第八章 第三节

第三节空间点、线、面的位置关系

A组三年高考真题（2016～2014年）

1. (2016·全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

A.

3

2B.

2

2C.

3

3D.

1

3

2.(2015·安徽，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()

A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

3.(2014·辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()

A.若m∥α，n∥α，则m∥n

B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α

4.(2015·浙江，13)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·湖南怀化一模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.

其中正确命题的序号是()

A.①和③

B.②和③

C.③和④

D.①和④

2.(2016·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()

A.存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥b

B.存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥b

C.存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α

D.存在唯一平面α，使得a ⊂α，且b ⊥α

3.(2016·湖南邵阳三中月考)设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )

A.若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α

B.若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β

C.若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β

D.若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α

4.(2015·安徽安庆模拟)b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是( )

A. ⎭⎪⎬⎪

⎫c ∥αb ⊂α⇒c ∥b B. ⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥βC. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αc ⊥β⇒α∥βD.

⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c c ⊂α⇒b ∥α 5.(2016·云南大理模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点.

(1)求证：AC ⊥平面SBD ；

(2)若E 为BC 中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并保持PE ⊥AC ，试指出动点P 的轨迹，并证明你的结论.

答案精析

A 组三年高考真题（2016～2014年）

1. A[如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，

又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，

∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .

故m 、n 所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小.

而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，因此∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32

，故选A.]

2.D [对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能

找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.]

3.B [对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥α，C 错误；对于选项D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交.D 错误.故选B.]

4.78 [连接DN ,作DN 的中点O ,连接MO ,OC .在△AND 中.M 为AD 的中点,则OM 綉12

AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，

ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |2

2|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78

.] B 组两年模拟精选(2016～2015年)

1.A [②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故选A.]

2.C[利用排除法，可以得到选C.]

3.D[因为n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β.由m ⊥β得m ⊥α.故选D.]

4.C[根据直线与平面垂直的性质，可以得到C 正确，故选C.]

5.(1)证明 连接SO ，∵底面ABCD 是菱形，O 为中心，

∴AC ⊥BD .又SA ＝SC ，∴AC ⊥SO .

而SO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面SBD .

(2)解 如图，取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN . 连接EM 、EN ，∵E 是BC 的中点，M 是SC 的中点，

∴EM ∥SB .同理，EN ∥BD ，又EM ∩EN ＝E ，∴平面EMN ∥平面SBD ，

∵AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN .

因此，当点P 在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ；

P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP .

故点P 的轨迹为△SDC 的中位线.