2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 4.3 简单线性规划的应用 Word版含解析
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 3.2 基本不等式与最大(小)值 第1课时
A.3
B.3-3 2
C.3-2 3
������. ‒ 1
( ) 解析:y=3-3x
‒
1 ������
=
3
‒
3������ + 1 2 ������ ≤3-
3������·1������ = 3 ‒ 2
3,当且仅当
= 1,即
=
3
时
3x ������ x 3 ,等号成立.
答案:C
3.函数
y
=
������2
第 1 课时 利用基本不等式求最值
课时过关·能力提升
1.设
若 a>0,b>0,
3是3������与3������的等比中项,则���1��� + 1������的最小值为( )
.1
A.8
B.4
C.1
D4
( ) 解析:由已知得
3a·3b=3,所以
1
a+b=1,所以������
+1
������
=
(������
‒
1 4
+
1
=
34,当且仅当4���|���������|
=
|������|,������
������
<
0,即 a=-2,b=4
1
故 时,等号成立. 2|������|
+
|������������|的最小值是34.
3
答案:4
10.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 .
+ ������
2������ + +1
2(������
新学优数学同步北师大必修五精练：第三章 不等式3.4.3
4.3 简单线性规划的应用课后篇巩固探究A 组1.已知点(x ,y )构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m 的值为 ( )A.-720B.720C.12D.720或12解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z 与直线AC 重合,则-m=k AC =225-31-5=-720,解得m=720.答案:B2.如图,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若C (23,45)是该目标函数z=ax-y 唯一的最优解,则a 的取值范围是( )A.(-103,-512)B.(-125,-310) C.(310,125) D.(-125,310)解析:最优解为点C ,则目标函数表示的直线斜率在直线BC 与AC 的斜率之间.因为k BC =-310,k AC =-125,所以a ∈(-125,-310). 答案:B3.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为 .解析:由约束条件作出其可行域如图.由图可知,当直线x=m 过直线y=2x 与x+y-3=0的交点(1,2)时,m 取得最大值,此时m=1. 答案:14.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,则所需租赁费最少为 元.解析:设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天,此时该公司所需租赁费为z 元,则z=200x+300y.又因为{5x +6y ≥50,10x +20y ≥140,x ∈N ,y ∈N ,即{ x +65y ≥10,x +2y ≥14,x ∈N ,y ∈N .画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.解{x +65y =10,x +2y =14,得{x =4,y =5,即点A (4,5).由z=200x+300y ,得直线y=-23x+z300过点A (4,5)时,z=200x+300y 取得最小值,为2 300元. 答案:2 3005.导学号33194075设不等式组{x +y -11≥0,3x -y +3≥0,5x -3y +9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是. 解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a ∈(0,1)时不符合题意,故a>1.由{x +y -11=0,3x -y +3=0得交点A (2,9). 由图像可知,当y=a x 的图像经过该交点A 时,a 取最大值,此时a 2=9,所以a=3. 故a ∈(1,3]. 答案:(1,3]6.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,则{x +y ≥35 000,y ≥15x ,0≤x ≤50 000,y ≥0,而z=0.28x+0.9y ,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35 000和直线y=15x 的交点A (87 5003,17 5003).即x=87 5003,y=17 5003时,饲料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.B 组1.某学校用800元购买A,B 两种教学用品,A 种用品每件100元,B 种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B 两种用品应各买的件数为( )A.1件,4件B.3件,3件C.4件,2件D.不确定解析:设买A 种用品x 件,B 种用品y 件,剩下的钱为z 元,则{x ≥1,x ∈N ,y ≥1,y ∈N ,100x +160y ≤800,求z=800-100x-160y 取得最小值时的整数解(x ,y ),用图解法求得整数解为(3,3). 答案:B2.已知x ,y 满足条件{y ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )A.-16B.-6C.-83D.6解析:由z=x+3y 得y=-13x+z3.先作出{y ≥0,y ≤x的图像,因为目标函数z=x+3y 的最大值为8,所以直线2x+y+k=0过直线x+3y=8与直线y=x 的交点A ,由{x +3y =8,y =x ,解得A (2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6.故选B .答案:B3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A.-3B.3C.-1D.1解析:当a=0时,z=x.仅当直线x=z 过点A (1,1)时,目标函数z 有最小值1,与题意不符. 当a>0时,y=-1ax+z a.斜率k=-1a<0,仅当直线z=x+ay 过点A (1,1)时,直线在y 轴的截距最小,此时z 也最小, 与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾. 当a<0时,y=-1a x+za ,斜率k=-1a >0,为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个, 当且仅当斜率-1a =k AC ,即-1a =13,故a=-3. 答案:A 4.导学号33194076已知点M 在不等式组{x -2≤0,3x +4y ≥4,y -3≤0所表示的平面区域上,点N 在曲线x 2+y 2+4x+3=0上,则|MN|的最小值是( ) A.12B.1C.2√103-1D.2√103解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),由圆心C (-2,0)向直线3x+4y-4=0作垂线,圆心C (-2,0)到直线3x+4y-4=0的距离为√3+4=2,又圆的半径为1,所以可求得|MN|的最小值是1.故选B .答案:B5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最少为 元.解析:设租大船x 只,小船y 只,则{x ∈N ,y ∈N ,5x +3y ≥48,租金z=12x+8y ,作出可行域如图,由图可知,当直线z=12x+8y 经过点(9.6,0)时,z 取最小值,但x ,y ∈N ,所以当x=9,y=1时,z min =116. 答案:1166.铁矿石A 和B 的含铁率a ,冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.解析:设购买铁矿石A,B 分别为x 万吨和y 万吨,购买铁矿石的费用为z 百万元, 则{0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y≤2,x ≥0,y ≥0,目标函数z=3x+6y ,作出可行域如图. 由{0.5x +0.7y =1.9,x +0.5y =2, 得{x =1,y =2.记P (1,2),当目标函数z=3x+6y 过点P (1,2)时,z 取到最小值15.答案:15 7.导学号33194077(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 解(1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为{ 70x +60y ≤600,5x +5y ≥30,x ≤2y ,x ≥0,y ≥0,即{7x +6y ≤60,x +y ≥6,x -2y ≤0,x ≥0,y ≥0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y ,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距,当z25取得最大值时,z 的值最大.图1图2又因为x ,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距z25最大,即z 最大.解方程组{7x +6y =60,x -2y =0,得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.由Ruize收集整理。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 1 不等关系
§1 不等关系课时过关·能力提升1.已知a<0,-1<b<0,则( )A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a-1<b<0,∴1>b2>0>b>-1,即b<b2<1,又a<0,∴ab>ab2>a.2.已知x>0,y>0,M=x+y2,N=2xyx+y,则M与N的大小关系为( )A.M>NB.M≥NC.M≤ND.M<N=(x+y)2-4xy2(x+y)=(x-y)22(x+y).∵x>0,y>0,∴x+y>0.又(x-y)2≥0,∴M-N≥0,即M≥N.3.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式表示就是( )A.{x≥95,y≥380,z>45B.{x≥95,y>380,z≥45C.{x>95,y>380,z>45D.{x≥95,y>380,z>454.已知a,b,c均为实数,有下列命题:①若a<b<0,则a2<b2;②若ab<c ,则a <bc ;③若a>b ,则c-2a<c-2b ;④若a>b ,则1a <1b .其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4特殊值法.令a=-2,b=-1,则4>1,故①错;②当b<0时,a>bc ,故②错;③当a>b 时,-2a<-2b ,从而c-2a<c-2b ,故③正确;④当a>0,b<0时,显然④错.有1a >1b ,故综上可知,只有③正确,故选A.5.已知a ,b ,c ∈R ,且c ≠0,则下列命题正确的是( )A.如果a>b ,那么ac >bcB.如果ac<bc ,那么a<bC.如果a>b ,那么1a <1b D.如果a>b ,那么a c 2>b c 2,取a=2,b=-1,c=-1,满足A,B,C 中的条件.对于A A 错;对有ac <bc ,故于B 有a>b ,故B 错;对于C C 错;对于D,∵c ≠0,,选有1a >1b ,故∴1c 2>0,由不等式的性质知项D 正确.6.已知0<a<1,x=log a 2+loga 3,y =12loga 5,z =loga 21‒loga 3,则( )A.x>y>zB.z>y>xC.y>x>zD.z>x>yx ,y ,z 变成同底数的式子,再比较真数的大小,利用对数函数的单调性来分析.x=log 0a 2+loga 3=loga 6,y =12loga 5=loga 5,z =loga 21‒loga 3=loga 7,由<a<1知,函数f (x )=log a x 为减函数,故y>x>z.7.已知x ≤1,f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x+1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ).(x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x+1)=(3x 3-3x 2)+(x-1)=3x 2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x 2+1).∵x ≤1,∴x-1≤0.又3x 2+1>0,∴(x-1)(3x 2+1)≤0.∴f (x )≤g (x ).8.已知三个不等式:①ab>0;②ca>db ;③bc >ad ,以其中两个作为条件,剩下一个作为结论,则可组成____________个正.,⇒bc>ad ,即①②⇒③.{ab >0,c a >d b ⇒{ab >0,bc -ad ab>0①③⇒②.{ab >0,bc >ad⇒c a >d b ,即⇒ab>0,即②③⇒①.{c a>db ,bc >ad ⇒{bc -adab >0,bc>ad 故可以组成3个正确的命题.9.设角α,β满足‒π2<α<β<π2,则α‒β的范围为____________.,要注意α<β这个条件.∵‒π2<α<π2,‒π2<β<π2,∴‒π<α‒β<π.∵α<β,∴α-β<0.故-π<α-β<0.-π,0)10.某商城的某店准备在“双十一”期间进行商品降价酬宾活动,酬宾方案如下:(1)购买不超过100元的商品打九折;(2)购买超过100元但不超过500元的商品,前100元部分打九折,超过100元部分打八折;(3)购买超过500元的商品,前500元部分按方案(2)打折,剩余部分打七五折.某人打算在该店购买x 元商品,且希望得到至少200元的优惠,则x 所满足的条件是 .100元最多优惠10元,不超过500元最多优惠10+80=90元,因此要得到200元的优惠,肯定要超过500元,故x 所满足的条件是90+0.25(x-500)≥200.+0.25(x-500)≥20011.若a ≠-1,且a ∈R ,试比较11+a 与1‒a 的大小.为11+a ‒(1‒a )=a 21+a ,所以当a>-1,且a ≠0时,11+a >1‒a ;当a<-1时,11+a <1‒a ;当a=0时,11+a =1‒a .★12.已知a ,b ∈(0,+∞),试比较a a b b 与(a b )a +b2的大小.=aa -a +b 2bb -a +b 2=aa -b 2bb -a 2=(a b)a -b 2①若a=b>0,则ab =1,a ‒b =0,∴(a b)a -b 2=1,∴a a b b =(a b )a +b 2.②若a>b>0,,可则a b>1,a ‒b >0,由指数函数的性质知(a b)a -b 2>1,∴aabb >(ab )a +b 2.③若b>a>0,则0,可<a b<1,a ‒b <0,由指数函数的性质知(a b)a -b 2>1,∴aabb >(ab )a +b 2.综上所述,a a b b ≥(a b )a +b 2.。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a∈R,且a2+a<0,则-a,-a3,a2的大小关系是()A.a2>-a3>-aB.-a>a2>-a3C.-a3>a2>-aD.a2>-a>-a3a2+a<0,∴-1<a<0,∴0<-a<1.∴-a>(-a)2>(-a)3,即-a>a2>-a3.2.不等式2x2-x-1>0的解集是()A-B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D--∪(1,+∞)2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,∴x>1或x<故解集为--∪(1,+∞).3.已知点A n(n,a n)(n∈N+)在函数y=a x(a>0,a≠1)的图像上,则a3+a7与2a5的大小关系是()A.a3+a7>2a5B.a3+a7<2a5C.a3+a7=2a5D.a3+a7与2a5的大小和a有关,a3=a3>0,a7=a7>0,a5=a5>0,∴a3+a7≥又a>0,a≠1,∴等号不成立.故a3+a7>2a5.4.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2·-·a=c,整理得a=b,故△ABC为等腰三角形.5.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),若a∥b,则4x+8y的最小值为()Aa∥b,∴3(y-1)-(-2)x=0,∴2x+3y=3.故4x+8y=22x+23y≥当且仅当2x=3y,即x时,等号成立.6.在△ABC中,B边上的高等于则A在△ABC中,B边上的高等于∴AB由余弦定理,得AC--由正弦定理,得∴sin A B7.设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列-则由等比数列性质易得三者构成等比数列.8.在△ABC中,若a=80,b=100,A=45°,则此三角形的解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解△ABC中,a<b,A=45°<90°.由a>b sin 45°=5知此三角形有两解.9.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n+S m=S n+m,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.55S n+S m=S n+m,得S1+S9=S10,故a10=S10-S9=S1=a1=1.1.0已知x,y满足约束条件-若的最大值为则等于A.3B.2C.-2D.-3,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.11.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6等于()A.3×44B.3×44+1C.45D.45+1a n+1=3S n,∴a n=3S n-1(n≥2).两式相减,得a n+1-a n=3(S n-S n-1)=3a n,即a n+1=4a n(n≥2).故n≥2时,{a n}是以a2为首项,以4为公比的等比数列.∵a2=3S1=3a1=3,≠4.∴a1不在上述等比数列里面.∴数列{a n}的通项公式为a n故a6=3×44.-12.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<log m(ab)<1,则m的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,8)D.(8,+∞)a,b,a+b成等差数列,∴2b=2a+b,b=2a.∵a,b,ab成等比数列,∴a≠0,b≠0,b2=a2b,∴b=a2.∴a2=2a,a=2,∴b=4,∴ab=8.∵0<log m(ab)<1,∴m>8.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.在△ABC中,a=3,b则,得所以sin B所以∠B14.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1=q n-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n}的首项为a1=1,公比为q=3,故a n=3n-1.n-115.若x,y满足约束条件---则的最大值为(如图),点A为(1,3),要使最大,则--最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图知当该直线过点A时--16.①数列{a n}的前n项和S n=n2+2n(n∈N+),则②数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n-1(n∈N+),则a11=1 023;∈N+),则数列{b n}是从第二项开始的等比数列;③数列{a n}满足a n+1=1-④已知a1+3a2+5a3+…+(2n-1)a n=2n+1(n∈N+),则a n=2n-1.以上命题正确的有(只填序号).S n=n2+2n,∴a n=2n+1,≥当且仅当n=1时等号成立,故①正确;∵a n+1=2a n-1,∴a n+1-1=2(a n-1),--∴{a n-1}是等比数列,a n-1=2n-1.∴a n=2n-1+1,a11=210+1=1 025,故②错误;是公差为2的等差数列,故③错误;b n+1----④中当n=1时,a1=22=4,不满足a n=2n-1,∴④错误.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?由题意知,1-a<0,-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,--解得a=3.-∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x∴所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(2)由(1)可知,ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0.∵此不等式的解集为R,∴b2-4×3×3≤0,解得-6≤b≤6.∴b的取值范围为[-6,6].18.(12分)已知等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前项和设数列{a n}的公比为q.由得故q2由题意知q>0,故q由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,即a1故数列{a n}的通项公式为a n(2)因为b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=所以=-=-2-.所以++…+=-2--…-=-.故数列的前n项和为-.19.(12分) 如图所示,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上,此时到达C处.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin α的值.依题意知,∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=10×2=20(n mile).在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784.解得BC=28 n mile.故渔船甲的速度为=14(n mile/h).(2)由(1)知BC=28 n mile,在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理,得,°即sin α=°.20.(12分)已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.∵a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=, ①∴当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2a n-1=-, ②①-②得3n-1a n=,∴a n=(n≥2).令n=1,则a1=,也满足上式.∴a n=.(2)∵b n=,∴b n=n·3n.∴S n=3+2×32+3×33+…+n·3n, ③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n·3n+1, ④④-③得2S n=n·3n+1-(3+32+33+…+3n),即2S n=n·3n+1---,∴S n=-.21.(12分)已知函数f(x)=(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<--.将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得--解得-故f(x)=-(x≠2).(2)不等式即为---,可化为--<0.因为x≠2,所以又可化为(x-2)(x-1)(x-k)>0.①当1<k<2时,解得1<x<k或x>2;②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解得x>1,且x≠2;③当k>2时,解得1<x<2或x>k.综上所述,当1<k<2时,解集为(1,k)∪(2,+∞);当k=2时,解集为(1,2)∪(2,+∞);当k>2时,解集为(1,2)∪(k,+∞).22.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N+.(1)设b n=-,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式a n.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.=2, 由题意得b n+1-b n=-------所以数列{b n}是等差数列.因为a1=1,所以b1=2,所以b n=2+(n-1)×2=2n.得a n=.由b n=-(2)由(1)可知c n=,所以c n c n+2==2-,所以T n=2--…-=2--<3.依题意,要使T n<对于n∈N+恒成立,只需≥3,解得m≥3或m≤-4, 又因为m为正整数,所以m的最小值为3.。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 3.2 基本不等式与最大(小)值 第2课时
第2课时 利用基本不等式求最值及实际应用题课时过关·能力提升1.若x>1,则函数y=x +1x +16xx 2+1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况x>1,设t=x y=t t=4时,等号成立.+1x >2,∴原函数可变为+16t ≥216=8,当且仅当2.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件f (x ),则f (x )x=80时,等号成立.=800+x 8·x ·1x =800x +x8≥2800x ·x8=20.当且仅当800x =x8,即3.某工厂第一年年产量为A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则( )A.x =a+b 2 B .x ≤a +b2C.x >a +b 2 D .x ≥a +b2A (1+a )(1+b )=A (1+x )2,即(1+a )(1+b )=(1+x )2,则(1+x )2=1+(a+b )+ab ≤1+(a+b )1+x ≤1x ≤+(a +b 2)2=(1+a+b 2)2,即+a +b 2,故a +b2.4.已知x>0,y>0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值是( )A.0B.1C.2D.4知{a +b =x +y,cd =xy ,故(a +b )2cd =(x +y )2xy =x 2+y 2+2xy xy =x 2+y 2xy +2.∵x>0,y>0,≥2+2=4,当且仅当x=y 时,等号成立.∴x 2+y 2xy +25.某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半计算,每件2元,为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为( )A.500件B.1 000件C.2 500件D.5 000件x 件,总费用为y 元,由y000,当且仅=10 000×100x +x 2×2≥21 000 000x ·x =2 x=1 000时,等号成立,此时y 最小.当 000x =x ,即6.设x ,y ∈R ,a>1,b>1,若a x =b y =2,a 2+b=4,则2x +1y 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4a x =b y =2,∴x=log a 2,y=log b 2.∴2x +1y =2log 2a +log 2b =log 2a 2b .∵a 2+b=4,a>1,b>1,∴a 2+b=4≥a 2b ≤4,当且仅当a ,等号成立.2a 2b ,即=2,b =2时≤log 24=2,2.故选B .∴2x +1y =log 2a 2b即2x +1y 的最大值为7.已知不等式(x+y≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是( ))(1x +a y )A.2B.3C.4D .92x+y ≥1+a+)(1x +a y )=1+a +y x +ax y 2y x ·ax y =1+a +2a =(a +1)2.∵不等式(x+y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,∴≥9,≥3.)(1x +a y )(a +1)2即a +1≥2,a ≥4,即正实数a 的最小值为4.故选C .∴a8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总费用之和最小,则x= 吨.数·4+4x ≥x=20时,等号成立.故x=20.为400x ,所以总费用为400x 26 400=160,当且仅当1 600x =4x ,即9.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.★10.设0<x<2,求函数f (x )≤1时,=3x (8-3x )的最大值,并求相应的x 值.试问当0<x <43时,原函数f (x )有没有最大值?当0<x f (x )有没有最大值?若有,请你求出来;若没有,请你说明理由.0<x<2,∴8-3x>0.∴f (x )=3x (8-3x )≤(3x +8-3x 2)2=4,当且仅当3x=8-3x ,即x ,等号成立,=43时∴函数f (x )的最大值为4,此时x=43.又f (x )=-9x 2+24x =-(3x -4)2+16,当0<x ,f (x )是增加的;当x ,f (x )是减少的,<43时>43时∴当0<x ,函数f (x )没有最大值,<43时当0<x ≤1时,有最大值f (1),且f (1)=15.★11.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x (x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?( 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积 )f (x )元,则f (x )=560+48x =560+48x≥10,x ∈N ),+2 160×10 0002 000x +10 800x (x 故f (x )=560+48x≥560+000,+10 800x 248x ·10 800x =2 当且仅当48x x=15时,等号成立.=10 800x ,即因此,当x=15时,f (x )取得最小值f (15)=2 000.即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.。
北师大版高中数学必修五练习第3章4.2简单线性规划第2课时
第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件{3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为12,则2a +3b的最小值为( )A .256 B.83 C.113 D.4.由图可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有a +3b =16(2a +3b )(2a +3b)=16(6ba +4+9+6ab )=136+16(6ba +6ab )=136+(ba +ab )≥136+2√b a ·a b=256,当且仅当a=b =65时,等号成立.故选A.答案:A2.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z =3x +2y 的最小值是( )A.0B.1C .√3 D.9.令t=x+2y ,则当直线y=−12x +12t 经过原点O (0,0)时,12t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最小值为30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]D.[-1,2]{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y. 令-x+y=z ,即y=x+z.易知当直线y=x+z 过点B (1,1)时,z min =0. 当直线y=x+z 过点C (0,2)时,z max =2. 故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若点C (2,4)是该目标函数z =ax −y 的最优解,则a 的取值范围是( )A .(-103,-512) B.(-125,-310) C .(310,125) D.(-125,310)C ,所以目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间. 因为k BC =−310,kAC =−125,所以a ∈(-125,-310).5.已知x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y -2≥0,x ≤m ,且x −3y 的最大值不小于6,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C .(-∞,92] D.[92,+∞)x-y+1=0与x+y-2=0交点为(12,32),所以m >12.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z 过点A (m ,2-m )时,x-3y 取得最大值. 由x-3y 的最大值不小于6,得m-3(2-m )≥6,解得m ≥3.6.已知x ,y 满足约束条件{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值构成的集合是( ) A.{-3,0} B.{-1,1} C.{-1,3}D.{-3,0,1}{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14表示的平面区域,如图所示.由图可知,当a=-1时,线段AC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=0时,z 取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.7.已知A (1,1),B (4,2),C (-1,4),若动点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,且z=ax-y 的最优解有无数个,则a 的值为 .,说明直线y=ax-z 与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB 的斜率为2-14-1=13,直线BC 的斜率为2-44+1=−25,直线AC 的斜率为4-1-1-1=−32,故直线y=ax-z 的斜率a 的值为13或−32或−25.−32或−258.已知点P 的坐标(x ,y )满足{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则点P 到直线4x +3y +1=0的距离的最大值是__________________..由图可知点B (2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d =√4+3=3.9.已知集合A={(x ,y )|x+y ≥2},集合B={(x ,y )|2x+y ≥2},当(x ,y )∈A ∩B 时,求z=x+y 的取值范围.x ,y 满足的不等式组为{x +y ≥2,2x +y ≥2,在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示.因为直线y=-x+z 与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z 与x+y=2重合时,z 取得最小值2,且z 无最大值,故z 的取值范围是[2,+∞). ★10.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z =ax +y(其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,求a 的取值范围..作直线l:ax+y=0,过点(3,0)作l的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<−12,即a>12.故a的取值范围为(12,+∞).★11.已知实数x,y满足不等式组{2≤x-y≤4,x+2y≥-4.(1)求目标函数z=10x+30y(x,y∈Z)的最小值;(2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最大值为-2,求a的取值范围.,如图阴影部分所示.(1)因为x,y∈Z,所以用打网格的方法在可行域中找出各整点,发现当直线y=−13x+z30经过点A(0,-2)时,目标函数取得最小值,z min=-60.(2)若a≤-1,则目标函数在A(0,-2)处取得最大值-2,符合题意; 若-1<a<0,则目标函数无最大值.综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].。
高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应用_作业含解析
⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析[学业⽔平训练]1．设x ，y 满⾜2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最⼩值2，最⼤值3B ．有最⼩值2，⽆最⼤值C ．有最⼤值3，⽆最⼩值D ．既⽆最⼩值，也⽆最⼤值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最⼩值，即z m in ＝2，⽆最⼤值．2．设变量x ，y 满⾜x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最⼤值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：选D.作出可⾏域如图所⽰．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最⼤值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最⼤值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最⼤值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最⼤值为55.故选D.3．(2013·⾼考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满⾜约束条件x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最⼩值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表⽰的可⾏域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最⼩值．由?x ＝3，x －y ＋1＝0，得x ＝3，y ＝4，∴z m in ＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x ＋y ＝10与不等式组x ≥0y ≥0x －y ≥－24x ＋3y ≤20，表⽰的平⾯区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．⽆数个解析：选B.画出可⾏域如图阴影部分所⽰．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x ，y 满⾜y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果⽬标函数z ＝x －y 的最⼩值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.画出x ，y 满⾜的可⾏域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使⽬标函数z ＝x －y 取得最⼩值，解?y ＝2x －1，x ＋y ＝m 得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代⼊x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满⾜条件x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最⼩值等于________，最⼤值等于________．解析：画出约束条件对应的可⾏域，如图阴影部分所⽰，∵|PO |表⽰可⾏域上的点到原点的距离，从⽽使|PO |取得最⼩值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最⼤值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2 107．(2013·⾼考⼤纲全国卷)若x ，y 满⾜约束条件x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最⼩值为________．解析：由不等式组作出可⾏域，如图阴影部分所⽰(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业⽣产甲、⼄两种产品，已知⽣产每吨甲产品要⽤A 原料3吨、B 原料2吨；⽣产每吨⼄产品要⽤A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨⼄产品可获得利润3万元．该企业在⼀个⽣产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最⼤利润是________．解析：设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联⽴3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得?x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3，4)．故z 的最⼤值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x ，y 满⾜条件y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，若r 2＝(x ＋1)2＋(y －1)2(r >0)，求r 的最⼩值．解：作出不等式y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2所表⽰的平⾯区域如图：依据上图和r 的⼏何意义可知：r 的最⼩值是定点P (－1，1)到直线y ＝x 的距离，即r m in ＝|1＋1|2＝ 2.10．某⼯⼚制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需⽤薄钢板给每台仪器配⼀个外壳．已知钢板有甲、⼄两种规格：甲种钢板每张⾯积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个．⼄种钢板每张⾯积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、⼄两种钢板各⽤多少张才能⽤料最省？(“⽤料最省”是指所⽤钢板的总⾯积最⼩)解：设⽤甲种钢板x 张，⼄种钢板y 张，依题意x ，y ∈N ，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总⾯积z ＝2x ＋3y .作出可⾏域如图所⽰中阴影部分的整点．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最⼩．由⽅程组3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55得?x ＝5，y ＝5. 所以甲、⼄两种钢板各⽤5张⽤料最省．[⾼考⽔平训练]1．若实数x ，y 满⾜不等式组y ≥0x －y ≤42x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，2)D ．[－12，＋∞)解析：选C.把w ＝y －1x ＋1理解为⼀动点P (x ，y )与定点Q (－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x ＝1，y ＝0时，w m in ＝－12，且w ＜2.2．若实数x 、y 满⾜x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x＋2y的最⼩值是________．解析：由不等式组，得可⾏域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三⾓形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最⼩值0.∴z ＝3x ＋2y 的最⼩值为1.答案：13．某营养师要为某个⼉童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和6个单位的维⽣素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和10个单位的维⽣素C.另外，该⼉童这两餐需要的营养中⾄少含64个单位的碳⽔化合物，42个单位的蛋⽩质和54个单位的维⽣素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费⽤分别是2.5元和4元，那么要满⾜上述的营养要求，并且花费最少，应当为该⼉童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法⼀：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，则z 在可⾏域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.⽐较之，z B 最⼩，因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．法⼆：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，让⽬标函数表⽰的直线2.5x ＋4y ＝z 在可⾏域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最⼩值．因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．4．已知实数x 、y 满⾜x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最⼤值和最⼩值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最⼤值和最⼩值；(3)若z ＝yx，求z 的最⼤值和最⼩值．解：不等式组x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表⽰的平⾯区域如图阴影部分所⽰．由x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)；由x ＝2，x －y ＋1＝0，得x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)；由x ＝2，x ＋y －3＝0，得? x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最⼤，z 也最⼤，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最⼩，z 也最⼩，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最⼤值为7，最⼩值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂⾜为N ，则直线l 的⽅程为y ＝x .由?y ＝x ，x ＋y －3＝0，得?x ＝32，y ＝32，∴N32，32. 点N 32，32在线段AB 上，也在可⾏域内．此时可⾏域内点M 到原点的距离最⼤，点N 到原点的距离最⼩．⼜|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最⼤值为13，最⼩值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2，∴z 的最⼤值为2，最⼩值为12.。
高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §4-4.3 简单线性规划的应用 含解析
[A 基础达标]1．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种教学用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定解析：选B.设买A 种教学用品x 件，B 种教学用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析：选C.设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，画出线性约束条件表示的平面区域，可行域内的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元解析：选B.设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱(x ，y ∈N )，根据题意，得约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图．目标函数z ＝280x ＋200y ，即y ＝－75x ＋z 200， 作直线y ＝－75x 并平移，得最优解A (15，55)． 所以当x ＝15，y ＝55时，z 取最大值．5．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组解析：选D.设甲种x 组，乙种y 组．则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1，x ∈N ＋，y ∈N ＋ 总的组数z ＝x ＋y ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x ＝3，y ＝2时，为最优解．6．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216 0007．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析：设买科普书x 本，文具y 套，总数为z ＝x ＋y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋10y ≤300，x ≤y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z ＝x ＋y 化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x 并平移，使之经过可行域，易知经过点A ⎝⎛⎭⎫754，754时，纵截距最大，但因x ，y 均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z 最大为37.答案：378．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．解析：设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N )，总利润为z 万元，则⎩⎨⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，且z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0：10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4，1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．答案：60万元9．A ，B 两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解：设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调40－x 万个到甲地，20－y 万个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎨⎧x ＋y ≤50，40－x ＋20－y ≤30，0≤x ≤40，0≤y ≤20，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0，经平移知直线经可行域上点M (30，0)时与原点距离最小，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地，从B 仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．10．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．(1)若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形．(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解：(1)由题意，知x ，y 满足的条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.2x ＋0.1y ≤1.6，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为z ＝x ＋0.6y .如图所示，作直线l 0：x ＋0.6y ＝0.当直线l 0经平移过直线x ＋y ＝10与0.2x ＋0.1y ＝1.6的交点A 时，其纵截距最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.2x ＋0.1y ＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4， 即A (6，4)，此时z ＝6＋0.6×4＝8.4(万元)，所以当x ＝6，y ＝4时，z 取得最大值．即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．[B 能力提升]11．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元解析：选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .利润z ＝30x ＋20y .不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点，根据目标函数的几何意义，在直线2x ＋3y ＝60和直线4x ＋2y ＝80的交点B 处取得最大值，解方程组得B (15，10)，代入目标函数得z max ＝30×15＋20×10＝650.12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车和4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车为320元，B 型卡车为504元．每天调配A 型卡车______辆，B 型卡车______辆，可使公司所花的成本费用最低．解析：设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本为z 元，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，y ≤4，x ＋y ≤10，4×6x ＋3×10y ≥180（4x ＋5y ≥30），x ，y ∈N ，目标函数z ＝320x ＋504y (其中x ，y ∈N )．作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．由图易知，直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)．答案：8 013．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m 3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m 3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m 3；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m 3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m 3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m 3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万m 3，需满足：2－x 500≤0.2%，0≤x ≤2； 设第二化工厂每天处理工业废水y 万m 3，需满足：0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤y ≤1.4. 两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z ＝1 000x ＋800y 元．问题即为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2－x 500≤0.2%，0.8（2－x ）＋（1.4－y ）700≤0.2%，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，4x ＋5y －8≥0，0≤x ≤2，0≤y ≤1.4，求目标函数z ＝200(5x ＋4y )的最小值．如图，作出可行域．可知当x ＝1，y ＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万m 3，第二化工厂每天处理工业废水0.8万m 3，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．14．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料肥料A B C 甲4 8 3 乙5 5 10现有A 已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)． 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 2.2 一元二次不等式的应用 第2课时
第2课时 一元二次不等式根的分布及实际应用问题课时过关·能力提升1.要使关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一个根比1大,另一个根比1小,则a 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2.由题意知,f (1)=1+a 2-1+a-2=a 2+a-2=(a-1)(a+2)<0,则-2<a<1.2.若关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0有解,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,-8]B.(-∞,-8]∪[0,+∞)C.(-∞,-4)D.[-8,4)3x =t ,t ∈(0,+∞),则t 2+(4+a )t+4=0有正数解,所a ≤-8.以{Δ=(4+a )2-16≥0,-(4+a )>0,解得3.若关于x 的方程x 2-(m+3)x+m 2=0有两个不相等的正根,则m 的取值范围是 .x 1,x 2是方程的两根,则由题意知x 1≠x 2,且x 1>0,x 2>0,所以{Δ>0,x 1+x 2>0,x 1x 2>0,即{(m +3)2-4m 2>0,m +3>0,m 2>0,解得-1<m<0或0<m<3.-1,0)∪(0,3)4.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年花费各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元,则第 年开始获利.n 年开始获利,则50n-[98+12n+4+8+…+(n-1)·4]>0,即n 2-20n+49<0,解得10‒51<n <10+51.因为n ∈N +,所以3≤n ≤17.故第3年开始获利.5.已知集合A={x|x 2+3x-18>0},B={x|(x-k )·(x-k-1)≤0},若A ∩B ≠⌀,求k 的取值范围.A ,B ,即解出一元二次不等式后,根据A ∩B ≠⌀来研究集合端点值的关系,列不等式组求得k 的取值范围.x 2+3x-18>0,得x>3或x<-6,故A={x|x>3或x<-6}.由(x-k )(x-k-1)≤0,得k ≤x ≤k+1,故B={x|k ≤x ≤k+1}.∵A ∩B ≠⌀,作出图形,如图所示,∴k+1>3或k<-6,即k 的取值范围是{k|k<-6或k>2}.A ∩B=⌀时k 的取值范围.由解法一,得A={x|x<-6或x>3},B={x|k ≤x ≤k+1}.若A ∩B=⌀,-6≤k ≤2,则{k+1≤3,k ≥-6,即故A ∩B ≠⌀的k 的取值范围是{k|k<-6或k>2}.★6.如图所示,将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C ,已知AB=3,AD=2,要使矩形AMPN 的面积大于32,则DN 的长度应在什么范围内?DN=x (x>0),则AN=x+2,AM由DN AN =DC AM ,得=3(x +2)x ,故S矩形AMPN =AN ·AM =3(x +2)2x (x >0),由S 矩形AMPN>32,得3(x +2)2x >32(x >0),即3x 2-20x+12>0(x>0),解得0<x x>6,<23或即DN 长度的取值范围∪(6,+∞).是(0,23)★7.两位同学合作学习,对问题“已知由不等式xy ≤ax 2+2y 2中的数对(x ,y )组成的点在区域Ω={(x ,y )|1≤x ≤2, 2≤y ≤3}中,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说:“寻找x 与y 的关系,再作分析.”乙说:“把字母a 单独放在一边,再作分析.”参考上述思路,或用自己的其他解法,求出实数a 的取值范围.,原不等式可变形≤a+t 2t 2-t+a ≥0,为y x 2(y x )2,记=y x ,得当Ω={(x ,y )|1≤x ≤2,2≤y ≤3}时,1≤t ≤3.令f (t )=2t 2-t+a ,其对称轴为直线t =14,故a ∈[-1,+∞).由{f (1)=2-1+a ≥0,f (3)=18-3+a ≥0,得,原不等式可变形为a ≥xy -2y 2x 2=‒2(y x )2+y x =‒2(y x -14)2+18,当Ω={(x ,y )|1≤x ≤2,2≤y ≤3}时,1≤≤3,a ∈[-1,+∞).y x 当y x =1时,(xy -2y 2x 2)max =‒1,所以★8.某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1 000个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ,已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量,且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式;(2)为使日利润有所增加,求x 的取值范围.根据日利润=(出厂价-成本)×日销售量列出y 与x 的关系式;(2)日利润有所增加的含义是增加成本后的日利润大于没有增加成本时的日利润,转化为解一元二次不等式.由题意,得y=[60×(1+0.5x )-40×(1+x )]×1 000×(1+0.8x )=2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加,则{y >(60-40)×1 000,0<x <1,0<x 即{-4x 2+3x >0,0<x <1,解得<34.所以为保证日利润有所增加,x 的取值范围是(0,34).。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 2.1 一元二次不等式的解法 第2课时
第2课时 含参数的一元二次不等式及恒成立问题课时过关·能力提升1.如果关于x 的不等式5x 2-a ≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是( )A.[80,125)B.(80,125)C.(-∞,80)D.(125,+∞)a>0,解不等式5x 2-a ≤0,可≤x ≤得‒a 5a 5.又不等式的正整数解为1,2,3,4,则4≤80≤a<125.a 5<5,解得2.关于x 的不等式ax 2+2x-1≥0的解集为空集,则实数a 的取值范围为( )A.⌀B.{a|a<-1}C.{a|a=0或a ≥1}D.{a|a=0或a ≤-1}a=0时,2x-1≥0,即x ≥;当a ≠0时,因为关于x 的不等式ax 2+2x-1≥0的解集为空12,不符合题意集,即所对应方程ax 2+2x-1=0无实根,且a<0,所以Δ=4+4a<0,解得a<-1,故实数a 的取值范围是{a|a<-1}.3.若使不等式x 2-4x+3<0和x 2-6x+8<0同时成立的x 的值,使得关于x 的不等式2x 2-9x+a<0也成立,则( )A.a>9B.a<9C.a ≤9D.0<a ≤9x 2-4x+3<0,解得1<x<3;由x 2-6x+8<0,解得2<x<4,因此使两个不等式同时成立的x 的取值范围为(2,3),则关于x 的不等式2x 2-9x+a<0对任意x ∈(2,3)也成立.令f (x )=2x 2-9x+a ,该函数图像的对称轴为直线x f (x )在区间[2,3]上的最大值为f (3),所以只=94,则函数需f (3)≤0,即18-27+a ≤0,解得a ≤9.4.若不等式(2-a )x 2-2(a-2)x+4>0对于一切实数x 都成立,则a 的取值范围是( )A.{a|-2<a<2}B.{a|-2<a ≤2}C.{a|a<-2}D.{a|a<-2或a ≥2}2-a=0,即a=2时,不等式为4>0,显然成立;当2-a ≠0时,需2-a>0,且Δ=4(a-2)2-4×4×(2-a )<0,解得-2<a<2.综上所述,a 的取值范围是{a|-2<a ≤2}.5.关于x 的不等式x 2-ax-12a 2<0(a<0)的解集是( )A.(-3a ,4a )B.(4a ,-3a )C.(-3,4)D.(2a ,6a )2-ax-12a 2=(x-4a )(x+3a )<0.∵a<0,∴4a<0,-3a>0.∴4a<x<-3a.故原不等式的解集是(4a ,-3a ).6.在R 上定义运≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值算|a b c d |=ad ‒bc ,若不等式|x -1 a -2a +1 x |为 .≥1可化为x 2-x-(a 2-a-2)≥1,式|x -1 a -2a +1 x |∴x 2-x+1≥a 2-a 对任意实数x 成立.∵x 2-x+1=(x -12)2+34≥34,∴a 2-a ≤≤a ≤34,解得‒1232.故实数a 的最大值为32.7.若关于x 的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(b-2a )x-2b>0的解集为 .-∞,-1)∪(2,+∞)8.设A 为关于x 的不等式ax (x-1)≥1的解集,若2∉A ,3∈A ,则实数a 的取值范围为 .f (x )=ax (x-1),所以{f (2)<1,f (3)≥1,即{2a (2-1)<1,3a (3-1)≥1,解≤a 得16<12,则实数a 的取值范围为[16,12).[16,12)9.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 .函数f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,∴f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,∴原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .解得x>5或-5<x<0.故应填(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞)10.已知函数f (x )≤3,则a 的取值范围是 .={x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0,若f (a ),当a ≥0时,a 2+2a ≤3,解得-3≤a ≤1.又a ≥0,∴0≤a ≤1.当a<0时,-a 2+2a ≤3,即a 2-2a+3≥0,此时不等式恒成立,∴a<0.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1].-∞,1]★11.已知关于x 的不等式(a 2-4)x 2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,求实数a 的取值范围.a 2-4=0和a 2-4≠0两种情况讨论.当a 2-4≠0时,结合二次函数的图像进行求解.a 2-4=0时,a=±2.当a=-2时,解集为⌀,符合题意;当a=2时,解集.为{x |x ≥14},不符合题意当a 2-4≠0时,要使解集为⌀,则-2<a 有{a 2-4<0,Δ<0,解得<65.综上所述,a 的取值范围是[-2,65).★12.解关于x 的不等式.(1)x 2+ax+1>0(a ∈R );(2)ax 2+x+1>0(a ∈R ).对于方程x 2+ax+1=0,Δ=a 2-4.①当Δ≥0,即a ≥2或a ≤-2时,不等式的解集为{x |x >-a +a 2-42或x <-a -a 2-42}.②当Δ<0,即-2<a<2时,不等式的解集为R .综上所述,当a ≥2或a ≤-2时,不等式的解集-2<a<2时,不等为{x |x >-a +a 2-42或x <-a -a 2-42};当式的解集为R .(2)①当a=0时,不等式为x+1>0,所以不等式的解集为{x|x>-1}.②当a ≠0时,对于方程ax 2+x+1=0,Δ=1-4a.当Δ=1-4a<0,即a ,不等式的解集为R .>14时当Δ=1-4a ≥0,即a ≤,14时a.若0<a ≤14,则不等式的解集为{x |x >-1+1-4a 2a 或x <-1-1-4a 2a };b.若a<0,则不等式的解集为{x |-1+1-4a 2a <x <-1-1-4a 2a }.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x>-1};当0<a ≤,不等式的解集为14时{x |x >-1+1-4a 2a 或x <-1-1-4a 2a};当a ,不等式的解集为R ;>14时当a<0时,不等式的解集为{x |-1+1-4a 2a <x <-1-1-4a 2a }.。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第1章 2.2 等差数列的前n项和 第1课时
解得 n=7 或 n=-20(舍去).
故甲、乙开始运动 7 min 后第一次相遇.
(2)设 m min 后第二次相遇,依题意有
+ ������(������ - 1) + 5������ = 3 × 70,
2m
2
整理得 m2+13m-420=0.
解得 m=15 或 m=-28(舍去).
(2)由
Sn=na1
+
������(������ 2
1)������以及 a1=12,d=2,Sn=242,得
242=12n
+
������(������ 2
1)
×
2,
即 n2+11n-242=0,
解得 n=11 或 n=-22.
∵n∈N+,∴n=11.
★12.甲、乙两动物分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟爬 2 m,以后每分钟比前 1 分 钟多爬 1 m,乙每分钟爬 5 m.
C.66
D.132
解析:设等差数列{an}的公差为
d,则由
a9
=
12������12
+
6,得 a1+8d
=
12(������1
+
11������)
+
6,整理得 a1+5d=12,即
a6=12,
所以
S11
=
11(������1 + 2
������11)
=
11������6
=
11
×
12
=
132.
答案:D
∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,∴a2=3.
2018-2019数学新学案同步必修五北师大版讲义：第三章 不等式第4节 4.3 Word版含答案
4.3简单线性规划的应用学习目标 1.体会用线性规划的方法解决实际问题的过程.2.了解整数点最优解的求法．知识点一线性规划在实际中的应用思考某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，应怎样安排生产．在这一问题中，种植成本和种植总利润与哪些变量有关？如何用这些变量表示种植成本和总利润？答案种植成本和总利润都与黄瓜、韭菜各自的种植面积有关．设黄瓜、韭菜各种x，y亩，则种植成本＝1.2x＋0.9y，总利润＝4×0.55x＋6×0.3y－(1.2x＋0.9y)．梳理解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．知识点二整数点最优解思考在下面的问题中：某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，设A，B两种用品各买的件数为x，y.(1)x，y能取1.5，1.3之类的小数吗？(2)该问题的可行域是连续的区域吗？答案(1)不能．(2)不是．可行域是由整数点组成．梳理(1)在实际问题中，有些变量如人数、车辆数等必须取整数．在这样的线性规划问题中，可行域、最优解都会受到影响．(2)寻找整点最优解的三种方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．1．在从实际问题中抽象出约束条件、目标函数时，设谁为x，y都没关系．(×)2．在约束条件中，有没有“x∈N，y∈N”，最优解都一样．(×)类型一连续型变量的实际线性规划例1营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07考点实际生活中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一组平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小． 由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时， 截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47kg.反思与感悟 在把实际问题抽象成线性规划时，要注意找到决策变量，并用决策变量表示每一个约束条件和目标函数．跟踪训练1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.货物 体积 (m 3/箱) 重量 (50 kg/箱)利润 (百元/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制2413考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 4，1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4，1)．易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润． 类型二 离散型变量的线性规划问题例2 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题题点 线性规划中的整点问题解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为z 百元，则z ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤12，x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N .作出可行域，如图阴影部分中的整点，由图可得O (0，0)，A (0，3)，B (2，3)，C ⎝⎛⎭⎫72，32，D (4，0)．平移直线y ＝－2x ＋z ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3，2)或(4，0)时，z 有最大值． 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大． 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．跟踪训练2 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数为z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤32x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．即有7种选购方式．2．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛胚，则钢材的最大利用率为________．考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 99.65%解析 设截518 mm 和698 mm 的两种毛胚分别为x 个、y 个(x ，y ∈N ＋)． 由题意知，即求z ＝518x ＋698y 的最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧0<518x <4 000，0<698y <4 000，x ，y ∈N ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤7，1≤y ≤5，x ，y ∈N ＋.又由z ≤4 000，得当x ＝5，y ＝2时，z max ＝518×5＋698×2＝3 986.故利用率为3 9864 000×100%＝99.65%.3．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300.1．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调．一、选择题1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N .求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z 有最小值，且z min ＝2 200(元)．2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1千克，b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2千克、b 2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1元、d 2元．月初一次性购进本月所用原料A ，B 各c 1千克、c 2千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 C3．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N .画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点N (5，12)处取得最小值36 800，故选C.4．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．7件，3件 B ．9件，2件 C ．4件，5件D ．2件，6件考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 D解析 设甲、乙各买x ，y 件，总利润为z 元． 则目标函数为z ＝x ＋1.8y ， 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x ＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝⎛⎭⎫0，507时，z 取得最大值． 又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解，点(0，7)，(2，6)，(9，2)都在可行域内， 逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.5．配制A ，B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A ，B 两种药至少各配一剂，共有配制方法( )A ．6种B ．7种C ．8种D ．9种 考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 C解析 设A ，B 两种药分别配x 剂、y 剂(x ，y ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，不等式组的解集是以直线x ＝1，y ＝1，3x ＋5y ＝20及5x ＋4y ＝25为边界所围成的区域， 这个区域内的整点为点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)． 所以，在A ，B 两种药至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元 考点 题点 答案 C解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，由图可知直线9x ＋7y ＝0经过点A 时，z 取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7，5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值， z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 二、填空题7．王老师预算用80元购买菊花和康乃馨两种鲜花，菊花每枝5元，康乃馨每枝9元，设菊花购x 枝，康乃馨购y 枝，则购花的约束条件是________． 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋9y ≤80，x ∈N ，y ∈N8．某同学拿50元买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________． 考点 线性规划中的整点问题题点 线性规划中的整点问题 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，3x ＋4y ≤25解析 若买票面1.2元的x 套，需要(1.2×5x )元； 若买票面2元的y 套，需要(2×4y )元． 注意到x ，y ∈N ，根据题意，x ，y 应满足的条件为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，3x ＋4y ≤25.9．某实验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 500解析 设购买化工原料需花费z 元， 设需第一种原料x 袋，第二种原料y 袋，则有⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ，y ∈N ，画出可行域(图略)，目标函数为z ＝140x ＋120y ，将其变形为 y ＝－76x ＋z 120，当直线y ＝－76x ＋z120过点(1，3)时，z min ＝500.10．某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 116解析 设租大船x 只，小船y 只(x ，y ∈N )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，5x ＋3y ≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图所示．由图可知，当直线z ＝12x ＋8y 经过点(9.6，0)时， z 取最小值，但x ，y ∈N .∴当x ＝9，y ＝1时，z min ＝116. 三、解答题11．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A ，B 两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A ，B 两种规格的小袋大米的袋数如表所示：规格类型 袋装大米类型A B 甲 2 1 乙13已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A ，B 两种规格的成品数分别为15袋和27袋．问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A ，B 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x ，y ，所用的袋装大米的总袋数为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，作出可行域D 如图阴影部分(含边界)所示．从图中可知，可行域D 的所有整数点为(3，9)，(3，10)，(4，8)，(4，9)，(4，10)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，共8个点．因为目标函数为z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3，9)和(4，8)，它们都是最优解．所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3，9或4，8可使所用的袋装大米的袋数最少． 12．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需A 型，B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据.A 型车B 型车 限量 车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用320x504yz由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5，0)时，z 最小，但A (7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8，0)是最优解．这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低．所以公司每天调出A 型卡车8辆时，成本花费最低．13．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，经调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金 每台产品所需资金(百元) 月资金供应量(百元) 空调机 洗衣机 成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 每台产品利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，可得线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤30，x ＋2y ≤22，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数为z ＝6x ＋8y ，作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示，目标函数z ＝6x ＋8y ， 将它变形为y ＝－34x ＋z 8，这是斜率为－34、随z 变化的一族平行直线，z8是直线在y 轴上的截距， 当z8取最大值时，z 的值最大， 当然直线要与可行域相交，由图可得，当直线经过可行域上的点M 时，截距z8最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝30，x ＋2y ＝22，得M 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9.∴z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)答 当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9 600元． 四、探究与拓展14．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 考点 题点 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．点M (15，55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图像知z 在点M (15，55)处取得最大值．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)由题意知约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域如图中阴影部分所示(整点)，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50，50)， 所以W max ＝550元．所以每天生产的卫兵个数为50，骑兵个数为50，伞兵个数为0时利润最大，最大利润为550元．。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 4.1 二元一次不等式(组)与
4。
1二元一次不等式（组)与平面区域课时过关·能力提升1.不在不等式3x+2y〈6表示的平面区域内的一个点是(）A.(0,0）B。
（1，1）C。
（0,2) D。
(2，0）3x+2y<6中,若不等式成立，则该点在不等式3x+2y<6表示的平面区域内;反之，则不在.由计算知点（2,0)不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内.2.若点(a,b）在直线x—2y-3=0的右下方,则下列不等式成立的是(）A。
a—2b-3〉0 B.a-2b-3<0C.a-2b—3=0 D。
a—2b-3≤0x—2y—3=0，由于点（0，0)在该直线的左上方,故x=0，y=0是不等式x-2y-3<0的一个解.因为点(a，b）在直线x-2y—3=0的右下方，所以a-2b-3〉0。
3.下列各点中,与点(1,2）位于直线x+y—1=0的同一侧的是(）A。
(0，0) B.(-1，1）C。
（-1,3) D.(2，—3）1,2)使x+y-1>0,点(—1，3)使x+y—1〉0，所以这两点位于直线x+y-1=0的同一侧.4.在平面直角坐标系中，不等式x2—y2〉0表示的平面区域是()A B C D于{x+y>0,x-y>0或{x+y<0,x-y<0,故选B。
5.在平面直角坐标系中,若不等式组{x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.—5 B。
1 C.2 D。
3ax-y+1=0恒过定点(0，1）,如图所示,阴影部分即△MNP是不等式组表示的平面区域,则M(1，0)，N(1,a+1）,P(0，1),故|MN｜=|a+1|，点P到MN的距离为1，则△MNP的面积为12×1×(a+1)=2,解得a=3.6。
若点(a，1）在直线x—2y+4=0的右下方，则a的取值范围是。
(a,1）在直线x—2y+4=0的右下方,则a—2+4>0,解得a>—2.—2,+∞）★7.已知点A(1，-1)，B(3，0），C(2,1）。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第3章 3.1 基本不等式
分析由 a>b>1,根据对数函数的单调性有 lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子 的大小.
解∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,
∴
������������������·������������������
<
������������������
+ 2
������������������,即P<Q.
答案:C
3.若 x>0,y>0,则 A=( ������)������ + ������与������ = ������ ������������的大小关系是( )
A.A>B
B.A≥B
C.A<B
D.A≤B
解析:∵x>0,y>0,
∴
������
+ 2
������
≥
������������.
������ + ������
+
1 ������
≥4;
③a2+9>6a;
④a2+1
+
������2
1 +
1
>
2.
其中恒成立的有 .(填序号)
解析:∵a
+
1 ������
≥
2
������·���1���
=
2,������
+
1 ������
≥
2
������·1������ = 2,
( )( ) ∴
������
+
1 ������
同理
������
2020北师大版高中数学必修5：第3章 本章整合
-
������ 2������
<
������,
特别地,当
k=0
时,
-
������ 2������
<
0,
是方程
f(x)=0
有两个不相等
������(������) > 0.
������(0) > 0
负根的充要条件.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(3)方程f(x)=0的一个根大于k,另一个根小于k的充要条件是f(k)<0.
且一次项系数 x2-x+1= ������- 1 2 + 3 > 0,
2
4
故g(m)在[-2,2]上是增加的.
因为f(x)<0恒成立,
所以g(m)max=g(2)=2(x2-x+1)-6<0, 解得x的取值范围为(-1,2).
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)解法一:因为 f(x)=������
提示:先将a分离出来,再通过函数最值来求a的取值范围.
解:依题意知当x∈(-∞,1]时,1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a>0恒成立
(n∈N+且n≥2),
∴a>-
1 ������
������
+
2 ������
������
+…+
������-1 ������
������
=g(x),
当 x∈(-∞,1]时恒成立.
特别地,当k=0时,f(0)<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件.
2019-2020学年高中数学北师大版必修5课时作业：第3章 不等式 19 Word版含答案.doc
§19 不等关系时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小顺序是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A. A ≤B B. A ≥B C. A <B 或A >B D. A >B3．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A. －π<α－β<0B. －π<α－β<πC. －3π2<α－β<π2D. 0<α－β<π4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b2%；再降a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a ＞b ，b ＞0，a ≠b ， 上述方案中，降价幅度最小的是( ) A ．方案(1) B ．方案(2) C ．方案(3) D ．方案(4)5．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0 6．若0<a <b <12，则( )A ．2ab>2aB ．2ab>2bC ．log 2(ab )>－1D ．log 2(ab )<－2 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ；⑤b ＜a 且ab ＞0；⑥a ＜b 且ab ＜0，其中能使1a ＜1b成立的是________．8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 9．用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：ea －c >eb －d.11.若a、b、c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a、b、c三个实数的大小．已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 2y ≤3，求lg x 33y的取值范围．一、选择题 1．C2．B A －B ＝a 2＋3ab －4ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab ＝a 2－ab ＋14b 2－34b 2＝(a －b )2＋34b 2≥0.∴A ≥B .3．A ∵－π2<α<π2，又－π2<－β<π2，且α<β，∴－π<α－β<0.4．D 设降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4.则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－a %)(1－b %)．∴x 1＝x 2否定A 、B.x 3＝(1－a ＋b2%)2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2＞0.5．C ∵ac ＜0，c ＜b ＜a ，∴a ＞0，c ＜0. 当b ＝0时，cb 2＝0，ab 2＝0，故C 不一定成立． 6．D 由条件可得0<ab <14，故log 2(ab )<－2.二、填空题 7．①②④⑤⑥解析：因为1a ＜1b ⇔b －aab＜0⇔b －a 与ab 异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都满足条件．8．[－1,6]解析：∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 9．＜ ≥解析：(1)(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6＜0，所以，(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45；(2)a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以，a 2＋b 2≥2(a －b －1)．三、解答题10．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴0<1a －c <1b －d.又∵e <0，∴ea －c >eb －d.11．b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0. 所以b ≥c . 由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4.解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1. 所以c －a ＝a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0所以c ＞a ，故b ≥c ＞a .12．∵⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg xy≤2，2≤lg x2y≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤2lg x －12lg y ≤3.令lgx 33y＝m (lg x －lg y )＋n (2lg x －12lg y )，即3lg x －13lg y ＝(m ＋2n )lg x ＋(－m －n2)lg y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝3，－m －n 2＝－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－59，n ＝169.∴3lg x －13lg y ＝－59(lg x －lg y )＋169(2lg x －12lg y )．又－109≤－59(lg x －lg y )≤－59，329≤169(2lg x －12lg y )≤163. ∴229≤3lg x －13lg y ≤439.故229≤lg x 33y≤439.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修5课时作业：第3章 不等式 20 Word版含答案.doc
§20 一元二次不等式时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．不等式x 2－2x －3>0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－1} B ．{x |x >1或x <－3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}2．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2＞0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2＜0 D ．－2＋3x －2x 2＞03．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( ) A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7} B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7} C ．{x |x ≤－2或x ＞3} D ．{x |x ＜－2或x ≥3}4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A. m <－2或m >2 B. －2<m <2 C. m ≠±2 D. 1<m <35．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A. {x |1t<x <t }B. {x |x >1t 或x <t }C. {x |x <1t或x >t } D. {x |t <x <1t}6．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2、3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．不等式x 2－x －2<0的解集是________．8．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1＜0}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则M ∩N ＝________. 9．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．设A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }，B ＝{x |x ≥a }，且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11.(1)求函数y＝－6x2－5x＋6的定义域．(2)若函数f(x)＝－4x2＋20x－23的定义域由不等式－x2－x＋12≥0的解集来确定，求函数f(x)的最大值和最小值．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围．(2)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜－m＋5恒成立，求x的取值范围．一、选择题 1．A2．D A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x ＞－2＋22或x ＜－2－22}，用排除法得选D.3．A M ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x ＜－2或x ＞3}，再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案．4．A ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2. 5．A ∵t >2，∴t >1t，∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0⇔1t<x <t .6．C 由已知得a (x ＋2)(x －3)>0，∵a <0，∴(x ＋2)(x －3)<0，∴－2<x <3. 二、填空题 7．{x |－1＜x ＜2}解析：原不等式可以变化为(x ＋1)(x －2)＜0，可知方程x 2－x －2＝0的解为－1和2，所以，原不等式解集为：{x |－1＜x ＜2}． 8．{x |－1＜x ＜4且x ≠13}解析：由－9x 2＋6x －1＜0，得9x 2－6x ＋1＞0.所以(3x －1)2＞0，解得x ≠13，即M ＝{x |x ∈R 且x ≠13}．由x 2－3x －4＜0，得(x －4)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜4，即N ＝{x |－1＜x ＜4}．所以M ∩N ＝{x |－1＜x ＜4且x ≠13}．9．－5解析：由题意知方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3，∴由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－1＋3＝b5，x 1·x 2＝(－1)·3＝c5.∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.三、解答题10．∵A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }＝{1,2,3，…，19}，A ∩B ＝∅，所以a >19，a 的取值范围是a >19.11．(1)[－32，23]；(2)由－x 2－x ＋12≥0⇒－4≤x ≤3，而函数f (x )＝－4(x 2－5x )－23＝－4[(x －52)2－254]－23＝－4(x －52)2＋2，∴当x ＝52时，f (x )max ＝2，当x ＝－4时，f (x )min ＝－167.12．(1)要求mx 2－mx －1＜0恒成立．当m ＝0时，显然恒成立；当m ≠0时，应有m ＜0，△＝m 2＋4m ＜0，解之得－4＜m ＜0.综合两种情况可得m 的取值范围为－4＜m ≤0.(2)将f (x )＜－m ＋5变换成关于m 的不等式：m (x 2－x ＋1)－6＜0.则命题等价于：m ∈[－2,2]时，g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立．∵x 2－x ＋1＞0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增．∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.这就是所求的x 的取值范围．。
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4.3简单线性规划的应用
课时过关·能力提升
1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3 t、B原料2 t;生产每吨乙产品要用A原料1 t、B原料3 t.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13 t,B原料不超过18 t,那么该企业可获得的最大利润是()
A.12万元
B.20万元
C.25万元
D.27万元
x t,y t,获得利润为z万元,由题意
z=5x+3y.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l0:5x+3y=0,当平移l0至点M时,z取得最大值.
=27.故选D.
由得M(3,4),故z max=5×3+3×4
2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安
排,通过调查,有关数据如下表:
若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是() A.480万元 B.960万元
C.570万元
D.1 080万元
A产品x件,B产品y件,预计收益z=80x+60y.
作 域,如图阴影部分中的整 点.
作 直线l0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过点M时,z取最大值,
由得M(9,4).
所以z max=80×9+60×4=960(万元).
故搭载A产品9件,B产品4件, 使得总预计收益最大,为960万元.
3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50公顷,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:公顷)分别为()
A.50,0
B.30,20
C.20,30
D.0,50
x 公顷,y 公顷, 总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.
此时x ,y 满足条件
作 域如图阴影部分所示,得最优解为
A (30,20).故选
B .
4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资
的
对每个项目的投资不 于 万元 对项目甲每投资 万元可获得 万元的利润 对项目乙每A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元
D.24万元
x 万元、y 万元,利润为z ,
当x=24,y=36时,z max =31.2万元. 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h,可加工出7 kg A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时
6 h,可加工出4 kg B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天 完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意
甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y. 作 域如图阴影部分中的整 点.
点M (15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像 ,在点M (15,55)处z 取得最大值. 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
x t,y
t,由题意 ,x ,y 需满足约束条
件 每天 获得利润z=3x+4y.
由约束条件画 域,如图所示,l 0:y=
平移l 0过点C ,使z 取得最大值.
由得C(2,3),
故z max=6+12=18(万元).
7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15 t.已知生产甲产品1 t需煤9 t,电力4 kW·h,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1 t需煤4 t,电力5 kW·h,劳动力10个.甲产品每吨价格是7万元,乙产品每吨价格是12万元.但每天用煤量不得超过300 t,电力不得超过200 kW·h,劳动力只有300个,当每天生产甲产品 t,乙产品
t时,既 保证完成生产任务,又 使工厂每天的利润最大.
x t,乙产品y t,总利润为S万元,依题意约束条件
为
为S=7x+12y,作 域如图阴影部分所示,当直线S=7x+12y经过点A时,直线的纵截距最大,所以S也取最大值.
解方程组-
-
得A(20,24),
故当x=20,y=24时,S max=7×20+12
×24=428(万元).
24
★8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A,B两种设备 加工,在每台A,B设备 加工一件甲产品所需工时分别为1
h,2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h,1 h,A,B两种设备每月有效使用时数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大?
x件,y件,约束条件
z=3x+2y,要求 适当的x,y,使z=3x+2y取得最大值.
作 域如图阴影部分中的整 点.
由图 ,当直线过点A时,
z取得最大值,
由得
所以z max=3x+2y=3×200+2×100=800(千元),
800千元=80万元.
故甲、乙两种产品每月分别生产200件、100件时, 得最大收入80万元.
★9.某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,已知生产1 t A产品、1 t B产品分别需
要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示:
在现有原料下,A,B产品应各生产多少才 使利润总额最大?
A,B两种产品分别为x t,y t,其利润总额为z万元.
根据题意,得约束条件为
z=4x+3y.
作 域如图阴影部分所示.
作直线l0:4x+3y=0,平移直线l0经过点P时,z=4x+3y取得最大值.由
得
所以z max=4万元).
故生产A产品2.5 t,B产品1 t时,总利润最大为13万元.。