高三数学备考“好题速递”

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高三数学高频考点试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，能表示函数y=3x-2的定义域的是（）A. x∈RB. x≠0C. x>0D. x<0答案：A解析：函数y=3x-2是一个一次函数，其定义域为全体实数R。

2. 函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是（）A. 两条直线B. 一个抛物线C. 一条直线D. 一个圆答案：B解析：函数f(x)=ax^2+bx+c是一个二次函数，其图像是一个抛物线。

3. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

答案：f'(x)=3x^2-3解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导得到f'(x)=3x^2-3。

4. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求该数列的前n项和S_n。

答案：S_n=n^2解析：数列{an}的前n项和S_n可以通过求和公式得到，即S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

5. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，求向量a与向量b的点积。

答案：a·b=12+2(-1)=0解析：向量a与向量b的点积等于它们对应分量的乘积之和，即a·b=12+2(-1)=0。

6. 已知函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)的值。

答案：f'(x)=1/(x+1)解析：对函数f(x)=ln(x+1)求导得到f'(x)=1/(x+1)。

7. 已知等差数列{an}的第一项a_1=3，公差d=2，求第10项a_10的值。

答案：a_10=3+92=21解析：等差数列的第n项可以通过公式a_n=a_1+(n-1)d求得，所以a_10=3+92=21。

8. 已知复数z=3+4i，求z的模|z|。

答案：|z|=5解析：复数z的模等于它的实部和虚部的平方和的平方根，即|z|=√(3^2+4^2)=5。

9. 已知直线l的方程为2x-3y+1=0，求直线l与y轴的交点坐标。

2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编(七)(解析版)

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）一、单选题1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（）A B C D 【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得tan α=tan α=.因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故tan α=. 故选：A2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知一组数据1234,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，则由12341,25,25,25,25x x x x ----这5个数据组成的新的一组数据的方差是（）A ．4B ．6C ．325D ．365【答案】C【解析】因为一组数据1234,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，所以12341()34x x x x +++=，222212341[(3)(3)(3)(3)]24x x x x -+-+-+-=，所以123412x x x x +++=，22221234(3)(3)(3)(3)8x x x x -+-+-+-=，所以12341,25,25,25,25x x x x ----的平均数为 []123411(25)(25)(25)(25)5x x x x +-+-+-+- []1234112()205x x x x =++++- 1(12420)15=⨯+-=，所以12341,25,25,25,25x x x x ----的方差为2222212341(11)(251)(251)(251)(251)5x x x x ⎡⎤-+--+--+--+--⎣⎦ 222212341(26)(26)(26)(26)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 2222123414(3)4(3)4(3)4(3)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 222212344(3)(3)(3)(3)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 432855=⨯=，故选：C3．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()21nn S a n n=+-，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（）A ．25B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由()21nn S a n n=+-得()21n n S na n n =--，当2n ≥时，()()11141n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又因为11a =，所以43n a n =-，从而()()123322212n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+，所以()1111132121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，所以数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111115112223*********⎛⎫⎛⎫⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C4．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（） AB．CD【答案】C【解析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl r S r l r ππ===甲乙，所以122r r =，又12222r r l lπππ+=，则121r r l+=，所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高1h ==，乙圆锥的高2h ==，所以221122214313r h l V V r h ππ===甲乙故选：C.5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）如图，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为()12,0F -，()22,0F ，过1F ，2F 作圆O ：222x y a +=的切线，四条切线围成的四边形12F AF B，则双曲线的方程为（）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2222135x y -=【答案】B【解析】如图，由题意2c =，因为四边形12F AF B ，所以直角三角形2AOF即212OF OA =，OA =，2AF ==212a AF ⨯=，1a =，b =线的方程为2213y x -=.故选：B.6．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设函数()21,,43,.ax x a f x x x x a -<⎧=⎨-+≥⎩若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．()2,⎡⋃+∞⎣D ．()2,⎡⋃+∞⎣【答案】B【解析】若0a =时，()21,0,43,0.x f x x x x <⎧=⎨-+≥⎩，()()min 21f x f ∴==-；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值；若0a >时，x a <时，()1f x ax =-+单调递减，()()21f x f a a >=-，当x a ≥时，()()()2min 1,0243,2a f x a a a ⎧-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 有最小值，需21102a a ⎧-≥-⎨<<⎩或221432a a a a ⎧-≥-+⎨≥⎩，解得0a <≤.故选：B7．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若sin sin C B A =，λ=b a ，则实数λ的最小值是（）AB．32C．2 D．2【答案】C【解析】由sin sin C B A =，可得sin c A =，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+- ，两式结合得：222212sin 2sin cos a b A b b A A =+-⨯，即22212sin 1276cos 22a A A A A b =+-=--，即22π7),(0,π)3a A Ab =-+∈，则当7π12A =时，2max 2()7a b=+2min 2()7b a ==- 故由baλ=2=，故选：C8．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.9．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）函数()()20x af x a x+=>在区间(),1a a +上有最小值，则a 的取值范围是（） A ．01a < C ．14a << D ．4a >【答案】A【解析】∵2()(0)x a af x x a x x+==+>，∵(2222()1x x a x a f x x x x-'=-==，∵当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>，可知，()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增， ∵()f x在x = 又∵在区间(,1)a a +上有最小值，∵1a a <<+，解得01a <<．故选：A ．10．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()()sgn ln ln f x x x=-的零点个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】当ln 0x =时1x =；当ln 0x >时1x >；当ln 0x <时01x <<．()1,1sgn ln 0,11,01x x x x >⎧⎪∴==⎨⎪-<<⎩．()()1ln ,1sgn ln ln ln ,11ln ,01x x f x x x x x x x ->⎧⎪∴=-=-=⎨⎪--<<⎩．当1x >时令()0f x =，即1ln 0x -=，解得e 1x =>成立；当1x =时令()0f x =，即ln 0x -=，解得1x =成立；当01x <<时令()0f x =，即1ln 0x --=，解得()10,1ex =∈成立．综上可得解()0f x =得e x =或1x =或1ex =．所以函数()f x 的零点个数为3．故选：C11．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数()(2lg 21x f x x =-+，则不等式()()212f x f x ++>-的解集为（）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．2,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()(2lg 21x f x x =-+可知，R x ∈ ，故()()((22lg lg 2121x x f x f x x x -+-=-+--++ (222lg ()2121xx x x x ⋅=-+-+++lg122=-=- ，即()()110f x f x ++-+=，令()()1g x f x =+ ，则()()0g x g x +-=，即()()1g x f x =+为奇函数，因为函数(lg y x =为R 上的单调增函数，221x y =+为R 上的单调减函数故()(2lg 21xf x x =-+为单调增函数，则()()1g x f x =+也单调递增；不等式()()212f x f x ++>-，即()()21110f x f x ++++>，即()()()()210,21()g x g x g x g x g x ++>+>-=-，故121,3x x x +>->- ，即()()212f x f x ++>-解集为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，故选:A12．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设定义域为R 的函数|1251,0,(){44,0,x x f x x x x --≥=++<若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=.A ．2B ．4或6C ．2或6D ．6【答案】A【解析】请在此输入详解！13．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数(e 3)()x f x x =-，若经过点(0,)a 且与曲线()y f x =相切的直线有三条，则（） A ．3e a -<<- B ．e a >-C ．3a <-D ．3a <-或e a >-【答案】A【解析】()()2e xf x x '=-，设经过点(0,)a 且与曲线()y f x =相切的切点为()()000,3e x x x -，则()()000e 2x f x x '=-.又切线经过()0,a ，故由题意()()00000e e 32xx ax x x --=-有3个解.化简有()()00000e e 32x x a x x x =---，即()02003e 3x a x x =-+-有3个解.设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()2e xg x x x '=-+，令()0g x '=有0x =或1x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.又()03g =-，()1e g =-，且()()711e g g -=->，()()2e 20g g =-<，故要()02003e 3x a x x =-+-有3个解，则3e a -<<-. 故选：A14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知0a >，函数()21x f x x a+=+在[)1,+∞上的最大值为23，则=a （） A ．2或3316B ．12或3316C ．2D ．12【答案】C【解析】令()12t x t =+，则22111212x t a x a t t a t t+==++-+++-，函数()21x f x x a+=+在[)1,+∞上的最大值为23且()0f x >，即转化为()()122a g t t t t+=+-的最小值为32.2221(1)()1a t a g t t t +-+'=-=，()0g t t '=⇒=，2≤，即03a <≤时，()g t 在[2,)+∞上单调递增，()min 13()222a g t g +===，解得2a =；2>，即3a >时，2t ≤<()0g t '<，()g t递减，t >()0g t '>，()g t递增，min 3()22g t g===，解得33316a =<，舍去．故2a = 故选：C ．15．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线2x =-于点D ，则由抛物线定义可知：||||3BF BD ==，设直线AB 为4x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()2,C C y -，不妨设0m >，则120,0y y ><，所以223x +=，解得：21x =，则22288y x ==，解得：2y =-(1,B -，所以41-+=，解得：m =AB为4x y =+，所以当2x =-42y +=-，解得：C y =-(2,C --，联立4x my =+与28y x =得：28320y my --=，则1232y y =-，所以1y =2116BCF C ACFC S yy BC SAC y y -====-.故选：C16．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．17．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()f x 为奇函数，()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()21xf x =-，则()2log 2023f =（）A ．9991024-B ．252048-C ．10242023-D ．512999-【答案】A【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，所以()(2)f x f x -=+，又()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-所以()()()()()242f x f x f x f x f x -=+⇒+=-+=，所以()f x 的周期为4，()()22222202340964096log 2023log 202312log log 2log 409620232023f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22023log 1024220232023999log 211102410241024f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.18．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数()()221e xf x x a x =++，则“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】2222()(2)1e (1)(1)e x xf x x a x a x x a '⎡⎤=++++=+++⎣⎦.∵当a ＝0时，2()(1)e 0x f x x '=+≥，故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值. ∵当a ≠0时，令()0f x '=，得x ＝－1或21x a =--.又211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增；当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 故()f x 在x ＝－1处取得极小值.综上，函数()f x 在x ＝－1处取得极小值0a ⇔≠.所以“a =是“函数()f x 在x ＝－1处取得极小值”的充分不必要条件. 故选：A.19．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -是奇函数，当02x ≤≤时，()1f x ；当2x >时，()421x f x -=+．当k 变化时，方程()10f x kx --=的所有根从小到大记为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则()()()12n f x f x f x ++⋅⋅⋅+取值的集合为（） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,3,5,7,9【答案】C 【解析】()1f x -为奇函数，()f x ∴图像关于点()0,1对称，由()10f x kx --=得：()1f x kx =+，则方程的根即为()f x 与直线1y kx =+的交点，作出()f x 图像如图所示，∵当5120k -≥-，即2k ≥时，如图中11y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有5个交点125,,,x x x ⋅⋅⋅， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()125505f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当31512020k --≤<--，即12k ≤<时，如图中21y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有7个交点127,,,x x x ⋅⋅⋅， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()127707f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当21314020k --<<--，即114k <<时，如图中31y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有5个交点125,,,x x x ⋅⋅⋅，()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()125505f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当211404k -==-时，如图中41y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有3个交点123,,x x x ， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()123303f x f x f x f ∴++==； ∵当2140k -<-，即14k <时，如图中51y k x =+和61y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有且仅有一个交点()0,1，()11f x ∴=.综上所述：()()()12n f x f x f x ++⋅⋅⋅+取值的集合为{}1,3,5,7. 故选：C. 二、多选题20．（2022·广东佛山·高三阶段练习）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD 【解析】对于选项A ，0.710.40.7≠，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{}n a ，当3n ≥时，232410n n a -⋅+=，所以979932410a ⨯+=，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为122930340.40.7(222)291010321211010++++++⨯+⨯=，故C 正确；对于选项D ，由232430010n n a -⋅+=≤有：11n ≤，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确. 故选：BCD.21．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若224,,a b a b +=∈∈R R ，且0ab ≠，则（）A ．||2ab >B ．||a b +≤C ．22log ||log ||1a b +≤D ．111||||a b +< 【答案】BC【解析】对于A ，因为22224||||2||a b a b ab =+=+≥，所以||2ab ≤，当且仅当a b ==时取等，故A 错误；对于B ，因为||a b +≤2≤，可看作部分圆224(0)x y xy +=≠上的点(,)a b 到直线0x y +=的距离不大于2，因为圆心(0,0)在直线0x y +=上，半径为22≤恒成立，故B 正确；对于C ，因为||2ab ≤，所以2222log ||log ||log ||log 21a b ab +=≤=，故C 正确；对于D ，因为224,,a b a b +=∈∈R R ，且0ab ≠，令a b ==111||||a b +=>，故D 错误. 故选：BC.22．（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（） A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为89C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113()39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 不正确；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ()()3327P AB =⨯+=，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确. 故选：ACD23．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则下列选项正确的是（）A ．1D D AF ⊥B ．直线1A G 与EFC ．三棱锥G AEF -的体积为13D ．存在实数λ、μ使得1AG AF AE λμ=+ 【答案】BD【解析】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//DD AA ，易知1AA 与AF 不垂直，故错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，取11B C 的中点H ，连接1,A H GH ，如下图，易知//GH EF ，则1AGH ∠为直线1A G 与EF 夹角或其补角， 2AB =，GH EF ∴=11A H AG = 在1A GH中，2221111cos 2AG GH A H AGH AG GH +-∠==⋅⋅ 因此，直线1A G 与EF对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG DCF -的体积1122224V =⨯⨯⨯=，三棱锥G ABE -的体积211113323ABEV SGB AB BE GB =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=，四棱锥F AECD -的体积()311133ABCDABEAECD V S FC SSFC =⋅⋅=⋅-⋅=四边形，三棱锥G AEF -的体积12323V V V V =--=，故错误；对于D ，连接11,D F D A ，作图如下：易知1//AD EF ，则1,,,A E F D 共面，11//AG D F ，则1,,AG AF AE 共面，即存在实数λ、μ使得1AG AF AE λμ=+，故正确；故选：BD.24．（2022·广东深圳·高三阶段练习）Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n 的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用{}n F 表示.如{}3F 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则（）A ．数列{}n F 都有奇数个项B ．6级Farey 数列{}6F 中，中间项为12C ．6级Farey 数列{}6F 共有11项D ．6级Farey 数列{}6F 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列{}1F 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列{}6F ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确. 故选:BD.25．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数()()2e 33xf x x x =-+，则（）A ．函数()f x 在()0,1上单调递减B ．函数()f x 恰有一个零点C ．当且仅当e 3m <<时，方程()f x m =恰有三个实根D ．若当(],x t ∈-∞（t ∈Z ）时，函数()f x 的最大值为3，则t 的最大值为1 【答案】ACD【解析】函数()()2233e 33e 024xxf x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，选项B 错误；()()e 1x x f x x =-'，0x <或1x >时，()0f x '>，01x <<时，()0f x '<.如图，()f x 在(),0∞-，()1,+∞单调递增，()f x 在()0,1单调递减，选项A 正确；()03f =，()1e f =，当x 趋近正无穷时，()f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，()f x 趋近0，选项C 正确；如图，当(],x t ∈-∞（t ∈Z ）时，函数()f x 的最大值为3，则一定有0t ≥，而()22e 3f =>，所以t （t ∈Z ）的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD.26．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是（）A ．圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB ．圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC ．圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD ．圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π 【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ，由4212r h +=，得26r h +=，又2R =03r <<，圆柱的体积为()()222ππ622π3r V r h r r r ===--，则()6π2V r r =-'，当02r <<时，0V '>，当2r >时，0V '<，故函数()22π3r r V =-在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，所以2r =时，V 取最大值8π，所以08πV <≤，圆柱的外接球的表面积()()()()2222224ππ4π4624π269S R r h r r rr ==+=+-=-+，函数()24π269S r r =-+在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以32r =时，S 取最小值18π，所以18π36πS ≤<.故选：BC.27．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y +上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（）A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >， 00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<，故012012x k k y =>+. 故选：CD.28．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）若()f x 图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[,]A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视为同一个“友情点对”）若32,0()e ,0x x x f x ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是（） A ．0 B ．12020-C ．1e-D ．12023-【答案】BD【解析】若()f x 有两个友情点对，则()f x 在(,0)-∞的图像关于原点对称后与(0,)+∞的图像有两个交点.由0x <时，2()=f x ax ；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-.问题转化为3e x y x =与2y ax =-在(0,)+∞上有两个交点，即方程32ex x ax =-有两根，化简得e xx a -=，即y a =-与e x x y =在(0,)+∞上有两个交点.对于e x xy =，求导1e x x y -'=，令10exx y -'=>，解得：1x <，即：当(0,1)x ∈时，e xxy =单调递增；令10e xxy -'=<，解得：1x >，即：当(1,)x ∈+∞时，e x xy =单调递减，1x ∴=为其极大值点，1emaxy =，又0x →时，0y →；x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与e xxy =在0x >时有两个交点，则1(0,)e a -∈，即1(,0)e a ∈-．故选：BD29．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2g x x = C ．()()()()f g x g f x < D ．()()()()f g x g f x >【答案】BD【解析】∵函数f (x )，g (x )分别是R 上的偶函数、奇函数， ∵f (－x )＝ f (x )，g (－x )＝－g (x ) ∵f (x )＋g (x )＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，∵f (－x )＋g (－x )＝1－sin2x ，即f (x )－g (x )＝1－sin2x ， ∵g (x )＝sin2x ，f (x )＝1，∵f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝sin2＜1，∵f (g (x ))＞g (f (x ))，所以选项B 、D 正确．故选：BD ．30．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）定义一：关于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得在x D ∈时，()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函数为（）A ．()ln f x x =B ．()sin xf x x=C ．()f x =D ．()e xf x -=【答案】BCD【解析】()ln f x x =，单调递增，且无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()sin xf x x=随着x 的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()f x =x 的增大，函数值增大，有渐近线y x =±，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()e x f x -=随着x 的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道.故选：BCD31．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（） A ．x R ∀∈，[]1x x <+ B ．[]y x =，x ∈R 的奇函数C ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1D ．[][][],,x y R x y x y ∀∈+≤+恒成立【答案】ACD【解析】设{}x 是x 的小数部分，则由取整函数的定义知：[]{}x x x =+，当x 为整数时，{}0x =，则[]=x x ，当x 不为整数时，{}01x <<，则[]x x <，且[]1x x <+成立，即[][]1x x x ≤<+，A ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以x R ∀∈，[]1x x <+成立，故选A 正确；B ，当01x <时，[]0y x ==，当10x -<<时，[]1y x ==-，故[]y x =，x ∈R 不是奇函数，故B 错误；C ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以[]1x x x -<≤，[]01x x ∴≤-<，∴函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)01，，故C 正确； D ，由取整函数的定义知： [],,x y R x x ∀∈≤，[]y y ≤，所以[][][][][]⎡⎤+=+≤+⎣⎦x y x y x y ，故D 正确．故选：ACD ．32．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）函数e ()ln x f x x x x=+-，下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有一个零点B ．1x =是函数()f x 的极值点C ．若()f x a ≥恒成立，则(],e 1a ∞∈--D ．若()()12f x f x =且12x x ≠，则121x x +>【答案】BCD【解析】因为e ()ln ,0xf x x x x x =+->所以22e e 1(1)(e )()1x x x x x x f x x x x ⋅---+'=-= 令()e ,0x h x x x =->，()e 10x h x '=-> 即函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1h x h >=所以()01f '=，当01x <<时，()0f x '<，()f x 在()0,1单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增所以min ()(1)e 1f x f ==-，即()e 1f x ≥->0 所以()f x 无零点，则A 错误；所以()f x 极值点为1x =，则B 正确；若()f x a ≥恒成立，则e 1a ≤-，则C 正确； ln e ()ln e (ln )xx x f x x x x x x-=+-=--令ln t x x =-，()ln g x x x =-，1()1g x x'=-=0，1x = 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()(1)1g x g ≥=，即1t ≥，()e t f t t ∴=-当1t ≥，()e 10t f t '=->，()f t ∴在(1,)+∞单调递增若12()()f x f x =，则12t t =，即1122ln ln x x x x -=-，变形为：2121ln ln x x x x -=-，即21211ln ln x x x x -=-不妨设0a b >>，要证ln ln 2a b a b a b -+<-，即证21ln 1a a b a b b⎛⎫- ⎪⎝⎭<+ 令2(1)(1),()ln (1)1a t t t t t t b t ϕ-=>=->+，22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++ 所以函数()t ϕ在(1,)+∞单调递增，(1)0ϕ=，即2(1)ln 01t t t -->+恒成立即ln ln 2a b a b a b -+<-恒成立，则2112211ln ln 2x x x x x x -+=<- 即1221x x +>>，故D 正确. 故选：BCD33．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知随机变量X 的取值为不大于n （n *∈N ）的非负整数，它的概率分布列为：其中i p （0,1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）满足[]0,1i p ∈，01i i p ==∑．()E X 为随机变量X 的期望．定义由X 生成的函数()2012n n f x p p x p x p x =+++⋅⋅⋅+，()g x 为函数()f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由生成的函数为()f x ，则（）A ．()10g p = B ．()011f p <+C ．()22524f =D ．()()1E X g =【答案】ACD【解析】四个面分别标有1，2，3，4个点数的正四面体型骰子，连续抛掷两次，向下点数之和为X 的取值为2,3,4,5,6,7,8，111(2)4416P X ==⨯=，111(3)2448P X ==⨯⨯=，113(4)34416P X ==⨯⨯=，111(5)4444P X ==⨯⨯=，113(6)34416P X ==⨯⨯=，111(7)2448P X ==⨯⨯=，111(8)4416P X ==⨯=，则X 的分布列为：由题知00p =，10p =，且生成的函数()2012nn f x p p x p x p x =+++⋅⋅⋅+，23456781131311()16816416816f x x x x x x x x ∴=++++++， 2345671335971()()8844882g x f x x x x x x x x '∴==++++++,对于A ，()100g p ==，故A 正确；对于B ，()0113131111116816416816f p =++++++==+，故B 不正确；对于C ，()2345678113131122522222222168164168164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，()11313112345678516816416816E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()1335971158844882g =++++++=，故D 正确. 故选：ACD34．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若62a =，63b =，则下列不等关系正确的有（） A ．1ba> B ．14ab <C ．2212+<a b D ．1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】由62a =，63b =，得66log 2,log 3a b ==，所以666log 2log 3log 61a b +=+==，对于A ，626log 3log 31log 2b a ==>，所以A 正确对于B ，因为66log 20,log 30a b =>=>，所以2266(log 2log 3)()1444a b ab ++≤==，因为a b ，所以等号不成立，所以14ab <，所以B 正确，对于C ，因为222a b ab +≥，所以222()122b a a b +≥=+，因为a b ，所以等号不成立，所以2212a b +>，所以C 错误，对于D ，因为ln 2ln 3,ln 6ln 6a b ==，所以11ln 6ln 3ln 63ln 2ln 63ln 3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ln 6ln 42ln 2ln 2>=，且ln 3ln 6ln 63ln 3+≥ln 3ln 6ln 63ln 3≠，所以等号不成立，所以ln 3ln 6ln 63ln 3+>所以11ln 6ln3ln 6223ln 2ln 63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ABD35．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）A B ．该椭圆的离心率为2C D ．该椭圆的焦距为1【答案】BC【解析】()sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45︒+︒=︒︒+︒︒=如图，,A B 分别是椭圆的左､右顶点，1F 是椭圆的左焦点，BC 是圆的直径，D 为该圆的圆心.因为111,BD DF DF BC ==⊥，所以1BF设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则a c += 因为60,45,2,2A B BC AB a ∠∠====，由正弦定理得()22sin60sin 6045a=+，解得a =c a ==所以2c c a ===故选：BC36．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知函数()e e cos2x xf x x -=+-，若()()12f x f x >，则（） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在(),0∞-上为增函数C ．2212x x >D ．12e 1x x ->【答案】AC【解析】对A ，因为()()()e e cos 2e e cos2x x x xf x x x f x ---=+--=+-=，所以()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，()e e 2sin2x xf x x -+'=-，当π02x <时，e e 0,2sin20x x x --，所以()0f x '，当π2x 时，ππ122e ee ee e 2,2sin22x xx ----->->-，所以()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为减函数，故B 错误；因为()()12f x f x >，所以()()12f x f x >，又因为()f x 在[)0,∞+上递增，所以12x x >，即2212x x >，故C正确；显然120x x ->不一定成立，则12e 1x x ->不成立，故D 错误. 故选：AC37．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅，则下列选项正确的是（） A ．函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位长度，可得函数()f x 图像 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间[0,2]π内所有零点之和为143π【答案】ABD【解析】2()cos cos f x a b x x x =⋅=+1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，对于A ，因为sin 21,16x，所以()13,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得1sin 22y x =+，再将所得图像向左平移12π个单位长度，得()11sin 2sin 212262y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为30,662f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误；对于D ，令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2266x k πππ+=-+或722,Z 66x k k πππ+=+∈，所以6x k ππ=-+或,Z 2x k k ππ=+∈，因为[0,2]x π，所以56x π=或116π或2π或32π，所以函数()f x 在区间[0,2]π内所有零点之和为51131466223πππππ+++=，故D 正确. 故选：ABD.38．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC【解析】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <，所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭．令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>，所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立，从而()g x 在(1,0]-上单调递增．又5(0)0,(1)2g g =-=-，所以5(),02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选：BC ．39．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知()()e 211x x f x x -=-，则下列结论正确的是（）A ．不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,1单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增C ．函数()f x 在定义域上有且仅有两个零点D ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]3,1,2-∞+⎪∞⎡⎫⎢⎣⎭【答案】AB【解析】对于A ，由()()e 2101x x f x x -=<-，得e (21)(1)0xx x --<，因为e 0x >，所以(21)(1)0x x --<，解得112x <<，所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 正确，对于B ，()f x 的定义域为{}0x x ≠，由()()e 211x x f x x -=-，得22212(1)(21)(23)()e e e 1(1)(1)x x x x x x x x f x x x x -----'=⋅+⋅=⋅---，令()0f x '>，得0x <或32x >，令()0f x '<，得01x <<或312x <<，所以()f x 在(,0)-∞和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以B 正确，对于C ，令()()e 2101x x f x x -==-，得12x =，所以()f x 在定义域内有且只有一个零点，所以C 错误，对于D ，由选项B 可知()f x 在(,0)-∞和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在(0,1)和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，因数(0)1f =，3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当x 从1的左侧趋近于1时，()f x →-∞，当x 从1的右侧趋近于1时，()f x →+∞，所以()f x 的值域为32(,1]4e ,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，所以若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是32(,1]4e ,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，所以D 错误，故选：AB40．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数()ex xf x =，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线，下列说法正确的是（）A ．当00a b ==，时，有且仅有一条切线B ．当0a =时，可作三条切线，则240e b << C ．当2a =，0b >时，可作两条切线D ．当02a <<时，可作两条切线，则b 的取值范围为24e a -或e a a【答案】ABD【解析】对于A ，当00a b ==，时，点()0,0在函数()e x x f x =的图象上，1()e xxf x -'=，若点()0,0为切点，则切线斜率为(0)1k f '==，所以切线方程为y x =，若点()0,0不为切点，设切点坐标为()00,x y ，所以00e =x x y ，切线斜率为01e -=xyx x ，所以00x =，00y =，即切点为原点，所以00a b ==，时，有且仅有一条切线，故A正确；对于B ，设切点坐标为()00,x y ，所以000e =x x y ，1()ex x f x -'=，则切线的斜率为001e x x k -=，切线方程为()00001e e --=-x x x x y x x ，当0a =时， ()000001e e --=-x x x x b x ，则020ex x b =，设()2e =x x g x ，则()()222e e --'==x x x x x x g x ，当(),0∈-∞x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0x =时()g x 有极小值，为()00g =，2x =时()g x 有极大值，为()242e =g ，0x >时 ()0e x xf x =>，画出()e xx f x =的图象，当0a =时，若做三条切线，则y b =与()e xxf x =的图象有3个交点，由图可得 240e b <<，故B 正确；对于C ，当2a =时，由切线方程得()0000012e e --=-x x x x b x ，则020022e -+=x x x b ，设()222e -+=x x x h x ，则()()222440e e ---+-'==≤x xx x x h x ，所以()h x 单调递减，且()()2110e-+=>xx h x ，如图，所以当2a =，0b >时，y b =与()222e -+=xx x h x 的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C 错误；当02a <<时，由切线方程为()000001e e--=-x x x x y x x 得 ()000001e e --=-x x x x b a x ，则()02001e +-=x x x a b ，设()()21e +-=x x x a t x ，则()()()()2222e e +----'==x x a x x a x a x t x ，因为02a <<，所以当(),2∈x a 时()0t x '>，()t x 单调递增，所以当(),∈-∞x a 时()0t x '<，()t x 单调递减，所以当()2,x ∈+∞时()0t x '<，()t x 单调递减， x a =时，()t x 有极小值为()()210e e +-==>aaa a aat a ， 2x =时，()t x 有极大值为()()22412420ee +--==>aat ， ()t x 的图象为若作两条切线，则b 的取值为24ea -或e a a，故D 正确.。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编09一、单选题1(2024·广东梅州·二模)已知点F 为双曲线C ：x 23-y 2=1的右焦点，点N 在x 轴上(非双曲线顶点)，若对于在双曲线C 上(除顶点外)任一点P ，∠FPN 恒是锐角，则点N 的横坐标的取值范围为()A.2,143B.2,173C.3,143D.3,173【答案】C【解析】由题意可得c =a 2+b 2=2，所以F (2,0)，设N (x 0，0)，P (x ,y )，则PF =(2-x ,-y )，PN =(x 0-x ，-y )，由∠FPN 恒是锐角，得PF ⋅PN=(2-x )(x 0-x )+y 2>0，又x 23-y 2=1，∴y 2=x 23-1，∴不等式可化为：(2-x )(x 0-x )+x 23-1>0，整理得：4x 23-(x 0+2)x +(2x 0-1)>0，∴只需Δ=(x 0+2)2-163(2x 0-1)<0，解得2<x 0<143．故选：C ．2(2024·广东·二模)已知球O 与圆台O 1O 2的上、下底面和侧面均相切，且球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则球O 与圆台O 1O 2的表面积之比为()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】由题意，作出圆台的轴截面ABCD ，设圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，球的半径OO 1=r ，则AE =r 1,BE =r 2，过A 作AD ⊥BC 于点H ，由AH 2+BH 2=AB 2，得2r 2+r 2-r 1 2=r 1+r 2 2，化简得r 2=r 1r 2，由球的体积公式V 球=43πr 3，圆台的体积公式V 圆台=132r ⋅πr 21+πr 22+πr 21⋅πr 22 =23πr r 21+r 22+r 1r 2 ，已知球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则2r 2r 21+r 22+r 1r 2=12，化简得4r 2=r 21+r 22+r 1r 2，则4r 1r 2=r 21+r 22+r 1r 2，得3r 1r 2=r 21+r 22，又球的表面积S 球=4πr 2，圆台的表面积S 圆台=πr 1+r 2 2+r 21+r 22 ，所以S 球S 圆台=4r 22r 21+r 22+r 1r 2 =2r 2r 21+r 22+r 1r 2=2×14=12，故选：D ．3(2024·广东·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，若等腰直角△ABC 的直角边AC 为圆O 的一条弦，且圆心O 在△ABC 外，点B 在圆O 外，则四边形OABC 的面积的最大值为()A.52+1 B.2+1C.62+1 D.3+1【答案】A【解析】如图所示，设∠OAC =∠OCA =α，则∠AOC =π-2α，故S AOC =12OA ⋅OC sin ∠AOC =12sin π-2α =12sin2α，由余弦定理得AC 2=OA 2+OC 2-2OA ⋅OC cos ∠AOC =1+1-2cos π-2α =2+2cos2α，故等腰直角三角形△ABC 的面积为12AC ⋅BC =12AC 2=1+cos2α，故四边形OABC 的面积为12sin2α+cos2α+1=52sin 2α+φ +1，其中tan φ=2，0<φ<π2，其中α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ⊇π2,π，则当2α+φ=π2时，52sin 2α+φ +1取得最大值，最大值为52+1．故选：A4(2024·湖南益阳·模拟预测)已知f x 的定义域为0,+∞ ,f x 是f x 的导函数，且x 2f x +2xf x =ln x ，2ef e =1，则f 13,f sin 14 ,f tan 12的大小关系是()A.f 13 <f sin 14 <f tan 12 B.f sin 14 <f 13 <f tan12C.f tan 12 <f 13 <f sin 14D.f sin 14 <f tan 12 <f 13【答案】C【解析】因为x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，即[x 2f (x )] =ln x ，构造函数g (x )=x 2f (x )，则g (x )=ln x ，f (x )=g (x )x2．将f (x )=g (x )x2代入x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，得f (x )=x ln x -2g (x )x 3．再构造函数h (x )=x ln x -2g (x )，则h (x )=ln x +1-2g (x )=1-ln x ，易知，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，函数h (x )单调递减，所以h (x )max =h (e )=e -2g (e )=e -2e 2f (e )，由于2ef (e )=1，所以h (e )=0，所以h (x )≤0，所以当x ∈(0,e )时，f (x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )在(0,+∞)单调递减．又根据单位圆可得三角不等式sin 13<13<tan 13，又sin 14<sin 13，tan 13<tan 12，所以f tan 13<f 13 <f sin 13 ，故f tan 12 <f 13 <f sin 14 ．故选：C ．5(2024·湖南益阳·模拟预测)如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为r A ，另一种金属晶体的原子半径为r B ，则r A 和r B 的关系是()A.2r B =3r AB.2r B =6r AC.2r B =3-1 r AD.2r B =6-2 r A【答案】D【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P -ABC ，设正四面体的棱长为a a >0 ，高为h h >0 ，外接球球心为O ，D 为正三角形ABC 的中心，则必有PD ⊥平面ABC 且P ，O ，D 三点共线，在正三角形ABC 中，易求得DB =32a ×23=33a ，在△PDB 中，由PB 2=PD 2+DB 2，可得h =PD =a 2-33a 2=63a ，在△OBD 中，由OB 2=OD 2+DB 2，得R 2=(h -R )2+33a2，解得R =64a ，由题意得a =2rA64a =r A +r B，所以64×2r A =r A +r B ，所以2r B =6-2 r A ．故选：D ．6(2024·湖北武汉·模拟预测)若函数f x =3cos ωx +φ ω<0，-π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是()A.π6,π2B.-π2,-π3C.π3,π2D.0,π3 【答案】B【解析】由函数f (x )的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=-2，则f (x )=3cos (-2x +φ)=3cos (2x -φ)，由2k π≤2x -φ≤2k π+π,k ∈Z ，得2k π+φ≤2x ≤2k π+π+φ,k ∈Z ，又f (x )在-π6,π6上单调递减，因此2k π+φ≤-π3，且π3≤2k π+π+φ,k ∈Z ，解得-2π3-2k π≤φ≤-π3-2k π,k ∈Z ①，由余弦函数的零点，得2x -φ=n π+π2,n ∈Z ，即2x =n π+π2+φ,n ∈Z ，而f (x )在0,π6 上存在零点，则0<n π+π2+φ<π3,n ∈Z ，于是-n π-π2<φ<-n π-π6,n ∈Z ②，又-π2<φ<π2，联立①②解得-π2<φ≤-π3，所以φ的取值范围是-π2,-π3．故选：B7(2024·湖北武汉·模拟预测)如果a <x 0)，求导得f (x )=x -14=14x，则14n(n ∈N ∗)可视为函数f (x )=43x 34(x >0)在x =n 处的切线斜率，设A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1))，则直线AB 的斜率k AB =f (n +1)-f (n )n +1-n=f (n +1)-f (n )，由导数的几何意义有f (n +1)<k AB <f (n )，因此14n +1<43(n +1)34-n 34 <14n，而43234-134 +334-234 +434-334 +⋯+8234-8134 <141+142+143+⋯+1481=T ，即有T >438234-1 >438134-1 =43×26=34+23，又T =1+142+143+⋯+1481<1+438134-1 =35+23，因此34+23<T <35+23，所以[T ]=35．故选：B8(2024·山东·二模)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6 对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23．故选：A9(2024·山东·二模)已知f x 为定义在R 上的奇函数，设f x 为f x 的导函数，若f x =f 2-x +4x -4，则f 2023 =()A.1B.-2023C.2D.2023【答案】C【解析】因为f x =f 2-x +4x -4，所以两边求导，得f (x )=-f (2-x )+4，即f (x )+f (2-x )=4①因为f x 为定义在R 上的奇函数，则f (-x )=-f (x )，所以两边求导，得f (x )=f (-x )，所以f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2-x )=f (x -2)，结合①式可得，f (x )+f (x -2)=4，所以f (x -2)+f (x -4)=4，两式相减得，f (x )=f (x -4)，所以f (x )是周期为4的偶函数，所以f (2023)=f (-1)=f (1)．由①式，令x =1，得f (1)=2，所以f (2023)=f (1)=2．故选：C ．10(2024·河南信阳·模拟预测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 为BD 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为()A.33B.63C.66D.32【答案】C【解析】由题意可得OP 的最小值为点O 到线段BD 1的距离，在平面D 1DB 内过点O 作OP ⊥BD 1于点P ，由题意可得DD 1=1，DB =2，BD 1=3，DD 1⊥平面ABCD ，因为DB ⊂平面ABCD ，则DD 1⊥DB ，因为△OPB ∽△D 1DB ，故OP DD 1=OB BD 1，即OP =OB ⋅DD 1BD 1=22×13=66．故选：C ．11(2024·河南信阳·模拟预测)若直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切，则a +b 的取值范围为()A.(-∞,e ]B.[2,e ]C.[e ,+∞)D.[2,+∞)【答案】A【解析】对于y =e x ，有y =e x ，令切点为m ,e m ，则切线方程为y =e m x -m +e m ，即y =e m x +1-m e m ，即有a +b =e m +1-m e m =2-m e m ，令f x =2-x e x ，则f x =1-x e x ，当x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，故f x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，故f x ≤f 1 =2-1 e 1=e ，又当x 趋向于正无穷大时，f x 趋向于负无穷，故f x ∈(-∞,e ]，即a +b ∈(-∞,e ]．故选：A ．12(2024·福建福州·模拟预测)函数f x =2sin ωx 3sin ωx +cos ωx (ω>0)在0,π3上单调递增，且对任意的实数a ，f x 在(a ,a +π)上不单调，则ω的取值范围为()A.1,52B.1,54C.12,52D.12,54【答案】D【解析】因为f (x )=2sin ωx (3sin ωx +cos ωx )=23sin 2ωx +2sin ωx cos ωx=sin2ωx -3cos2ωx +3=2sin 2ωx -π3 +3，又因为x ∈0,π3 ，且ω>0，则2ωx -π3∈-π3,2ωπ3-π3 ，若f (x )在0,π3上单调递增，所以2ωπ3-π3≤π2，所以0<ω≤54，因为对任意的实数a ，f (x )在(a ,a +π)上不单调，所以f (x )的周期T =2π2ω<2π，所以ω>12，所以12<ω≤54．故选：D ．13(2024·浙江嘉兴·二模)6位学生在游乐场游玩A ,B ,C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有()A.180种B.210种C.240种D.360种【答案】C【解析】若A 有2人游玩，则有C 26C 34C 11A 22+C 24C 22A 22A 22=15×8+6 =210种；若A 有4人游玩，则有C 46A 22=15×2=30种；所以共有240种，故选：C ．14(2024·浙江嘉兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足xf x =1-x f x ，且f 1 >0，则()A.f 12<f 1 <f 2 B.f 2 <f 1 <f 12C.f 12<f 2 <f 1D.f 2 <f 12<f 1 【答案】D【解析】由xfx =1-x f x 变形得f x -xf x f x=x ，从而有f x -xf x f 2x=x f x ，x f x =x f x ，所以xf x=k ⋅e x ，因为f 1 >0，所以k =1f 1 e1>0，则f x =xk ⋅e x ，则fx =ke x -kx ⋅e x k 2e x =ke x 1-x k 2e x，故当0<x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，所以f x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 单调递减，所以f 12<f 1 ，f 2 <f 1 ，又f 12 -f 2 =12k e -2ke 2=e 32-42ke2，而e 3>2.73≈19.7>16，所以e 32>4，所以f 2 <f 12<f 1 ．故选：D ．15(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9π B.16π C.25πD.36π【答案】C【解析】设棱台上下底面的中心为N ,M ，连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1，设球半径为R ，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ，与棱AB ,BC ,CD,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ，所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C16(2024·浙江宁波·二模)已知集合P =x ,y |x 4+ax -2024=0 且xy =2024 ，若P 中的点均在直线y =2024x 的同一侧，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2023 ∪2023,+∞ B.2023,+∞ C.-∞,-2024 ∪2024,+∞ D.2024,+∞【答案】A【解析】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组x 4+ax -2024=0xy =2024 的解集，显然x ≠0，所以a =-x 3+2024xy =2024x，即y =-x 3+2024x y =2024x y =a，令f x =-x 3+2024x ，由y =2024x y =2024x，解得x =1y =1 或x =-1y =-1 ，即函数y =2024x 与y =2024x的交点坐标为1,1 和-1,-1 ，又f -x =-x 3+2024x =--x 3+2024x =-f x ，所以f x 为奇函数，因为y =-x 3与y =2024x 在0,+∞ 上单调递减，所以f x =-x 3+2024x 在0,+∞ 上单调递减，则f x =-x 3+2024x在-∞,0 上单调递减，依题意y =a 与y =-x 3+2024x 、y =2024x的交点在直线y =2024x 的同侧，只需a >f 1 或a <f -1 ，即a >2023或a <-2023，所以实数a 的取值范围为-∞,-2023 ∪2023,+∞ ．故选：A17(2024·浙江杭州·二模)在△ABC 中，已知sin A sin B =n sin C ,cos A cos B=n cos C ．若tan A +π4 =-3，则n =()A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】由tan A +π4 =1+tan A1-tan A=-3，即tan A =2，则cos A ≠0，由sin A sin B =n sin C ,cos A cos B =n cos C ，知cos C ≠0，则tan A tan B=tan C ，则tan A =tan B ⋅tan C =2，又tan A =tan π-B -C =-tan B +C =-tan B +tan C1-tan B ⋅tan C=tan B +tan C ，故tan B +tan C =2，设tan B =t ，则tan C =2-t ，有t 2-t =2，即t 2-2t +2=0，Δ=4-8=-4<0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解．故选：A ．18(2024·浙江杭州·二模)设集合M ={-1,1}，N ={x |x >0且x ≠1}，函数f x =a x +λa -x (a >0且a ≠1)，则()A.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为增函数B.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为减函数C.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为奇函数D.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为偶函数【答案】D【解析】当λ=1时，f x =a x +a -x ，a >1时，f (x )在(-∞,0)上不是增函数，故A 不正确；当λ=-1时，f x =a x -a -x ，a >1时，f (x )在(0,+∞)上为增函数，B 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故C 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故D 正确；故选：D ．19(2024·浙江台州·二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点M ,N 分别在双曲线C 的左、右两支上，且满足∠MF 2N =π3，NF 2=2MF 1 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.73C.3D.52【答案】B【解析】如图，设NF 1与MF 2的交点为P ，MF 1 =x ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2 =2MF 1 =2x ，所以，由双曲线的定义可知：MF 2 =MF 1 +2a =2a +x ，NF 1 =2a +NF 2 =2x +2a ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2⎳MF 1，所以△NF 2P ∽△F 1MP ，∠F 1MF 2=∠MF 2N =π3，所以PF 2 =23MF 2 =232a +x ，PN =23NF 1 =232a +2x ，所以，在△PNF 2中，∠PF 2N =∠MF 2N =π3，所以，由余弦定理有：cos ∠PF 2N =PF 2 2+F 2N 2-PN 22PF 2 ⋅F 2N=cos π3=12，代入PF 2 =232a +x ，PN =232a +2x ，NF 2 =2x ，整理得3x 2-10ax =0，解得x =103a ，x =0(舍)，所以，MF 1 =x =103a ，MF 2 =2a +x =163a ，F 1F 2 =2c ，所以，在△F 1MF 2中，由余弦定理有：cos ∠F 1MF 2=F 1M 2+F 2M 2-F 1F 2 22F 1M ⋅F 2M =12，代入数据整理得：7a =3c ，所以，双曲线的离心率为：e =c a =73．故选：B20(2024·江苏扬州·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°，动点P 在BC 边上(包括端点)，则AD ⋅AP的取值范围是()A.0,1 B.-1,2C.-2,2D.-1,1【答案】C【解析】如图，作Cy ⊥CB ，以C 为原点，建立平面直角坐标系，易知C (0,0)，A (1,3)，D (-1,3)，设P (x ,0)，且x ∈0,2 ，故AD =(-2,0)，AP=x -1,-3 ，故AD ⋅AP=-2(1-x )=2-2x ，而-2x ∈-4,0 ，2-2x ∈-2,2 ．故选：C21(2024·江苏扬州·模拟预测)设方程2x +x +3=0和方程log 2x +x +3=0的根分别为p ,q ，设函数f x =x +p x +q ，则()A.f 2 =f 0 <f 3B.f 0 =f 3 >f 2C.f 3 <f 2 =f 0D.f 0 <f 3 <f 2【答案】B【解析】由2x +x +3=0得2x =-x -3，由log 2x +x +3=0得log 2x =-x -3，所以令y =2x ,y =log 2x ,y =-x -3，这3个函数图象情况如下图所示：设y =2x ,y =-x -3交于点B ，y =log 2x ,y =-x -3交于点C ，由于y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称，而y =-x -3,y =x 的交点为A -32,-32 ，所以p +q 2=-32，注意到函数f x =x +p x +q =x 2+p +q x +pq 的对称轴为直线x =-p +q 2，即x =32，且二次函数f x 的图象是开口向上的抛物线方程，从而f 0 =f 3 >f 2 ．故选：B ．22(2024·河北邢台·一模)如图，正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcmB.32πcm C.33πcm D.34πcm 【答案】A【解析】正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，正四棱台容器内水的高度为6cm ，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为122+10 =6，其体积为V 1=1362+102+62×102 ×6=392cm 3；放入铁球后，水位高为9cm ，沿A 1B 1作个纵截面，从A 1,B 1分别向底面引垂线，如图，其中EF 是底面边长10cm ，B 1H 是容器的高为12cm ，GH 是水的高为9cm ，由截面图中比例线段的性质GN HF =B 1G B 1H=14，可得GN =1，此时水面边长为4cm ，此时水的体积为V 2=1342+102+42×102 ×9=468cm 3，放入的57个球的体积为468-392=76cm 3，设小铁球的半径为r ，则57×43πr 3=76，解得r =31πcm ．故选：A 23(2024·河北邢台·一模)倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=16x 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．若θ∈π6,π4，则AF BF 的取值范围为()A.128,256 B.64,256 C.64,1963 D.1963,128 【答案】A【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线y 2=2px ，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．作准线的垂线AA ,BB ，过F 作FM ⊥AA ，则AF =AA =MA +AM =p +AF cos θ，解得AF =p 1-cos θ，同理可得BF =p1+cos θ，如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得AF =81-cos θ，AF =81+cos θ，则AF BF =81-cos θ×81+cos θ=64sin 2θ，而θ∈π6,π4 ，可得sin 2θ∈14,12 ，故64sin 2θ∈128,256 ，故A 正确，故选：A 二、多选题24(2024·广东梅州·二模)已知数列a n 的通项公式为a n =3n ，n ∈N *，在a n 中依次选取若干项(至少3项)a k 1，a k 2，a k 3，⋅⋅⋅，a k n，⋅⋅⋅，使a k n成为一个等比数列，则下列说法正确的是()A.若取k 1=1，k 2=3，则k 3=9B.满足题意的k n 也必是一个等比数列C.在a n 的前100项中，a k n的可能项数最多是6D.如果把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n总是无穷数列【答案】AB【解析】因为数列a n 的通项公式为a n =3n ，对于A ，取k 1=1，k 2=3，则a k 1=a 1=3，a k 2=a 3=9，由于a k n为等比数列，则a k 3=27，则有3k 3=27，即k 3=9，故A 正确；对于B ，数列{a n }的通项公式为a n =3n ，则a k n=3k n ，若a k n为等比数列，即3k 1，3k 2，3k 3，⋯，3k n ，⋯是等比数列，则k 1，k 2，k 3，⋯，k n ，⋯，是等比数列，故满足题意的{k n }也必是一个等比数列，故B 正确；对于C ，在a n 的前100项中，可以取k 1=1，k 2=2，k 3=4，k 4=8，k 5=16，k 6=32，k 7=64，可以使a k n成为一个等比数列，此时a k n为7项，故C 错误；对于D ，取k 1=4，k 2=6，则a k 1=12,a k 2=18，则a k 3=27,a k 4=812，a k 4=812不是数列a n 的项，所以把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n不总是无穷数列，故D 错误．故选：AB ．25(2024·广东梅州·二模)如图，平面ABN ⊥α，AB =MN =2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则()A.以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB.若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C.若P 到直线MN 的距离为1，则∠APB 的最大值为π2D.满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】对于A ，由于MN 与平面α的所成角大小为30°，所以点N 到平面α的距离d =MN sin30°=1，故半径为R =2的球面在平面α上截面圆的半径为r =R 2-d 2=3，故截痕长为2πr =23π，A 错误，对于B ，由于平面ABN ⊥α，所以以AB 为y ，在平面α内过M 作x ⊥AB ，平面ABN 内作z ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0,3,1 ，设P x ,y ,0 ，则PM =PN ⇒x 2+y 2=x 2+y -3 2+1，化简得y =23，故P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线，B 正确，MN =0,3,1 ,MP =x ,y ,0 ，所以P 到直线MN 的距离为MP 2-MP ⋅MNMN2=x 2+y 2-3y 22=1，化简可得x 2+y 24=1，所以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x 2+y 24=1上一点，如图，当P 在短轴的端点时，此时∠APB 最大，由于BM =MP =1，故∠BPM =π4，因此∠APB =2∠BPM =π2，C 正确，对于D ，NM =0,-3,-1 ,NP =x ,y -3,-1 ，MP=x ,y ,0 ，若∠MNP =45°，则cos ∠MNP =cos NM ,NP =NM ⋅NPNM ⋅NP =-3y +42x 2+y -3 2+1=22，化简得y -2324-x 22=1且y <433，故满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是双曲线的一部分，D 错误，故选：BC26(2024·广东·二模)设O 为坐标原点，抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为F 1，过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点，过点A ,B 分别作l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则下列说法正确的有()A.A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2B.A 1B 1 ≤2FF 1C.OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1D.OA +OB ≥OA 1 +OB 1【答案】ACD【解析】由已知F (1,0)，F 1(-1,0)，设过点F 的直线方程为：x =my +1，设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则A 1(-1,y 1)，B 1(-1,y 2)，由y 2=4x x =my +1，得y 2-4my -4=0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2,x 1x 2=y 1y 2216=1，A 1F 1 ⋅B 1F 1 =-y 1y 2=4,FF 1 2=22=4，所以A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2，故A 正确，A 1B 1 =y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16m 2+16≥4=2FF 1 ，故B 错误，OA2⋅OB 2=x 21+y 21 x 22+y 22 =x 21x 22+x 21y 22+x 22y 21+y 21y 22=17+x 22y 21+x 21y 22=17+4x 22x 1+4x 21x 2=17+4x 1x 2x 1+x 2 =25+16m2，O 1A2⋅O 1B 2=1+y 21 1+y 22 =1+y 22+y 21+y 21y 22=17+y 21+y 22=17+y 1+y 2 2-2y 1y 2=25+16m 2，故OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，C 正确，OA +OB2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2+2OA ⋅OB -2OA 1 ⋅OB 1 ，由选项C 可知OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，所以OA +OB 2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2=x 21+y 21 +x 22+y 22 -1+y 21 -1+y 22 =x 21+x 22 -2=x 1+x 2 2-2x 1x 2-2=4m 2+2 2-4≥0，故OA +OB ≥OA 1 +OB 1 ，D 正确；故选：ACD27(2024·湖南益阳·模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP 与横杆PQ 组成，P ,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ 始终保持水平．如图2所示，以点O 为原点，水平方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1米，转动杆OP 的长度为1．6米，横杆PQ 的长度为2米，OP 绕点O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角θ∈30°,90° ()A.则点P 运动的轨迹方程为x 2+(y +1)2=6425(其中x ∈0,435,y ∈45,85)B.则点Q 运动的轨迹方程为(x -2)2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)C.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ 距水平地面的高度为135米D.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q 运动轨迹的长度为135米【答案】BC【解析】对于A ：点P 的轨迹显然是以O 为原点，OP 为半径的圆，故点P 运动轨迹方程为x 2+y 2=6425(其中x ∈0,435 ,y ∈45,85)，故A 错误；对于B ：设Q x ,y ,P x 0,y 0 ，因为PQ 平行于x 轴，所以x =x 0+2y =y 0，所以x 0=x -2y 0=y ，又因为P 在加圆x 2+y 2=6425上，所以点Q 的运动轨迹是以(2,0)为圆心，1．6为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为x -2 2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)，故B 正确；对于C ：若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ 达到最高点，此时横杆PQ 距水平地面的高度为1+1.6=135，故C 正确；对于D ：因为OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故Q 绕点2,0 转动的角度与点P 绕点0,0 转动的角度一样为90°-30°=π3，所以点Q 运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于1.6×π3=8π15，故D 错误．故选：BC ．28(2024·湖南益阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，已知sin A :sin B :sin C =2:3:4，则下列结论中正确的是()A.a +b :b +c :c +a =5：6：7B.△ABC 为钝角三角形C.若a +b +c =18．则△ABC 的面积是615D.若△ABC 的外接圆半径是R ，内切圆半径为r ，则5R =16r 【答案】BD【解析】因为sin A :sin B :sin C =2:3:4，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R ，可得a :b :c =2:3:4，设a =2x x >0 ，b =3x ，c =4x ，则(a +b ):(b +c ):(c +a )=5x :7x :6x =5:7:6，故A 错误；由题意可知，C 为最大角，因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =4x 2+9x 2-16x 212x 2=-14<0，故C 为钝角，故B 正确；若a +b +c =18，则a =4，b =6，c =8，又cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154，所以△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =12×4×6×154=315，故C 错误；由正弦定理得，2R =c sin C =4x 154=16x 15，即R =8x15，由面积公式可得12(a +b +c )r =12ab sin C ，即12×9x ⋅r =12×2x ×3x ×154，所以r =156x ，所以R r =165，故5R =16r ，故D 正确．故选：BD ．29(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【解析】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确．故选：BCD 30(2024·湖北武汉·模拟预测)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，点C 是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A 1C 交直线x =2于点P ，连接A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k A 1C ⋅k A 2C 为定值B.2k A 1C =k OPC.当四边形OA 2CB 1的面积最大时，直线OC 的斜率为1D.点M 的纵坐标没有最大值【答案】ABD【解析】依题意，A 1(-2,0),A 2(2,0)，设C (2cos θ,sin θ),0<θ<2π,θ∉π2,π,3π2，对于A ，k A 1C ⋅k A 2C =sin θ2cos θ+2⋅sin θ2cos θ-2=-14，A 正确；对于B ，直线A 1C 的方程为y =sin θ2cos θ+2(x +2)，它与直线x =2的交点P 2,2sin θcos θ+1，因此k OP =sin θcos θ+1=2k A 1C ，B 正确；对于C ，不妨令0<θ<π2，四边形OA 2CB 1的面积S =S △OA 2C +S △OB 1C=sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ≤2，当且仅当θ=π4时取等号，此时点C 2,22 ，直线OC 的斜率为12，C 错误；对于D ，当点C 无限接近点B 1时，点M 的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，因此没有最大值，D 正确．故选：ABD31(2024·山东·二模)将正四棱锥P -ABCD 和正四棱锥Q -ABCD 的底面重合组成八面体Ω,AB =PA =2,QA =10，则()A.PQ ⊥平面ABCDB.PA ⎳QCC.Ω的体积为42D.二面角P -AB -Q 的余弦值为-13【答案】AC【解析】令正方形ABCD 的中心为O ，连接PO ,QO ，对于A ，由正四棱锥P -ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，同理QO ⊥平面ABCD ，则P ,O ,Q 共线，因此PQ ⊥平面ABCD ，A 正确；对于B ，连接AC ，显然O 是AC 的中点，AO =12AC =2，PO =PA 2-AO 2=2，QO =QA 2-AO 2=22，O 不是PQ 的中点，因此四边形APCQ 不是平行四边形，PA ,QC 不平行，B 错误；对于C ，Ω的体积V =V P -ABCD +V Q -ABCD =13S ABCD ⋅(PO +QO )=13×4×32=42，C 正确；对于D ，取AB 中点M ，连接PM ,QM ，则PM ⊥AB ,QM ⊥AB ，∠PMQ 是二面角P -AB -Q 的平面角，而PM =PA 2-AM 2=3,QM =QA 2-AM 2=3，则cos ∠PMQ =(3)2+32-(32)22×3×3=-33，D 错误．故选：AC32(2024·山东·二模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)焦点为F ，过点M 2,0 (不与点F 重合)的直线交E 于P ,Q 两点，O 为坐标原点，直线PF ,QF 分别交E 于A ,B 两点，∠POQ =90°，则()A.p =1B.直线AB 过定点14,0C.FP ⋅FQ 的最小值为254D.PA +QB 的最小值为254【答案】ACD【解析】设直线PQ :x =my +2与抛物线联立可得：y 2-2pmy -4p =0，设P y 212p ,y 1 ,Q y 222p ,y 2，则y 1y 2=-4p ，因为∠AOB =90°∠AOB =90°，所以OP ⋅OQ =y 1y 2 24p 2+y 1y 2=4-4p =0，解p =1，故A 正确；由A 可知，F 12,0 ，设直线PF :x =m 1y +12，与抛物线联立可得，y 2-2m 1y -1=0，设A x A ,y A ,B x B ,y B ，所以y A =-1y 1，同理可得y B =-1y 2，所以y A y B =1y 1y 2=-14，直线AB :2x -y A +y B y +y A y B =0，即2x -18 -y A +y B y =0，所以直线AB 过定点18,0 ，故B 错误；FP ⋅FQ =y 212+12 y 222+12=y 21y 224+y 21+y 224+14≥y 21y 22+2y 1y 2 +14=254，故C 正确；PA =y 21+1+1y 21+12,QB =y 22+1+1y 22+12，所以PA +QB =y 21+y 22+1y 21+1y 22+42=1716y 21+y 22 +42≥1716×2y 1y 2 +42=254，故D 正确．故选：ACD ．33(2024·福建福州·模拟预测)定义在R 上的函数f x 的值域为-∞,0 ，且f 2x +f x +y f x -y =0，则()A.f 0 =-1B.f 4 +f 1 2=0C.f x f -x =1D.f x +f -x ≤-2【答案】ACD【解析】令x =y =0，则有f 0 +f 0 2=0，解得f 0 =0或f 0 =-1，因为函数f x 的值域为-∞,0 ，所以f 0 =-1，A 正确；令x =1,y =0，则有f 2 +f 1 2=0，即f 2 =-f 1 2令x =2,y =0，则有f 4 +f 2 2=0，即f 4 +f 1 4=0，B 不正确；令x =0，则有f 0 +f y f -y =0，所以f y f -y =1，即f x f -x =1，C 正确；因为f x <0，所以-f x >0，-f -x >0，所以-f x +-f -x ≥2f x f -x =2，当且仅当f x =f -x 时，取到等号，所以f x +f -x ≤-2，D 正确．故选：ACD34(2024·福建福州·模拟预测)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X n =1,第n 次投出正面,-1,第n 次投出反面, (n =1,2,3)．记A 表示事件“X 1+X 2=0”，B 表示事件“X 2=1”，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，则()A.B 和C 互为对立事件B.事件A 和C 不互斥C.事件A 和B 相互独立D.事件B 和C 相互独立【答案】BC【解析】根据题意，A 表示事件“X 1+X 2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A =C 12122=12，B 表示事件“X 2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B =12，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C =C 13×12×122=38，依次分析选项：对于A ，事件B 、C 可能同时发生，则事件B 、C 不是对立事件，A 错误；对于B ，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；对于C ，事件AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P (AB )=12×12=14，由于P A P B =P (AB )，则事件A 和B 相互独立，C 正确；对于D ，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P (BC )=12×12×12=18，P B P C ≠P (BC )，事件B 、C 不是相互独立事件，D 错误．故选：BC ．35(2024·浙江嘉兴·二模)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点A a ,b ab ≠0,a ≠b ，定义：Ti α =a +ba -b．对于函数f x =Ti x ，则()A.函数f x 的图象关于点π4,0 对称B.函数f x 在区间π4,π2上单调递增C.将函数f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程f x =12在区间0,π 上有两个不同的实数解【答案】AB【解析】根据题意，tan x =b a ，∴f x =a +b a -b =1+ba 1-b a=1+tan x 1-tan x =tan π4+tan x 1-tan π4⋅tan x =tan x +π4 ，对于A ，由正切函数的性质得x +π4=k π2，k ∈Z ，解得x =-π4+k π2，所以函数f x 的对称中心为-π4+k π2,0，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，x ∈π4,π2 ，∴x +π4∈π2,3π4 ，由正切函数的性质可知f x 在π4,π2上单调递增，故B 正确；对于C ，将f x 的图象向左平移π4个单位可得y =tan x +π4+π4 =tan x +π2=1tan x，为奇函数，故C 错误；对于D ，∵x ∈0,π ，∴x +π4∈π4,3π4，令α=x +π4，由正切函数y =tan α的性质可知在π4,π2 上单调递增，且y ≥1，在π2,π上单调递增，且y ≤0，所以方程f x =tan x +π4 =12在区间0,π 上无实数解，故D 错误．故选：AB ．36(2024·浙江嘉兴·二模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，已知抛物线Ω:y 2=2px (p >0)的准线为l ,O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线l 1和l 2，分别经Ω上的点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线l 3和l 4射出，且l 1与l 2之间的距离等于l 3与l 4之间的距离．则下列说法中正确的是()A.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则A ,O ,P 三点共线B.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则PF 平分∠APCC.y 1y 2=p 2D.若直线l 1的方程为y =2p ，则cos ∠AFB =725【答案】ACD【解析】对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线AC :x =ty +p 2，与抛物线y 2=2px 联立得y 2-2pty -p 2=0，∴y 1+y 3=2pt ,y 1y 3=-p 2，由题意得P -p 2,y 3 ,A y 212p ,y 1,k OP =-2y 3p ，k AO =2p y 1=2p -p 2y3=-2y 3p ，所以k OP =k AO ，即A ､O ､P 三点共线，故A 正确；对于选项B ，假设∠APF =∠CPF ，又∠CFP =∠CPF ，所以∠APF =∠CFP ，所以AP ⎳CF ，这与AP 和CF 相交于A 点矛盾，故B 错误；对于选项C ，l 1与l 2距离等于l 3与l 4距离，又结合A 选项，则y 1-y 2=y 3-y 4=-p 2y 1+p 2y 2=p 2⋅y 1-y 2y 1y 2，所以y 1y 2=p 2，故C 正确；对于选项D ，由题意可得，A 2p ,2p ,B p 8,p 2,F p 2,0 ,FA =3p 2,2p ,FB =-3p 8,p2，FA ⋅FB =3p 2⋅-3p 8 +2p ⋅p 2=7p 216，FA ⋅FB =3p 2 2+(2p )2⋅-3p 8 2+p 2 2=25p 216，∴cos ∠AFB =FA ⋅FB FA ⋅FB =725，故D 正确．故选：ACD ．37(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b =1,c =3且a ⋅c =b ⋅c，则()A.a +b +c的最小值为2B.a +b +c的最大值为5C.a -b +c的最小值为2 D.a -b +c的最大值为13【答案】BD【解析】当向量a ,b 方向相同，与c 方向相反时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最小值c -a+b =1，A 选项错误；当向量a ,b ,c 方向相同时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最大值a +b +c=5，B 选项正确；a ⋅c =b ⋅c ，有a -b ⋅c =0，即a -b ⊥c ，则a -b +c =a -b 2+c 2，向量a ,b 方向相同时，a -b 的最小值为0，a -b +c 的最小值为3，C 选项错误；向量a ,b 方向相反时，a -b 的最大值为2，a -b +c 的最大值为13，D 选项正确．故选：BD38(2024·浙江宁波·二模)已知函数f x =sin ωx +φ (ω>0)，()A.若ω=2,φ=π2，则f x 是最小正周期为π的偶函数B.若ω=2,x 0为f x 的一个零点，则x 0+π4必为f x 的一个极大值点C.若φ=-π4,x =π2是f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D.若φ=-π4,f x 在0,π6上单调，则ω的最大值为92【答案】ACD【解析】若ω=2,φ=π2，则f x =sin2x+π2=cos2x，所以f x 是最小正周期为2π2=π的偶函数，A正确；若ω=2，则f x 是最小正周期为2π2=π，若x0为f x 的一个零点，则x0+π4为f x 的一个极大值点或极小值点，B错误；若φ=-π4,x=π2是f x 的一条对称轴，则fπ2=sinπ2ω-π4=±1，所以π2ω-π4=π2+kπ,k∈Z，即ω=32+2k,k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为32，C正确；若φ=-π4, 则f x =sinωx-π4(ω>0)，由正弦函数的单调性，令-π2+2kπ≤ωx-π4≤π2+2kπ，解得-π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，又f x 在0,π6上单调，所以当k=0时，0,π6⊆-π4ω,3π4ω，即π6≤3π4ω，解得ω≤92，则ω的最大值为92，D正确．故选：ACD．39(2024·浙江宁波·二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知U为全集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x =1,x∈S0,x∈∁U S若A,B,C⊆U，则()注：x∈M f(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f x 之和(其中M是f x 定义域的子集)．A.x∈A 1A(x)<x∈U 1A(x)B.1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)C.x∈U 1A∪B(x)=x∈U1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)D.x∈U1-1A(x)1-1B(x)1-1C(x)=x∈U 1U(x)-x∈U 1A∪B∪C(x)【答案】BCD【解析】对于A，由于A⊆U，所以x∈U 1A(x)=x∈A 1A(x)+x∈∁u A 1A(x)=x∈A 1A(x),故x∈A 1A(x)=x∈U 1A(x)，故A错误，对于B，若x∈A∩B，则1A∩B(x)=1,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，此时满足1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)，若x∈A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，若x∈B且x∉A时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=1，若x∉A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=0，综上可得1A ∩B (x )≤1A (x )≤1A ∪B (x )，故B 正确，对于C ，x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) =x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B=x ∈A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )而x ∈U1A ∪B (x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )+x ∈∁U A ∪B1A ∪B(x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )，由于1A ∪B x =1,x ∈A ∪B0,x ∈∁U A ∪B，所以1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=1A ∪B (x )故x ∈U1A ∪B (x )=x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) ，C 正确，x ∈U1U (x )-x ∈U1A ∪B ∪C (x )=x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，当x ∈A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )中至少一个为1，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =0，当x ∉A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )均为0，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =1，故x ∈U1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1-1A (x )1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，故D 正确，故选：BCD40(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x 对任意实数x 均满足2f x +f x 2-1 =1，则()A.f -x =f xB.f 2 =1C.f -1 =13 D.函数f x 在区间2,3 上不单调【答案】ACD【解析】对于A ，令x 等价于-x ，则2f -x +f x 2-1 =1，所以f -x =f x =1-f x 2-1 2，故A 正确；对于B ，令x =1，则2f 1 +f 0 =1，令x =0，则2f 0 +f 1 =1，解得：f 0 =f 1 =13，令x =2，2f 2 +f 1 =1，则f 2 =13，故B 错误；对于C ，由A 知，f -x =f x ，所以f -1 =f 1 =13，故C 正确；对于D ，令x =x 2-1，所以x 2-x -1=0，解得：x =1±52，令x =1+52，则2f 1+52+f 1+52 =1，所以f 1+52 =13，因为1+52∈2,3 ，f 1+52 =f 2 =13，所以函数f x 在区间2,3 上不单调，故D 正确．故选：ACD ．。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷03(解析版)

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2023年的对于三视图的考察也将近有尾声，留意的是立体几何中对圆锥的考察（侧面积的计算也会成一个热点）。

其他的题目难度变化不大，但侧重于考察学生运算能力与分析能力。

应特别注意新高考函数位于第一大题的位置，其难度有所下降，函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题，新高考概率位于第二大题的位置，概率中多研究条件概率、古典概率问题，同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论（推导）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：学生的编号i 12345数学成绩x 100105908580地理成绩y75■686462现已知其线性回归方程为0.4527.6y x =+，则“■”代表该生的地理成绩为（）A ．76B ．74.85C ．73D ．72.5【答案】A 【解析】10010590858092,0.459227.6695x y ++++===⨯+=，所以■5(75686462)76y =-+++=．故选：A2．已知点P 是ABC 的重心，则AP =（）A ．1166AP AB AC=+ B ．1144AP AB AC=+C ．2133AP AC BC=+ D ．2133AP AB BC=+ 【答案】D【解析】设BC 的中点为D ，连接AD ，点P 是ABC 的重心，则P 在AD 上，且()()2211212332333AP AD AB AC AB BC AB BC==⨯+=+=+2121(333)3AC CB BC AC BC =++=-，由此可知A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D3．在等比数列{}n a 中，24791,16a a a a +=+=-，则101257a a a a +=+（）A ．-4B ．8C ．-16D ．16【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()557924116a a a a q q +=+=⨯=-，即516q =-，()55751012575716a a q a a q a a a a ++∴===-++.故选:C.4．下列说法中正确的是（）A ．没有公共点的两条直线是异面直线B ．若两条直线a ，b 与平面α所成的角相等，则//a bC ．若平面α，β，γ满足αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面.若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】对A ，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A 错误；对B ，若两条直线a ，b 与平面α所成的角相等，则a ，b 可以平行、相交或异面，故B 错误；对C ，若平面α，β，γ满足a β⊥，βγ⊥，则α，γ不一定垂直，故C 错误；对D ，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D 正确.故选：D.5．一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（）A ．480B ．270C ．240D ．60【答案】C 【解析】方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有16C 6=（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有1110822C C 40 A =（种），所以不同的挑选方法的种数是640240⨯=.方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有16C 6=（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有210C -15C 40=（种），所以不同的挑选方法的种数是640240⨯=.故选；C6．已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()1ln 0f ax f x ++>在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-【答案】D【解析】由于函数()22x x f x -=-，定义域为R ，满足()()22x xf x f x --=-=-，得()f x 是奇函数，且在R 上为减函数.()()1ln 0f ax f x ++> 在()0,∞+上恒成立，()()()1ln ln f ax f x f x ∴+>-=-在()0,∞+上恒成立，1ln ax x ∴+<-在()0,∞+上恒成立，ln 1x a x+∴<-在()0,∞+上恒成立.令()()ln 1,0,x g x x x∞+=-∈+，则()2ln x g x x '=，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()11,1g x g a ∴≥=-∴<-，即a 的取值范围为(),1-∞-，故选：D.7．已知()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则13a a +的值为（）A ．1-B ．1C ．4D ．2-【答案】C【解析】在()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++中，而()()()()5551111x x x x x +-=-+-，由二项式定理知()51x -展开式的通项为515C (1)r rr r T x -+=-，令52r -=，解得3r =，令53r -=，2r =，故3322355C (1)C (1)0a =-+-=，同理令51r -=，解得4r =，令50r -=，解得=5r ，故4455155C (1)C (1)a =-+-=4，故134a a +=.故选：C8．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，过点2F 作x 轴的垂线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若12F PF ∠的平分线经过椭圆C 的下顶点，则椭圆C 的离心率的平方为（）A B C D 【答案】D【解析】设2(,0)F c ，将x c =代入椭圆方程，易得2c,b P a⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2221,2b b PF PF a a a==-．记椭圆C 的下顶点为(0,)B b -，则PB 的斜率2()PBb bb a b a kc ac++==，∴直线PB 的方程为()b a b y x b ac+=-，令0y =得直线PB 与x 轴的交点为,0ac T a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，则12,ac acTF c TF c a b a b =+=-++，又12111122221sin 21sin 2PF T PF TPF PT F PT S PF TF S PF TF PF PT F PT ⋅⋅∠===⋅⋅∠ ，222b ac a c a a b ac b c a b a-++∴=-+，即220a ab b --=，210b ba a⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，得b a =（舍去负值），2222212a b ab b e a a a --∴====．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．用“五点法”作函数()()sin φf x A x B ω=++（0A >，0ω>，π2ϕ<）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数()y f x =描述正确的是（）x ωϕ+0π2π3π22πx a π3b 5π6c ()f x 131d1A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．函数()f x 与()π2cos 213g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭表示同一函数【答案】ACD【解析】根据表格可知ππ232π5π3π662ωωϕϕωϕ⎧=⋅+=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⋅+=⎩⎪⎩，且12B A =⎧⎨=⎩，则()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的周期性可知()f x 的最小正周期为2ππT ω==，故A 正确；由已知结合正弦函数的对称性可知：()5π5ππ3π2sin 212sin 116662x f x ⎛⎫=⇒=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，显然()f x 此时取得最小值，所以()f x 的图象不关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：()ππππ2sin 212sin 133362x f x ⎛⎫=⇒=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，此时()f x 取得最大值，所以()f x 的图象关于直线π3x =对称，故C 正确；由诱导公式可知()()πππ2cos 212sin 21332g x x x f x ⎛⎫⎛⎫=-++=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD10．若复数2023i 12iz =-，则（）A ．z 的共轭复数2i5z +=B．||5z =C ．复数z 的虚部为1i5-D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【解析】20232023i i 2i 55i i(12i)12i 12i 12i (12i)(12i)z z --+=====-----+，∴∵，则2i5z +=，故A 正确；||z==，故B 正确；复数z 的虚部为15-，故C 错误；复数z 在复平面内对应的点为2155⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故D 正确.故选：ABD11．已知函数()f x 与其导函数()g x 的定义域均为R ，且()1f x -和()21g x +都是奇函数，且()103g =，则下列说法正确的有（）A ．()g x 关于=1x -对称B ．()f x 关于()1,0对称C ．()g x 是周期函数D ．112(2)4i ig i =∑=【答案】ACD【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x -=---，所以()()11f x f x ''-=--，即()()11g x g x -=--，所以()g x 的图象关于直线=1x -对称.故A 正确；因为()1f x -为奇函数，则其图象关于()0,0对称，向左平移一个单位后得到()f x 的图象，则()f x 的图象关于()1,0-对称，故B 错误；因为()21g x +为奇函数，则()()2121g x g x +=--+，则有()()11g x g x +=--+，所以()()2g x g x =--+①,又()()11g x g x -=--，则()()2g x g x =--②,由①②()2(2)g x g x --=--+，则()2(2)g x g x -=-+，则()(4)g x g x =-+，()4(8)g x g x +=-+，则()(8)g x g x =+，所以8是函数()g x 的一个周期.，()g x 是周期函数，故C 正确；因为()103g =，()()2g x g x =--+，()(4)g x g x =-+所以()()()122203g g g =--=-=-，()()()()1140,6233g g g g =-=-=-=，所以1121(2)(123456789101112)43i ig i =∑=--++--++--++⨯=，故D 正确，故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合32|0,R 2x A x x x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭与集合{|0,Z}B x x x =>∈，求集合A B = 【答案】{}1【解析】由题意323|0,R |2,R 22x A x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=≤∈=-≤<∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，{|0,Z}B x x x =>∈，所以{}1A B ⋂=.故答案为：{}1.13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，第一象限的A 、B 两点在抛物线上，且满足4BF AF -=，AB =若线段AB 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【答案】28y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为4BF AF -=，所以21422p p x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以214-=x x ，又因为12AB x x =-=21AB k =，因为,A B 都在第一象限，所以1AB k =，又因为2121222121122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-且12428y y +=⨯=，所以28p =，所以4p =，所以抛物线方程为28y x =，故答案为：28y x =.14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,E F G H P 均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是．①棱AB 上一定存在点Q ，使得1QC D Q ⊥；②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π；③过点,,E F G作正方体的截面，则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内，且1A M 平面AGH ，则1A M 与AB所成角的余弦值的最大值为3．【答案】②③④【解析】对于①，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，()0,2,0C ，()10,0,2D ，设棱AB 上一点()02,,0Q y ()002y ≤≤，则()02,2,0QC y =-- ，()102,,2D Q y =-，若1QC D Q ⊥，则()100420QC D Q y y ⋅=-+-=，整理得200240y y -+=，即()20130y -+=，0y 无实数解，∴棱AB 上不存在点Q ，使得1QC D Q ⊥，故①错误；对于②，如图，分别取棱AB ，11B C ，11D C ，11A D 的中点N ，1H ，1P ，1E ，由已知，=EP PH HN EN ===111EPHN E PH F -为长方体，其外接球的直径为122R E H ==24π8πS R ==，∵三棱锥F EPH -的顶点均在长方体111EPHN E PH F -的外接球上，故该球也是三棱锥F EPH -的外接球，∴三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π，故②正确；对于③，如图所示，过点,,E F G 其可分成六个全等的，的等边三角形，面积1π6sin 23S =⨯⨯=对于④，由①中所建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,2,1G ，()1,2,0H ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，()2,2,1AG =- ，()1,2,0AH =- ，设平面AGH 的一个法向量为()111,,x n y z =，则1111122020n AG x y z n AH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则11y =，12z =，∴()2,1,2n = ，设平面11BB C C 内一点(),2,M x z ，则()12,2,2A M x z =--，∵1A M 平面AGH ，∴()()12212220A M n x z ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即3z x =-，又∵()0,2,0AB =，∴1A M 与AB 所成角的余弦值为111cos ,A M AB A M AB A M AB⋅== 其中，()()()()222222311222322652222x z x x x x x ⎛⎫-+-=-+--=-+=-+≥⎪⎝⎭，∴1cos ,3A M AB ≤，即当且仅当32x =时，1A M 与AB 所成角的余弦值的最大值为3，故④正确.故答案为：②③④.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()32123f x x x mx n =-++在1x =时取得极值．(1)求实数m 的值；(2)若对于任意的[]2,4x ∈，()2f x n >恒成立，求实数n 的取值范围．【答案】(1)3(2)()0,1【解析】（1）易知()24f x x x m '=-+，依题意()211410f m '=-⨯+=，解得3m =，此时()()()24313f x x x x x '=-+=--，当1x <或3x >时，()0f x ¢>；当13x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(,1)-∞，(3,)+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，因此函数()f x 在1x =时取得极值，所以3m =．（2）由（1）得函数()f x 在()2,3上单调递减，在()3,4上单调递增；所以()()32min 13323333f x f n n ==⨯-⨯+⨯+=，由题意可得2n n >，解得01n <<，所以n 的取值范围为()0,1．16．（15分）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为12，良好的概率为13；在续航测试中结果为优秀的概率为25，良好的概率为25，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；(2)求离散型随机变量ξ的分布列与期望.【答案】(1)310(2)分布列见解析，数学期望为10615【解析】（1）记事件i A 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为i 分(1,3,5)i =”，则()512P A =，()313P A =，()1112P A =--1136=.记事件i B 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i 分(1,3,5)i =”，则()525P B =，()325P B =，()1215P B =--2155=.记事件C 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，则()()()()51311513()P C P A B P A B P A B P A B =+++1111102122535651563=⨯+⨯+=⨯+⨯，则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为310.（2）由题知离散型随机变量ξ的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，111(2)6530P ξ==⨯=，11122(4)356515P ξ==⨯+=，1112123(6)25653510P ξ==⨯++⨯=，12121(8)25353P ξ==⨯+=，121(10)255P ξ==⨯=，则离散型随机变量ξ的分布列为ξ246810P1302153101315所以数学期望123()2468301510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯11106103515+⨯=.17．（15分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形，,M N 分别为1,AB DD 的中点.(1)证明：DM 平面1A BN ；(2)若底面ABCD 为矩形，24AB AD ==，异面直线DM 与1A N 求1B 到平面1A BN 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)3.【解析】（1）连接1AB ，交1A B 于点E ，连接,NE ME ，则E 为1A B 的中点，因为M 为AB 的中点，所以ME 1AA ，且112ME AA =，因为N 为1DD 的中点，所以DN 111,2AA DN AA =，所以ME DN ，且ME DN =，所以四边形EMDN 为平行四边形，所以EN DM ，又因为DM ⊄平面1,A BN EN ⊂平面1A BN ，所以DM 平面1A BN .（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，24AB AD ==，1,,AB AD AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设12(0)AA t t =>，则()()4,0,0,0,2,0B D ，()()()10,0,2,2,0,0,0,2,A t M N t ，()()()114,0,2,2,2,0,0,2,B t DM A N t =-=-.设异面直线DM 与1A N 所成角为θ，则111cos cos ,5DM A N DM A N DM A Nθ⋅===⋅，解得：1t =，故()()()110,0,2,0,2,1,4,0,2A N B ，则()()()1114,0,2,0,2,1,0,0,2A B A N BB =-=-=设平面1A BN 的一个法向量为(),,n x y z =，1B 到平面1A BN 的距离为d .所以110,0,A B n A N n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即420,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取2z =，得()1,1,2n =.所以1B B n d n ⋅== 即1B 到平面1A BN的距离为3.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点()0,2P 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足()40PA PB AB AB k k k k +=≠．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为1F ，2F ，求凸四边形12F AF B 面积的取值范围．【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析(3)⎝【解析】（1）由题设得22223b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得212a =，所以C 的方程为221124x y +=；（2）由题意可设:(2)AB l y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221363120k x kmx m +++-=，()()()222222Δ36413312121240k m k m k m =-+-=-+>．由韦达定理得212231213m x x k -=+，122613mk x x k -+=+，由4PA PB AB k k k +=得1212224y y k x x --+=，即1212224kx m kx m k x x +-+-+=，整理得()22(2)24mk m m k -=-，因为0k ≠，得220m m --=，解得2m =或1m =-，2m =时，直线AB 过定点(0,2)P ，不合题意，舍去；1m =-时，满足()2Δ36410k =+>，所以直线AB 过定点(0,1)-．（3））由（2）得直线:1AB l y kx =-，所以1(1)x y k=+，由221(1)1124x y k x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得22221213120y y k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，21Δ3640k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由题意得12121212212F AF BS F F y y y y k =-=-=+因为2AF k =218k >，所以2108k <<，令t，(2,t ∈，所以12F AF B S t=-，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S的范围是⎝．19．（17分）已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n = ）.（1）当3n =时，写出数列{}n a 和{}n b ，使得223a b =.（2）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n = ）的数列{}n a .（3）若1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，写出k c （1,2,,k n = ），并用含n 的式子表示122n c c nc +++ .（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++ .）【答案】（1）12a =，23a =，31a =；12b =，21b =，33b =或11a =，23a =，32a =；13b =，21b =，32b =.（2）证明见解析（3）(1)k c n k =--（1,2,,k n = ）；1(1)(2)6n n n ++【解析】[解]（1）12a =，23a =，31a =；12b =，21b =，33b =.11a =，23a =，32a =；13b =，21b =，32b =.[证明]（2）若k k a b =（1,2,,k n = ），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=.当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数.因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n = ）的数列{}n a .[解]（3）(1)k c n k =--（1,2,,k n = ）.因为(1)k c n k =+-，于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++- 222(12)(1)(12)n n n =++++-+++ 2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++.。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷03(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）03数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678ADCDCDCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ACDABDACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．{}113．28y x=14．②③④四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）易知()24f x x x m '=-+，依题意()211410f m '=-⨯+=，解得3m =，（2分）此时()()()24313f x x x x x '=-+=--，当1x <或3x >时，()0f x ¢>；当13x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(,1)-∞，(3,)+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，（5分）因此函数()f x 在1x =时取得极值，所以3m =．（6分）（2）由（1）得函数()f x 在()2,3上单调递减，在()3,4上单调递增；所以()()32min 13323333f x f n n ==⨯-⨯+⨯+=，（10分）由题意可得2n n >，解得01n <<，所以n 的取值范围为()0,1．（13分）16．（15分）【解析】（1）记事件i A 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为i 分(1,3,5)i =”，则()512P A =，()313P A =，()1112P A =--1136=.（2分）记事件i B 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i 分(1,3,5)i =”，则()525P B =，()325P B =，()1215P B =--2155=.（4分）记事件C 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，则()()()()51311513()P C P A B P A B P A B P A B =+++1111102122535651563=⨯+⨯+=⨯+⨯，则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为310.（7分）（2）由题知离散型随机变量ξ的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，111(2)6530P ξ==⨯=，（8分）11122(4)356515P ξ==⨯+=，（9分）1112123(6)25653510P ξ==⨯++⨯=，（10分）12121(8)25353P ξ==⨯+=，（11分）121(10)255P ξ==⨯=，（12分）则离散型随机变量ξ的分布列为ξ246810P1302153101315所以数学期望123()2468301510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯11106103515+⨯=.（15分）17．（15分）【解析】（1）连接1AB ，交1A B 于点E ，连接,NE ME ，（2分）则E 为1A B 的中点，因为M 为AB 的中点，所以ME 1AA ，且112ME AA =，因为N 为1DD 的中点，所以DN 111,2AA DN AA =，所以ME DN ，且ME DN =，所以四边形EMDN 为平行四边形，（5分）所以EN DM ，又因为DM ⊄平面1,A BN EN ⊂平面1A BN ，所以DM 平面1A BN .（6分）（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，24AB AD ==，1,,AB AD AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.（8分）设12(0)AA t t =>，则()()4,0,0,0,2,0B D ，()()()10,0,2,2,0,0,0,2,A t M N t ，()()()114,0,2,2,2,0,0,2,B t DM A N t =-=-.设异面直线DM与1A N所成角为θ，则111cos cos,DM A NDM A NDM A Nθ⋅===⋅，解得：1t=，（10分）故()()()110,0,2,0,2,1,4,0,2A N B，则()()()1114,0,2,0,2,1,0,0,2A B A N BB=-=-=设平面1A BN的一个法向量为(),,n x y z=，1B到平面1A BN的距离为d.所以110,0,A B nA N n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即420,20,x zy z-=⎧⎨-=⎩取2z=，得()1,1,2n=.（12分）所以13B B ndn⋅==，即1B到平面1A BN（15分）18．（17分）【解析】（1）由题设得22223bcaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得212a=，所以C的方程为221124x y+=；（5分）（2）由题意可设:(2)ABl y kx m m=+≠，设()11,A x y，()22,B x y，由221124y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221363120k x kmx m+++-=，()()()222222Δ36413312121240k m k m k m=-+-=-+>．由韦达定理得212231213mx xk-=+，122613mkx xk-+=+，由4PA PB ABk k k+=得1212224y y kx x--+=，（9分）即1212224kx m kx m k x x +-+-+=，整理得()22(2)24mk m m k -=-，因为0k ≠，得220m m --=，解得2m =或1m =-，2m =时，直线AB 过定点(0,2)P ，不合题意，舍去；1m =-时，满足()2Δ36410k =+>，所以直线AB 过定点(0,1)-．（10分）（3））由（2）得直线:1AB l y kx =-，所以1(1)x y k=+，由221(1)1124x y k x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得22221213120y y k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，21Δ3640k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由题意得12121212212F AF BS F F y y y y k =-=-=+因为2AF k =218k >，所以2108k <<，（13分）令t，(2,t ∈，所以12F AF B S t=-，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S的范围是⎝．（17分）19．（17分）【解析】[解]（1）12a =，23a =，31a =；12b =，21b =，33b =.11a =，23a =，32a =；13b =，21b =，32b =.（5分）[证明]（2）若k k a b =（1,2,,k n = ），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=.当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数.（8分）因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n = ）的数列{}n a .（10分）[解]（3）(1)k c n k =--（1,2,,k n = ）.因为(1)k c n k =+-，于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++- 222(12)(1)(12)n n n =++++-+++ 2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++.（17分）。

江苏专用2024年高考数学一轮复习考点11函数与方程必刷题含解析

考点11 函数与方程1．（江苏省连云港市2025届高三上学期期中考试）已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.【答案】（2，＋∞）【解析】由于，函数在上单调递增，当时有最小值为.在时，函数为增函数，要使存在，使得，则需，解得.2．（江苏省徐州市2025届高三上学期期中质量抽测）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】（1）＝0时，，只有一个零点，不合题意；（2）＜0时，，＞0，在R上单调递增，所以，不行能有3个解，也不合题意。

（3）＞0时，，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，＝0，得x=x 在（0，）递减，在（，）递增，＜0，解得：3．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷）已知()f x 是定义在R上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__．【答案】72【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：724．（江苏省镇江市2025届高三考前三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点，在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞5．（2024年江苏省高考数学试卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满意()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 6．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过其次、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；若12133a a -≥⇒≥，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为12(1)12333a a a f ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭，明显2(1)12033a a ----<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.7．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）定义在R 上的奇函数满意，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5 【解析】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为58．（江苏省南通市通州区2024-2025学年第一学期高三年级期末考试）已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】【解析】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．9．（江苏省南通市基地学校2025届高三3月联考）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，须要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：.10．（江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2025届高三第一学期期末联考）函数有3个不同零点，则实数a的取值范围____【答案】【解析】解：当x＜﹣1时，由f（x）＝0得x2﹣2ax＝0,得a，∵x＜﹣1，∴a且此时函数f（x）只有一个零点，要使f（x）有3个不同零点，则等价为当x≥﹣1时，f（x）＝0有且只有2个不同的零点，由f（x）＝e x﹣|x﹣a|＝0得e x＝|x﹣a|，作出函数g（x）＝e x和h（x）＝|x﹣a|在x≥﹣1的图象如图，当x≥a时，h（x）＝x﹣a，当h（x）与g（x）相切时，g′（x）＝e x，由g′（x）＝e x＝1得x＝0，此时g（0）＝1，即切点坐标为A（0，1），此时h（0）＝0﹣a＝1，得a＝﹣1，当x＝﹣1时，g（﹣1），当直线h（x）＝x﹣a经过点B（﹣1，）时，﹣1﹣a，则a＝﹣1，要使e x＝|x﹣a|在x≥﹣1时，有两个不同的交点，则直线h（x）＝x﹣a应当在过A和B的直线之间，则﹣1a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1），故答案为：[﹣1，﹣1）.11．（江苏省扬州市2024-2025学年度第一学期期末检测试题）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满意f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满意题意；综上所述，a或﹣1．12．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若对随意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对随意(，0)，总存在[2，)，使得，即当随意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为微小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满意题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为微小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是.13．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0>，则与的图象有两个交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.14．（江苏省无锡市2025届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.15．（江苏省南通市2025届高三年级阶段性学情联合调研）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为：.16．（江苏省常州市2025届高三上学期期中教学质量调研）已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为17．（江苏省镇江市2025届高三上学期期中考试）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满意t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3.18．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当0⩽x⩽1时,=0，易知x=0不是方程=0的解，故m=−x在(0,1]上是减函数，故m−1=−；即m时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx+2=0得,m=−，故−2<m<0，即当−2<m<0时,方程f(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是．19．已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．【答案】（1）m＝1（2）奇函数（3）见解析【解析】解：(1)∵f(4)＝72，∴4m－24＝72，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x ＋2x ＝－(x －2x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1－12x －(x 2－22x )＝(x 1－x 2)(1＋122x x )，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1＋122x x >0. 所以f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．20．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）已知函数(a ，bR)．（1）当a ＝b ＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a ＝0时，若的解集为(m ，n)，且(m ，n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是和（2）（3）【解析】（1）当a ＝b ＝1时，，令，解得或所以f （x ）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f （x ）有两个不同的零点，所以或，当时，得a ＝0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，，设，令，得，当时，，h(x)递减：当时，,递增当时，，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，，所以时，方程恰有一个根－2，此时函数恰有两个零点-2和1．（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满意，解得. ①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. ②设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由①和②得，.21．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以. 令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.。

高考数学必刷题

高考数学必刷题
1. 求导题：已知函数y=3x^2+4x-1，求其导函数。

2. 三角函数题：已知角A的正弦值sinA=0.6，求角A的余弦
值cosA。

3. 平面几何题：已知三角形ABC中，角A=30°，边BC=6cm，边AC=8cm，求边AB的长度。

4. 数列题：已知等差数列的前两项为2和7，公差为3，求第
n项的表达式。

5. 函数图像题：已知函数y=f(x)的图像经过点(1,3)，并且对称
于y轴，求函数f(x)的表达式。

6. 空间几何题：已知三棱锥的底面是等边三角形，棱长为6cm，棱高为8cm，求三棱锥的体积。

7. 概率题：一副扑克牌中有52张牌，从中任意抽取5张牌，
求抽到一对（两张点数相同的牌）的概率。

8. 数学证明题：已知集合A和集合B的并集与交集分别是A，B，求证A和B互为逆运算。

9. 数字运算题：已知a=4，b=-2，求a^3+b^3的值。

10.方程题：已知方程2x^2-5x+3=0的根为α和β，求α+β和αβ的值。

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

高三必刷题试卷数学

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上的图像是单调递增的，则f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值分别是：A. 0，-2B. 2，0C. -2，0D. 0，22. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么数列{an^2}的通项公式是：A. (n+1)^2B. n^2 + 2n + 1C. n^2 + 2nD. (n+1)^2 - 2n3. 下列各式中，能表示x=2为方程的解的是：A. x + 1 = 3B. x - 1 = 2C. 2x + 1 = 5D. 2x - 1 = 34. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(x)的图像是：A. 一个顶点在(2, 0)的抛物线B. 一个顶点在(0, 4)的抛物线C. 一个顶点在(2, 4)的抛物线D. 一个顶点在(0, 0)的抛物线5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于原点D. 位于第一象限6. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 127. 下列各函数中，在定义域内连续的函数是：A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 + 18. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，那么数列{an}的通项公式是：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^nD. 2^n - 29. 下列各式中，表示直线y = 2x + 1的方程是：A. 2x - y = 1B. x + 2y = 1C. 2x + y = 1D. x - 2y = 110. 若函数g(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，那么a、b、c的关系是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x在x = 1处的导数为0，则f(x)在x = 1处的极值是______。

高三数学：2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04(解析版)

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04一、单选题1(2024·广东·一模)已知集合A=-12,-13,12,13,2,3，若a,b,c∈A且互不相等，则使得指数函数y =a x，对数函数y=log b x，幂函数y=x c中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】B【解析】若y=a x和y=log b x在(0,+∞)上单调递增，y=x c在(0,+∞)上单调递减，则有A22⋅C12=4个；若y=a x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=log b x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=a x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=a x、y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，则有A22⋅C12=4个；综上所述：共有4+8+8+4=24个.故选：B.2(2024·广东江门·一模)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为P b n =log b n+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80n=kP10(n)=log4811+log25k∈N*，则k的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】80n=k P10(n)=P10(k)+P10(k+1)+⋯+P10(80)=lg k+1k +lg k+2k+1+⋯+lg8180=lg81k，而log4811+log25=lg81lg41+lg5lg2=4lg32lg21+lg5lg2=2lg3=lg9，故k=9．故选：C．3(2024·广东·模拟预测)在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.33468B.3434C.21717D.1734【答案】A【解析】依题意，记BC的中点为F，连接DF，记正△BCD的中心为O，连接AO，因为在正三棱锥A-BCD中，AO⊥底面BCD，在正△BCD中，DF⊥BC，在平面BCD中过F点作z轴⊥底面BCD，则AO⎳z轴，以F点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，所以DF=32CD=32×6=33，2DF=23，AO=AD2-OD2=64-12=213，故B -3,0,0 ,C 3,0,0 ,D 0,33,0 ,O 0,3,0 ,A 0,3,213 ，则E -32,32,13 ，CE =-92,32,13 ，BD =3,33,0 ，所以cos CE ,BD =CE ⋅BDCE BD =-92×3+32×33-92 2+32 2+13×9+27=-33468，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为33468.故选：A .4(2024·天津滨海新·一模)已知抛物线C 1:y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，且两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.322C.113D.222【答案】D【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得p =6a ，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得a ,b 的关系，利用离心率公式可求得结果.抛物线y 2=2px 的焦点为F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，E -p2,0 ，|EF |=p ，因为线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，所以2a =p 3，即p =6a ，因为两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，所以两个交点为p 2,p 、p2,-p ，将p 2,p 代入双曲线x 2a 2-y 2b 2=1得p 24a 2-p 2b2=1，所以36a 24a 2-36a 2b 2=1，所以9-36a 2b 2=1，所以b 2a2=92，所以双曲线C 2的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+92=222.故选：D5(2024·湖南·二模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx ，若沿x 轴方向平移f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线y =1在区间0,π 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为()A.2,83B.2,103C.103,4 D.2,4【答案】A【解析】由f x =sin ωx +3cos ωx 可得：f x =2sin ωx +π3，若沿x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数g x =2sin ωx +φ .令g x =1，即sin ωx +φ =12，x ∈[0,π]，取z =ωx +φ，则z ∈[φ,ωπ+φ].依题意知，sin z =12在φ,ωπ+φ 上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ,ωπ+φ]的长度在2π到8π3之间，即2π≤ωπ<8π3，解得2≤ω<83.6(2024·湖南·二模)过点P -1,0 的动直线与圆C :(x -a )2+(y -2)2=4(a >0)交于A ,B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得1PA +1PB =2PQ ，已知线段PQ 的最小值为2，则a 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心C a ,2 ，半径为2，则圆C 与x 轴相切，设切点为M a ,0 ，则PM =a +1，则|PM |2=PA PB =(a +1)2，设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，令圆心C 到直线AB 的距离为d ，则0≤d <2,|PA |+|PB |=|PD |-|AD |+|PD |+|AD |=2|PD |，由1PA +1PB =2PQ ，得PQ =2PA PB PA +PB =(a +1)2|PC |2-d 2=(a +1)2(a +1)2+4-d 2，因此(a +1)2(a +1)2+4-0≤PQ <(a +1)2(a +1)2+4-4，而PQ 的最小值为2，所以a +12a +1 2+4=2，则a =1.故选：A7(2024·高三·浙江宁波·阶段练习)如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AB =AC =2，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A 1B 1C ，如图2，则容器的高h 为()A.3B.4C.42D.6【答案】A【解析】在图1中水的体积V =12×2×2×2=4，在图2中水的体积V =VABC -A 1B 1C 1-V C -A 1B 1C 1=12×2×2×h -13×12×2×2×h =43h ，4h =4⇒h =3．8(2024·江西·高考真题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1 ⋅MF 2=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1) B.0,12C.0,22D.22,1 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ,b ,c ．因为MF 1 ·MF 2=0所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以c <a ,c 0,b >0 的焦距为2c ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1-d 2 ≤c ，则双曲线的离心率的取值范围为()A.1,233B.233,+∞ C.1,2D.2,+∞【答案】C【解析】由题意可知，直线AB 经过双曲线的右焦点，且垂直于x 轴，不妨设A c ,y 0 ，代入椭圆方程c 2a 2-y 02b2=1，又c 2=a 2+b 2，所以y 0=b 2a ，所以A c ,b 2a ，B c ,-b 2a，任取双曲线的一条渐近线为直线bx +ay =0，由点到直线的距离公式可得点A 到渐近线的距离d 1=bc +b 2a 2+b2=bc +b 2c ，点B 到渐近线的距离d 2=bc -b 2a 2+b 2=bc -b 2c ，所以d 1-d 2 =bc +b 2c -bc -b 2c =2b 2c=2b 2c，因为d 1-d 2 ≤c ，所以2b 2c≤c ，因c >0，所以2b 2≤c 2，即2c 2-a 2 ≤c 2，所以c 2≤2a 2，所以c 2a 2≤2，因为双曲线离心率c a >1，所以1<ca≤2，所以双曲线的离心率的取值范围为1,2 .故选：C .10(2024·高二·广东深圳·期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若AF =2MN，则k =()A.3B.2C.±2D.±3【答案】D【解析】当A 在第一象限时，设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A ，因为OM ∥PN ，且O 为PF 的中点，所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM =MN ，所以AF =2MN =FN ，又根据抛物线的定义AF =AA ，所以AN =2AF =2AA ，所以在直角三角形AA N 中，∠A AN =60°，所以∠AFx =60°，此时k =3，根据对称性，当A 在第四象限时，k =-3，故选：D .11(2024·湖北·一模)设直线l ：x +y -1=0，一束光线从原点O 出发沿射线y =kx x ≥0 向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =136，则k 的值为()A.32B.23C.12D.2【答案】B【解析】如图，设点O 关于直线l 的对称点为A x 1,y 1 ，则x 12+y12-1=0y 1x 1×-1 =-1得x 1=1y 1=1 ，即A 1,1 ，由题意知y =kx x ≥0 与直线l 不平行，故k ≠-1，由y =kx x +y -1=0 ，得x =1k +1y =k k +1，即P 1k +1,k k +1 ，故直线AP 的斜率为k AP =kk +1-11k +1-1=1k ，直线AP 的直线方程为：y -1=1kx -1 ，令y =0得x =1-k ，故M 1-k ,0 ，令x =0得y =1-1k ，故由对称性可得N 0，1k-1 ，由MN =136得(1-k )2+1k -1 2=1336，即k +1k 2-2k +1k =1336，解得k +1k=136，得k =23或k =32，若k =32，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故k =23，故选：B 12(2024·湖北·二模)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.263B.62C.233D.33+12【答案】C【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O 1,O 2,O 3，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图，设OO 1=OO 2=OO 3=x ，则O 1H =3x 2,OH =x 2，OA =OH +HA =x 2+1-32x 2=12(x +4-3x 2)，又OC =OO 3+O 3C =x +1>OA ，因此圆O 的最大半径为OA ，令f (x )=12(x +4-3x 2)，求导得f(x )=4-3x 2-3x 24-3x 2，由f (x )=0，得x =33，当0<x <33时，f (x )>0，当33<x <233时，f (x )<0，因此f (x )在0,33上单调递增，在33,233 上单调递减，f (x )max =f 33 =233，所以被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时O 1O 2=O 2O 3=O 3O 1=1，即圆O 1､圆O 2､圆O 3中的任一圆均经过另外两圆的圆心．故选：C13(2024·高三·浙江嘉兴·期末)已知正实数a ,b ,c 满足a 2-b =2ln ab>0，7b -2b =a +4 c ，则()A.0<c 0,b >0，由ln a b >0可得：ab >1，则a >b ．由a 2-b =2lnab 化简得：a 2-2ln a =b -2ln b ，分别设函数f x =x 2-2ln x ，g x =x -2ln x ．由f(x )=2x 2-1 x，(x >0)，则当0<x <1时，f (x )<0，当x >1时，f (x )>0，则f x 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增，故f x min =f 1 =1.又g x =x -2x,(x >0)，则当0<x <2时，g (x )<0，当x >2时，g (x )>0，则g x 在0,2 上递减；在2,+∞ 上递增，故g x min =g 2 =2-2ln2．由f x -g x =x 2-x =x x -1 ，则0<x <1时，f x <g x ；x =1时，f x =g x ；x >1时，f x >g x ．函数f x 与g x 的图象如图．令f a =f b =k ．由于a >b ，则01，7b-2b=a +4c>5c，则7b -2b >5c -b ．令h x =75 x -25x，其在R 上单调递增．由于0<b <1，则0=h (0)<h b <h (1)=1，则有5c -b <1，即c -b <0得c <b ．综上，0<c <b <1<a .故选：A ．14(2024·高二·北京西城·期末)在直角坐标系xOy 内，圆C :(x -2)2+(y -2)2=1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是()A.-2,2B.-4-2,-4+2C.-2-2,-2+2D.-2+2,2+2【答案】A【解析】连接OP ，设∠POx =θ(即以x 轴正方向为始边，OP 为终边的角)，由题意对于直线l :x +y +m =0上任意一点P x ,y ，存在a =x 2+y 2,θ∈R ，使得P a cos θ,a sin θ ，则直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后，点P a cos θ,a sin θ 对应点为P 1a cos θ-π2 ,a sin θ-π2 ，即P 1a sin θ,-a cos θ ，因为P a cos θ,a sin θ 在直线l :x +y +m =0上，所以满足a cos θ+a sin θ+m =0设x 1=a sin θ,y 1=-a cos θ，所以-y 1+x 1+m =0，即P 1a sin θ,-a cos θ 所在直线方程为l 1:x -y +m =0，而圆C :(x -2)2+(y -2)2=1的圆心，半径分别为2,2 ,r =1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，所以圆心C 2,2 到直线l 1:x -y +m =0的距离d =m2≤r =1，解得-2≤m ≤ 2.故选：A .15(2024·山东青岛·一模)已知A (-2,0)，B (2,0)，设点P 是圆x 2+y 2=1上的点，若动点Q 满足：QP⋅PB =0，QP =λQA |QA |+QB|QB |，则Q 的轨迹方程为()A.x 2-y 23=1B.x 23-y 2=1C.x 25+y 2=1D.x 26+y 22=1【答案】A【解析】由QP ⋅PB=0，可得QP ⊥PB ，而QP =λQA QA +QBQB，可知点P 在∠BQA 的平分线上.圆x 2+y 2=1，圆心为原点O ，半径r =1，连接AQ ，延长BP 交AQ 于点C ，连接OP ，因为∠PQB =∠PQC 且PQ ⊥BC ，所以QB =QC ，且P 为BC 中点，OP ∥AC ，OP =1AC因此，QA -QB =QA -QC =AC =2OP =2，点Q 在以A 、B 为焦点的双曲线上，设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，可知c =2,a 2+b 2=c 2=4，由2a =QA -QB =2，得a =1，故b 2=3，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：A .16(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由题意知∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，令x =-1，则f (-1)+f (2)=1-f (-1)f (2),∴f (2)=1显然f (x )=-1时，-1+f (x +3)=1+f (x +3)不成立，故f (x )≠-1，故f (x +3)=1-f (x )1+f (x )，则f (x +6)=1-1-f (x )1+f (x )1+1-f (x )1+f (x )=f (x )，即6为函数f (x )的周期，则f (2024)=f (337×6+2)=f (2)=1，故选：B17(2024·山东聊城·一模)已知P 是圆C :x 2+y 2=1外的动点，过点P 作圆C 的两条切线，设两切点分别为A ，B ，当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为()A.42 B.32 C.2 D.2【答案】A【解析】设P x ,y ，则OP =x 2+y 2，则PA ⋅PB =PO +OA PO +OB =PO 2+PO ⋅OA +OB +OA ⋅OB ，OA ⋅OB =OA ⋅OBcos ∠AOB =cos ∠AOB =cos2∠POA =2cos 2∠POA -1=2×OA2OP2-1=2x 2+y 2-1，PO ⋅OA =PO ⋅OB =PO ⋅OA cos 180°-∠POA =-PO ⋅OAcos ∠POA=-PO ⋅OA ⋅OA OP=-1，故PA ⋅PB =x 2+y 2-2+2x 2+y2-1≥2x 2+y 2 ⋅2x 2+y 2-3=22-3，当且仅当x 2+y 2=2x 2+y2，即x 2+y 2=2时，等号成立，故当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为42.故选：A .18(2024·山东聊城·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，点M 在棱A 1C 1上，且A 1M =2MC 1，点N 在直线BB 1上，若MN ⎳平面ADC 1，则BB 1NB 1=()【答案】D【解析】如图，连接AB 1，则V A -A 1B 1C 1=13V ABC -A 1B 1C1，又△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，所以V A -DB 1C 1=12V ABC -A 1B 1C 1-13V ABC -A 1B 1C 1=16V ABC -A 1B 1C1，即VA -DB 1C 1=12V A -A 1B 1C1，即V C 1-ADB 1=12V C 1-AA 1B1，设C 1到平面ABB 1A 1的距离为d ，则V C 1-ADB 1=13S △ADB 1⋅d ，V C 1-AA 1B 1=13S △AA 1B1⋅d ，所以S △ADB 1=12S △AA 1B 1=12S △ABB 1，所以D 为BB 1的中点，在AA 1上取点E ，使得A 1E =2AE ，连接EN 、EM ，因为A 1M =2MC 1，所以EM ⎳AC 1，又EM ⊄平面ADC 1，AC 1⊂平面ADC 1，所以EM ⎳平面ADC 1，又MN ⎳平面ADC 1，EM ∩MN =M ，EM ,MN ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⎳平面ADC 1，又平面EMN ∩平面ABB 1A 1=EN ，平面ADC 1∩平面ABB 1A 1=AD ，所以AD ⎳EN ，又AE ⎳ND ，所以四边形ADNE 为平行四边形，所以ND =AE =13AA 1=13BB 1，所以B 1N =B 1D -ND =12BB 1-13BB 1=16BB 1，所以BB 1NB 1=6.故选：D19(2024·山东烟台·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A -1,0 ,B 2,3 ，向量OC =mOA +nOB，且m -n -4=0.若P 为椭圆x 2+y 27=1上一点，则PC 的最小值为()A.4510B.10C.8510D.210【答案】A 【解析】设点C (x ,y )，由A -1,0 ,B 2,3 及OC =mOA +nOB ，得(x ,y )=(-m +2n ,3n )，即x =-m +2ny =3n，而m -n -4=0，消去m ,n 得：3x -y +12=0，设椭圆x 2+y 27=1上的点P (cos θ,7sin θ),θ∈R ，则点P 到直线3x -y +12=0的距离d =|3cos θ-7sin θ+12|32+(-1)2=12-4sin (θ+φ)10，其中锐角φ由tan φ=37确定，当sin (θ+φ)=1时，d min =4510，而PC ≥d ，所以PC 的最小值为4510.故选：A 20(2024·山东济宁·一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与y 轴相交于M 点，与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P=0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.332D.3+1【答案】D【解析】设∠PF 1F 2=θ，θ为锐角，因为F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P =0，所以PF 1⊥PF 2，PF 1 =32MF 1 ，∴MF 1 =c cos θ，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ，又|PF 2|=2c sin θ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴9c 24cos 2θ+4c 2sin 2θ=4c 2，∴9+16sin 2θcos 2θ=16cos 2θ，∴9+16(1-cos 2θ)cos 2θ=16cos 2θ，∴9-16cos 4θ=0，∴cos 2θ=34，∴cos θ=32(负值舍去)，∴θ=30°，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ=3c ，|PF 2|=2c sin θ=c ，∴双曲线C 的离心率e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=2c3c -c=3+1．故选：D ．21(2024·山东济宁·一模)设函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，f (x -2)为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，则f (2023)-f (2024)=()A.-1 B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，所以f (2x -1)=-f (-2x -1)，所以函数f (x )关于点-1,0 中心对称，且f -1 =0，因为f (x -2)为偶函数，所以f (x -2)=f (-x -2)，所以函数f (x )关于直线x =-2轴对称，又因为f x =-f -2-x =-f -2+x =--f -4+x ，所以函数f (x )的周期为4，因为当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，所以f (2023)=f 4×506-1 =f -1 =0，f (2024)=f 4×506 =f 0 =-1，所以f (2023)-f (2024)=1.故选：C .22(2024·山东淄博·一模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q 是它们的两个公共点，且P ，Q 关于原点对称，∠PF 2Q =2π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3的最小值是()A.2+33B.1+33C.233D.433【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2a 1,PF 1 -PF 2 =2a 2，∴PF 1 =a 1+a 2,PF 2 =a 1-a 2，设F 1F 2 =2c ,∠PF 2Q =2π3，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF 1QF 2为平行四边形，则∠F 1PF 2=π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-2a 1+a 2 a 1-a 2 cosπ3，化简得a 21+3a 22=4c 2，即1e 21+3e 22=4，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3=11e 21+1+33e 22+1=11e 21+1+33e 22+1 1e 21+1+3e 22+1×16=16×4+3e 22+11e 21+1+31e 21+1 3e 22+1≥16×4+23e 22+11e 21+1×31e 21+1 3e 22+1=16×4+23 =2+33，当且仅当3e 22+1 2=31e 21+121e 21+3e 22=4，即e 21=33+411<1e 22=38-33=24+9337>1时等号成立，故选：A .23(2024·广东茂名·一模)若α∈π4,3π4 ，6tan π4+α +4cos π4-α =5cos2α，则sin2α=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】令t =π4+α，t ∈π2,π ，得α=t -π4，则6tan t +4cos π2-t =5cos 2t -π2，即6tan t +4sin t =5sin2t =10sin t cos t ，整理得5cos t +3 cos t -1 =0，且cos t <0，那么cos t =-35，则sin2α=sin 2t -π2 =-cos2t =1-2cos 2t =725.故选：C .二、多选题24(2024·广东江门·一模)已知曲线E :x x 4+y y8=1，则下列结论正确的是()A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为-2,2C.曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第二象限D.M x 0,y 0 是曲线E 上任意一点，则2x 0+y 0 的取值范围为0,4 【答案】AD【解析】因为曲线E :x x 4+y y8=1，当x ≥0，y ≥0时x 24+y 28=1，则曲线E 为椭圆x 24+y 28=1的一部分；当x >0，y <0时x 24-y 28=1，则曲线E 为双曲线x 24-y 28=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；当x <0，y >0时y 28-x 24=1，则曲线E 为双曲线y 28-x 24=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为-1.4>-2，所以曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第四象限，故C 错误；因为2x 0+y 0 =3×2x 0+y 022+12，即点M x 0,y 0 到直线2x +y =0的距离的3倍，当直线2x +y +c =0与曲线x 24+y 28=1x ≥0,y ≥0 相切时，由x 24+y 28=12x +y +c =0，消去y 整理得4x 2+22cx +c 2-8=0，则Δ=22c 2-16c 2-8 =0，解得c =4(舍去)或c =-4，又2x +y =0与2x +y -4=0的距离d =4 2 2+12=43，所以2x 0+y 0 max =3d =4，所以2x 0+y 0 的取值范围为0,4 ，故D 正确；故选：AD25(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【解析】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD26(2024·广东·一模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是()A.有无数个点P ，使得AP ⎳平面BDC 1B.有无数个点P ，使得AP ⊥平面BDC 1C.若点P ∈平面BCC 1B 1，则四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为2+16D.若点P ∈平面BCC 1B 1，则AP +PC 1的最大值为6【答案】ACD【解析】令正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球半径为r ，4πr 2=3π，r =32，则BD 1=3,AB =1，连接AB 1,AD 1,B 1D 1，由四边形ABC 1D 1是该正方体的对角面，得四边形ABC 1D 1是矩形，即有AD 1⎳BC 1，而BC 1⊂平面BDC 1，AD 1⊄平面BDC 1，则AD 1⎳平面BDC 1，同理AB 1⎳平面BDC 1，又AB 1∩AD 1=A ,AB 1,AD 1⊂平面AB 1D 1，因此平面AB 1D 1⎳平面BDC 1，令平面ABD 1截球面所得截面小圆为圆M ，对圆M 上任意一点(除点A 外)均有AP ⎳平面BDC 1，A 正确；对于B ，过A 与平面BDC 1垂直的直线AP 仅有一条，这样的P 点至多一个，B 错误；对于C ，平面BCC 1B 1截球面为圆R ，圆R 的半径为22，则圆R 上的点到底面ABCD 的距离的最大值为2+12，因此四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为13×1×2+12=2+16，C 正确；对于D ，显然AB ⊥平面BCC 1B 1，在平面BCC 1B 1内建立平面直角坐标系，如图，令点P 22cos θ,22sin θ，而B -12,-12 ,C 112,12，因此AP =1+22cos θ+122+22sin θ+122=2+22(sin θ+cos θ)，PC 1=22cos θ-122+22sin θ-122=1-22(sin θ+cos θ)，令22(sin θ+cos θ)=x ，AP +PC 1=2+x +1-x =2+x +1-x 2≤22+x 2+1-x 2 =6，当且仅当x =-12取等号，此时22(sin θ+cos θ)=-12，即sin θ+π4 =-12，因此AP +PC 1的最大值为6，D 正确.故选：ACD27(2024·广东·一模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，f 12x +1 为奇函数，且f (x )在0,1 上单调递增，则下列结论正确的是()A.f -32<0 B.f 43>0 C.f (3)<0D.f 20243>0【答案】BD【解析】因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ；因为f 12x +1 是R 上的奇函数，所以f 1 =0，且f x +22 的图象是由f x 2 的图象向左平移2个单位得到的，所以f x 2 的图象关于2,0 点对称，进一步得f x 的图象关于点1,0 中心对称，即f 1+x =-f 1-x .所以f x +2 =f 1+1+x =-f 1-1+x =-f -x =-f x ，所以f x +4 =-f x +2 =f x .所以函数f x 是周期函数，且周期为4；又f x 在0,1 上单调递增，所以在0,1 上，有f x <0.所以函数的草图如下：由图可知：f -32 >0，故A 错；f 43>0，故B 对；f 3 =0，故C 错；f 20243=f 674+23 =f 4×168+2+23 =f 2+23>0，故D 对.故选：BD 28(2024·广东·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x -1 是奇函数，f x +1 为偶函数，当-1≤x ≤1时，f x =2x +1-13x +1，则()A.f x 的图象关于直线x =1对称B.f x 的图象关于点-1,0 对称C.f x +6 =f xD.f 2021 =-34【答案】ABD【解析】设g x =f x -1 ，因为g x 是奇函数，所以g -x =f -x -1 =-g x =-f x -1 ，即f -1+x +f -1-x =0，即f x 关于-1,0 对称，B 正确；设h x =f x +1 ，因为h x 为偶函数，所以h -x =h x ，即f -x +1 =f x +1 ，f 1+x =f 1-x ，所以f x 的关于直线x =1对称，A 正确；由f x 关于-1,0 对称可得f x +f -2-x =0，由f x 的关于直线x =1对称，可得f x =f 2-x ，两式联立得f 2-x +f -2-x =0，令x =x +2得：f -x +f -4-x =0，即f x +f x -4 =0，令x =x -4，得f x -4 +f x -8 =0，即f x =f x -8 ，故f x 的周期为8，故f x +8 =f x ，C 错误；因为T =8，所以f 2021 =f 252×8+5 =f 5 =f -3 ，又f -1+x +f -1-x =0，令x =-2得f -3 +f 1 =0，f 1 =22-131+1=34，所以f 2021 =f -3 =-f 1 =-34，故D 正确.故选：ABD29(2024·高二·福建三明·期中)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，则下列结论中正确的是()A.异面直线AE ､BF 所成角为定值B.AC ⊥BFC.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D.三棱锥A -BEF 的体积为定值【答案】BD【解析】则A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，设E a ,a ,1 ，则F a +24,a +24,1，其中0≤a ≤1-24，AE =(a -1,a ,1)，BF =a +24-1,a +24-1,1 ，cos <AE ,BF >=AE ∙BF|AE |∙|BF |=(2a -1)a +24-1 +1(a -1)2+a 2+1∙2a +24-1 2+1．取a =12时，cos <AE ,BF >=442-122，取a =1-24时，cos <AE ,BF >=29-22，∵442-122≠29-22，∴异面直线AE 、BF 所成角不是定值，故A 错误；由正方体的结构特征可知，DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，又BD ∩DD 1=D ，BD ,DD 1⊂平面BDD 1B 1∴AC ⊥平面BDD 1B 1，又BF ⊂平面BDD 1B 1，则AC ⊥BF ，故B 正确；B 到B 1D 1的距离为BB 1=1，A 到B 1D 1的距离大于上下底面中心的连线，则A 到B 1D 1的距离大于1，∴△AEF 的面积大于△BEF 的面积，故C 错误；∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴A 到平面BDD 1B 1的距离为22，△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故D 正确．故选：BD ．30(2024·湖南·二模)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，F 是线段A 1B 1的中点，则()A.若点P 满足AP ⊥B 1C ，则动点P 的轨迹长度为42B.三棱锥A -PB 1D 1体积的最大值为163C.当直线AP 与AB 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π+42D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，线段PF 长度最大值为22【答案】CD【解析】对于A ，易知B 1C ⊥平面ABC 1D 1,A ∈平面ABC 1D 1，故动点P 的轨迹为矩形ABC 1D 1，动点P 的轨迹长度为矩形ABC 1D 1的周长，即为42+4，所以A 错误；对于B ，因为V A -PD 1D 1=V P -AB 1D 1，而等边△AB 1D 1的面积为定值23，要使三棱锥P -AB 1D 1的体积最大，当且仅当点P 到平面AB 1D 1的距离最大，易知点C 是正方体到平面AB 1D 1距离最大的点，所以V A -PB 1D 1max =V C -AB 1D 1，此时三棱锥C -AB 1D 1即为棱长是22的正四面体，其高为h =22 2-262=43，所以V =1×1×22×22×3×43=8，B 错误；对于C ：连接AC ，AB 1，以B 为圆心，BB 1为半径画弧B 1C，如图1所示，当点P 在线段AC ,AB 1和弧B 1C上时，直线AP 与AB 所成的角为45°，又AC =AB 2+BC 2=4+4=22,AB 1=AB 2+BB 21=4+4=22，弧B 1C 长度14×π×22=π，故点P 的轨迹长度为π+42，故C 正确；对于D ，取A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1,AB 的中点分别为Q ,R ,N ,M ,T ,H ，连接QR ,QF ,FT ,TM ,MN ,NR ,FH ,HN ,HM ，如图2所示，因为FT ∥D 1C ,FT ⊄平面D 1B 1C ,D 1C ⊂平面D 1B 1C ，故FT ∥平面D 1B 1C ，TM ∥B 1C ，TM ⊄平面D 1B 1C ,B 1C ⊂平面D 1B 1C ，故TM ∥平面D 1B 1C ；又FT ∩TM =T ,FT ,TM ⊂平面FTM ，故平面FTM ∥平面D 1B 1C ；又QF ∥NM ,QR ∥TM ,RN ∥FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN =FH 2+HN 2=4+4=22;FM =FH 2+HM 2=4+2=6;NM =2;则FM 2+MN 2=8=FN 2，故三角形FNM 是以∠FMN 为直角的直角三角形；故FP max =FN =22，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：CD .31(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,233【答案】ABD【解析】对于A ,△ABC 中，由正弦定理得sin C =2sin B cos A +sin B ，由sin C =sin A +B ，得sin A cos B -cos A sin B =sin B ，即sin A -B =sin B ，由0<A ,B <π，则sin B >0，故0<A -B <π，所以A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，即A =2B ，A 正确；对于B ，若a =3b ，结合A =2B 和正弦定理知a sin A=3b sin2B =b sin B ,cos B =32，又0<A ,B <π，所以可得A =2B =π3,C =π2，B 正确；πππππ3<1.故1tan B -1tan A=1tan B -1-tan 2B 2tan B =1+tan 2B 2tan B >1，C 错误；对于D ，在锐角△ABC 中，由π6<B <π4,22<cos B <32，c a =sin C sin A=sin3B sin2B =sin2B cos B +cos2B sin B sin2B =2cos B -12cos B ，令cos B =t ∈22,32 ，则c a =f t=2t -12t，易知函数f t =2t -12t 单调递增，所以可得c a ∈22,233，D 正确；故选：ABD .32(2024·高二·广东江门·期末)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l :x =-1，过F 的直线交抛物线C 于A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 两点，交直线l 于点M ，MA =λ1AF ，MB =λ2BF，则()A.△ABO 的面积的最大值为2 B.y 1y 2=-4C.x 1x 2=1 D.λ1+λ2=0【答案】BCD【解析】设直线AB :x =my +1，由x =my +1y 2=4x得：y 2-4my -4=0.选项A ：S △ABO =12OF ·y 1-y 2 =12y 21+y 22 -4y 1y 2=1216m 2+16≥12×4=2，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：y 1y 2=-4，故B 正确；选项C ：x 1=y 214，x 2=y 224,则x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；选项D ：由MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，M -1,-2m，得：y 1+2m =-λ1y 1，y 2+2m=-λ2y 2，∴λ1+λ2=-2-2m 1y 1+1y 2=-2-2m ⋅y 1+y 2y 1y 2=-2-2m ⋅4m-4=0，故D 正确.故选：BCD33(2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数f x =sin ωx +π4ω>0 在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是()A.f x 在区间0,π 上有且仅有3个不同的零点B.f x 的最小正周期可能是2π3C.ω的取值范围是94,134D.f x 在区间0,π15 上单调递增【答案】BD【解析】由函数f x =sin ωx +π4ω>0 ，令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =(1+4k )π4ω,k ∈Z ，函数f (x )在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，即0≤(1+4k )π4ω≤π有3个整数k 符合，由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，则k=0，1，2，即1+4×2≤4ω<1+4×3，∴9 4≤ω<134，故C错误；对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈5π2,7π2 ，当ωx+π4∈5π2,3π时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当ωx+π4∈3π,7π2时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故A错误；对于B，周期T=2πω，由94≤ω<134，则413<1ω≤49，∴8π13<T≤8π9，又2π3∈8π13,8π9，所以f(x)的最小正周期可能是2π3，故B正确；对于D，∵x∈0,π15，∴ωx+π4∈π4,ωπ15+π4，又94≤ω<134，∴ωπ15+π4∈2π5,7π15，又7π15<π2，所以f(x)在区间0,π15上一定单调递增，故D正确．故选：BD．34(2024·高一·辽宁丹东·期中)已知f x 是定义在R上的连续函数，且满足f x+y=f x +f y -2xy，当x>0时，f x >0，设g x =f x +x2()A.若f1 ⋅f-1=-3，则f1 =1 B.g x 是偶函数C.g x 在R上是增函数D.x-1g x >0的解集是-∞,0∪1,+∞【答案】ACD【解析】对选项A：取x=y=0得到f0 =f0 +f0 ，即f0 =0，取x=1，y=-1得到f0 =f1 +f-1+2=0，又f1 ⋅f-1=-3，f1 >0，解得f1 =1，正确；对选项B：取y=-x得到f0 =f x +f-x+2x2，即f x +f-x=-2x2，g x +g-x=f x +x2+f-x+x2=0，函数定义域为R，函数为奇函数，错误；对选项C：设x1<x2，则g x2-g x1=f x2+x22-f x1-x21=f x2-x1+x1+x22-f x1-x21=f x2-x1-2x2-x1x1+x22-x21=f x2-x1-2x2x1+x21+x22=f x2-x1+x1-x22，x>0时，f x >0，故f x2-x1>0，x1-x22>0，故g x2-g x1>0，即g x2>g x1，函数单调递增，正确；对选项D：g0 =f0 +0=0，x-1g x >0，当x>1时，g x >0，则x>0，故x>1；当x=1时，不成立；当x<1时，g x <0，则x<0，故x<0；综上所述：x∈-∞,0∪1,+∞，正确；35(2024·湖北·一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y =1x的图象是双曲线，设其焦点为M ,N ，若P 为其图象上任意一点，则()A.y =-x 是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.点2,2 是它的一个焦点D.PM -PN =22【答案】ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，容易知道y =x 是实轴，y =-x 是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y =x 与反比例函数表达式y =1x得实轴顶点1,1 ,-1,-1 ，所以a =2,c =2，其中一个焦点坐标应为2,2 而不是2,2 ，由双曲线定义可知PM -PN =2a =22．故选：ABD .36(2024·湖北·一模)已知函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ，且f x 1 =-x 1，f x 2 =x 2．设f x 的零点个数为m ，方程3a f x 2+2bf x +c =0的实根个数为n ，则()A.当a >0时，n =3B.当a <0时，m +2=nC.mn 一定能被3整除D.m +n 的取值集合为4,5,6,7【答案】AB【解析】由题意可知f x =3ax 2+2bx +c 为二次函数，且x 1,x 2x 1<x 2 为f x 的零点，由f f x =3a f x 2+2bf x +c =0得f x =x 1或f x =x 2，当a >0时，令f x >0，解得x <x 1或x >x 2；令f x <0，解得x 1<x <x 2；可知：f x 在-∞,x 1 ,x 2,+∞ 内单调递增，在x 1,x 2 内单调递减，则x 1为极大值点，x 2为极小值点，若x 1≥0，则-x 1≤0<x 2，因为f x 1 >f x 2 ，即-x 1>x 2，两者相矛盾，故x 1<0，则f x =x 2有2个根，f x =x 1有1个根，可知n =3，若f x 2 =x 2>0，可知m =1，mn =3,m +n =4；若f x 2 =x 2=0，可知m =2，mn =6,m +n =5；若f x 2 =x 2<0，可知m =3，mn =9,m +n =6；故A 正确；当a <0时，令f x >0，解得x 1<x <x 2；令f x <0，解得x <x 1或x >x 2；可知：f x 在x 1,x 2 内单调递增，在内-∞,x 1 ,x 2,+∞ 单调递减，则x 2为极大值点，x 1为极小值点，若x 2≤0，则-x 1>0≥x 2，因为f x 1 <f x 2 ，即-x 1<x 2，两者相矛盾，故x 2>0，若f x =-x >0，即x <0，可知m =1，n =3，mn =3,m +n =4；若f x 1 =-x 1=0，即x 1=0，可知m =2，n =4，mn =8,m +n =6；若f x 1 =-x 1<0，即x 1>0，可知m =3，n =5，mn =15,m +n =8；此时m +2=n ，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为3,6,8,9,15 ，m +n 的取值集合为4,5,6,8 ，故CD 错误；故选：AB .37(2024·湖北·二模)如图，棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，且B 1F ⎳平面A 1BE ，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为2B.三棱锥B 1-D 1EF 体积的最小值为13C.B 1F 与A 1B 不可能垂直D.当三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为252π【答案】ABD【解析】对A ，如图，令CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,连接MN ，又正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，可得B 1M ⎳A 1E ,MN ⎳CD 1⎳BA 1，∴B 1M ⎳平面BA 1E ,MN ⎳平面BA 1E ,又B 1M ∩MN =M ，且B 1M ,MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⎳平面BA 1E ,又B 1F ⎳平面A 1BE ，且B 1∈平面B 1MN ，∴B 1F ⊂平面B 1MN ，又F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，∴F ∈平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，而MN =平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，∴F ∈MN ，即F 的轨迹为线段MN .由棱长为2的正方体得线段MN 的长度为2，故选项A 正确；对B ，由正方体侧棱B 1C 1⊥底面C 1CDD 1，所以三棱锥B 1-D 1EF 体积为V =13B 1C 1⋅S △D 1FE =23S △D 1FE ，所以△D 1FE 面积S △D 1FE 最小时，体积最小，如图，∵F ∈MN ，易得F 在N 处时S △D 1FE 最小，此时S △D 1FE =12ND 1⋅D 1E =12,所以体积最小值为13，故选项B 正确；对C ，当F 为线段MN 中点时，由B 1M =B 1N 可得B 1F ⊥MN ,又CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,∴MN ⎳D 1C ，而A 1B ⎳D 1C ，∴B 1F ⊥A 1B ,故选项C 不正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，由已知得此时FD =FD 1=FB 1=5,所以F 在底面B 1DD 1的射影为底面外心，DD 1=2,B 1D 1=22,DB 1=23,所以底面B 1DD 1为直角三角形，所以F 在底面B 1DD 1的射影为B 1D 中点，设为O 1，如图，设外接球半径为R ,由R 2=OO 12+O 1B 12=OO 12+3,R +OO 1=FO 1=2,可得外接球半径R =524，外接球的表面积为4πR 2=252π，故选项D 正确.故选：ABD .38(2024·湖北·二模)我们知道，函数y =f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y =f (x )的图象关于点P (a ,b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数．已知函数f (x )=42x +2，则下列结论正确的有()A.函数f (x )的值域为(0,2]B.函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称D.若函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，且其图象与函数f (x )的图象有2024个交点，记为A i (x i ,y i )(i =1,2,⋯,2024)，则2024i =1(x i +y i ) =4048【答案】BCD【解析】对于A ，显然f (x )的定义域为R ，2x >0，则0<42x +2<2，即函数f (x )的值域为(0,2)，A 错误；对于B ，令h (x )=f (x +1)-1=42x +1+2-1=22x +1-1=1-2x 1+2x ，h (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -12x+1=-h (x )，即函数y =f (x +1)-1是奇函数，因此函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B 正确；对于C ，由选项B 知，f (-x +1)-1=-[f (x +1)-1]，即f (1-x )+f (1+x )=2，两边求导得-f (1-x )+f (1+x )=0，即f (1-x )=f (1+x )，因此函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称，C 正确；对于D ，由函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，得函数g (x )的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B 知，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此2024i =1(x i +y i ) =2024i =1x i +2024i =1y i =1012×2+1012×2=4048，D 正确.故选：BCD。

2024数学高考前冲刺题《导数》含答案

黄金冲刺大题05 导数（精选30题）1．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.2．（2024·江苏南京·二模）已知函数2()e xx ax a f x -+=，其中a ∈R ．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)当0a >时，若()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，求a 的值．3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知()e xf x a x =-，()cosg x x =.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若0x ∃使得()()00f x g x =，求参数a 的取值范围.4．（2024·福建漳州·一模）已知函数()ln f x a x x a =-+，R a ∈且0a ≠．(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数()f x 的单调性．5．（2024·山东·二模）已知函数()2e ln x f x a x x x =--．(1)当a =()f x 的单调区间；(2)当0a >时，()2f x a ≥-，求a 的取值范围．6．（2024·山东·一模）已知函数21()ln (1)2f x x a x =+-．(1)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()21g x f x x =-+有两个极值点12,x x ，且12)3(2()1g x x ag +≥--，求a 的取值范围．7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，(1)若1ln kx x -≥恒成立，求实数k 的最小值；(2)已知a ，b 为正实数，[]0,1x ∈，求函数()()11x xg x ax x b a b -=+--⋅的极值．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数9πππ()tan sin ,()sin cos ,(0,2222n n f x x x x x g x x x x x n +=+--<<=-∈∈N ，．(1)求函数()f x 的极值；(2)若()0g x >恒成立，求n 的最大值．9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．10．（2024·湖南·一模）已知函数()sin cos ,f x x ax x a =-⋅∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在π2x =处的切线方程；(2)π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时；（ⅰ）若()sin20f x x +>，求a 的取值范围；（ⅱ）证明：23sin tan x x x ⋅>．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln(1)f x x =+(1)求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数．12．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.14．（2024·江苏南通·二模）已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.15．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +≥.16．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．17．（2024·浙江杭州·二模）已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．18．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数()ln 1f x x ax =-+，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0x ∀>，()2e 2xf x x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（2024·广东·二模）已知()()21122ln ,02f x ax a x x a =+-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)函数()f x 的图象上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y （其中12x x ≠），使得直线AB 与函数()f x 的图象在1202x x x +=处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.20．（2024·广东深圳·二模）已知函数()()1e x f x ax =+，()f x '是()f x 的导函数，且()()2e xf x f x '-=．(1)若曲线()y f x =在0x =处的切线为y kx b =+，求k ，b 的值；(2)在（1）的条件下，证明：()f x kx b ≥+．21．（2024·辽宁·二模）已知函数()2ln f x ax ax x =--.(1)若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y mx =+，求实数,a m 的值；(2)若对于任意1x ≥，()f x ax a +≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数()e ,e xxx f x a a =-∈R ．(1)当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(3)若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．23．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线():e e x xC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；(3)设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．24．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数()()22ln 1f x x ax a =-+∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若存在正数x ，使()0f x ≥成立，求a 的取值范围；(3)若120x x <<，证明：对任意()0,a ∈+∞，存在唯一的实数()012,x x x ∈，使得()()()21021f x f x f x x x '-=-成立.25．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,xf x x a x a x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．26．（2024·江苏南通·模拟预测）设函数()()ln f x x a x x a =--+，R a ∈.(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若220e a -<<，试判断函数()f x 在区间()22e ,e -内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的()x t t a ∈+，，()1f x a <-.27．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx ∈-，试讨论()f x 的零点个数.28．（2024·河北·二模）已知函数()e xf x =．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．29．（2024·河北邯郸·二模）已知函数()()e ,ln x f x mx g x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．30．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数()()1122e ,e e e 1xxx x f x m m g x -=+-=++.(1)当0m =时，证明：()e xf x -<；(2)当0x <时，()g x t ≥，求t 的最大值；(3)若()f x 在区间()0,∞+存在零点，求m 的取值范围.黄金冲刺大题05 导数（精选30题）1．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.【答案】(1)413y x =-；(2)递增区间为(0,2),(3,)+∞，递减区间为()2,3，极大值1612ln 2-+，极小值2112ln 3-+.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，赋值求得(1)f '，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由（1）的信息，求出函数()f x 的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】（1）函数2()103(1)ln f x x x f x '=-+，求导得3(1)()210f f x x x''=-+，则(1)83(1)f f ''=-+，解得(1)4f '=，于是2()1012ln f x x x x =-+，(1)9f =-，所以所求切线方程为：94(1)y x +=-，即413y x =-.（2）由（1）知，函数2()1012ln f x x x x =-+，定义域为(0,)+∞，求导得122(2)(3)()210x x f x x x x--'=-+=，当02x <<或3x >时，()0f x '>，当23x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在(0,2),(3,)+∞上单调递增，在(2,3)上单调递减，当2x =时，()f x 取得极大值(2)1612ln 2f =-+，当3x =时，()f x 取得极小值(3)2112ln 3f =-+，所以函数()f x 的递增区间为(0,2),(3,)+∞，递减区间为(2,3)，极大值1612ln 2-+，极小值2112ln 3-+.2．（2024·江苏南京·二模）已知函数2()e xx ax af x -+=，其中a ∈R ．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)当0a >时，若()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)e 0x y -=(2)1a =【分析】（1）由0a =，分别求出(1)f 及(1)f '，即可写出切线方程；（2）计算出()f x '，令()0f x '=，解得2x =或x a =，分类讨论a 的范围，得出()f x 的单调性，由()f x 在区间[0,]a 上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】（1）当0a =时，2()ex x f x =，则1(1)e f =，22()e x x x f x -'=，所以1(1)e f '=，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为：11(1)e ey x -=-，即e 0x y -=．（2）2(2)2(2)()()e e x xx a x a x x a f x -++---'==-，令()0f x '=，解得2x =或x a =，当02a <<时，[0,]x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,]a 上单调递减，所以min ()()f x f a ==1e ea a =，则1a =，符合题意；当2a >时，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，(2,]x a ∈时，()0f x '>，则()f x 在(2,]a 上单调递增，所以min ()(2)f x f ==241e ea -=，则4e 2a =-<，不合题意；当2a =时，[0,2]x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[0,2]上单调递减，所以min ()(2)f x f ==221e e=≠，不合题意；综上，1a =．3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知()e xf x a x =-，()cosg x x =.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若0x ∃使得()()00f x g x =，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增.(2)(],1-∞【分析】（1）对()e xf x a x =-求导数，然后分类讨论即可；（2）直接对1a >和1a ≤分类讨论，即可得到结果.【详解】（1）由()e xf x a x =-，知()e 1x f x a '=-.当0a ≤时，有()e 10110xf x a =-≤-=-<'，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递减；当0a >时，对ln x a <-有()ln e 1e1110x af x a a --'=-<=-=，对ln x a >-有()ln e 1e1110x af x a a --'=->=-=，所以()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在(),∞∞-+上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.（2）当1a >时，由（1）的结论，知()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增，所以对任意的x 都有()()()ln ln eln 1ln 1ln11cos af x f a a a a xg x -≥-=+=+>+=≥=，故()()f x g x >恒成立，这表明此时条件不满足；当1a ≤时，设()e cos xh x a x x =--，由于()()()()11111e1cos 1ee1e1e 0a a a a h a a a a a a a a a a ----------=++---≥+≥-+=-≥-=，()00e 0cos 010h a a =--=-≤，故由零点存在定理，知一定存在01,0x a ⎡⎤∈--⎣⎦，使得()00h x =，故()()()000000e cos 0xf xg x a x xh x -=--==，从而()()00f x g x =，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是(],1-∞.4．（2024·福建漳州·一模）已知函数()ln f x a x x a =-+，R a ∈且0a ≠．(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数()f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）先利用导数的几何意义求得()f x 在()()1,1f 处的切线方程，从而得证；（2）分类讨论0a <与0a >，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为()()ln 0f x a x x a x =-+>，所以()1a a xf x x x'-=-=，则(1)ln111f a a a =-+=-，(1)1f a '=-，所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为:(1)(1)(1)y a a x --=--，当0x =时，(1)(1)(01)(1)y a a a --=--=--，故0y =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程过坐标原点.（2）由（1）得()1a a x f x x x'-=-=，当0a <时，0a x -<，则()0f x '<，故()f x 单调递减；当0a >时，令()0f x '=则x a =，当0x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x a >时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.5．（2024·山东·二模）已知函数()2e ln xf x a x x x =--．(1)当a =()f x 的单调区间；(2)当0a >时，()2f x a ≥-，求a 的取值范围．【答案】(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1a ≥【分析】（1）当a =()1e ln ,0xf x x x x x -=-->，求导得()()11e 1x x f x x x-'+=-，令()1e 1x g x x -=-，求()g x '确定()g x 的单调性与取值，从而确定()f x '的零点，得函数的单调区间；（2）求()f x '，确定函数的单调性，从而确定函数()f x 的最值，即可得a 的取值范围．【详解】（1）当a =()1e ln ,0xf x x x x x -=-->，则()()()11111e 1e 1x x x f x x x x x--+=+--=-'，设()1e1x g x x -=-，则()()11e 0x g x x -+'=>恒成立，又()01e 10g =-=，所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()()()22111e 1e 1xx x f x a x a x x x'+=+--=-，设()2e 1xh x a x =-，则()()21e 0x h x a x =+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()010h =-<，2121e 10a h a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在0210,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即020e 10x a x -=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，所以()()()00200000e ln 1ln e 12ln x x f x f x a x x x x a ≥=--=-=+，所以12ln 2a a +≥-，即2ln 10a a +-≥，设()2ln 1F a a a =+-，易知()F a 单调递增，且()10F =，所以()()1F a F ≥，解得1a ≥，综上，1a ≥.6．（2024·山东·一模）已知函数21()ln (1)2f x x a x =+-．(1)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()21g x f x x =-+有两个极值点12,x x ，且12)3(2()1g x x ag +≥--，求a 的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,)+∞(2)[1,)+∞【分析】（1）将12a =-代入求导，然后确定单调性即可；（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入12)3(2()1g x x ag +≥--，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a 的取值范围．【详解】（1）当12a =-时，21()ln (1)4f x x x =--，0x >，则11(2)(1)()(1)22x x f x x x x-+'=--=-，当(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞；（2）21()()21ln (1)212g x f x x x a x x =-+=+--+，所以21(2)1()(1)2ax a x g x a x x x-++'=+--=，设2()(2)1x ax a x ϕ=-++，令()0x ϕ=，由于()g x 有两个极值点12,x x ，所以221212Δ(2)4402010a a a a x x a x x a ⎧⎪=+-=+>⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得0a >．由122a x x a ++=，121=x x a，得()()()()221211122211ln 121ln 12122g x g x x a x x x a x x +=+--+++--+()()()()212121212121ln 222222x x a x x x x x x x x ⎡⎤=++--++-++⎣⎦2112222ln 22222a a a a a a a a a ⎡⎤+++⎛⎫=+--⋅+-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦123ln1122a a a a=+--≥--，即11ln 02a a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，令11()ln 2m a a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则222111(1)()0222a m a a a a -'=--=-≤，所以()m a 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0m =，所以1a ≥，故a 的取值范围是[1,)+∞．7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，(1)若1ln kx x -≥恒成立，求实数k 的最小值；(2)已知a ，b 为正实数，[]0,1x ∈，求函数()()11x xg x ax x b a b -=+--⋅的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）求导，然后分0k ≤和0k >讨论，确定单调性，进而得最值；（2）先发现()()010g g ==，当a b =时，()0g x =，当01x <<，a b ¹时，取at b=，()1x L x tx x t =+--，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】（1）记()()1ln 0f x kx x x =-->，则需使()0f x ≥恒成立，()()10f x k x x∴=->'，当0k ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，且在1x >时，()0f x <，不符合题意，舍去；当0k >时．令()0f x '=，解得1x k=，则()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11ln ln f x f k k k ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，要使1ln kx x -≥恒成立，只要ln 0k ≥即可，解得1k ≥，所以k 的最小值为1；（2）1()(1)x x g x ax x b a b -=+--⋅，[0,1]x ∈，0a >，0b >，易知()()010g g ==，当a b =时，()0g x ax a ax a =+--=，此时函数无极值；当01x <<，a b ¹时，()(1)(1xx a a a g x ax x b b b x x b b b ⎡⎤⎛⎫=+--⋅=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，取at b=，0t >，1t ≠，()1x L x tx x t =+--，0t >，1t ≠，()0,1x ∈，则()1ln xL x t t t =--'，当1t >时，由()0L x '≥得1lnln ln t t x t-≤，由（1）知1ln t t -≥，当1t >时，11ln t t->，因为1ln x x -≥，所以111ln x x-≥，所以1ln 1x x ≥-，即0x >，当1t >时，1ln 1t t >-，所以1ln t t t->，则1ln ln 0ln t t t ->>，所以1lnln 1ln t t t-<，即()L x 在1ln ln 0,ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ln ,1ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减．所以函数()1ln ln ln t t g x g t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭极大，a t b =，a b ¹，当01t <<时，同理有()1lnln 0,1ln t t t-∈，由()0L x '≥得1lnln ln t t x t-≤，即()x 在1ln ln 0,ln t t t -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ln ,1ln t t t -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭上单调递减．所以函数()1ln ln ln t t g x g t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭极大，a t b =，a b ¹，综上可知，当a b =时，函数()g x 没有极值；当a b ¹时，函数()g x 有唯一的极大值1ln ln ln t t g t -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中at b=，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取at b=，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数9πππ()tan sin ,()sin cos ,(0,2222n n f x x x x x g x x x x x n +=+--<<=-∈∈N ，．(1)求函数()f x 的极值；(2)若()0g x >恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为π()3f =π()3f -=；(2)3.【分析】（1）判断函数()f x 为奇函数，利用导数求出()f x 在区间π(0,2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.（2）利用导数证明当1n =时，()0g x >恒成立，当1n >时，等价变形不等式并构造函数1sin π(),02cos nx F x x x x=-<<，利用导数并按导数为负为正确定n的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】（1）函数9ππ()tan sin 222f x x x x x =+--<<，，9()tan()sin()()()2f x x x x f x -=-+---=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，当π02x <<时，sin 9()sin cos 2x f x x x x =+-，求导得：3222192cos 9cos 2()cos cos 22cos x x f x x x x -+'=+-==，由于cos (0,1)x ∈，由()0f x '>，得10cos 2x <<，解得ππ32x <<，由()0f x '<，得1cos 12x <<，解得π03x <<，即()f x 在(0,π3)上单调递减，在ππ(,)32上单调递增，因此函数()f x 在π(0,)2上有极小值π()3f =从而()f x 在ππ(,)22-上的极小值为π()3f =π()3f -=.（2）当1n =时，()0g x >恒成立，即sin cos 0x x x ->恒成立，亦即tan x x >恒成立，令π()tan ,(0,)2h x x x x =-∈，求导得222211cos ()1tan 0cos cos xh x x x x -'=-==>，则函数()h x 在π(0,2上为增函数，有()(0)0h x h >=，因此tan 0x x ->恒成立；当1n >时，()0g x >x >恒成立，令1sin π(),02cos nx F x x x x=-<<，求导得：1111122211cos cos cos (sin )sin cossin cos ()11cos cos n n nn nnn nx x x x x x x xn nF x xx+--⋅-⋅⋅-⋅+⋅⋅'=-=-11222221111111cos sin coscos (1cos )coscos 1cos cos cos n n nnn n n n n nn x x x x x x x n n n nxxx+++++-+⋅-----=-==令1211()coscos n nn G x x x n n +-=--，求导得则111()cos (sin )2cos (sin )n n n G x x x x x n n+-'=⋅--⋅⋅-11sin 221[(22)cos (1)cos ]sin (cos cos )22n n x n n n x n x x x x n n n -+=--+=⋅--11221sin cos (cos )22n n n n n x x x n n --+=⋅⋅--，由π1,(0,)2n x >∈，得122sin cos 0n n x x n-⋅⋅>，当1122n n +≥-时，即3n ≤时，()0'<G x ，则函数()G x 在π(0,)2上单调递减，则有()(0)0G x G <=，即()0F x '<，因此函数()F x 在π(0,)2上单调递减，有()(0)0F x F <=，即()0g x >，当1122n n +<-时，即3n >时，存在一个0π(0,2x ∈，使得101cos 22n n n x n -+=-，且当0(0,)x x ∈时，()0G x '>，即()G x 在0(0,)x 上单调递增，且()(0)0G x G >=，则()0F x '>，于是()F x 在0(0,)x 上单调递增，因此()(0)0F x F >=x <，与()0g x >矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．【答案】(1)12a =(2)证明见解析【分析】（1）求导可得() 00f '=，再分0a ≤与0a >两种情况分析原函数的单调性，当0a >时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln 12n n n n ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x ¢>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,∞+上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令1>0x ，02x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x>，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪-++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10．（2024·湖南·一模）已知函数()sin cos ,f x x ax x a =-⋅∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 在π2x =处的切线方程；(2)π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时；（ⅰ）若()sin20f x x +>，求a 的取值范围；（ⅱ）证明：23sin tan x x x ⋅>．【答案】(1)2ππ220.2x y -+-=(2)（ⅰ）3a ≤（ⅱ）证明见解析【分析】（1）令1a =时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.（2）（ⅰ）设π()2sin tan ,(0,),2g x x x ax x =+-∈由()0g x '>得3a ≤，再证明此时满足()0g x >.（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出()23sin tan F x x x x =⋅-在π(0,)2上单调递增，()(0)0,F x F ∴>=即23sin tan .x x x >【详解】（1）当1a =时，()sin cos ,()cos (cos sin )sin ,f x x x x f x x x x x x x '=-⋅=--⋅=⋅πππ(,() 1.222f f '==所以切线方程为：ππ1(),22y x -=-即2ππ220.2x y -+-=（2）（ⅰ）()sin 2sin cos sin 20,f x x x ax x x +=-⋅+>即πtan 2sin 0,(0,2x ax x x -+>∈，设π()2sin tan ,(0,),2g x x x ax x =+-∈322211()2cos (2cos cos 1).cos cos g x x a x a x x x'=+-=-+又(0)0,(0)3,(0)30g g a g a ''==-∴=-≥ 是()0g x >的一个必要条件，即 3.a ≤下证3a ≤时，满足π()2sin tan 0,(0,2g x x x ax x =+->∈又3221()(2cos 3cos 1)cos g x x x x'≥-+，设322()231,(0,1),()666(1)0,t t t t h t t t t t '=-+∈=-=-<()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h t h >=，又π(0,(0,1),()0,2x x g x '∈∈∴>即()g x 在π(0,)2单调递增.π(0,)2x ∴∈时，()(0)0g x g >=；下面证明3a >时不满足π()2sin tan 0,(0,),2g x x x ax x =+->∈，21()2cos cos g x x a x'=+-，令21()()2cos cos h x g x x a x'==+-，则332sin 1()2sin 2sin 1cos cos x h x x x x x ⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭，3π10,,sin 0,102cos x x x ⎛⎫∈∴>-> ⎪⎝⎭，∴()0,()()h x h x g x ''>∴=在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，令0x满足00π0,,cos 2x x ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则()0002012cos 2cos 0cos g x x a x a a x '=+-=+->，又(0)30,g a '=-<∴()100,x x ∃∈,使得()10g x '=，当()10,x x ∈时，()1()0g x g x ''<=，∴此时()g x 在()10,x 为减函数，∴当()10,x x ∈时，()(0)0g x g <=，∴3a >时，不满足()0g x ≥恒成立.综上3a ≤.（ⅱ）设23π()sin tan ,(0,),2F x x x x x =⋅-∈2222221()2sin cos tan sin 32sin tan 3cos F x x x x x x x x x x '=⋅⋅+⋅-=+-222222(sin )(tan )2(2sin tan )23.x x x x x x x x x x =-+-++---由（ⅰ）知22sin tan 3,()002360,x x x F x x x x '+>∴>++⋅-=，()F x 在π(0,)2上单调递增，()(0)0,F x F ∴>=即23sin tan .x x x >【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln(1)f x x =+(1)求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数．【答案】(1)312y x =-；(2)2．【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】（1）依题意，()()3211121f x x x '=+++，故()302f '=，而()01f =-，故所求切线方程为312y x +=，即312y x =-．（2）令()ln 12cos x x +=-，故()ln 12cos 0x x ++=，令()()ln 12cos g x x x =++()()32112sin 112g x x x x -=++'-+，令()()()32112sin 112h x g x x x x -==-++'+，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'．①当π1,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()()522cos 0,10,10x x x -≥+>+>，()()0,h x h x ∴∴'<在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，即()g x '在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，又()()32111111010,12sin122sin1120222222g g -=+>=-+⋅'<-⋅+<-'⨯=，()'∴g x 在()0,1上有唯一的零点，设为0x ，即()()00001g x x ='<<．()g x ∴在()01,x -上为增函数，在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．又()πππ0210,ln 12cos 444g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππln 10,ln 10422g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在()01,x -上有且只有一个零点，在0π,2x ⎛⎤⎥⎝⎦上无零点；②当π5π,26x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()()3211110,12g x x g x x -<-++<+'单调递减，又12π5π5π5π0,ln 11ln402666g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦内恰有一零点；③当5π,π6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'为增函数，()5225π135π1106465π1+6h x h -⎛⎫⎛⎫∴==-+-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎝'⎪⎭，()'∴g x 单调递增，又()5ππ0,06g g ⎛⎫>< ⎪⎝'⎭'，所以存在唯一()005π,π,06x g x '⎛⎫∈=⎪⎝⎭，当05π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<递减；当()0,πx x ∈时，()()0,g x g x '>递增，()()5πmax ,π06g x g g ⎧⎫⎛⎫≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()g x ∴在5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭内无零点．综上所述，曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x xf x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；（2）借助换元法，令e x t =，11e x t =，22e xt =，可得1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，借助韦达定理可得124t t +=，12t t a =，即可用1t 、2t 表示()()1212f x f x x x +++，进而用a 表示()()1212f x f x x x +++，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】（1）当3a =时，()21e 4e 352x xf x x =-+--，()()()2e 4e 3e 1e 3x x x x f x =-+-=---'，则当()()e 0,13,x∞∈⋃+，即()(),0ln 3,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，当()e 1,3x∈，即()0,ln 3x ∈时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),0∞-、()ln 3,∞+，单调递增区间为()0,ln 3；（2）()2e 4e x x f x a -+'=-，令e x t =，即()24f x t t a '=-+-，令11e x t =，22e xt =，则1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，则()2Δ441640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<，则()()1122221212121211e 4e 5e 4e 522x x x xf x f x x x ax ax x x +++=-+---+--++()()()()22121212141ln ln 102t t t t a t t =-+++--+-()()()2121212121241ln 102t t t t t t a t t ⎡⎤=-+-++---⎣⎦()()1162161ln 102a a a =--+---()1ln 2a a a =---，要证()()12120f x f x x x +++<，即证()()1ln 2004a a a a ---<<<，令()()()1ln 204g x x x x x =---<<，则()111ln ln x g x x x x x-⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，令()()1ln 04h x x x x=-<<，则()2110h x x x '=--<，则()g x '在()0,4上单调递减，又()11ln111g =-='，()12ln 202g =-<'，故存在()01,2x ∈，使()0001ln 0g x x x =-='，即001ln x x =，则当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,4x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 上单调递增，()g x 在()0,4x 上单调递减，则()()()()000000000111ln 2123g x g x x x x x x x x x ≤=---=--⨯-=+-，又()01,2x ∈，则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()000130g x x x =+-<，即()0g x <，即()()12120f x f x x x +++<.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令e x t =，11e x t =，22e xt =，从而可结合韦达定理得1t 、2t 的关系，即可用a 表示()()1212f x f x x x +++，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为1e-，无极大值(2)()e,+∞【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；（2）把原函数有两个零点转化为()e xg x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】（1）当0k =时，()e (xf x x x =∈R ），所以()()1e x f x x ='+，令()0f x '=，则=1x -，x(),1∞--1-()1,∞-+()f x '-+()f x 单调递减极小值单调递增所以()1min 1()1e ef x f -=-=-=-，所以()f x 的极小值为1e-，无极大值.（2）函数()()e xf x x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，令()e xg x kx =-，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易知()e xg x k '=-，因为()0,x ∞∈+，所以e 1x >.①当(],1k ∈-∞时，()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∞∈+时，令()0g x '=，得ln x k =，所以在()0,ln k 上，()0g x '<，在()ln ,k ∞+上，()0g x '>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在(ln ,)+∞k 上单调递增，所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-⋅.因为()g x 在()0,∞+上有两个零点，所以()ln ln 0g k k k k =-⋅<，所以e k >.因为()()()222010,ln ln 2ln g g kkk k k k k =>=-⋅=-，令()2ln h x x x =-，则()221x h x x x'-=-=，所以在()0,2上，()0h x '<，在()2,∞+上，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()222ln2lne ln40h x ≥-=->，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =->，所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和(ln ,)+∞k 内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是()e,∞+.【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域.（2）计算导数()f x '.（3）求出()0f x '=的根.（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间.()0f x '>，则()f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；()0f x '<，则()f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14．（2024·江苏南通·二模）已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)32e .【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a >与0a <分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】（1）()11axf x a x x'-=-=（0a ≠），当0a <时，由于0x >，所以()0f x '>恒成立，从而()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，10x a<<，()0f x '>；1x a >，()0f x '<，从而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递减；综上，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，没有单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）令()()()2ln h x f x g x x ax ax =-=--，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax -+-=-+='，由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x '>，当2x a<<+∞时，()0h x '<，所以()max 22ln 30h x h a a ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，解得：32e a ≥，所以a 的最小值为32e.15．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +≥.【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】（1）求导可得()221ax f x x='-，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x =->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】（1）由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x ='-=-，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+上恒成立，可知()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>，解得x >()0f x '<，解得0x <<可知()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.（2）构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭，由0x >可知10x +>，构建()1e ,0xh x x x=->，因为1e ,xy y x==-在()0,∞+上单调递增，则()h x 在()0,∞+上单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，可知()h x 在()0,∞+上存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<；当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0x x -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=，即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.16．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)20,e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助函数与方程的关系，可将()f x 有且仅有两个零点转化为方程2ln xb x=有两个根，构造对应函数。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08(解析版)

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点【答案】D【解析】两个函数的零点个数转化为图象与y =a 的图象的公共点的个数，作出y =2x -1 ，y =x 2-4x +2的大致图象，如图所示.由图可知，当g x 有2个零点时，f x 无零点或只有1个零点；当g x 有3个零点时，f x 只有1个零点；当f x 有2个零点时，g x 有4个零点.故选：D2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-32【答案】D【解析】如图，设AB =a ,PA =b ，因为在矩形ABCD 中，∠ABD =60°，所以AC =BD =2a ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以∠PBA ,∠PCA 分别是PB ,PC 与底面ABCD 所成的角，即α=∠PBA ,β=∠PCA ，所以tan α=tan ∠PBA =b a ,tan β=tan ∠PCA =b2a.因为α+β=45°，所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=ba+b2a 1-b a ⋅b 2a =1，解得b a =17-32(负根舍去)，所以PAAB =17-32.故选：D .3(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+43【答案】C【解析】取AB 的中点D ，连接CD 、OD ，则AC ⋅BC =AD +DC ⋅BD +DC =AD ⋅BD +AD +BD ⋅DC +DC 2=DC 2-1，又OD =22-12=3，所以CD min =2-3，CD max =2+3，即2-3≤CD ≤2+3，所以AC ⋅BC min =6-43，AC ⋅BC max =6+43．故AC ⋅BC的取值范围为6-43,6+43 ．故选：C4(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π12【答案】A【解析】设l ：y =kx +b (k >0，b >0)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +bx 29+y 23=1，得3k 2+1 x 2+6kbx +3b 2-9=0，由题意知Δ=36k 2b 2-43k 2+1 3b 2-9 =129k 2+3-b 2 >0，所以x 1+x 2=-6kb 3k 2+1，x 1x 2=3b 2-93k 2+1，设AB 的中点为E ，连接OE ，因为AM =BN ，所以AM +AE =BE +BN ，得EM =EN ，又因为N -bk,0 ，M 0,b ，所以E 也是MN 的中点，所以E 的横坐标为x E =x 1+x 22=-b k 2，从而得-6kb 3k 2+1=-b k ，因为A ,B 交在第二象限k >0，解得k =33，设直线l 倾斜角为θ，得tan θ=33，得θ=π6，故A 正确.故选：A .5(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =()A.5π12B.π2C.7π12D.2π3【答案】C【解析】因为AC ⋅BD =2，所以AD +DC ⋅BD =2，易知BD =4，结合图形，AD ·BD =2×4×22=4，∠BCD =90°，则4-DC 2=2，故DC = 2.又BD 是圆的直径，AD =2,∠ADB =π4，所以BD =22，所以在直角三角形BCD 中可得∠BDC =π3，故∠ADC =7π12.故选：C .6(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e【答案】D【解析】设切点坐标为x 0,f x 0 ，对函数y =a x ，求导得y =a x ln a ，切线方程ex -4y +e ln4=0化成斜截式为y =e 4x +e ln44，由题设知e4=a x 0ln a >0a x 0=ex 0+e ln44，显然ln a >0，即a >1，由a x 0=e 4ln a ，得e 4ln a =ex 0+e ln44，即1ln a=x 0+ln4，即1=x 0⋅ln a +ln a ln4=ln a x 0+ln4ln a =ln a x⋅4ln a ，即e =a x 0⋅4ln a =e4ln a ⋅4ln a ，化简得4ln a =4ln a ，令ln a =t >0，即4t =4t ，利用指数函数与一次函数的性质，可知t =1或12，即ln a =1或12，解得a =e 或 e.故选：D .7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.15【答案】D【解析】如图所示：OP =5,记OM =m ,ON =n ,则m 2+n 2=5，AC =210-m 2,BD =210-n 2，S ACBD =12AC ⋅BD =210-m 2⋅10-n 2≤2×10-m 2+10-n 22=15，当且仅当10-m 2=10-n 2，即m =n =102时，取等号.所以四边形ACBD 的面积的最大值为15.故选：D8(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 【答案】A【解析】令e x -1-mx -2n -3=0，即e x -1=mx +2n +3，当m <0时，由函数y =e x -1与y =mx +2n +3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为x 0,y 0 ，则当x <x 0时，e x -1<mx +2n +3，即e x -1-mx -2n -3<0，不满足题意；当m >0时，令f x =e x -1-mx -2n -3，则f x =e x -1-m ，令f x =0，则x =ln m +1，因为f x =e x -1-m 单调递增，所以当x <ln m +1时，f x <0，f x 单调递减，当x >ln m +1时，f x >0，f x 单调递增，所以x =ln m +1时，f x 有最小值f ln m +1 =-m ln m -2n -3，又e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，所以-m ln m -2n -3≥0，即2n ≤-m ln m -3，所以2n m ≤-ln m -3m，当且仅当2n =-m ln m -3时等号成立.令g m =-ln m -3m ，则g m =-1m +3m 2=3-mm 2，当0<m <3时，g m >0，g m 单调递增，当m >3时，g m <0，g m 单调递减，所以当m =3时，g max m =-ln3-1=-ln3e ，所以2n m ≤-ln3e ，即n m ≤-ln3e 2，当且仅当m =3，n ≤-3ln3e 2时等号成立，所以n m 的取值范围为-∞,-ln3e 2 .故选：A9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.2【答案】B【解析】解析：因为扇形OMN 的面积为π，即14πOP 2=π，所以OP =2，设∠POM =θ，则在Rt △OPR 中，PR =2tan θ，连接OQ ，根据切线的性质知QN =QP ,∠NOQ =12∠NOP =π4-θ2，则在Rt △NOQ 中，NQ =2tan π4-θ2，所以NQ +QR =PR +2NQ =2tan θ+4tan π4-θ2 ,θ∈0,π2，令α=π4-θ2，则θ=π2-2α，且α∈0,π4，所以原式=2tan π2-2α +4tan α=2tan2α+4tan α=1-tan 2αtan α+4tan α=3tan α+1tan α≥21tan α⋅3tan α=23，当且仅当3tan α=1tan α，即tan α=33时，等号成立，又α∈0,π4 ，所以α=π6=θ=∠POM 时，NQ +QR 取得最小值，为23，故选：B10(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.11【答案】D 【解析】∵32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，∴a n +2=3a n +1-2a n ，故a n +2-a n +1=2a n +1-a n ，而a 2-a 1=S 2-2S 1=1≠0，∴a n +2-an +1a n +1-a n=2，故数列a n +1-a n 是首项为1，公比为2的等比数列，则a n +1-a n =2n -1，∴a n =a n -a n -1 +a n -1-a n -2 +⋯+a 2-a 1 +a 1=2n -2+2n -1+⋯+20+1=1-2n -11-2+1=2n -1，记T n =ni =1i a i，则T n =120+221+⋯+n2n -1，2T n =12-1+220+⋯+n2n -2，两式相减可得，T n =12-1+120+121+⋯+12n -2-n 2n -1=21-12 n1-12-n 2n -1=4-2+n 2n -1，即ni =1i a i=4-2+n 2n -1，令4-2+n 2n -1>509128，即2+n 2n -1<3128，设f x =2+x 2x -1x >0 ，则fx =2x -1-2+x ⋅2x -1⋅ln22x -1 2=1-2+x ⋅ln22x -1，∵x >0，∴f x <0，∴f x 在0,+∞ 单调递减，∴2+n 2n -1 是递减数列，∵当n =10时，2+n 2n -1=2+10210-1=3128，∴当n >10时，ni =1i a i >509128，∴使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为11.故选：D .12(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]【答案】D【解析】依题意得，ax ln ax ≤2xe 2x ，故eln axln ax ≤2xe 2x ，令f x =xe x ,x ∈R ，则f x =x +1 e x ，令f x =0可得x =-1，所以x ∈-∞,-1 时，f x <0，则f x 在-∞,-1 上单调递减，x ∈-1,+∞ 时，f x >0，则f x 在-1,+∞ 上单调递增；且当x <0时，f x <0，当x >0时，f x >0；则由f ln ax ≤f 2x x >0 ，得ln ax ≤2x ，则a ≤e 2xx 令g x =e 2xx ,x ∈0,+∞ ，则g x =2x -1 e 2xx2，故当x ∈0,12 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈12,+∞ 时，g x >0,g x 单调递增，故g x min =g 12=2e ，则a ≤2e ，则实数a 的取值范围为a ∈0,2e .故选：D ．13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】A【解析】因为32>23，所以log 232>log 223，即2log 23>3，所以log 23>32，即a >32；因为52<33，所以log 352<log 333，即2log 35<3，所以log 35<32，即b <32；因为82<53，所以log 582<log 553，即2log 58<3，所以log 58<32，即c <32；又因为b -c =log 35-log 58=1log 53-log 58=1-log 53⋅log 58log 53，且2log 53⋅log 58<log 53+log 58=log 524<log 525=2，所以log 53⋅log 58<1，所以b -c >0，所以b >c ；综上所述，a >b >c .故选：A .14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.4【答案】B【解析】因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在圆x 2+y 2=16上，∠AOB =π2，因为|OA |=|OB |=4，则△AOB 是等腰直角三角形，|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|表示A 、B 到直线x +y -2=0的距离之和的2倍，原点O 到直线x +y -2=0的距离为d =22=2，如图所示：AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，E 是AB 的中点，作EF ⊥CD 于F ，且OE ⊥AB ，|AC |+|BD |=2|EF |，OE =12AB =22，EF ≤OE +d =32，当且仅当O ,E ,F 三点共线，且E ,F 在O 的两侧时等号成立，又EF =12BD +AC ，故BD +AC 的最大值为62|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|的最大值为22×32=12．故选：B ．15(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种【答案】B【解析】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有C 12C 14种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有C 26C 24C 22种排法，所以一共有C 12C 14C 26C 24C 22=720种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有A 24种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有C 26C 24C 22种排法，其中甲两天连排的排法有5C 24C 22种，故初三到初八的值班安排有C 26C 24C 22-5C 24C 22种排法，所以一共有A 24C 26C 24C 22-5C 24C 22 =720种排法；综上可知共有720+720=1440种不同排法.故选：B .16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2 B.3C.4D.5【答案】D【解析】不妨设点P 在第二象限，如图，因为OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1 ，则P -35c ,y 0 ，又PO 2=r 2=c 2，所以y 20=c 2--35c 2=1625c 2，又P 在双曲线上，∴9c 225a 2-16c 225b2=1，则25a 2b 2+16a 2c 2-9b 2c 2=0，即25a 2c 2-a 2 +16a 2c 2-9c 2-a 2 c 2=0，整理得9c 2-5a 2 c 2-5a 2 =0，所以9e 2-5 e 2-5 =0，解得e 2=5或e 2=59(舍去)，∴e = 5.故选：D .17(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1 B.2C.4D.2或4【答案】C【解析】由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-22⇒B =3π4,A +C =π4，即cos A -C =7210cos A +C =22⇒cos A cos C =325sin A sin C =210，cos α+A cos α+C cos 2α=cos 2αcos A cos C +sin 2αsin A sin Ccos 2α--sin αcos αsin A cos C +sin C cos A cos 2α=325cos 2α+210sin 2α-22sin αcos αcos 2α=325+210tan 2α-22tan α=25，所以tan 2α-5tan α+4=0⇒tan α=1或tan α=4，又α∈π4,π2，所以tan α=4.故选：C18(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.1720【答案】A【解析】设事件B 1表示任选一件产品，来自于甲箱，事件B 2表示任选一件产品，来自于乙箱，事件A 从两箱产品中任取一件，恰好不合格，P A =P A |B 1 P B 1 +P A |B 2 P B 2 =0.1×0.5+0.2×0.5=0.15又P B 1|A =P AB 1 P A =P A |B 1 P B 1 P A=0.1×0.50.15=13P B 2|A =P AB 2 P A =P A |B 2 P B 2 P A=0.2×0.50.15=23，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为13×910+23×810=56.故选：A .19(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.158【答案】D【解析】X 的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组a ,b ,c ，满足X =0的数组有：1,1,1 ,2,2,2 ,3,3,3 ,4,4,4 ，共4个，所以P X =0 =443=116，满足X =1的数组有：1,1,2 ,1,2,1 ,2,1,1 ,2,2,3 ,2,3,2 ,3,2,2 ,3,3,4 ,3,4,3 ,4,3,3 ，2,2,1 ,2,1,2 ,1,2,2 ,3,3,2 ,3,2,3 ,2,3,3 ,4,4,3 ,4,3,4 ,3,4,4 ，共18个，所以P X =1 =1843=932，满足X =2的数组有：1,1,3 ,1,3,1 ,3,1,1 ,2,2,4 ,2,4,2 ,4,2,2 ，3,3,1 ,3,1,3 ,1,3,3 ,4,4,2 ,4,2,4 ,2,4,4 ，1,2,3 ,1,3,2 ,2,1,3 ,2,3,1 ,3,1,2 ,3,2,1 ，4,2,3 ,4,3,2 ,2,4,3 ,2,3,4 ,3,4,2 ,3,2,4 ，共24个，所以P X =2 =2443=38，满足X =3的数组有：1,2,4 ,1,3,4 ,1,4,4 ，1,4,1 ,1,4,2 ,1,4,3 ，1,1,4 ,2,1,4 ,3,1,4 ，4,1,1 ,4,2,1 ,4,3,1 ，4,1,2 ,4,1,3 ,4,1,4 ，2,4,1 ,3,4,1 ,4,4,1 ，共18个，所以P X =3 =1843=932，所以X 的数学期望E X =0×116+1×932+2×38+3×932=158.故选：D .20(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据题意，函数f x 的周期为8，图象关于点4,0 对称，又f 38-x +f 3x =f 8-3x +f 3x =-f 3x +f 3x =0，所以函数y =f 3x 的图象也关于点4,0 对称，由x ∈0,4 ，f x =ln 1+sin π4x ，∴fx =π4cos π4x 1+sin π4x ，∵0≤π4x <π，sin π4x ≥0，令f x >0，解得0≤x <2，令f x <0，解得2<x <4，所以函数f x 在0,2 上单调递增，在2,4 上单调递减，f 2 =ln2，f 0 =f 4 =0，在同一个坐标系中，作出函数y =f 3x 与y =f x 的图象，如图，由图可得，函数y =f 3x 与y =f x 在0,4 上有两个交点，因为函数y =f 3x 与y =f x 图象均关于点4,0 对称，所以函数y =f 3x 与y =f x 在4,8 上有两个交点，又f 12 =f 4 =0，所以函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为5.故选：C .21(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27 B.24 C.32 D.28【答案】A【解析】设每一轮训练过关的概率为p ，则p =p 21p 22+p 21×C 12×p 2×1-p 2 +p 22×C 12×p 1×1-p 1=-3p 21p 22+2p 1p 2p 1+p 2 =-3p 21p 22+2p 1p 2×43=-3p 21p 22+83p 1p 2，0<p 1p 2≤p 1+p 22 2=49，当且仅当p 1=p 2=23时等号成立.函数y =-3x 2+83x 的开口向上，对称轴为x =49，所以0<-3p 21p 22+83p 1p 2≤-3⋅49 2+83⋅49=1627，依题意，X ∼B n ,p ，则E X =n -3p 21p 22+83p 1p 2=16，n =16-3p 21p 22+83p 1p 2≥161627=27，所以至少需要27轮.故选：A22(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】如图，圆O 的直径为2R =BC sin ∠BAC=2332=4，故OB =OC =R =2，∠BOC =2∠BAC =120°，故OB ⋅OC =OB OC cos120°=2×2×-12=-2.故选：B .二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )【答案】ABD【解析】对于选项A ，令x =y =0，得2f 0 =2f 0 2，解得f 0 =0或f 0 =1，当f 0 =0时，令y =0，则2f x =2f x f 0 ，则f x =0，这与f x 不恒为零矛盾，所以f 0 =1，故选项A 正确，对于选项B ，令x =0，则f 0+y +f 0-y =2f y f 0 ，即f y =f -y ，即f x 为偶函数，所以选项B 正确，对于选项C ，取f x =cos x ，满足题意，此时x =0不是f x 的极小值点，所以选项C 错误，对于选项D ，令y =a ，得f x +a +f x -a =2f x f a ，若f a =0，则f x +a =-f x -a ，则f x =-f x +2a ，则f x +4a =-f x +2a =f x ，所以选项D 正确，故选：ABD .24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是3【答案】BC【解析】设A (0,2),B (-1,1),F (-1,0),P (x ,-4x )，易知点P 的轨迹是抛物线y 2=-4x 的上半部分，抛物线y 2=-4x 的准线为直线x =1,P 到准线的距离d =|x -1|，F 为抛物线y 2=-4x 的焦点，对于AB ，x 2-4x -8-x +4+|x -1|=x 2+(-4x -2)2+d =|PA |+d =|PA |+|PF |≥|AF |=5，所以x 2-4x -8-x +4+|x -1|的最小值为5，故A 错误，B 正确；对于CD ，x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2=x 2+(-4x -2)2+(x +1)2+(-4x -1)2=|PA |+|PB |≥|AB |=2，所以x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2，故C 正确，D 错误.故选：BC .25(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=722【答案】ABD【解析】因为数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数，所以a 2=3×5+1=16,a 3=162=8,a 4=82=4,a 5=42=2,a 6=22=1,a 7=3×1+1=4,a 8=42=2,a 9=22=1,a 10=3×1+1=4，所以S 10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47，所以AB 正确，C 错误，因为数列a n 中从第4项起以4，2，1循环，而(300-3)÷3=99，所以S 300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722，所以D 正确，故选：ABD26(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π【答案】BCD【解析】对于A ，由MC 1=NC 1≠0，可得D 1C ⎳MN ，因为AB ⎳D 1C 1，所以MN 与AB 不垂直，因此A 不正确；对于B ，因为D 1C ⎳A 1B ，所以MN ⎳A 1B ，因此直线MN 与AP 所成的角就是直线A 1B 与AP 所成的角，当P 为A 1B 中点时，此时AP ⊥A 1B ,直线A 1B 与AP 所成的角最大为90°，因此B 正确：对于C ，由于平面ABB 1A 1⎳平面DCC 1D 1,AP ⊂平面ABB 1A 1,所以V M -DPC =V P -DMC =V P -D 1DC =V A -D 1DC =13×12×2×2×2=43为定值，C 正确：对于D ，VP -BDD 1B 1=2V P -BDD 1=2V D 1-PBD ,由于P 为A 1B 上的点，故D 1到平面A 1BD 的距离为定值，所以D 1到平面PBD 的距离为定值，要使V D 1-PBD 最大，只需要S △PBD 最大，故当P 为A 1点时，四棱锥P -D 1DBB 1体积最大，该四棱锥的外接球即正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，直径为BD 1=23，所以r =3，故其表面积为12π，因此D 正确．故选：BCD ．27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD【解析】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则P A ∪B =P A +P B =3P A =0.72，所以P A =0.24,A ，故A 错误；对于B ，P B |A =P AB P A ,P A |B =P AB P B =P AB 2P A=12P B |A ，故B 正确；对于C ，P A ∪B =P A +P B -P AB =3P A -P AB =0.72,P A =0.24+P AB3，若事件A 与事件B 互斥，则P AB =0，此时P A 取到最小值为0.24，若P A ⊆P B ，此时P AB =P A ,P A 取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，P A =0.3，则P B =0.6，由P A ∪B =P A +P B -P AB ，得P AB =0.3+0.6-0.72=0.18=P A ⋅P B ，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD .28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减 D.f x 为奇函数【答案】BC【解析】对于A ，令x =y =12，则2f 1 f 12=f 12 2，因f 12≠0，故得f 12=2f (1)=2，故A 正确；对于B ,由f x +y f x +f y =f x f y ，令y =x ，则f (2x )=[f (x )]22f (x )=12f (x )，则f12i =f 2×12i +1 =12f 12i +1 ，即f 12i +1 =2f 12i，故f 12i是以f 12 =2为首项，2为公比的等比数列，于是2023i =1f 12i=21-22023 1-2=22024-2，故B 错误；对于D ，由题意，函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，关于原点对称，令y =-2x ，则f -x =f x f -2xf x +f -2x①，把x ,y 都取成-x ，可得f -2x =f -x f -x 2f -x =f -x2②，将②式代入①式，可得f -x =f xf -x2f x +f -x2，化简可得f -x =-f x ,即f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，∵f x 在-∞,0 上单调递减，函数为奇函数，可得f x 在0,+∞ 上单调递减，但是不能判断f x 在定义域上的单调性，例如f x =1x，故C 错误.故选：BC .29(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)设a ,b 为两个正数，定义a ,b 的算术平均数为A a ,b =a +b2，几何平均数为G a ,b =ab ，则有：G a ,b ≤A a ,b ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D .H .Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即L p a ,b =a p +bp a p -1+bp -1，其中p 为有理数.下列关系正确的是()A.L 0.5a ,b ≤A a ,b B.L 0a ,b ≥G a ,b C.L 2a ,b ≥L 1a ,b D.L n +1a ,b ≤L n a ,b【答案】AC【解析】对于A 选项，L 0.5a ,b =a +b 1a+1b=ab ≤a +b2=A a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项，L 0a ,b =21a +1b =2ab a +b ≤2ab2ab =ab =G a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故B 错误；对于C 选项，L 2a ,b =a 2+b 2a +b =a 2+b 2+a 2+b 22a +b ≥a 2+b 2+2ab 2a +b =(a +b )22a +b =a +b 2=L 1a ,b ，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 正确；对于D 选项，当n =1时，由C 可知，L 2a ,b ≥a +b2=L 1a ,b ，故D 错误.故选：AC .30(2024·广东广州·模拟预测)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，则()A.DB 1⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面面积为33C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为3-32【答案】ABD【解析】A 选项，以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，P 1,2,0 ,M 0,1,2 ,N 2,0,1 ,D 0,0,0 ,B 12,2,2 ，故DB 1 =2,2,2 ,PM =-1,-1,2 ,PN=1,-2,1 .设平面PMN 的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅PM=x ,y ,z ⋅-1,-1,2 =-x -y +2z =0m ⋅PN=x ,y ,z ⋅1,-2,1 =x -2y +z =0，令z =1得，x =y =1，故m=1,1,1 ，因为DB 1 =2m ，故DB 1⊥平面PMN ，A 正确；B 选项，取A 1D 1,AB ,CC 1的中点E ,F ,Q ，连接MQ ,ME ,EN ,NF ,FP ,PQ ,EP ,A 1B ,CD 1，因为M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，所以NF ⎳A 1B ,MQ ⎳CD 1，又CD 1⎳EP ⎳A 1B ，所以NF ⎳MQ ⎳EP ，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN ，其中边长为2，故面积为6×34×2 2=33，B 正确；C 选项，Q 为平面PMN 上的动点，直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，又DB 1⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心，r =33B 1S 为半径作圆，即为点Q 的轨迹，其中B 1D =B 1D =4+4+4=23，由对称性可知，B 1S =12B 1D =3，故半径r =33×3=1，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，因为M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，所以平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D 的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN 切与点S ，与平面ADD 1A 1，平面ADCB ，平面DCC 1D 1相切，由对称性可知，球心在B 1D 上，设球心为R t ,t ,t ，则半径为t ，S 1,1,1 ，故RS =t ，即31-t =t ，解得t =3-32，故球的半径的最大值为3-32，D 正确.故选：ABD31(2024·湖南·模拟预测)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别为BC ,CC 1的中点，则下列结论正确的是()A.直线A1B与EF所成的角的大小为60°B.直线AD1⎳平面DEFC.平面DEF⊥平面BCC1B1D.四面体D-EFC外接球的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为6π8【答案】ABD【解析】解析：对于A：连接BC1,C1A1，如图，由正方体的结构特征知，BC1=A1C1，=A1B即△A1BC1为正三角形．又因为E,F分别为BC,CC1的中点，则EF∥BC1，因此直线A1B与EF所成的角即为直线A1B与BC1所成的角，即∠A1BC1或其补角，又∠A1BC1=60°，所以直线A1B与EF所成的角的大小为60°，A正确；对于B：因为EF∥BC1，所以AD1∥EF,AD1⊄平面DEF,EF⊂平面DEF，故直线AD1⎳平面DEF，B正确；对于C：取EF的中点为M，连接DM，显然DE=DF,EF的中点为M，则DM⊥EF，假设平面DEF⊥平面BCC1B1，而平面DEF∩平面BCC1B1=EF，于是DM⊥平面BCC1B1，又DC⊥平面BCC1B1，则DM∥DC，与DM∩DC=D矛盾，C错误；对于D：不妨设正方体的棱长为2a，则正方体的体积为V1=8a3，又因为四面体C-DEF的三条侧棱CE,CF,CD两两垂直，则它的外接球即为以CE,CF,CD为棱的长方体的外接球，于是球的直径2R=a2+a2+(2a)2=6a，体积为V 2=43πR 3=43π×62a 3=6πa 3，于是V 2:V 1=6π8，D 正确，故选：ABD ．32(2024·湖南·模拟预测)玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则()A.P A 1B 1 =P A 2B 2B.P A 1B 2 =P A 2B 1C.P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1D.P B 2 A 1 +P B 1 A 2 >1【答案】BCD【解析】对A ，由题意，第一次取得黑球的概率P A 1 =C 12C 16=13，第一次取得白球的概率P A 2 =C 14C 16=23，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率P A 1B 1 =C 12C 11C 16C 15=115，第一次取得白球、第二次取得白球的概率P A 2B 2 =C 14C 13C 16C 15=25，则P A 1B 1 ≠P A 2B 2 ，所以A 错误；对B ，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率P A 1B 2 =C 12C 14C 16C 15=415，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率P A 2B 1 =C 14C 12C 16C 15=415，则P A 1B 2 =P A 2B 1 ，所以B 正确；对C ，由P B 1 A 1 =P A 1B 1 P A 1 =11513=15,P B 2 A 1 =P A 1B 2 P A 1=41513=45，得P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1，所以C 正确；对D ，由P B 1 A 2 =P A 2B 1 P A 2=41523=25，得P B 2 A 1 +P B 1 A 2 =65>1，所以D 正确．故选：BCD ．33(2024·河南信阳·模拟预测)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 ，则()A.若ω=3，φ=π3，则将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后关于y 轴对称B.若φ=π3，函数f x 在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5C.若直线x =π4为函数f x 图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f x 图象的一个对称中心，且f x 在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817D.若f x =12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 【答案】ACD【解析】对于A ：若ω=3，φ=π3，则f x =sin 3x +π3 ，将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后得g x=sin3x-5π6+π3=sin 3x-π2=-cos3x，其图象关于y轴对称，故A正确；对于B：依题意，当x=π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sinωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，所以ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故B错误；对于C：依题意有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，则ω=617或1817，故C正确；对于D：因为f x =12，则ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，则需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π28π3ω>π2，解得ω∈4,163，故D正确；故选：ACD．34(2024·河南信阳·模拟预测)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F，点M,N在抛物线C上，则()A.若M,N,F三点共线，且MFNF=34，则直线MN的倾斜角的余弦值为±37B.若M,N,F三点共线，且直线MN的倾斜角为45°，则△OMN的面积为22p2C.若点A4,4在抛物线C上，且M,N异于点A，AM⊥AN，则点M,N到直线y=-4的距离之积为定值D.若点A2,2在抛物线C上，且M,N异于点A，k AM+k AN=0，其中k AM>1，则sin∠FMN-sin∠FNM≤255【答案】BCD【解析】对A，设抛物线C：y2=2px，设直线MN：x=ty+p2t≠0，设M x1,y1，N x2,y2，联立y2=2pxx=ty+p2 ，则y2-2pty-p2=0，y1+y2=2pt,y1y2=-p2，由于MFNF=34，可得y1y2=-34，代入上式得：14y2=2pt,-34y22=-p2，解得：t2=148，且直线MN的斜率为1t，设直线MN的倾斜角为α，则tan2α=48，且sin2α+cos2α=1,tanα=sinαcosα，则cos 2α=149，解得cos α=±17，故A 错误；对B ，设抛物线C ：y 2=2px ，且直线MN 的倾斜角为45°，设直线MN ：x =y +p2，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立y 2=2pxx =y +p 2，则y 2-2py -p 2=0，y 1+y 2=2p ,y 1y 2=-p 2，S △OMN =12×p 2×|y 2-y 1|=p 4×(2p )2-4(-p 2)=22p 2，故B 正确；对C ，由于点A 4,4 在抛物线C 上，此时抛物线C ：y 2=4x ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线AM ：x -4=t y -4 t ≠0 ，联立y 2=4x x -4=t y -4则y 2-4ty +16t -1 =0，解得y 1=4(舍去，此时M ,A 重合)或y 1=4t -4，则点M 到直线y =-4的距离为y 1+4 =4t ，同理可得，因为AM ⊥AN ，则N 到直线y =-4的距离为4⋅1-t =4t，故所求距离之积为4t ⋅4t=16，故C 正确；对D ，由于点A 2,2 在抛物线C 上，此时抛物线C ：y 2=2x ，设直线AM ：y -2=k x -2 ，与抛物线方程联立可得ky 2-2y +4-4k =0，则y M ⋅2=4-4k k ，则y M =2-2k k ，用-k 替换可得y N =-2+2kk ，则k MN =y M -y N x M -x N =y M -y N y 2M 2-y 2N 2=2y M +y N =-12，则M 21-k 2k 2,2-2k k ，N 21+k 2k2,-2+2kk，故直线MN ：y -2-2k k =-12x -21-k 2k 2 ，即y =-12x +1k 2-1，则点F 到直线MN 的距离d =12-2-2k 2k25=5k 2-425k 2k >1 ，而sin ∠FMN -sin ∠FNM =d 1FM -1FN即sin ∠FMN -sin ∠FNM =d1x M +12-1x N +12=d x M -x N x M x N +12x M +x N +14，sin ∠FMN -sin ∠FNM =5k 2-425k 2⋅32k 325k 4-24k 2+16，得sin ∠FMN -sin ∠FNM =165⋅5k -4k 25k 2-24+16k 2=165⋅5k -4k5k -4k 2+16，令t =5k -4k>1，故sin ∠FMN -sin ∠FNM =165⋅t t 2+16=165⋅1t +16t，sin ∠FMN -sin ∠FNM ≤165⋅12t ⋅16t=165⋅18=255，当且仅当t =4时等号成立，故D 正确；故选：BCD ．35(2024·湖南岳阳·二模)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R 都有2f x +y 2 fx -y2=f x +f y ，且f 1 =-1，则下列说法正确的是()A.f -1 =1B.f x +12为奇函数C.f x -f 2-x =0 D.f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-1【答案】BCD【解析】令x =y =1，则2f 1 f 0 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 0 =1，令x =-1,y =1，则2f 0 f -1 =f -1 +f 1 =2f -1 ，∴f -1 =f 1 =-1，故A 错误；要证f x +12 为奇函数，只需证f x +12 +f 12-x =0，即f x +f 1-x =0，令x =1,y =0，则2f 12 f 12 =f 1 +f 0 =0，∴f 12 =0，令y =1-x ，则2f 12 f 2x -12=f x +f 1-x =0，所以成立，故B 正确；令y =-x ，则2f 0 f x =f x +f -x =2f x ，∴f x =f -x ，所以f x 为偶函数，由B 可知，f 1-x =-f x ，所以f 1-x =-f x =-f -x ，则有f 2-x =-f 1-x =f x ，故C 正确；由C 可知f 2-x =f x ，又f x 为偶函数，所以f 2-x =f -x ，则f x 周期为2，f 1 =-1，f 2 =f 0 =1，所以f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =1012×0-1=-1，故D 正确.故选：BCD36(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内(包含边界)的动点，则()A.满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段B.若MP =22，则动点P 的轨迹长度为π3C.直线AB 与直线MP 所成角的范围为π6,π2D.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为52【答案】AD【解析】对于A ，如图所示，取棱BB 1,A 1B 1,A 1D 1,D 1D ,DC 的中点分别为E ,F ,G ,H ,I ，连接EF 、FG 、GH 、HI 、IM 、ME ，根据正方体的特征易知EM ⎳A 1D ⎳GH ,EF ⎳A 1B ⎳HI ,GF ⎳BD ⎳MI ，则E ,F ,G ,H ,I ,M 共面，且BD ⎳平面EFGHIM ，BA 1⎳平面EFGHIM ，又BD ,BA 1⊂平面BDA 1且相交于B ，故平面BDA 1⎳平面EFGHIM ，所以满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段FG ，故A 正确；对于B ，设M 到上底面的投影为N ，易知MN =2，而MP =22，所以NP =2，即P 在以N 为圆心，半径为2的圆上，且P 在正方形A 1B 1C 1D 1内，如图所示，即JK上，易知∠JNK =π3，所以JK 的长度为2π3，故B 错误；对于C ，如图所示建立空间直角坐标系，取AD 的中点Q ，连接MQ ，作PL ⊥MQ ，设P x ,y ,2 x ,y ∈0,2 ，则L 1,y ,0 ，M 1,2,0 ，易知直线AB 与直线MP 所成角为∠PMQ ，显然当P 为B 1C 1的中点时，此时∠PMQ =π2,y =2，当y ≠2时，tan ∠PMQ =PL LM=x -1 2+42-y ，易知x -12+4≥2,2-y ∈0,2 ，若∠PMQ 最小，则需x =1,y =0，此时∠PMQ =π4，故C 错误；对于D ，取CS =14DC ,RC 1=14D 1C 1，可知RN ⎳SM ,RN =SM ，即R 、N 、M 、S 共面，在底面正方形中易知CS CM =12=BMAB,∠ABM =∠SCM ，则△SCM ∼△MBA ⇒∠AMS =90°，结合正方体的性质可知MN ⊥底面ABCD ，AM ⊆底面ABCD ，所以AM ⊥MN ，而MN ∩SM =M ,MN 、SM ⊆平面RNMS ，所以AM ⊥平面RNMS ，故P 在线段RN 上运动，易知RN =12+122=52，故D 正确.故选：AD37(2024·湖南·二模)已知f x =3sin ωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12,ω>0，下列结论正确的是()A.若f x 的最小正周期为π，则ω=2B.若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则ωmin =1C.若f x 在0,2π 上恰有4个极值点，则ω的取值范围为53,136D.存在ω，使得f x 在-π6,π4上单调递减【答案】ABC【解析】由f x =3sinωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12=32sin ωx +12cos ωx =sin ωx +π6，对于A ，若f x 的最小正周期为π，则T =2πω⇒ω=2，故A 正确；对于B ，若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得y =sin ωx +π3 +π6 =sin ωx +π3ω+π6 ，其图象关于纵轴对称，则有π3ω+π6=π2+k πk ∈Z ⇒ω=1+3k ，显然ωmin =1，故B 正确；对于C ，x ∈0,2π ⇒ωx +π6∈π6,2ωπ+π6，根据题意有7π2<2ωπ+π6≤9π2⇒ω∈53,136 ，故C 正确；对于D ，x ∈-π6,π4 ⇒ωx +π6∈-ωπ6+π6,ωπ4+π6，显然ωπ4+π6>π6，-ωπ6+π6<π6，即该区间为包含π6的连续区间，根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D 错误.故选：ABC38(2024·湖南·二模)已知函数f x ,g x 的定义域均为R ,g x +1 +f 1-x =1，f x +1 -g x +2 =1，且y =f x 的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的是()A.f x 和g x 均为奇函数B.∀x ∈R ,f x =f x +4C.∀x ∈R ,g x =g x +2D.g -32=0【答案】BCD【解析】对于B ，由f (x +1)-g (x +2)=1，得f (x )-g (x +1)=1，又g (x +1)+f (1-x )=1，∴f (x )+f (1-x )=2，∵y =f (x )的图象关于直线x =1对称，∴f (1-x )=f (1+x )，∴f (x )+f (1+x )=2,∴f (x +2)+f (1+x )=2，∴f (x )=f (x +2)，则f x 是周期函数，且周期为T =2，所以f (x )=f (x +4)，故B 正确；对于A ，∵y =f (x )的图象关于直线x =1对称，∴f (-x )=f (2+x ),∴f (x )=f (-x ),∴f (x )是偶函数，若f (x )为奇函数，则f (x )=0恒成立，不满足f (x )+f (1+x )=2，故A 错误；对于C ，由f (x +1)-g (x +2)=1，得g (x )+f (2-x )=1，∴g (x )+f (x )=1,∴g (2+x )+f (2+x )=1，因为f (x )=f (x +2)，则g (x +2)=g (x )，所以g (x )是周期函数，且周期为T =2，则g x =g x +2 ，故C 正确；对于D ，由f (x )+f (1-x )=2，得f 12=1，又f (x )=f (x +2),∴f -32 =1，由g (x )+f (x )=1，得g -32 +f -32 =1,∴g -32=0，故D 正确.故选：BCD .39(2024·湖南常德·三模)若函数f (x )=2x sin x -10<x <π2的零点为x 1，函数g (x )=2xcos x -10<x <π2 的零点为x 2，则()A.x 1x 2>π2 B.x 1+x 2<3π4C.cos (x 1+x 2)<0D.cos x 1-sin x 2<0【答案】BCD【解析】令f x =0得sin x =12x，令g x =0得cos x =12x，在同一直角坐标系中作出y =sin x ，x ∈0,π2 ，y =cos x ，x ∈0,π2 ，y =12x，x ∈0,π2的函数图象，。

10月第02期2022年广东省新高考数学复习新题好题速递(新高考专版)(原卷版)

2022年高考数学新题·好题速递(新高考专版)第2期说明：此套试题共10题，包含4道单选题、2道多选题、4道填空题、2道解答题，题目来源于考试真题，旨在练习好题，不断思考，创新思维，沉淀基础，提升计算，练出平常心！难度：★★★★★ 用时：60分钟一、单项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．(2022广东普通高中高三10月质量检测)已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. (],1-∞-B. [)0,+∞C. (][),10,-∞-+∞D. (]1,0- 2．(2022广东广州市10月调研)设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()31y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. 函数f （x ）有极大值f (3)和f （3）B. 函数f （x ）有极小值f (3)和f （3）C. 函数f （x ）有极小值f （3）和极大值f ( 3)D. 函数f （x ）有极小值f (3)和极大值f （3） 3．(2022广东深圳市外国语学校第一次月考10月)在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2296cos 11b bc A c +=，则角B 的最大值为（） A. 6π B. 4π C. 3π D. 34π4．(2022广东深圳市宝安区第一次调研10月)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128PP P 的中心，18PP x ⊥轴，现用如下方法等可能地确定点M ：点M 满足2i j OM OP OP ++=0（其中1,8i j ≤≤且*,i j N ∈，i j ≠），则点M （异于点O ）落在坐标轴上的概率为（）A. 35B. 37C. 38D. 27二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分． 5．(2022广东深圳市六校第二次联考10月)已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（）A. ()f x 不是周期函数B. ()f x 关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C. ()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数D. ()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点6．(2022广东深圳市外国语学校第一次月考10月)已知函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A. 函数()f x 的零点的个数为2B. 实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 函数()f x 无最值 D. 函数()f x 在()0,∞+上单调递增三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．7．(2022广东广州市高三上学期10月调研)已知函数()()ln 11f x x =+- ，若a b >且()()f a f b =，则a b +的取值范围是_____．8．(2022广东深圳市六校第二次联考10月)如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．四、解答题：本题共2小题，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．(2022广东深圳市宝安区第一次调研10月)已知点A 为圆228x y +=上一动点，AN x ⊥轴于点N ，若动点Q 满足(1)OQ mOA m ON =+-（其中m 为非零常数）（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当m =时，得到动点Q 的轨迹为曲线C ，过点(4,0)P -的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围.10．(2022广东深圳市外国语学校第一次月考10月)已知函数()2cos x f x e x =-，x ∈R .（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）是否存在正数a ，使得()()1f x a x ≥-对任意[)0,x ∈+∞恒成立？证明你的结论. （3）求()f x 在[),π-+∞上零点的个数.。

高三数学考前训练30题

高三数学考前训练30题1．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为．【解析】设00(,)P x y ，由'3()41f x x =-，得300413,1x x -=∴=，从而00y =．∴点P 的坐标为（1，0）．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且tan B B 的大小是．【解析】由余弦定理，得 B ac c a b cos 2222-+=．则tan B ==，即23sin =B ．所以B 的大小是3π或32π．3．已知单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1对棱BB 1，DD 1上有两个动点E 、F ，BE ＝D 1F ，设EF 与面AB 1所成角为α，与面BC 1所成角为β，则α＋β的最大值为．【解析】由对称性可知α＝β，又1sinEF α=α≤45°，α＋β≤90°． 4．设函数()1x af x x -=-，集合M ＝{|()0}x f x <，P ＝'{|()0}x f x >，若M P ，则实数a 的取值范围是．【解析】设函数1)(--=x ax x f ，集合{|()0}M x f x =<．若a >1时，M ＝{x | 1<x <a }；若a <1时，M ＝{x | a <x <1}； a ＝1时，M ＝∅．{|()0}P x f x '=>，∴'()f x ＝2(1)()(1)x x a x ---->0． ∴ a >1时，P ＝R ，a <1时，P ＝∅；已知P M ⊂，所以（1，＋∞）．5．已知命题P ：．10<<C ，:Q 不等式 12>-+c x x 的解集为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，则c 的取值范围是．【解析】若P 和Q 都正确，则由P ，有10<<c ．由Q ，有12>-+c x x 的解集为R ．用函数认识不等式，只需()c x x x f 2-+=的最小值()=0f 2.c ,c 211>>此时121<<c ．若P 和Q 都不正确，则由P ，有1>c ．由Q ，有,c 210≤<其交集为空集，此时c不存在．由题设知，10≠>c ,c ，用补集思想，所求c 的取值范围为().,,+∞⎥⎦⎤⎝⎛1210 ．6．己知：函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =．则函数()f x 的解析式为．【解析】由已知(0)0f =，当0x ≠时，原方程化为()()()(0)()0f x y f y f x f y x y x y y x +--=+++--．由等式右边存在极限，()f x 处处可导．对原方程两边令0x →，得''2()()2f x y f x xy y +=++．令0x =，3'2()1()3y f y y f y y C ∴=+⇒=++（C 为常数）．又(0)0f =，得3()3x f x x =+． 7．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最大值与最小值之差为．【解析】6．体积的最大值为16，体积最小值为10．8．已知2sin cos 20a a θθ+-=，2sin cos 20()b b a b θθ+-=≠，对任意,a b R ∈，经过两点22(,),(,)a a b b 的直线与一定圆相切，则圆方程为．【解析】经过两点22(,),(,)a a b b 的直线方程为cos sin 20x y θθ+-=．2d ==原点到这条直线的距离，22 4C x y ∴+=定圆的方程为． 9．打开“几何画板”软件进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆C ；②用取点工具分别在圆C 上和圆C 外各取一个点A 、B ； ③用构造菜单下对应命令作出线段AB 的垂直平分线l ；主视图④作出直线AC ．设直线AC 与直线l 相交于点P ，当点A 在圆C 上运动时，点P 的轨迹是____________．【解析】双曲线．由图可得，PC —PB ＝PC —PA ＝AC ，或PB —PC ＝PA —PC ＝AC ，从而点P 到定点B 、C 的距离之差的绝对值是定长AC ，由双曲线定义即可得．10．复数1112221212,(0,0,01)z a bi z a b i b b a a =+=+>><<<，满足12|1||1|1z z -=-=，则11b a 与22b a 的大小关系是_________．【解析】因为12|1||1|1z z -=-=，所以()()2222111111,11a b a b -+=-+=，121212,b b k k a a ==．因为1201a a <<<，所以12k k >，所以11b a >22b a ． 11．已知ABC ∆的外接圆的圆心O ，BC CA AB >>，则,,OA OB OA OC OB OC ⋅⋅⋅的大小关系为______．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，2cos2OA OB R C ⋅=，2cos2OA OC R B ⋅=，2cos2OB OC R A⋅=．BC CA AB>>，,sin sin sin A B C A B C ∴>>>>．22212sin 12sin 12sin A B C -<-<-，cos 2cos 2cos 2A B C ∴<<．.OA OB OA OC OB OC ∴⋅>⋅>⋅12．已知()()sin ,cos ,1,,a t t b t a b =-=-⊥，则()()211cos 22tt ++-的值______【解析】 ∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，∴sin cos 0t t t --=，cos sin t t t =-．∴()()211cos 22tt ++-＝2222(1)2cos 22cos 2(cos )2tt t t t +-=+-＝222cos 2sin 2220t t +-=-=．13．当x ＝2时，下面这段程序输出的结果是___________．1While i s ←←2048≤s 11*+←+←i i x s sEnd Whlieint Pr i答案：13．14．极坐标系中，直线π)33sin(ρθ-=与曲线ρ=相交所得弦长为．【解析】直线ππ)30)3sin((3(3n θρ-==--，为过点(3-且倾斜角为π3的直线，而曲线1cos 2ρθ==-表示的是一个椭圆；建立一个以椭圆的中心为原点的直角坐标系，则椭圆的标准方程为221164x y +=，直线的参数方程为3cos ,3ππ0sin 3x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入标准方程，得2133704x x +-=，弦长为1240||134t t -==． 15．已知实数,,,a b c d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，则a 的取值范围是．【解析】由柯西不等式，得2222111(236)()()236b c d b c d ++++++≥，即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得()2253a a --≥．解得12a ≤≤==时等号成立．代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =．所以，a 的取值范围是[1,2]．16． f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘（x ）－f （x ）>0,对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则()()af a bf b ,的大小关系为．【解析】设()()f x F x x =，则''2()()()0xf x f x F x x -=>，故()()f x F x x =为增函数，由a ＜b ，有()()()()()()()()f a f b af b bf a bf b af b bf a af a a b<⇒>⇒>>>．二、解答题17．在数列{a n }中，已知，a 1＝2，a n ＋1＋ a n ＋1 a n －2 a n ．对于任意正整数n ，（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 的表达式；（Ⅱ）若1(1)niii a a M =-<∑（M 为常数，且为整数），求M 的最小值．解：（Ⅰ）由题意，对于n ∈N *，0n a ≠，且111122n n a a +=+，即1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．由 12a =，得11112a -=-．则数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12-，公比为12的等比数列．于是111111222n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即 221n n n a =-．（Ⅱ）由（Ⅰ），得22(1)1,2,,(21)ii i i a a i n -==-，．当2i ≥时，因为121122211(1)(21)(21)(22)(21)(21)2121i i i i i i i i i i i i a a ----=<==--------，所以11221(1)(1)(1)(1)niin n i a a a a a aa a =-=-+-++-∑1212222222(21)(21)(21)nn =+++--- 112122312111111(21)212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭13321n=-<-．又11221(1)(1)(1)(1)niin n i a a a a a aa a =-=-+-++-∑1212222222(21)(21)(21)n n =+++---2)12(2211=->，故M 的最小值为3． 18．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切．求证：PA DA ⊥．解：设A 、B 、C 三点的坐标为1(,0)A x ，2(,0)B x ，(0,)C c ，圆D 的圆心坐标为3,2c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由韦达定理，知12322x x a +=．原点O 到圆D 的切线为OC ，所以 2OA OB OC ⋅=，即212cx x c a==．故1=ac ．P 点坐标为 2343,24ac aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由（1），243495444ac a a a---==．设DP 交x 轴于E ，要证PA 与圆D 相切，即证 90DAP ∠=︒．如果2DA DP DE =⋅，那么DEA ∆与DAP ∆相似，︒=∠=∠90DEA DAP ．所以只需证 2DA DP DE =⋅．而 22232DA DC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，54DE DP c c a ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，所以2DADP DE =⋅ 等价于 23524c c a a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即只需要证25494a c c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．由1ac =，2554445944a c c a c ac a a ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PA 与圆D 相切． 19．已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图象x 轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m 的取值范围；（2）令t ＝－m ＋2，求]1[t的值（其中[t]表示不大于t 的最大整数）；（3）对（2）中的t ，求函数1]1[][]1[][1)(+++⋅=tt t t t g 的值域．【解析】若m ＝0 则1()3 1 ()0,0.3f x x f x x =-+==>由得符合题意．若m ≠0 ，①m<0时，∵10 , ()0f x m<=方程两根异号，∴必有一个负根． ②m>0时，由210,30, (0,1](3)40,m m m m m m ⎧>⎪⎪-⎪->∈⎨⎪⎪--⎪⎩得≥时，方程有两正根．综上得1≤m ．（2）∵t ＝－m ＋2 ，∴1[1,),01t t ∈+∞∴<≤．当t ＝1时，1]1[=t ，当t>1时，0]1[=t．（3）当t ＝1时，21)(=t g ；当t>1时，]1[t＝0，设[t]＝n ，且t ＝[t]＋a ，则10,<≤∈+a Z n ．于是11)(++++=n a n a n t g ．由函数11)(≥+=x x x x h 在时是增函数，及1111101,111n n a n n n a n a n n n +++++++<+++≤≤得≤．设2)1(1111+-+=++=n n n n n a n 递减，∴)2)(1(21++-=-+n n n n a a n n ． ∴ <<<<=>n a a a a a 4321．2)1(111111++=++++=n n n n b n 递减，∴ >>>>n b b b 21．于是t>1时，)(t g 的值域为2155[,),[,)64a b 即．综上)(t g 的值域为155{}[,)264．20．已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图象关于点(,)a b 中心对称”．设函数1()x a f x a x+-=-，定义域为A ．（1）试证明()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称；（2）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1()[,0]2f x ∈-；（3）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：21(),x f x =32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如果(2,3,4...)i x A i ∈=，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意1x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值．【解析】（1）∵1()1f x a x=-+-，∴11()()(1)(1)2f a x f a x x x++-=-++-+=--．由已知定理，得()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称．（2）先证明()f x 在[2,1]a a --上是增函数，只要证明()f x 在(,)a -∞上是增函数．设12x x a -∞<<<，则1212121211()()0()()x x f x f x a x a x a x a x --=-=<----，∴()f x 在(,)a -∞上是增函数．再由()f x 在[2,1]a a --上是增函数，得当[2,1]x a a ∈--时，()[(2),(1)]f x f a f a ∈--，即1()[,0]2f x ∈-．（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴1()x a f x a a x+-=≠-对任意x A ∈恒成立．∴方程1x a a a x+-=-无解，即方程2(1)1a x a a +=+-无解或有唯一解x a =．∴210,10,a a a +=+-≠⎧⎨⎩或210,1.1a a a a a +≠+-=+⎧⎪⎨⎪⎩由此得到1a =-．21．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数f （x ）＝xx-+1log 212的图象上任意两点，且)(21OB OA OM +=，已知点M 的横坐标为21．（1）求证：M 点的纵坐标为定值；（2）若S n ＝f （n nn f nf n),1()2()1-+⋯++∈N *，且n ≥2，求S n ．（3）已知a n ＝12, 1,31, 2.(1)(1)nn n n S S +⎧=⎪⎪⎨⎪++⎪⎩≥其中n ∈N *．T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n ＜λ（S n ＋1＋1）对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．【解析】（1）证明：∵),(21OB OA OM += ∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为（x ，y ），由21（x 1＋x 2）＝x ＝21，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1．而y ＝21（y 1＋y 2）＝ 21［f （x 1）＋f （x 2）］＝21（21＋log 2)1log 21122211x xx x -++- ＝21（1＋log 2)1log 122211x x x x -+- ＝21（1＋log 2)1·12211x x x x --＝21（1＋log 2,21)0121··2121=+=（）x x x x ∴M 点的纵坐标为定值21．（2）由（1），知x 1＋x 2＝1，f （x 1）＋f （x 2）＝y 1＋y 2＝1， S n ＝f （),1()2()1n n f n f n-+⋯++S n ＝f （)1()2()1nf n n f n n +⋯+-+-，两式相加，得2S n ＝［f （)1()1n n f n -+）＋［f （)2()2n n f n -+）＋…＋［f （)1()1nf n n +-）＝1111-+⋯++n ，∴S n ＝21-n （n ≥2，n ∈N *）．（3）当n ≥2时，a n ＝114114().(1)(1)(1)(2)12n n S S n n n n +==-++++++T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝432+［（)1111()4131+-++⋯+-n n ] ＝432+（.22)2131+=+-n nn 由T n ＜λ（S n＋1＋1），得22+n n ＜λ·.22+n ∴λ＞.444444)2(422++=++=+nn n n n n n∵n ＋n4≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴.21444444=+≤++nn因此λ＞21，即λ的取值范围是（,21＋∞）． 22．有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片．（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．【解析】（Ⅰ）12141267.1()21.p A c c c c ==；（Ⅱ）12111223121267...4()63.p B c c c c c c c+==；（Ⅲ）12531267.1537()1()1162142.p C P C c cc c=-=-=-=⨯．答：（略）．23．设函数()f x 的定义域为R ，当x ＜0时()f x ＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有()()()f x y f x f y +=．（Ⅰ）求()0f ，判断并证明函数()f x 的单调性；（Ⅱ）数列{}n a 满足()10a f =，且)()2(1)(*1N n a f a f n n ∈--=+．①求{}n a 通项公式． ②当1a >时，不等式)1log (log 35121 (11122)1+->++++++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求x 的取值范围．【解析】（Ⅰ）,,()()(),0x y R f x y f x f y x ∈+=⋅<时，f （x ）＞1．令x ＝－1，y ＝0，则f （－1）＝f （－1）f （0）．∵f （－1）＞1 ，∴f （0）＝1．若x ＞0，则f （x －x ）＝f （0）＝f （x ）f （－x ）．故1()(0,1)()f x f x =∈-，故x ∈R ， f （x ）＞0．任取x 1＜x 2，2121121()()()()f x f x x x f x f x x =+-=-，21212100()1()()x x f x x f x f x ->∴<-<∴<，故f （x ）在R 上减函数．（Ⅱ）①111(0)1,()(2)(2)n n n a f f a f a f a +====+--．由f （x ）单调性，a n ＋1＝a n ＋2 ，故{a n }等差数列，12-=∴n a n ． ②11222322111111...,...n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++=+++=+++则． 121221111111414321n n n n n b b a a a n n n ++++-=+-=+-+++10,(41)(43)(21)n n n =>+++∴{}n b 是递增数列．当n ≥2时，min 234111112()5735n b b a a ==+=+=， 11212(log log 1)3535a a x x +∴>-+ ，即11log log 11log log a a a a x x x x ++-+<⇒<．而a ＞1，∴x ＞1，故x 的取值范围（1，＋∞）．24．已知数列{}n a 满足111,n n a a a +==+，令tan n n a θ= 02n πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，求证（1）数列2n πθ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）()121π2n n aa a -+++>．解析：（1）111,0n n n a a a a +==>．1111tan ,0,,.24a ππθθθ⎛⎫=∈∴= ⎪⎝⎭∴111sin tan tan cos n n n n n a θθθθ+++===＝tan 42n θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵1110,,0,,2224n n n n πππθθθθ++⎛⎫⎛⎫∈∈∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 11()222n n ππθθ+-=-．∴数列2n πθ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列．（2）∵数列2n πθ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 是等比数列，∴1111(),()224224n n n n ππππθθ--⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 0,2n πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan n n θθ>，∴1212n n a a a θθθ+++>+++．∵12n θθθ+++＝21111(1)24222n n ππ--++++ ＝111(1)1(1)22422422n n n n n πππππ----⎛⎫--=+⋅>⎪⎝⎭， ∴12n a a a +++>(1)2n π- ． 25．已知圆O 的方程为221,x y +=过直线2x y +=上的任意一点P 作圆O 的切线PA 、PB ．四边形OABP 的面积取得最小时的点P 的坐标（m ，n ）设()2ln ng x mx x x=--．（1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立；（2）讨论关于x 的方程：()322nmx g x x ex tx x--=-+ 根的个数．解析：（1）21OAPB OPB S S OB PB ∆==⋅=当OP 取得最小值时OAPB S 取得最小，过点O 作0OP 垂直于直线1x y +=，交点为0P ，易得()01,1P ，∴1,1m n ==．∴()12ln 2ln n g x mx x x x x x=--=--． ∴()()222221122110x xx g x x xxx--+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增函数，∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立．（2）方程()322nmx g x x ex tx x--=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．∵x >，∴ 方程为22ln 2x x e x t x=-+．令22ln (),()2xL x H x x ex t x==-+，21l n ()2xL x x-'=，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，当e x =时，max 2()().L x L e e==()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当2222,t e e e e ->>+即t 时，方程无解． ②当2222,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根．③当2222,t e e e e-<<+即t 时，方程有两个根．26．解不等式4|2||12|<++-x x ．解：（Ⅰ）当x<－2时，得－（2x －1）－（x ＋2）<4，得35->x ，此不等式无解．（Ⅱ）当－2≤x<21，得－（2x －1）＋（x ＋2）<4，得x>－1，211<<-∴x ．（Ⅲ）当x 21≥时，得（2x －1）＋（x ＋2）<4，得121<≤x ．综上，原不等式的解集为（－1，1）．27．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点P (2,(2))f --处的切线方程为914y x =+，又(0)2f =-．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）若函数()()4(0)F x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，求,m n 应满足的条件．解：（1）由题设，知(2)1249f a b '-=-+=，(2)8424f a b c -=-+-+=-，(0)2f c ==-，解得0,3,2a b c ==-=-，所以3()32f x x x =--．（2）由2()333(1)(1)0f x x x x '=-=+-≥，得11x x ≤-或≥．由()0f x '≤，得11x -≤≤．()f x 的单调增区间是(,1],[1,)-∞-+∞，单调减区间为[1,1]-．当1x =-时，()f x 取得极大值0，当1x =时，()f x 取得极小值4-．（3）由（2）知，()F x 在(,1],[1,)m m -∞-++∞上是增函数，在[1,1]m m -+上是减函数．因为(3)(3)4204,(1)(1)444F m f m m F m f m m -=-+=-++=+=-+，所以(3)(1)F m F m -<+，所以(3)4,4F m m -=-∴=．此时(1)(1)416F m f m -=-==，由()(4)1616F x f x =-+=，得36x x ==或．所以36n ≤≤．综上，4,36m n =≤≤．28．结论：圆C ：222x y R +=与x 轴相交于M 、N 两点，设点P 是圆C 上任一点，则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值．（1）写出以上结论在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中的推广，并加以证明；（2）将（1）的结论类比到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，并加以证明．解：（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与x 轴交于M 、N 两点，设点P 是椭圆上任一点，则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值．证明：由题意(,0),(,0)M a N a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以2202220y b a x a =-． 2200022200000PM PNy y y b k k x a x a x a a--⋅=⋅==-+--是定值．（2）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与x 轴交于M 、N 两点，设点P 是双曲线上任一点，则直线PM 、PN 斜率的乘积是定值．证明：由题意(,0),(,0)M a N a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，所以22220002221y x x a b a a -=-=，所以2202220y b x a a=-． 2200022200000PM PNy y y b k k x a x a x a a --⋅=⋅==+--是定值．29．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,u v 满足()()()f u v f u f v +=+，且()()()f u v u f v vf u =+．（1）求(0),(1)f f ；（2）试用(),()f u f v 表示()f u v -；（3）用,u v ，(),()f u f v 的表达式来表示()uf v．答案：（1）利用赋值法易得(0)(1)0f f ==．（2）令,z u v u z v =-=+则，由条件，得()()()()f u f z v f z f v =+=+，所以()()()f u v f u f v -=-．（3）设,u z u vz v ==则，由条件，得()()()()()()u uf u f vz vf z zf v vf f v v v==+=+，所以2()()()()()uf u f v uvf u uf v v f vv v --==．30．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金解：设保险公司要求赔偿顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ的分布列为公司每年收益ξ的期望值为：E ξ＝x （1－p ）＋（x －p ）p ＝x －ap ，要使公司收益的期望值等于a 的10%，只需E ξ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，x ＝（0.1＋p ）a ，∴应交的保险金为（0.1＋p ）a ．。

高考数学重难点必刷题：不等式选填含详解

D．2
7．已知定义在 0，+ 上的函数
f
x 满足
f x 2 f (x)
x ex
，2 f
1 2
1
，若对
2e
任意正数
a
，b
都有
f
1 2
x
3 2
1 4b2e2
1 64a2
ab 4
，则
x
的取值范围是（
）
A． 2, 1
B． , 1
C．
1,
1 2
D．
0，1 2
8．设 a R ，若不等式 x2 1 x2 1 ax 4x 8 恒成立，则实数 a 的取值范围是
C．
1 2
,1
D．2, 4
3．已知 a 、 b R ，且 ab 0 ，对任意 x 0 均有 ln x a x b x a b 0 ，
则（）
A． a 0 ， b 0
C． a 0 ， b 0
B． a 0 ， b 0 D． a 0 ， b 0
4．若不等式 a ln(x 1) x3 2x2 0 在区间 (0, ) 内的解集中有且仅有三个整数，则
AC
为定值
B． AC2 AB2 10
C． 4 cos A 1 5
D． BAD 的最大值为 30°
30．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象
美、对称美、和谐美的结合产物，曲线 C : x2 y2 3 16x2 y2 恰好是四叶玫瑰线.给出
下列结论正确的是（）
f
(x)
log
2(
x
2(
2)2
x ,
1) , x x 1
1
，若关于

高三数学考前必刷63道题3

考前必刷63道题343、（1）把－1480°写成()2k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤；（2）在[]0,720︒︒内找出与25π角终边相同的角.44、已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?45、若一个α角的终边上有一点()4,P a -且sin cos 4αα⋅=，则a 的值为()A ．B ．±C ．－或D 46、若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角47、（1）（2020·镇原中学高一期末）若1sin 2α=，π(,π)2α∈，则cos α=（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）已知tan α=32ππα<<，那么cos sin αα-的值是48、已知tan 2α=，求下列代数式的值．（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）22111sin sin cos cos 432αααα++．49、（1）（2020·湖南衡阳·高一月考）若3sin cos =8αα⋅，且42ππα<<，则cos sin αα-的值是A ．12-B ．12C ．14D ．14-（2）（2020·山东滨州·高二期末）已知2sin cos 2αα+=，α∈R ，则tan α=（）A ．13-B ．3C ．13-或3D ．3-或1350、（2021多选•衢州月考）已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则()A ．12sin cos 25θθ⋅=-B ．7cos sin 5θθ-=C ．4tan 3θ=-D ．4sin 5θ=51、（2021•凉山州期末）设角α的终边过点(12)-，，则sin()sin()2cos()παπαπα-+-+等于()A ．12B ．1C ．1-D ．3-52、已知()0,απ∈，1sin 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()tan απ+=（）A．4B ．24-C．D．-53、设tan 3α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．3B ．2C ．1D ．1-54、（2021•聊城期末）已知1sin()63πα+=，则5sin()6πα-的值为55、求函数y =56、1）求函数2sin(2)4y x π=-的单调递增区间．2）求函数2sin(2)4y x π=-的单调区间．3）求函数2sin(2)4y x π=-在[]0,π上的单调递增区间．4）求函数2sin(2)4y x π=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.57、（2022·山东菏泽）对于()4sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，有下列结论：①最小正周期为π；②最大值为3；③减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；④对称中心,06k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．则上述结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．458、函数()3sin(2)3f x x πϕ=-+，()0,ϕπ∈为偶函数，则ϕ的值为_____59、设函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为（）A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦60、函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域______61、下列关于函数πtan 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．函数的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称B ．函数的定义域为π{|π,Z}6x x k k ≠+∈C ．函数在区间5π,66π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．函数在区间5ππ[,]66-上单调递增62、如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π63、（2020·浙江）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（）．A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．把(12f x π+为偶函数.D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数。

2023年全国新高考高三押题卷(四)数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 某三棱锥的三视图如图所示（网格中正方形的边长为1），则其表面积为（）A．B．C．D．2. 已知a 、b 是实数，则“a ＞1，b ＞2”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条3. 下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4.设，，那么等于A．B．C．D．5. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝1，，E 为PD 的中点，点N 在平面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到平面PAB 的距离为（）A．B．C．D．6. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（）A ．1B．C．D ．27. 下列命题中，错误的是（）A ．垂直于同一个平面的两个平面平行B ．三个平面两两相交，则交线平行C ．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D ．平行于同一条直线的两个平面平行8. 已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面，，PC 与底面ABCD 所成角的正切值为，点M 为平面内一点（异于点A），且，则（）A ．存在点M ，使得平面B ．存在点M ，使得直线与所成角为C．当时，三棱锥的体积最大值为D ．当时，以P 为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为9. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，，，则________.2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题(高频考点版)2023年全国新高考高三押题卷（四）数学试题(高频考点版)四、解答题10. 如图，四面体ABCD 中，DA =DB =DC =1，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面上与点A 距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是____________．11. 化简:____________.12.已知函数若函数在上不是增函数，则a 的一个取值为___________.13.求经过直线与直线的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.14. 已知集合，，定义两个集合P ，Q 的差运算：．(1)当时，求与；(2)若“”是“”的必要条件，求实数a 的取值范围．15.已知数列中，，，且.（1）求，的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知.（1）求A ；（2）已知，，且边BC 上有一点D 满足，求AD .。

2022年高考数学复习新题速递之数列(2022年3月)

2022年高考数学复习新题速递之数列（2022年3月）一．选择题（共8小题）1．（2021秋•枣庄期末）已知等差数列{a n}，若a3＝4，a5＝10，则a1＝（）A．1B．﹣1C．﹣2D．3 2．（2022•岳阳一模）已知等差数列{a n}满足a2＝4，a3+a5＝4（a4﹣1），则数列{a n}的前5项和为（）A．10B．15C．20D．30 3．（2022•定海区校级模拟）已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，数列{c n}满足．若c1＝2，c2＝6，c3＝12，则c8＝（）A．28B．56C．72D．90 4．（2022•西安一模）若等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别是S n和T n，且，则＝（）A．B．C．D．5．（2022•长春模拟）已知数列{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，若a3a15＝8a9，b9＝a9，则b7+b11＝（）A．4B．8C．12D．16 6．（2022•吕梁一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝1，a n+1+a n＝3×2n，则S100＝（）A．2100﹣3B．2100﹣2C．2101﹣3D．2101﹣2 7．（2022•广西模拟）已知{a n}为等比数列，若a2•a3＝a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．648．（2021秋•诸暨市期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝1，a2＝2，a n＝a n﹣1•a n+1（n≥2），则（）A．a1：a2：a3＝a6：a7：a8B．a n：a n+1：a n+2＝1：2：2C．S6，S12，S18成等差数列D．S6n，S12n，S18n成等比数列二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021秋•慈溪市期末）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣n2+8n+3，则（）A．数列{a n}的通项公式a n＝9﹣2nB．数列{a n}单调递减C．数列{a n2}的所有项中第四项或第五项最小D．数列{|a n|}的前n项和（多选）10．（2021秋•福州期末）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，a3＝16，a5＝12，则（）A．d＝﹣2B．a1＝20C．a2+a6＝28D．S n取得最大值时，n＝11（多选）11．（2021秋•温州期末）在等差数列{a n}中，a1＞0，a6a7＜0，S n为{a n}的前n项和，则下列式子一定成立的有（）A．d＜0B．a6＞0C．a12＜0D．S13＞0（多选）12．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知等差数列{a n}与等比数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列结论正确的有（）A．数列{}是等比数列B．T n可能为2n+2C．数列{}是等差数列D．数列{b n}是等比数列三．填空题（共4小题）13．（2022•长春模拟）已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2，其中n∈N*，则a1+a2+a3+…+a2022＝．14．（2022•西安一模）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a7＝2a n.则n＝．15．（2021秋•宜春期末）将单位圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度得圆E，过点A n（0，n）（n∈N*）作圆E的切线l n（斜率存在），切点坐标为（a n，b n），则b n＝；设c n ＝（a n+b n）（n2+1），则数列的前2022项和为．16．（2022•保山模拟）已知数列{a n}满足：a n＞0，a1＝2，且a n+12＝2a n2+a n a n+1，令b n＝（n+2）a n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S7＝．四．解答题（共6小题）17．（2022•黑龙江模拟）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣1a n＝a n﹣1﹣a n，且a n≠0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}前n项和为T n，求T2022．18．（2022•四川模拟）已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）求证：数列是等差数列；（2）令b n＝（a n﹣1）•（a n+1﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．19．（2022•辽宁模拟）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝3，S n+1+1＝4a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{b n}的前n项和T n．①b n＝；②b n＝．20．（2022•叙州区校级模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+2n2＝na n+2n，n∈N*，且a1+a2＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．21．（2022•江西一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n﹣2n+1，数列{S n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求证：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）试比较T n与2S n+1的大小．22．（2021秋•威海期末）在等比数列{a n}中，3是a2与a7的等比中项，3a1与a3的等差中项为6．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n2+log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．2022年高考数学复习新题速递之数列（2022年3月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2021秋•枣庄期末）已知等差数列{a n}，若a3＝4，a5＝10，则a1＝（）A．1B．﹣1C．﹣2D．3【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：等差数列{a n}，若a3＝4，a5＝10，∴2a3＝a1+a5，∴a1＝2a3﹣a5＝8﹣10＝﹣2．故选：C．【点评】本题考差了等差数列的性质，属于基础题．2．（2022•岳阳一模）已知等差数列{a n}满足a2＝4，a3+a5＝4（a4﹣1），则数列{a n}的前5项和为（）A．10B．15C．20D．30【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求．【解答】解：因为等差数列{a n}中，a2＝4，a3+a5＝2a4＝4（a4﹣1），所以，解得，a1＝5，d＝﹣1，则数列{a n}的前5项和为5+4+3+2+1＝15．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．3．（2022•定海区校级模拟）已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，数列{c n}满足．若c1＝2，c2＝6，c3＝12，则c8＝（）A．28B．56C．72D．90【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则a n＝d1n+（a1﹣d1），b n＝d2n+（b1﹣d2），从而c n＝a n b n＝[d1n+（a1﹣d1）][d2n+（b1﹣d2）]，则数列{c n}的通项为二次三项式，可设，列方程组求出c n＝n2+n，由此能求出c8．【解答】解：数列{a n}，{b n}都是等差数列，设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则a n＝d1n+（a1﹣d1），b n＝d2n+（b1﹣d2），∴c n＝a n b n＝[d1n+（a1﹣d1）][d2n+（b1﹣d2）]，则数列{c n}的通项为二次三项式，可设，∵c1＝2，c2＝6，c3＝12，∴，解得a＝1，b＝1，c＝0，∴c n＝n2+n，∴c8＝64+8＝72．故选：C．【点评】本题考查数列的第8项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2022•西安一模）若等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别是S n和T n，且，则＝（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由等差数列的前n项和公式可得＝＝，结合已知条件即可求出结果．【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得＝＝＝，又∵＝＝，∴＝，故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．5．（2022•长春模拟）已知数列{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，若a3a15＝8a9，b9＝a9，则b7+b11＝（）A．4B．8C．12D．16【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由等比数列的性质即可求得a9，再由等差数列的性质即可求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a3a15＝8a9，∴＝8a9，解得a9＝8或a9＝0（舍），∴b9＝a9＝8，∵数列{b n}是等差数列，∴b7+b11＝2b9＝16．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．6．（2022•吕梁一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝1，a n+1+a n＝3×2n，则S100＝（）A．2100﹣3B．2100﹣2C．2101﹣3D．2101﹣2【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知a1＝1，a n+1+a n＝3×2n，通过分组S100＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100），利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝1，a n+1+a n＝3×2n，∴S100＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝3×（21+23+ (299)＝3×＝2101﹣2，故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2022•广西模拟）已知{a n}为等比数列，若a2•a3＝a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．64【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由已知及等比数列的通项公式可得a4＝1，由等差中项的性质可求得a7，进一步利用a7＝a4q3求出q值，再利用a1＝求出a1，最后利用等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝a1，得a1q•a1q2＝a1，即a4＝a1•q3＝1，又a4与2a7的等差中项为，得a4+2a7＝2×，即1+2a7＝，解得a7＝，所以a7＝a4q3，即＝q3，解得q＝，则a1＝＝＝8，所以a1•a2•a3•a4＝（a1•a4）2＝（8×1）2＝64．故选：D．【点评】本题主要考查等比数列与等差数列的综合，考查等比数列的通项公式与性质，等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8．（2021秋•诸暨市期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝1，a2＝2，a n＝a n﹣1•a n+1（n≥2），则（）A．a1：a2：a3＝a6：a7：a8B．a n：a n+1：a n+2＝1：2：2C．S6，S12，S18成等差数列D．S6n，S12n，S18n成等比数列【考点】数列递推式；等差数列的性质．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由a1＝1，a2＝2，a n＝a n﹣1•a n+1（n≥2），经过计算可得：a n+6＝a n，进而判断出结论．【解答】解：由a1＝1，a2＝2，a n＝a n﹣1•a n+1（n≥2），n＝2时，可得a2＝a1•a3，解得a3＝2，同理可得：a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，…，可得：a n+6＝a n，因此A不正确，B不正确．由a n+6＝a n，可得S12＝2S6，S18＝3S6，因此S6，S12，S18成等差数列，C正确．由a n+6＝a n，S12n＝2S6n，S18n＝3S6n＝S12n，因此S6n，S12n，S18n不成等比数列，D不正确．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2021秋•慈溪市期末）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣n2+8n+3，则（）A．数列{a n}的通项公式a n＝9﹣2nB．数列{a n}单调递减C．数列{a n2}的所有项中第四项或第五项最小D．数列{|a n|}的前n项和【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，数列{a n}的前n项和S n＝﹣n2+8n+3，则a1＝S1＝﹣1+8+3＝10，不符合a n＝9﹣2n，A错误；对于B，数列{a n}中，a1＝10，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝9﹣2n，必有a n＞a n+1，且a2＝S2﹣S1＝5，有a2＜a1，则数列{a n}单调递减，B正确；对于C，由A、B的结论，a n＝，则a n2＝，分析可得数列{a n2}的所有项中第四项或第五项最小，C正确；对于D，a n＝，则|a n|＝，故当n≤4时，T n＝S n，当n≥5时，T n＝S4﹣（S n﹣S4）＝2S4﹣S n＝19+（n﹣4）2，故，D正确；故选：BCD．【点评】本题考查数列前n项和的性质以及应用，涉及数列的通项公式的求法，属于基础题．（多选）10．（2021秋•福州期末）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，a3＝16，a5＝12，则（）A．d＝﹣2B．a1＝20C．a2+a6＝28D．S n取得最大值时，n＝11【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据等差数列的通项公式、性质及前n项和公式进行计算判断即可．【解答】解：由a3＝16，a5＝12，可得d＝＝﹣2，故A正确；所以a1＝a3﹣2d＝16﹣2×（﹣2）＝20，故B正确；a2+a6＝a3+a5＝16+12＝28，故C正确；S n＝na1+＝﹣n2+21n，对称轴为n＝，又n∈N*，所以当n＝10或11时，S n取得最大值，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式和前n项和公式，等差数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）11．（2021秋•温州期末）在等差数列{a n}中，a1＞0，a6a7＜0，S n为{a n}的前n项和，则下列式子一定成立的有（）A．d＜0B．a6＞0C．a12＜0D．S13＞0【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1＞0，a6a7＜0，∴d＜0，a6＞0，a7＜0，故AB正确，a12＝a7+5d＜0，故C正确，S13＝13a7＜0，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．（多选）12．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知等差数列{a n}与等比数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列结论正确的有（）A．数列{}是等比数列B．T n可能为2n+2C．数列{}是等差数列D．数列{b n}是等比数列【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学抽象．【分析】结合等差数列与等比数列的性质及求和公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：由题意得，a n﹣a n﹣1＝d，＝q，所以＝2＝2d为常数，即数列{}是等比数列，A正确；因为T n＝＝﹣•q n，结合等比数列和的符号特点可知，T n不可能为2n+2，B错误；结合等差数列的性质可知，＝，故数列{}是等差数列，C正确，D显然正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2022•长春模拟）已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2，其中n∈N*，则a1+a2+a3+…+a2022＝4044．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2，其中n∈N*，可得a n+3＝a n，即可得出结论．【解答】解：数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2，其中n∈N*，则n＝1时，a1a2a3＝a1+a2+a3，∴2a3＝1+2+a3，解得a3＝3，同理可得：a4＝1，a5＝2，a6＝3，∴a n+3＝a n．a1+a2+a3+…+a2022＝（a1+a2+a3）×674＝6×674＝4044．故答案为：4044．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2022•西安一模）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a7＝2a n.则n＝10．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】设q＝1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，可得q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式，化简S3+S6＝2S9，得到关于q的方程，求出q的值，然后求解n．【解答】解：若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．又依题意S3+S6＝2S9，可得，整理得2q6﹣q3﹣1＝0．由q≠1，得方程2q3+1＝0，∴q3＝﹣，∵a4+a7＝2a n，∴a4+a4q3＝2a4q n﹣4．∴＝2•，得n＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是中档题．15．（2021秋•宜春期末）将单位圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度得圆E，过点A n（0，n）（n∈N*）作圆E的切线l n（斜率存在），切点坐标为（a n，b n），则b n＝；设c n＝（a n+b n）（n2+1），则数列的前2022项和为．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先写出圆E的方程，再由直线与圆相切，结合向量垂直的充要条件，解方程可得a n和b n的通项公式，进而知c n，最后根据裂项求和法，即可得解．【解答】解：由题意知，圆E的方程为（x﹣1）2+y2＝1，其中圆心为E（1，0），半径为1，又切线l n过点A n（0，n），且切点坐标为（a n，b n），所以，化简得a n＝nb n，解得b n＝，a n＝，所以c n＝（a n+b n）（n2+1）＝（+）（n2+1）＝2n（n+1），所以＝＝（﹣），所以数列的前2022项和为[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝．故答案为：；．【点评】本题考查数列的求和，直线与圆的位置关系，熟练掌握向量垂直满足的条件，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．（2022•保山模拟）已知数列{a n}满足：a n＞0，a1＝2，且a n+12＝2a n2+a n a n+1，令b n＝（n+2）a n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S7＝2046．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】分解因式整理可得a n+1＝2a n，从而知数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而得数列{b n}的通项公式，再由错位相减法，得解．【解答】解：由a n+12＝2a n2+a n a n+1，得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，因为a n＞0，所以a n+1+a n≠0，所以a n+1＝2a n，所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故a n＝2•2n﹣1＝2n，所以b n＝（n+2）a n＝（n+2）•2n，所以S7＝3•21+4•22+5•23+…+9•27，2S7＝3•22+4•23+…+8•27+9•28，两式相减得，﹣S7＝3•21+22+23+…+27﹣9•28＝6+﹣9•28＝2﹣211＝﹣2046，所以S7＝2046．故答案为：2046．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的概念，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四．解答题（共6小题）17．（2022•黑龙江模拟）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣1a n＝a n﹣1﹣a n，且a n≠0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}前n项和为T n，求T2022．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n﹣1a n＝a n﹣1﹣a n，两边同除a n﹣1a n，得；所以是以1为位首项，1为公差的等差数列．所以，即．（2），＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（2022•四川模拟）已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）求证：数列是等差数列；（2）令b n＝（a n﹣1）•（a n+1﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）将等式两边减去1，结合等差数列的定义可得证明；（2）由等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）证明：a1＝2，，可得a n﹣1＝1﹣＝，即有＝+1，且＝1，则数列是首项和公差均为1的等差数列；（2）由（1）可得＝1+n﹣1＝n，即a n﹣1＝，b n＝（a n﹣1）•（a n+1﹣1）＝＝﹣，则数列{b n}的前n项和S n＝1﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＝．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．（2022•辽宁模拟）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝3，S n+1+1＝4a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{b n}的前n项和T n．①b n＝；②b n＝．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等比数列和等差数列的通项公式，求出所求数列的通项公式；（2）选条件①和②，利用数列的裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）a1＝3，S n+1+1＝4a n，所以n≥2时，S n+1＝4a n﹣1，a n+1＝S n+1﹣S n＝4a n﹣4a n﹣1，转换为a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），即（n≥2），当n＝2时，3+a2+1＝12，解得a2＝8；当n＝3时，3+8+a3+1＝32，解得a3＝20，a3﹣2a2＝2（a2﹣2a1），所以数列{a n﹣2a n﹣1}是从第二项a2﹣2a1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n﹣2a n﹣1＝2n﹣1（n≥2），可得﹣＝，所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2+（n﹣2）＝，即有a n＝（n+2）•2n﹣1（n≥2），上式对n＝1也成立，故a n＝（n+2）•2n﹣1；（2）若选择①，S n+1+1＝4a n＝（n+2）•2n+1，b n＝＝＝＝﹣，所以数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+...+﹣＝﹣；若选择②．②b n＝＝＝（﹣1）n•＝（﹣1）n[+]，可得T n＝﹣（+）+（+）﹣（+）+...+（﹣1）n﹣1[+]+（﹣1）n[+]＝﹣+（﹣1）n•．【点评】本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法的求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20．（2022•叙州区校级模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+2n2＝na n+2n，n∈N*，且a1+a2＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）利用已知条件推出，结合，推出a n＝a n﹣1+4，n≥2，然后求解数列的通项公式．（2）推出，然后求解数列的和，推出结果即可．【解答】（1）解：由，可得，因为a1+a2＝6，所以令n＝2，可得，所以a1＝1．由，可得，所以，n≥2，所以a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣4n+4，n≥2，即（n﹣1）a n＝（n﹣1）a n﹣1+4（n﹣1），n≥2，所以a n＝a n﹣1+4，n≥2，所以数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，所以a n＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3．（2）证明：由（1）可得，所以，当n＝1时，；当n≥2时，，所以．综上可得，当n∈N*时，．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（2022•江西一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n﹣2n+1，数列{S n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求证：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）试比较T n与2S n+1的大小．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（Ⅰ）利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），可推出a n﹣2＝2（a n﹣1﹣2）（n≥2），进而得证；（Ⅱ）先利用分组求和法求得T n与S n，再作差比较大小，即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为2a n＝S n﹣2n+1，当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1﹣2n+3，两式相减得，a n＝2a n﹣1﹣2，即a n﹣2＝2（a n﹣1﹣2）（n≥2），在2a n＝S n﹣2n+1中，令n＝1，可得a1＝﹣1，又a1﹣2＝﹣3，所以数列{a n﹣2}是首项为﹣3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，即，由2a n＝S n﹣2n+1，知S n＝2a n+2n﹣1，所以，所以＝，所以≥1，故T n≥2S n+1．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）求通项公式，等比数列的通项公式与前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（2021秋•威海期末）在等比数列{a n}中，3是a2与a7的等比中项，3a1与a3的等差中项为6．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n2+log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）结合等差、等比中项公式与等比数列的通项公式，求得a1和q的值后，得解；（2）采用分组求和法，即可得解．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由题意知，，即，解得a1＝1，q＝3，所以．（2），所以＝（90+91+92+⋯+9n﹣1）+（0+1+2+⋯+n﹣1）＝＝．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比中项公式，等比数列通项公式，以及分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．考点卡片1．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n ＝2、等比数列的通项公式：a n＝a1q n﹣1；前n项和公式S n＝＝（q≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，a n是n的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{a n}为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：a n＝a1q n﹣1．可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{a n}是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【典型例题分析】典例1：数列{a n}满足a n＝n2+kn+2，若不等式a n≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：a n＝n2+kn+2＝，∵不等式a n≥a4恒成立，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，故选：B．典例2：设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121解：∵等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0（n∈N*），设公差为d，则a n＝1+（n﹣1）d，其前n项和为S n＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴S n+10＝（n+10）2，＝（2n﹣1）2，∴＝＝，由于为单调递减数列，∴≤＝112＝121，故选：D．2．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n ＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．3．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．4．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．5．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．6．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．7．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝。

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2011年高三备考数学“好题速递”
一、选择题
1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2024()a a a ++2
13()a a -+的值为：
（） A ．1 B ．-1 C ．0
D ．2 2．已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．设复数z 满足关系式z +│z │=2+i ,那么z 等于
（）
A ．-
4
3
+i ； B ．
43-i ； C ．-43-i ； D ．4
3+i ． 4．过坐标原点且与圆225
4202
x y x y +-++=相切的直线方程为
（）
A ．x y x y 313=-=或
B ．x y x y 31
3-==或
C ．x y x y 3
13-=-=或 D ．x y x y 31
3==或
5．在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线2
1
=y 的交
点个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
6．已知函数()⎩⎨
⎧≥-<+-=0
1
01
x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是
（）
A ．{
}
121|-≤≤-x x
B ．{}1|≤x x
C ．{
}12|-≤
x x
D ．{
}
1212|-≤
≤--x x
二、填空题
7．将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同
的填写方法共有________．
1 2 3 3 1 2 2 3 1
8．已知圆C:（x+1）2+y 2
=8,定点A （1,0）,M 为圆C 上一动点,点P 是线段AM 的中点,点N
在CM 上,且满足NP⊥AM,则点N 的轨迹方程为________．三、解答题
9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，设复数z a bi =+．（Ⅰ）求事件“3z i -”为实数”的概率；（Ⅱ）求事件“23z -≤”的概率．
10．设函数)1ln()(2
++=x b x x f ,其中0≠b （1）求)(x f 的单调增区间
（2）对任意的正整数n ,证明:2
2
22ln e
e e e e e n n -≤+
11．已知椭圆C 以12(10)(10)F F -，
，，为焦点，且离心率2
e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过(02)M ，点斜率为k 的直线1l 与椭圆C 有两个不同交点P Q 、，求k 的范围。

（Ⅲ）设椭圆C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、，是否存在直线1l ，满
足（Ⅱ）中的条件且使得向量OP OQ +与AB 垂直？如果存在，写出1l 的方程；如果不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题
1．答案：A 解析：二项式中含有
3，似乎增加了计算量和难度，但如果设
443210)32(+==++++a a a a a a ，443210)32(-==+-+-b a a a a a ，则待
求式子1)]32)(32[(4
=-+==ab 。

故选A 。

2．答案：B 解析：等差数列的前n 项和S n =
2d n 2+（a 1-2
d
）n 可表示为过原点的抛物线，又本题中a 1=-9<0, S 3=S 7,可表示如图，由图可知，n=
52
7
3=+,是抛物线的对称轴，
所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时S n 最小，故选B 。

3．答案：D 解析: 因为z =（2 -│z │）+ i ,由选择支知│z │<2,
所以z 的实部为正数,虚部为1,根据这个隐含条件,（A ）,（B ）,（C ）均可筛去,所以选（D ）． 4．答案：A 解析：过坐标原点的直线为y kx =，与圆225
4202
x y x y +-++
=相切，则圆心（2，－1）到直线方程的距离等于半径
102，则2|21|1021k k
+=
+，解得1或33
k k ==-，∴ 切线方程为x y x y 31
3=-=或，选A ．
5．答案：C 解析: 本小题主要考查三角函数图像的性质问题。

原函数可化为：
])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2
x
x π∈作出原函数图像，截取[0,2]x π∈部
分，其与直线21
=y 的交点个数是2个．
6．答案：C 解析：依题意得11010
(1)()(1)1
x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨
⎨
++-++⎩≥≤⎩≤或
所以111121212121x x x x x x R x ⎧≥-≤≤-⇒≤-∈--≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩
-或或，选
C ．
二、填空题
7．答案：12 解析：本题主要考查了排列组合及分析问题的能力．只需填第一行和第一列
的即可确定．
∴不同的填写方法共有2
23
3A A ＝12种．
8．答案:12
22
=+y x （y≠0）解析:由已知,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|=22>|AC|=2,
因此动点N 的轨迹是以点A （1,0）、C （-1,0）为焦点、长轴长2a=22的椭圆,其中
3 5 7
O
n
n
S
a=2,c=1,b 2
=a 2
-c 2
=1,故动点N 的轨迹方程是12
22
=+y x （y≠0）．三、解答题
9．解：（Ⅰ）3z i -为实数，即3(3)a bi i a b i +-=+-为实数， ∴b ＝3
又依题意，b 可取1，2，3，4，5，6 故出现b ＝3的概率为
16
即事件“3z i -为实数”的概率为
16
（Ⅱ）由已知，2|2|3z a bi -=-+=≤ 可知，b 的值只能取1、2、3
当b ＝1时， 2
(2)8a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝2时， 2(2)5a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝3时， 2(2)0a -≤，即a 可取2
由上可知，共有9种情况下可使事件“23z -≤”成立又a ，b 的取值情况共有36种
故事件“23z -≤”的概率为
936
10．解：（1）当0<b 时，增区间为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+-+-,2211b
当210<
<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 和⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----2211,1b
当2
1
≥
b 时，增区间为()+∞-,1 （2）由（1）得1-=b 时，)(x f 在⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞++-,231增
欲证2
222ln e
e e e e e n n -≤+，只需证1)21ln(2
21-≤+--n n e e 只需证12ln )1ln()1(21
-≤-+--n n e e
令)1ln()(2
x x x g +-=()1≥x
因为)(x f 在⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞++-,231增，又123
1<+-，所以2ln 1)1()(-=≥g x g
所以当1≥x 时，2ln 1)1ln(2
-≥+-x x 故12ln )1ln()1(21
-≤-+--n n e e 成立
证毕
11．解:（Ⅰ）设椭圆C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a b c 、、由题设知：1c =，由11
2
c e a a =
==，得2a =，则1b =
∴椭圆C 的方程为2
212x y +=
（Ⅱ）过(02)M ，点斜率为k 的直线1:2l y kx -=
即1:2l y kx =+
与椭圆C 方程联立消y 得22
(21)4220k x x +++=*“”
由1l 与椭圆C 有两个不同交点知
其2
2
328(21)0k k ∆=-+>得22k <-
或2
2
k >
∴k 的范围是22
()()22
-∞-+∞，
，。

（Ⅲ）设1122()()P x y Q x y ，、，，则12x x 、是*“”
的二根
则1222 21
k
x x k +=-
+，则1212
()22y y k x x +=++22221k =+
则1212()OP OQ x x y y +=++，2
2222
()2121
k k k =-
++，
由题设知20)(01)A B ，
、，，∴(21)AB =-
若()OP OQ AB +⊥，须28()021k OP OQ AB k +⋅=
=+
得4k =-
∉2(()22
-∞-+∞，，
∴不存在满足题设条件的1l 。