郄高升 磁场下两比特XXZ链的热纠缠1

山西师范大学本科毕业论文磁场下两比特XXZ链的热纠缠姓名郄高升院系物理与信息工程学院专业物理系班级 0803班学号 0852010303指导教师苏晓强答辩日期成绩磁场下两比特XXZ链的热纠缠内容摘要量子纠缠作为一种重要的量子资源，它现代量子技术中扮演着非常重要的角色。

大量的量子通信和量子计算方案都是建立在量子纠缠的基础上的。

量子纠缠是量子体系特有的性质，显示了量子世界的特性---非定域性。

20世纪80年代以来，对Bell不等式大量的实验验证，其结果都证明了这种非定域性的存在。

本文研究了外磁场下的XXZ自旋链在温度为T的热平衡态下的量子纠缠。

研究了热纠缠随模型参数如外磁场的变化而变化的性质。

【关键词】量子纠缠量子通信量子计算热纠缠Two bit under magnetic fields heat of XXZ chainentanglementAbstractAs the important quantum resources, the quantum entanglement are playing a crucial role in the modern quantum technique. Many quantum communication and quantum computation schemes are base on the quantum entanglement. Quantum entanglement also show the nonlocality of the quantum world. The experiment of the Bell inequality since the 1980s have demonstrated the the existence of this non-locality. In this paper.we studies the entanglement of the XXZ spin chain in a thermal equilibrium with the temperature T. Study the thermal entanglement with the different model parameters such as the external magnetic field.【Keywords】Quantum entanglement quantum communicationquantum computing thermal entanglement目录引言 (4)一、相关概念 (4)（一）自旋 (2)（二)哈密顿量 (5)(三）密度矩阵 (5)（四）热纠缠 (2)二、纠缠的计算 (5)（一）体系的本征值和本征态的计算 (5)（二）利用Negativity计算 (6)三、作图及结论 (7)参考文献 (9)致谢 (10)磁场下两比特XXZ 链的热纠缠学生姓名：郄高升 指导老师：苏晓强 引言科学技术的飞速发展，使得现代物理学的理论越来越多的应用于社会实践。

近年来，量子力学理论在信息科学领域的应用诞生了一门新兴的交叉学科---量子通讯与量子计算，现以成为物理学研究的热点。

在量子信息科学中，量子体系间的纠缠是一种基础性的物理资源，并占有越来越重要的地位。

我们知道，当两个粒子处于量子纠缠中，它们之间会存在一种联系，而这种联系不会因为他们之间的距离而改变。

但是这种联系是我们用经典观念无法解释的。

也正是这种特殊的我们无法用经典观念解释的关联在量子纠缠中扮演者重要的角色，这也是量子计算机的基础。

量子纠缠是一种量子体系所具有的独特现象，反映了量子系统的本质，量子力学理论自身的发展也要求我们对量子纠缠现象进行系统的研究。

但是目前为止，量子纠缠的研究还处在非常初级的阶段，量子纠缠的定量化还面临很多的困难，这都是未来该领域研究的方向。

即便如此，量子纠缠已然展示出巨大的前景，经过无数科学家的研究量子纠缠已经应用于现在的各个领域。

一、相关概念（一）自旋自旋是微观粒子的一个内禀自由度，对于自旋1/2的粒子，其自旋沿任意方向的分量有两个本征值，相应的态矢可表示为矩阵：↑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01，↓=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10 如果是两个自旋1/2的粒子组成的系统，两个自旋各有两个自旋态即地位↑、↓，共四种可能性：()()()()2121↑⊗↑≡↑↑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯010011=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001()()21↓↑≡()1↑⊗()2↓=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯100101=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010 ()()()()2121↑⊗↓≡↑↓=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯011010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100()()()()2121↓⊗↓≡↓↓=⎪⎪⎭⎫⎝⎛10⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯101100=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000 （二)哈密顿量自旋链是海森堡为了解释物质的磁性而引入的物理模型，我们考虑一维的XXZ 自旋链模型进行问题的说明，假设由N 个1/2自旋组成的各向异性XXZ 链处于沿z 方向的外磁场中，其哈密顿量可以表示为：()∑∑==++++∆++=Ni z iNi z i z i y i y i x i x i B J H 11111ˆσσσσσσσ式中的x i σ，x i 1+σ，y i σ，y i 1+σ，z i σ，z i 1+σ就是我们常用到的Pauli 矩阵，J 表示在自旋链上最近邻的两个自旋间的耦合系数，∆为各向异性参数，B 为磁感应强度。

(三）密度矩阵为了描述自旋链的热平衡态，我们采用密度矩阵来表示量子态。

下面先来介绍密度矩阵的概念，引入密度算符ρ=i i ii ψP ψ∑ （∑i p =1）。

密度算符在一个具体表象中的矩阵就称为密度矩阵，例如F 表象（以F ˆ本征态n 为基失的表象，Fˆ=n n F n ，假如n F 分立），那么ρ可以表示成矩阵的形式 =)(t nm ρm t t n )()(ψψ=)(t a n )(*t a m ，式中)(t a n =)(t n ψ，也就是)(t ψ=∑n)(t a n n 在F 表象中的表示方式。

)(t nm ρ叫密度矩阵。

（四）热纠缠处在热平衡态的量子系统，它的状态可以用密度矩阵表示为：T ρ=H r He T e ββ--其中T 为系统的温度，H 为哈密顿量，β=KT1是玻尔兹曼常数，在下面的计算中我们假设 =1,K=1。

有了热态的密度矩阵，我们就可以从密度矩阵出发计算系统的纠缠，分析不同热平衡态下的纠缠程度，并进行比较。

然而定义纠缠度比较复杂，这里我们采用的是一种比较常用的纠缠度量----负性纠缠度（Negativity)。

其定义为系统部分转置矩阵的负本征值的绝对值之和，即：)(ρN =||∑ii μ式中i μ是部分转置矩阵TTρ的所有负本征值。

二、纠缠的计算（一）体系的本征值和本征态XXZ 模型的哈密顿量为：()∑∑+∆++=z i z j z i y j y i x j x i BS S S S S S S J H Pauli 算符为xσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110 ； yσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00i i ； z σ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 （令 =1）所以x 1σ⊗x2σ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000y 1σ⊗y 2σ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00i i ⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00i i =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0001001001001000 z 1σ⊗z 2σ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000010000100001 因此我们可以求出体系的Hˆ为 Hˆ=J ∑（z i z iy i y ix i x i111+++∆++σσσσσσ）+∑iz i BS =J 0000000200002000000200200000020000000000002B B ⎡∆⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-∆⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-∆⎢⎥⎪ ⎪ ⎪∆-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=J 20000200200002B B ∆+⎛⎫ ⎪-∆ ⎪ ⎪-∆ ⎪∆-⎝⎭由H ˆψ=ψλ得 J 20000200200002B B ∆+⎛⎫ ⎪-∆ ⎪ ⎪-∆ ⎪∆-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cba =λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a 解久期方程|H-EI|=0, 即|H-EI|=2000020200002B Bλλλλ∆-+-∆--∆-∆--=0 解得λ=∆+2B 或λ=∆-2B 或λ=2-∆或λ=-2-∆λ=∆+2B 时，J 000002220022200002B B B ⎛⎫ ⎪-∆- ⎪ ⎪-∆- ⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a =0 并进行归一化得1ψ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001λ=∆-2B 时，J 40000-220022200002BB B B ⎛⎫ ⎪∆+ ⎪ ⎪-∆+ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a =0 并进行归一化得2ψ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010λ=2-∆时02-200002-20022-00002-2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆d cb a J 3ψ=21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110λ=-2-∆时，J ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆+∆220000220022000022⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a =0并进行归一化得4ψ=21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110利用本征矢可以求得H e β-为：H e β-=22000220cosh sinh 0220sinh cosh 0000J BJ T T J J T T J J T T J BJ T T e e J J e e T T J J e e T T e e ∆--∆∆∆∆∆-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 因此根据T ρ=Hr He T e ββ--可得此时的热态的密度矩阵T ρ：T ρ=1222cosh cosh J J T T BJ J e e T T ∆∆-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦22000220cosh sinh 0220sinh cosh 0000J BJT TJ J T T J J T T BJT e eJ J e e T T J J e e T T e ∆--∆∆∆∆⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（二）利用Negativity 计算 将T ρ部分转置得T T ρ=1222cosh cosh J J T T BJ J e e T T ∆∆-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦22200sinh20cosh 00200cosh 02sinh 0J BJJ T T TJ TJ TJ J BJT T T J e e eT J eTJ eTJ e e e T∆∆--∆∆∆∆-⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 求得T T ρ其本征值为1E =2E =2cosh222coshcoshJ TJ J TTJ eTBJJ e e TT ∆∆∆-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦>04E =22444422114sinh 224cosh cosh BJJ BJ BJ BJ JTT T T T J J T T J e e e e e e T BJ J e e T T ∆∆--∆∆∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤+⎢⎥⎣⎦>0 3E = 22444422114sinh 224cosh cosh BJ J BJ BJ BJ JT T T T T J J T T J e e e e e e T BJ J e e T T ∆∆--∆∆∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 显然1E =2E >0,4E >0,只有3E 可能为负值，所以利用负性纠缠度量可以得到系统的热纠缠为)(T N ρ=Max{0,22444422114sinh 224cosh cosh BJ J BJ BJ BJ JTT T T T J J T T J eee e e e T BJ J e e T T ∆∆--∆∆∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦}三、作图及结论运用Mathematic 软件，我们画出了不同外磁场B=0.2，B=0.4和B=0.8下热纠缠随温度变化的曲线，而相应的各向异性参数均为0.5∆=，如下图所示：可以看到热纠缠随着温度的升高而不断降低，在某一个临界温度下会降为零。