像中，咱们可能会看到一条曲线，曲线的高点和低点就是咱们要找的“最值”了。
就像一座山，山顶是最值的高峰，山谷则是最值的低谷。
你看看，数学和大自然其实有很多共同之处。
很多同学在求最值的时候，总是对图像感到陌生，其实把它想象成一幅风景画，多美呀，曲线的起伏就像山川河流。
咱们还需要用一些技巧来帮助自己找到最值，譬如说利用导数。
这可是一种神奇的工具，能帮你把复杂的问题变得简单，就像有了魔法一样。
如果你发现一条曲线的斜率为零，那恭喜你，这里很可能就是一个最值点，当然了，别忘了检查一下，是不是最大值或者最小值哦，真是让人紧张又刺激呢。
再说说约束条件，最值问题里常常会有一些限制，就像你在商场买东西时，口袋里总有一个预算限制，不能随便挥霍。
数学题里的这些限制就叫做约束条件。
你得在这些条件下，找到一个既满足条件又是最值的结果，这就像你在超市挑选打折商品时，要找性价比最高的那款。
咱们可以聊聊一些常用的解题策略。
理解题意是关键，像是看懂菜单，知道自己想吃什么。
如果一开始就搞不清楚问题在哪儿，那可真是“瞎子摸鱼”了。
把题目中的条件和要求列出来，像列购物清单一样，方便你理清思路。
再就是图像法，画个图，标记一下高低点，看得明明白白，脑海中就有了一幅图景，思路自然就清晰了。
例论初中代数“最值问题”的策略和技巧
例论初中代数“最值问题”的策略和技巧发布时间：2023-03-31T05:33:52.513Z 来源：《中国教工》2023年1月第1期作者：冉卫国[导读] 最值问题是一类综合性较强的数学问题，包含代数计算、方程（含参数的方程组）、不等式（组）、函数的单调性、几何计算与证明、对称等数学知识。
冉卫国重庆市华蓥中学校 401132摘要：最值问题是一类综合性较强的数学问题，包含代数计算、方程（含参数的方程组）、不等式（组）、函数的单调性、几何计算与证明、对称等数学知识。
其往往以难题形式出现，学生感到解题十分困难。
而教材对这一知识没有专门章节进行系统阐述，更加大了学生学习的难度。
这一部分知识可以极大的锻炼学生的逻辑思维和抽象思维能力，培养学生的数学核心素养。
所以，本论文将选取此话题作为研究的核心，归纳总结出解决此类问题一般的思想和方法。
从而给一线教师的教学和学生的学习提供一些切实可行的指导。
关键词：最值；数值分析；大小关系引言：新一轮的教育教学改革悄然来临，这也对初中数学的教学工作提出了新的要求与挑战。
即：初中数学教学不仅要遵循以人为本的原则，更要突出知识的实用性。
最值作为初中数学知识板块的重要组成部分，与初中数学中的很多知识都存在着密切的联系。
这一部分知识不仅可以帮助学生解决数学理论问题，而且可以帮助学生解决许多现实问题，具有很强的理论性和实用性。
也能极大地培养初中学生的抽象思维和逻辑思维。
所以，初中数学应该重视最值的教学工作。
一、强化基础知识，注重知识关联不等式是初中数学的重要知识板块，可谓是贯穿始终，它可以与数列，导数，解析几何，解三角形等多个知识结合起来考察取值范围或求最值的问题。
题目类型丰富，涉及知识面广，可以极大的锻炼学生的抽象思维和运算能力。
虽然它考察的形式丰富，但数学问题“万变不离其宗”，归根结底还是要运用基础知识和基本性质来对题目进行解答。
解三角形是初中数学知识的一个重要组成部分，也是考察的重点内容，它的知识相对较为简单，在试题中出现的位置也相对比较靠前，但是一旦当解三角形与不等式的知识联系起来之后，题目立刻就会变得灵活性大，综合型强，涉及知识面广，使得部分学生感到无从下手。
解析几何中最值问题的九种解题策略
解析几何中最值问题的九种解题策略（广东省封开县江口中学 526500） 黎伟初解析几何中涉及最值问题常有求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
这些问题的处理有九种解题策略。
一．代数策略 解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的关系。
是一门用代数方法研究几何问题及用几何意义直观反映代数关系的学科。
因此在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件具有明确的互动函数关系时，不妨可考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决。
1．二次函数法 利用二次函数求最值要注意自变量的 取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。
例1．若椭圆14922=+y x 上点P 到定 点A （a ，0）（0＜a ＜3）的距离最短是1 ，则实数a 的值是 分析：设椭圆上一点P （3cos θ，2sin θ），()()220sin 2cos 3)(-+-==θθθa f PA ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2254453cos 5a a θ① 当350≤<a 时，因为1530≤<a ，所以 当a 53cos =θ时， 有f （θ）= 1544)53(arccos 2=-=a a f ，得)(35215)(215舍或舍>=-=a a 。
② 当335<<a 时，因为59531<<a ，所以当cos θ=1时，)0()(min min f f =θ1544)531(522=-+-=a a ，得a =2 或a = 4（舍）， 综上得a = 2． 2．单调性 若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。
例2．已知圆C ：（x + 4）2 + y 2= 4， 圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 相外切，圆D 与y 轴交于A 、B 点，点P 为（–3，0），当点D 在y 轴上移动时，求∠APB 的最大值。
初中数学学习中的解题思路分析(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学学习中的解题思路分析第一篇范文在初中数学学习中，解题思路分析是培养学生逻辑思维、提高解决问题能力的重要环节。
本文从以下几个方面对初中数学学习中的解题思路进行分析：理解题意、寻找解题规律、运用数学知识、转化问题、检验答案。
一、理解题意理解题意是解题的第一步，也是关键一步。
在解题过程中，要仔细阅读题目，弄清楚题目的已知条件、所求目标以及题目中的关键词。
对于一些复杂题目，还需要对题目进行逐步分解，明确各个部分之间的关系。
二、寻找解题规律寻找解题规律是解题过程中的核心环节。
通过观察题目，找出已知条件与所求目标之间的关系，运用已掌握的数学知识，寻找解决问题的方法。
在寻找解题规律时，要注意以下几点：1.熟悉各类数学运算规则，如加减乘除、平方、立方等。
2.掌握基本数学公式，如勾股定理、平方根、绝对值等。
3.了解数学中的性质和定理，如奇偶性、质数与合数、同底数幂的乘法等。
4.学会运用图形辅助解题，如画图、标注关键点等。
三、运用数学知识在找到解题规律后，就要运用所学的数学知识来解决问题。
这一环节需要学生熟练掌握各类数学运算，能够灵活运用基本公式和定理。
同时，还要注意将实际问题转化为数学问题，运用数学语言和符号进行表达。
四、转化问题转化问题是解题过程中的一种重要策略。
在面对复杂问题时，要学会将问题简化，将复杂问题转化为简单问题。
转化问题的方法有：1.分解问题：将复杂问题分解为若干个简单问题，逐一解决。
2.替换变量：将复杂问题中的变量替换为易于处理的变量，从而简化问题。
3.改变问题形式：将问题转化为另一种形式，如几何问题转化为代数问题等。
五、检验答案在求得答案后，要进行检验。
检验的方法有：1.代入法：将求得的答案代入原题，看是否满足题意。
2.逻辑推理：运用逻辑推理，检查答案的合理性。
3.互换法：将答案中的变量进行互换，检查是否仍然成立。
通过以上五个环节，学生可以更好地理解初中数学学习中的解题思路，提高解题能力。
例谈最值问题的基本解题策略
・
．
．
使条件 成 立 的 点坐 标 可 能 是 （ ， ） 者 （ ， ０３ 或 ０
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又 Ｑ（一６， ）， ． ’ ０
１
・
正 三 角 形 的性 质及 图 形 运 动 融 于 一 体 ， 查 了 学 生 对 图 考
形的观察 解 键 是抓住 图中线段 Ｏ Ｃ Ｅ，Ｅ的不变 量 ， 将求 Ｏ Ｃ的最 大值 转 化为 Ｏ Ｃ与 Ｏ Ｅ＋Ｅ Ｃ进行 比较 的 问题 ， 只有 当 ０， Ｃ Ｅ，
．
．
①当 Ｍ（ ，） ， Ｏ３ 时 直线 Ｑ Ｐ的解析式是 Ｙ＝
析 问题 ， 决 问题 的 能力 ， 以无 论 从 考 试 角 度 及 能 力 培 解 所
沈 岳 夫
三点共线时才能取 得最大值．
策 略 ２ 巧 用 “ 到直 线 垂 线 段 最 短 的 性 质 ” 最 值 点 求
例 ２ （０ ０ 年 桐 乡 市 ） ２１ 如
图 ３ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 知 ， 已 △ Ｂ 是 等 腰 三 角 形 （ Ｂ 为 底 Ｏ
＋ ； ３
１
②当Ｍ（， ３时， Ｑ Ｏ 一 ） 直线 Ｐ的解析式是Ｙ ÷ ３ ＝一 － ；
寸’擞 － （ ｌ年 ０ 初中 ） ？ ７ ２ｏ 第１ ｏ 期・ 版
③ 当 Ｍ（ ，２ 时 ， ０ １ ） 直线 Ｑ Ｐ的解析式是 Ｙ＝ ｘ＋ ２ ２ １； ④ 当Ｍ（ ， ２ 时， Ｏ 一１） 直线 Ｑ Ｐ的解析式是 Ｙ 一 ２ ＝一 １；
例 １ （ ０ ９年 潍 坊 ） 知 边 长 为 ａ 的 正 三 角 形 ２０ 已
Ａ Ｃ 两顶点 Ａ， Ｂ ， Ｂ分别在平 面直角坐 标系 的 轴 ， 的 Ｙ轴 正半轴 上滑动 ， Ｃ在第一象 限 ， 点 连接 Ｏ ， Ｏ Ｃ 则 Ｃ的长的 最大值 是
九年级中考 几何综合题型之最值问题：解题策略与常考题型(教师版)
教学过程一、复习预习最值问题是初中数学中的一种常见题型，而利用勾股定理、轴对称等知识求图形中的最值，是近年中考的热点问题第一。
对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径。
二、知识讲解1.两条线段和的最小值。
（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：P m AB m A BmA B PmAB A'n mA B QPnmABP'Q' n mA BQ PnmAB B'QPnm A BB'A'n mA B（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A / 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.A BED ABA'B'm n APmnAB mn A mn A PQ mnAA"A'mA B m A BB'P P'变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.（二）、一个动点，一个定点：1、动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） （1）、两直线在定点的同侧：（2）、两直线在定点的两侧（定点在两直线的内部）：2.求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； 1、点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
最值问题的解题策略
ＢＤ ：３
图３
例 １ （ 顺市 ） 安 如图 １ ｏ０的半径 Ｏ ｌ ｃ 弦 ， Ａ＝ Ｏｍ， Ａ Ｂ＝１ｅ ， ２ ｒ Ｐ为 Ａ ａ Ｂ上一动 点 ， 则点 Ｐ到 圆心 ０的最短 距离 为— 解 — ｃ． ｍ
于这条直线的对称点， 连接该对称点与另～点与该直 线的 交点就是所求点 ， 利用勾股定理可求最短距离．
４ 利 用一 次 函数 或 二 次 函 数 的 性 质 求最 值
售单 价 之 间 的关 系式 ； 销售 单价 定 为 多少 元 时， 商场
可获得最大利润 ， 最大利润是多少元 ？ （ ） 该商场获得 利 润不低 于 ５０元 ， ３若 ０ 试确定 销 售 单价 的范 围．
点评
将立体图形展开成平面 图形求最值 的题 目特
点是 ： 求立体几何体表面不在同一平面上的两点之间的最 短距离． 解法是将几何体展开 ， 转化成求 同一平 面内两点 的最短距离 ， 利用“ 平面内， 两点之间 ， 线段最短” 求解．
３ 利 用轴 对 称 求最 值 例 ３ （ 门 市 ） 图 ４ 一 次 荆 如 ，
ｒ５ ６ ｋ＋ ｂ＝５ ５．
例４ （ 内江 市） 市 部分 地 区近 年 出现持 续 干旱 该
现象 ， 为确保 生产生 活用水 ， 村决定 由村里 提供一 部 某
分 ， 民捐一部分 的办法筹集 资金 维护和 新建一批储 水 村 池． 该村共有 ２３户村 民， ４ 准备 维护 和 新建 的储 水池 共 有２ ０个 ， 费用和可供使用 的户数及用地情况如下表．
． ｙ
过 Ｄ作 Ｏ Ｌ Ｂ于 Ｐ ， Ｐ ＿Ａ
由垂线段最短 ， Ｐ在 Ｐ 位置时 ， 当
初中数学问题解决的策略与技巧
初中数学问题解决的策略与技巧在初中数学的学习中，我们常常会遇到各种各样的问题。
解决这些问题不仅需要扎实的基础知识，还需要掌握一定的策略和技巧。
本文将为大家介绍一些初中数学问题解决的常用策略与技巧，帮助同学们更好地应对数学学习中的挑战。
一、认真审题审题是解决数学问题的第一步，也是最为关键的一步。
很多同学在解题时往往因为粗心大意，没有认真审题，导致理解错误，从而得出错误的答案。
因此，我们在审题时要做到以下几点：1、逐字逐句阅读题目，理解每一个字、每一个词的含义。
对于题目中的关键词、关键条件，要用笔圈出来，引起自己的注意。
2、注意题目中的条件和限制。
有些题目会给出一些特殊的条件，比如取值范围、图形的性质等，这些条件往往是解题的关键。
3、理清题目中的数量关系。
对于涉及到计算的题目，要弄清楚各个量之间的关系，是相加、相减、相乘还是相除。
例如，有这样一道题目：“一个长方形的长是宽的 2 倍，周长是 18 厘米，求这个长方形的长和宽。
”在审题时，我们要注意到“长是宽的 2 倍”这个关键条件，设宽为 x 厘米，则长为 2x 厘米，再根据周长的计算公式列出方程：2(x ＋ 2x) ＝ 18，从而求出长和宽。
二、画图辅助在解决一些几何问题或者涉及到数量关系比较复杂的问题时，画图可以帮助我们更直观地理解题意，找到解题的思路。
画图的方法有很多种，比如线段图、示意图、坐标图等。
比如，在解决行程问题时，我们可以画出路程与时间的关系图，帮助我们分析速度、时间和路程之间的关系；在解决几何问题时，我们可以画出图形，标注出已知条件和所求的量，这样可以更清晰地看到图形之间的关系。
例如，“甲、乙两人从相距 10 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走 3 千米，乙每小时走 2 千米，问他们几小时后相遇？”我们可以画出线段图：｀｀｀甲 3 千米/小时乙 2 千米/小时｜————————————————————｜10 千米｀｀｀通过线段图，我们可以很容易地看出甲、乙两人走的路程之和等于两地的距离 10 千米，从而列出方程：3x ＋ 2x ＝ 10，解得 x ＝ 2，即他们 2 小时后相遇。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】初中数学最值问题是数学中常见且重要的题型，解题需要掌握一定的策略和技巧。
本文从理解最大值和最小值的定义开始，逐步介绍如何寻找函数的极值点、应用导数求解最值问题、利用比较法解决最值问题以及考虑约束条件的最值问题。
通过对这些策略和技巧的学习和实践，可以帮助初中生更好地解决各种最值问题。
在结尾部分，总结了初中数学最值问题解题的关键方法，并强调了通过不断练习来提高解题能力的重要性。
通过本文的学习，读者可以更加熟练地解决各种复杂的最值问题，从而提高数学解题的能力和水平。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、最大值、最小值、定义、函数、极值点、导数、比较法、约束条件、练习、提高能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧在学习初中数学时，最值问题是一个常见且重要的题型。
解决最值问题需要一定的技巧和策略，只有掌握了正确的方法才能高效地解题。
要理解最大值和最小值的定义。
最大值指的是函数取得的最大数值，最小值则是函数取得的最小数值。
在解决最值问题时，要明确函数的最大值和最小值在哪个区间内。
需要寻找函数的极值点。
函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
通过求导或者观察函数的图像来找到函数的极值点。
可以应用导数求解最值问题。
通过求导数，可以得到函数的增减性和拐点，从而找到函数的最值点。
还可以利用比较法解决最值问题。
将两个函数进行比较，找到它们的交点，从而确定最值点。
要考虑约束条件的最值问题。
有时候在解决最值问题时会受到一些条件的限制，需要将这些条件考虑进去，综合考虑才能得到最终的解答。
初中数学最值问题需要多方面的考虑和分析，掌握了上述的解题策略和技巧，才能更好地解决这类问题。
不断练习提高解题能力也是非常重要的。
通过不断练习，可以更加熟练地运用这些方法，提高解题的效率和准确度。
希望同学们能够认真学习和掌握这些技巧，更好地应对各类最值问题。
2. 正文2.1 理解最大值和最小值的定义最大值和最小值是数学中常见的概念，在解决最值问题时，首先需要理解它们的定义。
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧
一、确定目标
解决线段最值问题，首先要明确目标，即要找出线段之间的关系，并确定所要解决的问题。
例如，求两条线段之和的最小值，就要先找到这两条线段的关系，并确定它们的和。
二、定义变量
定义变量是解决线段最值问题的关键步骤。
要明确各线段的长度，并以此作为变量。
例如，在求两条线段之和的最小值时，可以将其中一条线段的长度定义为x，另一条线段的长度定义为y。
三、建立模型
建立模型是解决线段最值问题的核心步骤。
要根据问题建立数学模型，如使用不等式、函数或几何知识等。
例如，在求两条线段之和的最小值时，可以使用不等式或函数关系来表示线段之和，并找到最小值。
四、确定限制条件
解决线段最值问题时，要明确限制条件。
限制条件可以是线段的长度、角度等。
例如，在求两条线段之和的最小值时，限制条件可能是线段x和y的长度之和不能超过某个值。
五、求解最值
求解最值是解决线段最值问题的关键步骤。
要根据建立的模型和限制条件，使用适当的数学方法来求解最值。
例如，在求两条线段之和的最小值时，可以使用不等式的性质或求导方法来求解最值。
六、整合答案
整合答案是解决线段最值问题的最后一步。
要根据求解结果，整合答案。
答案可以是具体的数值或解决问题的策略。
例如，在求两条线段之和的最小值时，结果可能是x+y的最小值为3单位长度，此时可以采取的策略是将两条线段按照这个长度进行调整。
初中数学几何最值问题探究——以“将军饮马”问题模型的解题策略为例
***************.com投稿邮箱:***************.com 数学教学通讯2020年5月（中旬）<初中数学几何最值问题探究———以“将军饮马”问题模型的解题策略为例丁力山东省青岛西海岸新区六汪初级中学266500［摘要］几何最值问题是初中数学常见的问题类型，涉及众多知识点，问题形式也较为多变.该类问题的求解需要把握常见的问题模型，理解问题本质，结合相关知识来合理转化.文章对几何最值问题加以探究，解读基本模型，探究典型问题，提出相应的学习建议.［关键词］几何；最值；模型；将军饮马；线段和作者简介:丁力（1987-），本科学历，中学二级教师，从事初中数学教学方面研究，曾参与山东省基础教育教学改革项目《“学帮理练教学”的研究与实践》，曾获青岛市数学优质课比赛二等奖.问题背景从最值问题的特点来看,其类型主要分为几何与代数两类,其中几何最值更为常见,也最具代表性,其中涉及角度、常见的几何图形、坐标轴和抛物线等知识内容,重点考查学生“两点之间线段最短”“垂线段最短”“线段平移”等知识点.学习时需要掌握常见的问题原型,例如将军饮马和选址问题等.求解的总体思路是利用轴对称特性来实现线段的由“折”化“直”,从而可以利用几何定理来确定最值情形.模型解读几何最值的问题形式较为多变,但其中的基本几何模型是固定的,模型如下.模型条件:如图1所示,点A 和B 是直线l 同侧的两个定点,点P 是直线l 上的一个动点.模型问题:分析点P 的位置,何时可使PA+PB 的值最小.解题方法作点A 关于直线l 的对称点,设为A ′,连接A ′B ,与直线l 的交点就为满足条件时点P 的位置,此时PA+PB=A ′P+PB=A ′B.方法解读由轴对称特性可知PA =A ′P ,从而将问题转化为求A ′P+PB 的最小值,其中涉及A ′、P 和B 三点,基于“两点之间线段最短”原理可知:当A ′、P 和B 三点共线时,A ′P+PB 取得最小值,从而实现了线段的化“折”为“直”.问题探究几何最值的问题类型有多种,设问形式也不相同,在实际求解时需要结合相应的知识来简化问题,然后结合几何基本模型求解,下面将对其中常见的三种最值问题进行探究.类型一:几何中的线段和最值例1如图2所示,四边形ABCD 为正方形,△ABE 为等边三角形,点M 是对角线BD （不与点B 重合）上的一点.现将线段BM 以点B 为旋转中心逆时针转60°,点B 落在了点N 处,连接EN 、AM 和CM ,回答下列问题.M AC B NDE图2(1)求证:△AMB 与△ENB 全等.(2)①点M 位于何位置时,线段和AM+CM 可取得最小值;②点M 位于何位置时,线段和AM+BM+CM 可取得最小值,请说明理由.解析(1)根据正方形和全等三角形的性质即可获得全等条件,过程略.(2)①点M 位于对角线BD 上,根据“两点之间,线段最短”可知线段AC 与BD 的交点为M 时就是最小值的情形,此时点M 为BD 的中点.②求线段和的最小值,需要采用等线段转化的方式,连接CE 、MN ,过点E 作CB 延长线上的垂线,垂足为点F ,如图 3.由(1)问可知△AMB ≅△ENB,则有AM=EN ,∠MBN=60°,MB=NB ,所以△BMN 为等边三角形,故BM=MN ,则AM+BM+CM=EN+MN+CM.根据“两点图1P A A ′Bl79***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年5月（中旬）之间,线段最短”,当点E 、N 、M 和C 四点共线时,EN+MN+CM=EC ,点M 位于EC 与BD 的交点处,此时距离最短.MAC B N DE F图3评析上述是关于几何图形的线段和最值,涉及三线、四点,但求解的基本思路和原理是一致的,采用轴对称变换的方式来化“折”为“直”,结合共线原理来确定最值情形.几何最值问题实则就是几何动点问题,求解的过程可以视为化“动”为“静”,因此需要采用动态的眼光来审视问题,结合几何定理来严谨论证.类型二:几何图形的周长最值例2如图4所示,在四边形ABCD 中,已知∠C=50°,∠B=∠D=90°,点E 和F 分别位于线段BC 和DC 上,试分析△AEF 的周长取得最小值时∠EAF 的度数.A CBD E F图4解析本题目属于周长最值问题,求∠EAF 的度数显然需要首先确定△AEF 周长最小值时的情形.L △AEF =AE+AF+EF ,显然需要参照基本最值模型,通过轴对称转化的方式来实现共线,确定最值情形.过点A 作关于BC 的对称点M ,以及关于CD 的对称点N ,连接MN ,设与BC 和CD 的交点为E 和F ,此时点M 、E 、F 、N 四点共线,AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN ,△AEF 的周长最小.根据轴对称特性可知∠M =∠BAE ,∠N=∠DAF ,在四边形中∠BAD=130°,在△AMN 中有∠M +∠N =50°,所以∠BAE+∠DAF=50°,则∠EAF=130°-50°=80°.评析上述是关于几何周长的最值问题,结合周长公式很容易将其转化为线段和的最值,其特点在于涉及的线段、关键点更多,因此在实际分析时需要多次进行轴对称变换,但基本原理不变.类型三:抛物线背景下的线段最值例3在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x 2+bx+c （b 和c 为常数）的顶点为P ,等腰直角三角形ABC 的顶点坐标为A (0,-1),C (4,3),直角顶点B 在第四象限.AC B O N xy 图6(1)若抛物线经过点A 和B ,试求抛物线的解析式.(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC 上沿AC 方向滑动距离为2√时,试证明:平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点.(3)在(2)的情况下,若沿AC 方向任意滑动时,设抛物线与AC 的另一交点为Q ,取BC 中点N ,分析NP+BQ 是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由.解析本题目的第(3)问为抛物线背景下的线段和最小值问题,可以参照将军饮马问题的模型,解题的关键是确定图中哪条直线为“河”,一般情况下以角平分线作为河.作图过程与基本模型相同,差异点主要集中在求解线段长上,抛物线中可利用点坐标的距离公式来求线段长.可求得抛物线的解析式为y=-12x 2+2x -1,作点B 关于线段AC 的对称点B ′,易得点B ′坐标为(0,3),由对称特性可知BQ=B ′Q ,设AB 的中点为F ,连接QF 、NF 、QB ′,如图7所示.分析可知FN ∥P ′Q ,且FN=P ′Q ,则P ′QFN 为平行四边形,则有NP ′=FQ ,则NP ′+BQ=FQ+B ′Q ≥25√,当B ′、Q 、F 三点共线时,NP ′+BQ 可取得最小值,且最小值为25√.评析上述是抛物线背景下的线段和最值问题,抛物线是初中数学的重点内容,该内容含有代数与几何的双重特性,该背景下的线段和最值问题具有两大特点:一是计算线段长需要结合点坐标,二是确定模型中的对称轴需要结合其中的角平分线.而解题的总体思路是相一致的,通过轴对称变换来实现线段和的化“折”为“直”.思考建议求解几何最值问题的策略有很多,“将军饮马”问题模型是最常用的方法策略,适用于单纯的几何线段和最值、几何图形的周长最值以及抛物线背景下的线段最值.解题时需要明晰模型破题的核心内容———轴对称线段等长变换,上述呈现了三类问题的求解思路和方法技巧,下面提出几点学习建议.1.关注问题模型,掌握方法本质本文的最值模型的解析过程中涉及了轴对称变换和“两点之间,线段最短”的共线定理,也是解决几何线段和最值问题的核心内容.学习该类问题的解题策略就需要关注模型本质,了解解题思路的构建方法,即通过轴对称变换使同侧线段转换到参考线的两侧,从而为后续的点共线、化“折”为“直”提供可能.因此在探究经典问题时需要深入了解问题模型,掌握解题原理,总结问题特点,强化基础知识,提升解题灵活性.2.强化推理能力,提升解题思维几何最值问题是中考数学的经典问题之一,在探究解决过程中需要通过轴对称变换来转化问题,利用共线定理来确定最值情形.该过程需从动态角度来加以分析,因此对学生的思维方式和能力有着较高的要求,在实际探究时需要注重分析推理,提升解题思维.而在实际教学中,教师要有意识、有目的地通过变换问题条件、重组问题结构,引导学生大胆猜想、严谨论证,亲身经历数学模型建立、证明的过程,促进学生数学思维的发展.A CB D EFN M图5AC B ON xy P ′P Q F B ′图780。
初中数学中的“最值问题”解题策略研究
初中数学中的“最值问题”解题策略研究发布时间：2021-11-25T08:22:05.768Z 来源：《中小学教育》2021年第439期作者：琚云龙[导读] 在解题的过程中可以锻炼学生的灵活性，因此，要锻炼学生的最值问题求解能力。
安徽省池州市东至县长岭中学247230摘要：随着新课改的不断深入，教师在教学过程中不仅要重视知识点的传授，更重要的是学生综合能力的提升。
最值问题是初中数学知识中重要的一点，教师在教学过程中要引导学生认识最值问题、掌握不同的解题方法，让学生更加清晰地认识最值问题。
本文分析了初中数学中最值问题的几种类型，重点研究了初中数学中最值问题的解题策略，希望能对初中数学的最值教学产生促进作用。
关键词：初中数学最值问题解题策略一、初中数学最值问题的主要类型1.函数最值问题。
函数最值问题是初中数学学习的重要组成部分，函数最值分为函数最小值与函数最大值，在函数的最值问题中，常见的有求利润的最大值等等。
最值问题涉及到日常生活中，在解题的过程中可以锻炼学生的灵活性，因此，要锻炼学生的最值问题求解能力。
2.几何最值问题。
在最值问题的解题过程中，还有一种最常见的就是利用几何来求最值问题。
几何问题也是数学知识的重要组成部分，最常见的就是两点之间线段最短的解题方法。
常见的在立体几何中求最值问题，通常立体几何不容易发现答案，这时就需要转化为平面几何，就很容易观察到最值问题的解题思路。
运用几何方法来解决最值问题，灵活性大，考验了学生的思维能力以及综合知识能力。
二、初中数学最值问题的特点知识性是数学最值问题的特点之一。
最值问题在解题过程中涉及到的知识点十分广泛，比如不等式的性质、方程组等方面的知识。
在最值问题的解题过程中，学生可以将新知识与旧知识紧密结合，会涉及到数学学习过程中的多个知识点，学生在学习的过程中不仅可以学习新知识，还能更好地检验旧知识的掌握情况。
在进行最值问题的解题过程中，可以将初中数学中所学的大部分知识紧密结合，形成一个完整的知识体系，为将来的数学学习打下良好的基础。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
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在一定的方案 中，花费最低 、消耗最少 、产值最 高 、获利最 大等 ；解数学题时 ，我们 也常 常碰 到求某 个变量 的最大值 或最小值之类的问题 ，这就是 我们要讨论 的最值 问题 ，求
最值问题的方法归纳起来有如下几点 ： （１）运用 配方法求最值 ； （２）构造一元 二次 方程 ，在方程 有解 的条 件下 ，利用
文献标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）１７—００３３—０２
一 、 代 数 最 值 解 法举 例
Ｓ△Ａ０Ｄ ＋１３．
于是 求 四边 形 ＡＢＣＤ 面积最 小值 问题 转化 为求 Ｓ＝
在生活实践 中，人们经 常面对带有“最 ”字 的问题 ，如 Ｓ△删 ＋ＳＡＡＯＤ最小值问题．
角形面积 的和 的关 系 ，可将求 ＢＢ ＋ＣＣ ＋ＤＤ 的最值 问
题 转化为为确定 ＡＰ的最值．
连 结 ＡＣ、ＤＰ．
·’ ．
ＡＢＣＤ为 正 方 形
，且 边 长 是
１，且
ＳＡＡ ＝Ｓ
．
ｓ ＡＢＰ ＋ ｓ ＡｃＰ ＋ Ｓ ＡＤＰ ＝ Ｓ ＡＢＰ ＋ ＳＡＡｃＰ ＋ ＳＡＡＣＤ ＝
．
ｓ正方形＾口ｃＤ：ｌ，即 ＡＰ ．曰曰，＋ｌ Ａｐ ．
ＣＣ，＋ ｌ Ａｐ
．Байду номын сангаас
ＤＤ ，：
ａ与 ｃ—ａ的奇偶性 相 同 ，又 ｌ８ 是偶 数 ，故 ｃ＋ａ、ｃ—ａ必
１
同为偶数 ．又 （ｃ＋ａ）（Ｃ—ａ）＝１８ ＝２ Ｘ ３ ＝（３ ×２）Ｘ ２ １，即ＢＢ＇ ＣＣ ＤＤ 寿·
划、随机与概率、风险与决策、竞争与博弃、模拟与仿真、模式与分类等人类在社会活动和科技生产活动 中经常需要考
虑的重要 问题 ，从数学与几何两个方面的视 角进行分析思考 ，给 出解这些问题的定量化方法和途径．
关键词 ：判别式 ；函数思想 ；整数的奇偶性 ；对称 变换 ；图形变化 中的特 点
中图分类号 ：Ｇ６３２
］，整理得 ｙ＝ 一２ ｃ、Ｄ 作 射 线 ＡＰ 的 垂 线 ，垂 足 分 别 为
＋８．
由二 次函数得性质 可知 ，当 ＝２时 ，Ｙ有最 小值 ，最
小值是 ６．即当 Ｐ点在 ＢＣ的中点时 ，ＡＡＤＱ的面积 最小 ，
最 小 面积 是 ６．
３．利 用整 数 的 奇偶 性
例 ３ 一 个直角三角形 的三条边 的长 均为整数 ，已知
而 口＞０，从而 ｎ ＞０，于是 必须 Ｓ 一１４４＞ １０，因为 Ｓ＞
０，所 以最小值 Ｓ＝１２．从而 Ｓ￣ｒｅＡ ∞最小值为 ２５．
２．运 用 函数 思 想 例 ２ 如 图 ２，正方形 ＡＢＣＤ的边 长为 ４，Ｐ是边 ＢＣ上一点 ，ＱＰＬＡＰ交
ＤＣ于 Ｑ，问 当 Ｐ在 何位 置 时 ，ＡＡＤＱ 的面积最小 ？并求 出这个最小值．
判 别式求 最值 ；
（３）建立 函数模 型求最值 ； （４）利用基本不等式或不等分析法求最值．
１．并０用 ４别 式 例 １ 已知 四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ与 ＢＤ交于点 ０，若 ．ｓ△ ∞ ＝４，Ｓ△ ∞ ＝９，求 四边形 ＡＢＣＤ的面积最小值．
分析与解 答 如 图 １，过 Ａ、Ｃ作 ＢＤ的垂线 ，垂 足为 Ｆ、Ｅ，设 ＡＦ＝ｈ。， ＣＥ＝ｈ２，ＢＤ＝。，ＤＤ＝ ，则 ＯＢ＝０一
Ｂ 、ｃ 、Ｄ ，求 ＢＢ ＋ＣＣ ＋ＤＤ 的最 大值
或 最 小 值 ．
分析与解答正 方形 ＡＢＣＤ是 确 定 的 ，线段 ＢＢ 、ＣＣ 、
ＤＤ 的 长度 随 Ｐ 的 位 置 的 变 化 而 变 化 ．ＢＢ 、ＣＣ 、ＤＤ 分 别
是 ＡＡＢＰ、ＡＡＣＰ、ＡＡＤＰ中 ＡＰ边上 的高 ，若 运用 几 个三
２０１８年第 １７期总 第 ４０２期
设 ＡＡＤＱ的面 积 为 Ｙ，曰Ｐ＝ ，由条件 易得 ＡＡＢＰ
２．利 用 面 积
ＡＰＣＱ ． ＝器
＝南，解得ＣＱ： ： ，ｙ＝ 例 ５ 如 图４，正方形 ＡＢＣＤ的边长 为 １，Ｐ为 ＢＣ边上任意一点 ，分别过 Ｂ、
Ｄ ·ＤＱ＝ １ ×４·［４
一
分析 与解 答 根 据作 图实 验 可
图２
知 ，随着 Ｐ点在 ＢＣ上运 动 ，Ｑ点将 在
ＳＡＣＯＤ＂ ￣＂９，从 而 ＝ ８
８１ （１）
， ： ＝
ＢＣ上运动 ，但在 运 动过 程 中 ＡＡＢＰ与 ＡＰＣＱ始终 相 似 ， 因此可利 用 相似 三 角形 的性 质表 示 出 ＡＡＤＱ 的面 积 与
２０１８年第１ ７期总第４０２期
数理化 解题研究
＝
初中数学最值 问题研究 与解题策略
陆长 蓁
（江 苏省扬 州 市邗 江 区美 琪学 校 ２２５１００）
摘 要 ：数 学 中最大值 、最小值 问题 ，运 用到社会 实践 、生活 实际中所体现 出来的就是 最优化思想 ，所谓 最
优 ，就是我们 所期 望的 目标 量能达到 最大或 最小．本 文选择 了寻优 与优 化、数 据与规律 、发 现与 变化 、计 划与规
它 的一条 直 角 边 的长 是 １８，那 么 另 一 条 直 角 边 的 长 有
种可能 ，它的最大值——
一
一
分析与解答 设直角三角形 的直 角边是 ａ，斜边是 ｃ，
由勾股定 理可得 ｃ ＝ａ ＋１８ａ ，移项 ，因式分解 ，得 （ｃ＋ａ）
（ｃ—ａ）＝１８ ．因 为 Ｃ、ａ是 正 整 数 ，所 以 ｃ＋ａ＞ｃ—ａ，且 ｃ＋
． 由 已知 条 件 得 ：
Ｄ
（。一 ） 。＝ｓ ∞ ＝４， ＝
图１
即 ｓ＝ １（。 ） ：＋ １
一
（２）
把 （１）代 人 （２）得 Ｓ ： ０ 一
——（ ———二—— —— 一 ＝
二
黜 一
化 简 为
（１３＋Ｓ） 一（１８一Ｓ）麟 ＋９ａ ＝０ （３） 若方程 （３）有实数根 ，必须有 △ ＝０ （１８＋Ｊｓ）。一３６ａ （１３＋Ｓ）＝ａ２Ｓ。一１４４＞１０．
又 Ｓ四边形ｄＢ∞ ＝Ｓ△ ０口＋Ｓ△ｃｏＤ＋Ｓ△ ０ｃ＋Ｊｓ△＾０Ｄ＝ Ｓ△ ０ｃ＋
之间的函数关系式 ，从 而可进一步求解．
收 稿 日期 ：２０１８—０２—１０ 作 者简 介 ：陆长蓁 （１９７９．６一），女 ，本科 ，中级教 师 ，从事初 中数 学教 学研 究
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３３ —
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数理化 解题研究