专题17 三角形及其性质(解析版).pdf

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中考数学复习专题17：三角形及其性质(含中考真题)

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0）【答案】A ．【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心【答案】D ．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】A ．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形【答案】D ．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是．【答案】1＜c ＜5．【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

三角形的性质及应用

三角形的性质及应用介绍三角形是几何学中最基本的形状之一，具有许多重要的性质和应用。

本文档将简要介绍三角形的性质，并提供一些实际应用的例子。

三角形的定义三角形是由三条线段相连而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相交的点称为三角形的顶点。

三角形的三个顶点以大写字母表示，而边则用对应的小写字母表示。

例如，一个三角形可以表示为ABC，其中A、B和C分别代表三个顶点，而a、b和c分别代表对应的边。

三角形的性质1. 内角和：三角形的三个内角之和恒为180度。

2. 外角和：三角形的三个外角之和恒为360度。

3. 等边三角形：三个边长度相等的三角形称为等边三角形，其内角均为60度。

4. 直角三角形：有一个内角为90度的三角形称为直角三角形。

5. 等腰三角形：两边长度相等的三角形称为等腰三角形，其两个对应的内角也相等。

三角形的应用三角形的性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 测量高度：借助三角形的性质，我们可以使用三角形的相似性来测量高度。

通过测量一段已知长度的水平线段和目标物体的顶点到水平线段的垂直距离，我们可以创建一个可以用于测量其他物体高度的标准。

2. 航海导航：三角形的三边和其中一个角度给航海员提供了确定位置和方向的重要工具。

借助三角形的性质，航海员可以通过测量目标物体的角度、自身位置和边长等数据来确定目标物体的具体位置。

3. 建筑测量：在建筑测量中，三角形的性质被广泛应用。

通过测量建筑物的角度和边长，可以计算出建筑的高度、面积和体积等重要参数。

4. 图形设计：三角形作为几何学中最简单的图形之一，在图形设计中得到广泛应用。

三角形的清晰形状和对称性使其成为设计元素的常见选择。

结论三角形作为几何学中最基本的形状之一，具有许多重要的性质和应用。

了解三角形的性质可以帮助我们在各种实际情况下应用几何学的原理和技巧。

无论是在测量、导航还是设计中，三角形都扮演着重要的角色。

专题17 等腰三角形与直角三角形(解析版)

专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC，又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC，又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。

专题17 三角形基础(归纳与讲解)(原卷版)

专题17 三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2、理解三角形内角和定理及推论．3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．【考点总结】一、三角形的概念【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三条线段能否组成三角形1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A．4，4，8 B．5，5，1C．3，7，9 D．2，5，42．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()A．6＜l＜15 B．6＜l＜16C．11＜l＜13 D．10＜l＜165．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为()A．25 B．25或32C．32 D．197．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.技巧2：三角形的三种重要线段【类型】一、三角形的高题型1：找三角形的高1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．题型2：作三角形的高2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)题型3：应用三角形的高3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)求AD∶BE的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG.【类型】二、三角形的中线题型1：利用中线求长度5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为()A．2 B．3 C．4 D．66．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()A．40B．46C．50D．567．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．题型2：利用中线求面积8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．【类型】三、三角形的角平分线题型1：三角形角平分线定义的直接应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．题型3：求三角形两内角平分线的交角度数12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．【类型】二、三角尺或直尺中求角度3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为()A．125°B．120°C．140°D．130°4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．【类型】三、与平行线的性质综合求角度6．如图，AB ∥CD ，∠ABE ＝60°，∠D ＝50°，求∠E 的度数．【类型】四、与截角和折叠综合求角度7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°8．△ABC 是一个三角形的纸片，点D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的两点．(1)如图①，如果沿直线DE 折叠，则∠BDA′与∠A 的关系是____________；(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由；(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例1、已知①ABC 中::3:4:7A B C ∠∠∠=，则①ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则第三边长可能为（）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm【题型】三、确定三角形第三边的取值范围例3、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（）A ．10B ．8C ．7D ．6【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，已知12AC =，13AB =，则CD 的长是（）A ．5B ．6013C ．6D ．6512【题型】五、与三角形重心有关的计算例5、如图，在①ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD①BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ①EF 于点D ，如果①A ＝20°，则①ACG ＝（）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD 中，CD①AB ，AC①BC ，若①B ＝50°，则①DCA 等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算例8、如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒三角形基础（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，若①B =70°，①1=110°，则①A =（）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°2．如图，已知直线AE ①BD ，且①C ＝15°，①1＝110°，则①2的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°3．数学课上，同学们在作ABC 中AC 边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）．A ．B ．C ．D ．4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（）A ．3、4、8B ．4、4、8C ．3、5、6D ．5、6、115．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A ．三角形具有稳定性B ．两点之间线段最短C ．经过两点有且只有一条直线D ．垂线段最短二、填空题6．如图，点B 、C 、D 在同一直线上，AB ①CE ，若①A ＝55°，①ACB ＝65°，则①1为___°．7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB AC 、上，且AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=_________°．三、解答题8．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，130BCD ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ．(1)求ABE ∠的大小；(2)若48ADC ∠=︒，求DEF ∠的大小．三角形基础（提升测评）一、单选题1．如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则①BDO 的大小为（）A ．120B ．140C ．150D ．1602．一把直尺和一块三角板ABC （含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ，①CED =25°，则①BF A 的大小为（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．125°3．如图，BE 是ABC 的中线，AD BC ⊥交BE 于点F ，且BD AE =，50∠︒=EAD ，则EBC ∠的度数为（）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°4．如图，在ABC 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（）A ．17B ．23C ．25D ．285．如图，Rt ①ABC 中，①C ＝90°，BD 平分①ABC 交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，若AB ＝12，CD ＝3，则①DBE 的面积为（）A ．10B ．12C ．9D ．6二、填空题6．如图，在ABC ∆ 中，AD 平分CAB ∠ ，AB AC CD =+ ，若81CAB ∠=︒ ，则B ∠ 度数为______．7．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．三、解答题8．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE 平分CED ∠；(2)连接BD ，求证：90DBC ∠=︒．。

三角形的性质与相关定理

三角形的性质与相关定理三角形是几何学中一种基本的图形，具有许多独特的性质和相关定理。

本文将以几何学的视角探讨三角形的性质和相关定理。

一、三角形的定义和基本性质三角形是由三条线段组成的图形，其中每条线段都是三角形的一条边。

三角形的基本性质包括：1. 三角形的内角和为180度。

这是因为三角形的两条边之间的夹角和恰好是直角的一半。

2. 三角形的任意一条边都小于其余两条边的和。

这是三角形的三边不等式定理，可以用来判断一个图形是否能构成三角形。

二、三角形的分类根据三角形边长和角度的关系，三角形可以分为以下几种：1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。

等边三角形的三个内角也都相等，每个角都是60度。

2. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。

等腰三角形的两个底角也相等。

3. 直角三角形：一个角为90度的三角形。

直角三角形的两条边相互垂直。

4. 钝角三角形：一个角大于90度的三角形。

钝角三角形的两条边之间的夹角大于直角的一半。

5. 锐角三角形：三个角都小于90度的三角形。

锐角三角形的三条边之间的夹角都小于直角的一半。

三、三角形的角度性质与定理1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。

2. 外角定理：三角形的一个内角与相邻的外角之和等于180度。

3. 直角三角形的性质：直角三角形的斜边上的高是两条直角边的乘积的一半。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，而且底边上的高、角平分线、中线三者重合。

5. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都是60度，而且底边上的高、角平分线、中线三者重合。

6. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个角都小于90度，且任意两边之和大于第三边。

四、三角形的边长关系与定理1. 三角形两边之和大于第三边的定理：三角形的任意两边之和大于第三边。

2. 三角形两边之差小于第三边的定理：三角形的任意两边之差小于第三边。

3. 角平分线定理：三角形内角的平分线所分割的边成比例。

4. 中线定理：三角形中线长度等于底边长度的一半。

专题17 三角形-备战2022年中考数学母题题源解密(广东专用)(解析版)

专题17 三角形【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，连结BD ．若1CD =，则AD 的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，∠ABD =30A ∠=︒，求得30CBD ∠=︒，即可求出答案．【解析】解：∵90C ∠=︒，∴∠A +∠ABC =90︒，∵线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，∴AD=BD ，∴∠ABD =30A ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∵1CD =，∴AD=BD =2CD =2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文2】（2021·广东广州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，连结BD ．若1CD =，则AD 的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，∠ABD =30A ∠=︒，求得30CBD ∠=︒，即可求出答案．【解析】解：∵90C ∠=︒，∴∠A +∠ABC =90︒，∵线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，∴AD=BD ，∴∠ABD =30A ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∵1CD =，∴AD=BD =2CD =2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，38B ∠=︒，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当//B D AC '时，则BCD ∠的度数为________．【答案】33︒【分析】如图，连接CB '，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得38B B ︒'∠=∠=，DCB DCB '∠=∠，并由平行线的性质可推出38ACB B ︒''∠=∠=，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．【解析】解：如图，连接CB '∵点B 关于直线CD 的对称点为B '，∴CB CB '=，DB DB '=．∵CD CD =，∴DCB DCB '≅△△．∴38B B ︒'∠=∠=，DCB DCB '∠=∠．∵//B D AC '，∴38ACB B ︒''∠=∠=．∵AC BC =，∴38A B ︒∠=∠=．∴1802104ACB B ︒︒∠=-∠=．∵2104ACB ACB DCB DCB ACB DCB ︒'''∠=∠+∠+∠=∠+∠=．∴210466DCB ACB ︒︒'∠=-∠=．∴33DCB ︒∠=．故答案为：33︒．【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D ∠=∠，BE CF =，证明：AE DF =．【答案】见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【解析】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D ∠=∠，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文5】（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，点E 是AC 的中点，且AC AD =（1）尺规作图：作CAD ∠的平分线AF ，交CD 于点F ，连结EF 、BF （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，证明：BEF 为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出CAD ∠的平分线AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BE AC =并求出30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，再根据等腰三角形三线合一性质得出CF DF =，从而得到EF 为中位线，进而可证BE EF =，60BEF ∠=︒，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【解析】解：（1）如图，AF 平分CAD ∠，（2）∵45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，∴30CAD ∠=︒，15BAC ∠=︒，∵AE EC =，90ABC ∠=︒，∴12BE AE AC ==， ∴15ABE BAC ∠=∠=︒，∴30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，又∵AF 平分CAD ∠，AC AD =，∴CF DF =，又∵AE EC =，∴1122EF AD AC ==，//EF AD ， ∴30CEF CAD ∠=∠=︒，∴60BEF BEC CEF ∠=∠+∠=︒又∵12BE EF AC == ∴BEF 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文6】（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．【答案】553+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE =++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，53AE =∴553DEF C =+△【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．D CB AD CB A 知识要点归纳：1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

考点03 三角形及其性质(解析版)

考点三三角形及其性质知识点整合一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例引领1．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是（）A．12cm B．9cm C．12cm和9cm D．以上都不正确【答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：当等腰三角形的腰为5cm，底为2cm时，+>∵525∴5cm，5cm，2cm能够组成三角形，++=；此时周长为55212cm当等腰三角形的腰为2cm，底为5cm时，+=<，∵2245∴2cm，2cm，5cm不能够组成三角形．则这个等腰三角形的周长是12cm．故选：A．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，6B．4，4，8C．4，7，11D．5，8，12【答案】D【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得+=<，不能组成三角形；A、2356+=，不能组成三角形；B、448+=，不能组成三角形；C、4711+=>，能够组成三角形．D、581312故选：D．3．下列木棒中，能与3cm和7cm的两根木棒围成一个三角形的是（）A．7cm B．4cm C．3cm D．10cm【答案】A【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键．根据三角形的三边关系可得第三边的取值范围，然后结合选项即可解答．【详解】解：设第三边为c ，则3773c +>>-，即104c >>．结合选项可知，仅有A 选项符合要求．故选A ．4．在ABC 中，,AB AC AC =边上的中线BD 把ABC 的周长分为21和27的两部分，则BC 的长为（）A ．12B ．12或20C ．18D ．18或20得212272y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或22y x y y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩解得1218x y =⎧⎨=⎩或2014x y =⎧⎨=⎩经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为5．下面不能组成三角形的三条线段是（）A ．10cm 1cma b c ===，B ．6cm a b c ===C ．3cm 4cm 7cma b c ===，，D ．2cm 4cm 5cma b c ===，，【答案】C【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．【详解】解：A 、∵11010+>，∴三条长分别为10cm 10cm 1cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；B 、∵666+>，∴三条长分别为6cm 6cm 6cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；C 、∵347+=，∴三条长分别为3cm 4cm 7cm ，，的线段不能构成三角形，符合题意；D 、∵245+>，∴三条长分别为2cm 4cm 5cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；故选；C ．6．已知一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为7cm ，则这个三角形的周长为（）A ．15cmB ．18cmC ．不能确定D ．15cm 或18cm 【答案】D【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是4cm 时或当相等的两边是7cm 时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案．【详解】解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为7cm ，∴①当相等的两边是4cm 时，三边长为：4、4、7，∵447+>，符合三角形三边关系，∴这个三角形的周长为15cm ，②当相等的两边是7cm 时，三边长为：4、7、7，∵477+>，符合三角形三边关系，∴这个三角形的周长为18cm ，综上所述：这个三角形的周长为15cm 或18cm ，故选：D ．变式拓展7．已知a 、b 、c 是ABC 的三边，3a =，7b =，c 为整数，则c 的最小值为．【答案】5【分析】本题考查三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据c 为整数，即可得出答案．【详解】解：∵a 、b 、c 是ABC 的三边，3a =，7b =，∴7373c -<<+，即4c 10<<，又∵c 为整数，∴c 的最小值为5，故答案为：5．8．在ABC 中，8AB =，4BC =，则AC 边上的中线BD 长x 的取值范围是．【答案】26x <<【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，构造全等三角形是解题的关键．延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，证明ADE CDB ≌，再利用三边关系即可得到答案．【详解】解：延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，在ADE V 与CDE 中，BD DE ADE CDE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE CDB ∴ ≌，AE BC ∴=，在ABE 中，有AB AE BE AB AE -<<+，即12BD 4<2<，26x ∴<<，故答案为：26x <<．三、解答题9．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2244130x m x m -+++=的两个实数根，(1)若()()12225x x --=，求m 的值；(2)已知Rt ABC1x ，2x 恰好是ABC 另外两条直角边的长，求这个Rt ABC 的周长．10．在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标为：()()()3,2,4,3,1,1A B C -----，(1)若111A B C △与ABC 关于y 轴对称，请写出点111,,A B C 的坐标（直接写答案）：1A ；1B ；1C ；(2)ABC 的面积为；(3)在y 轴上画出点P ，使PB PC +最小．ABC BDFE ABE BCD ACF S S S S S ∆∆∆∆=--- ，则111351532222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-故答案为：6.5；（3）解：由题意可得y 轴是线段BB 因此1PB PC PB PC +=+，由三角形的三边关系得11PB PC B C +>，故当1P C B 、、三点共线时，PB PC +最小，且最小值为1CB ，连接1CB ，与y 轴的交点即为所求点P （如图所示）．11．已知a ，b ，c 是三角形的三边长．(1)化简：a b c b c a c a b --+--+--；(2)若10a =，8b =，6c =，求（1）中式子的值．12．已知,,a b c 是三角形的三边长．(1)化简：3a b c a c b --++-；(2),a b 满足()2720a b -+-=，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．13．如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=-=-=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时，435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==⨯=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =-=-=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =．14．已知关于x 的一元二次方程()22280x m x m --+-=．(1)求证：不论m 为何值，方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m 的值；(3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值．考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例引领1．如图，ABC ADE △≌△，点D 在边BC 上，40EAC ∠=︒，则B ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，24A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则CBE ∠等于（）A ．78︒B ．60︒C ．54︒D ．50︒3．如图，点D ，E 为ABC 的边BC 上的点，且满足DA DB EA EC ==，，若30B ∠=︒，40C ∠=︒，则DAE ∠的度数为（）A ．36︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据DAE BAC BAD CAE ∠=∠-∠-∠，只要求出BAC DAB CAE ∠∠∠，，即可解决问题．【详解】解：∵3040B C ∠=︒∠=︒，，∴1803040110BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵DA DB EA EC ==，，∴3040B DAB C EAC ∠=∠=︒∠=∠=︒，，∴110304040DAE BAC BAD CAE ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．4．如图，已知ABC 中，50ABC ∠=︒，P 为ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB BC 、于点M 、N ，若M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则APC ∠的度数为（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．无法确定【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据三角形的内角和得到130BMN BNM ∠+∠=︒，根据线段的垂直平分线的性质得到AM PM PN CN ==，，由等腰三角形的性质得到MAP MPA CPN PCN ∠=∠∠=∠，，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得,BMN MAP MPA BNM CPN PCN ∠=∠+∠∠=∠+∠，可得11,22MPA BMN CPN BNM ∠∠∠∠==，推出65MPA CPN ∠+∠=︒，从而由平角定义得到结论．【详解】解：∵50ABC ∠=︒，∴130BMN BNM ∠+∠=︒．∵M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，∴AM PM PN CN ==，．∴MAP MPA CPN PCN ∠=∠∠=∠，．∵,BMN MAP MPA BNM CPN PCN ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴11,22MPA BMN CPN BNM ∠∠∠∠==．∴()111306522MPA CPN BMN BNM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒．∴18065115APC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．5．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，当PCD 周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是（）A ．αβ=B ．90αβ+=︒C ．180αβ+=︒D ．以上都不正确【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到PCD 周长取到最小值时P 点所在的位置是解题的关键．连接AD 与MN 交于点P ，则此时周长取到最小值时PCD 周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果．【详解】解：∵AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点，M ，N ，∴A ，C 关于MN 对称，连接AD 与MN 交于点P ，则此时周长取到最小值时PCD 周长取到最小值，∵AB AC =，点D 是BC 的中点，∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=，∵MN 垂直平分AC ，点P 是MN 上的点，∴PA PC =，∴12PAC PCA α∠=∠=，∴CPD PAC PCA αβ∠=∠+∠==，∴αβ=，故选：A变式拓展6．如图，Rt ABC △中，9070C BAC ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 边上的一点，连接AD ，将ACD沿AD 折叠，使点C 落在点E 处，当BDE △是直角三角形时，CAD ∠的度数为．【答案】35︒或45︒【分析】本题考查折叠的性质，分两种情况：当90BED ∠=︒时，根据直角三角形的性质可得35CAD ∠=︒，当90BDE ∠=︒时，即E 在ACB △外时，由折叠可得：90EAC ∠=︒，45ADC ADE ∠=∠=︒，AD 平分CAE ∠，即45CAD ∠=︒，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．【详解】解：分两种情况：如图：当90BED ∠=︒时，由折叠可得90AED C ∠=∠=︒，CAD EAD ∠=∠，90BED ∠=︒ ，A EB ∴、、三点在同一条直线上，1352CAD BAC ∴∠=∠=︒；如图，当90BDE ∠=︒时，即E 在ACB △外部时，由折叠可得AE AC =，90C AED EDB ∠=∠=∠=︒ ，90EDC ∴∠=︒,36090EAC C E EDB ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，1452CAD EAC ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒或45︒．7．如图，ABC 中，AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ．若110EAF =︒∠，则BAC ∠=．【答案】145︒/145度【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键．由根据线段垂直平分线的性质可得AE BE AF FC ==，，然后根据等边对等角可得,BAE B CAF C ∠=∠∠=∠；再根据三角形内角和定理可得35B C ∠+∠=︒，即35BAE CAF ∠+∠=︒，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，∴AE BE AF FC ==，，∴,BAE B CAF C ∠=∠∠=∠，∵180B C BAC ∠+∠+∠=︒∴180B C BAE CAF EAF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，即()2180B C EAF ∠+∠+∠=︒，∵110EAF =︒∠∴35B C ∠+∠=︒，即35BAE CAF ∠+∠=︒，∴11035145BAC EAF BAE CAF ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：145︒．8．如图，ABC 是等边三角形，AD BC ∥，CD AD ⊥．若2cm AD =，则AB =cm ．【答案】4【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，垂直的定义，三角形内角和定理，含30︒角的三角形三边关系等．根据题意可得60ACB CAD ∠=∠=︒，90D Ð=°，利用三角形内角和定理可得30ACD ∠=︒，利用含30︒角的三角形三边关系可得4cm AC =，再根据等边三角形性质可得本题答案．【详解】解：∵AD BC ∥，ABC 是等边三角形，CD AD ⊥，∴60ACB CAD ∠=∠=︒，90D Ð=°，∴30ACD ∠=︒，∵2cm AD =，∴4cm AB AC ==，故答案为：4．9．如图，已知等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则EFD ∠的度数为．10．如图，120MAN ∠=︒，点B ，C 分别是射线AM ，AN 上的动点，ACB ∠的平分线和MBC ∠的平分线所在直线相交于点D ，则BDC ∠的大小为．【答案】60︒/60度【分析】本题考查三角形外角性质和角平分线定义的应用，根据角平分线定义得出2ACB DCB ∠=∠，2MBC CBE ∠=∠，根据三角形外角性质得出2D ACB A ACB ∠+∠=∠+∠，求出2A D ∠=∠，即可求出答案．掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键．【详解】解：∵CD 平分ACB ∠，BE 平分MBC ∠，∴2ACB DCB ∠=∠，2MBC CBE ∠=∠，∵2MBC CBE A ACB ∠=∠=∠+∠，CBE D DCB ∠=∠+∠，∴222CBE D DCB ∠=∠+∠，∴2MBC D ACB ∠=∠+∠，∴2D ACB A ACB ∠+∠=∠+∠，∴2A D ∠=∠，∵120MAN ∠=︒，∴60D ∠=︒，∴BDC ∠的大小为60︒．故答案为：60︒．三、解答题11．如图，ABC 是一张纸片，AD 是BC 边上的高线，把B ∠沿着AD 折叠，点B 落在BC 边上的B 处．(1)如果48B ∠=︒，'C CAB ∠=∠，求C ∠的度数；(2)如果4BD =，14BC =，5AD =，求AB C 'V 的面积．12．如图，已知点D 、E 是ABC 内两点，且BAE CAD ∠=∠，A ABC CB =∠∠，AD AE =．(1)求证：ABD ACE ≌△△；(2)延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)126︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用（1）根据A ABC CB =∠∠得到AB AC =；根据BAE CAD ∠=∠得到BAD CAE ∠=∠，结合AD AE =证明ABD ACE ≌△△即可．（2）连接AF ，并延长到点M ，根据BFM ABD BAF ∠=∠+∠，CFM ACE CAF ∠=∠+∠，结合BFC BFM CFM ∠=∠+∠，86BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒，20ABD ACE ∠=∠=︒，计算即可．【详解】（1）∵A ABC CB =∠∠，∴AB AC =；∵BAE CAD ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，∵AD AE =，∴()SAS ABD ACE ≌．（2）连接AF ，并延长到点M ，∵BFM ABD BAF ∠=∠+∠，CFM ACE CAF ∠=∠+∠，BFC BFM CFM ∠=∠+∠，86BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒，20ABD ACE ∠=∠=︒，∴862020126BFC BAC ABD ACE ∠∠=∠++∠=︒+︒+︒=︒．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例引领1．如图，用三角板作ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键．【详解】解：由图得，作ABC 的边AB 上的高线是，故选B ．2．如图，CM 是ABC 的中线，8BC =cm ，若BCM 的周长比ACM △的周长大3cm ，则AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得AM BM =，结合题意可得3BC AC -=cm ，进而获得答案．【详解】解：∵CM 是ABC 的边AB 上的中线，∴AM BM =，∵BCM 的周长比ACM △的周长大3cm ，∴()()3BC BM CM AC AM CM ++-++=cm ，∴3BC AC -=cm ，∵8BC =cm ，∴5AC =cm ．故选：C ．3．如图，BD ，BE ，BF 分别是ABC 的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（）A ．AE EC=B ．12ABE ABC ∠=∠C ．2AC CF =D ．BD CD⊥【答案】A 【分析】本题考查了三角形的的高、角平分线和中线，根据三角形的中线的定义，可得点F 是AC 的中点，即可判断选项A 、C ，根据角平分线的定义，可得BE 平分ABC ∠，即可判断选项B ，再根据三角形高的定义，判断选项D 即可，解题关键是掌握三角形的的高、角平分线和中线的定义．【详解】解：A 、 BF 是ABC 的中线，∴AF FC =，∴AE EC ≠，故选项A 错误，符合题意；B 、 BE 是ABC 的角平分线，12ABE ABC ∴∠=∠，故选项B 正确，不符合题意；C 、 BF 是ABC 的中线，∴2AC CF =，故选项C 正确，不符合题意；D 、 BD 是ABC 的高，∴BD CD ⊥，故选项D 正确，不符合题意；故选：A ．4．下列说法正确的是（）A ．三条线段组成的图形叫三角形B ．三角形的角平分线是射线C ．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线D ．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外【答案】C 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可．【详解】解：A 、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A 错误；B 、三角形的角平分线是线段，故B 错误；C 、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C 正确；D 、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D 错误；故选：C ．5．下列说法正确的有（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误；②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误；③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确．故选：A ．6．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE ，．则下列说法：①CE BF =；②ABD △和ACD 面积相等；③BF CE ∥；④BDF CDE △△≌．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“SAS ”证明BDF V 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ∥，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF V 和CDE 中，BD CD BDF CDE DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌ ，故④正确；∴CE BF F CED =∠=∠，，故①正确，∴BF CE ∥，故③正确；∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD △和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的是①②③④，共4个．故选：D ．变式拓展7．如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为图心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若44BAE ∠=︒，则BAC ∠=度．∴AD 为BAC ∠的平分线，44BAE ∠=︒，∴44BAE CAE ∠=∠=︒，∴24488BAC ∠=⨯︒=︒，故答案为：88．8．如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线，,E F 分别是,AD BE 的中点．若BFD △的面积为3，则ABC 的面积为．【答案】24【分析】本题考查了三角形的面积公式，由于F 是BE 的中点，BF EF =，那么EFD △和BFD△可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出EFD △和BFD △的面积相等，进而得出BDE △的面积等于BFD △的面积的2倍，同理由于E 是AD 的中点，得出ADB 的面等于BDE △面积2倍，由于AD 是BC 边上的中线，得出ABC 的面积等于ABD △面积的2倍，代入求解即可．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．【详解】解：∵F 是BE 的中点，∴BF EF =，∴EFD BFD S S = ，又∵BDE EFD BFD S S S =+ ，∴2236BDE BFD S S ==⨯=V V ，同理2224624ABC ABD BDE S S S ⨯===⨯=V V V ，故答案为：24．三、解答题9．作图题：∥；(1)在图①中，作过点P作直线PH AB⊥，垂足为H：作直线PQ CD(2)请直接写出图①中三角形PAB的面积是平方单位；(3)在图②中过点P作直线PC OA∥（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】(1)见解析；(2)11；(3)见解析【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图的步骤是解题关键．（1）利用网格的特点作出图形即可；（2）利用割补法即可求解；∠=∠即可解决问题．（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出BPC BOA【详解】（1）解：直线PH和直线PQ即为所作，；．10．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，求三角形各边的长．【答案】三角形的各边是16，16，22或20，20，14．【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程求解．设AD CD a ==，进而表示出2AB AC a ==，544BC a =-，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．【详解】BD Q 是ABC 的中线，2AC CD AD ∴==，设AD CD a ==，2AB AC a ∴==，AC 边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，24304544BC a a ∴=+-=-，①当24AB AD +=时，224a a ∴+=，8a ∴=，216AB AC a ∴===，544543222BC a =-=-=，②当30AB AD +=时，230a a ∴+=，10a ∴=，220AB AC a ∴===，544544014BC a =-=-=，即：三角形的各边是16，16，22或20，20，14．11．如图，ABC 中，AE 是高，CD 是中线，EF CD ⊥，且F 是CD 的中点．(1)求证：BD CE =；(2)若11BC =，5BD =，求ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)44．【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．（1）连接DE ，由EF CD ⊥，F 是CD 的中点，得到DE CE =，再由CD 是中线，AE 是ABC 的高，得到BD CE =即可；（2）根据题意得到,AB AE 的长即可求解．【详解】（1）解：连接DE ，如图：∵EF CD ⊥，F 是CD 的中点，∴DE CE =，∵CD 是中线，。

(完整版)三角形的性质及判定归纳

(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。

根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。

根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。

2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

等边三角形的三个内角的度数都为60度。

由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。

2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。

等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。

2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。

2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。

锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。

3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。

3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。

3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。

3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。

结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。

部编数学八年级上册专题17两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形(解析版)含答案

专题17 两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形V是等腰三1．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使ABC角形，则符合条件的C点共有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有4个，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．V，2．等边三角形ABC所在平面内有一点P，且点P不与点A，B，C重合，使得PAB△，PBCV都是等腰三角形，这样的点P共有（）PCAA．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】【分析】当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P 在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．3．已知坐标平面内一点()2,1A ，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】依题意，分三种情况讨论，①当OA OB =时，②当AO AB =时，③当BO BA =时，分别求得符合条件的动点B 的个数即可．【详解】如图，①当OA OB =时，以O 为圆心，OA 的长度为半径作圆，交x 轴于点13,B B ；②当AO AB =时，以A 为圆心，AO 的长度为半径作圆，交x 轴于点4B ；③当BO BA =时，作AO 的垂直平分线，与x 轴交于点2B ,综上所述，V AOB 是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为4个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（2，2），点N 在x 轴上，若△OMN 是等腰三角形，则满足条件的点N 共有（）个A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论【详解】解：若OM 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若ON 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若NM 为底边，则满足条件的点N 有2个，在点O 的右侧一个，在点O 的左侧一个由上可知，满足条件的点N 共有4个故选：B【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键5．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA 为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．V，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，6．如图，已知Rt OAB且APB△是等腰三角形，则点P的坐标可能有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【解析】【分析】分PAB Ð为顶角、PBA Ð为顶角、APB Ð为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．【详解】Q 在Rt OAB V 中，30,90OAB AOB Ð=°Ð=°，60ABO \Ð=°，由题意，分以下三种情况：（1）如图，当PAB Ð为顶角时，以点A 为圆心、AB 长为半径画圆，交坐标轴于点123,,P P P ，其中1APB △是等边三角形；（2）如图，当PBA Ð为顶角时，以点B 为圆心、BA 长为半径画圆，交坐标轴于点145,,P P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，1BP BA \=，\点1P 一定在以点B 为圆心、BA 长为半径的圆上；（3）如图，当APB Ð为顶角时，作AB 的垂直平分线，交坐标轴于点16,P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，\点1P 一定在AB 的垂直平分线上；综上，符合条件的点P 有6个，即点P 的坐标可能有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．V 7．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，﹣3），点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【详解】解：如图示，点P 共有4个点．故选C ．9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 经过原点，且3OA =，1OB =，点P 在y 轴上，若以PAB 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】分别以AB 、为圆心，以AB 长为半径画圆，确定与y 轴交点的个数，此外作AB 的垂直平分线，确定与y 轴交点的个数，即可求解．【详解】解：分别以AB 、为圆心，以4AB =长为半径画圆，如下图：此时与y 轴交点的个数为4，作AB 的垂直平分线，如上图：此时与y 轴交点的个数为1，故选：B【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．10．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，以C 为原点，AC 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M ，使MAB △为等腰三角形，符合条件的点M 有__________个．【答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM ；②BM = BA ；③MA = MB ．【详解】如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴有一点3M ，交y 轴有两点12,M M ，此时AB = AM ，\MAB △为等腰三角形；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线x 轴有两点45,M M ，交y 轴有一点6M ，此时BM = BA ，\MAB △为等腰三角形；③作AB 的垂直平分线交y 轴于点7M ，交x 轴于点8M ，此时MA = MB ，\MAB △为等腰三角形，60ABC Ð=°Q ，3M AB V 是等边三角形，故348M M M ，，重合\符合条件的点有6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【解析】【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底，AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．12．如图，直角坐标系中，点22A -（，）、01B （，），点P 在x 轴上，且PAB V 是等腰三角形，则满足条件的点P 共______个．【答案】4【解析】【分析】分AB =AP 、BA =BP 、PA =PB 三种情况，画出图形即可得答案．【详解】①AB =AP ：以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 1、P 2，∴P 1、P 2，符号条件，②BA =BP ：以B 为圆心，BA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 3、点(2，0)，∵点(2，0)与AB 不能构成三角形，∴P 3符合条件，③PA =PB ：作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有1个交点P 4，∴P 4A =P 4B ，∴P 4符合条件，综上所述，符合条件的点共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键．13．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，36CAB Ð=°，在直线AC 或直线BC 上取点M ，使得MAB △为等腰三角形，符合条件的M 点有_______个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB =AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM =BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA =MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．14．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．【答案】10【解析】【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，②以O 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，③作AO 的垂直平分线分别交直线a 、b 于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP V 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．【答案】90°，45°，135°【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________【答案】8【解析】【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．17．在坐标系xOy 中，已知点()3,1A 关于x 轴，y 轴的对称点分别为P ，Q ，若坐标轴上的点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形，则满足条件的点M 有______个．【答案】5【解析】【分析】如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M 的个数即可．【详解】解：如图，分别以A ，Q 为圆心，以AQ 长度为半径画出两个较大的圆，此时x 轴上的点满足与A ，Q 组成等腰三角形有5个，y 轴上的点均可满足与A ，Q 组成等腰三角形，然后分别以A ，P 为圆心以AP 的产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x 轴上的点满足与A ，P 组成等腰三角形，因此点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形共有5个．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．18．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C 点有_____个．【答案】8【解析】【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【详解】解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5，在x轴上有1点满足条件的点C2，②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4，在x轴上有2点满足条件的点C3，C8，③当AC=BC 时，在y 轴有1点满足条件的点C 6，在x 轴有1点满足条件的点C 7，综上所述：符合条件的点C 共有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．19．如图，平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)A 和(0,1)B ，若动点C 在x 轴上运动，则使ABC V 为等腰三角形的点C 有________个．【答案】4【解析】【分析】分为三种情况：①AB =AC ，②AC =BC ，③AB =BC ，画出图形，即可得出答案．【详解】∵A （1，0），B （0，1），∴AO=OB=1，如图：①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；共2+1+1=4个点符合．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．20．O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，符合条件的点P 有___________个．【答案】4【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.共有4个．【详解】解：如图，（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；【详解】解：如图，以AB为腰的三角形有6个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP7，△ABP8．因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．22．作图题：在等边V ABC所在平面上找这样一点P，使V PAB、V PBC、V PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【解析】【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

中考数学点对点-全等三角形判定与性质定理(解析版)

【答案】见解析。
【解析】求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．
证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵ ，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.
D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。
【例题2】（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．

中考数学复习考点题型专练17---三角形的基础(解析版)

中考数学复习考点题型专练专题17三角形的基础（满分：100分时间：90分钟）班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2022·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（） A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒ （2）当70︒的内角为这个等腰三角形的底角则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．2．（2022·山东菏泽市·中考真题）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．7【答案】C【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x ＝3为方程的解，把x ＝3代入方程可计算出k 的值即可．【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k ＝4；②当3为等腰三角形的腰，则x ＝3为方程的解，把x ＝3代入方程得9−12＋k ＝0，解得k ＝3；综上，k 的值为3或4，故选：C ．3．（2022·江西中考真题）如图，1265,335︒∠=∠=∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．//AB CD B ．30B ∠=︒C ．2C EFC ∠+∠=∠D ．CG FG >【答案】C【分析】由12∠=∠可对A 进行判断；根据三角形外角的性质可对B 进行判断；求出∠C ，根据大角对大边，小角对小边可对D 进行判断；求出C EFC ∠∠，可对C 进行判断．【详解】1265∠=∠︒=，//AB CD ∴，故选项A 正确；335︒∠=，35EFB ∴∠=︒，又1EFB B ∠=∠+∠，1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选项B 正确；//AB CD ，30C B ∴∠=∠=︒，3530︒︒>，3C ∴∠>∠CG FG ∴>，故选项D 正确；335︒∠=，3180EFC ∠+∠=︒118035145EFC ︒-︒∴∠==︒，而2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠，故选项C 错误．故选C ．4．（2022·辽宁大连市·中考真题）如图，ABC 中，60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=，则AED ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】D【分析】由三角形的内角和定理求出∠C 的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，60,40A B ︒︒∠=∠=，∴180604080C ∠=︒-︒-︒=︒，∵//DE BC ，∴80AED C ∠=∠=︒；故选：D ．5．（2022·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC 中，AB =1，BC ，下列选项中，可以作为AC 长度的是（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC 的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．【详解】∵在△ABC 中，AB =1，BC1＜AC 1，1＜21，4+1，51，61，∴AC 的长度可以是2，故选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确；故选：A ．6．（2022·四川眉山市·中考真题）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC CD =，35DAC ∠=︒，45ACD ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得35CDB ∠=︒，根据三角形的内角和可得100ADC ∠=︒，利用角的和差运算即可求解．【详解】解：∵35DAC ∠=︒，∴35DBC ∠=︒，∵BC CD =，∴35CDB ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴100ADC ∠=︒，∴65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒，故选：C ．7．（2022·辽宁本溪市·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（）A ．2B ．52C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB ，OC ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可．【详解】∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，AC ⊥BD ，由勾股定理得，5==，∵OE=CE ，∴∠EOC=∠ECO ，∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90︒，∴∠EOD =∠EDO ，∴OE=ED ，∴OE=ED=CE ，∴OE=12CD=52．故选：B．8．（2022·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x-+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．9．（2022·吉林中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A．85︒B．75︒C．65︒D．60︒【答案】B先根据直角三角板的性质得出∠ACD 的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD =60°，∠BCA =45°，∠D =90°，∴∠ACD =∠ECD －∠BCA =60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D －∠ACD =180°－90°－15°=75°，故选：B ．10．（2022·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A ．9B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=．故选：D ．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2022·甘肃天水市·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形的周长为_______．【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．【详解】解：∵x 2-8x +12=0，∴()()260x x --=，∴x 1=2，x 2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．12．（2022·湖北襄阳市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C=_______．【答案】40°【解析】试题解析：∵AB=AD ，∠BAD=20°， ∴∠B=1801802022BAD ︒-∠︒-︒==80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC ，∴∠C=180********ADC ︒-∠︒-︒==40°． 13．（2022·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC ，继而根据邻补角定义求解∠CDE ，最后根据外角定义求解∠BCD ．【详解】令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示：∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30．14．（2022·青海中考真题）已知a ，b ，c 为ABC 的三边长．b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程|4|2x -=的解，则ABC 的形状为________三角形．【答案】等腰三角形【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b 、c 的值，再根据式子解出a 的值，即可得出结果．【详解】 ∵2(2)30b c -+-=，∴20b -=，30c -=，∴2b =，3c =，又∵|4|2x -=，∴16x =，22x =，∵a 是方程的解且a ，b ，c 为ABC 的三边长，∴2a =,∴ABC 是等腰三角形．15．（2022·湖南岳阳市·中考真题）如图：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，若20A ∠=︒，则BDC ∠=_________．【答案】40︒先根据直角三角形斜边中线的性质得出12CD AD AB ==，则有20DCA A ∠=∠=︒，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．【详解】∵在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，， ∴12CD AD AB ==． ∵20A ∠=︒，∴20DCA A ∠=∠=︒，∴40BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．故答案为：40︒．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2022·江苏常州市·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）根据已知条件证明△ACE ≌△BDF ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.的正方形网格，每个小正方形的边长17．（2022·吉林长春市·中考真题）图①、图②、图③均是33为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：18．（2022·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是ABC的重心．求证：3AD GD=．【答案】见解析【分析】过点D 作DH ∥AB 交CE 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH ，从而得到AE=2DH ，再根据△AEG 和△DHG 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．【详解】解：过点D 作DH ∥AB ，交CE 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DH 是△BCE 的中位线，∴BE=2DH ，DH ∥AB ，∵CE 是△BCE 的中线，∴AE=BE ，∴AE=2DH ，∵DH ∥AB ，∴△AEG ∽△DHG ， ∴2AG AE DG DH==， ∴AG=2GD ，即AD=3GD.19．（2022·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，点P 、Q 分别是等边ABC ∆边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．（1）如图1，连接AQ 、CP 求证：ABQ CAP ∆≅∆（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．【分析】（1）根据点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，可得BQ=AP ，结合等边三角形的性质证全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB ，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数，再根据对顶角相等可得QMC ∠的度数；（3）先证出CBP ACQ ≅△△，可得∠Q=∠P ，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠CAB=60°，∵点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，∴BQ=AP ，在△ABQ 与△CAB 中，AB AC ABC CAB BQ AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABQ CAP SAS ∆≅∆．（2）角度不变，60°，理由如下：∵ABQ CAP ∆≅∆∴∠CPA=∠AQB ，在△AMP 中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA ）=180°-（∠MAP+∠AQB ）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC 的度数不变，度数为60°．（3）角度不变，120°，理由如下：当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，有AP=BQ ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，BC AC CBP ACQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CBP ACQ SAS ≅△△∴∠Q=∠P ，∵∠QCM=∠BCP ，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC 的度数不变，度数为120°．20．（2022·四川南充市·中考真题）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD ．【答案】详见解析【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=，90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：∵AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∴90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∴90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=∴ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ∆≌CDE ∆故AB CD =．。

中考数学专题17 三角形及其性质(解析版)

第四篇图形的性质专题17三角形及其性质知　识　点名师点晴中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的重要线段三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明归纳1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】（2019湖北省恩施州，第6题，3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B．【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，EF∥AB，由平行线的性质得出∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，即可得出答案．【详解】∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，∴∠ADE=∠EFC=65°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．考点：三角形中位线定理．归纳2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】（2019四川省内江市，第9题，3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2﹣8x +15=0的一根，则此三角形的周长是（）A ．16B ．12C ．14D ．12或16【答案】A ．【分析】先利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．【详解】解方程x 2﹣8x +15=0，得：x =3或x =5，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16．故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解答此题的关键．考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】（2019青岛，第7题，3分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】C ．【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD =∠EBD ∠ABC ，∠AFB =∠EFB =90°，12=352︒=推出AB =BE ，根据等腰三角形的性质得到AF =EF ，求得AD =ED ，得到∠DAF =∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD ∠ABC ，∠AFB =∠EFB =9012=352︒=°，∴∠BAF =∠BEF =90°﹣17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ．∵∠BAC =180°﹣∠ABC ﹣∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°﹣50°=45°．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．考点：三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】（2019黑龙江省哈尔滨市，第18题，3分）在△ABC 中，∠A =50°，∠B =30°，点D 在AB 边上，连接CD ，若△ACD 为直角三角形，则∠BCD 的度数为度．【答案】60或10．【分析】当△ACD 为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC =90°或∠ACD =90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【详解】分两种情况：①如图1，当∠ADC =90°时．∵∠B=30°，∴∠BCD=90°﹣30°=60°；②如图2，当∠ACD=90°时．∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣50°=100°，∴∠BCD=100°﹣90°=10°．综上，则∠BCD的度数为60°或10°．故答案为：60或10．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质；3．分类讨论．【2019年题组】一、选择题1．（2019内蒙古包头市，第10题，3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【答案】A．【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解．【详解】当a=4时，b＜8．∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8不符合；当b=4时，a＜8．∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，∴a=8不符合；当a=b时．∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，∴12=2a=2b，∴a=b=6，∴m+2=36，∴m=34．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．考点：1．一元二次方程的解；2．根的判别式；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．2．（2019内蒙古赤峰市，第13题，3分）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】B．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【详解】∵DE⊥AB，∠A=35°，∴∠AFE=∠CFD=55°，∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°．故选B．【点睛】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．考点：三角形内角和定理．3．（2019四川省内江市，第4题，3分）下列事件为必然事件的是（）A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球B．三角形的内角和为180°C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上【答案】B．【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．【详解】A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；B．三角形的内角和为180°是必然事件；C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件．故选B．【点睛】本题考查了随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．考点：1．三角形内角和定理；2．随机事件．4．（2019四川省眉山市，第5题，3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C．【分析】由∠B=30°，∠ADC=70°，利用外角的性质求出∠BAD，再利用AD平分∠BAC，求出∠BAC，再利用三角形的内角和，即可求出∠C的度数．【详解】∵∠B=30°，∠ADC=70°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=70°﹣30°=40°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣30°﹣80°=70°．故选C．【点睛】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，本题较为综合，但难度不大．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质．5．（2019自贡，第6题，4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5．∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．考点：三角形三边关系．6．（2019枣庄，第3题，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C．【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．【详解】如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．故选C．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．考点：三角形的外角性质．7．（2019滨州，第10题，3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB BC=4，AC=5 B．AB：B C：A C=3：4：5C ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：5D ．|cosA |+（tanB 2=012-【答案】C ．【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】A ．∵，∴△ABC 是直角三角形，错误；22254251641+=+==B ．∵（3x ）2+（4x ）2=9x 2+16x 2=25x 2=（5x ）2，∴△ABC 是直角三角形，错误；C ．∵∠A ：∠B ：∠C =3：4：5，∴∠C ，∴△ABC 不是直角三角形，正51807590345=⨯︒=︒≠︒++确；D ．∵|cosA |+（tanB 2=0，∴，∴∠A =60°，∠B =30°，∴∠C =9012-12cosA tanB ==，°，∴△ABC 是直角三角形，错误．故选C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．考点：1．非负数的性质：绝对值；2．非负数的性质：偶次方；3．三角形内角和定理；4．勾股定理的逆定理；5．特殊角的三角函数值．8．（2019广西，第3题，3分）下列事件为必然事件的是（）A ．打开电视机，正在播放新闻B ．任意画一个三角形，其内角和是180°C ．买一张电影票，座位号是奇数号D ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】B ．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【详解】∵A ，C ，D 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意，∴一定发生的事件只有B ，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．考点：1．三角形内角和定理；2．随机事件．9．（2019广西，第5题，3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．85°【答案】C．【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．【详解】如图：∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，∴∠2=180°﹣60°﹣45°=75°．∵HF∥BC，∴∠1=∠2=75°．故选C．【点睛】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．10．（2019广西百色市，第1题，3分）三角形的内角和等于（）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B．【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．【详解】因为三角形的内角和等于180度．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．考点：三角形内角和定理．11．（2019江苏省徐州市，第3题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2，2，4B ．5，6，12C ．5，7，2D ．6，8，10【答案】D ．【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．【详解】∵2+2=4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误．∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误．∵5+2=7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误．∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．考点：三角形三边关系．12．（2019江苏省扬州市，第7题，3分）已知n 是正整数，若一个三角形的3边长分别是n +2、n +8、3n ，则满足条件的n 的值有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D ．【分析】分两种情况讨论：①若n +2＜n +8≤3n ，②若n +2＜3n ≤n +8，分别依据三角形三边关系进行求解即可．【详解】①若n +2＜n +8≤3n ，则：，解得：，即4≤n ＜10，∴正整数n 有628383n n n n n +++⎧⎨+≤⎩＞104n n ⎧⎨≥⎩＜个：4，5，6，7，8，9；②若n +2＜3n ≤n +8，则：，解得：，即2＜n ≤4，∴正整数n 有2个：3和4；23838n n n n n +++⎧⎨≤+⎩＞24n n ⎧⎨≤⎩＞综上所述：满足条件的n 的值有7个．故选D ．【点睛】本题考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．考点：1．三角形三边关系；2．分类讨论．13．（2019江苏省淮安市，第5题，3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A ．2cm ，3cm ，4cm B ．1cm ，2cm ，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】B．【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】A．2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B．1+2=3，不能构成三角形，符合题意；C．4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D．4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．考点：三角形三边关系．14．（2019浙江省台州市，第4题，4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11【答案】B．【分析】根据三角形的三边关系即可求【详解】A选项，3+4=7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6=11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5=10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6=11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．考点：三角形三边关系．15．（2019浙江省杭州市，第7题，3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°【答案】D．【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可．【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C﹣∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解答此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．考点：三角形内角和定理．16．（2019浙江省绍兴市，第5题，4分）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5° B．10° C．30° D．70°【答案】B．【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】∠3=∠2=100°，∴木条a，b所在直线所夹的锐角=180°﹣100°﹣70°=10°．故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．考点：1．对顶角、邻补角；2．三角形内角和定理．17．（2019金华，第3题，3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C．【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3．故选C．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解答此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．考点：三角形三边关系．18．（2019湖北省荆门市，第4题，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】C．【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．【详解】由题意得：∠2=45°，∠4=90°﹣30°=60°，∴∠3=∠2=45°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°．故选C．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质；3．多边形内角与外角．19．（2019湖南省长沙市，第4题，3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D．【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．考点：1．三角形内角和定理；2．随机事件．20．（2019贵州省毕节市，第12题，3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，6cmC．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【答案】C．【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【详解】A．2+3＞4，能组成三角形；B．3+6＞6，能组成三角形；C．2+2＜6，不能组成三角形；D．5+6＞7，能够组成三角形．故选C．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．考点：三角形三边关系．21．（2019贵州省黔东南州，第7题，4分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，6cmC．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【详解】A．2+3＞4，能组成三角形；B．3+6＞6，能组成三角形；C．2+2＜6，不能组成三角形；D．5+6＞7，能够组成三角形．故选C．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．考点：三角形三边关系．22．（2019辽宁省丹东市，第7题，3分）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，则k的值是（）A．8 B．9 C．8或9 D．12【答案】B．【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的有两个相等实数根，∴△=36﹣4k=0，∴k=9，此时两腰长为3．∵2+3＞3，∴k=9满足题意，当等腰三角形的腰长为2时，此时x=2是方程x2﹣6x+k=0的其中一根，∴4﹣12+k=0，∴k=8，此时另外一根为：x=4．∵2+2=4，∴不能组成三角形．综上所述：k=9．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．考点：1．一元二次方程的解；2．根的判别式；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．23．（2019辽宁省抚顺市，第7题，3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2 B．3 C．4 D．2或4【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．【详解】①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，所以，第三边为4；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4．∵2+2=4，∴不能组成三角形．综上所述：第三边为4．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．考点：1．三角形三边关系；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．24．（2019辽宁省营口市，第4题，3分）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=32°，则∠C的度数是（）A．64° B．32° C．30° D．40°【答案】B．【分析】根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD=64°，根据三角形的外角性质计算即可．【详解】∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=32°．∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=64°．∵∠EAC是△ABC的外角，∴∠C=∠EAC﹣∠B=64°﹣32°=32°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．三角形的外角性质．25．（2019辽宁省铁岭市，第7题，3分）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°【答案】B ．【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD =∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE ，先求出∠FCE 即可求出∠A ．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB ∥CF ，∴∠3=∠1．∵AD ∥CE ，∴∠2=∠4，∴∠BAD =∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE ．∵∠FCE =180°﹣∠E ﹣∠F =180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BAD =∠FCE =50°．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．26．（2019黑龙江省大庆市，第8题，3分）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B ．【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM ∠ABC 、∠ECM ∠ACM ，根据三角形的外角性质计算即12=12=可．【详解】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM ∠ABC ．12=∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM ∠ACM ，则∠BEC =∠ECM ﹣∠EBM （∠ACM ﹣∠12=12=⨯ABC ）∠A =30°．12=故选B ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．考点：三角形的外角性质．27．（2019内蒙古赤峰市，第8题，3分）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【分析】由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得OE 的长．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD =BC 5，且O 为BD 的中点．204==∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE CB =2.5．12=故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．28．（2019广西河池市，第7题，3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（）A ．∠B =∠F B ．∠B =∠BCFC ．AC =CFD ．AD =CF【答案】B ．【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC ，DE =AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．12【详解】∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE =12AC ．A ．根据∠B =∠F 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B ．根据∠B =∠BCF 可以判定CF ∥AB ，即CF ∥AD ，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C ．根据AC =CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D ．根据AD =CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．考点：1．三角形中位线定理；2．平行四边形的判定．29．（2019江苏省盐城市，第4题，3分）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC =3，则DE 的长为（）A ．2B ．C ．3D ．4332【答案】D ．【分析】直接利用中位线的定义得出DE 是△ABC 的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．【详解】∵点D 、E 分别是△ABC 的边BA 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE AC =1.5．12故选D ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，正确得出DE 是△ABC 的中位线是解题的关键．考点：三角形中位线定理．30．（2019湖北省襄阳市，第10题，3分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（）A ．AP =2OPB ．CD =2OPC ．OB ⊥ACD ．AC 平分OB【答案】A ．【分析】利用圆周角定理得到∠ACD =90°，再根据平行四边形的性质得到CD ∥OB ，CD =OB ，则可求出∠A =30°．在Rt △AOP 中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A 选项进行判断；利用OP ∥CD ，CD ⊥AC 可对C 选项进行判断；利用垂径可判断OP 为△ACD 的中位线，则CD =2OP ，原式可对B 选项进行判断；同时得到OB =2OP ，则可对D 选项进行判断．【详解】∵AD 为直径，∴∠ACD =90°．∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD ∥OB ，CD =OB ．在Rt △ACD 中，sinA ，∴∠A =3012CD AD ==°．在Rt △AOP 中，AP ，所以A 选项的结论错误；=∵OP ∥CD ，CD ⊥AC ，∴OP ⊥AC ，所以C 选项的结论正确；∴AP =CP ，∴OP 为△ACD 的中位线，∴CD =2OP ，所以B 选项的结论正确；∴OB =2OP ，∴AC 平分OB ，所以D 选项的结论正确．故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．考点：1．三角形中位线定理；2．平行四边形的性质；3．垂径定理；4．圆周角定理．31．（2019西藏，第6题，3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（）A ．1：4B ．1：3C ．1：2D ．2：1【答案】A ．【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．。

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3 ：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1. 分别以点 A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C 、D 两点； 2. 作直线 CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．181.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A ．70°B ．45°C ．35°D ．50°2．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2++|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．226．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．107．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．88．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是度．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若A C＝7，BC＝4，则BD的长为．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝°．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则P E+PF的长度和为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.55.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为c m．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠C EB＝60°，则DC的最大值为．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE D B（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．12．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．。

三角形的性质及相关定理

三角形与其他几何图形的关系
三角形与平行四边形的关系：通过平行四边形的对角线，可以将其分成两个三角形
三角形与矩形的关系：矩形的对角线将矩形分成两个等腰直角三角形
三角形与正方形的特殊关系：正方形的对角线将正方形分成两个等腰直角三角形，且正方形是特殊的矩形，因此也适用于矩形与三角形的关系
三角形与圆的特殊关系：圆内接三角形是特殊的三角形，其三个内角之和为180度，适用于三角形的基本性质
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边边边定理：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
边角边定理：如果两个三角形的两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
角边角定理：如果两个三角形的两角和它们之间的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
角角边定理：如果两个三角形的两角和它们ห้องสมุดไป่ตู้间的非夹边分别相等，则这两个三角形全等。
三角形的相似定理
三角形判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
三角形按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
02
三角形的重要定理
勾股定理
定义：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方
定理推广：勾股定理的逆定理、费马大定理等
应用领域：几何学、物理学、工程学等
证明方法：利用相似三角形和平方差公式
三角形的全等定理
性质定理：相似三角形的对应边成比例，对应角相等
定义：两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似
判定定理：平行线截三角形所得的两个三角形相似
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
三角形的角平分线定理
定理内容：三角形角平分线将相对边分成两段，长度之比等于相对边上的两个小三角形面积之比。
应用场景：在几何证明、三角形分类、三角形面积计算等方面有广泛应用。

专题17 三角形中的尺规作图问题(解析版)

专题17 三角形中的尺规作图问题知识对接考点一、尺规作图问题1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；专项训练一、单选题1．（2021·河北）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为ABC的内心的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C 中尺规作图作的是1∠､ACBABC∠的平分线，所以点O为ABC的内心，故选：C．【点睛】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．2．（2021·河北九年级）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧①，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）A．AH是ABC中BC边上的高B．AH DH=C．AC平分BAD∠D．作图依据是：①两点确定一条直线；①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：如图，连接CD，BD，3由作图步骤可知，AC DC =，AB DB =，由①两点确定一条直线，①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知BH 为AD 的垂直平分线，即AD BH ⊥，AH DH =，故选C ．【点睛】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是判定图示所做为垂直平分线．3．（2021·吉林长春市·东北师大附中）如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（）A ．BC ＝ECB ．BE ＝EC C ．BC ＝BED ．AE ＝EC【答案】C 【分析】证明①BEC =①BCE ，可得结论．【详解】解：由作图可知，CD ①AB ，CE 平分①ACD ， ①①ACE ＝①DCE ， ①①ACB ＝①CDB ＝90°，①①A +①B ＝90°，①B +①DCB ＝90°， ①①A ＝①DCB ，①①BEC ＝①A +①ACE ，①BCE ＝①ECD +①DCB ， ①①BEC ＝①BCE ， ①BC ＝BE ，故选：C ．【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2021·广西）如图，在①ABC 中，AB =AC ，AE =2，BE =1，观察尺规作图的痕迹，则EC 的长度是（）A．2B．3C D【答案】D【分析】根据作图判断出CE①AB，利用勾股定理即可求解．【详解】解：由作图知，CE①AB，①AB=AC，AE=2，BE=1，①AB=AC= AE+BE=3，由勾股定理得：EC故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2021·河北唐山·九年级）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学做图描述：甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点D，做直线CD即为所求乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线下面说法正确的是（）A．甲对，乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的作图方法即可判断．【详解】甲图先尺规作图得到AC =BC ，再得到AD =BD ，根据等腰三角形的三线合一可知CD ①AB ，故正确；乙图为垂直平分线的作图方法，故正确；故选C ．【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知垂直平分线的作图方法．6．（2021·广东九年级）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点О为圆心，任意长为半径作弧，交AOB ∠的两边OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ，并连接CD 、CE ．下列结论不正确的是（）A ．OC 垂直平分DEB ．CE OE =C ．DCO ECO ∠=∠D ．12∠=∠【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：由作图可知，在①OCD 和①OCE 中， OD OEDC EC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OCD ①①OCE （SSS ）， ①①DCO =①ECO ，①1=①2， ①OD =OE ，CD =CE ， ①OC 垂直平分线段DE ，故A ，C ，D 正确，故选：B．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2021·浙江九年级）如图，已知ABC，AB BC<，用尺规作图的方法在BC上取一点P，+=，则下列选项正确的是（）使得PA PB BCA．B．C．D．【答案】B【分析】因为BC=PB+PC，根据已知P A+PB=BC，所以P A=PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．【详解】解：作AC的中垂线，交BC于点P，则P A=PC，①BC=PB+PC，①P A+PB=BC，故选：B．【点睛】本题是作图-复杂作图，考查了线段中垂线的作法，明确线段垂直平分线的性质是关键．8．（2021·广东九年级）尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；CD长为半径画弧，两弧交于点P；①分别以C、D为圆心，大于12①过点P作射线OP，射线OP即为所求．则上述作法的依据是（）7A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】A 【分析】根据SSS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：连接PC ，PD ．．由作图可知，OC ＝OD ，PC ＝PD ，在①OPC 和①OPD 中， OC OD OP OP PC PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OPC ①①OPD （SSS ）， ①①POC ＝①POD ，故选：A ．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·扬州市梅岭中学）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A 【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解．【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线，①AC=BC，①①1=①ABC=90°-68°=22°，故选A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．10．（2021·河北石家庄·九年级）观察下列尺规作图的痕迹：>的是（）其中，能够说明AB ACA．①①B．①①C．①①D．①①【答案】C【分析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．【详解】解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在①ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可>；判AB AC>;如图①为作①ABC的角平分线，无法判定AB AC>;如图①为以AC为半径画弧交AB于D，即AB AC>;如图①为作①ACB的平分线，无法判定AB AC综上，①①正确．故选C．9【点睛】本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键．二、填空题11．（2021·云南）如图，四边形ABCD 是平行四边形，1058'4D ∠=︒．观察图中尺规作图的痕迹，则AEB ∠=_____．【答案】376'︒ 【分析】根据平行四边形的性质可得出①BAD ，①AEB =①DAE ，根据作图可得DAE =∠12DAB ∠从而得出结论．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形 ①AD //BC ，AB //CD①①AEB =①DAE ，180BAD D ∠+∠=︒ ①1058'4D ∠=︒①①BAD =180°-105'48︒=7412'︒ 由作图可知，AE 是①BAD 的平分线， ①①AEB=DAE =∠12DAB ∠=376'︒ 故答案为：376'︒ 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分的定义与作法以及平行四边形的性质，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．12．（2021·广东东莞·九年级）尺规作图要求： a 、过直线外一点作这条直线的垂线；b、作线段的垂直平分线；c、过直线上一点作这条直线的垂线；d、作角的平分线．其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是______．（填序号）【答案】①①①①【分析】根据基本作图进行判断．【详解】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图①；b，作线段的垂直平分线，如图①；c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图①；d、作角的平分线．如图①．故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．13．（2021·昭通市昭阳区第一中学九年级）如图，已知AB①CD，①BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知①BCD的度数为_____．【答案】26°28'【分析】根据尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，结合AB①CD，可得①BCD=①B=①FCB，进而即可求解．【详解】由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，①①BCD=①FCB，①AB①CD，①①BCD=①B，①①FCB=①B，①①BFC＝127°4'，①①BCD=①B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线以及平行线的性质，根据尺规作图的痕迹，得到BC平分①DCF，是解题的关键．14．（2021·北京西城·九年级二模）如下是小华设计的“作AOB∠的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线,OA OB于点P，点Q，连接PQOPQ∠=①︒，理由是①第二步过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交PQ于点E PE EQ=，PE=①第三步作射线OE射线OE平分AOB∠射线OE为所求作．【答案】见解析；①90；①直径所对的圆周角是直角；①EQ【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．11①①OQ是直径①①OPQ=90°故答案为：90；①故答案为：直径所对的圆周角是直角；①①CE①PQ①由垂径定理得：PE EQ．故答案为：EQ【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键15．（2020·河南周口市·九年级）在①ABC中，尺规作图的痕迹如图所示，已知①ADB＝50°，①A＝110°，则①ABC的度数为_____．【答案】45°【分析】由作图可知：EF垂直平分线段BC，先求出①C，再利用三角形内角和定理解决问题即可．【详解】解：由作图可知：EF垂直平分线段BC，①DB＝DC，①①DBC＝①C，①①ADB＝①DBC+①C＝50°，①①C＝25°，①①ABC＝180°﹣①A﹣①C＝180°﹣110°﹣25°＝45°，故答案为：45°．13【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题16．（2021·重庆实验外国语学校九年级）如图，平行四边形ABCD 中90ADB ∠=︒．（1）求作：AB 的垂直平分线MN ，交AB 于点M ．交BD 延长线于点N （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，直线MN 交AD 于E ，连接BE ，当22.5A ∠=︒时，求证：NE CD =．【答案】（1）图见解析（2）见解析【分析】（1）利用基本作图，作AB 的垂直平分线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到①A ＝①C ＝22.5°，再利用线段垂直平分线的性质得到EA ＝EB ，MN ①AB ，则①EBA ＝①A ＝22.5°，接着判断①DEB 为等腰直角三角形得到DE ＝DB ，然后证明①NDE ①①ABD ，从而得到结论．【详解】（1）解：如图，MN 为所作；（2）证明：如图，①四边形ABCD 为平行四边形， ①①A ＝①C ＝22.5°， ①MN 垂直平分AB ， ①EA ＝EB ，MN ①AB ， ①①EBA ＝①A ＝22.5°， ①①DEB ＝①A ＋①EBA ＝45°， ①①ADB ＝90°，①①DEB 为等腰直角三角形，①DEDN ＝90°， ①DE ＝DB ，①①N ＋①NED ＝90°，①A ＋①MEA ＝90°，而①NED ＝①AEM ， ①①N ＝①A ，在①NDE 和①ABD 中，N A NDE ADB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①NDE ①①ADB （AAS ）， ①NE ＝AB ．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．17．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：①AOB ，求作：一个角，使它等于①AOB ．作法：如图15①作射线O A '' ；①以O 为圆心，任意长为半径作孤，交OA 于C ，交OB 于D ； ①以O '为圆心，OC 为半径作弧C E '' ，交OA ' 于C ' ； ①以C ' 为圆心，CD 为半径作弧，交弧C E '' 于D ； ①过点D 作射线O B '' ，则A O B '''∠ 就是所求作的角请完成下列问题：（1）该作图的依据是（填序号）①ASA ；①SAS ；①AAS ；①SSS （2）请证明A O B '''∠ ＝①AOB 【答案】（1）①；（2）见解析【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS ，即可求解；（2）由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ，从而OCD O C D '''≅，即可求证．【详解】解：（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是①；（2）证明：由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ，在①OCD 和O C D ''' 中，＝＝＝''⎧⎪''⎨⎪''⎩OC O C OD O D CD C D ，①()OCD O C D SSS '''≅ ， ①A O B ＝AOB '''∠∠ ．【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．18．（2021·重庆字水中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，满足AC AB ⊥．（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论： ①作线段AC 的垂直平分线l ，分别交AD 、BC 于点E 、F ；①连接CE ；（2）在（1）的条件下，已知10AB =，13CE =，求tan DCE ∠的值．【答案】（1）作图见详解，直线l 及连接CE 后的图形即为所求；（2）12tan 5DCE =．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）根据平行四边形的性质可求得：CD ①AC ，再根据平行线的判定可确定：l //CD ，得出：DCE GEC ∠=∠，然后利用中垂线及中位线定理得出：12GE CD =，在Rt EGC 中，利用勾股定理确定GC ，根据正切函数的定义即可解出答案．【详解】解：（1）如图所示，直线l 以及连接CE 后如图即为所求；（2）如图所示：直线l 与AC 相交于点G ，①四边形ABCD 是平行四边形， ①10CD AB ==，AB //CD ， ①AC ①AB ， ①CD ①AC ，①直线l 垂直平分AC ， ①l //CD ，①DCE GEC ∠=∠，①G为AC的中点，①152GE CD==，在Rt EGC中，222213512 GC EC EG=--=，①12 tan5GCGECEG∠==，①12 tan5DCE∠=．【点睛】题目主要考查了中垂线的基本作法，平行四边形的性质、中位线定理、勾股定理及三角函数中正切函数的定义，熟练掌握相关定理及定义是解答此题的关键．19．（2021·重庆字水中学九年级）如图，已知平行四边形ABCD中，DE平分①ADC交BC于点E．（1）作①ABC的平分线BF交AD于点F．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论）．（2）在（1）的条件下，求证：AF=CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图，作①ABC的平分线；（2）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，①A=①C，①ABC=①ADC，再利用角平分线的定义得到①ABF=①CDE，然后证明①ABF①①CDE，从而得到AF=CE．【详解】解：（1）如图，BF为所作；17（2）证明：①四边形ABCD 为平行四边形， ①AB =CD ，①A =①C ，①ABC =①ADC ， ①BF 平分①ABC ，DE 平分①ADC ①①ABF =12①ABC ，①CDE =12①ADC ， ①①ABF =①CDE ，在①ABF 和①CDE 中，ABF CDE AB CD A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①ABF ①①CDE （ASA ）， ①AF =CE ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．20．（2021·福建厦门一中九年级）如图，在正方形ABCD 内有等边BCE 、等边ADF ，AF 交BE 于点G ，DF 交CE 于点H ．（1）请用尺规作图的方法作出ADF （保留作图痕迹，不写作法），（2）四边形EGFH 是什么特殊四边形？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析【分析】（1）分别以A ，D 为圆心，AD 为半径画弧，在正方形ABCD 内交于点F ，连接AF 和DF 即可；（2）利用正方形的性质和等边三角形的性质求出①GAB =①GBA =30°，从而推出GE =GF ，BE ①DF ，同理：EH ①GF ，即可证明四边形EGFH 是菱形．【详解】解：（1）如图，即为所作图形；19（2）①四边形ABCD 是正方形， ①①BAD =①ABC =90°，①①ADF 和①BCE 为等边三角形，AD =BC ， ①①EBC =①F AD =60°， ①①GAB =①GBA =30°，①AG =BG ，①AGE =①GAB +①GBA =60°=①AFD ， ①GE =GF ，BE ①DF ，同理：EH ①GF ， ①四边形EGFH 是菱形．【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定，解决问题的关键是正确作出图形，熟练掌握菱形的判定方法．21．（2021·湖北）如图，在ABD △中，90ADB ∠=︒，30A ∠=︒，10AB =，点E 是边AB 的中点．分别以点B ，D 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点C ；连接CB ，CD ．（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形BCDE 是菱形；（2）求菱形BCDE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2253【分析】（1）证明BC ＝BE ＝CD ＝DE 即可．（2）证明①BDE 是等边三角形，可得结论．【详解】（1）证明：①①ADB ＝90°，点E 是边AB 的中点， ①DE ＝BE ＝AE ， ①BC ＝DC ＝BE ，①BE＝BC＝CD＝DE，①四边形BCDE是菱形．（2）解：①①ADB＝90°，①A＝30°，①①DBE＝60°，①EB＝ED，①①BDE是等边三角形，①菱形BCDE的面积＝2S①BDE＝252【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级）在①ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点．（1）尺规作图：过点E作AB的平行线交BC于点F（要求，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，若点D、E分别为AB、AC的中点，探究①ADE与①EFC的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①ADE＝①EFC，证明见解析【分析】（1）如图在DE的下方作①DEF＝①ADE，EF交BC于点F，射线EF即为所求．（2）利用三角形中位线定理、平行线的性质证明即可．【详解】（1）解：如图，射线EF即为所求．（2）结论：①ADE＝①EFC．证明：①点D、E分别为AB、AC的中点，①DE①CB，①①ADE＝①B，①AB①EF，①①EFC＝①B，①①ADE＝①EFC．【点睛】本题考查尺规作图-作与已知角相等的角、平行线的判定与性质、三角形的的中位线性质，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形的中位线的性质是解答的关键．23．（2021·江苏扬州市·九年级二模）如图，①ABC中，AB＝CB．（1）作点B关于AC的对称点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接AD，CD，连接BD，交AC于点O．①猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；①取BC的中点E，连接OE、AE，若OE＝5，BO＝8，求线段AE的长．【答案】（1）见解答；（2）①四边形ABCD为菱形．理由见解析；97【分析】（1）过B点作AC的垂线，垂足为O，然后截取OD=BO得到D点；（2）利用对称的性质得到AB=AD，CB=CD，则AB=BC=CD=AD，所以四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，利用菱形的性质得到OA=OC，再根据斜边上的中线性质得到BE=CE=OE=5，接着利用勾股定理计算出OC=6，利用三角形中位线性质得到EF=4，然后利用勾股定理计算出AE的长．【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）①四边形ABCD为菱形．理由如下：①点B与点D关于AC的对称，21①AC垂直平分BD，①AB=AD，CB=CD，①AB=CB，①AB=BC=CD=AD，①四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，①四边形ABCD为菱形，①BD①AC，OA=OC，①O为BC的中点，①BE=CE=OE=5，在Rt①OBC中，OC，①OA=6，①EF①OC，OB①OC，①EF为①OBC的中位线，①OF=CF=12OC=3，EF=12OB=4，在Rt①AEF中，AE【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了菱形的判定与性质．。

三角形的特性与性质

三角形的特性与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的特性和性质。

在本文中，将详细阐述三角形的特性和性质，包括其定义、分类、内角和外角特性、边长关系、面积计算等内容。

1. 定义三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。

它是平面上最简单的多边形，有无数种可能的形状。

2. 分类根据边长和角度的关系，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 等边三角形的三条边长相等，三个内角均为60度。

- 等腰三角形的两条边长相等，两个对角也相等。

- 普通三角形的三个角和三条边都不相等。

3. 内角和外角特性任何三角形的三个内角之和都等于180度。

如果将三角形的一个内角的补角称为外角，那么三角形的三个外角之和也等于360度。

- 对于等边三角形，每个内角均为60度，外角均为120度。

- 对于等腰三角形，底角相等，顶角为两倍底角。

4. 边长关系三角形的边长之间有一定的关系。

- 三角形任意两边之和大于第三边，即a + b > c, a + c > b, b + c > a。

- 平面内任意三点可以组成一个三角形，三角形的任意两边之差的绝对值小于第三边的长度。

5. 面积计算三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 1/2 * 底边长 * 高。

- 对于普通三角形，底边可以是任意一条边，高是从底边到顶点的垂直距离。

- 对于等边三角形和等腰三角形，可以使用不同的公式来计算。

三角形是几何学中的重要概念，其特性和性质在各个领域得到广泛应用。

通过深入了解三角形的定义、分类、内角和外角特性、边长关系以及面积计算，我们可以更好地理解它的几何特征，并应用于实际问题的求解中。

通过本文对三角形的特性和性质的论述，相信读者对三角形会有更加深入的了解。

无论是在学习几何知识还是在日常生活中，了解三角形的特性都能为我们提供更多的帮助和启示。

中考数学第四篇图形的性质专题17三角形及其性质含解析

第四篇图形的性质专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．2．（2017广西河池市）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【答案】A．【解析】试题分析：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．考点：1．三角形的面积；2．三角形的角平分线、中线和高；3．应用题．3．（2017贵州省遵义市）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．三角形的面积．4．（2017南宁）如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，故选B．考点：三角形内角和定理．5．（2017南宁）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC【答案】D．【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．平行线的判定与性质；3．三角形的外角性质．6．（2017广西贵港市）从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】B．【解析】试题分析：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，则P（能构成三角形）=24=12，故选B．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系；3．概率及其应用．7．（2017江苏省扬州市）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A ．6B ．7C ．11D ．12 【答案】C ．【解析】试题分析：设第三边的长为x ，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x ＜2+4，即2＜x ＜6．则三角形的周长：8＜C ＜12，C 选项11符合题意，故选C ．考点：三角形三边关系．8．（2017四川省雅安市）一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一根，则此三角形的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．12或14 【答案】C ．【解析】考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论． 9．（2017四川省巴中市）若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（） A ．锐角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形【答案】D ．【解析】试题分析：设一份为x ，三内角分别为x ，2x ，3x ，根据内角和定理得：x +2x +3x =180°，解得：x =30°，∴三内角分别为30°，60°，90°，则这个三角形为直角三角形，故选D ．考点：1．三角形内角和定理；2．实数．10．（2017德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（） A ．121 B ．362 C ．364 D ．729 【答案】C ．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．规律型：图形的变化类．二、填空题11．（2017四川省广安市）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，连接DE ，则△ADE 的面积是．【答案】6．【解析】试题分析：∵D 、E 分别为AC 、AB 的中点，∴AD =12AC =4，DE =12BC =3，DE ∥BC ，∴∠ADE =∠C =90°，∴△ADE 的面积=12×AD ×DE =6，故答案为：6．考点：三角形中位线定理．12．（2017宁夏）在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =13DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为．【答案】8．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．13．（2017贵州省黔南州）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD =BC ，∠FPE =100°，则∠PFE 的度数是．【答案】40°．【解析】试题分析：∵P 是对角线BD 的中点，E 是AB 的中点，∴EP =12AD ，同理，FP =12BC ，∵AD =BC ，∴PE =PF ，∵∠FPE =100°，∴∠PFE =40°，故答案为：40°．考点：三角形中位线定理．14．（2017黑龙江省绥化市）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为．【答案】2112n ．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．综合题；4．规律型；5．操作型． 15．（2017四川省成都市）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：4，则∠A 的度数为．【答案】40°．【解析】试题分析：∵∠A ：∠B ：∠C =2：3：4，∴设∠A =2x ，∠B =3x ，∠C =4x ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴2x +3x +4x =180°，解得：x =20°，∴∠A 的度数为：40°．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理．16．（2017四川省达州市）△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是．【答案】1＜m ＜4．【解析】试题分析：延长AD 至E ，使AD =DE ，连接CE ，则AE =2m ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADB 和△EDC 中，∵AD =DE ，∠ADB =∠EDC ，BD =CD ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC =AB =5，在△AEC 中，EC ﹣AC ＜AE ＜AC +EC ，即5﹣3＜2m ＜5+3，∴1＜m ＜4，故答案为：1＜m ＜4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．17．（2017贵州省黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是．【答案】15．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．18．（2017四川省巴中市）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 29(2)0a b --= ，第三边c 为奇数，则c = ．【答案】9．【解析】试题分析：∵a 、b 29(2)0a b --=，∴a =9，b =2，∵a 、b 、c 为三角形的三边，∴7＜c ＜11，∵第三边c 为奇数，∴c =9，故答案为：9．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．19．（2017四川省泸州市）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD =2cm ，OE =4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．【答案】5 【解析】试题分析：连接AO 并延长，交BC 于H ，由勾股定理得，DE 22OE OD +5∵BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，∴BC =2DE =5O 是△ABC 的重心，∴AH 是中线，又BD ⊥CE ，∴OH =12BC =5O 是△ABC 的重心，∴AO =2OH =455考点：1．三角形的重心；2．勾股定理． 20．（2017山东省淄博市）设△ABC 的面积为1．如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S1=13．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=16；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=1 10；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．【答案】2(1)(2)n n++．【解析】考点：1．规律型：图形的变化类；2．三角形的面积；3．规律型；4．综合题．三、解答题21．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：B D=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形．【解析】试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性质．【2016年题组】一、选择题1．（2016贵州省铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 8【答案】B．【解析】考点：1．角平分线的性质；2．含30度角的直角三角形．2．（2016贵州省毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题分析：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．3．（2016广西河池市）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6 C．4，4，4 D．3，4，5【答案】A．【解析】考点：三角形三边关系．4．（2016广西百色市）三角形的内角和等于（）A．90°B．180°C．300°D．360°【答案】B．【解析】试题分析：因为三角形的内角和为180度．所以B正确．故选B．考点：三角形内角和定理．5．（2016广西贵港市）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵三角形的内角和是180°，又∠A=95°，∠B=40°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣95°﹣40°=45°，故选C ．考点：三角形内角和定理．6．（2016江苏省盐城市）若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足420a b -+-=，则c 的值可以为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】A ．【解析】试题分析：∵420a b -+-=，∴a ﹣4=0，a =4；b ﹣2=0，b =2；则4﹣2＜c ＜4+2，2＜c ＜6，5符合条件；故选A ．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根． 7．（2016湖南省岳阳市）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．7cm ，4cm ，2cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．3cm ，3cm ，4cm 【答案】D ．【解析】考点：三角形三边关系．8．（2016贵州省安顺市）已知实数x ，y 满足480x y --=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得：48x y =⎧⎨=⎩．（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．非负数的性质；3．三角形三边关系；4．分类讨论．9．（2016湖北省荆门市）已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【答案】D．【解析】考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．10．（2016湖北省襄阳市）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC，∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°．又∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=60°．∵∠EAC=∠B+∠C，∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．故选C．考点：1．平行线的性质；2．角平分线的定义；3．三角形的外角性质．11．（2016湖北省鄂州市）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°【答案】B．【解析】考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．12．（2016湖北省黄石市）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°【答案】B．【解析】试题分析：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选B．考点：1．三角形的外角性质；2．线段垂直平分线的性质．13．（2016湖南省湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C．【解析】试题分析：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm ；当5cm 为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm ，5cm ，4cm ，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm ，故选C ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．14．（2016青海省）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x -+=的根，则该三角形的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 【答案】B ．【解析】考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．15．（2016宁夏）菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若EF =2，BD =2，则菱形ABCD 的面积为（）A ．22B ．2C ．62D ．82 【答案】A ．【解析】试题分析：∵E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，EF =2，∴AC =2EF =22，又∵BD =2，∴菱形ABCD 的面积S =12×AC ×BD =12×22×2=22，故选A ．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．16．（2016广东省广州市）如图，已知△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD =（）A ．3B ．4C ．4.8D ．5 【答案】D ．【解析】考点：1．线段垂直平分线的性质；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．三角形中位线定理． 17．（2016新疆）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（） A ．DE =12BC B ．AD AEAB AC= C ．△ADE ∽△ABC D ．S △ADE ：S △ABC =1：2【答案】D ．【解析】试题分析：∵D 、E 分别是AB ．AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，∴12AD AE DE AB AC BC ===，△ADE ∽△ABC ，∴2ΔADE ΔABC 1:()4AD S S AB ==，∴A ，B ，C 正确，D 错误；故选D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．18．（2016广西梧州市）在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B ．【解析】考点：三角形中位线定理．19．（2016陕西省）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△A BC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：在RT △ABC 中，∵∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴AC =22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DF ∥BM ，DE =12BC =3，∴∠EFC =∠FCM ，∵∠FCE =∠FCM ，∴∠EFC =∠ECF ，∴EC =EF =12AC =5，∴DF =DE +EF =3+5=8．故选B ．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．20．（2016江苏省苏州市）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =BC =22，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF ．若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为（）A ．2B ．C ．D ．3【答案】C ．【解析】考点：三角形的面积．21．（2016湖北省咸宁市）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①12DE BC =；②ΔDOE ΔCOB 12S S =；③AD OE AB OB=；④ΔODE ΔADC 13S S =其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】故正确的是①③．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的重心．22．（2016湖南省永州市）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【答案】B．【解析】考点：1．圆的认识；2．线段的性质：两点之间线段最短；3．垂线段最短；4．三角形的稳定性．23．（2016内蒙古包头市）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A．3B．33C．32D．22【答案】A．【解析】试题分析：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°，∴tanA=tan60°=3，故选A．考点：1．角平分线的性质；2．特殊角的三角函数值．24．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45D．60 【答案】B．考点：角平分线的性质．25．（2016福建省厦门市）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【答案】B．【解析】试题分析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE 中，∵∠ADE=∠F，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质.26．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．23D．3【答案】D．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．含30度角的直角三角形；3．直角三角形斜边上的中线．二、填空题27．（2016上海市）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【答案】14．【解析】试题分析：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADEABCSS∆∆=2()DEBC=14，故答案为：14．考点：三角形中位线定理．28．（2016山东省青岛市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为．【答案】72．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理；4．三角形中位线定理．29．（2016江苏省南京市）如图，AB 、CD 相交于点O ，OC =2，OD =3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF =2，则AC 的长为．【答案】83．【解析】试题分析：∵EF 是△ODB 的中位线，∴DB =2EF =2×2=4，∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC DB OD =，即243AC =，解得AC =83．故答案为：83．考点：三角形中位线定理．30．（2016湖北省随州市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD =13BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB =6，则DN = ．【答案】3．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线；3．平行四边形的判定与性质．31．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BC =20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM =3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O ．若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是．【答案】256或5013．【解析】试题分析：如图作EF ⊥BC 于F ，DN ′⊥BC 于N ′交EM 于点O ′，此时∠MN ′O ′=90°，∵DE 是△ABC 中位线，∴DE ∥BC ，DE =12BC =10，∵DN ′∥EF ，∴四边形DEFN ′是平行四边形，∵∠EFN ′=90°，∴四边形DEFN ′是矩形，∴EF =DN ′，DE =FN ′=10，∵AB =AC ，∠A =90°，∴∠B =∠C =45°，∴BN ′=DN ′=EF =FC =5，∴''''ED DO MN O N =，∴10'25'DO DO =-，∴DO ′=256．当∠MON =90°时，∵△DOE ∽△EFM ，∴DO ED EF EM =，∵EM 22EF MF +，∴DO =5013，故答案为：256或5013．考点：1．三角形中位线定理；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．动点型．32．（2016青海省西宁市）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF =2，则菱形ABCD 的周长是．【答案】16．【解析】考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．33．（2016黑龙江省大庆市）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．【答案】4n﹣3．【解析】试题分析：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．考点：1．三角形中位线定理；2．规律型：图形的变化类．34．（2016江苏省淮安市）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【答案】10．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系．35．（2016河北省）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=__ ___°．……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=___ ____°．【答案】76；6．【解析】试题分析：∵∠O=7°，∴∠2=90° -7°=83°∴∠AA1A2=180°-2∠2=14°，∴∠A=90°-14°=76°；∵光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，那么最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍．．．．．．，2∠1=180°-14°×n，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n，当n =11时，∠A =6°．考点：1．镜面对称；2．三角形内角和定理；3．三角形的外角性质；4．数形结合；5．规律型；6．最值问题．36．（2016江苏省连云港市）如图，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，若∠1=54°，则∠2= ．【答案】72°．【解析】考点：1．平行线的性质；2．角平分线的定义；3．三角形内角和定理．37．（2016湖北省随州市）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根，则该等腰三角形的周长为．【答案】19或21或23．【解析】试题分析：由方程28150x x -+=得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0，∴x ﹣3=0或x ﹣5=0，解得：x =3或x =5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．38．（2016青海省）如图，已知∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且AD 是∠EAC 的平分线，若∠B =71°，则∠BAC = ．【答案】38°．【解析】考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．39．（2016湖南省常德市）如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，且PC =3，点P 到OA 的距离为．【答案】3．【解析】试题分析：如图，过P 作PD ⊥OA 于D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB ，∴PD =PC ，∵PC =3，∴PD =3．故答案为：3．考点：角平分线的性质．40．（2016四川省广安市）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．【答案】21．【解析】考点：三角形的面积．41．（2016浙江省宁波市）如图，点A为函数9 yx=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数1yx=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．【答案】6．【解析】试题分析：设点A的坐标为（a，9a），点B的坐标为（b，1b），∵点C是x轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，9a）的直线的解析式为：y=kx，∴9kaa=，解得，29ka=，又∵点B（b，1b）在29y xa=上，∴219bb a=⋅，解得：3ab=或3ab=-（舍去），∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=912222a aa b⋅⋅-=18622-=9-3=6，故答案为：6．考点：1．反比例函数的图象；2．三角形的面积；3．等腰三角形的性质．42．（2016浙江省金华市）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米．（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是米．【答案】（1）83；（2）37．【解析】AC =DF =7，∵∠ABC =∠BCD =120°，∴∠MBC =∠MCB =60°，∴∠M =60°，∴CM =BC =BM ，∵∠M +∠MAF =180°，∴AF ∥DM ，∵AF =CM ，∴四边形AMCF 是平行四边形，∴CF =AM =3，∵∠BCD =∠CBD +∠CDB =60°，∠CBD =∠CDB ，∴∠CBD =∠CDB =30°，∵∠M =60°，∴∠MBD =90°，∴BD =22DM BM -=23，同理BE =23，∵7＜3＜23，∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，∴连接AC 、BF 、DF 即可，∴所用三根钢条总长度的最小值37，故答案为：37．考点：三角形的稳定性．三、解答题43．（2016福建省厦门市）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A （1，m +1），B （a ，m +1），C （3，m +3），D （1，m +a ），m ＞0，1＜a ＜3，点P （n ﹣m ，n ）是四边形ABCD 内的一点，且△PAD 与△PBC 的面积相等，求n ﹣m 的值．【答案】313a a ++．【解析】试题解析：过点P 作x 轴的平行线PE 交BC 于点E ，如图所示．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将点B （a ，m +1）、C （3，m +3）代入y =kx +b 中，得：133m ak b m k b +=+⎧⎨+=+⎩，解得：23333k a a b m a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=+⎪-⎩，∴直线BC 的解析式为23333a y x m a a -=++--．当y =n 时，x =(3)()3(1)2a n m a --+-，∴E （(3)()3(1)2a n m a --+-，n ），PE =(3)()3(1)2a n m a --+-﹣1． ∵A （1，m +1），B （a ，m +1），C （3，m +3），D （1，m +a ），P （n ﹣m ，n ），∴AD =a ﹣1，∴S △PAD =12AD •（x P ﹣x A ）=12（a ﹣1）•（n ﹣m ﹣1），S △PBC =12PE •（y C ﹣y B ）=12 [(3)()3(1)2a n m a --+-﹣1]×2=(3)()3(1)2a n m a --+-﹣1． ∵S △PAD =S △PBC ，∴12（a ﹣1）•（n ﹣m ﹣1）=(3)()3(1)2a n m a --+-﹣1，解得：n ﹣m =313a a ++．考点：1．坐标与图形性质；2．三角形的面积；3．角平分线的性质．44．（2016山东省滨州市）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC =30°，∠C =45°，ED =210，点H 是BD 上的一个动点，求HG +HC 的最小值．【答案】（1）四边形EBGD 是菱形；（2）10．【解析】试题解析：（1）四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB =ED ，GB =GD ，∴∠EBD =∠EDB ，∵∠EBD =∠DBC ，∴∠EDF =∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，∵∠EDF =∠GBF ，∠EFD =∠GFB ，DF =BF ，∴△EFD ≌△GFB ，∴ED =BG ，∴BE =ED =DG =GB ，∴四边形EBGD 是菱形．（2）作EM ⊥BC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG +HC 最小，在RT △EBM 中，∵∠EMB =90°，∠EBM =30°，E B =ED =210，∴EM =12BE =10，∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ，∴EM ∥DN ，EM =DN =10，MN =DE =210，在RT △DNC 中，∵∠DNC =90°，∠D CN =45°，∴∠NDC =∠NCD =45°，∴DN =NC =10，∴MC =310，在RT △EMC中，∵∠EMC =90°，EM =10．MC =310，∴EC 22EM MC +22(10)(310)+．∵HG +HC =EH +HC =EC ，∴HG +HC 的最小值为10．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．角平分线的性质．45．（2016湖北省咸宁市）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC =∠BOC ，点P 在OC 上，求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．【答案】PD =PE ．【解析】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90°，在△PDO 和△PEO 中，∵∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP ，∴△PDO ≌△PEO （AAS ），∴PD =PE ．考点：角平分线的性质．46．（2016福建省厦门市）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A （1，m +1），B （a ，m +1），C （3，m +3），D （1，m +a ），m ＞0，1＜a ＜3，点P （n ﹣m ，n ）是四边形ABCD 内的一点，且△PAD 与△PBC 的面积相等，求n﹣m的值．【答案】313aa++．【解析】试题解析：过点P作x轴的平行线PE交BC于点E，如图所示．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（a，m+1）、C（3，m+3）代入y=kx+b中，得：133m ak bm k b+=+⎧⎨+=+⎩，解得：23333kaab ma⎧=⎪⎪-⎨-⎪=+⎪-⎩，∴直线BC的解析式为23333ay x ma a-=++--．当y=n时，x=(3)()3(1)2a n m a--+-，∴E（(3)()3(1)2a n m a--+-，n），PE=(3)()3(1)2a n m a--+-﹣1．∵A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），P（n﹣m，n），∴AD=a﹣1，∴S△PAD=12AD•（x P﹣x A）=12（a﹣1）•（n﹣m﹣1），S△PBC=12PE•（y C﹣y B）=12[(3)()3(1)2a n m a--+-﹣1]×2=(3)()3(1)2a n m a--+-﹣1．∵S△PAD=S△PBC，∴12（a﹣1）•（n﹣m﹣1）=(3)()3(1)2a n m a--+-﹣1，解得：n﹣m=313aa++．考点：1．坐标与图形性质；2．三角形的面积；3．角平分线的性质．47．（2016浙江省绍兴市）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B 与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA 的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【答案】（1）相等；（2）AD=13cm，BC=10cm．【解析】试题解析：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，∵AC=AC，AD=AB，CD=BC，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，25(2)530x yx y+=+⎧⎨+++=⎩，解得：1310xy=⎧⎨=⎩；当点C在点D左侧时，52(2)530y xx y=++⎧⎨+++=⎩解得：815xy=⎧⎨=⎩，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．考点：1．全等三角形的应用；2．二元一次方程组的应用；3．三角形三边关系；4．分类讨论．48．（2016山东省淄博市）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA 的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：A E=AF；（2）求证：B E=12（AB+AC）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=12BG=12（BA+AG）=12（AB+AC）．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．和差倍分．49．（2016广东省）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．【答案】（1）作图见解析；（2）8．【解析】（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=12BC，∵DE=4，∴BC=8．考点：1．三角形中位线定理；2．作图—基本作图．50．（2016广西钦州市）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF（1）求证：B F=DC；（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是平行四边形，进而可得CD=BF；（2）由（1）可得CD∥FB，再利用三角形中位线定理可得DF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论．试题解析：（1）连接DB，CF，∵DE是△ABC的中位线，∴CE=BE，∵EF=ED，∴四边形CDBF是平行四边形，∴CD=BF；（2）∵四边形CDBF是平行四边形，∴CD∥FB，∴AD∥BF，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形．考点：1．平行四边形的判定；2．三角形中位线定理．51．（2016北京市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：B M=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴222BN BM MN=+，由（1）可知MN=BM=12AC=1，∴BN=2．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】（2017江苏省镇江市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E 作EF∥CD交AB于点F，则EF= ．【答案】1.5．。

专题17 等腰、等边三角形问题(解析版)

专题17 等腰、等边三角形问题专题知识回顾一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。