湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二理科实验班上学期第四次月考数学试题 Word版答案
湖南省衡阳八中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)(实验班) Word版含解析
2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）R一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．b1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）cA．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞01B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0JC．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0wD．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0J2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）wA．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]o3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）2A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）fA．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x75．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）gA．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]m6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）WA．B．C．D．27．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）8A．B．2 C．D．3e8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）AA．B．C．D．/9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）AA．24 B．20 C．16 D．12=10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）=A．4 B．3 C．2 D．111．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假，则实数m的取值范围是．14．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是（填上所有正确的序号）．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【考点】四种间的逆否关系．【分析】直接利用逆否的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否的定义可知：当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】四种的真假关系．【分析】据复合的真假与简单真假的关系，得到p，q全真；p真即不等式恒成立转化成求最值，q真即二次方程有根，△≥0【解答】解：∵“p∧q”为真，∴得p、q为真，若p为真则有a≤（x2）min=1；若q为真则有△=4a2﹣4（2﹣a）≥0．故得a≤﹣2或a=1．故选项为A3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，进而得到答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，若输出结果为2，则|x|=2，则x=2或x=﹣2，故选：C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C5．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选D．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D7．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．【解答】解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）①，得x2+x1=﹣②，且（，）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m ③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m ④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故选A．8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．【解答】解：=，即为3ccosA=acosC，即有3c•=a•，即有a2﹣c2=b2，又a2﹣c2=2b，则2b=b2，解得b=4．故选A．11．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ，可得a n +1﹣a n =1+n ，利用“累加求和”可得a n ，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ， ∴a n +1﹣a n =1+n ，∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =n +（n ﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A ．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x ∈R ，x 2+2mx +m ≤0”是假，则实数m 的取值范围是 （0，1） ． 【考点】的真假判断与应用．【分析】本题先利用原是假，则的否定是真，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论． 【解答】解：∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”，∴“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”． ∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”是假， ∴“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”是真．∴方程x 2+2mx +m=0的判别式：△=4m 2﹣4m ＜0． ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．14．双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为，所以AF 1与BF 1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF 1B是以AB 为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a 、b 、c 的等式，化简整理为关于离心率e 的方程，解之即得该双曲线的离心率．【解答】解：根据题意，得右焦点F 2的坐标为（c ，0）联解x=c 与，得A （c ，），B （c ，﹣）∵∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0解之得：e=（舍负）故答案为：15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是①④⑤（填上所有正确的序号）．【考点】的真假判断与应用；轨迹方程．【分析】利用平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），可得•=m，对选项进行分析，即可得出结论．【解答】解：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m （m≥4），∴•=m①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；③曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，故不正确；④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．积为2S△MNG故答案为：①④⑤．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数．（2）欲求事件“|m﹣n|＞10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|＞10”中包含的基本事件的个数m；最后算出事件A的概率，即P（A）=．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，m n506090100事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种∴．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求椭圆方程为．…（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得=0，再由点P（，）在椭圆上，联立可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出A，B中点坐标，得到M坐标，把M坐标代入椭圆方程，可得m与k的关系，把|OM|化为含有k的代数式，结合已知k的范围求得|OM|的取值范围．【解答】解：（1）A（0，b）．∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，∴=（c﹣，﹣）•（c，﹣b）=c（c﹣）+=0．把点P（，）代入椭圆C： +=1，得，解得a2=4，∴b2+c2=4，可得b2=4﹣c2，代入c（c﹣）+，解得c=，b=．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0．△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=32k2﹣8m2+16＞0，即4k2﹣m2+2＞0 ①．，∴=．∴AB中点G（），则M（），∵M在椭圆上，∴，整理得：．把代入①得，恒成立．∴|OM|====．∵|k|≤，∴1≤2k2+1≤2，则，∴|OM|的取值范围为．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）（i）确定，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，，令，所以…又点B在椭圆的第一象限上，所以，∴…∴，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为…（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为…所以原点O到直线MN的距离=，…所以直线MN始终与圆相切．…2016年10月18日。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期实验班第四次月考理综化学试题 Word版含解析
注意事项：1.本卷为衡阳八中高三实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共31题，满分300分，考试时间为150分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
第I卷选择题（每题6分，共126分）本卷共21题，每题6分。
其中物理部分为不定项选择题，全部选对得6分，部分选对得3分，错选，多选不得分。
化学部分和生物部分后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
9．下列说法正确的是A．往盛有500ml1mol/L的Na2CO3的溶液中滴加稀盐酸，可以观察到立即产生大量气泡。
B．100ml 0.5mol/L氯酸钾溶液中含有氯离子的物质的量是0.05mol。
C．在开放的环境中往含有Fe2+，Al3+，Mg2+，Na+的溶液中滴加NaOH溶液，最终可以得到4种沉淀。
D．H+，NO3-，Fe2+，Mg2+不能共存。
【答案】D考点：考查离子共存及离子反应10．FeCO3与砂糖混用可以作补血剂，实验室里制备FeCO3的流程如图所示．下列说法错误的是A．可利用KSCN溶液检验FeSO4溶液是否变质B．沉淀过程中有CO2气体放出C．过滤搡作的常用玻璃仪器有烧杯、漏斗和玻璃棒D．产品FeCO3在空气中高温分解可得到纯净的FeO【答案】D考点：考查过滤操作、铁的化合物的性质及检验11．已知CN﹣（氢氰酸根离子）SCN﹣（硫氰酸根离子）和Cl﹣有相似之处：两个﹣CN原子团或两个﹣SCN原子团可分别构成氰分子（CN）2和硫氰分子（SCN）2．（CN）2和（SCN）2的性质和Cl2有性质有相似之处，且常温常压下是气体，下列物质间反应的化学方程式错误的是A．二氧化锰和HSCN溶液加热反应：MnO2+4HSCN Mn（SCN）2+（SCN）2↑+2H2O B．（CN）2和氢氧化钾溶液反应：（CN）2+2KOH═KCN+KCNO+H2OC．碘晶体投入HCN溶液中：I2+2HCN═2HI+（CN）2D．（SCN）2和水反应：（SCN）2+H2O⇌HSCN+HSCNO【答案】C【解析】试题分析：A．由二氧化锰和浓盐酸的反应可知MnO2和HSCN反应的化学方程式为MnO2+4HSCN（浓）△Mn（SCN）2+（SCN）2↑+2H2O，A正确；B．由氯气与碱的反应可知（CN）2和氢氧化钾溶液反应为（CN）2+2KOH═KCN+KCNO+H2O，B正确；C．（CN）2和（SCN）2的性质和Cl2有性质有相似之处，碘的氧化性小于（CN）2，则碘晶体投入HCN溶液中不发生反应，C错误；D．由氯气与水的反应二者（SCN）2和水反应为（SCN）2+H2O HSCN+HSCNO，D正确；答案选C。
高二数学上学期第四次月考试题理科实验班
衡阳八中2016年下期高二年级第四次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题，命题，则命题是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．365.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于26.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣48.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )A. (6，＋∞)B. (5，＋∞)C.(4，＋∞)D. (3，＋∞)10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．||B．||C．D．11.已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60°C．45°D．30°第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.展开式中的常数项为 .14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19.（本题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值. 20.（本题满分12分）已知椭圆的左、右两个焦点，过其中两个端点的直线斜率为，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1. （1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.21.（本题满分12分）已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．22.（本题满分12分）已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程; （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案13.4014.①④15.16.[]17.（Ⅰ）∵对任意 x∈[﹣1，1]，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2即 p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．∵a=1，且存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1即命题q 为真时，m≤1（2分）∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p、q 一真一假当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，当a＞0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≥2，（6分）当a＜0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤﹣a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≤﹣2（8分）综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）18.（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），（4分），x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．（9分）所以，ξ的分布列为所以，（12分）19.（1）连接，交于点，连接，则平面，∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，（2分）又∵平面平面，平面平面，平面，，20.(1) ；（4分）(2)，（8分）.（12分）21.（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．（3分）当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（5分）（II）=，x ∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，（6分）∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得，（8分）又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，（10分）当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．（12分）22.∴直线的方程为，…………………………………………7分∴直线过定点。
湖南省衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、如图是导函数()y f x '=的图像，则下列命题错误的是 （ ） A ．导函数()y f x '=在1x x =处有极小值 B ．导函数()y f x '=在2x x =处有极大值 C ．函数3()y f x x x ==在处有极小值 D ．函数4()y f x x x ==在处有极小值3、已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 （ ） A ．(3,0)- B ．(4,0)- C ．(10,0)- D ．(5,0)-6、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2OB a = 2008OA a OC +，且A 、B 、C 三点共线（O 为该直线外一点），则2009S = （ ） A ． 2009 B ．20092C ． 20092D ．20092-7、已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆 41)2(22=+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是 （ ） A ．15-B ．5C ．2D ．18、将面积为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D-AC-B 的大小为α)1800(00<<α，则三棱锥D -ABC 的外接球的体积的最小值是 （ ）A ．328πB ．332πC ．34π D ．与α的值有关的数二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为__________ 10、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________11、垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________12、已知0,0,20,a b a b ab >>+-=则a b +的最小值为__________13、已知数列{}n a 中，11a =，且对于任意的正整数,m n 都有m n m n m n a a a a a +=++，则数 列{}n a 的通项公式为__________14、若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数22y z x =+的最大值为__________15、对于任意正整数j ，k ，定义,3(1)j k a j k =--，如3,433(41)6a =--=-.对 于任意不小于2的正整数m 、n ，,1,2,3,(,)j j j j n b j n a a a a =++++ 设，(,)S m n =(1,)(2,)(3,)(,)b n b n b n b m n ++++ ，则(1,)b n = ； (2,5)S =__________第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin2C4．(Ⅰ) 求cos C 的值； (Ⅱ) 若△ABC的面积为4，且sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求c 的值．17、（本题满分12分）已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点（1）求四边形QAMB 的面积的最小值（2）若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 及直线AB 的方程18、（本题满分12分）如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE 、DF 是圆柱的两条母线，B 、C 是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD 是正方形。
湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考试题 数学(理) 含答案
衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a为正实数，i为虚数单位，a i=2,则a=（)A．2 B3C2D．1 2．已知集合M＝｛1，2，3，4｝，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．23．下列关于命题的说法错误的是( ）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2"的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=3”是“函数f（x）=log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100 D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知212sin 2cos 1=+αα,则=αtan （) A ．2 B ．3 C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}na 满足134a ,a ,a 成等比数列，nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253SS S S --的值为（ ）A ．2- B ．3- C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x (0,1)a a的图像恒过定点A ，若直线2-=+ny mx （,0m n）也经过点A ，则3m+n 的最小值为( ）A ．16B ．8C ．26611+ D ．149．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 10．设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，12）B ．（12，) C ．（1，3) D ．（3，)11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x 则不等式(())3 f f x 的解集为(）A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ，对任意的x∈R，有2()()f x f x x ,且(0,)()xf x x 时，．若(2)()22f a f a a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)B ．(,1]C ．(,2]D ．[2,)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．已知a =4，b =2，且2a b=a 与b 的夹角为___________.14．已知222,,,238,49a b cR a b ca b c 则的最小值为___________.15。
湖南省衡阳八中学高二上学期第四次月考数学试卷(文科)
2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=02．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③4．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞05．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C．D．6．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．17．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e8．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[e，4]B．[1，4]C．（4，+∞）D．（﹣∞，1]9．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有g（x）=f（x）﹣x2，且f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）10．已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2 C．D．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D．﹣112．设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意x l∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（）A．（0，]∪[，+∞）B．（0， C．[，+∞）D．[二.填空题（每题5分，共20分）13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为．14．从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．15．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，若m，n∈[﹣1，1]，则f （m）+f′（n）的最小值是．三.解答题（共6题，共70分）17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．18．已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数．（1）若x=1﹣i是该方程的根，求a，b的值；（2）当＞且a＞0时，证明：该方程没有实数根．19．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=λ且，求直线l斜率k的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e是自然对数的底数）．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1、x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|都成立，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．（1）求W的方程；（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=﹣1的距离恰好等于它到点B 的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=2C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2=0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．【解答】解：命题“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”．故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③【考点】类比推理．【分析】正四面体中，各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．【解答】解：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；对于②，∵正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，∵各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．∴①②③都是合理、恰当的．故选C．4．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0【考点】反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，故选：B．5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C．D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即X～B（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果．【解答】解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X=2）==故选B6．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．7．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x ＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；8．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[e，4]B．[1，4]C．（4，+∞）D．（﹣∞，1]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题．命题q 是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分离参数，求e x的最大值即可．【解答】解：命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题，命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真，∴a≥e1=e；由命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，即方程有解，∴△≥0，16﹣4a≥0．所以a≤4则实数a的取值范围是[e，4]故选A．9．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有g（x）=f（x）﹣x2，且f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．【解答】解：g（x）=f（x）﹣x2，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，∴g（x）在R递减，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．10．已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得AB的中点D，将直线方程代入渐近线方程，求得M和N点坐标，则=3，即可求得a=b，e===．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，，整理得：x2﹣6x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x D==3，则y D=x D﹣1=3，∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），∴线段MN的中点坐标为（，），∵线段AB与MN的中点相同，∴=3，∴a=b，则e===故选：C．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C． +1 D．﹣1【考点】双曲线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．12．设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意x l∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R为定义在A=（2，+∞），B=（1，+∞）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（）A．（0，]∪[，+∞）B．（0， C．[，+∞）D．[【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】先将f（x）的单调性分析出，找到极大极小值，由此找到f（x1）和f （x2）的值域，等价转换为两集合的包含关系，再分类讨论即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣ax3（a＞0），∴f′（x）=2x﹣2ax2，则由f′（x）＞0得到函数f（x）的增区间为（0，）减区间为（﹣∞，0）、（，+∞），0）=0，f（x）极大值=f（）=，则f（x）极小值=f（由此可知f（x）的图象，设集合M={f（x）|x∈（2，+∞）}，N={|x∈（1，+∞）}，则对任意x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）使得f（x1）f（x2）=l，等价于M⊆N，显然0∉N．①当＞2，即0＜a＜时，0∈M，不满足M⊆N；②当1≤≤2，即≤a≤时，f（x）≤0，M=（﹣∞，f（2））⊆（﹣∞，0），由于f（1）=≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含在（﹣∞，0）内满足M⊆N；③当＜1，即a＞，有f（1）＜0，f（x）在（1，+∞）上单减，∴B=（，0），A=（0，f（2））不满足M⊆N，综上可知a∈[，]，故选D．二.填空题（每题5分，共20分）13．若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为1．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则，即，即m=1，故答案为：114．从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据△ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，∴B=45°，当D位于E时，△ABD为直角三角形，∴当D位于线段EC上时，△ABD为锐角三角形，∴根据几何概型的概率公式可得△ABD为锐角三角形的概率为，故答案为：15．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF∴|EF|=b，∵，∴E为PF的中点，|PF|=2b，又∵O为FF′的中点，∴PF′∥EO，∴|PF′|=2a，∵抛物线方程为y2=4cx，∴抛物线的焦点坐标为（c，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，∴PD=PF′=2a，∴P点横坐标为2a﹣c，设P（x，y），在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），解得e=故答案为：．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，若m，n∈[﹣1，1]，则f （m）+f′（n）的最小值是﹣13．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．【分析】令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．【解答】解：求导数可得f′（x）=﹣3x2+2ax∵函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，∴﹣12+4a=0，解得a=3∴f′（x）=﹣3x2+6x∴n∈[﹣1，1]时，f′（n）=﹣3n2+6n，当n=﹣1时，f′（n）最小，最小为﹣9当m∈[﹣1，1]时，f（m）=﹣m3+3m2﹣4f′（m）=﹣3m2+6m令f′（m）=0得m=0，m=2所以m=0时，f（m）最小为﹣4故f（m）+f′（n）的最小值为﹣9+（﹣4）=﹣13．故答案为：﹣13．三.解答题（共6题，共70分）17．复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．18．已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数．（1）若x=1﹣i是该方程的根，求a，b的值；（2）当＞且a＞0时，证明：该方程没有实数根．【考点】反证法与放缩法；函数的零点与方程根的关系；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）把x=1﹣i代入方程，利用复数相等的充要条件列出方程组，即可求a，b的值；（2）化简原方程为二次函数的形式，利用反证法，假设方程有实数根，通过韦达定理，结合＞且a＞0，推出矛盾结论，即可证明：该方程没有实数根．【解答】解：（1）将代入，化简得所以所以a=b=2…（2）证明：原方程化为x2﹣ax+ab=0假设原方程有实数解，那么△=（﹣a）2﹣4ab≥0即a2≥4ab因为a＞0，所以，这与题设矛盾所以假设错误，原方程有实数根正确．…19．已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，…x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=λ且，求直线l斜率k的取值范围．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，求得M的坐标，运用两点的距离公式和离心率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，代入双曲线的方程，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式可得＜k2＜1且k＜0 ①再由向量的关系的坐标表示，化简整理，即可得到≤k2＜1②，可得k的范围．【解答】解：（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，令x=，可得y=，即M（，），F（c，0），由|MF|=1，可得（﹣c）2+（）2=1，由离心率e==，且a2+b2=c2，解得a=，b=1，则双曲线的方程为﹣y2=1；（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4=0，由l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，∴，∴＜k2＜1且k＜0 ①若=λ且，P在A、Q之间，则x1=λx2，≤λ＜1，则，即有==2+，设f（λ）==λ++2在[，1）上为减函数，（可由f′（λ）=1﹣＜0）则4＜f（λ）≤，即4＜2+≤，解得≤k2＜1②由①②可得﹣1＜k≤﹣．则k的取值范围是（﹣1，﹣]．21．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e是自然对数的底数）．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1、x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|都成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）若a=﹣1，则y=f（x）•g（x）=（x2﹣x+1）•e x，利用导数法可得函数y=（x2﹣x+1）•e x在区间[﹣1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，结合又，可得函数y=f（x）•g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（2）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即有且只有一个根，令，可得，进而可得当时，k=h （x）有且只有一个根．（3）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=﹣1，则y=f（x）•g（x）=（x2﹣x+1）•e x，∴y'=（x2+x）•e x=x（x+1）e x，∵x∈[﹣1，0]时，y'＜0，x∈[0，2]时，y'＞0，∴函数y=（x2﹣x+1）•e x在区间[﹣1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，又，故函数的最大值为3e2．（2）由题意得：有且只有一个根，令，则故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当时，k=h（x）有且只有一个根．（3）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．（1）求W的方程；（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=﹣1的距离恰好等于它到点B 的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据△ABC的周长为，|AB|=2，利用椭圆的定义可得动点C 的轨迹，从而可得W的方程；（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，联立方程，求得交点即可．【解答】解：（1）设C（x，y），∵，∴…∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆（除去与x轴的两个交点）．∴，∴b2=a2﹣c2=1…∴W的方程：…（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，由，消去y得：x2+8x﹣2=0…解得（舍去）…由代入抛物线的方程得…所以存在两个点和满足题意．…2017年4月7日。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高三实验班上学期第四次月考理科综合试题 Word版答案
衡阳八中2017-2018学年下期高三实验班第四次月考试卷理科综合（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共31题，满分300分，考试时间为150分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
第I卷选择题（每题6分，共126分）本卷共21题，每题6分。
其中物理部分为不定项选择题，全部选对得6分，部分选对得3分，错选，多选不得分。
化学部分和生物部分后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为A. B. C. D.2.如图所示，两竖直木桩ab、cd固定，一不可伸长的轻绳两端固定在a、c绳长为L，一质量为m的物体A通过轻质光滑挂L挂在轻绳中间,静止时轻绳两端夹角为120°．若把轻绳换成自然长度为L的橡皮筋，物体A后仍处于静止状态，橡皮筋处于弹性限度内，若重力加速度大小为g，上述两种情况，下列说法正确的是A.轻绳的弹力大mg B．轻绳的弹力小于mgC.橡皮筋的弹力大于mg D．橡皮筋的弹力小于mg3.如下图所示，质量相等的物体A、B通过一轻质弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B均处于静止状态,此时弹簧压缩量△x1。
现通过细绳将A向上缓慢拉起，第一阶段拉力做功为W1时，弹簧变为原长；第二阶段拉力再做功W2时，B刚要离开地面，此时弹簧伸长量为△x2。
弹簧一直在弹性限度内，则A．△x1>△x2B．拉力做的总功等于A的重力势能的增加量C．第一阶段，拉力做的功等于A的重力势能的增加量D．第二阶段，拉力做的功等于A的重力势能的增加量4.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度等于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率小于它在轨道2上经过Q点时的速率D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度大于它在轨道3上经过P点时的加速度5.如图所示，MNPQ为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度为E，ACB为光滑固定的半圆形轨道，圆轨道半径为R，A、B为圆水平直径的两个端点，ACB为圆弧。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中考
2017年下期衡阳市八中高二期中考试数学试题请注意：时量120分钟 满分100分或120分 特别提示：第？题和第？题为创新班加试试题（试题、答题卡、答案分做电子版，另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆命题是 A. 若b a >，则c b c a +≤+ B. 若c b c a +≤+，则b a ≤ C. 若c b c a +>+，则b a > D. 若b a ≤，则c b c a +≤+ 【答案】C【解析】命题“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，所以命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆命题是若c b c a +>+，则b a >，选C.2．抛物线y x 42=的准线方程是A ．1=yB ．1-=yC ．1-=xD ．1=x 【答案】B【解析】抛物线y x 42=中24, 2p p =∴=，准线12py =-=-. 3．双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是 A ．169y x =±B ．169x y =±C ．43y x =±D ．43x y =±【答案】C【解析】双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程为221690x y ±=，故选C 。
4．已知向量()1,a m =， (),1b m =，则“1m =”是“//a b ”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1m =时， a b =可以推出//a b ， 当//a b 时，211,1,1mm m m =⇒==±不能推出 1.m = 所以，“1m =”是“//a b ”成立的充分不必要条件. 选A .5. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D6．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A.6B. C.6D. 56【答案】C【解析】由已知得6m =±，当6m =，则圆锥曲线是椭圆，1,a b c ==，离心c e a ==；当6m =-时则是双曲线，1,a b c =ce a== C. 7．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A8．命题p ：“x R ∃∈”，使20x<，命题q ：“2a >，2b >是4ab >成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是A. p q ⌝∧B. p q ∧C. p q ∨D. p q ⌝∨ 【答案】B【解析】对,20xx R ∀∈>恒成立,所以命题p 是假命题. 由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q 为真命题. 所以B 选项错. 选B . 9．函数sin cos y x x x =+的图像大致为A. B. C. D.【答案】D 【解析】()01f =，排除,A C ， ()'cos f x x x =，显然在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上， ()'0f x >， ∴函数为递增，排除C ,故选D .10．抛物线26x by =-的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则双曲线的离心率为A.B. 3C.D. 【答案】C【解析】因抛物线的准线是32b y =，故1233,,,22b b B x C x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2x ==，由题设若AOC BOC ∠=∠可得3A O Cπ∠=，则333132b =⇒=，即222223313316c a a c a -=⇒=，所以e ==C 。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案
2017年下期衡阳市八中高二期中考试数学试题请注意：时量120分钟 满分100分或120分特别提示：第？题和第？题为创新班加试试题（试题、答题卡、答案分做电子版，另所有客观题答案务必做成表格形式放在答案文档的第一行）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．命题“若b a >，则c b c a +>+"的逆命题是A. 若b a >，则c b c a +≤+B 。
若c b c a +≤+,则b a ≤C 。
若c b c a +>+,则b a >D 。
若b a ≤，则c b c a +≤+【答案】C【解析】命题“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”,所以命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆命题是若c b c a +>+，则b a >,选C 。
2．抛物线y x 42=的准线方程是 A ．1=y B ．1-=y C ．1-=x D ．1=x【答案】B【解析】抛物线y x42=中24, 2p p =∴=，准线12p y =-=-。
3．双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是 A ．169y x =± B ．169x y =± C ．43y x =± D ．43x y =±【答案】C【解析】双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程为221690x y ±=,故选C 。
4．已知向量()1,a m =， (),1b m =，则“1m ="是“//a b ”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1m =时， a b =可以推出//a b ， 当//a b 时，211,1,1m m m m =⇒==± 不能推出 1.m = 所以，“1m =”是“//a b ”成立的充分不必要条件. 选A 。
湖南省衡阳市八中届高三第四次月考理科数学
衡阳市八中2010届高三第四次月考试卷数 学(理科)、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，答案唯一)1.已知 A={x|y=log 2(x-1)},B={y|y=2. "ab=4”是"直线 2x+ay-1=0A .充分不必要条件 C .充分必要条件与直线bx+2y-2=0平行”的( B.必要不充分条件既不充分也不必要条件若盘00,0"加丄o?则ID 丄y() A.4 B. 3玉€ (0,1),103! ^>log L X Vx E (①枷)七y:乂② -.3m € i +型■为偶函数3m € Rjg -『+鋤为奇國数③..④..。
其中为真命题的个数有( ) A.1B. 2C. 3D. 47 •已知函数 f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x,y 都有5xf(x+1)=(1+x)f(x)，贝y f[f(-)]的值为()A.(0,+ ：；) B. (1,+ ：；) C. (0,1) D. 3.设有不同直线m 、n 和不同平面空、0 7.下列四个命题中，①若血附"工则皿0拧-},则 A I B=( )D.其中正确命题的序号是 A.①②4.在平面直角坐标系中 \+y^3()B.②③,O 是原点，点A(2,3),点p( x,y)满足约束条C. ③④D.②④.2x 丁兰3则 OP^OA 的最小值为() B. 7C.8D.23O 的半径OB 垂直于直径AC, M 为AO 上一点，延长 BM N,若圆O 的半径为2「,OA=件 A. 65.如图，圆 交圆O 于点 OM ，贝U MN 的长为C. 2D.16给出下列四个命题：① A1uu ]-的距离是则这条直线的斜率是 ____________________11.不等式 二 对于一切非零实数 x 均成立，则实数a 的取值范围是 ____________ .2” -1(“为奇数)13•已知函数-1 _"■- , ■■■ ' ；' 11- ^-"'，若「二 T’ 二 是奇函数，则也14. 如图，正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点 E ，F 且EF=- 现有如下四个结论：A. 0B.2 C . 1D.8.已知 a>0且「―：当 x--二 时均有则实数a 的取值范围是A.(0B.'」l二.填空题（每小题5分,共35分.） 9.已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 __________________10.若当点到直线12.已知数列｛厶｝的通项公式为.2九为偶数）正视图£ d， ''是数列C ｝的前n 项和,①AC _ BE②EF〃平面ABCD③三棱锥A-BEF的体积为定值④异面直线AE , BF所成的角为定值。
(优辅资源)湖南省衡阳市高三实验班上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案
衡阳八中2016年上期高三年级第四次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5） B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）2.在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2 B．0 C．2 D．14.已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，则（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象( )A．关于点对称B．可由函数的图象向右平移个单位得到C．可由函数的图象向左平移个单位得到D．可由函数的图象向左平移个单位得到6.设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣87.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．C．2 D．8.等差数列{a n}满足： =1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，] D．[，]9.执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．210.函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．11.已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）12.对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是( ) A． B．C． D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为．14.以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．15.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n} 的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18.（本题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在线段上，且.（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.20.（本题满分12分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P 的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”21.（本题满分12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）22.（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．23.（选修4-5：不等式选讲）已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为1，求a的值.衡阳八中2016年下期高三实验班第四次月考理数参考答案13.514.②③15.16.230017.（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和，∴a1=11．当n≥2时，．又∵a n=6n+5对n=1也成立所以a n=6n+5，{b n}是等差数列，设公差为d，则a n=b n+b n+1=2b n+d．当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以数列{b n}的通项公式为；（Ⅱ）由，于是，，两边同乘以2，得．两式相减，得==﹣n•2n+2．所以，．18.以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），B1（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），，(Ⅰ)∵，∴.∴无论取何值， .(II)时，, .而面，设平面的法向量为，则,设为平面与平面ABC所成锐二面角，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是19.（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（3）分布列见解析，..故的分布列如下依题意，故.20.（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx ±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．21.（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．22.（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x2+y2﹣6x+5=0，由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+1），其中k=tanα．联立消去y得（1+k2）x2+2（k2﹣3）x+k2+5=0．因为直线l和曲线C有交点，所以△=4（k2﹣3）2﹣4（1+k2）（k2+5）≥0，即，即，所以．（Ⅱ）曲线C：x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4的参数方程是（θ为参数），所以点B（x，y）的坐标可以写成（3+2cosθ，2sinθ），所以，因为sin（θ+）∈[﹣1，1]，所以x+y∈[3﹣4，3+4]．23.（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝，。
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衡阳八中2017-2018学年下期高二年级第四次月考试卷
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题，命题，则命题是的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )
A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位
4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A．60 B．48 C．42 D．36
5.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
6.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的
解集为（）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
8.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）
9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )
A. (6，＋∞)
B. (5，＋∞)
C.(4，＋∞)
D. (3，＋∞)
10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）
A．|| B．||
C． D．
11.已知定义在上的函数和满足，且
，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）
A．75° B．60°C．45°D．30°
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.展开式中的常数项为 .
14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，
p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题
①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．
15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．
16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）
已知m∈R，命题P：对任意x∈，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈，使得m ﹣ax≤0成立．
（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在，使得
恒成立，求m的取值范围．
22.（本题满分12分）
已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程;
（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，
①求证:直线过定点;
②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究
是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．
衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案
13.40
14.①④
15.
16.[]
17.
（Ⅰ）∵对任意 x∈，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立
∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2
即 p 为真命题时，m 的取值范围是．
∵a=1，且存在 x∈，使得m≤ax 成立∴m≤1
即命题q 为真时，m≤1（2分）
∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p、q 一真一假
当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）
当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）
综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）
（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，
当a＞0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立
命题q 为真时m≤a
∵p 是q 的充分不必要条件
∴a≥2，（6分）
当a＜0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立
命题q 为真时m≤﹣a
∵p 是q 的充分不必要条件
∴a≤﹣2（8分）
综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）
18.
（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），
（4分），
x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．
（Ⅱ）由题意可知，分数在．
当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，
∴f（x）在上是单调递减．
∴f（x）max=f（1）=1+2a，，（6分）∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，
∵x2∈，使得恒成立，∴＞，整理得
，（8分）
又a＜0，∴，
令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，
∴，（10分）
当F′（t）=0时，t=e2，
当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，
当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．
∴，
∴m的取值范围为．（12分）
22.
∴直线的方程为，…………………………………………7分
∴直线过定点．…………………………………………8分
②由（2）①得,直线的方程为.
设，
与方程联立，求得．……………………………………9分设，联立与，得
，由根与系数的关系，得
．…………………………………………10分
∵同号，
∴
…………………………………………11分
，
∴为定值，定值为2．…………………………………………12分。