湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考数学试题

炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1. 设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B =，则实数a 的可能取值组成的集合是（ ）A. {}1,2,3B. {}2,3,4C. {}1,3,4D. {}1,2,42. 已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A. 3B. 5C. 6D. 83. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos2=α（ ）A.1625B. 1625-C.725D. 725-4. 在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（ ） A.12B. 2C. 3D. 45. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6. 若平面向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，则对于任意实数λ，()1a b λλ+-的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 17. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（ ）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A. 10米B. 9.66米C. 9.40米D. 8.66米8. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表：()20P K k ≥ 0.050 0.0100k3.841 6.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 4010. 已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A. b c a a >B.c c ab b a+>+ C. log log b c a a <D.b cb ac a>++ 11. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的最大值为2C. 14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数12. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线3y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.16. 设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17. 在①1c =，ABC的面积为34，②2b c =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=， ________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和nT . 19. 在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知F 为椭圆C的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 21. 设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学参考答案三、填空题13. ()2,+∞ 14. ()*n a n n =∈N15.3716.()0,1四、解答题17. 【解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B +=22sin B B =，又sin 0B ≠所以sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形， 所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为11sin 22ABCS ac B a ===所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且等边三角形，所以3C π=，所以sin C =选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin sin c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：51sin sin sin sin cos cos sin 1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 18.【解】(1)由211n n n a S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1 所以()11n a a n d n =+-= (2)()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦. 19.【解】（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --7. 20. 【解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-= 设()11,A x y ，()22,B x y则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+ 不妨设10y >，20y <，11AF y y ====，同理22BF y y ==所以121111AF BF y y ⎫+=+=-⎪⎭211212y y y y -==24334m ==+ 即1143AF BF +=. 21.【解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x-≥ 又)x ∈+∞ 所以1ln 02x ≥> 所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge ==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞ (2)因为()()22ln f x x a x a x =---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==> 若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点 所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 得()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点 则244ln02a a a a -+-< 又0a > 所以4ln 402a a +-> 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数 且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=-> 所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为322.【解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球 则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：02311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 204191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 利用等比数列求和公式即可得：102111141014191191419459410551010510555105159n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅ (2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈= X 对应的数学期望为： ()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈。