「精品」中考数学系统复习 第七单元 图形变换 第28讲 图形的平移、旋转与位似(8年真题训练)练习

第28讲 图形的平移、旋转与位似命题点1 图形的平移1．(2011·河北T17·3分)如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．图1 图2 命题点2 位似2．(2011·河北T20·8分)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为 1∶2；(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长．(结果保留根号)解：(1)如图所示． (2)AA ′＝CC ′＝2.在Rt△OA ′C ′中，OA ′＝OC ′＝2，∴A ′C ′＝2 2. 同理可得，AC ＝4 2.∴四边形AA′C′C的周长为4＋6 2.重难点1图形的平移在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D)A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨【变式训练1】(2017·石家庄模拟)如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度．【变式训练2】如图，边长为8 cm的正方形ABCD先向上平移4 cm，再向右平移2 cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为24__cm2．方法指导判断两个图形之间的平移情况时，两个图形必须全等，才可以转化成图形上对应点的平移．易错提示易把图形的平移与图形轴对称混淆，从而产生错误．重难点2与图形的旋转相关的计算与证明如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转到线段AE，使得AE⊥AB，且点E，D，B恰好在同一直线上，作EM⊥AC于点M.(1)若线段AD逆时针旋转了54°，求∠CBD的度数；(2)求证：AB＝EM＋BC.【思路点拨】 (1)求∠CBD 的度数可以转化成求∠ADE 的度数，求∠ADE 的度数相当于在等腰△ADE 中，已知顶角求底角；(2)对于证明AB ＝EM ＋BC ，可作DF⊥AB 于F ，先证明AF ＝EM ，再证明BF ＝BC.【自主解答】 解：(1)由旋转的性质，得AD ＝AE ， ∵∠DAE＝54°，∴∠ADE＝12(180°－∠DAE)＝12×(180°－54°)＝63°.∵∠BDC＝∠ADE＝63°，∠C＝90°，∴∠CBD＝90°－∠BDC＝90°－63°＝27°. (2)证明：过点D 作DF⊥AB 于点F. ∵AE⊥AB，EM⊥AC，∴∠AEM＋∠EAM＝∠DAF＋∠EAM ＝90°，即∠AEM＝∠DAF. 在△AEM 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM＝∠DAF，∠AME＝∠DFA＝90°，AE ＝DA ，∴△AEM≌△DAF(AAS )．∴AF＝EM.∵∠CBD＋∠BDC＝90°，∠ABD＋∠AED＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠ABD.又∵DC⊥BC，DF⊥BF，∴CD＝FD.在Rt △BCD 和Rt △BFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BD ，CD ＝FD ，∴Rt △BCD≌Rt △BFD(HL )．∴BC＝BF.又∵AB＝AF ＋BF ，∴AB＝EM ＋BC.【变式训练3】 (2018·南充)如图，在矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB′C′D′，使点B 的对应点B′落在AC 上，B′C′交AD 于点E ，在B′C′上取点F ，使B′F＝AB.(1)求证：AE ＝C′E；(2)求∠FBB′的度数；(3)已知AB ＝2，求BF 的长．解：(1)证明：∵在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ， ∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°. 由旋转，得AB′＝AB ，∠B′AC＝∠BAC＝60°. ∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°. ∴AE＝C′E.(2)∵∠BAC＝60°，AB ＝AB′，∴△ABB′为等边三角形． ∴AB＝BB′，∠AB′B＝60°. ∴∠FB′B＝150°.∵B′F＝AB ＝BB′，∴∠FBB′＝12×(180°－∠FB′B)＝15°.(3)过点B 作BH⊥B′C′，垂足为H.∵∠BB′H＝30°，B′B＝2，∴BH＝1，B′H＝3.∴FH＝3＋2. ∴BF＝12＋（2＋3）2＝8＋43＝6＋ 2. 方法指导1．一条线段旋转相当于形成一个等腰三角形，旋转角是等腰三角形的顶角，同样等腰三角形也可以看作一条线段绕它的一个端点旋转得到图形．2．证明一条线段等于两条线段的和，通常用截长法或补短法，表示为：若证明a ＝b ＋c ，先从a 中截取d ＝c ，再证明剩下的e ＝b 或先把b ，c 补成一条线段，再证明补得的线段与a 相等．注：本题还可以先截取AF ＝EM ，再证明BF ＝BC.重难点3 位似如图，等腰△OBA 和等腰△ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是(－2，0)．【思路点拨】 由于位似中心是对应点连线的交点，对应边平行或在同一条直线上，因此连接CB 并延长与x 轴的交点即所求．【变式训练4】 (2018·河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与△ABC 是位似图形的是(C )A ．①B ．②C ．③D ．④【变式训练5】 (2018·承德模拟)在平面直角坐标系中，点A(6，3)，以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的13得到线段OC ，则点C 的坐标为(A )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)方法指导1．位似的两个图形，只可能有一个位似中心，位似中心是两对对应点连线的交点．2．位似比确定，位似中心确定，可作一个图形的两个位似图形，且分居位似中心两侧，大小、形状相等．易错提示作一个图形的位似图形时，可能漏掉一个．1．如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方法是(C )A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格2．(2018·唐山路北区二模)如图，将正方形ABCD 中的阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后，得到的图形为(A )A B C D3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96 B．69 C．66 D．994．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍，得△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是(D)A．(－2，0) B．(－1，0) C．(0，－2) D．(0，－1)5．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为(D)A．120 B．90 C．45 D．606．(2017·天津)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(C)A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC7．(2018·大连)如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD.若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(C)A．90°－αB．αC．180°－αD．2α8．(2018·唐山乐亭县一模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是(D) A．① B．② C．③ D．④9．(2018·枣庄)如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为10．(2018·曲靖)如图，图形①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动1个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1，P2，P3；第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4，P5，P6；…；依此规律，P0P2 018＝673个单位长度．11．(2018·吉林)如图是由边长为1的小正方形组成的4×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D 1→D 2→D 经过的路径； (2)所画图形是轴对称图形；(3)求所画图形的周长(结果保留π)．解：(1)如图所示．(3)所画图形周长为4×90×π×4180＝8π.12．(2017·徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB.(1)线段DC ＝4；(2)求线段DB 的长度．解：∵AC＝AD ，∠CAD＝60°，∴△ACD 是等边三角形． ∴DC＝AC ＝4.过点D 作DE⊥BC 于点E.∵△ACD 是等边三角形，∴∠ACD＝60°. 又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.∴在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC·cos 30°＝4×32＝2 3.∴BE＝BC －CE ＝33－23＝ 3.∴在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝7.13．(2018·宜宾)如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D 等于(A )A ．2B ．3C .23D .3214．(2018·邯郸模拟)一个数学游戏，正六边形被平均分为6格(其中1格涂有阴影)，规则如下：若第一个正六边形下面标的数字为a(a 为正整数)，则先绕正六边形的中心顺时针旋转a 格；再沿某条边所在的直线l 翻折，得到第二个图形．例如：若第一个正六边形下面标的数字为2，如图，则先绕其中心顺时针旋转2格；再沿直线l 翻折，得到第二个图形．若第一个正六边形下面标的数字为4，如图，按照游戏规则，得到第二个图形应是(A )15．(2018·石家庄模拟)如图，已知∠AOB＝90°，点A 绕点O 顺时针旋转后的对应点A 1落在射线OB 上，点A 绕点A 1顺时针旋转后的对应点A 2落在射线OB 上，点A 绕点A 2顺时针旋转后的对应点A 3落在射线OB 上，…，连接AA 1，AA 2，AA 3，…，依此作法，则∠AA 2A 3＝157.5°，∠AA n A n ＋1＝(180－902)°．(用含n 的代数式表示，n 为正整数)16．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，D 为△ABC 内一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 旋转至AE ，使得∠DAE＝∠BAC，F ，G ，H 分别为BC ，CD ，DE 的中点，连接BD ，CE ，GF ，GH.(1)求证：GH ＝GF ；(2)试说明∠FGH 与∠BAC 互补．解：(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝12CE，GF＝12BD.∴GH＝GF.(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵HG∥CE，GF∥BD，∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC.∴∠HGD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DGF＝∠GFC＋∠GCF＝∠DBC＋∠GCF.∴∠FGH＝∠DGF＋∠HGD＝∠DBC＋∠GCF＋∠ACD＋∠ABD＝∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∴∠FGH与∠BAC互补．17．如图1，在▱ABCD中，AB＝10 cm，BC＝4 cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P 从A点出发，沿AB方向以1 cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转，使CE与CB 重合，得到△QCB，连接PQ.(1)求证：△PCQ是等边三角形；(2)如图2，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当点P在射线AB上运动时，是否存在以点P，B，Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由旋转性质，得△PCE≌△QCB，∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB.∵∠BCD＝120°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°.∴∠PCQ＝60°.∴△PCQ为等边三角形．(2)∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC＝180°－120°＝60°.∴△BCE为等边三角形．∴BE＝CB＝4.由(1)得，△PCE≌△QCB，∴EP＝BQ.∴C△PBQ＝PB＋BQ＋PQ＝PB＋EP＋PQ＝BE＋PQ＝4＋CP.∴当CP⊥AB时，CP最小．∴CP最小值＝BC·sin60°＝2 3.∴△PBQ周长最小值为4＋2 3.(3)①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE＝∠CQB，∠CEP＝∠CBQ，学习资料值得拥有由(2)知，△BCE为等边三角形，∴∠CEB＝60°.∴∠CBQ＝∠CEP＝180°－60°＝120°.∴∠PBQ＝120°－60°＝60°.又∵∠BPQ＝∠CPQ－∠CPB<60°，∴∠PQB可能为直角．由(1)知，△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝60°，∠CQB＝30°.∵∠CQB＝∠CPB，∴∠CPB＝30°.∵∠CEB＝60°，∴∠ECP＝∠EPC＝30°.∴PE＝CE＝4.∴AP＝AE－EP＝6－4＝2.∴t＝2÷1＝2(s)．②当t＝6时，点P，C，E不能构成三角形．③当6＜t≤10时，由∠PBQ＝120°＞90°，∴不存在．④当t＞10时，由旋转得，∠PBQ＝60°，由(1)得，∠CPQ＝60°，∴∠BPQ＝∠C PQ＋∠BPC＝60°＋∠BPC.∵∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°.∴∠BPQ＝90°.∴∠BCP＝30°.∴BP＝BC＝4.∴AP＝14 cm.∴t＝14 s.综上所述，t为2 s或14 s时，符合题意．11。