乘法公式(提高)知识讲解
乘法知识点公式总结
乘法知识点公式总结一、乘法知识点总结1. 乘法的基本概念乘法是数学中的基本运算法则之一，它是将两个数相乘得到积的过程。
在乘法运算中，我们把要相乘的两个数分别称为乘数和被乘数，它们的乘积称为积。
例如，3 × 4 = 12，其中3和4分别是乘数和被乘数，12是它们的积。
2. 乘法的性质（1）交换律：a × b = b × a乘法的交换律是指乘数和被乘数的位置可以交换，积不变。
例如，3 × 4 = 4 × 3 = 12。
（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法的结合律是指乘数之间可以结合起来，先乘两个数再乘第三个数的积等于先乘第二个数再乘这个积。
（3）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法对加法的分配律是指一个数乘一个括号中的两个数，等于这个数分别乘这两数后再加和。
（4）单位元：任何数乘以1等于它本身。
a × 1 = a， 1 × a = a。
3. 乘法的运算法则（1）乘法的口诀乘法的口诀是指用来记忆乘法表的方法，例如1乘到9的乘法口诀表为：```1 × 1 = 1 1 ×2 = 2 1 ×3 = 3 ... 1 × 9 = 92 × 1 = 2 2 × 2 = 4 2 ×3 = 6 ... 2 × 9 = 18...9 × 1 = 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 ... 9 × 9 = 81```通过口诀表，可以帮助孩子们快速记忆乘法表。
（2）乘法的计算方法乘法的计算方法有竖式、横式等多种，不同的计算方法适用于不同的题目，掌握多种计算方法可以帮助孩子更加灵活地运用乘法知识。
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
乘法公式是整式乘法的一个重要内容，它是指将一些特殊的多项式相乘，得到的结果用一个公式表达出来，这样可以简化计算过程，提高计算效率。
在乘法公式的教学中，首先需要了解什么是乘法公式。
乘法公式是形如（a+b）（a-b）的式子，它可以用来计算两个数的和与差的积。
接下来，需要掌握乘法公式的两种形式。
一种是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行验证；另一种是完全平方公式，即（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行推导。
在应用乘法公式时，需要注意以下几点：
1. 掌握公式的结构特征，知道公式的左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积。
2. 正确理解公式的意义，知道左边是两个数的和与差的积，右边是这两个数的
平方和与平方差的积。
3. 正确运用公式的条件，知道只有当左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积时才能使用该公式。
4. 正确运用公式的逆用，知道将一些特殊的多项式相乘时，可以使用公式的逆用简化计算。
最后，为了巩固所学知识，可以进行适量的习题练习，以加深对乘法公式的理解和掌握。
同时，在做题时应该认真审题，注意观察公式的结构特征，以便能够正确运用公式进行计算。
乘法公式基础知识讲解
乘法公式基础知识讲解乘法是数学中的一个基本运算，它用于将两个或多个数值相乘，得到乘积。
在乘法中，我们使用乘法公式来进行计算和简化表达式。
乘法公式是指一些常见的数学规律，可以帮助我们更快地计算乘法运算。
乘法公式的基础知识包括乘法法则、乘法表以及乘法的分配律、结合律和交换律。
1.乘法法则：乘法法则是数学中最基本的乘法概念，它规定了如何将两个数相乘以及如何确定乘积的符号。
乘法法则包括以下几个要点：-两个正数相乘的结果仍然是正数。
-两个负数相乘的结果是正数。
-正负数相乘的结果是负数。
2.乘法表：乘法表是一种表格，用于显示两个数相乘的结果。
乘法表的基本结构是将每个数与其他数相乘，并将结果填入表格中。
乘法表的最常见形式是九九乘法表，其中列出了1到9的乘法结果。
乘法表的使用可以帮助学生记忆乘法结果，并加深对乘法运算的理解。
3.乘法的分配律：乘法的分配律是乘法公式中的一个重要概念，它用于将一个数与两个或多个数相乘。
分配律规定了乘法在加法和减法中的运算规则，它表明：-a×(b+c)=a×b+a×c-(b+c)×a=b×a+c×a这意味着要计算一个数与两个或多个数的和的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相加。
同样，要计算一个数与两个或多个数的差的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相减。
4.乘法的结合律：乘法的结合律是乘法公式中的另一个重要概念，它规定了乘法在连续相乘中的运算规则，它表明：-(a×b)×c=a×(b×c)这意味着在连续相乘的运算中，无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
5.乘法的交换律：乘法的交换律是乘法公式中的最后一个重要概念，它规定了两个数相乘的运算规则，它表明：-a×b=b×a这意味着无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
(完整版)乘法公式和因式分解知识点
乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。
3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
乘法公式知识讲解
乘法公式知识讲解乘法公式是指在数学中用于求解乘法运算的规则。
它们是数学中最基本也是最重要的公式之一，常用于求解各种复杂的乘法运算，可以大大简化计算过程。
在这篇文章中，我将详细介绍乘法公式的相关知识，并为大家提供一些实例来帮助理解。
首先，我们来讨论最基本的乘法公式，即两个数的乘法。
设有两个数a和b，它们的乘积可以表示为a × b或ab。
在乘法中，我们通常使用乘号（×）或圆点（·）来表示乘法运算。
下面是一些常见的乘法公式：1.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律表示，两个数相乘的结果与两个数的顺序无关。
例如，3×4=4×3=122.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律表示，三个数相乘的结果与它们的运算顺序无关。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.数值相同的乘法：a×a=a^2数值相同的乘法表示，一个数与其自身相乘的结果可以用该数的平方来表示。
例如，4×4=4^2=16接下来，我们将进一步讨论乘法公式的应用。
1.乘法分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)乘法分配律是乘法中的一个重要规则。
它表示一个数乘以两个数的和等于该数分别乘以这两个数后的和。
例如，2×(3+4)=(2×3)+(2×4)=142.幂与乘法：a^m×a^n=a^(m+n)幂与乘法表示，两个具有相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=1283.倒数乘法：a×(1/a)=1倒数乘法表示一个数与其倒数相乘的结果等于1、例如，5×(1/5)=14.零乘法：a×0=0零乘法表示任何数与0相乘的结果都是0。
浙教版七年级数学下册 3.4 乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
乘法公式知识点梳理
乘法公式知识点梳理乘法公式是数学中常用的一种运算法则，它用于求解数的乘积。
乘法公式包含了一些常用的模式，可以提高计算乘法的效率。
以下是对乘法公式的知识点进行梳理。
一、基本乘法公式1.乘法的结合律：乘法满足结合律，即a*(b*c)=(a*b)*c，任意三个数的乘法运算结果不受括号位置的影响。
2.乘法的交换律：乘法满足交换律，即a*b=b*a，任意两个数的乘法运算结果不受顺序的影响。
3.乘零律：任何数与零相乘，结果为零，即a*0=0。
4.乘一律：任何数与一相乘，结果为其本身，即a*1=a。
5.乘法分配律：乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c，用于将括号内部的乘法运算分布到括号外的加法运算中。
二、特殊乘法公式1.平方：一个数自身乘以自身等于它的平方，即a*a=a^22.相同数相乘：相同的两个数相乘，结果等于这个数的平方，即a*a=a^23.倍数相乘：任意数与它的倍数相乘，结果等于这个数乘以倍数，即a*n=n*a。
4.零乘任意数等于零：零与任意数相乘，结果都等于零，即0*a=0。
5.倒数相乘等于一：一个数与它的倒数相乘等于一，即a*(1/a)=16.乘方运算：乘方是指一个数的连乘积的运算，表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方运算可以用于表示重复乘法、面积和体积等问题。
三、乘法规律1.指数相加：相同底数的指数相加，底数保持不变，指数相加，即a^m*a^n=a^(m+n)。
2.倍数相乘：两个数的乘积与其中一个因数的倍数相乘，结果等于乘积与该因数相同倍数的乘积，即a*b=(n*a)*b=a*(n*b)。
3.乘方相乘：两个乘方相乘，底数相乘，指数相加，即(a^m)*(a^n)=a^(m+n)。
四、应用举例乘法公式不仅适用于两个数的乘法，还可以用于解决更复杂的问题。
以下是几个与乘法公式相关的应用举例：1.多项式的乘法：多项式的乘法运算可以利用乘法分配律和结合律，将多项式展开成一系列乘法运算的和。
八年级乘法公式知识点归纳
八年级乘法公式知识点归纳八年级是数学学科中非常重要的一年，因为这个年级的学生在学习数学的过程中，开始接触到乘法公式这个庞大而重要的领域。
乘法公式是数学中的一个非常基本的概念，它的学习对于数学知识的掌握具有非常重要的意义。
在这里，我们将对八年级学生需要掌握的乘法公式进行简要的归纳和总结。
一、分配律分配律是乘法公式中非常基础的一个概念。
它的表达式为a(b+c)=ab+ac。
这个公式的意思是，对于任意的一个数a以及两个数b和c，它们之间都具有一定的关系。
具体来说，当a与b+c相乘时，可以分别对b和c进行乘法运算，然后将两个结果加起来，得到的结果就是a与b+c的乘积。
这个公式的应用非常广泛，它不仅可以用来解决各种数学问题，在日常生活中也经常用到。
二、结合律结合律是乘法公式中比较重要的一个概念。
它的表达式为(a*b)*c=a*(b*c)。
这个公式的意思是，对于任意三个数a、b和c，它们可以按照不同的顺序进行乘法运算，但是最终的结果永远是一样的。
具体来说，这个公式可以帮助我们简化复杂的乘法运算，提高计算的效率。
三、乘幂乘幂是乘法公式中比较深奥的一个概念。
它通常用来表示一个数除以另一个数的指数次方。
表达式为a^n=a*a*a...*a^n次方。
这个公式的应用非常广泛，它可以用来求解各种数学问题，例如计算八次方、九次方等等。
四、基本定理基本定理是乘法公式中非常重要的定理之一。
这个定理可以用来分解因数，表达式为a*b=c，其中a和b是c的因数。
这个定理的意思是，任意一个数都可以被分解成两个因数相乘的形式。
这个定理虽然看似简单，但是它对于数学知识的掌握有着非常深远的影响。
五、乘数乘数是乘法公式中非常基础的概念之一。
乘数通常用来表示一个数与另一个数相乘的结果。
这个概念对于数学知识的掌握非常重要，因为在乘法运算中，乘数是非常基础的一部分。
六、倍数倍数是乘法公式中非常基础的概念之一。
倍数通常用来表示一个数是另一个数的几倍。
乘法公式知识点总结
乘法公式知识点总结乘法是数学中一个基本的运算法则，而乘法公式作为乘法的特殊性质之一，在数学运算中起到了重要的作用。
本文将对乘法公式的相关知识进行总结和解释，帮助读者更好地理解和掌握乘法的运算规则。
1. 乘法的基本概念乘法是两个或多个数相乘的运算方式，其中每个数称为一个乘数，相乘的结果称为积。
例如，2×3=6，2和3就是乘数，6就是积。
2. 乘法的交换律乘法具有交换律，即乘数的顺序不影响积的结果。
换句话说，对于任意两个实数a和b，都有a×b=b×a。
例如，2×3=3×2=6。
3. 乘法的结合律乘法具有结合律，即多个数相乘时，可以任意改变括号的位置而不影响积的结果。
例如，对于任意三个实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)。
4. 乘法的分配律乘法还具有分配律，对于任意三个实数a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。
这条公式表示，一个数字与一个括号内的两个或多个数的和相乘，等于该数字与每个加数分别相乘后的和。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14。
5. 乘法的零乘法零乘法是乘法中的特殊情况，任何数与0相乘的结果都等于0。
即，对于任意实数a，都有a×0=0。
6. 乘法的一乘法一乘法是乘法中的特殊情况，任何数与1相乘的结果都等于它本身。
即，对于任意实数a，都有a×1=a。
7. 乘法规律的应用乘法公式的应用十分广泛，不仅仅用于数学运算中，也应用于其他领域。
在代数中，乘法公式可以应用于多项式的展开和因式分解。
在几何学中，乘法公式可以应用于计算长方形、正方形、圆的面积和体积等问题。
在物理学中，乘法公式可以应用于计算速度、。
乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
乘法公式知识讲解
乘法公式知识讲解乘法公式是数学中非常常见且重要的公式之一，它用来表示两个数相乘的结果。
在进行乘法运算时，我们可以使用不同的方法来计算，但是掌握乘法公式可以帮助我们更快速、准确地进行计算。
本文将从基础概念、性质、应用等方面进行乘法公式的详细讲解。
一、基础概念在介绍乘法公式之前，我们首先要明确乘法的基本概念。
乘法是一种运算，用于计算两个数相乘的结果。
在乘法中，我们将两个数称之为乘法的因数或者乘数，它们的乘积称为乘法的积。
我们可以用以下三种形式来表示乘法：1.用符号“×”表示，如3×4=122.用符号“·”表示，如3·4=123.直接将两个数写在一起，如3(4)=12虽然乘法有不同的表达方式，但是它们都表示同样的运算。
二、乘法的性质了解乘法的性质对于理解乘法公式非常重要。
乘法具有以下几个基本性质：1.交换律：a×b=b×a。
乘法满足交换律，即乘法的因数可以交换位置，积不变。
例如，2×3=3×2=62.结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法满足结合律，即在连续的乘法中，我们可以任意改变乘法的顺序而不影响结果。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
乘法满足分配律，即乘法对加法的分配性质成立。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14以上三个性质是乘法公式的基础，我们在进行乘法计算时常常会使用到它们。
三、乘法公式的应用了解了乘法的基本概念和性质之后，我们可以更好地理解和应用乘法公式。
下面，我们将介绍一些常见的乘法公式及其应用。
1.乘法表乘法表是一个方形表格，用于列举从1到N的两个数相乘的结果，并以矩阵的形式呈现。
乘法表可以帮助我们更快速地计算两个数相乘的结果，特别是在初等数学中，乘法表的应用非常广泛。
初高中数学衔接知识 乘法公式
24.03.2020
一、乘法公式
【例3】计算： 已 知 x 2 3 x 10 ,求 x 3x 1 3的 值 .
解: Qx2 3x10
1
x 0 x 3
x
原式=(x
1)(x2 x
1
1 x2
)
(x 1)[(x 1)2 3]3(32 3) 18.
x
x
请 证 明 : a 3 b 3 c 3 3 a b c ( a b c ) ( a 2 b 2 c 2 a b b c c a )
证 明 :a3b3c3(ab)(a2abb2)c3 =(ab)[(ab)23ab]c3=(ab)33ab(ab)c3 (abc)[(ab)2c(ab)c23ab] (abc)(a2b2c2abbcca).
24.03.2020
巩固练习
1、已知： a b c 1， a2 b2 c2 2
求 ab bc ca的值。
24.03.2020
一、乘法公式
【公式1】平方差公式 (a b )(a b )a 2 b 2 【公式2】完全平方公式 (a b )2 a 2 2 a b b 2 【公式3】完全立方公式 ( a b ) 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3
【公式4】完全平方公式 ( a b c ) 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 b c 2 c a
（-34）
24.03.2020
三、根式 式子 a(a 0) 叫做二次根式，性质：
(1) ( a )2 a (a 0 ), (2) a 2 | a |, (3) ab a b (a 0,b 0), (4) b b (a 0, b 0).
aa
24.03.2020
三、根式
七年级下册乘法公式知识点
七年级下册乘法公式知识点在初中数学学习中，乘法公式是必不可少的知识点之一。
本文将介绍七年级下册乘法公式的知识点。
一、乘法基本性质乘法基本性质是指对于任意实数a、b和c，有以下三条基本性质：1. 交换律：a × b = b × a2. 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)3. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c通过这三个基本性质，可以对乘法运算进行简化，也为后面的知识点奠定了基础。
二、平方运算平方运算是指将一个数自己乘以自己，其结果称为这个数的平方。
如数3的平方是9，记作3²=9。
平方运算有以下几个性质：1. 正数的平方仍为正数，负数的平方为正数。
2. 偶数的平方为偶数，奇数的平方为奇数。
3. 相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和。
4. 末尾为5的数的平方末尾数字为25。
5. 末尾为0的数的平方末尾数字为0。
三、乘法公式乘法公式是指在某些具体情况下，通过一定的推导，可以得到一组乘法运算的通用公式。
七年级下册主要包括以下两种乘法公式：1. 二次方差公式：(a + b) × (a - b) = a² - b²二次方差公式可以用于化简一些带有平方项的式子。
如：(3 + 4) × (3 - 4) = 3² - 4² = 9 - 16 = -72. 三次方差公式：a³ - b³ = (a - b) × (a² + ab + b²)三次方差公式同样可以用于化简一些带有立方项的式子。
如：8³ - 5³ = (8 - 5) × (8² + 8 × 5 + 5²) = 27 × 89 = 2403四、乘方运算乘方运算是指将一个数连乘多次本身，其结果称为这个数的幂。
二次根式的乘除运算--知识讲解(提高
二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：==（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a-a-与ba=b等分别互为有理化因式.a+与a-+②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如+-.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1） 21521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-【答案与解析】（1）原式=1(3()8=⨯-⨯ =34-(2)原式=22122a a -÷=-【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】b b a b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=21⨯== 2.（2014秋•闵行区校级期中）计算：×（﹣2）÷．【思路点拨】本题中a 作为被开方数，说明a≥0，下面直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．【答案与解析】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3. 把下列各式分母有理化：【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252=∙∙=（2）b a b a ba b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--∙-=-∙--∙-=--)()()(222222（3）ba b a b a b a b a b a ba -=-∙+-∙-=+-)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） （n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.4.已知x=，y=，求下列各式的值：（1）x yx y+-；（2）223x xy y-+.【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】77x y==-==+（1）x yx y+==-2222 (2)3(73(7(7194x xy y-+=---+++=【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.。
沪教版数学初一上册25.乘法公式(提高)知识讲解
沪教版初一数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【 乘法公式 例1（7）（8）】【变式】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．2、解方程：(21)(21)3(2)(2)(71)(1)x x x x x x +-++-=+-．【答案与解析】解：222(2)13(4)771x x x x x -+-=-+-， 22241312761x x x x -+-=--，227761112x x x -+=-++，612x =，∴ 2x =．【总结升华】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-， 425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+- 22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+ ＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+- ＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
乘法公式知识点高中总结
乘法公式知识点高中总结一、整数的乘法整数的乘法是我们在日常生活中最常见的一种乘法运算。
对于整数a和b，它们的乘法可以表示为a×b，其中a和b可以是正整数、负整数或0。
在整数的乘法中，有一些常见的性质和规律，我们可以通过这些性质和规律来简化乘法运算，提高计算效率。
1. 乘法交换律：对于任意整数a和b，a×b=b×a。
2. 乘法结合律：对于任意整数a、b和c，(a×b)×c=a×(b×c)。
3. 乘法分配律：对于任意整数a、b和c，a×(b+c)=a×b+a×c。
通过这些性质和规律，我们可以简化整数的乘法运算，从而更加高效地进行计算。
二、分数的乘法分数是数学中的重要概念，它是整数的推广。
分数的乘法和整数的乘法有一些相似之处，但也有一些特殊的性质和规律。
1. 分数的乘法：对于任意分数a/b和c/d，它们的乘法可以表示为(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)。
2. 分数的约分：在进行分数的乘法运算时，我们通常会将乘法结果化简为最简形式。
这就需要对乘法结果进行约分，即化简分数的过程。
在进行分数的乘法运算时，我们需要注意分子和分母的乘法运算，并将乘法结果化简为最简形式。
三、小数的乘法小数的乘法和整数、分数的乘法有一些相似之处，但也有一些特殊的性质和规律。
在进行小数的乘法运算时，我们通常需要将小数化为分数，然后进行分数的乘法运算，最后将乘法结果转化为小数形式。
1. 小数的乘法运算：对于任意小数a和b，它们的乘法可以表示为a×b。
2. 小数的位数：在进行小数的乘法运算时，我们需要注意小数点的位数和位置，确保最终的乘法结果的小数点的位置正确。
通过这些性质和规律，我们可以更好地进行小数的乘法运算，确保计算结果的正确性。
四、多项式的乘法在高中数学中，多项式的乘法是一个重要的知识点。
乘法公式知识点总结
乘法公式知识点总结一、基本概念1. 乘法的基本概念乘法是指两个数相乘的运算，其中一个数称为被乘数，另一个数称为乘数，它们的乘积称为积。
在代数中，乘法是一种特殊的运算，它满足交换律、结合律和分配律等法则。
2. 乘法的表示方式乘法运算可以使用不同的符号和表示方法进行表达，常见的表示方式有：用乘号“×” 表示，如：3 × 4 = 12；用点号“·” 表示，如：3 · 4 = 12；用括号“( )” 表示，如：3(4) = 12；用字母表示，如：a × b = ab。
3. 乘法的运算规则乘法运算有一些基本的运算规则，包括：同号相乘得正，异号相乘得负；零与任何数相乘等于零；任何数与1相乘等于它本身等。
二、性质和规律1. 乘法的交换律乘法的交换律指的是，两个数相乘，乘法因子的位置可以交换，其乘积不变，即 a × b = b × a。
例如：3 × 4 = 4 × 3 = 12。
2. 乘法的结合律乘法的结合律指的是，三个数相乘时，可以先计算任意两个数的乘积，然后再将得到的积与第三个数相乘，其结果不受括号的影响，即 (a × b) × c = a × (b × c)。
例如：(3 × 4) × 5 =3 × (4 × 5) = 60。
3. 乘法的分配律乘法的分配律指的是，一个数与两个数相加的和相乘，等于这个数与这两个数分别相乘后再相加，即 a × (b + c) = a × b + a × c。
例如：3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5。
4. 乘法的其他性质乘法还满足许多其他的性质，如：乘法的零元素，乘法的幂运算法则，乘法的倒数等。
三、乘法的应用1. 计算乘法乘法在日常生活和数学应用中有着广泛的应用，如计算购物、计算面积、计算体积、计算时间、计算速度等。
乘法公式知识点讲解
乘法公式知识点讲解乘法公式是数学中常用的一种运算规则，用于求解两个或多个数的乘积。
乘法公式是各个数学分支中基础且重要的内容，涉及到一系列的运算法则和性质。
本文将从基本的乘法性质和运算法则出发，逐步介绍乘法公式的相关知识点。
一、基本的乘法性质1.乘法的交换律乘法的交换律指出，两个数相乘，其积不受因数的位置交换的影响。
即a×b=b×a，其中a和b是任意实数。
这个性质可以通过实际数的例子进行验证，比如3×4=12，4×3=12，结果都是122.乘法的结合律乘法的结合律指出，三个数相乘，在保持因数的顺序不变的情况下，可以任意选择两个因数进行先乘后乘的运算。
即(a×b)×c=a×(b×c)，其中a、b和c是任意实数。
这个性质也可以通过具体的实例进行验证，比如(2×3)×4=6×4=24，2×(3×4)=2×12=24，结果仍然是243.乘法的分配律乘法的分配律是乘法运算与加法运算之间的关系。
乘法分配律分为左分配律和右分配律：-左分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，其中a、b和c是任意实数。
-右分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，其中a、b和c是任意实数。
以上三种基本的乘法性质可以通过简单的代数运算进行验证，也是进行乘法公式推导的基础。
二、乘法公式的运算法则有了基本的乘法性质为基础，可以进一步推导得到一系列的乘法公式。
以下是其中一些常见的乘法公式及其应用。
1.平方公式平方公式是一种常见的乘法公式，用于计算一个数的平方。
平方公式可以表示为：(a + b)² = a² + 2ab + b²，其中a和b是任意实数。
应用平方公式，可以求得两个数的和的平方，例如(3 + 4)² = 3² + 2 × 3× 4 + 4² = 492.二次方差公式二次方差公式是根据平方公式推导得到的，用于计算两个数相乘后的差的平方。
乘法公式方法讲解
乘法公式方法讲解一、乘法法则乘法法则是乘法的基本运算规则，包括交换律、结合律、分配律和零乘法。
1.交换律：对于两个数a和b相乘，满足交换律，即a*b=b*a。
这表明两个数相乘的结果与乘法顺序无关。
2.结合律：对于三个数a、b和c相乘，满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
这表明多个数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再与第三个数相乘，结果是一样的。
3.分配律：对于三个数a、b和c，满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这表明乘法对加法具有分配性质，可以先对a与b和c分别进行乘法运算，然后将两个结果相加，结果是一样的。
4.零乘法：任何数与0相乘的结果都是0，即a*0=0。
这是因为0乘以任何数都得到0。
二、乘法基本关系式乘法基本关系式是一些基本数的乘法，包括平方、立方、乘方和平方差等。
1.平方：一个数的平方指该数与自己相乘，可以表示为n²。
例如，2的平方等于2*2=42.立方：一个数的立方指该数与自己相乘两次，可以表示为n³。
例如，2的立方等于2*2*2=83.乘方：一个数的乘方指该数与自己相乘k次，可以表示为nᵏ。
例如，2的3次乘方等于2*2*2=84.平方差：两个数的平方差指两个数的平方之差，可以表示为(a+b)*(a-b)=a²-b²。
这个公式可以用来进行平方差的计算，如(a+b)*(a-b)=(a²-b²)。
三、特殊的乘法公式在乘法中，还有一些特殊的公式，如二次开方公式、差平方公式和立方差公式等。
1. 二次开方公式：对于任意实数a和b，满足(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个公式可以用来计算两个数的平方和。
2.差平方公式：对于任意实数a和b，满足(a+b)*(a-b)=a²-b²。
这个公式可以用来计算两个数的平方差。
3. 立方差公式：对于任意实数a和b，满足(a + b) * (a² - ab +b²) = a³ + b³。
八年级上乘法公式知识点
八年级上乘法公式知识点八年级上的数学课程中，学生要学习很多的数学知识点，包括了很多复杂的公式及运算。
其中，最基础的就是乘法公式。
在日常生活和数学学习中，我们都时常会使用到乘法，掌握乘法公式是每个学生都要具备的基本技能之一。
本文将针对八年级上学生需要掌握的乘法公式知识点进行分析和讲解，帮助学生更好地掌握这些知识，提高数学成绩，更好地完成作业和考试。
一、分配律分配律是乘法运算的基本法则之一，是指把一个因数（数或式）乘以另一个因数的和，等于分别把这两个因数乘积再相加。
即：a×(b+c)=a×b+a×c。
例如：23×(52+8)=23×52+23×8=1196。
二、结合律结合律也是乘法运算的基本法则之一，是指三个以上的因数相乘时，其积与因数先两两积，再把这些积相乘后相等。
即：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c) 。
例如：2×3×4=(2×3)×4=6×4=24。
三、交换律交换律是乘法运算的又一基本法则，指乘积中因数的位置交换，其积不变。
即：a×b=b×a。
例如：5×7=7×5=35。
四、倍数公式倍数公式就是乘法口诀表，它有助于我们通过记忆，更快地进行数字计算。
学生需要熟记1~10的乘数相乘的结果，以便在一些计算中能够快速得出答案。
例如：7×8=56；6×9=54。
五、乘方公式对于篮球中的一个正方形场地，知道了边长，可以计算出面积。
而知道了面积，也可以倒算出边长。
乘方公式就是它的逆运算，是指用知道结果求算因数。
例如面积为24平方厘米的正方形的边长是多少？就是24的2次方根。
例如：5²=25，表示5的平方是25；√25=5。
六、乘法分配率乘法分配率是利用分配律，把因数看作求积数量的系数，通过因式分解把乘积展开成系数与积的和式。
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乘法公式（提高）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：22
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-
（3）指数变化：如3232()()m n m n +-
（4）符号变化：如()()a b a b ---
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确.
要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.。