(参考)2019年高中数学第三章直线与方程3
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
2019-2020年新人教A版高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件必修2
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
(2)由截距式可得直线方程为 x + y =1. 3 4
化为一般式为 4x-3y+12=0.
解:(1)由点斜式可得直线方程为 y-3=- 3 (x+2). 5
化为一般式为 3x+5y-9=0.
法二 (1)令 2×3=m(m+1),解得 m=-3 或 m=2. 当 m=-3 时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然 l1 与 l2 不重合,所以 l1∥l2. 同理当 m=2 时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0, 显然 l1 与 l2 不重合,所以 l1∥l2.所以 m 的值为 2 或-3.
m 3
2
=-1,解得
m=
1 2
.
m 3
法二 l1∥l2 等价于 1×3-m(m-2)=0 且 1×2m-6(m-2)≠0,解得 m=-1;l1⊥l2 等价于 1·(m-2)+3m=0,
解得 m= 1 . 2
【备用例1】 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′ 的方程: (1)过点(-1,3),且与l平行; (2)过点(-1,3),且与l垂直.
自我检测
1.(一般式的应用)直线 x- 3 y+1=0 的斜率为( A )
(A) 3 (B)- 3 (C) 3 (D)- 3
高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂
由斜率公式,得
k1=������3-2-���-���3
=
3������--���5���,k2=
������-2-3 -1-2
=
���-���-35.
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
即3-������
������-5
×
������-5 -3
=-1,解得 a=0.
综上所述,a 的值为 0 或 5.
做一做1 已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点
(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=
.
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
2.两条直线垂直与斜率的关系
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积
等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
解:(1)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率为 0,所以 l1⊥l2.
(2)由题意,知 l2 的斜率 k2 一定存在,l1 的斜率可能不存在.
当 l1 的斜率不存在时,3=a-2,即 a=5,此时 k2=0,
则 l1⊥l2,满足题意.
当 l1 的斜率 k1 存在时,a≠5,
在,MN 与 PQ 不平行,不合题意;
当 m=-1 时,直线 MN 的斜率不存在,而直线 PQ 的斜率存在,MN
与 PQ 不平行,不合题意;
当 m≠-2,且 m≠-1 时,kPQ=������4--(���-���2) = ���4���-+������2,
kMN=������3+-21-1 = ������2+1. 因为直线 PQ∥直线 MN,所以 kPQ=kMN,
2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第3课时直线的一般式方程课下能力提升含解析新人教A版必修2
课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________．4．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－106．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．67．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________．8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝02．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠13．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝04．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 5．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x－3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．6．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？答案 [学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4. 6．解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－20－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0.2．解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
2019年高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。
高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程讲义含解析新人教A版必修20517123.doc
第2课时 直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 95～P 97，回答下列问题：某区商业中心O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km 和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A 、B 两处，并使区商业中心O 到A 、B 两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB ，那么直线AB 的方程确定后，点A 、B 能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A 、B 两点的坐标值相当于在x 轴、y 轴上的什么量？ 提示：在x 轴、y 轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？ 提示：可以．2．归纳总结，核心必记 (1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． ②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． (2)直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb＝1，叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x 轴的交点 (a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用范围相同吗？ 提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程x 2－y 3＝1和x 2＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线的两点式方程是什么？怎样求？ ；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？ ；(3)中点坐标公式是什么？ .观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 怎样利用点P 1，P 2的坐标写出直线l 的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2] 给定两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是否就可以用两点式写出直线AB 的方程？ 名师指津：不一定．只有在x 1≠x 2，y 1≠y 2的前提下才能写出直线的两点式． 当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3] 直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？ 名师指津：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(链接教材P 96—例4) (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[尝试解答] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－2－－＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b )，利用两点式可求出直线的方程． [思考2] 怎样理解直线的截距式方程？名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距．(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线．(3)过原点的直线可以表示为y ＝kx ；与x 轴垂直的直线可以表示为x ＝x 0；与y 轴垂直的直线可以表示为y ＝y 0.讲一讲2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． [尝试解答] 法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . (1)当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上， ∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. (2)当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 练一练2．求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程． 解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时， 设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0.讲一讲3．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可． [尝试解答] 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0， 设直线l 的方程为x a ＋x b＝1(a ＞0，b ＞0)，则由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4(舍去)；当a ＜b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．练一练3．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立． 解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1. (2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2. (3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005 D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －－5－－＝x －－2－－，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23C.25D ．2 解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32.题组2 直线的截距式方程5．(2016·淄博高一检测)过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.题组3 直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[能力提升综合练]1．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 4－y 3＝1 C.x 3＋y4＝1 D.x 3－y6＝1 解析：选B A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为x a ＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a ＝4，则该直线的方程为x 4－y3＝1.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0 B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0 C ．若c ＜0，则a >0，b <0 D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－ab ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a、－c b .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－c b＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．(2016·唐山高一检测)下列命题中正确的是( ) A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示 B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝m nx －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程． 解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 则a ＋b ＝12.① 又直线l 过点(－3,4)， ∴－3a ＋4b＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y16＝1， 即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程课下能力提升含解析新人教A版必修2
课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组直线的两点式方程．过点()，()的直线方程是( )．＋＋＝．＋－＝．－＋＝．－－＝．已知△三顶点()，()，()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝．直线过点(－，－)和()，点( ，)在直线上，则的值为( )．．．．．过两点(－)和()的直线在轴上的截距为( )．－．－．题组直线的截距式方程．(·淄博高一检测)过()、()两点的直线方程是( )＋＝－＝＋＝－＝．直线－＝在两坐标轴上的截距之和为( )．．－．．－．直线－＝的截距式方程是( )－＝－＝－＝＋＝．求过点(，－)，且在轴上的截距比在轴上的截距大的直线方程．题组直线方程的综合运用．已知在△中，，的坐标分别为(－)，()，的中点在轴上，的中点在轴上．()求点的坐标；()求直线的方程．．三角形的顶点坐标为(，－)，(－)，()，求直线和直线的方程．[能力提升综合练]．在轴上的截距是－，且经过(，－)，()中点的直线方程为( )＋＝－＝＋＝－＝．已知直线＋＋＝的图象如图，则( )．若＞，则＞，＞．若＞，则<，＞．若＜，则>，<．若<，则>，＞．(·唐山高一检测)下列命题中正确的是( )．经过点(，)的直线都可以用方程－＝(－)表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．经过任意两个不同点(，)，(，)的直线都可用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示．两直线－＝与－＝的图象可能是图中的( )．过点()，且在两坐标轴上截距之和等于的直线方程是．．直线过点(－)，分别与，轴交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为．．直线过点(－)，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．．一条光线从点()发出，经轴反射后，通过点(－，)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．答案[学业水平达标练]题组直线的两点式方程．解析：选由直线的两点式方程，得＝，化简得－－＝.．解析：选点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．解析：选直线的方程为＝，即＝＋，令＝，则＝ .．解析：选直线方程为＝，化为截距式为＋＝，则在轴上的截距为－.题组直线的截距式方程．解析：选由截距式得，所求直线的方程为＋＝.．解析：选直线在轴上截距为，在轴上截距为－，因此截距之和为－.．解析：选求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝的形式，即右边为，左边是和的形式．．解：设直线方程的截距式为＋＝.则＋＝，解得＝或＝，则直线方程是＋＝或＋＝，即＋－＝或＋－＝.题组直线方程的综合运用．解：()设点(，)，中点在轴上，的中点在轴上，由中点坐标公式得(\\((－)＝，,(＋)＝，,))解得(\\(＝，＝－.))∴点的坐标为(，－)．()由()知：点、的坐标分别为、，由直线方程的截距式，得直线的方程是＋＝，即＝－.．解：∵直线过点(，－)，(－)两点，由两点式方程，得＝.整理，得＋＋＝.∴直线的方程为＋＋＝.又∵直线过(，－)，()两点，由截距式得＋＝，整理得－－＝，∴直线的方程为－－＝.[能力提升综合练]．解析：选(，－)，()的中点坐标为()，即可设直线的截距式方程为＋＝，将点()代入方程得＝，则该直线的方程为－＝.．解析：选由＋＋＝，得斜率＝－，直线在、轴上的截距分别为－、－.如题图，<，即－＜，∴>.∵－＞，－＞，∴＜，＜.若<，则>，>；若>，则＜，＜.．解析：选中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为＝；中经过定点(，)的直线＝无法用＝＋表示；中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝表示．只有正确，故选.．解析：选由－＝，得到＝－；又由－＝，得到＝－.即与同号且互为倒数．．解析：设直线方程为＋＝，则(\\(＝，＋＝，))解得＝，＝，则直线方程为＋＝.答案：＋＝．解析：设()，(，)．由(－)为的中点，∴(\\((＋)＝－，,(＋)＝，))∴(\\(＝－，＝.))由截距式得的方程为＋＝，即－＋＝.答案：－＋＝．解：设直线的方程为＋＝，则＋＝.①又直线过点(－)，∴＋＝.②由①②解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝.))故所求的直线方程为＋＝或＋＝，即＋－＝或－＋＝.．解：如图所示，作点关于轴的对称点′，显然，′坐标为(，－)，连接′，则′所在直线即为反射光线．由两点式可得直线′的方程为＝，即＋－＝.同理，点关于轴的对称点为′(－，－)，由两点式可得直线′的方程为＝，即－－＝，∴入射光线所在直线方程为－－＝，反射光线所在直线方程为＋－＝.。
高考数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
35
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
36
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
解析答案
12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
2019高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第3课时直线的一般式方程讲义含解析新人教A版必修
第3课时 直线的一般式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 97～P 99，回答下列问题：(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？为什么？提示：都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0.(2)每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示：能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B，它表示过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－C B，斜率为－A B的直线．当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0. 即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线．(3)在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合．提示：当A ＝0，B ≠0时，方程变为y ＝－C B，当C ≠0时表示的直线平行于x 轴，当C ＝0时与x 轴重合；当A ≠0，B ＝0时，方程变为x ＝－C A，当C ≠0时表示的直线平行于y 轴，当C ＝0时与y 轴重合．2．归纳总结，核心必记直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； 当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．[问题思考]当A ＝0，或B ＝0，或C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0分别表示什么样的直线？ 提示：(1)若A ＝0，则y ＝－C B，表示与y 轴垂直的一条直线． (2)若B ＝0，则x ＝－C A，表示与x 轴垂直的一条直线． (3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线方程的一般式的形式是什么？ ；(2)直线方程的一般式的适用范围是什么？ ；(3)直线方程的一般式中各系数的几何意义是什么？ .观察下列直线方程直线l 1：y －2＝3(x －1)；直线l 2：y ＝3x ＋2；直线l 3：y －23－2＝x －14－1；直线l 4：x 4＋y3＝1.[思考1] 上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？ 提示：能．[思考2] 二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？ 提示：能．[思考3] 怎样认识直线方程的一般式？ 名师指津：解读直线方程的一般式： (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． [思考4] 二元一次方程与直线的关系是什么？ 名师指津：二元一次方程与直线的关系：(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．讲一讲1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(链接教材P 98－例5) (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． [尝试解答] 选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y －－2－4－－2＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．练一练1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5,3)； (2)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. 解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.讲一讲2．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y 轴的截距不大于0.[尝试解答] (1)法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35， 而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． 法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同法一．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3， ∴a 的取值范围为[3，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可采用法二的解法．练一练2．已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解：整理直线l 的方程得(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0.无论k 取何值，该式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以直线l 经过定点M (1，－1)．讲一讲3．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[思路点拨] 由平行或垂直可得到两直线斜率的关系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情况．[尝试解答] (1)法一：①若m ＋1＝0，即m ＝－1时，直线l 1：x ＋2＝0与直线l 2：x －3y ＋2＝0显然不平行．②若m ＋1≠0，即m ≠－1时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2m ＋1，k 2＝－m3，若l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或m ＝－3，经验证，m ＝2或－3符合条件，所以m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合， ∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， ①若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． ②若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0. 练一练3．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解：法一：由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式，能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线一般式方程的策略，见讲1.(2)求参数的值或范围的方法，见讲2.(3)由一般式解决平行与垂直问题的策略及与已知直线平行或垂直的直线方程的求法，见讲33．本节课的易错点是利用一般式求解平行或垂直问题中求参数的值或范围中易忽视讨论，如讲3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x－3y＋1＝0的倾斜角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝03．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.答案：A2＋B2≠04．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2m m ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________． 解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－20－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2.题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝0解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0. 2．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x－y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0. 答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意，∴m ＝1. (2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53，或m ＝－2. 7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300. 令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
2018-2019学年高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
解：(1)由直线 l 的方程 2x＋y－1＝0，化为斜截式 y＝－2x＋1，则 k＝－2，b＝1，P 点坐标为(0，1)． (2)由斜截式方程知直线 l1 的斜率 k1＝－2， 又因为 l∥l1，所以 l 的斜率 k＝k1＝－2. 由题意知 l2 在 y 轴上的截距为－2， 所以 l 在 y 轴上的截距 b＝－2， 由斜截式可得直线 l 的方程为 y＝－2x－2.
解：(1)设两直线的斜率分别为 k1，k2，则 k1＝a，k2
＝a＋2.
因为两直线互相垂直，
所以 k1k2＝a(a＋2)＝－1， 解得 a＝－1. 故当 a＝－1 时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为 k3，k4， 则 k3＝－1，k4＝a2－2. 因为两条直线互相平行，
a2－2＝－1，
解析：(1)当倾斜角为 0°时，斜率为 0，由直线方程的 点斜式可得 y＝y0，故(1)正确．
(2)直线在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标， 不同于直线与 y 轴交点到原点的距离，故(2)不正确．
(3)倾斜角为 90°的直线不能用点斜式表示，故(3)不正 确．
答案：(1)√ (2)× (3)×
防范措施：(1)两条直线平行时，斜率存在且相等， 截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行， 也可能重合．
(2)解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是 在求参数时要考虑两直线是否重合．
[正确解答] 设直线 l1，l2 斜率分别为 k1，k2，则 k1
＝－1，k2＝a2－2，
a2－2＝－1，
归纳升华 1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截 距即可，要特别注意截距和距离的区别． 2．直线的斜截式方程 y＝kx＋b 不仅形式简单，而且 特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距， 只要确定了 k 和 b 的值，直线的图象就一目了然，
2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定(含解析)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。
其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。
3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。
因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。
以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。
6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。
2019-2020年新人教A版高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件必修2
即时训练 2 1:已知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求 |PA|的值.
解:设所求点 P(x,0), 于是由|PA|=|PB|得
x 12 0 22 = x 22 0 7 2 ,
即 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1. 所以,所求 P 点坐标为(1,0),
|AC|= 3 12 0 12 = 5 ,
|BC|= 3 12 0 32 = 25 =5,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2, 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.
题型二 两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)判断△ABC的形状.对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
提示:两条直线平行⇔A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0(或 B1C2-B2C1≠0); 两条直线相交⇔A1B2-A2B1≠0;
A1B2 A2B1 0,
2019秋新版高中数学人教A版必修2课件：第三章直线与方程3.2.2
,
2
, 即M(-1,2).
答案:(-1,2)
1
2
3
1.理解直线的两点式方程 剖析:(1)对于直线方程的两点式 ������
������ -������ 1
2 -������1
= ������
������ -������ 1
2 -������ 1
,
两点的坐标哪一个为(x1,y1),哪一个为(x2,y2),并不影响最终 的结果,但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式 的减数为同一点的横、纵坐标. (2)要注意方程 ������
������ ������
解得 a=1.故直线 l 的方程为 x+y-1=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
谢谢观看！
-22-
-19-
题型一
题型二
题型三
正解:设直线 l 在两个坐标轴上的截距都为 a. 若 a=0,则直线 l 过原点,其方程为 x+2y=0; ������ ������ 若 aห้องสมุดไป่ตู้0,则直线 l 的方程可设为 + = 1,
������ ������
因为直线 l 过点(2,-1), 2 -1 所以 + = 1,
1, ������项对应的分母是直线在x 轴上的截距,y 项对应的分母是 直线在 y 轴上的截距,中间以“+”相连,等式的另一端是 1,由 方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距.
-11-
-12-
-13-
-14-
-15-
3.2.2
直线的两点式方程
仅供学习交流！！！
-16-
2019学年高中数学 第三章 直线与方程
3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1.(2017·陕西西安高一期末)点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是( B )(A) (B)2(C)(D)2解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2.2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为( D )(A)1 (B)-1 (C)(D)±解析:由题意,得=1,即|a|=,所以a=±.故选D.3.(2018·四川绵阳市模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为=≠,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.故选C.4.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是( A )(A)x+y-=0 (B)x+y+1=0(C)x+y-1=0 (D)x+y+=0解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b>0,即x+y-b=0(b>0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b>0)的距离为=1,解得b=(b=-舍去),所以所求直线l的方程为x+y-=0.5.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于( D )(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或48解析:将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由=3,解得c=-20或c=40.所以b+c=-12或48故选D.6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于.解析:由题意得=,所以m=或m=-6.答案:或-67.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为.解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°, 当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,设过P点的直线为y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由d==4,解得k=.所以直线的倾斜角为30°.答案:90°或30°8.已知点P(2,-1).(1)若一条直线经过点P,且原点到直线的距离为2,求该直线的一般式方程;(2)求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程,并求出最大距离是多少?解:(1)①当l的斜率不存在时,则直线的方程为x=2;②当直线的斜率k存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由点到直线距离公式得=2,解得k=,得直线方程为3x-4y-10=0.故所求直线的方程为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由k PO=-,得所求直线的斜率为2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.最大距离为=.9.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( B )(A)0<d≤3 (B)0<d≤5(C)0<d≤4 (D)3≤d≤5解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以0<d≤5.10.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为.解析:显然直线l的斜率不存在时,不满足题意;设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得=,所以k=2或k=-.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.答案:2x+3y-18=0或2x-y-2=011.(2018·湖南益阳资阳区模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为.解析:求的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值,转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离d==.答案:12.已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P点垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.若直线l的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=,此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线.由l⊥OP,得k l k OP=-1,所以k l==2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.(3)由(2)可知,存在过点P且到原点距离最大为的直线,因此不存在过点P到原点距离为6的直线.13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这两条平行直线间的距离为d.求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时两条直线的方程.解:(1)法一①当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率都存在时,设这两条直线方程为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,所以d==,即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.因为k∈R,d>0,且d≠9,所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤3且d≠9.综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].法二如图所示,显然有0<d≤|AB|.而|AB|==3.故所求的d的变化范围为(0,3].(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.而k AB==,所以所求直线的斜率均为-3.故所求的两条直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.。
2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离知识导图学法指导1.对于点到直线的距离公式，应注意其只适用于直线的一般式方程． 2．用待定系数法求直线的方程时，注意讨论斜率的存在性．3．应用两条平行直线间的距离公式时，两直线方程应化成一般式且x ，y 对应的系数分别相等．高考导航高考较少单独考查点到直线、两条平行直线间的距离公式，若单独考查，则一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.知识点 点到直线、两条平行线间的距离 1．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．两条平行直线间的距离直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b|k 2＋－12.①两条平行线间的距离是分别在两条直线上的两点间距离的最小值； ②可化为一条直线上的点到另一条直线的距离；③只有两条直线方程的系数相同时才可应用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b .( ) (2)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |.( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x ＋2y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|12＋22＝5，故选D.答案：D3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过点A (1,2)，且垂直OA 的直线，所以k ＝－12，故所求直线为y －2＝－12(x－1)，即x ＋2y －5＝0.故选A.答案：A4．求两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离d ＝________. 解析：方法一 在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以点P 到直线l 2的距离即为l 1与l 2之间的距离，于是d ＝|2×4＋3×0－10|22＋32＝213＝21313. 方法二 因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－－10|22＋32＝21313.答案：21313类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (3，－2)到下列直线的距离： ①y ＝34x ＋14；②y ＝6；③x ＝4.(2)求过点A (－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程． 【解析】 (1)①直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185. ②因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. ③因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1.(2)因为所求直线方程过点A (－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0，又原点到直线的距离等于22，所以|k ＋2|k 2＋1＝22，解得k ＝－7或k ＝－1.故直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.先将直线方程化为一般式，然后再套用公式求距离．特殊的直线可以利用几何意义求解，也可以直接代入求解．方法归纳应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．跟踪训练1 求垂直于直线x ＋3y －5＝0，且与点P (－1,0)的距离是3510的直线l 的方程．解析：设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线l 的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知，点P 到直线3x －y ＋m ＝0的距离d ＝|3×－1－0＋m |32＋－12＝|m －3|10＝3510. 所以|m －3|＝6，即m －3＝±6，得m ＝9或m ＝－3， 故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0. 设出直线l 的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解．类型二 两平行线间的距离例2 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． 【解析】 方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0.在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋－122＝|C －6|13， 由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－122，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 利用平行先设直线方程，再由距离求直线方程． 方法归纳求两平行线间的距离一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)两条平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：6x ＋8y ＝15间的距离是________； (2)与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0 C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0 D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：(1)l 1，l 2方程分别化为l 1：3x ＋4y －10＝0，l 2：3x ＋4y －152＝0，故l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－10－⎝ ⎛⎭⎪⎫－15232＋42＝12.(2)根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0或c ＝2.故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选D. 答案：(1)12(2)D当系数不对应相等时，应化成系数对应相等，再利用公式求解．类型三 距离公式的综合应用例3 已知正方形ABCD 的中心M (－1,0)和一边CD 所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程．【解析】 因为AB ∥CD ，所以可设AB 边所在的直线方程为x ＋3y ＋m ＝0. 又因为AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，故可设AD ，BC 边所在的直线方程为3x －y ＋n ＝0. 因为中心M (－1,0)到CD 的距离为d ＝|－1＋3×0－5|12＋32＝3105， 所以点M (－1,0)到AD ，AB ，BC 的距离均为3105，由|3×－1－0＋n |12＋32＝3105，得|n －3|＝6，解得n ＝9或－3. 由|－1＋3×0＋m |12＋32＝3105，得|m －1|＝6，解得m ＝7或－5(舍去)， 所以其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0. 利用正方形的平行关系设直线方程，再利用距离公式求直线方程． 方法归纳常见的距离公式应用问题的解题策略(1)最值问题①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．跟踪训练3 求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23.(1)当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意．(2)当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ，则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋－12＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.先联立方程求交点坐标，再利用距离公式求直线方程，注意讨论斜率．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．点(1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A.55 B.255C. 5 D ．2 5解析：直线y ＝2x ＋1即2x －y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|2×1－2＋1|22＋－12＝55，故选A.答案：A2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－33 D.3或－33解析：由|3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－33，故选D.答案：D3．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为( ) A ．－6或12 B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12解析：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.答案：A4．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0解析：在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋－42＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0.答案：D5．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0解析：∵k AB ＝3－－13－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即：2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4,1)，∴PC 的方程为y ＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．直线5x ＋12y ＋3＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________． 解析：直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，所以两平行直线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－5252＋122＝126. 答案：1267．已知点P 为x 轴上一点，且点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为________．解析：设P (a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋－42＝6，解得a ＝－12或8，∴点P 的坐标为(－12,0)或(8,0)．答案：(－12,0)或(8,0)8．与直线7x ＋24y ＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________． 解析：由题意设所求直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则有|c －－5|72＋242＝3，解得c ＝70或c ＝－80.即所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0 三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解析：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×－2＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. (2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y ＋3＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．x ＋2y ＋2＝0解析：解法一 设对称直线方程为x ＋2y ＋c ＝0 ∵|1＋1|1＋4＝|c －1|1＋4∴|c －1|＝2，∴c ＝3或－1(舍) 解法二 设对称直线方程为x ＋2y ＋c ＝0取直线x ＋2y －1＝0上一点A (1,0)，直线x ＋2y ＋1＝0上一点B (－1,0)，A 关于B 对称点C (－3,0)代入x ＋2y ＋c ＝0得c ＝3.答案：B12．平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．解析：设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，则d ＝|－2－c |32＋42＝1，∴c ＝3或c ＝－7，即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0. 答案：3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝013．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线的一般式方程； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由斜率公式，得k BC ＝5，所以BC 边上的高所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)，即x ＋5y ＋3＝0.(2)由两点间的距离公式，得|BC |＝26，BC 边所在的直线方程为y ＋2＝5(x －3)，即5x －y －17＝0，所以点A 到直线BC 的距离d ＝|5×2＋1－17|52＋－12＝626， 故S △ABC ＝12×626×26＝3.14．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ 解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然满足要求， ∴l 的方程为x ＝2；②当l 的斜率k 存在时，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由点到直线距离公式得|－2k －1|1＋k 2＝2， ∴k ＝34，∴l 的方程为3x －4y －10＝0.故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)易知过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与 PO 垂直的直线，由l ⊥OP 得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。
2018-2019学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条
3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离A组1.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()A.4B.C.D.解析:∵两直线平行,∴m=4.方程3x+2y-3=0化为6x+4y-6=0.∴两直线的距离为.答案:D2.点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为()A.(8,0)B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0)D.(0,0)解析:设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12,∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0).答案:C3.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是()A. B.2 C.D.2解析:|OP|的最小值就是原点O到直线x+y-4=0的距离,即|OP|==2.答案:B4.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C.3 D.6解析:|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.答案:C5.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0解析:由已知得,所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,∴所求直线的斜率k=-,∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.答案:A6.与两平行直线l1:3x-y+9=0,l2:3x-y-3=0等距离的直线方程为.解析:设所求直线方程为3x-y+c=0,由平行直线间的距离公式得|9-c|=|-3-c|,解得c=3.答案:3x-y+3=07.直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.解析:AB==5,当两直线均与AB垂直时,d=5;当两直线不与AB垂直时,0<d<5.所以d的取值范围是(0,5].答案:(0,5]8.已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.解:由两点式得直线AB的方程为,即x+2y+2=0.设过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为x+2y+m=0,将点M(-4,2)的坐标代入得m=0,所以过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为x+2y=0,此直线将三角形的面积分成两部分,其中△CPQ的边PQ上的高d1==2,△ABC的边AB上的高d2=,△CPQ的面积与△ABC的面积之比为,所以两部分的面积之比为.9.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.解:由∴中心坐标为(-1,0).∴中心到已知边的距离为.设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.∵正方形中心到各边距离相等,∴.∴m=4或m=-2(舍),n=6或n=0.∴其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.B组1.若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是,则实数a为()A.-1B.5C.-1或5D.-3或3解析:由点到直线的距离公式得,解得a=-1或5,故选C.答案:C2.已知点A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则BC边上的高等于.解析:直线BC:x-y+3=0,则点A到直线BC的距离d=,即BC边上的高等于.答案:3.若直线被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°,其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)解析:两平行线间的距离为d=,由题意知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.答案:①⑤4.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距离相等,则直线l的方程为.解析:设所求的直线方程为2x-y+C=0,分别在l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0上取点A(0,3)和B(0,-1),则此两点到2x-y+C=0的距离相等,即,解得C=1,故直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=05.已知x+y-3=0,则的最小值为.解析:设P(x,y),A(2,-1),且点P在直线x+y-3=0上,则=|PA|.故|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.答案:6.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.解:如图,设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在直线的方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此,S△ABC=×2=5.7.已知A为直线y=4x-1上一点,点A到直线2x+y+5=0的距离等于原点到这条直线的距离,求点A的坐标.解:设点A的坐标为(x,4x-1),由题意可知,解得x=或-.当x=时,4x-1=4×-1=-;当x=-时,4x-1=4×-1=-7.故点A的坐标为.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（参考）2019年高中数学第三章直线与方程3
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
解析：设所求点为(x，y)，则根据题意有
答案：B
2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B. C. D.713
26
解析：∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0平行，
∴m＝4.
∴两平行线间的距离：
d＝＝＝.
答案：D
3．经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由可解得故直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，则有＝1，即9－6k＝1，解得k＝，
所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．
综上，满足条件的直线有2条．
答案：C
4．入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是l1上某一点，则点P到l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.95
10
解析：由题意知l1∥l3，故点P到l3的距离即为平行线l1，l3之间的距离，l1：2x－y－3＝0，求得l3：2x－y＋3＝0，所以d＝＝.
答案：C
5．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l 的距离相等，则l的方程为________．
解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝.
∴|1－3k|＝|3k－5|，
∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，l 的方程为x ＝1或x －y －1＝0
答案：x ＝1或x －y －1＝0
6．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －＝0的交点，并与原点的最短距离为的直线的方程为____________________________________________． 解析：易求得两直线交点的坐标为，显然直线x ＝满足条件．
设过该点的直线方程为y －＝k ，
化为一般式得2kx －2y ＋－k ＝0，
所以＝，解得k ＝，
所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0.
答案：x ＝或x －y ＋1＝0
7．已知在△ABC 中，A(3,2)，B(－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．
解析：由|AB|＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C(x,3x ＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x ＝－1或x ＝.
答案：(－1,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8 8．在直线y ＝x ＋2上求一点P ，使得P 到直线l1：3x －4y ＋8＝0和直线l2：3x －y －1＝0的距离的平方和最小．
解析：设P(x0，x0＋2)，P 到l1的距离为d1，P 到l2的距离为d2，令y ＝d ＋d ＝2
＋2，整理得y ＝，
∴当x0＝－＝时，y 最小，此时y0＝x0＋2＝，
∴P0.
9．如图，已知直线l1：x ＋y －1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2
的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
[B组能力提升]
1．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：设C(a，a2)，由已知得直线AB的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.点C到直线AB的距离为d＝.由三角形ABC的面积为2，
得S△ABC＝|AB|·d＝×2×|a＋a2－2|
2
＝|a＋a2－2|＝2，
即a2＋a＝0或a2＋a－4＝0.显然两方程共有四个根，即函数y＝x2的图象上存在四个点使得△ABC的面积为2.
答案：A
2．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
解析：设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案： 2
3．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③4x－3y＝0.
解析：①直线为y＝x＋1，点M到该直线的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．
②直线为y＝2，点M到该直线的距离d＝|0－2|＝2<4，所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．
③直线为4x－3y＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝4，于是点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．
答案：②③
4．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．解析：(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，
则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
|n－2|
＝，n＝5，或n＝－1，
10
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
5．若a，b为正数，a＋b＝1，求证：≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以点(a，b)在直线x＋y＝1上，且落在第一象限内，(a＋2)2＋(b＋2)2则表示点(a，b)与点Q(－2，－2)的距离的平方．
点(－2，－2)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥2＝.
设直线x＋y－1＝0与两坐标轴分别交于A、B两点，
则A(1,0)，B(0,1)，
所以|QA|＝＝，
|QB|＝＝，
所以△QAB是以AB为底边的等腰三角形．
由于Q点与x＋y－1＝0(x＞0，y＞0)上任一点的距离小于|QA|，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2＜|QA|2＝13.
综上可知，≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.。