专题09+三角恒等变换与解三角形(仿真押题)-2019年高考数学(文)命题猜想与仿真押题
2019年高考数学解密题(含解析)之三角恒等变换
三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为AB C ．9D ．9【答案】A又因为sin 0α<cos α=，所以1sin22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 故选A ．调研2 已知3π4πθ≤≤，且=，则θ=A B CD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos 02θ>，sin 02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=，tan 2β=-，则()tan αβ+=__________． 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-，，. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-． （1）求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-【解析】（1）∵tan 2α=-，∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-． （2）由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，得sin α=，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果； （2）根据角α的范围，由正切求出sin α=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.（2）降幂公式：21cos 2sin2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-.（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 （安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题）已知函数()225sin cos f x x x x +-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】（1）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π2π7π,,636.【解析】（1）()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由()π2203f x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，得：πsin 203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∴()π2π3x k k -=∈Z ， ∴()1ππ26x k k =+∈Z ，∵π7π66x ≤≤， ∴π2π7π,,636x =，即函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点是π2π7π,,636.【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式.（1）利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间；（2）将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值．【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=413525⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=410+． 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. （1）求tan2A 的值;（2）若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】（1）（2）3.【解析】（1）由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3A ∴=∴tan 2A =．22tan tan21tan AA A∴==-（2）由πsin 23B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈，1sin 3B ∴=．∴()sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a c A C=，∴sin 2sin c Aa C===，∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=． 【思路点拨】（1）由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =，故cos 3A =，所以sin tan 32A A ==，由倍角公式可得tan2A = （2）由条件得cos 3B =，故得1sin 3B =，由正弦定理得2a =，从而可得△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.1．（内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题）若()1sin π3α-=，且ππ2α≤≤，则sin2α的值为A ．B ．C D 2．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边上的一点P 的坐标为()2m m ，（其中0m <），则cos2α=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-3．（河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学）已知2sin 23θ=，则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．15B ．56C ．5D ．64．（江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题）若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心，则cos2sin cos θθθ+=A ．1110 B ．1110-C ．1D ．-15．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月）数学试题）若αβ∈R ，且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（福建省宁德市2018届高三下学期第二次（5月）质量检查数学试题）将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为 A ．π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin2y x =D ．2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．（江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题）由射线43y x =（0x ≥）逆时针旋转到射线512y x =-（0x ≤）的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665-B ．1665±C ．5665-D ．5665±8．（四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题）设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是A ．π8 B ．3π8 C ．π2D ．5π89．（华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题）锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足cos cos A C =C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π1210．（山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题）已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=A ．2B ．1C ．1-D ．2-11．（河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈，则()f x 的所有零点之和等于A ．8πB ．7πC ．6πD ．5π12．（上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题）若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为________.13．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题）已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．（黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.15．（天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题）已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.16．（云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题）已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，其中ππ0,022αβ<<<<.（1）求sin2β的值； （2）求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）在△ABC 中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin 2C 的值．18．（广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题）已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ，函数()12f x =⋅+m n .（1）若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（2）在ABC △中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B 的取值范围.19．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =． （1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-2．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15C ．−15D ．−7253．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=__________．4．（2016新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 5．（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=ABC △的周长．6． （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为ABC ．9D ．9【答案】A又因为sin 0α<cos 3α=， 所以1sin22sincos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 故选A ．调研2 已知3π4πθ≤≤，且2=，则θ=ABCD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos 02θ>，sin 02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=，tan 2β=-，则()tan αβ+=__________． 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-，，. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-． （1）求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-【解析】（1）∵tan 2α=-，∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-．（2）由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-， 得sinα=，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果； （2）根据角α的范围，由正切求出sinα=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-.（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 （安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题）已知函数()225sin cos f x x x x +-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】（1）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π2π7π,,636.【解析】（1）()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式.（1）利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间； （2）将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值．【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4135252⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎝⎭． 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. （1）求tan2A 的值;（2）若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】（1）（2.【解析】（1）由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3A ∴=∴tan 2A =．22tan tan21tan AA A∴==-（2）由πsin 2B ⎛⎫+=⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈，1sin 3B ∴=． ∴()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin 2sin c Aa C===，∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=． 【思路点拨】（1）由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =，故cos A =，所以sin tan 32A A ==，由倍角公式可得tan2A = （2）由条件得cos 3B =，故得1sin 3B =，由正弦定理得2a =，从而可得△ABC的面积1sin 23S ac B == 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.1．（内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题）若()1sin π3α-=，且ππ2α≤≤，则sin2α的值为A ．B ．C D 【答案】B【解析】∵()1sin πsin 3αα-==，ππ2α≤≤，∴cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭. 故选B.2．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边上的一点P 的坐标为()2m m ，（其中0m <），则cos2α=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-【答案】B【解析】0,m P <∴在第三象限，且r =，由正弦函数的定义可得sin5α==-，223cos212sin 155αα∴=-=-=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.利用三角函数的定义求出sin α的值，由二倍角的余弦公式可得结果.3．（河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学）已知2sin 23θ=，则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．15B ．56C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意可知ππ2sin2cos 2cos 2243θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则22π2π52cos 1cos 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22π2π112sin sin 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222πsin π14tan π45cos 4θθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选A ．4．（江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题）若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心，则cos2sin cos θθθ+=A ．1110 B ．1110-C ．1D ．−1【答案】D5．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月）数学试题）若αβ∈R ，且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】)114αβ--=，即3tan tan 14αβαβ+=，tan tan tan αβαβ--=即t a n t a n 1t a n t a n αβαβ+=-即()t a n αβ+=所以2ππ3k αβ+=+，当0k =时，2π3αβ+=，所以“2π3αβ+=”是“)114αβ--=”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角，属于中档题. 根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：()tan αβ+=，这便可求出2ππ3k αβ+=+，这样便会得到2π3αβ+=是)114αβ--=充分不必要条件．6．（福建省宁德市2018届高三下学期第二次（5月）质量检查数学试题）将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为 A ．π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin2y x =D ．2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查三角函数解析式的求法，考查函数图象的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.先化简f (x )，再求出ω的值，再求平移后的函数解析式得解. （2）把函数()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图象，把函数()f x 的图象向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图象,简记为“左加右减”.7．（江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题）由射线43y x =（0x ≥）逆时针旋转到射线512y x =-（0x ≤）的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665- B ．1665±C ．5665-D ．5665±【答案】A【解析】设43y x =（0x ≥）的倾斜角为α，则43sin cos 55αα==，， 射线512y x =-（0x ≤）的倾斜角为β，则512sin cos 1313ββ==-，，∴()3124516cos cos cos cos sin sin ()51351365θβααβαβ=-=+=⨯-+⨯=-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.8．（四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题）设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是A ．π8 B ．3π8 C ．π2D ．5π8【答案】B【解析】函数()πsin cos sin cos 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244x x =-1πsin 224x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，即x c =为函数图象的对称轴.令ππ22π,42x k k -=+∈Z ，解得3ππ,8x k k =+∈Z . 当0k =时，3π8x =.故选B.【名师点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数的对称性，属于中档题.化简函数得()1πsin 224f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()()f c x f c x +=-，得x c =为函数图象的对称轴，令ππ22π,42x k k -=+∈Z 解出对称轴即可得解. 9．（华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题）锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足1cos cos 4A C =，则C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π12【答案】C【解析】因为ππsin 0,,.23B B B ⎛⎫==∈∴= ⎪⎝⎭因为1cos cos 4A C =，所以22π113c o s co s,3422C C C C C⎛⎫-=∴-+= ⎪⎝⎭即1πcos 22246C C C ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭， 因此ππ2=63C -或π2π2=63C -，即π=4C 或5π=12C ， 因为BC AB >，所以π3C <，即π=4C .故选C.10．（山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题）已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】函数()2cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-πcos 2sin 6x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由周期2ππT ω==，可得()π2,2sin 26f x x ω⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，πππ7π0,,22666x x ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦，()12f x ∴-≤≤，且()f x 的对称轴为π6x =，方程()f x m =恰有两个不同的实数解12,x x ，12π3x x ∴+=，则()12π2ππ5π2sin 2sin 13366f x x f ⎛⎫⎛⎫+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B.11．（河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈，则()f x 的所有零点之和等于A ．8πB ．7πC ．6πD ．5π【答案】B【解析】由已知函数()[]sin sin3,0,2πf x x x x =-∈，令()0f x =，即sin sin30x x -=，即2sin sin3sin cos2cos sin2sin cos22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+， 即()2sin cos22cos 10x x x +-=，解得sin 0x =或2cos22cos 10x x +-=， 当[]sin 0,0,2πx x =∈时，0x =或πx =或2πx =；当2cos22cos 10x x +-=时，即222cos 2cos 20x x +-=，解得cos x =±， 又由[]0,2πx ∈，解得π4x =或3π4或5π4或7π4， 所以函数()f x 的所有零点之和为π3π5π7π0π2π7π4444++++++=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.根据函数的零点的定义，令()0f x =，得sin sin30x x -=，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.12．（上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题）若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为________.【答案】247±【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦，即3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角. 当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==-； 当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==--，24tan 27y ∴=±. 13．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题）已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】45【解析】)π4cos cos sin 45ααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以)π4sin sin cos 425ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为45. 14．（黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】因为c sin A ＝－a cos C ，所以sin C sin A =-sin A cos C ，所以tan C =-1，即C =3π4.A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin A +cos A =2sin(A +π6)，因为πππ5π1π0,,sin 46612264A A A ⎛⎫<<∴<+<∴<+< ⎪⎝⎭所以π12sin 62A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.故答案为⎛⎝⎭. 【名师点睛】(1)本题主要考查正弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.先利用正弦定理求出∠C ,再化A －cos 3π4B ⎛⎫+⎪⎝⎭得2sin(A +π6)，再利用三角函数的图象和性质求解. (2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图象一步一步地推出函数()sin y A wx hφ=++的最值.15．（天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题）已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）最大值为2，最小值为.【解析】（1）函数()2ππ2cos 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为()5πππ,π+1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为且π12x =时()f x 取得最大值2，π2x =时()f x 取得最小值【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题. 函数()sin y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由π2π2k x ωϕ+≤+≤()3π2π2k k +∈Z 求得函数的减区间；由ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+求得函数的增区间. （1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的单调性可得πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而可得结果.16．（云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题）已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，其中ππ0,022αβ<<<<.（1）求sin2β的值；（2）求πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2325；（2）215.【解析】（1）因为()π1sin sin cos 425βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5ββ-=， 所以()2222sin cos sin cos 2sin cos 1sin225βββββββ-=+-=-=， 所以23sin225β=． （2）因为π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1cos 3αβ+=-，其中π02α<<，π02β<<，()πcos sin 453βαβ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭， 所以()ππc o s44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππco s co44αββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133515⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．【名师点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．（1）由π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得sin cos 5ββ-=，两边平方后可得所求． （2）根据题意求出()πcos sin 43βαβ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，然后根据()ππc o s c o s 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解即可．17．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）在△ABC 中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos A =，求sin 2C 的值．【答案】（1）π3B =；（2）6.【解析】（1）在ABC △中，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-得，222a b a c c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， 因为0πB <<， 所以π3B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（1）由正弦定理得222a c b ac +-=，再利用余弦定理化简得π3B =. （2）先求出sin2A ，cos2A ，再求sin2C .18．（广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题）已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ，函数()12f x =⋅+m n .（1）若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（2）在ABC △中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B 的取值范围.【答案】（1）2-；（2）11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（1）由题意知()21cos cos 2f x x x x =-+1cos22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴πsin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2663x ∴-≤-≤，πcos 263x ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ1cos 2sin 2662x x ⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=-=（2）由2co s 23b A c ≤，得222222b c a b c bc+-⋅≤，即222a c b +-≥，222cos 22a cb B ac +-∴=≥，()0,π,B ∈π06B ∴<≤, 从而得πππ2666B -<-≤，故()π11sin 2,622f B B ⎛⎫⎛⎤=-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【名师点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简可得()πsin 263f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而可得πcos 26x ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos2x 的值；（2）化简可得222222222b c a b c c b bc+-⋅≤+-≥，从而可得222cos 22a cb B bc +-=≥，从而解得()f B 的取值范围．19．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =． （1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）1；（2）1725.【解析】（1）由题意得())sin cos cos f x x x x ωωω=-+2cos 2x x x ωωω=+sin2cos222x x ωω=- πsin 24x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()y f x =的一条对称轴为3π8x =，所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z ， 所以()413k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为1．（2）由（1）知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．∴ππππ3sin 2sin 2424445f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∵π02α-<<， ∴π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππππ2+2sin2cos244444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23441722155525⎛⎫=⨯⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）由题意得()πsin 24f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又函数()f x 图象的一条对称轴为3π8x =，所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z ，根据条件可得所求； （2）由（1）知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据同角关系可得π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πππ2+2444αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解可得所求的结果．【名师点睛】（1）解答形如()siny A x ωϕ=+的函数的问题时，需要把x ωϕ+作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意,A ω的符号对结果的影响． （2）在解答“给值求值”型的问题时，要注意角的变换，通过“拆”、“凑”等方法将所求角用已知角表示出来，然后再将所给条件作为整体进行求解．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin12()39αα=-=-⨯=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.2．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．−15D ．−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos 2cos(2)sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫-=-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以7sin 225α=-，故选D ．【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此4．（2016新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．5．（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（I ）π3；（II ）5． 【解析】（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以π3C =．（II ）由已知，1sin 22ab C =． 又π3C =，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5+．【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.6． （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。
(高考押题)2019年高考数学仿真押题试卷(三)(word版,(有答案))
专题 03 高考数学仿真押题试卷（三）注意事项：1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
3 ．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．会合 ，，则AB（ ）A ． (, 1) B ．( , 1] C ． (1, ) D ．[1, )2．已知复数，则 z | z | （）A ．1 3 i B ．1 3 i C ．13 i D ．13 i222222223．若，(0, ) ，则 sin的值为（）2A ．42B ．42 C ．7D ．2 661834．如图，在矩形地区 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通讯基站， 假定其信号覆盖范围分别是扇形地区ADE 和扇形地区 CBF （该矩形地区内无其余信号根源，基站工作正常），若在该矩形地区内随机地选一地址，则该 地址无信号的概率是（ ）A ． 1B ．1C ． 22D ．4 245．已知一几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．1B．1C．1D．1 31233 61246．若，B 是锐角△的两个内角，则点(cos－ sin， sin－cos ) 在 ()A ABC PB A BAA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．已知函数的部分图象如下图，则函数图象的一个对称中心可能为（）A．( 2,0)B．(1,0)C．(10,0)D．(14,0)8．函数的大概图象为（）A．B．C． D ．9．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，， AC 2 ，若四周体 ABCD 的体积为2 3，球心 O 恰幸亏棱 DA 上，则这个球的表面积为（）3 A．25B．4C．8D．16 410．F为双曲线x2y21右焦点， M ， N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边a2b2形，且四边形 OFMN 的面积为 bc ，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．2 2C ． 2D ． 311．已知不等式组 表示的平面地区恰巧被圆所覆盖，则实数 k 的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 612．已知 x 0 是方程 的实根，则对于实数 x 0 的判断正确的选项是（）A ． x 0 ≥ ln 21 C ．D ．B ． x 0e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分．13．14．已知睁开式中含 x 3 项的系数为．（用数字表示）r r r r r r ra (1, ) ，b (2,1) ，若向量 2a b 与c (8,6) 共线，则 a 在 b 方向上的投影为．15．在 △ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，，且 a 8 ，△ ABC的面积为 4 3 ，则 bc 的值为．16．如下图，点F 是抛物线 y 2 8x 的焦点，点 A ， B 分别在抛物线 y 2 8x 及圆的实线部分上运动，且AB 老是平行于 x 轴，则 △ FAB 的周长的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 1，， n N * ．（ 1）证明：数列{ S n1} 为等比数列；n（2）求．（ 2）若参加班级宣传的志愿者中有 12 名男生， 8 名女生，从中选出2 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的散布列及其数学希望．20．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为4 10．3（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）过点P(0,2)作斜率为k ( k0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A ， B ，试判断在x 轴上能否存在点 D ，使得△ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点 D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（ 1）当a≤0时，试求 f ( x) 的单一区间；（ 2）若f ( x)在(0,1)内有极值，试求 a 的取值范围．请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线 C ：，直线（t为参数，0≤）．（ 1）求曲线C的直角坐标方程；（ 2）设直线l与曲线C交于A, B两点（A在第一象限），当时，求a的值．23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数．（ 1）求不等式 f ( x)≤3 的解集；（ 2）若函数y f ( x) 的最小值记为m ，设 a， b R ，且有 a2b2m ，试证明：．【答案分析】第Ⅰ卷一、选择题1．【答案】C【分析】，，，选C．2．【答案】C【分析】， z 1，．应选C．3．【答案】A【分析】，，，应选 A．4．【答案】A【分析】几何概型，由面积比率能够得出答案．5．【答案】C【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的1构成的，应选C．46．【答案】B 7．【答案】C【分析】由题知 A 23，，，再把点2, 2 3 代入可得3，84，应选 C．8．【答案】D【分析】由函数不是偶函数，清除A、 C，当时，y sin x 为单一递加函数，而外层函数y e x也是增函数，所以在上为增函数．应选D．11．【答案】D【分析】因为圆心(3,3) 在直线上，又因为直线与直线相互垂直其交点为，直线与的交点为(0,6) ．因为可行域恰巧被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为，解得 k 6 或 k 6 （舍去）．应选D．12．【答案】Cx，【分析】方程即为，即，令ef x x，则，函数 f x 在定义域内单一递加，联合函数的单一性有：，应选 C．二、填空题13．【答案】 0【分析】 ( x1)5睁开式中含x3项的系数为 C5310 ，含x2项的系数为 C5310，所以睁开式中含x3项的系数为 10-10=0 ．14．【答案】355【分析】由题知 1 ，所以投影为35 ．515．【答案】45由正弦定理 cos A 12【分析】，， A，23Q a 8 ，由余弦定理可得：，又因为△ ABC 面积13bc ， bc16 ，b c 4 5．22三、解答题17．【答案】(1) 数列{Sn1} 是首项为2，公比为2的等比数列．(2)．n【分析】(1) 因为，所以，即，则，所以，又S11 2 ，1故数列 {S n1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．n（ 2）由（1）知，所以，故．设，则，所以，所以，所以．18．【答案】二面角E ACF 的余弦值为3 ．3【分析】（ 1）因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC BD ，又平面 BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF I 平面，所以 AC 平面 BDEF ，进而 AC EF ．又 BD DE ，所以 DE 平面 ABCD ，由 AB 2a ，， ，可知， BD2a ，，，进而 ，故EF AF ．又，所以 EF平面 AFC ．又 EF平面 AEF ，所以平面 AEF平面 AFC ．（ 2）取 EF 中点 G ，由题可知 OG ∥ DE ，所以 OG平面 ABCD ，又在菱形 ABCD 中， OA OB ，所uuur uuur uuurO xyz （如下图），以分别以 OA ， OB ， OG 的方向为 x ， y ， z 轴正方向成立空间直角坐标系则 O(0,0,0) ， A( 3a,0,0) ， ，， ，所以，，．由（ 1）可知 EF平面 AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为．r( x, y, z) ，设平面 AEC 的法向量为 nr uuur 0,n AEy2 2z, ，令 z 2 ，得 y4 ，则 r uuur ，即，即n AC 0,x0,所以．进而．故所求的二面角 E ACF 的余弦值为3 ．319．【答案】 (1) (2)【分析】（ 1）用分层抽样的方法，每一个人被抽中的概率是5 1 ，5010 所以，参加到班级宣传的志愿者被抽中的有20 12 人，10参加整理、打包衣物的志愿者被抽中的有301人，310故“起码有 1 人是参加班级宣传的志愿者”的概率是．（2）女生志愿者人数X 0,1,2，则， ，．∴ X 的散布列为X012334814P959595∴ X 的数学希望为．（ 2）直线l的分析式为y kx2，设 A( x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，AB的中点为 E( x0 , y0 ) ．假定存在点 D( m,0) ，使得△ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，则 DE AB ．由得，故，所以，．因为 DE AB ，所以 k DE 1，即，所以．k当 k 0 时，，所以．综上所述，在x 轴上存在知足题目条件的点 D ，且点 D 的横坐标的取值范围为．（ 2）若f ( x)在(0,1)内有极值，则 f x 在x(0,1) 内有解．令x0 ， a e x， e ax．x设 g( x)e x x (0,1) ，x所以，当 x (0,1) 时，g x0 恒成立，所以 g( x) 单一递减．又因为g (1) e ，又当x0 时，g (x)，即 g (x)在 x(0,1) 上的值域为(e,)，所以当 a e 时，有解．设，则x (0,1)，所以 H ( x) 在 x(0,1) 单一递减．因为，，所以在 x(0,1) 有独一解 x0．所以有：x(0, x0 )x0( x0,1)H ( x)0f ( x)0f (x)]极小值Z 所以当 a e 时， f ( x)在(0,1) 内有极值且独一．当 a≤ e 时，当 x(0,1) 时，f x ≥0 恒成立， f ( x)单一递加，不可立．综上， a 的取值范围为(e, )．请考生在 22、 23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4— 4：坐标系与参数方程【答案】(1)x2 4 y 4 ；(2)∴．6【分析】（ 2）证明：由图可知函数y f ( x) 的最小值为3，即 m3．22所以 a2b23，进而，2进而．当且仅当时，等号成立，即 a21， b24时，有最小值，63所以得证。
2019年高考数学仿真押题试卷二及答案【word版】.doc
专题02 高考数学仿真押题试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ð（）1．已知集合，则M=R15．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________．16．如图所示，在中，AB与CD是夹角为60︒的两条直径，,E F分别是与直径CD 上的动点，若，则λ的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：爱好不爱好合计男20 30 50女10 20 30合计30 50 80（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：()2P k χ≥0.1000.0500.010k2.7063.841 6.63518．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠．若成等比数列，且．X 0 1 2 3P125512 225512 135512 27512∴．（2），故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．18．【答案】（1）1312n n b -+=；（2）22n -．【解析】（1），，111b a a ==，23b a =，∴3q =，，∴1312n n b -+=．（2），．19．【答案】（1）见解析；（2）155．（2）如图，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,,O x y z -，则，，，6(,0,0)3D ，，，，设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则00AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即，令1y =，则1z =-，22x =，所以．设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则：．20．【答案】（1）2p =；（2）3π．【解析】（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的倾斜角为45︒时，直线的方程为2p y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，222py x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得， 122x x p +=，，得AB 中点为3,2D p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 中垂线为，0x =代入得552y p ==，2p ∴=． （2）设的方程为1y kx =+，代入24x y =得，，AB 中点为，令，，SABα∴=， D 到x 轴的距离，， 当20k =时，cos α取最小值12，α的最大值为3π，故SAB 的最大值为3π．21．【答案】（1）1a >，B A ⊆；（2）2m =． 【解析】（1），，()1,x ∈+∞．易知在()1,+∞上递减，．存在()01,x ∈+∞，使得()00m x '=，函数()m x 在()01,x x ∈递增，在递减，()0a m x ≥． 由()00m x '=得001ln x x =，，1a ∴>，B A ⊆．（2）令，，()1,x ∈+∞．，()1,x ∈+∞，由于，，x →+∞，，由零点存在性定理可知：，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．，()1,x ∈+∞，，x →+∞，()g x →+∞，同理可知，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．假设存在0x 使得，，消得， 令，，()h x ∴递增，，，，此时，所以满足条件的最小整数2m =．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程选讲 【答案】（1）直线:l y x =，曲线；（2）点M 的轨迹是椭圆夹在平行直线3y x =±之间的两段弧． 【解析】（1）直线:l y x =，曲线，（2）设点00(,)M x y 及过点M 的直线为，由直线1l 与曲线C 相交可得：，，即：，表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=得：，0∆≥得，故点M 的轨迹是椭圆夹在平行直线3y x =±之间的两段弧．。
2019年高考数学(文)：专题09-三角恒等变换与解三角形(命题猜想)(含答案和解析)
【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、（2018年全国III 卷）若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】，故答案为B.【变式探究】【2017山东，文7】函数最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【变式探究】(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.【解析】基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以 cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45.tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43. 【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】 （Ⅰ）由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得2a b c +=.【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2si n Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0， ∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c. 【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的应用例3、（2018年天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –)． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值． 【答案】(Ⅰ)B =；(Ⅱ)b =，【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B =．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =，有，故b =．由，可得．因为a <c ，故．因此，所以，【变式探究】【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形命题猜想】解析卷
2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形命题猜想】解析卷【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换例1、（2018年全国III 卷）若sin α=13，则cos 2α=A.89B.79C.−79D.−89【答案】B 【解析】，故答案为B.【变式探究】【2017山东，文7】函数最小正周期为A.π B.2π C.πD.2π【答案】C【变式探究】(1)已知θ是第四象限角，且＝35，则________.【解析】基本法：将θ－π4转化为－π2.由题意知si n＝35，θ是第四象限角，所以，所以＝45.＋π4－1cos＝－4535＝－43.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】（Ⅰ）由题意知，化简得，即.因为,所以.从而.由正弦定理得2a b c +=.【感悟提升】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】23π【解析】∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0，∴sin （B ＋C ）＋2si n Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0，∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3.(1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c.【解析】【感悟提升】求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】正、余弦定理的应用例3、（2018年天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –π6)．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．【答案】(Ⅰ)B =π3；(Ⅱ)b =7，【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理asin A =bsin B ，可得b sin A =a sin B ，又由，得，即，可得tan B =3．又因为B ∈(0 ，π)，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有，故b =7．由，可得sin A =37．因为a <c ，故cos A =27．因此，所以，【变式探究】【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
专题09 三角恒等变换与解三角形(仿真押题)-2018年高考数学(文)命题猜想与仿真押题(原卷版)
1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－717B ．177C ．717D ．－1772．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.723．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( ) A ．－15B.75 C ．－75D.344.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 35.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或33656．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.437．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－14C.34 D.148．在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B 2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4 B.14C ．－4D ．－149．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( )A.79B.13C ．－13D ．－7910．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.36 D.3811．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π1212．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.13．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.14．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．15.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.16.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.17．已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________． 18．已知函数f (x )＝2cos 2 x2＋3sin x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合；(2)若tan α2＝12，求f (α)的值．19．如图在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13， AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．20.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值. 21.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .22．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象．(1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．23．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．25.已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积. 26.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B ＝π2，AB ＝a ，B C ＝3a )地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN )，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A ′落在边BC 上，设∠AMN ＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN ，A ′N 的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度. 27．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 29．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．。
2019高考真题名校模拟(文数)三角恒等变换(含答案)
4.2 三角恒等变换五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点 三角恒等变换1．(2018课标全国III ，4,5分）若,31sin =α则=α2cos ( )98.A 97.B 97-.C 98-.D 2．（2017课标全国III ．4，5分）已知,34cos sin =-αα则=α2sin ( )97-.A 92-.B 92.C 97.D3．（2016课标全国111-6，5分）若,31tan =θ则=θ2cos ( )54.A 51.B 51.C 54.D 4．（2014课标I ．8,5分．0.795）设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且,cos sin 1tan ββα+=则( ) 23.πβα=-A 23.πβα=+B 22.πβα=-C 22.πβα=+D5．（2018课标全国II ，15，5分）已知,51)45tan(=πα则.tan α=___________ 6．（2017课标全国I ，15，5分）已知,2tan ),2,0(=∈απα则=)4cos(πα_________7．（2016课标全国I ．14，5分）已知θ是第四象限角，且 ,53)4sin(=+πθ则=)4tan(πθ________B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点 三角恒等变换1．（2017山东．4,5分）已知,43cos =x 则=x 2cos ( ) 41.A 41.B 81.C 81.D 2．I 2015重庆．6,5分）若,21)tan(,31tan =+=βαα则=βtan ( )71.A 61.B 75.C 65.D 3．（2017江苏，5，5分）若,61)4-tan(=πα则=αtan ___________4．（2016浙江，11，6分）已知>++=+A b x A x x （)sin(2sin cos 22ϕω),0则A=_______，b=________5．（2018江苏．16,14分）已知βα,为锐角．)cos(,34tan βαα+=⋅=55 (1)求α2cos 的值；(2)求)tan(βα-的值． 6．（2014江西．16，12分）已知函数)cos 2()(2x a x f +=)2cos(θ+⋅x 为奇函数，且,0)4(=πf 其中⋅∈∈),0(,πθR a(1)求θ,a 的值；(2)若)3sin(),,2(,52)4(παππαα+∈=的值． 7．（2014天津16,13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ．b ．c ．已知.sin 6sin ,66C B b c a ==- (1)求A cos 的值： (2)求)62cos(πA的值．8．（2015四19,12分）已知A ．B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程)(0132R p p px x ∈=+-+ 的两个实根． (1)求C 的大小；(2)若,6,3==AC AB 求p 的值．突破方法方法 三角函数式的化简求值 例 （2015广东，16，12分）已知.2tan =α(1)求)4tan(πα+的值：(2)求12cos cos sin 2sin 2--+αααααms 的值．1-1 （2016河北名师俱乐部3月模拟，8）已知∈θ,414cos sin ),4,0(=-θθπ则=+-)4cos(1cos 22θπθ( ) 32.A 34.B 43.C 23.D 1-2=-40tan 50cos 4（ ）2.A 232.+B 3.C 122.-D 三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点 三角恒等变换1．（2018辽宁东北育才学校三模）角α的终边与单位圆交于点),552,55(则=α2cos ( ) 51.A 51.B 53.C 53.D 2．（2018陕西榆林二中七模）设|)6cos(),2,0(παπα+∈若,54=则=αsin （ ） 10343.-A 10343.+B 10433.+C 10433.-D 3.( 2018甘肃张掖第一次质检)已知),2cos(4)2tan(θπθπ-==<θπθ2tan ,2||则( )815.A 815.B 715.c 715.D 4．（2018内蒙古呼和浩特质量普查）若,31)sin(=-απ且απ≤2,π≤则α2sin 的值为 ( )922.A 924.B 922.C 924.D5．（2016宁夏六盘山四模）已知,31sin =α则=α2cos ( )167.A 167.B 97.C 97.D6．（2017重庆巴蜀中学二诊）=+80sin 40cos 10sin 40sin ( )21.A 23.B50cos .C 23.D 7．（2017陕西师大附中二模）已知),,2(,54cos ππαα∈-=且则)4tan(πα+等于( ) 71.A 7.-B 71.C 7.D 8．（2017辽宁凌源实验中学、凌源二中联考）25cos 30cos 25sin 85cos o o +等于( )23.A 21.B 21.C 23.D 9．（2017黑龙江哈尔滨三中二模）已知,31)-3sin(=απ则=)2-6sin(απ( ) 97.A 97.B 97.±C 92.D 10.(2017甘肃兰州实战模拟）若βαβαcos cos ,231sin sin --=-,21=则=-)cos(βα__________ B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（每题5分，共30分） 1．（2018陕西榆林二模）已知,2||),2cos(3sin cos πθθπθθ<+=则=θ2sin ( ) 928.A 322.B 924.C 922.D2．（2018陕西榆林第一次模拟）若,02,20<<-<<βππα,33)24cos(,31)4cos(=-=+βπαπ则=+)2cos(βα( )935.A 33.B 2737.C 96.D3．（2018甘肃张掖第一次质量检测）若ααπ,43)tan(=-是第二象限角，则=-⋅+2sin2sin1απαπ ( )109.A 5.B 910.C 10.D 4.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模）已知),2,0(πα∈且),4cos(2cos 2απα=则α2sin 的值为 ( )81.A 81.B 87.C 87.D 5．(2017陕西西安模拟（一））已知,210cos 2sin ,=+∈αααR 则=α2tan ( ) 34.A 43.B 43.C 34.D 6．（2017内蒙古包头一模）设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且ααcos sin ,sin 1cos ββ-=则( ) ⋅=+22.πβαA 22.πβα=-B 22.πβα=+C 22.πβα=-D二、填空题（每题5分，共20分） 7．( 2018内蒙古包头一模）若),2,0(,32)3cos(παπα∈=则=)322cos(πα______8．（2017辽宁沈阳四校协作体联考）化简________80sin 380cos 1=- 9．(2016吉林东北师大附中等校联考．14）已知,0πθ<<,71)4tan(=+πθ那么=+θθcos sin ______ 10.（2017宁夏石嘴山三中二模）若),2,0(,53cos παα∈=则)6-sin(πα的值为_________ 答案。
2019届高考文科数学一轮复习专题演练：三角恒等变换(含解析)
, 求值域，而
大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、
倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，
“齐次化切”等．
【考点 1】利用诱导公式恒等变换 【备考知识梳理 】
诱导公式一： sin( 2k ) sin ， cos( 2k ) cos ，其中 k Z
45
π
tan( θ– )=
.
4
4
【答案】
3
5. 【 2019 高考山东文数】设 f ( x) 2 3sin( π x)sin x (sin x cos x)2 . （ I ）求 f (x) 得单调递增区间；
（ II ）把 y f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图
ii. 给值求值的原则：寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现
2
的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系
, 然后求解 .
常见的互余与互补关系
(1) 常见的互余关系有：
3
(2) 常见的互补关系有：
3
与
6 2
与
3
；
3
;
4
个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题
与
6 3
与
4
；
与
因此能否掌握好本重
点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否
. 在 2019 年复习备考过程中既要注重以下
几点：
1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注
意以下几点：
（ 1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
2019年高考数学仿真押题试卷十含解析
专题10高考数学仿真押题试卷（十）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合丄'-'讨丄；寸，7- 则£B =()AB . (3,4) C. (—2,1) D. (4,：：)【答案】B •2 .复数Z =2，则Z 对应的点所在的象限为（）1 +i A. 第四象限B ・第三象限C.第二象限Z.2•如土w【解析】解： ， 则Z =1 -i ，对应的点的坐标为（1,-1）位于第四象限,【答案】A •3•下列函数中，是偶函数且在区间（0,；）上单调递减的函数是（ ）【解析】解：T 集合一纠丄•• -：f 娟恥{x|3<z4}・3 = {x —<0}-{x|l<x<4} jf-4D.第一象限A. y =2xB. y= .xC. y =| x |D. y =1【解析】解：A•根据y =2x的图象知该函数非奇非偶，.该选项错误；B •根据y = 的图象知该函数非奇非偶，•该选项错误；C • x (0,::)时，y r|x|=x为增函数；即y Tx|在(0,;)上单调递增，.该选项错误；D •显然y=-x21为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0,二)上单调递减，.该选项正确. 【答案】D •v = cor(x+-)*sin;(x+^]4 •函数匚-的最小正周期为()A. 2-B. -C.二D.-2 4y - cos:(x+-i-sin:(x+-j = cos(2x +-]=一sin lx【解析】解：- - 一，2下.函数的最小正周期为：——二二，2【答案】B •5 •以下说法错误的是()A命题“若“ .SU，则x =1 ”的逆否命题为“若x=1，则-一”B. “ x =2 ”是“ 一- ”的充分不必要条件C. 若命题p :存在x o • R，使得'，则一p :对任意R，都有x2-x •仆0D. 若p且q为假命题，则p , q均为假命题【解析】解:A.“若“，则X =1 ”的逆否命题为“若x式1，贝3l+2#0 ”，正确;B •由■3i+2：，解得x =1 , 2,因此“ x =2 ”是“'-- ”的充分不必要，正确；C •命题p :存在怡• R，使得'，则一p :对任意R，都有x^x 1-0，正确;D .由p且q为假命题，则p , q至少有一个为假命题，因此不正确.【答案】D .6•在等差数列中，a i a5 =16，则S^( )A. 80B. 40C. 31D. —31 【解析】解：T在等差数列｛an｝中，印*5=16 ,二 3 =彳(坷 + 曲)=&“6=40【答案】B .7 .已知函数 d 咼颈期恥触)的部分图象如图所示，其中点A 坐标为2为(5 , _1)，点C 的坐标为(3, _1)，则f (x)的递增区间为(3【解析】解：设■■- - - ■ ■-，则:x =2心 y =3心- 2 ， 3 ， 5 十;x yz.k =1 时2 3 5 k ・1时，lii ；。
2019届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题2】三角函数及解三角形【1】及答案
1．(角度新)对任意x ，y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－π4，则sin 13π24cos 5π24等于( )A.3＋24 B.3－24C.1＋24D.1－242．(交汇新)在直角坐标平面内，已知函数f(x)＝log a (x ＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－12B.12C.710D ．－710A 因为函数y ＝log a x 的图象恒过定点P(－1,3)，由三角函数的定义知sin θ＝310＝31010，cos θ＝－110＝－1010， 则cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ＝110＋2×31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝110－610＝－12，故选A.3.(交汇新)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，要得到函数g(x)＝Acos ωx 的图象，只需将f(x)的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位A ∵ f(x)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，∴ f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2，∴ f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 又∵ Asin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝Asin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝Acos 2x ， ∴只需将f(x)的图象向左平移π6个单位，即得g(x)的图象.4.(定义新)对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种运算．＝(a 1，a 21，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f(x)上运动，且OQ →＝OP →＋n(其中O 为坐标原点)，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则y ＝f(x)的最大值为( ) A.12 B ．2C ．3D.3C 设P(x 1，y 1)，Q(x ，y)．∵ m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，31，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，3y 1. ∵ OQ →＝OP →＋n ，∴ (x ，y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，3y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴ x ＝x 12＋π6，∴ y ＝3y 1，∴ x 1＝2x －π3，y 1＝y 3， 又y 1＝sin x 1，∴ y 3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，显然当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1时，y ＝f(x)取得最大值3.[历 炼]1．解析：由sin x ＋cos y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－π4，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＋π4＝13π24，x ＋y 2－π4＝5π24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π4，y ＝π6.∴ sin 13π24cos 5π24＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋cos π6＝2＋34，故选A. 答案：A2．解析：函数恒过定点(－1,3)，则cos θ＝－110，sin θ＝310，sin 2θ＝－35，∴ cos 2θ＋sin 2θ＝110－35＝－12.故选A. 答案：A3．解析：由横坐标构成公差为π2的等差数列知，T 2＝π2， ∴ T＝π.又2πω＝π，则ω＝2.∴ f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56π＝Acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴ 要得到g(x)＝Acos 2x 的图象，只需将f(x)向右平移π6个单位．答案：B4．解析：设P(x 1，sin x 1)，Q(x 2，f(x 2))，则由OQ →＝m ⊗OP →＋n 得(x 2，f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3⊗(x 1，sin x 1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋π6，3sin x 1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12x 1＋π6，2＝3sin x 1，∴ f(x 2)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 即f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∴ f(x)的最大值为3. 答案：C。
2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形仿真押题】解析卷
2019年高考数学文科二轮复习专题【三角恒等变换与解三角形仿真押题】解析卷1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．－717B ．177C ．717D ．－177【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717，故选C. 【答案】C2．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( ) A ．2 B.52 C ．3 D.72【解析】由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a ＝2，故选A.【答案】A3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( )A ．－15 B.75 C ．－75 D.34【答案】A4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3【解析】c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得 ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 【答案】C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365B.3365C.1365D.6365或3365【解析】依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79【答案】D13．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π4【解析】由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B b ＝2×sinπ33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4，故选B.【答案】B14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2C,2b cos C －2c cos B ＝a ，则角A 的大小为( )A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】由正弦定理得2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin B cos C ＝3sin C cos B ，sin2C cos C ＝3sin C cos2C,2cos 2C ＝3(cos 2C －sin 2C )，tan 2C ＝13，∵B ＝2C ，∴C 为锐角，∴tan C ＝33，C ＝π6，B ＝π3，A ＝π2，故选A. 【答案】A15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 6【解析】b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D.【答案】6－2424.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.【答案】4001325．已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________． 【解析】因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，又sin 2 A ＋cos 2 A ＝1，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417.【答案】641726．已知函数f (x )＝2cos 2 x2＋3sin x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； (2)若tan α2＝12，求f (α)的值． 【解析】(1)f (x )＝1＋cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1，所以当cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，即x －π3＝2k π，x ＝2k π＋π3(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为3，此时相应的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. (2)f (α)＝2cos 2 α2＋23sin α2cos α2＝2cos 2 α2＋23sin α2cos α2cos 2 α2＋sin 2 α2＝2＋23tan α21＋tan 2 α2＝8＋435. 27．如图在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD ＝3.(1)求AD 的长；(2)求△ABC 的面积．(2)在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，又由cos ∠BAD ＝223得sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝63，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝63. 因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以cos ∠C ＝63. 在Rt △ADC 中，cos ∠C ＝63，则tan ∠C ＝22＝AD AC ＝3AC ，所以AC ＝32，(2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12， 易得f (A )＝sin(3A －π6)－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sin B sin C ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)， 因为0<A <π， 所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin(3A －π6)≤1， 所以－1<sin(3A －π6)－12≤12， 所以函数f (A )的值域为(－1，12]．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．33.已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.【解析】(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋32＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＋32＝12cos2x ＋32sin2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2.因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π2＝π.34.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B ＝π2，AB ＝a ，BC ＝3a )地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN )，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A ′落在边BC 上，设∠AMN ＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN ，A ′N 的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度. 【解析】解 (1)由∠B ＝π2，A B ＝a ，BC ＝3a ， 所以∠BAC ＝π3.设MA ＝MA ′＝xa (0<x <1)，则MB ＝a －xa ， 所以在Rt △MBA ′中，cos(π－2θ)＝a －xa xa ＝12， 所以x ＝23.38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ； (2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.。
专题09 三角恒等变换与解三角形仿真押题-2017年高考数
专题09 三角恒等变换与解三角形（仿真押题） 2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．－717B ．177C ．717D ．－177解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－512＋11＋512＝717，故选C. 答案：C2．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a ＝2，故选A.答案：A3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( )A ．－15B.75 C ．－75D.34答案：A4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.3B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.答案 C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365答案 A6.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________. 解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－247.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.答案 400138．已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________． 解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，又sin 2 A ＋cos 2 A ＝1，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417. 答案：64179．已知函数f (x )＝2cos 2 x2＋3sin x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； (2)若tan α2＝12，求f (α)的值．解析：(1)f (x )＝1＋cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1，所以当cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，即x －π3＝2k π，x ＝2k π＋π3(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为3，此时相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z .(2)f (α)＝2cos 2 α2＋23sin α2cos α2＝2cos 2 α2＋23sin α2cosα2cos 2 α2＋sin 2 α2＝2＋23tanα21＋tan 2α2＝8＋435.10．如图在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，所以sin ∠BAC ＝223.又sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ＝223，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ， 即AD 2－8AD ＋15＝0，解得AD ＝5或AD ＝3，由于AB >AD ， 所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，又由cos ∠BAD ＝223得sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝63，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝63. 因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以cos ∠C ＝63.在Rt △ADC 中，cos ∠C ＝63，则tan ∠C ＝22＝AD AC ＝3AC， 所以AC ＝32，则△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×32×32×223＝6 2.11.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .解 (1)由正弦定理得：sin C sin B ＝sin B cos C . 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，∴C ＝45°. 又b cos C ＝3，所以b ＝3 2.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25.所以c ＝5.12．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．解 (1)因为g (x )＝2sin(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)，所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1.(2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)，所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ∈π3＋2k π(k ∈Z)时，g (x )取得最大值．因为x ＝B 时g (x )取得最大值， 又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4，所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4， 所以b 的取值范围是2,4)．13．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域． 解 (1)f (x )＝32sin2ωx －12(cos2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12，易得f (A )＝sin(3A －π6)－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sin B sin C ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π， 所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．(2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A， 得c ＝a sin C sin A＝8，∴S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.15.已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋32＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＋32＝12cos2x ＋32sin2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2.因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6.由正弦函数图象可知，当2x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值3，又A 为锐角，所以2A ＋π6＝π2，A ＝π6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得1＝b 2＋3－2×3×b ×cos π6，所以b ＝1或b ＝2，经检验均符合题意. 从而当b ＝1时，△ABC 的面积 S ＝12×3×1×sin π6＝34； 当b ＝2时，△ABC 的面积 S ＝12×3×2×sin π6＝32. 16.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B ＝π2，AB ＝a ，BC ＝3a )地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A ′MN )，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A ′落在边BC 上，设∠AMN ＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN ，A ′N 的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度. 解 (1)由∠B ＝π2，AB ＝a ，BC ＝3a ，所以∠BAC ＝π3.设MA ＝MA ′＝xa (0<x <1)，则MB ＝a －xa ， 所以在Rt △MBA ′中，cos(π－2θ)＝a －xa xa ＝12，所以x ＝23.由于△AMN 为等边三角形， 所以绿地的面积S ＝2×12×23a ×23a ×sin π3＝239a 2.2sin θsin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin 2θ＋3sin θcos θ＝12＋32sin2θ－12cos2θ＝12＋sin(2θ－π6)， 因为π4<θ<π2，所以π3<2θ－π6<5π6，所以当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时， AN 的值最小，且AN ＝23a ，此时绿地公共走道的长度MN ＝23a .。
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1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝π12 C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】D2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.32C.22D ．1【解析】由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 8．函数的图像是（ ）【答案】D9．定义22⨯矩阵，若，则()f x （ ）A.图象关于(),0π中心对称B.C. D.周期为π的奇函数【答案】C【解析】由题中所给定义可知，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.10．已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）ABC D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C11．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425【解析】由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，故选D. 【答案】D12．若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎫π12，0D.⎝⎛⎭⎫－π12，0【解析】将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A. 【答案】A13．已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45 D.54【解析】sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－342＋1＝2125，故选A. 【答案】324．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间为：2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6k ∈Z 与x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6.【答案】⎣⎡⎦⎤0，π625．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.【答案】π326．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．【解析】将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为 y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋ω－4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ω＋4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－4＝ωx －ω＋4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2. 【答案】227．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．28．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由①②求得．（2）对于函数，令2kπ4kπ可得函数的增区间为k ∈Z ．令可得函数的减区间为∈Z ． 33．已知函数的图象关于直线个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2【解析】（2）再根据34．如图是函数的部分图象，直线是其两条对称轴.f x的解析式和单调增区间；（1）求函数()（2【答案】(1),函数()f x 的单调增区间为;(2)【解析】【解析】（1）由题意，，∴πT =． 又0ω>，故2ω=，∴．由，解得，∴．(2)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}． 37．已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．。
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向★★★分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．2．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
高考数学复习压轴题型专题讲与练习09 三角函数与三角恒等变换经典(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习 专题09 三角函数与三角恒等变换经典一、单选题1．已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++=++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x 最大值，10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x 的最大值为172. 故选：B2．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()|sin |g x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】首先分析()f x 和()g x 的函数性质，再将函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数转化为()f x 与()g x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像的交点个数问题即可求解. 【详解】()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数；因为()|sin |g x x x π=，易知()g x 为偶函数，令()|sin |l x x π=，易知()l x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1(,1]2上单调递减，在3(1,]2上单调递增，在3(,2]2上单调递减， 易得(0)(1)(2)0l l l ===，13()()122l l ==， 当02x <≤时，()|sin |sin |g x x x x|x ππ==，则()g x 是由()l x 图像纵坐标伸长或缩短x 倍得到的函数，又由于x 为自变量，故定存在1[0,1]x ∈，使得()g x 在1[0,]x 上单调递增，在1[,1]x 上单调递减；同理，存在2]2[1x ∈，，使得()g x 在2[1,]x 上单调递增，在2[,2]x 上单调递减；令()()()0h x f x g x =-=，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数可转化为函数()f x 与()g x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像的交点个数，当0x =时，01(0)14f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)|0sin 0|0(0)(0)g f g =⨯=⇒>；当12x =时，12111242f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111sin 222222g f g π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；∴()f x 与()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个交点； 同理可得，()f x 与()g x 在1(,1]2，3(1,]2，3(,2]2上各有一个交点； ∵()f x 与()g x 均为偶函数，∴()f x 与()g x 在1[,0)2-上有一个交点；综上所述，()f x 与()g x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有五个交点.故选:C .3．设函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2610,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2658,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3458,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．26103458,,9399⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【分析】由题意，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得ω的范围． 【详解】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点， 即1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．[4x ωπω∈，3]4ωπ， 当46ωππ<，则5352646πωπππ<+，求得ω∈∅；当46ωππ=，3346ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有1个根，不满足题意；当5646πωππ<<，324646πωππππ+<+，求得261093ω<； 当546ωππ=，则3542ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有3个不同的根，满足条件，此时，103ω=， 当246ωπππ=+，33646ωπππ=+，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有5个不同的根，不满足题意；当246ωπππ>+时，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有5个不同的根，不满足题意．综上，可得261093ω， 故选：A ．4．已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.5．在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）AB C D 【答案】A 【分析】()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，化简得21sinsin sin C C C A Bλ⎫=⎪⎭，再由112tan tan tan A B C ++为定值，化简得到3sin cos sin cos 2k C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，列出方程组，即可求解. 【详解】由1πtan ,(0)32θθ=<<，可得sin θ=cos θ=因为()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，得2sin sin sinA B C C C λ⎫⋅=⎪⎭，即21sin sin sin C C C A Bλ⎫=⎪⎭， 又由112cos cos 2cos tan tan tan sin sin sin A B CA B C A B C++=++ sin 2cos sin sin sin C C A B C =+2sin 2cos sin sin sin sin C C A B C C=+112cos 11cos 2cos sin sin sin sin C C C C C k C C C C λλλ⎫=⨯+=+=⎪⎭（定值），即3sin cos cos sin C C C C λ-+=，即3sin cos sin cos 2kC C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，可得321k λλ⎧=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得6k =，λ=. 故选：A ． 【点睛】方法点拨：解答中把112tan tan tan A B C++为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为3sin cos sin cos 2kC C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【答案】A 【分析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t . 【详解】06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-，由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-. 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-在区间[2,]m -上有2021个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．2015,10082⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20171008,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2017,10092⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20191009,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数()y f x =和sin y x =π的图象，观察其交点的分布规律，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-，又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又由函数sin y x =π的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称， 因为当()0,1x ∈时，2()log f x x =-， 由图象可知，函数2()log f x x =-和sin y x =π的图象在[]1,1-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[]2,m -上有2021个零点， 其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点， 可得实数m 满足20162016122442m ⨯≤<⨯+，即20171008,2 m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈. 故选：B.【点睛】应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键.8．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】画出图形，将问题转化为y t =与()y f x =图像的交点，可得123x x π+=-，根据t 的范围，可得34x x ，然后可得1234x x x x ++，简单判断可得结果. 【详解】 如图所示：依据题意可知：非负实数t ，所以123x x π+=-，当()sin 6t =-时，则()242sin 6x x -+=-，即()242sin 60x x -+--=所以()342sin 6x x =--当1t =时，则2421x x -+=，即2410x x -+=，所以341x x = 所以()123432s 63in 1x x x x ππ≤-+-+<++-- 所以只有8-一个整数在这个范围， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据t 的范围，求得34x x ，进行判断.9．已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D 【分析】将已知等式变形为3ππsin 266m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππsin 266m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()3sin f x x x =+，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.设()3sin f x x x =+，则()'23cos f x x x =+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，所以()'0f x >；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，所以()'0f x >．所以()'0f x >恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，从而()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2ππππcos cos sin 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3π6α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32πππcos sin 2366m ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33πππππcos sin 262666m ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而ππ066αβ-+-=，即π3αβ+=，故()π1cos cos 32αβ+==． 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题关键是构造函数()3sin f x x x =+，将已知条件转化为ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用函数()f x 的单调性及奇偶性解决.10．22sin 42cos 123cos361︒︒︒+＝ （ ）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】A先求出cos36︒，然后，利用2221s (in 42o cos 3123s c 311c s 66os )42o 31c 63︒︒︒=++︒︒+，代入 cos36︒的值求解即可【详解】sin 72cos72sin1441cos36sin18cos36cos722sin 364sin 364︒︒︒︒︒=︒︒===︒︒，1cos36sin18sin 54sin18sin(3618)sin(3618)2cos36sin182︒-︒=︒-︒=︒+︒-︒-︒=︒︒=令cos36x =︒，得1sin184x ︒=， 1142x x ∴-=，x ∴=cos36∴︒= 所以，()222sin 42cos12sin 42cos 123cos3613cos361︒︒︒︒︒=+︒+[]21sin(4212)sin(4212)43cos361︒+︒+︒-︒=︒+ ()1sin 54sin 3043cos361︒+︒=︒+()2221111cos3642423cos3611314⎫⎛⎫⎪︒+ ⎪⎝⎭⎝⎭==︒++1(713218(74+==+ 故选：A 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用sin1441cos36sin184sin 364︒︒︒==︒和 1cos36sin182︒-︒=，求出cos36︒，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题二、多选题 11．已知sin 21()sin cos 2x f x x x +=++，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 C ．()f x的值域是[0,2D ．若方程8()3f x =在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有实根按从小到大的顺序分别记为12,,,n x x x ，则1231222115n n x x x x x π-+++++=【答案】ACD 【分析】化简函数()f x ，对A 选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B ，C 选项，换元借助导数求解并判断；对D 选项，利用对称性、周期性计算并判断. 【详解】依题意有222)]()(sin cos )44()sin cos 2)2sin()44x x x x f x x x x x ππππ+++===+++++， 对于A选项：22()()22()()44sin()sin()22x x f x f x x x ππππππ+-+=-==+- 即()()44f x f x ππ+=-，()f x 的图像关于直线4x π=对称，A 正确；对于B 选项：,0,sin()24x t x ππ⎛⎫∈-=+ ⎪⎝⎭在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，t <<()g t =()g t '=，0t <<时()0g t '<，0t <<()0g t '>，即()g t在(不单调， 由复合函数单调性知，()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，即B 错误；对于C 选项：令sin(),4t x x R π=+∈，则()[1,1]g t t =∈-，()g t '()g t 在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，min ()(0)0g t g ==，(1)2g -==(1)2g ==max ()(1)2g t g =-=()g t的值域是[0,2，()f x的值域是[0,2+，C 正确； 对于D选项：由已知得222()843sin ())0344sin()4x x x x ππππ+=⇔+-+-=+，解得sin()43x π+=-或sin()4x π+=舍去)，由()424x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈得函数sin()4y x π=+图象在区间450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦且确保sin()4x π+=成立的，对称轴为(,10)4x k k N k ππ*=+∈≤，sin()4x π+=在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有11个根1211,,,x x x ， 数列1{}(,10)i i x x i N i *++∈≤构成以1255242x x ππ+=⋅=为首项，2π为公差的等差数列， 1231101101151(222)10910221125i i i x x x x x x x πππ+=++++=+=⋅+⋅⋅=⋅+∑，D 正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键. 12．已知函数()|||cos |f x x x +，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点 【答案】ACD 【分析】可判断函数为偶函数，讨论x 的范围，化简可得函数单调性，画出函数的图象即可判断. 【详解】()()()|||cos ||||cos |f x x x x x f x -=-+-=+=，()fx ∴为偶函数，当27,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x <，所以()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可得()f x 在27[,]36ππ上单调递减，故A 正确；当0x ≥时，由cos 0x ≥可得()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以函数在2,223k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦且0x ≥上为增函数，在2,232k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦且0x ≥上为减函数，当0x ≥时，由cos 0x ≤可得()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数在22,223k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦且0x ≥上为增函数，在232,232k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦且0x ≥上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故()f x 不是周期函数，故B 错误；方程()=f x m 在区间[0,]π内根的个数，等价于()y f x =与y m =的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C 正确；由函数图象可得()f x 在区间[]10,10-有6个零点，故D 正确. 故选：ACD.13．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3πB ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3xy f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象【答案】ABD 【分析】先根据条件等式以及极值点个数列出关于ω的等式与不等式，由此确定出ω的取值，从而()f x 的解析式可求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值、图象的变换. 【详解】因为(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2,266k k Z πππωπ-=+∈或52,266k k Z πππωπ-=+∈，所以24,3k k Z ω=+∈或24,k k Z ω=+∈；因为()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，且,6626x ππππωω⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以572262ππππω<-≤，所以162233ω<≤， 所以24,k k Z ω=+∈时，1k =满足条件，所以6ω=，()sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；A.23T ππω==，故正确；B.令262,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,31839k k x k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；C.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以46,663x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 4sin 3f x π==，故错误；D. ()sin 2g x x =图象向右平移12π个单位得到sin 2sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为sin 236x y f x π⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解形如()()()sin 0f x A x B A ωϕ=++>的函数的单调递增区间的步骤如下：（1）先令2,2+,22x k k k Z ππππωϕ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦+∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递增区间.14．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1i x ≤，()1,2,,i n =，且310n i i x ==∑，则13ni i n x =∑≤D ．设方程38610x x --=的三个实数根为1x ，2x ，3x ，并且123x x x <<，则()2232312x x x x -=-【答案】ACD 【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简cos3x 即可判断选项A ；令cos x θ=，则3cos343x x θ=-，根据三角函数的有界性得到3431x x -≤，进而判断B 选项；令1i i z x =+，其中1i x ≤，0i z ≥，问题转化为143nii z n =∑≤，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程38cos 6cos 10αα--=得到9πα=或59或79π，比较大小得到17cos 9x π=，25cos 9x π=，3cos9x π=，再验证()2232312x x x x -=-是否成立即可.【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22322cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos x x x x x x x x =--=---34cos 3cos x x =-，A 对令cos x θ=，则1x ≤，3cos343x x θ=-，则cos31θ≤，B 错； 令1i i z x =+，其中1i x ≤，0i z ≥()3110nii z=-=∑，即()3213310ni i i i z z z =-+-=∑∴()2133ni i i i z z z n =-+=∑由2233333244ii i z z z ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()2113334nn i i i i i i n z z z z ===-+∑∑≥143ni i z n =∑≤，即()1413n i i x n =+∑≤，∴13ni i n x =∑≤ ∴13ni i nx =∑≤，C 对；令cos x α=，[)0,3απ∈，[]1,1x ∈-38cos 6cos 10αα--=，即2cos31α=即1cos32α= ∵[]0,απ∈，∴9πα=或59或79π令()3861f x x x =--，()10f -<，102f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()00f <，()10f >∴()f x 的根都在[]1,1-，∴17cos 9x π=，25cos 9x π=，3cos 9x π=()222232315210722cos cos cos cos cos cos 999999x x x x ππππππ⎛⎫-=-=-=-+=- ⎪⎝⎭，D 对 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考察学生分析问题解决问题的能力，对学生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.15．已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD 【分析】化简函数()5sin(2)f x x ϕ=+，根据任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，得到0x 是函数()f x 的最小值点，可判定A 不正确；由函数()f x 的最小正周期为T π=，得到02x π+为函数()f x 的最大值点，可判定B 正确；由区间00),4(x x π+上()0f x <，此时()0g x =，可判定C 错误；取4πθ=-，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()3sin 24cos 25sin(2)f x x x x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=， 因为对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，即0x 是函数()f x 的最小值点，所以函数()f x 关于0x x =对称，所以000()()()f x x f x x f x x +=-+≠-，所以A 不正确；由函数()5sin(2)f x x ϕ=+的最小正周期为22T ππ==，所以02x π+为函数()f x 的最大值点，所以0()2)(f x f x π≤+，所以B 正确；因为()00f x <，且0x 是函数()f x 的最小值点，可得0()40f x π=+，所以在区间00),4(x x π+上()0f x <，此时()0g x =，故不存在0θ>，使得()g x 在00),(x x θ+上有且仅有2个零点，所以C 错误；取4πθ=-，则在005,124()x x ππ--内，()f x 单调递减且()0f x >，所以()()2g x f x =单调递减，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.第II 卷（非选择题）三、填空题 16．111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.【答案】1sin1︒ 【分析】先利用两角和差化积公式凑配化简得1111()sin sin(1)sin1tan tan(1)n n n n =-︒⋅+︒︒︒+︒，代入原式即可得解. 【详解】()()()()()()()sin 1sin 1cos cos 1sin 111sin sin 1sin1sin sin 1sin1sin sin 1n n n n n n n n n n n n +︒-︒+︒︒-+︒︒=⋅=⋅︒⋅+︒︒︒+︒︒︒+︒1cos cos(1)111()()sin1sin sin(1)sin1tan tan(1)n n n n n n ︒+︒=⋅-=-︒︒+︒︒︒+︒，111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+︒︒︒︒︒︒111111cos90()sin1tan 45tan 46tan 46tan 47tan89sin90︒=-+-+⋯+-︒︒︒︒︒︒︒ 1(10)sin1=-︒1sin1=︒. 故答案为：1sin1︒. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简1111()sin sin(1)sin1tan tan(1)n n n n =-︒⋅+︒︒︒+︒是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.17．设()sin 2cos2f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则对于以下四个结论：①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④()f x 的单调递增区间是()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）． 【答案】①③ 【分析】利用辅助角公式可得())f x x ϕ+且tan baϕ=，根据题设不等式恒成立可得6k πϕπ=+()k ∈Z ，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.【详解】由题设，()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=++且tan b aϕ=，∵()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，∴sin()13πϕ+=±，即32k ππϕπ+=+()k ∈Z ，则6k πϕπ=+,①()1111in()2626)10f k k πππππ+++=，正确；②17()sin()1)]67710530f k k ππππππ=++++，而217()))63055f k k ππππππ=++=+，所以7105f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；③()2)6f x x k ππ-=-++，故()()0f x f x -±≠，即()f x 是非奇非偶函数，正确；④因为()f x 在11222262k x k k ππππππ-≤++≤+1(,)k k Z ∈上单调递增，所以11(2)(2)2326k k k k x ππππ---≤≤+，令12k k k '=-，则2326k k x ππππ''-≤≤+等价于22623k k x ππππ''+≤≤+上()f x 单调递增，错误； 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式求得())f x x ϕ+，由正弦函数的性质及不等式恒成立有sin()13πϕ+=±求ϕ值.18．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.【答案】11 【分析】先根据函数的图象及其所过的点可求56πφ=，再根据图象的对称性可求65n ω=-+(n Z ∈)，求出函数单调区间的一般形式，利用14(,)333ππ为前者的子集可求ω的范围，从而可求ω的最大值. 【详解】∵函数()f x 的图象经过点(0,1)，∴2sin 1φ=，1sin 2φ=，||φπ<，∴56πφ=或6πφ=. 若6πφ=，则()2sin()6f x x πω=+，则当233x ππωω-≤≤时，262x πππω-≤+≤，故()f x 在2,33ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，这与题设中的图象不符合，故56πφ=. ∴5()2sin()6f x x πω=+，由()f x 的图象关于点(,0)6π-对称，得5()66n ππωπ⨯-+=，n Z ∈，即65n ω=-+(,0n Z n ∈≤)， 令5,262k x k k Z ππππωπ-≤+≤+∈，则433,k k x k Z ππππωω--≤≤∈， 故()f x 的单调区间为433,,k k k Z ππππωω⎡⎤--⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ∵()f x 在区间14(,)333ππ上单调，故存在整数k ，使得41433,333k k k Z ππππππωω-<≤≤-∈， 故34,331114k k Z k ωω≥-⎧⎪∈⎨-≤⎪⎩，因为0>ω，故1k，且33113414k k --≤， 故15k ≤≤即1,2,3,4,5k =， 故1107ω<≤或55214ω≤≤或4457ω≤≤或121814ω≤≤或11ω=. 又65n ω=-+(n Z ∈)，∴5ω=或11ω=，∴ω的最大值是11. 故答案为：11. 【点睛】方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参数的取值范围.19．已知,a b ∈R ，若函数()|sin cos 1||sin cos |f x a x b x b x a x =+-+-的最大值为5，则22a b +=________. 【答案】8 【分析】用辅助角公式变形22sin cos sin()a xb x a b x，sin cos )b x a x x ϕ-=+，然后分析sin()x ϕ+的符号得出()f x 达到最大值时的条件，在此条件下再变形()f x 的表达式（去掉绝对值符号）1，从而得出结论． 【详解】 设22sin cos sin()a xb xab x，其中cos ϕ=sin ϕ=则sin cos sin cos cos ))b x a x x x x ϕϕϕ--=+，∴())1)f x x x ϕϕ+-+，当sin()x ϕ+取负值时，()f x 取得最大值， ∴()f x 达到最大值时，())1)f x x x ϕϕ=+++)cos()]1x x ϕϕ=+±++))1x x ϕϕ⎫=+++⎪⎪⎭14x πϕ⎛⎫=+±+ ⎪⎝⎭，∴当sin 14x πϕ⎛⎫+±=- ⎪⎝⎭时，()max 15f x ==，解得228a b +=．（解题过程中同时取“＋”或“－”）sin()x ϕ+是负值，x ϕ+的终边在x 轴下方，那么4x πϕ++或4x πϕ++-的终边在y 轴负半轴（含原点）是可以达到的，即最大值能取到． 故答案为：8． 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，考查三角函数的最值，考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力．20．在锐角三角形ABC 中，已知22222cos cos sin 4cos cos B A B A B +=，则2sin 2sin 24cos 2sin 2sin 2A BC A B+的取值范围是________. 【答案】61,132⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到22cos cos A B 取值范围，利用三角函数的恒等变换化简2sin 2sin 24cos 2sin 2sin 2A BC A B+为22sin sin cos cos 13cos cos A B A BA B-，构造函数利用导数研究其值域即可.【详解】由题意可得，()22222cos cos 1cos 4cos cos B A B A B +-=，即2222cos cos 5cos cos B A A B +=.不妨设22cos ,cos ,A a B b == 则22sin 1,sin 1,5,A a B b a b ab =-=-+=由151a b a =<-得11,4a << 令()22252(),'()5151x x x f x f x x x -==-- ， 12()0,(,),()45f x x f x '<∈单调递减，2()0,(,1),()5f x x f x '>∈单调递增，2,()5x f x =取得极小值，也是最下值，(1)(0)f f >， 所以()f x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为()241,1,5254f f ⎡⎫⎛⎫⎡⎫= ⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎣⎭⎣⎭，所以241,51254a ab a ⎡⎫=∈⎪⎢-⎣⎭,又△ABC 为锐角三角形，所以()cos 0A B +=，则15ab < ，故41,255ab ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ . ()2sin 2sin 2sin 2sin 24cos 2sin 2sin 22cos212sin 2sin 2A B A B C A B C A B =+++ ()sin 2sin 22cos 222sin 2sin 22A BA B A B =+++()()22sin 2sin 2sin 2sin 22cos2cos2222cos 12cos 12A B A BA B A B ==+--+22sin sin cos cos 13cos cos A B A BA B=-==, 令()()23(14)15(),'()1313x x xg x g x x x --==--，故()g x 在41,255⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，61,,132⎡⎫=⎪⎢⎣⎭故2sin 2sin 24cos 2sin 2sin 2A B C A B +的取值范围是61,132⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：61,132⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.。
2019年高考数学专题三角函数与三角恒等变换(第三季)压轴题必刷题理
专题04三角函数与三角恒等变换第三季1．一个三角形的三条边恰为，，.则这个三角形中最大角为（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】显然，，, 均为正值，.易知，.又,即以,,为边确实可作成一个三角形，其中为这个三角形的最大边.设它所对的角为，则，故, 选B.2．已知边长为、、的三角形的面积不小于．则此三角形为（）．A．非等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】设的面积为，则．由余弦定理得．∴．①同理，，②，③①②③得．令，则．整理成关于的二次方程．由于为实数，所以方程成立的条件是判别式，即，．为使此不等式有解，必须．．由于，得．∴．∵，∴．∴．故．选C.3．已知．则的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】D解法2：由已知有．同理，．∴．有．当，时，可以取到最大值；当，时，可以取到最小值．4．已知为锐角.则是的（）.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解法1：必要性.取，有.充分性.由三维平均值不等式，有，（1）（2）（1）、（2）两式左右两边分别相加左边，右边.这说明，（1）、（2）两式同时取等号，有得但为锐角，故.解法2：解方程求出唯一解便可确定为充要条件.由，有.设，则，且.∴.解得，舍去.故只有，得，故，.所以，条件是充分必要的.故答案为：C5．函数的值域为（）.A． B． C． D．【答案】D6．已知方程在上仅有一个实数解.则参数的取值范围是（）. A． B．C． D．以上选项都不对【答案】D【解析】方程可化为.当时，有.显然，当时，方程仅有一实数解，从而，.当时，或.解得或.因，所以，方程也仅有一实数解，此时，，即.故参数的取值范围为及.故答案为：D7．已知函数的图像关于直线对称.则函数的图像关于直线()对称.A． B． C． D．【答案】C【解析】令.由题设有又,.故所以,的一个对称轴为又的周期为,故其另一个对称轴为. 选C.8．若为奇函数,且在为减函数,则的一个值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】显然,由,得即.故.解得.所以,.因在为减函数,即在为减少数,故k为奇数当时,. 选B.9．若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得.因为，所以，.因为,所以.故答案为:10．凸四边形ABCD中，，BC=CD=DA=1.设S、T分别为△ABD、△BCD的面积，则的最大值是（）.A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】如图，设BD=x，，作.则，E为BD的中点.，.故.当时，取最大值. 选C.11．在△ABC中，如果.其中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则△ABC 的面积是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意结合余弦定理有：..则△ABC为直角三角形，且.综上所述△ABC面积为ab.故选：A.12．设．则的大小关系是（）．A． B． C． D．【答案】B13．函数的最大值是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】要使y最大，应有不妨设则即①所以，由，得解得或（舍去）.将代入式①得.故14．在中，已知，且.则的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知有.因为，所以，，.由，得.故.当且仅当时，上式等号成立.所以，.又，则的取值范围为. 选C.15．在中，中线与垂直交于点.则的最大值是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，在中，设，，，，.则，.在、和中，分别应用勾股定理得，，.由余弦定理得.又是锐角，则. 选B.16．设的内角、、所对的边、、成等比数列．则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D17．设的周长为12，内切圆半径为1.则（）A．必为直角三角形 B．必为锐角三角形C．必为直角三角形或锐角三角形 D．以上结论均不对【答案】D【解析】因为的周长为12，所以的内切圆半径为1当且仅当的面积为.则由式②得.由式①得，代入上式得.于是，、为方程③的两个根.特别地，当时，解得.此时，，方程③的判别式.又由增加一个非常小的角度，可使方程的判别式仍大于0，此时，仍可由方程组解出、，再得到，这时，三边长与3、4、5也相差很小.因此，由钝角三角形满足周长为12，内切圆半径为1.18．在中，，．则、的大小关系是（）．A． B．C． D．无法确定【答案】B【解析】在中，．同理，，．三式相加得．19．对于任意的，不等式恒成立.则m的取值范围是（）.A． B． C． D．或【答案】B【解析】令，记.则已知条件转化为，当时，恒成立.等价于解得故.20．对，使①的、应满足的充分必要条件是（）．A．且 B．且C． D．【答案】D【解析】。
精选最新2019年高中数学单元测试试题-三角恒等变换专题模拟考试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 三角恒等变换专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25242．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 （ ）A ．214B ．214-C ． 414D ．414-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 3．35cos()3π-的值是 ▲ ．4．若αα 5．计算：483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-．6．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ．725- 7．已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______ .8．若锐角βα,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-515cos cos 55sin sin βαβα，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ-++=+-+9．在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为10．计算：0121734520C C C C ++++11．计算12323nn n n n C C C nC ++++ 12n n -⋅ .12．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为 ．13．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系 ▲ ．14．已知：0<α<π2，-π2<β<0，cos(α-β)=35且tan α=34，则sin β=_____________.15．已知53)sin(,1312)cos(,432-=+=-<<<βαβαπαβπ，则=α2sin 16．在△ABC 中，若tan tan tan A B C ++=1，则tan tan tan A B C = ．17．已知1cos 3sin -=-m αα，则实数m 的取值范围是 18．若0≤x ≤2π，21cos sin =x x ，则=+++x x cos 11sin 11_____________.19．︒-︒20sin 320tan 的值是 ▲ ．三、解答题20．（本大题满分14分）已知312sin ,(0,),cos ,(,)52132ππααββπ=∈=-∈.求)sin(βα+的值.21．已知17cos ,sin(),(0,),(,)3922ππβαβαβπ=-+=∈∈． （1）求cos 2β的值；（2）求sin α的值．（本题满分14分）22．已知51cos sin =-θθ． （1）求θθcos sin ⋅的值；（2）当πθ<<0时，求θtan 的值．（本小题14分）23．已知tan22α=，第15题(1)求αtan 的值； （2）求tan()4πα+的值；（3）求2sin 2cos 1cos 2ααα++的值. （本大题15分）24．已知113cos ,cos()714ααβ=-=且0.2πβα<<< （1）求tan 2α的值； （2）求β的值。
精选最新版2019年高中数学单元测试试题-三角恒等变换专题模拟考试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 三角恒等变换专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．已知4cos()25πθ+=，则cos2θ的值是 ▲ ． 2． 已知2110100x x C C +-=，则x = .3．已知3sin()45x π-=，则sin 2__________x =．4．给出下列各式：①15cos 15sin ⋅；②12sin 12cos 22ππ-；③5.22tan 15.22tan 2-；④26cos1π+其中值为21的有 。
（写出你认为适合的所有式子的序号）(5．已知1249a =，则23log a = .6．已知10,02=>xaa ,则xx xx a a a a --++33= .7．对于函数f(x)=cosx+sinx ，给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_______________. ①存在a ∈(0,),使f(a)=;②存在a ∈(0,),使f(x+a)=f(x+3a)恒成立;③存在φ∈R,使函数f(x+φ)的图象关于y 轴对称;④函数f(x)的图象关于点(，0)对称.8．已知225,xx-+= 则88x x -+=9．已知12cos 1cos sin =-⋅ααα，2tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-等于____ ___.10．已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα= .11．已知απαtan ,2)4tan(则=+= 。
12．设直线m x =分别交函数x y sin =、)2sin(π+=x y 的图像于M 、N 两点，则M 、N的距离的最大值为 。
13．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ．725- 14．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系 ▲ ． 15．,24,32)4sin(παπαπ<<-=-则=αsin 16．已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin()4απα-的值为 (2011年高考重庆卷理科14)17．已知θ是第二象限角，若4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为_______________.18．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为2-. 19．3log 9log 28的值为 20．.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒=21．已知1cos 3sin -=-m αα，则实数m 的取值范围是 22．︒-︒︒︒-︒︒20cos 5cos 15cos 20sin 5cos 15sin 的值为23．7log 23log lg 25lg 473+++= ▲ ．24．已知,31)6sin(=-απ则)232cos(απ+的值是 ▲ ．25．已知βα,为锐角，且cos α=71 ，cos )(βα+= 1411-, 则cos β=____★_____．26．若sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= ▲ ．27．已知1sin ,3α=且(,)2παπ∈，则tan α＝ ．二、解答题28．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210． （1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值．(本小题满分14分) 答案: 解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分 又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分 所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分 方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分 ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分[来源:学.科.网]所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分 又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分 方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43． 从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分 又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分 129．已知3sin(3))2ππαβ-=-sin()cos()2παπβ-=+， ,(0,)αβπ∈，求,αβ的值．（第16ABC D EC 1A 1B 1 F G30．已知135)cos(,54cos ,20,2=--=<<<<βααπβπαπ[ （1）求βsin 的值， （2）求cos(2)4πα+的值。
精编新版2019年高中数学单元测试试题-三角恒等变换专题模拟考试(含标准答案)
2019年高中数学单元测试试题 三角恒等变换专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα-（ ） （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54(2008山东理) 2．=∙+xxx x 2cos cos 2cos 12sin 22( ) A.tanx B.tan2x C.1 D.21 (2005全国3理) 3．若α∈（0，2π），且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（ ）D（A ）. 2 （B ）. （C ）（2011福建文9）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+-+-+-，则234a a a ++的值为 ．5．已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______ .6．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则__________=α． 7．化简ii2131-+8．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是9．已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且0,2πβα<<< 则β= ▲ .10．已知55sin =α，1010sin =β，且βα,为锐角，_____.αβ+= 【解析】552c os=α，10103cos =β，2210105510103552)cos(=⨯-⨯=+βα， 4πβα=+.这里如果通过)sin(βα+，就会出现4πβα=+或43π，需进一步确定结果。
11．已知函数231()log log 2,() 4.(2009)2009f x a x b x f f =-+=若则的值为 .12．计算：0121734520C C C C ++++13．已知4cos()25πθ+=，则cos2θ的值是 ▲ ． 14．求值：lg 2lg5+= ▲ .15．如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥，垂足为D ，6:3:2::=AD DC BD ，则BAC ∠的度数为16．已知}2{<=x x A ,}1{>=x x B ，则=⋂B A17．x x f 2cos )(sin =,则)105(cos ︒f = 18．已知α为锐角，cos α，则tan()4απ+= 19．已知113(,2sin ),(cos ,),322=α=αa b a 且∥b ，则锐角α的值为 ．20．已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是______________．21．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为 ．22．设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案）） 23．已知α为锐角，cos α，则tan()4απ+= ▲ ．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)3-三、解答题24．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210． （1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值．(本小题满分14分) 答案: 解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分 又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分 所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分ABCD方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分 ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分[来源:学.科.网]所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分 又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分 方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43． 从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分 又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分 125．如图，在平面直角坐标系中，以Ox 轴为始边作两锐角βα，，它们终边分别与单位圆交于B A ，两点，且B A ，横坐标分别为10103,2107． （1）求AOB ∠tan ；（第16AB C D EC 1A 1B 1F G（2）求βα2+的值．（本题满分14分）26．已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02βαπ<<<. ⑴ 求tan2α的值； ⑵ 求β的值.27．如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为10.⑴求tan(2)αβ-的值； ⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.28．已知335sin(),cos 6513αββ+==-,且0,22ππαβ<<<<29．已知3cos ,,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求sin x 的值； （2）求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．30．已知135)cos(,54cos ,20,2=--=<<<<βααπβπαπ[ （1）求βsin 的值， （2）求cos(2)4πα+的值。
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1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－717B ．177C ．717D ．－177【解析】因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717，故选C.【答案】C2．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72【解析】由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a＝2，故选A.【答案】A3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( )A ．－15B.75 C ．－75D.34【答案】A4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3【解析】c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.【答案】C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365【解析】依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13C．－13D．－79【答案】D13．在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝π3，则A等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4【解析】由正弦定理得asin A＝bsin B，所以sin A＝a sin Bb＝2×sinπ33＝22，所以A＝π4或3π4.又a<b，所以A<B，所以A＝π4，故选B.【答案】B14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2b cos C－2c cos B＝a，则角A的大小为( )A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】由正弦定理得2sin B cos C－2sin C cos B＝sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，sin B cos C＝3sin C cos B，sin2C cos C＝3sin C cos2C,2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，tan2C＝13，∵B＝2C，∴C为锐角，∴tan C＝33，C＝π6，B＝π3，A＝π2，故选A.【答案】A15．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 6【解析】b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D.【答案】6－2424.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.【答案】4001325．已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．【解析】因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc－2bc cos A ，又sin 2 A ＋cos 2 A ＝1，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sinA＝417bc≤417⎝⎛⎭⎪⎫b＋c22＝6417.【答案】641726．已知函数f(x)＝2cos2x2＋3sin x.(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；(2)若tanα2＝12，求f(α)的值．【解析】(1)f(x)＝1＋cos x＋3sin x＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π3＋1，所以当cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π3＝1，即x－π3＝2kπ，x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，此时相应的x的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＝2kπ＋π3，k∈Z.(2)f(α)＝2cos2α2＋23sinα2cosα2＝2cos2α2＋23sinα2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2＋23tanα21＋tan2α2＝8＋435.27．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos ∠BAC＝－13，AB＝32，BD＝ 3.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．(2)在△ABD中，BDsin ∠BAD＝ABsin ∠ADB，又由cos ∠BAD＝223得sin ∠BAD＝13，所以sin ∠ADB＝63，则sin ∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin ∠ADB＝63.因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝π2＋∠C，所以cos ∠C＝63.在Rt△ADC中，cos ∠C＝63，则tan ∠C＝22＝ADAC＝3AC，所以AC＝32，(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－π6)－12，易得f(A)＝sin(3A－π6)－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sin B sin C ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π， 所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12， 所以函数f (A )的值域为(－1，12]．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．33.已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积.【解析】(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋32＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＋32＝12cos2x ＋32sin2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2. 因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π2＝π.34.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝π2，AB＝a，BC＝3a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.【解析】解(1)由∠B＝π2，AB＝a，BC＝3a，所以∠BAC＝π3.设MA ＝MA ′＝xa (0<x <1)，则MB ＝a －xa ，所以在Rt△MBA ′中，cos(π－2θ)＝a －xa xa ＝12，所以x ＝23.38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．(2)由(1)知c＝a＋b 2，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋b222ab＝38⎝⎛⎭⎪⎫ab＋ba－14≥12，当且仅当a＝b时，等号成立．故cos C的最小值为12 .。