江苏省南通市如东中学、栟茶中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年度第二学期期中学情检测高二数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题，共70分）、解答题（第15~20题，共90分）.本次考试时间120分钟，满分160分、考试结束后，请将答题卡交回.理科学生完成加试，考试时间30分钟.2.答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.4.如有作图需要，可用2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =_______.【解析】 【分析】 首先化简复数21iz i=-，再求复数的模. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i +-====-+--+，z ∴==.【点睛】本题考查复数的化简和求复数的模，意在考查基本计算，属于基础题型. 2.函数()21f x x =+在区间[]0,5上的平均变化率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均变化率定义计算． 【详解】(5)(0)1112505y f f x ∆--===∆-． 故答案为：2．【点睛】本题考查平均变化率的概念，属于基础题．3.已知i 是虚数单位，若()21i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的第________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再写出共轭复数，得出对应点的坐标，得结论．【详解】由题意22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+， 1322z i =-，z 对应点坐标为13(,)22-，在第四象限． 故答案：四．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数概念，考查复数的几何意义，应用复数运算法则计算出复数z 是解题关键．4.一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为________/m s ．【答案】6 【解析】 【分析】先求质点的运动方程为210s t =+的导函数，再求得3t =秒时的导函数值,即可得到所求的瞬时速度. 【详解】Q 质点的运动方程为210s t =+， 所以'2s t =∴该质点在3t =秒的瞬时速度为236⨯=，故答案为6.【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题，导数在物理的应用,是近几年高考的热点，利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好好把握.5.已知()f x '为函数()222x f x x x =+-的导函数，则()1f '=_________.【答案】2ln 2【解析】 【分析】求出导函数后可得导数值．【详解】由题意()2ln 222x f x x '=+-，∴(1)2ln 2f '=． 故答案为：2ln 2．【点睛】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数运算是解题关键． 6.已知i 为虚数单位，复数()12aia R i+∈-为纯虚数，则a 的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】21(1)(2)222122(2)(2)555ai ai i i ai ai a ai i i i ++++++-+===+--+，它为纯虚数， 则205a -=且1205a +≠，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．7.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()22221322433542019202120000a a a a aa a a a a a a ----=L ________.【答案】-1 【解析】 【分析】依次计算2132a a a -，2243a a a -，2354a a a -，…，用归纳法得出一般结论后计算题中式子的值．【详解】由题意21321a a a -=，22431a a a -=-，23541a a a -=，24651a a a -=-，…，由此可归纳出结论2121()(1)n n n n a a a +++-=-，∴()()()()22221322433542019202120000a a a a aa a a a a a a ----L 是1009个－1和1010个1相乘，结果为－1．故答案为：－1．【点睛】本题考查归纳推理，考查由特殊到一般的归纳法．通过计算221()n n n a a a ++-前几项的值归纳出一般结论．8.函数f （x ）=x +2cos x 在（0，2π）上的单调递减区间为______． 【答案】566ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】先求导得(),f x '再解不等式()0f x '<即得函数的单调递减区间. 【详解】解：∵函数y=x+2cosx ， ∴y′=1-2sinx ＜0， ∴sinx ＞12， 又∵x ∈（0，2π）， ∴x ∈566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，， 故答案为566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数()f x ，大前提：如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点；小前提：因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，结论：所以0x =是函数3()f x x =的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）． 【答案】大前提 【解析】【详解】因为导数等于零的点不一定是极值点..因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点，所以大前提：如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点错误10.已知复数乘法()()cos sin x yi i θθ++（,x y R ∈，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x yi +在复平面内对应的点(),x y 绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点()8,4绕原点逆时针方向旋转3π得到的点的坐标为_________.【答案】(42-+ 【解析】 【分析】写出点()8,4对应的复数，再乘以cossin33i ππ+即得新复数，其对应点坐标为所求．【详解】点()8,4对应复数为84z i =+，1(cos sin )(84)()332z i i ππ+=++(4(2i =-++，对应点坐标为(42-+．故答案为：(42-+．【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的乘法运算与复数和几何意义．正确理解新定义把新定义转化为复数的乘法解题关键．11.对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++ ()0a b c d R a ∈≠，，，，有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()'f x '是函数()f x '的导函数，若方程()'0f x '=有实数解m ，则称点()()m f m ，为函数()y f x =的“拐点”．若点()13-，是函数()325g x x ax bx =-+- ()a b R ∈，的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 322xh x a x b =+的最大值是__________．1 【解析】 【分析】对函数()g x 求两次导数，根据拐点的定义，求得a 的值，根据()13g =-求得b 的值，利用降次公式和辅助角公式化简函数()h x ，由此求得函数()h x 的最大值.【详解】()()232,62g x x ax b g x x a =-+='-''，由于()1,3-是函数()g x 的拐点，故6120a ⨯-=，解得3a =.所以()3235g x x x bx =-+-，根据()11353g b =-+-=-，解得4b =，故()2sin 2cos sin cos 12x h x x x x =+=++π14x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当π4x =1.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解以及应用，考查知识迁移的能力，考查函数导数的运算，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题.理解新定义的概念是求解本题的关键，对函数求两次导数后根据拐点的定列方程可求得参数,a b 的值.12.直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________. 【答案】3ln 22- 【解析】【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值．【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值．由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min132(ln 2)ln 222AB =-+=-． 故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解．13.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为______【答案】e 【解析】 【分析】设公切线与f （x ）、g （x ）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a 的取值范围．【详解】解：设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（1x ，211x +），与曲线C ：g （x ）＝2ln 1a x +切于点（2x ，22ln 1a x +），∴2()()2221211221212ln 112ln 2a x x a x x a x x x x x x +-+-===--， 化简可得，2212211212ln x x x x x x x -=-，∴122222?ln x x x x =- ∵2122a x x =， a 2222222?ln x x x =-， 设h （x ）2222?lnx x x =-（x ＞0），则h ′（x ）()2x 12lnx =-， ∴h （x ）在（0+∞）上递减， ∴h （x ）max ＝h）e =， ∴实数a 的的最大值为e ， 故答案为e ．【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．14.设函数()22ln ,()f x x a x a R =+∈，若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】4(,]2ln 2ln 3-∞-【解析】 【分析】把不等式用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】由题意不等式()()2122f x f x -+>为222(21)ln(21)242ln x a x x a x -+-+>+，即22ln 48421x a x x x <-+-对任意[)2,x ∈+∞恒成立，令21x t -=，由2x ≥得3t ≥，则221()112(2)214t x y t x t t+===++-， 函数11(t 2)4y t =++在[3,)+∞上是增函数．∴114(32)1433y ≥++=>，从而2ln 021x x >-，∴22484ln21x x a x x -+<-对任意[)2,x ∈+∞恒成立， 令222484484()2ln ln(21)ln21x x x x h x x x x x -+-+==---，222222(1)228(1)ln (88)ln (484)()21(21)2121()[2ln ln(21)][2ln ln(21)]x x x x x x x x x x x x x h x x x x x ⎡⎤------+-⎢⎥--⎣⎦--'==----， 设2222(1)21()ln 2ln ln(21)21(21)2x x x x x x x x x x x xϕ--+=-=------， 222222222(22)(2)(21)(41)2(1)(41)()21(2)(2)x x x x x x x x x x x x x x x ϕ----+---'=--=---，∴12x >时，()0x ϕ'≥，()x ϕ在1(,)2+∞上是增函数，∴2x ≥时，()(2)(1)0x ϕϕϕ≥>=，∴()0h x '>， ∴在2x ≥时，()h x 是增函数，min 4()(2)2ln 2ln 3h x h ==-，∴42ln 2ln 3a ≤-．故答案为：4(,]2ln 2ln 3-∞-． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．因此本题又考查了用导数研究函数的单调性，求函数最值．本题对学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．二、解答题：本大题共6小题.共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知曲线:x C y e =（1）求曲线C 在0x =处切线方程；（2）过原点作曲线C 的切线，求切点的坐标. 【答案】（1）10x y -+=；（2）()1,e 【解析】 【分析】（1）求出导函数，令0x =，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）设切点坐标为()00,x x e ，得切线斜率为0x k e=，写出切线方程，由切线过原点求得切点坐标，得切线方程．【详解】解：（1）因为e x y '=，所以001x y e ==='， 故切线方程为()110y x -=⨯-，即10x y -+= （2）设切点坐标为()00,x x e ，由exy '=可得切线的斜率为0x k e =所以切线方程为()000-=-x x y ee x x又因为切线过原点，所以()00000xxe e x -=- 因为00x e >，所以01x =，所以切点坐标为()1,e【点睛】本题考查导数的几何意义，利用函数图象在某点处切线的斜率就是该点的导数值得切线方程，解题时注意在某点处的切线与过某点的切线的解法的区别． 16.已知函数()322f x x ax x =+++.（1）试问函数()f x 能否在x = （2）若函数()f x 在1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为单调增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不能，理由见解析；（2）2⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，若假设在3x =-处()f x 取得极值，由(03f '-=求得a ，然后检验在的两侧导数的符号是否相反，若相反假设正确，若不能相反，假设错误；（2）题意说明()23210f x x ax '=++≥在1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，利用二次函数的性质分类讨论可得．【详解】（1）由题意知()2321x ax f x =++'，假设在3x =-处()f x 取得极值，则有110f ⎛'=+= ⎝⎭，解得a =此时，())223110f x x '++=+≥=，()f x 为R 上的增函数，无极值.所以函数()f x 不可能在3x =-处取得极值 （2）因为函数()f x 在1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为单调增函数，所以()23210f x x ax '=++≥在1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立()2321x ax f x =++'的对称轴为3ax =-.①若133a ->-，即1a <时，则有24120a ∆=-≤，解得a ≤≤所以1a ≤<；②若133a -≤-，即1a ≥时，则有21113210333f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a ≤，所以12a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查导数与极值，导数与单调性，掌握极值的定义是解题关键．17.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路AB ，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图），点O 是AB 的中点.拟在这个地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪，其中,,,A B C D 均在该抛物线上.经测量，直路AB 长为60米，抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为60米.设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米，到直路AB 的距离为n 米.（1）求出n 关于m 的函数关系式.（2）当m 为多大时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大？并求出其最大值. 【答案】（1）()21900,03015n m m =-<<；（2）10m =，64003平方米 【解析】 【分析】（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程即得； （2）由C 点坐标(,)m n ，求出S ，把S 表示为m 的函数，再由导数知识求得最大值． 【详解】解：（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则()30A -,，()3,0B ，()0,6P ， 因为曲线段APB 为抛物线的一段弧，所以可以设抛物线的解析式为()()()30300y a x x a =-+≠， 将点()0,6P 代入得：60900a =-，解得115a =-， 所以抛物线的解析式为()2190015y x =-， 因为点C 在抛物线上，所以()21900,03015n m m =-<<（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则()211(260)900215S m m =+⨯-， ()321309002700015S m m m =--++， ()211360900(10)(30)155S m m m m '=--+=--+，令0S '=，得10m =或30m =-（舍去）当10m =时，64003S =答：当10m =时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为64003平方米. 【点睛】本题考查抛物线的应用，考查导数的实际应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出抛物线方程．18.已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中k ∈R ． （1）当3k =时，求函数()f x 在[]05，上的值域； （2）若函数()f x 在[]12，上的最小值为3，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) []1,21;(2) 2k ≥. 【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得'()f x = ()()31x x k -- ，再分1k ≤和1k > 两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--'令()0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21 （2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x < ()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x > ()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-= 所以1k =-或2k =（舍） 注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='--对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=符合题意 …………8分②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <= 不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x < ()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x > ()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<= 不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 19.已知()21(1)()2xf x x e ax a R =-+∈. （1）当a e =-时，求()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()f x 有2个不同零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值1-，最小值e2-；（2）见解析；（3）()0,∞+ 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，求出()0f x '=的解，列表确定()f x '在正负，从而确定()f x 的单调性，得极值；（2）根据导函数()()xf x x e a '=+，对a 分类讨论：0a ≥，0a <，0a <时，求出()0f x '=解，再由解的大小分类讨论得单调区间；（3）根据（2）所得单调性，结合零点存在定理可得结论．【详解】()(1)()x x x f x e x e ax x e a '=+-+=+，（1）当a e =-时，()()xf x x e e '=-，令()0f x '=得0x =或1∴()()01f x f ==-最大值，()()12e f x f ==-最小值 （2）()()xf x x e a '=+，①当0a ≥时，因为0x e >，所以0x e a +>， 令()0f x '>得：0x >，令()0f x '<得：0x <所以，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减 ②当0a <时，令()0f x '=得，0x =或()ln x a =-1°()ln 0a ->即1a <-时，0x <或()ln x a >-解时，()0f x '>，()0ln x a <<-时，()0f x '< 所以()f x 在(),0-∞，()()ln ,a -+∞上单调递增，在()()0,ln a -上单调递增2°()ln 0a -=即1a =-时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增 3°()ln 0a -<即10a -<<时，0x >或()ln x a <-时， ()0f x '>，()ln 0a x -<<时，()0f x '<所以()f x 在()(),ln a -∞-，()0,∞+上单调递增，在()()ln ,0a -上单调递增 综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减当1a <-时，()f x 在(),0-∞，()()ln ,a -+∞上单调递增，在()()0,ln a -上单调递增 当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增当10a -<<时，()f x 在()(),ln a -∞-，()0,∞+上单调递增，在()()ln ,0a -上单调递增 （3）()()xf x x e a '=+1°当0a =时，()()1xf x x e =-，只有一个零点1x =；2°当0a >时，由（2）可知(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数所以()()01f x f ==-最小值而()102af ==， 所以，当0x >时，()00,1x ∃∈，使()00f x =， 当0x <时，1x e <，所以(1)1xx e x ->-， 所以()222111(1)11222xf x x e ax x ax ax x =-+>-+=+-取10x =<，则()()10f x f x >=，所以()()100f x f ⋅<，所以函数有2个零点.3°当0a <时，()()xf x x e a '=+，令()0f x '=得0x =，()ln x a =-①()ln 0a ->，即1a <-时，由（2）可得：()()01f x f ==-极大值， ∴函数()f x 至多有一个零点，不符合题意；②1a =-时，()ln 0a -=，()f x 在(),-∞+∞单调递增， 所以()f x 至多有一个零点，不合题意③当()ln 0a -<时，即()1,0a ∈-时，0x <，0a <时，()21(1)02xf x x e ax =-+<，()01f =-. 所以，函数()f x 至多有1个零点 综上：a 的取值范围是()0,∞+【点睛】本题考查用导数求函数极值，用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理．解题时对学生的分析问题解决问题的能力，对分类讨论思想方法的掌握要求较高，本题属于难题． 20.已知函数()22ln ()f x x x ax a R =++∈.（1）若函数()f x 在定义域上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）讨论()f x 的极值点的个数；（3）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，且a ≤-()()12f x f x -的最小值.【答案】（1）[)4,-∞；（2）当4a ≥-时，()f x 的极值点的个数为0；当4a <-时，()f x 的极值点的个数为2；（3）32ln 22- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，题意说明()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值（可用基本不等式求最值）．（2）由()f x '，对a 分类讨论，在（1）的基础上，4a ≥-时无极值点，在4a <-时，求出()0f x '=的两根，可列表得出()f x '的正负，得()f x 的单调性，从而得极值点．（3）由（2）知122ax x +=-，121=x x ，求出12()()f x f x -，注意122()a x x =-+代换后可转化为12x x 的代数式，令12x t x =，首先有01t <<，12()()f x f x -变为t 的函数，由a ≤-t 的取值范围后可得12()()f x f x -的取值范围．【详解】解：（1）定义域为()0,∞+，由题意得()22222x ax f x x a x x++'=++=因为函数()f x 在定义域上单调增函数，所以()0f x '≥在()0,∞+上恒成立 因为0x >，所以2220x ax ++≥，所以22a x x-≤+在()0,∞+上恒成立因为224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a -≤，即4a ≥-，所以，实数a 的取值范围为[)4,-∞（2）()222x ax f x x++'=，①4a ≥-时，由第（1）问可知，函数()f x 在定义域上是单调增函数； 所以()f x 无极值点，即()f x 的极值点的个数为0②4a <-时，令()0f x '=，得：1x =2x =当4a <-时，104a x -==>，故120x x <<列表：当1x x =时，()f x 有极大值，当2x x =时，()f x 有极小值 所以，()f x 的极值点的个数为2综上所述，当4a ≥-时，()f x 的极值点的个数为0；当4a <-时，()f x 的极值点的个数为2（3）由题意知，()222x ax f x x++'=，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以是方程2220x ax ++=的两个不等实根 所以122ax x +=-，121=x x 所以()()()()()22121212122ln ln f x f x x x x x a x x -=-+-+-()()()22112121222ln2x x x x x x x x =+--+- ()21222221112112122122212ln 2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--=-=- 令12(01)x t t x =<<，记()()()212112ln 2ln t g t f x f x t t t t t-=-=-=-+由a ≤-218a ≥，所以()2212942a x x +=≥， 又121=x x ，所以()2111292x x x x +≥，所以122152x x x x +≥，即152t t +≥， 因为01t <<，解得：102t <≤又()22211110g t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，所以()g t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调减 所以()max 132ln 222g t g ⎛⎫==-⎪⎝⎭ 所以()()12f x f x -的最小值为32ln 22- 【点睛】本题考查用导数求函数极值，用导数研究函数的单调性，考查求关于极值点的函数的取值范围问题．关于极值点的不等式、函数问题，解题关键在于转化思想的应用，首先利用极值点的概念把参数用极值点12,x x 表示，然后换元如设12x t x =，把问题转化为关于t 的函数或不等式，再利用相应知识求解． 2018-2019学年度第二学期期中学情检测高二数学（加试）解答题：本大题共4小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.求下列函数的导函数. （1）()521y x =+ （2）1log 32ay x =+ 【答案】（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【解析】 【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．【点睛】本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础．22.若()*42nx n N x ⎛+∈ ⎪⎝⎭展开式中各项的二项式系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中含x 的项. 【答案】（1）8n =；（2）5358T x = 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和为2n 可计算出n ；（2）写出展开式通项公式，整理后令x 的指数为1求得项数，得项． 【详解】解：（1）由题意，1202256nn n n n n C C C C ++++==L ，所以8n = （2）()()44318488122rrrr r r r T C x x C x-+--==⋅⋅， 令3414r-=，得：4r = 展开式中含x 的项为458413528T C x x =⋅⋅= 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式系数的性质与二项展开式通项公式是解题关键．23.现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图.规定测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格.（1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取6次，记抽到优秀成绩的次数为X ，求()4P X =； （2）从甲、乙两组学生中任取3名学生，记抽中成绩优秀的学生数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望. 【答案】（1）20243；（2）分布列见解析，1211【解析】【分析】（1）甲组学生共6人，抽取一名学生的成绩，抽到优秀成绩的概率13P =，事件()4X =即为6次独立重复试验中，事件（抽到优秀学生）性质4次，由此可得概率；（2）总共11人，优秀学生4名，Y 可取0，1，2，3，分别计算概率得概率分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】解：（1）甲组学生共6人，抽取一名学生的成绩， 抽到优秀成绩的概率2163P ==， 因此，42461120(4)133243P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （2）Y 可取0，1，2，3 331177(0)33C P Y C ===，712431128(1)55C C P Y C ===， 721431114(2)55C C P Y C ===，343114(3)165C P Y C === 所以Y 的概率分布表为：所以Y 的数学期望72814412()012333555516511E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查茎叶图，考查n 次独立重复试验发生k 次的概率公式，考查随机变量的概率分布列和期望．正确认识茎叶图是解题基础．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．24.已知0(1,2,,)i a i n >=L ，考查①1111a a ⋅≥； ②121211()()4a a a a ++≥；③123123111()()9a a a a a a ++++≥． 归纳出对12,,,n a a a L 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．【答案】结论 ：21212111()()n n a a a n a a a ++++++≥L L ，用数学归纳法证明 【解析】试题分析：观察给出的三个式子的特点，归纳出对12,,,n a a a L 都成立的类似不等式21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L 试题解析： 结论 ：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L 证明：①当1n =时，显然成立；②假设当n k =时，不等式成立，即21212111()()k k a a a k a a a ++++++≥L L ，则1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++L L 1212111()()k k a a a a a a =++++++L L 1121211111()()1k k k k a a a a a a a a +++++++++++L L 21112111*********()()()1k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++≥++++++++L 221k k ≥++2(1)k =+由①②，不等式对任意正整数n 成立．考点：1.归纳推理；2.数学归纳法．。