高等数学第二章2.1 2.2部分
高等数学教材二目录
高等数学教材二目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念及基本性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 一元函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的概念及其应用2.5 泰勒公式与应用第三章：函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的最值与最值问题3.3 简单的应用问题3.4 分类讨论与探究第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元法4.3 牛顿-莱布尼茨公式与应用 4.4 微分方程的基本概念4.5 可降次的微分方程第五章：定积分与定义5.1 定积分的概念与性质5.2 积分中值定理与应用5.3 积分的换元法与分部积分 5.4 可积函数与不可积函数5.5 微元法与应用第六章：定积分的应用6.1 曲线下的面积与弧长6.2 旋转体的体积与侧面积6.3 质量、质心与转动惯量6.4 弹性势能与物体受力6.5 场景模拟与实际问题第七章：多元函数的偏导数与全微分 7.1 二元函数与偏导数7.2 偏导数的连续性与可导性7.3 二元函数的全微分与近似计算 7.4 复合函数的求导法则7.5 总微分与偏导数的几何意义第八章：多元函数的积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与坐标变换8.4 曲线与曲面的面积8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数9.1 数列及其极限9.2 级数的概念与性质9.3 正项级数的审敛法与上下界9.4 绝对收敛与条件收敛9.5 幂级数与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性微分方程10.3 高阶线性常微分方程10.4 非齐次线性微分方程10.5 高阶线性方程的振动与抽样总结：通过本教材的学习，读者将对高等数学的核心概念及其应用有深入的了解。
每个章节都涵盖了特定的数学内容，从函数与极限开始深入探讨到常微分方程的应用。
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
高等数学基础教材目录
高等数学基础教材目录目录第一章导论1.1 数学的基本概念和历史1.2 高等数学的学习方法和技巧第二章极限与连续2.1 函数的极限2.1.1 定义与性质2.1.2 无穷小量和无穷大量2.2 连续性与间断点2.2.1 连续函数的基本性质2.2.2 间断点的分类与性质第三章微分学3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 函数的可导性与可导函数的性质3.2 微分中值定理与导数的应用3.2.1 罗尔定理及其应用3.2.2 拉格朗日中值定理3.2.3 柯西中值定理3.3 高阶导数与导数的计算3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 高阶导数的计算方法和性质第四章积分学4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的定义与性质4.1.2 定积分的定义与性质4.2 积分的计算方法4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法4.3 定积分的几何应用4.3.1 曲线长度与曲面面积的计算 4.3.2 平面图形的面积第五章无穷级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 部分和与数项级数5.1.2 数项级数的收敛与发散5.2 收敛级数的性质与判别法5.2.1 收敛级数的四则运算5.2.2 正项级数的判别法5.2.3 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的定义与性质5.3.2 幂级数的收敛域与展开函数第六章函数序列与函数级数6.1 函数序列的收敛与一致收敛6.1.1 函数序列的点态收敛与一致收敛 6.1.2 一致收敛的性质6.2 函数级数的收敛与一致收敛6.2.1 函数级数的和函数6.2.2 函数级数的一致收敛性质6.3 傅里叶级数与函数逼近6.3.1 傅里叶级数的定义6.3.2 函数逼近的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.1.1 多元函数的极限定义7.1.2 多元函数的连续性7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的定义与性质7.2.2 全微分的定义与性质7.3 多元函数的链式法则与隐函数定理 7.3.1 多元函数的链式法则7.3.2 多元函数的隐函数定理与参数方程第八章多元函数积分学8.1 重积分的定义与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 三重积分的定义8.2 重积分的计算方法8.2.1 二重积分的计算8.2.2 三重积分的计算8.3 曲线积分与曲面积分8.3.1 曲线积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的定义与性质第九章向量代数与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与坐标变换 9.1.1 空间直角坐标系的表示9.1.2 坐标变换与向量的坐标表示 9.2 向量的数量积与叉积9.2.1 向量的数量积的定义与性质 9.2.2 向量的叉积的定义与性质 9.3 空间中的直线与平面9.3.1 点、直线与平面的基本性质 9.3.2 直线与平面的方程式第十章偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念与分类10.1.1 偏微分方程的定义和分类10.1.2 偏微分方程的解的概念10.2 二阶线性偏微分方程的基本理论10.2.1 椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程 10.2.2 二阶线性偏微分方程的解法10.3 常见偏微分方程的应用10.3.1 热传导方程10.3.2 波动方程10.3.3 拉普拉斯方程第十一章级数展开与特殊函数11.1 正弦级数与余弦级数11.1.1 正弦级数的展开11.1.2 余弦级数的展开11.2 幂级数的展开与特殊函数11.2.1 幂级数的收敛域11.2.2 阶乘函数与伽玛函数11.3 勒让德多项式与贝塞尔函数11.3.1 勒让德多项式的定义与性质11.3.2 贝塞尔函数的定义与性质第十二章多元函数的微分学应用12.1 最值与条件极值12.1.1 多元函数的最值问题12.1.2 多元函数的条件极值问题12.2 多元函数的极值和最值求法12.2.1 概率与极值问题12.2.2 三元函数的最值问题的求解总结附录：数学符号与术语解释参考文献注：本教材目录仅供参考，具体编排、内容和章节划分可根据实际情况进行调整和修改。
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
高等数学讲义第二章
⾼等数学讲义第⼆章24 第⼆章⼀元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点⼀、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，⾃变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。
如果极限x x f x x f x yx x ?-?+=??→?→?)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上⾯的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另⼀等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则0000()()()l i mx x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→?→-+?-'==-? 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→?→-+?-'==-? 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
程：000()()()y f x f x x x '-=-25法线⽅程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表⽰物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处⼀定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不⼀定在点0x 处可导。
高等数学第七版教材目录
高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。
高等数学基础教材上册目录
高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
新编高等数学第二章
2.1.2 收敛数列的性质
定理2.1 （极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的. 定理2.2 （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
推论2.1 有界数列未必收敛，无界数列必定发散. 例如，数列(－1)n是有界数列，但它是发散的；数列2n 是无 界数列，且它是发散的.
即 由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，
例
【例2-4】设函数 证明
，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在. 因为 ，所以 不存在.
2.2 函数的极限
2.2.2极限的四则运算法则 定理2.3（极限四则运算法则）设在自变量x的同一变 化过程中,极限limf（x）及limg（x）都存在,则有
第 二 章
极限与连续
2.1 数列的极限
目录
2.2 函数的极限
2.3 两个重要极限 2.4 函数的连续性 2.5 应用示例 2.6 数学实验二
2.1 数列的极限
2.1.1数列极限的定义
在中学，我们已经学过数列的概念.按一定顺序排列的 无穷多个数x1，x2，…xn，…
极限的概念是由求实际问题的精
确解答而产生的.我国古代数学 家刘徽于公元263年创立了“割
例
解 做出函数y=2x的图像（见图2-6），可以看出 故limx→∞2x不存在.
2.2 函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
先从图像上考察两个函数f(x)=x+2与f(x)=（x2－4）/（x－2），如图2-7所示.
微课:当x→x0时， 函数f(x)的极限
图 2-7
从图2-7中不难看出，当x无限接近于2时，f(x)=x+2无限趋近于4，f(x)=x2－4x－2也无限趋近
大一高等数学教材第二章
大一高等数学教材第二章第二章：函数与极限概述：在大一的高等数学教材中，第二章节主要介绍了函数与极限的概念、性质和应用。
函数和极限是数学中非常重要的概念，在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
通过学习这一章，学生将能够理解函数的本质，掌握函数的基本性质和图像，以及运用极限来解决各种数学问题。
1. 函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体而言，一个函数是由两个集合A和B以及一个对应关系f所组成的三元有序对(A, B, f)。
其中，A称为定义域，B称为值域，f将A中的元素映射到B中的元素。
1.2 函数的性质函数可以通过多种方式来描述和表示，包括函数图像、显式表达式、隐式表达式等。
此外，函数还具有诸如奇偶性、单调性、周期性等数学性质。
2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义极限是函数与数列中的重要概念之一，用于描述序列或函数在某一点或无穷远处的趋势。
对于一个函数f(x)，当自变量x趋近于某个值a 时，函数f(x)的极限可以通过数列或函数的趋近性来定义。
2.2 极限的性质极限具有多种性质，包括唯一性、有界性、保序性等。
这些性质使极限在数学中具有广泛的应用，尤其是在微积分和数学分析中。
3. 函数的连续性和可导性3.1 函数的连续性连续性是函数中的重要概念，描述了函数在某一点上的平滑性和无间断性。
在第二章中，学生将学习如何判断函数在某一点上是否连续，并掌握连续函数的性质和图像。
3.2 函数的可导性可导性是函数在某一点上的斜率概念，用于描述函数的变化率。
学生将学习如何判断函数在某一点上是否可导，并通过导数和微分来进行求解和应用。
4. 函数的曲线图与应用4.1 函数的曲线图通过绘制函数的曲线图，可以直观地了解函数的性质、特点和变化趋势。
学生将学习如何绘制函数的曲线图，并通过曲线图分析函数的特性。
4.2 函数的应用函数与极限在数学以及其他科学领域中有广泛的应用。
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
高等数学教材前三章
高等数学教材前三章第一章：函数与极限高等数学是大学数学的一门重要课程，旨在帮助学生理解和掌握高级数学的基本概念和方法。
而高等数学教材的前三章主要涵盖了函数与极限的内容。
1.1 函数的概念及性质函数是数学中的重要概念，它描述了数之间的依赖关系。
函数由自变量和因变量组成，自变量取值的变化会导致因变量相应地改变。
在这一章节中，将介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及一些常见函数的分类和图像特征。
1.2 极限的概念极限是函数与数列中的重要概念，它描述了数值序列或函数值在某一点附近的趋势。
极限的概念是高等数学中的基础，它对于解决各种数学问题具有重要意义。
本节重点介绍函数的极限概念，包括函数极限的定义、性质以及常见的计算方法。
1.3 极限的运算法则极限的运算法则是数学中的重要工具，通过运算法则可以简化复杂极限的计算过程。
本节将介绍函数极限的四则运算法则、复合函数极限的计算以及无穷小量的运算法则。
第二章：导数与微分导数是微积分中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质，在解决实际问题和数学推理中发挥着重要作用。
2.1 导数的概念导数是函数变化率的度量，它反映了函数在一点处的瞬时变化情况。
本章节将介绍导数的定义和性质，通过求导数可以帮助我们了解函数的变化规律以及优化问题求解。
2.2 导数的计算方法求导是解决导数问题的核心环节。
本节将介绍一些基本导数公式，例如多项式函数的导数、三角函数的导数以及常见初等函数的导数公式。
此外，还将介绍一些常见函数求导的方法，如导数的四则运算、链式法则和隐函数求导法则等。
第三章：微分中值定理与应用微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某种条件下存在特殊点的性质。
微分中值定理不仅具有理论上的重要性，还在实际问题的求解中起到关键作用。
3.1 弗格罗定理弗格罗定理是微分中值定理的基本形式，它给出了函数在某个闭区间内存在一点，使得该点的切线斜率与该区间的平均斜率相等。
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大学高等数学教材目录第一章前言1.1 数学教材的重要性1.2 数学教材的组成要素第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的图像与性质2.2 极限的概念与性质2.2.1 极限的定义2.2.2 无穷小量与无穷大量2.3 一元函数的极限2.3.1 极限的运算法则2.3.2 连续函数与间断点2.4 多元函数的极限2.4.1 多元函数的定义与性质2.4.2 多元函数的极限计算2.5 极限存在准则与极限运算法则 2.5.1 极限存在准则2.5.2 极限运算法则的应用第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与解释3.1.2 导数的几何意义与物理意义 3.2 导数运算法则3.2.1 导数的四则运算3.2.2 链式法则与复合函数的导数 3.3 高阶导数与隐函数求导3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 隐函数求导的方法3.4 微分与微分近似3.4.1 微分的定义与计算3.4.2 微分近似与局部线性化第四章积分与定积分4.1 不定积分与反导函数4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本积分公式与换元积分法4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义与几何意义4.2.2 定积分的计算方法4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用：曲线长度与曲面面积 4.3.2 物理应用：质量、质心与弧长 4.4 微积分基本定理及其应用4.4.1 第一型与第二型微积分基本定理 4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式的推广第五章一元函数的级数5.1 数项级数5.1.1 数项级数的概念与性质5.1.2 数项级数的敛散性判定5.2 幂级数与函数展开5.2.1 幂级数的收敛半径5.2.2 幂级数的基本性质与展开5.3 函数项级数5.3.1 函数项级数的概念与性质5.3.2 函数项级数的一致收敛性5.4 泰勒级数与傅里叶级数5.4.1 泰勒级数的定义与应用5.4.2 傅里叶级数的定义与计算第六章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义6.1.2 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分与多元函数的微分近似 6.3 多元复合函数与隐函数求导6.3.1 多元复合函数的偏导数6.3.2 多元隐函数的求导方法6.4 梯度与方向导数6.4.1 多元函数的梯度6.4.2 方向导数与梯度的应用第七章多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与几何意义 7.1.2 二重积分的计算方法7.2 二重积分的应用7.2.1 几何应用：面积与质心7.2.2 物理应用：质量与矩7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与几何意义 7.3.2 三重积分的计算方法7.4 三重积分的应用7.4.1 几何应用：体积与质心7.4.2 物理应用：质量与转动惯量7.5 曲线与曲面积分7.5.1 第一型曲线积分7.5.2 第二型曲线积分与曲面积分第八章常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.1.1 微分方程的定义与分类8.1.2 初值问题与解的存在唯一性 8.2 一阶常微分方程8.2.1 可分离变量方程8.2.2 一阶线性方程8.3 二阶线性常系数齐次微分方程 8.3.1 特征方程与通解形式8.3.2 边值问题与特解法8.4 高阶线性常系数齐次微分方程 8.4.1 特征方程与通解形式8.4.2 边值问题与特解法8.5 常微分方程的应用8.5.1 骨架曲线与特解的选择8.5.2 物理领域中的应用第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念与运算9.1.1 向量的定义与性质9.1.2 向量的线性运算与数量积9.2 空间直线与平面9.2.1 空间直线的参数方程9.2.2 空间平面的法向量与标准方程 9.3 空间曲线与曲面9.3.1 曲线的参数方程与切向量9.3.2 曲面的方程与切平面9.4 空间解析几何的应用9.4.1 空间中的曲线运动问题9.4.2 几何体的性质与计算第十章空间向量与向量函数微积分10.1 空间向量的运算10.1.1 空间向量的定义与基本性质10.1.2 空间向量的线性运算与向量积 10.2 空间向量的微积分10.2.1 向量函数的极限与连续性10.2.2 向量函数的导数与曲率10.3 曲线与曲面的向量微积分10.3.1 参数曲线的弧长与切向量10.3.2 向量场与曲面积分第十一章多元函数与多元积分11.1 多元复合函数与链式法则11.1.1 高阶导数的定义与计算11.1.2 链式法则与复合函数的高阶导数 11.2 多元函数的积分11.2.1 多元函数的定积分11.2.2 重积分的计算方法11.3 极坐标与球面坐标系下的积分11.3.1 极坐标系下的二重积分11.3.2 球面坐标系下的三重积分11.4 多元积分的应用11.4.1 几何应用：质心与转动惯量 11.4.2 物理应用：质量、通量与功率第十二章向量场与曲线积分12.1 向量场的基本概念和性质12.1.1 向量场的定义与性质12.1.2 向量场的流线与发散度12.2 曲线积分的概念与性质12.2.1 曲线积分的定义12.2.2 曲线积分的计算方法12.3 格林公式与环量12.3.1 格林公式的表述与应用12.3.2 环量与全微分12.4 曲面积分的概念与性质12.4.1 曲面积分的定义与计算12.4.2 流量与高斯公式12.5 散度与环量12.5.1 散度的定义与计算12.5.2 散度与高斯公式的应用第十三章曲线曲面积分与斯托克斯公式 13.1 曲线积分的类型与计算13.1.1 第一型与第二型曲线积分13.1.2 曲线积分计算方法13.2 曲面积分的类型与计算13.2.1 第一型与第二型曲面积分13.2.2 曲面积分计算方法13.3 散度定理与高斯公式13.3.1 散度定理的表述与应用13.3.2 高斯公式与流量计算13.4 斯托克斯定理与环量13.4.1 斯托克斯定理的表述与应用 13.4.2 环量计算与应用第十四章常微分方程数值解14.1 常微分方程初值问题的数值解法14.1.1 欧拉方法与改进的欧拉方法14.1.2 龙格-库塔方法14.2 常微分方程边值问题的数值解法14.2.1 二点边值问题与分段线性插值14.2.2 有限差分方法与微分方程的离散化14.3 常微分方程数值解的误差估计14.3.1 局部截断误差与全局截断误差14.3.2 稳定性与收敛性的分析结语15.1 数学学科的重要性与发展15.2 高等数学教材的应用与拓展15.3 数学学科对于人类社会的贡献本教材将大学高等数学知识进行系统整理和归纳，以便帮助读者更好地学习和理解数学的基本概念、原理和应用。
大一高等数学的教材目录
大一高等数学的教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 函数的极限与连续性1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 反函数与参数方程的导数2.4 高阶导数与函数的近似2.5 微分的定义与应用第三章：积分与反常积分3.1 不定积分与换元积分法3.2 定积分与牛顿－莱布尼兹公式3.3 反常积分的概念与性质3.4 反常积分的审敛法3.5 广义积分与无穷级数第四章：多元函数与偏导数4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数的定义与计算4.3 隐函数与复合函数的偏导数4.4 方向导数与梯度4.5 多元函数的极值与条件极值第五章：重积分与曲线积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线积分的定义与计算第六章：无穷级数与级数展开6.1 收敛级数与无穷级数的运算6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数与泰勒级数6.4 函数展开与近似计算6.5 傅里叶级数与傅里叶变换第七章：常微分方程7.1 常微分方程的基本概念7.2 可分离变量方程与一阶线性方程7.3 二阶线性常系数齐次方程7.4 二阶线性常系数非齐次方程7.5 线性方程组与常微分方程应用第八章：概率论与数理统计8.1 随机事件与概率8.2 条件概率与事件独立性8.3 随机变量与概率分布8.4 多维随机变量与联合分布8.5 统计量与抽样分布第九章：常用数学方法和定理9.1 矩阵与线性方程组9.2 特征值与特征向量9.3 数学归纳法及其应用9.4 极值、最值与不等式9.5 极限的定义与性质第十章：复变函数10.1 复数与复数函数10.2 复变函数的导数与解析函数10.3 共轭函数与全纯函数10.4 积分与柯西公式10.5 函数级数与留数定理总结：本教材涵盖了大一高等数学的核心内容，从函数与极限起步，通过导数与微分、积分与反常积分、多元函数与偏导数、重积分与曲线积分等章节的学习，引导学生掌握数学分析的基本方法和思维，为日后的数学学习打下坚实基础。
高等数学二教材目录
高等数学二教材目录1. 导论1.1 数列与极限1.2 无穷级数2. 函数的极限与连续2.1 函数的极限2.2 连续函数2.3 间断点与间断函数3. 导数与微分3.1 函数的导数与导数的概念3.2 导数的运算法则3.3 高阶导数与隐函数求导3.4 微分与泰勒公式4. 函数的应用4.1 函数的极值与最值4.2 函数的凸性与拐点4.3 微分中值定理与泰勒展开4.4 拉格朗日乘数法与极值问题应用5. 定积分5.1 定积分与不定积分5.2 定积分的性质与换元法5.3 定积分的计算方法5.4 广义积分与应用6. 微分方程6.1 常微分方程6.2 一阶常微分方程6.3 高阶常微分方程6.4 变易法与欧拉方程7. 空间解析几何与多元函数微分学7.1 空间解析几何的基本概念7.2 空间中直线与平面7.3 多元函数与偏导数7.4 全微分与多元函数的微分8. 重积分与曲线曲面积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与曲线曲面积分的概念8.4 曲线曲面积分的计算方法9. 向量场与格林公式9.1 向量场的概念与性质9.2 向量场的散度与旋度9.3 格林公式与高斯公式9.4 斯托克斯公式与流形10. 傅里叶级数与傅里叶变换10.1 傅里叶级数的概念与性质10.2 傅里叶级数的计算方法10.3 连续傅里叶变换与离散傅里叶变换10.4 傅里叶变换与偏微分方程这是《高等数学二》教材的目录，按照每个章节所涵盖的内容进行了分类。
通过学习这个教材，你将掌握数列与极限、函数的极限与连续、导数与微分、函数的应用、定积分、微分方程、空间解析几何和多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、向量场与格林公式、傅里叶级数与傅里叶变换等相关知识点。
逐步学习这些内容将使你对高等数学的理解更加全面，能够应用于实际问题的解决中。
希望这本教材能够帮助你更好地掌握高等数学的知识。
高等数学一教材目录
高等数学一教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数的概念1.3 极限的引入1.4 极限的性质1.5 无穷小与无穷大1.6 极限存在准则1.7 极限运算法则第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 基本导数公式2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 函数的增量与微分近似计算2.8 高阶导数的应用第三章：微分学基本定理3.1 角度的测量3.2 三角函数3.3 幂函数与指数函数3.4 对数函数与指数方程3.5 反函数与反三角函数3.6 复合函数的导数3.7 高阶导数的计算3.8 微分中值定理与导数的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的基本公式4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的基本公式4.5 牛顿-莱布尼茨公式4.6 反常积分4.7 积分中值定理与定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的微分法则5.4 隐函数的导数5.5 多元复合函数的求导法则5.6 方向导数与梯度5.7 多元函数的极值5.8 多元函数的参数化曲线第六章：多元函数积分学6.1 二重积分6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线与曲面积分6.8 曲线与曲面积分的计算方法6.9 曲线与曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列的极限7.2 数列极限的性质7.3 无穷级数的收敛与发散7.4 正项级数的审敛法7.5 幂级数与函数展开7.6 Taylor展开7.7 Fourier级数第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程8.3 高阶常微分方程8.4 常系数线性齐次微分方程8.5 非齐次线性微分方程8.6 变量分离的微分方程8.7 常微分方程的应用这是《高等数学一》教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学基本定理、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和常微分方程等各个章节的主要内容。
高等数学教材重点版目录
高等数学教材重点版目录导言第一章函数与极限1.1 实数与数集1.1.1 实数的性质1.1.2 数集的分类1.2 函数的概念与性质1.2.1 函数的定义1.2.2 函数的性质1.3 一元函数的极限1.3.1 极限的定义1.3.2 极限的性质1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小的概念1.4.2 无穷大的概念第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质2.2 常用函数的导数2.2.1 幂函数的导数2.2.2 指数函数的导数2.2.3 对数函数的导数2.3 高阶导数与隐函数导数2.3.1 高阶导数的概念2.3.2 隐函数的求导法则2.4 微分的概念与性质2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的性质第三章微分中值定理与导数应用 3.1 罗尔中值定理3.1.1 罗尔中值定理的条件 3.1.2 罗尔中值定理的应用 3.2 拉格朗日中值定理3.2.1 拉格朗日中值定理的条件 3.2.2 拉格朗日中值定理的应用 3.3 柯西中值定理3.3.1 柯西中值定理的条件3.3.2 柯西中值定理的应用3.4 泰勒公式与泰勒展开3.4.1 泰勒公式的推导3.4.2 泰勒展开的应用第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 基本积分公式4.2.1 幂函数积分公式4.2.2 三角函数积分公式4.2.3 指数函数积分公式4.3 定积分的概念与性质4.3.1 定积分的定义4.3.2 定积分的性质4.4 牛顿-莱布尼兹公式与定积分应用 4.4.1 牛顿-莱布尼兹公式的推导4.4.2 定积分的应用第五章多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.1.1 多元函数极限的概念5.1.2 多元函数连续性的概念5.2 偏导数与全微分5.2.1 偏导数的定义与计算方法5.2.2 全微分的概念与应用5.3 多元函数的方向导数与梯度5.3.1 方向导数的概念与计算方法 5.3.2 梯度的概念与性质5.4 隐函数与隐函数的求导法则5.4.1 隐函数的定义与判定条件5.4.2 隐函数的求导法则第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.1.1 二重积分的定义6.1.2 二重积分的性质6.2 二重积分的计算方法6.2.1 直角坐标下的计算方法 6.2.2 极坐标下的计算方法 6.3 三重积分的概念与性质6.3.1 三重积分的定义6.3.2 三重积分的性质6.4 三重积分的计算方法6.4.1 柱面坐标下的计算方法 6.4.2 球面坐标下的计算方法 6.5 曲线积分的概念与性质6.5.1 第一类曲线积分6.5.2 第二类曲线积分第七章空间解析几何7.1 空间直线与平面的方程7.1.1 点与直线的关系7.1.2 点与平面的关系7.1.3 直线与平面的关系7.2 空间曲线与曲面的方程7.2.1 曲线的表示与方程7.2.2 曲面的表示与方程7.3 空间直线与平面的位置关系 7.3.1 相交关系的判定7.3.2 平行关系的判定7.3.3 垂直关系的判定结语参考文献附录。
高等数学教材的目录部分
高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。
高等数学教材2的答案解析
高等数学教材2的答案解析1. 引言高等数学是大学数学基础课程之一，对于理工类专业的学生来说具有重要的意义。
而高等数学教材2是高等数学课程中的一本权威教材，它包含了许多涉及微积分的题目和问题。
本文将对高等数学教材2中的题目进行答案解析，帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
2. 正文2.1 第一章：极限与连续在第一章中，我们学习了极限和连续的概念。
针对高等数学教材2中的题目，我们需要分析每道题目的要求和限制条件，运用极限和连续的定义和性质进行解答。
2.2 第二章：导数与微分在第二章中，我们研究了导数与微分的相关概念和性质。
针对高等数学教材2中的题目，我们需要运用导数的定义和性质，计算各种类型的导数，解决相关的问题。
2.3 第三章：不定积分第三章介绍了不定积分的概念和求法，并讨论了定积分与不定积分的关系。
我们需要掌握不定积分的基本性质和常用的求积分方法，应用到高等数学教材2中的题目中。
2.4 第四章：定积分与数值积分在第四章中，我们学习了定积分的概念以及常用的数值积分方法。
高等数学教材2中的题目要求我们运用定积分的性质和计算方法，解决相关的问题。
2.5 第五章：多元函数微分学第五章讨论了多元函数微分的概念和性质。
我们需要应用多元函数偏导数和全微分的计算方法，解答高等数学教材2中的相关题目。
2.6 第六章：重积分第六章介绍了重积分的概念和计算方法。
我们需要理解二重积分和三重积分的计算过程，并应用到高等数学教材2中的问题中。
2.7 第七章：曲线积分与曲面积分在第七章中，我们学习了曲线积分和曲面积分的概念和计算方法。
求解高等数学教材2中相关问题时，我们需要运用曲线积分和曲面积分的性质和计算公式。
2.8 第八章：无穷级数第八章介绍了无穷级数的概念和判敛条件。
我们需要掌握级数求和的方法，运用到高等数学教材2中的题目中。
2.9 第九章：常微分方程在第九章中，我们研究了常微分方程的基本概念和求解方法。
高等数学教材2中的常微分方程题目要求我们掌握一阶和二阶常微分方程的解法，并应用到具体问题的求解中。
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看左右导数是否存在且相等.
思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别:
是函数 ,
是数值;
联系:
注意:
？
2. 设
存在 , 则
3. 已知 4. 若
可导? 解: 由题设
由夹逼准则
则
时, 恒有
问
是否在
故在 可导, 且
解: 1) 设
则
,则
类似可求得
利用
2) 设
则
特别当
时,
小结:
三、复合函数求导法则
定理3.
在点 x 可导,
可导
复合函数
在点 在点 x 可导, 且
证: 故有
在点 u 可导, 故 （当
时
)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列导数: 解: (1)
1.
对吗?
2. 设
其中 在
在求
时, 下列做法是否正确?
因 故
正确解法:
处连续,
3. 求下列函数的导数
解: (1) (2) 或
4. 设
求
解: 方法1 利用导数定义.
方法2 利用求导公式.
思考题 设
求
解：
2.设 解:
其中 可导, 求
(当
时)
切线 MT 的斜率
割线 M N 的斜率
瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
法线方程:
例7. 问曲线 的切线与直线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
解:
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
令
得
对应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为
即
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
求导
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
证: 设
,则
故结论成立. 此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
简写为
存在
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右(左) 连续.
若函数
在开区间
内可导,且
与
都存在 , 则称 在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; 2. 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
二、导数的定义
定义1 . 设函数
若
在点 的某邻域内有定义 ,
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
即
运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 不可导.
(2) (3) 说明: 类似可得
例5. 设
求
解:
思考: 若 存在 , 如何求
这两个记号含义不同 练习: 设
的导数?
例6. 设 解:
记 (反双曲正弦)
则
的反函数
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数
2. 有限次四则运算的求导法则
( C为常数 )
3. 复合函数求导法则
说明: 最基本的公式
若
也称
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作:
注意:
例1. 求函数 解:
即 例2. 求函数 解:
(C 为常数) 的导数.
说明： 对一般幂函数
例如，
( 为常数)
（以后将证明）
例3. 求函数
解:
则
的导数.
即 类似可证得
第二章 导数和微分
2.1 导数的概念
• 引例 • 导数的定义 • 导数的几何意义 • 导数可导和连续性的关系 • 单侧导数
一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
5. 设
, 问 a 取何值时,
在
都存在 , 并求出 解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
故
时
此时
在
都存在,
思考题
1. 设 存在, 且
求
解: 因为
所以
2. 设 在
在
处连续, 且
处可导.
证：因为
存在，则有
又在
处连续, 故
所以
即
在
处可导.
存在，证明:
2.2 函数的求导法则
• 四则运算求导法则 • 反函数求导法则 • 复合函数求导法则 • 例题
(2)
证: 设
则有
推论:
故结论成立. ( C为常数 )
例1. 解:
(3)
证: 设
则有
推论:
故结论成立. ( C为常数 )
例2. 求证 证:
类似可证:
二、反函数的求导法则
定理2. y 的某邻域内单调可导,
证: 在 x 处给增量
由反函数的单调性知
且由反函数的连续性知
因此
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
例7. 解:
例8. 设 解:
求 求
例9.
求
解:
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
例10. 设
求
解:
内容小结
求导公式及求导法则 注意: 1)
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
例4. 求函数 解:
的导数.
或
即
例5. 证明函数 证:
在 x = 0 不可导.
不存在 ,
例6. 设
存在, 求极限
是否可按下述方法作: 解: 原式
原式
三、 导数的几何意义
曲线
在点
的切线斜率为
若
曲线过
上升;
若
曲线过
下降;
若
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
若
切线与 x 轴垂直 .
曲线在点
处的
切线方程:
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点 的某个右 (左) 邻域 内
存在,则称此极限值为 在 处的右(左) 导数,记作
即 例如,
在 x = 0 处有
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且