2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1
2019-2020年高一12月学科联赛数学试卷 含答案
2019-2020年高一12月学科联赛数学试卷含答案一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题4分，共40分）1. 设集合M=，a=.下列选项正确的是（）A、aMB、{a}∈MC、aMD、{a}M2. 已知集合A=，B=，则＝（）A．( 0 , 1 ) B．(, 1 ) C．( 0 ,) D．3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．B．C．D．4.设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）A、，B、，C、，D、，5．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．6．已知，是平面，，是直线，给出下列命题①若，，则．②若，，∥，∥，则∥．③如果、n是异面直线，那么相交．④若，∥，且，则∥且∥．其中正确命题的个数是（）A．2 B．3 C．1 D．07.二次函数与指数函数的图象可以是8．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有( ) A．B．C．D．9．下列函数在上是增函数并且在定义域上是偶函数的是（）A B C D10．设，函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）11．函数的值域为12．已知是R 上的奇函数，当时，，则当时，13．为定义在区间的奇函数，它在区间上的 图象为如右图所示的一条线段，则不等式 的解集为 ；14.已知函数，若则实数a=15.在的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个面所成的角的大小为三、解答题（共40分）16． 已知函数的定义域为集合，且{}{}210,1B x Z x C x R x a x a =∈<<=∈>+<或 （1）求和（2）若,求实数的取值范围 17．计算 （1）（2）21lg 5(lg8lg1000)(lg lg lg 0.066++++18. 如图，在直三棱柱中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱上，且⊥，⊥ .求证：(1)直线DE∥平面;(2)平面DE⊥平面.19．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．授课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，（的值越大，接受能力越强），表示提出和讲授概念的时间（单位：分钟），可有以下的关系：，试回答下列问题（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？这个强度可以持续多少分钟？（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？20．已知函数是上的奇函数（1）证明函数是在区间上的减函数（2）解关于的不等式参考答案一、选择题题号12345678910答案D C D B D A D B A D二、填空题11. 12.11,(02)2()0,011,(20)2x xf x xx x⎧-+<<⎪⎪==⎨⎪⎪---<<⎩13.14. 2 15.三、计算题16. (1) (2)17.18.19.20. .。
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。
2019-2020学年上学期高一竞赛数学试卷
2019-2020学年上半学期高一数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数：一、选择题（每小题3分，共36分）1、已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}则)(B A C U =( )。
A 、{1，3，4} B 、{3，4} C 、{3} D 、{4}2、集合M={1,3}，N={x|x ²-3x ＜0，x ∈Z}，P=M ∪N ，则集合P 的真子集个数是( )。
A 、3 B 、7 C 、8 D 、163、设M={（x ，y ）| x+y=1 }，N={（x ，y ）| 2x-y=5 }，则M ∩N=（ ）。
A 、（2，-1） B 、{（2，-1）} C 、{2，-1} D 、x=2，y=-14已知a 、b 、c ∈R ，命题甲为“a ＞b ”，命题乙为“ac ²＞bc ²”，那么甲是乙的（ ）。
A 、充分且不必要条件 B 、必要且不充分条件 B 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、已知a ＞0，b ＜0，则下列各式成立的是（ ）。
A 、a-b ＞0 B 、ab ＞0 C 、a b＞0 D 、a 1＜b16、不等式|3-x|＜2的解集是（ ）。
A 、{x|x ＞5或x ＜1} B 、{x|1＜x ＜5}C 、{x|-5＜x ＜-1}D 、{x|x ＞1} 7、下列不等式中，解集为∅的是（ ）。
A 、2x ²-3x+2＞0 B 、x ²+4x+4≤0 C 、4-4x-x ²＜0 D 、-2+3x-2x ²＞08、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。
A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]9、如果奇函数f （x ）在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[-7，-3]上是（ ）。
2019-XXX年高一数学比赛班选拔考试试题1
2019-XXX年高一数学比赛班选拔考试试题12019-XXX年高一数学比赛班选拔考试试题1一．挑选题：(每题6分，共36分)1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分）(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ2．依照图中骰子的三种别同状态显示的数字，推出？处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．63．已知有理数x、y、z两两别等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.0个或2个4．有A、B、C、D、E共5位同学一起竞赛象棋，每两人之间只竞赛1盘，竞赛过程中统计竞赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘A．1 B.2 C.3 D.45．一椭圆形地块，计划分A、B、C、D四个区域栽种欣赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种别同的植物，现有4这么有（）种栽种方案.A.60B.68C. 78D.846.甲乙两人轮流在黑板上写下别超过10的正整数，规定禁止在黑板上写差不多写过的数的约数，最终别能写的为失败者，假如甲写第一具，这么，甲写数字（）时有必胜的策略A．10 B.9 C.8 D.6二．填空题：（每小题6分，共42分）1．当整数m ＝_________时，代数式13m 6-的值是整数.2．已知：a 、b 、c 都别等于0，且|abc |abc|c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________.3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．别等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________5. 小华、小亮、小明3位同学分不发出新年贺卡x 、y 、z 张，假如已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,这么，小华发出的新年贺卡是张.6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钞票总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，这么集合M ＝｛x ∈R| x 2-3x-a 2+2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程）1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价惟独8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？2、长方形四边的长度基本上小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数能够构成一具四位数,那个四位数的千位数字与百位数字相同,同时那个四位数是一具彻底平方数,求那个长方形的面积.日照实验高级中学高一数学比赛辅导班选拔考试答题纸高一（）姓名得分二、填空题1． 2. 3. 4. 5. 6. 7.三、解答题1、2、参考解答一、挑选题1．B 2.D 3. B 4.B 5.D 6. D 二、填空题1．0或1 2.0 3.4 4. 由原别等式分解可得（|x|-3）(x 2+|x|-1)<0，由此得所求别等式的解集为5. 20 6.58 7. 4三、解答题： 1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则=+=+.17298,2y x n y x 解之，得?-=-=.16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，因此4310959≤≤n ．因此整数10=n ．故==.12,8y x2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ）∵N 是一具彻底平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除，又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1）∴9x+1是一具彻底平方数，经试算知当x=7时满脚条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。
2019年度高一数学竞赛试题(含答案)
高一数学竞赛试题【本试题满分100分，考试时间120分钟】一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案．1．已知集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，则集合{}1|≥x x =（ ） A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃ 2．已知43πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα--等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--x x f x f 的解集为（ ）A ．)1,0()1,(⋃--∞B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x 则=)(log 32f A ．823-B ．111C ．241D ．191 二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确的答案写在题中横线上．6. 已知20π≤≤x ，则函数x x x x f 2cos cos sin 24)(+=的值域是 ．7． 已知：a ，b ，c 都不等于0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+n m . 8. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，若方程)0()(>=m m x f 在区间]8,8[-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x ．9.定义集合A ，B 的一种运算：},,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==*，若，则中的所有元素之和为 ．10.= 70sin 50sin 30sin 10sin ．三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时须写出必要的解题步骤、文字说明和计算结果．11．已知函数2()23cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．12．设a ，R b ∈，且2≠a ，定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数 （1）求a 的值 （2）求b 的取值范围 （3）讨论)(x f 的单调性．13．已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有)()()(n f m f n m f •=+，且当0>x 时，1)(0<<x f ．（1）证明1)0(=f ，且0<x 时，1)(>x f ．（2）若21)1(=f ，解关于x 的不等式 81)2(2<-x x f ．14．已知函数())(22R a a ax x x f ∈+-=，∈x [0，1]，求()x f 的最小值)(a g ，并求)(a g 的最大值．参考答案一．选择题：１．D ； ２．A ； ３．B ； ４．A ； ５．C ．二．填空题：6．]3,1[-； 7．0； 8．8-； 9．14； 10．161． 三．解答题：11．（本小题满分10分）（1）)62sin(2cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ，…2分所以函数()f x 的最小正周期π=T . ……………………………………………3分 因为]2,0[π∈x ，所以]67,6[62πππ∈+x ， 所以1)62sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，所以当262ππ=+x 即6π=x 时，()f x 有最大值为2； 当6762ππ=+x 即2π=x 时，()f x 有最小值为1-. ……………………………6分 （2）由（1）知56)62sin(2)(00=+=πx x f ，所以53)62sin(0=+πx .7分 因为]2,4[0ππ∈x ，所以]67,32[620πππ∈+x ，所以54)62cos(0-=+πx ， …8分 所以6sin )62sin(6cos )62cos()662cos(2cos 0000ππππππ+++=-+=x x x x 1034321532354-=⨯+⨯-=．……………………………………………10分12．（本小题满分10分）（1）∵定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数， ∴)()(x f x f -+=0411lg 211lg 211lg 2=--=--+++xx a x ax x ax ，…………………… 2分 ∴14112=--xx a ，∴42=a ，又∵2≠a ，∴2-=a ．……………………… 3分 （2）由（1）知)(x f =x x 2121lg+-，令02121>+-x x ，解得2121<<-x ，…………… 4分 ∴)21,21(),(-⊆-b b ，∴)21,0()0,21(⋃-∈b ．……………………………… 5分 （3）设1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，且21x x <，则 )()(21x f x f -=21212121221122114)(214)(21lg )21212121lg(2121lg 2121lg x x x x x x x x x x x x x x x x --+---=-+⋅+-=+-++-， 7分 ∵1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，∴04)(212121>---x x x x ，04)(212121>--+x x x x ，∵21x x <，∴212121214)(214)(21x x x x x x x x --+>---，……………… 9分∴14)(214)(2121212121>--+---x x x x x x x x ，∴0)()(21>-x f x f ，∴)()(21x f x f >， ∴)(x f 在),(b b -上单调递减．………………………………………………… 10分13．（本小题满分10分）（1）令1=m ，0=n ，则有)0()1()1(f f f =，∵1)1(0<<f ，∴1)0(=f ． 2分 当0<x 时，0>-x ，∴1)(0<-<x f ，又∵1)()())(()0(=-=-+=x f x f x x f f ，∴)(1)(x f x f -=，∴1)(>x f ．4分 （2）∵)()()(n f m f n m f =+，∴)()()()()(n f m f n f m f n m f =-=-．…………… 5分 设1x ，R x ∈2，且21x x <，则0)(2>x f ，且1)()()(2121>-=x x f x f x f ， ∴)()(21x f x f >，∴)(x f 在),(+∞-∞上单调递减． ……………………… 7分 又∵21)1(=f ，∴)3()1()1()1(21212181f f f f =⨯⨯=⨯⨯=， …………… 8分 ∴不等式81)2(2<-x x f 可化为)3()2(2f x x f <-， ∴322<-x x ，∴31<<-x ， ……………………………………………… 9分 即不等式 81)2(2<-x x f 的解集为}31{<<-x x ．…………………… 10分 14．（本小题满分10分） 二次函数())(22R a a ax x x f ∈+-=的图像开口向上，对称轴为2a x =．……… 1分 ①当02<a ，即0<a 时，()x f 在]1,0[上单调递增， 所以()x f 的最小值为2)0(a f =；………………………………………………… 3分②当120<≤a ，即20<≤a 时，(x f ]1,2(a 上单调递增，所以()x f 的最小值为24)2(2a a a f +-=；………………………………………… 5分 ③当12≥a ，即2≥a 时，()x f 在]1,0[上单调递减， 所以()x f 的最小值为21)1(a f -=．……………………………………………… 6分 综合①②③可得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤+-<=2,2120,240,2)(2a a a a a a a a g ．………………………………… 7分 又当0<a 时，02)(<=a a g ；当20<≤a 时，4124)(02≤+-=≤a a a g ；当2≥a 时，021)(≤-=a a g ． …………………………………………………………………… 9分 所以当1=a 时，)(a g 有最大值为41．…………………………………………… 10分。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019年高一数学竞赛初赛试题含答案
2019年数学竞赛高一初试试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝() A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >Î则下列不等式成立的是() A ．b a 11<B ．22ba >C ．1122+>+c b c a D ．cb c a >3.3.下列函数为偶函数，且在下列函数为偶函数，且在)0,(-¥上单调递减的函数是() A ．32)(xx f =B ．3)(-=x x f C ．xx f )21()(=D ．xx f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4aa a 依次成等差数列，且11=a , 则10S =() A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为() A. 833B. 8 C ．4 D. 43 7．设变量x ，y 满足约束条件îíìy ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为() A ．10 B ．8-C ．6 D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+y x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（值范围是（ ）A ．24-£³m m 或 B. 42-£³m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BD B ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--¥ ∪ ),2(+¥ B . )4,(--¥∪ ),4(+¥ C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45p =x 和49p =x 是函数是函数 )0)(sin(>+=w wx y j 图象的两条相邻对称轴，则j 的一个可能取值为（ ） A ．43p B. 4p C ．3p D. 2p12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，[)[)ïîïíì+¥Î--Î+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（的所有零点之和为（ ） A ．12-aB ．12--aC ．a --21D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）分） 13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a且,)32(c b a ^-则实数=k _________。
高一数学2019年12月竞赛试题附答案
实验中学2019-2020年上学期高一数学竞赛试题命题人： 审题人：一、选择题（共12小题，每题5分。
每题有且仅有一个正确答案） 1、集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{x|mx ＝1}，且B A ，则实数m 的值为（）A.1B.﹣1C.1或﹣1D.1或﹣1或0 2、已知集合，则下列不表示从到的函数的是( )A.B. D.3、用二分法求函数=xx 2ln -的零点时，初始的区间大致可选在（ ） A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（e, +∞）4.某几何体的三视图如图所示，当时， 这个几何体的体积为（ ）A ． 1B ．C ．D ．5、已知直线013:1=++y ax l 与直线01)1(2:2=+++y a x l 互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．53- C ．2 D ．﹣3或26、如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（ ） A ． B ．截面 C ．D ．异面直线与所成的角为7、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，则； ②若则； ③若则；⊆{}{}04,02A x x B y y =≤≤=≤≤A B 1:2f x y x →=1:3f x y x →=2:3f x y x →=:f x y x→=)(x f 4a b +=124323,m m αβ⊥⊥//αβ,,//,m n m n αβ⊂⊂//αβ,,αγβγ⊥⊥//αβ(2)4,1()4,1a x a xf x axx--<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩④若m、n是异面直线，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4是上的增函数，则实数的取值范围是（）8、已知函数A. B. C. D.9、函数 ( )A B C D10、过点P（1,1）作直线l,与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线可以作条？A.1B.2C.3D.411、已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.12、已知是定义在R上的偶函数，对任意Rx∈，都有)(1)2(xfxf-=+，且当[]0,2-∈x时，1)21()(-=xxf，若在区间[]6,2-内方程)1(0)2(log)(>=+-axxfa有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．()2,1 B．），（∞+2 C．()3,41， D．()2,43二、填空题（共4小题，每题5分。
2019-2020年高一上学期新生入学卓越班选拔考试数学试题 含答案
2019-2020年高一上学期新生入学卓越班选拔考试数学试题 含答案一、选择题（每题5分，共60分） 1. 下列运算正确的是（ ）A ．2510a a a ⋅=B ．0( 3.14)0π-= C= D ．222()a b a b +=+ 2.函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≤且1x ≠ C ．x ＜2且1x ≠ D ．1x ≠3. 如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若532=-b a ，则=+-2015262a b （ ）A ．2004B ．2005C ．2014D ．20155. 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD=2，tan ∠OAB=12，则AB 的长是（ ） A ．4 B ．C ．8D ．6. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）A ．5cm B ．5cm C ．cm D ．10cm7. 甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 反比例函数1my x=（0x >）与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜1或x ＞29. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：第5题图第9题图①20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 从A 点出发．按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动．记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 二次函数2(1)1y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．1m =-B ．3m =C ．1m ≤-D ．1m ≥-12. 如图，以平行四边形ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x=的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（每题5分，共20分）13. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AEEB等于________________ 14. 若不等式组恰有两个整数解，则m 的取值范围是________________15. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4），直线343-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则线段PM 长的最小值为________________第10题图 第12题图第13题图16. 已知x=2是不等式)23)(5(+--a ax x ≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是________________三、解答题17. （10分）计算：0111(2015)()23tan30633π--+-+-+18. （10分）先化简，再求值：2224(1)444a a a a a -÷-++-，其中2a =．19. （12分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～100；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；sw （2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D ”，100～130分评为“C ”，130～145分评为“B ”，145～160分评为“A ”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B ”的学生大约有多少名？20. （10分）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30° （1）求∠BPQ 的度数；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ）。
2019-2020年高一上学期新生入学卓越班选拔考试数学试题 含答案
2019-2020年高一上学期新生入学卓越班选拔考试数学试题 含答案一、选择题（每题5分，共60分） 1. 下列运算正确的是（ ）A ．2510a a a ⋅=B ．0( 3.14)0π-= C= D ．222()a b a b +=+ 2.函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≤且1x ≠ C ．x ＜2且1x ≠ D ．1x ≠3. 如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若532=-b a ，则=+-2015262a b （ ）A ．2004B ．2005C ．2014D ．20155. 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD=2，tan ∠OAB=12，则AB 的长是（ ） A ．4 B ．C ．8D ．6. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）A ．5cm B ．5cm C ．cm D ．10cm7. 甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 反比例函数1my x=（0x >）与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜1或x ＞29. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：第5题图第9题图①20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 从A 点出发．按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动．记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 二次函数2(1)1y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．1m =-B ．3m =C ．1m ≤-D ．1m ≥-12. 如图，以平行四边形ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x=的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（每题5分，共20分）13. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AEEB等于________________ 14. 若不等式组恰有两个整数解，则m 的取值范围是________________15. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4），直线343-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则线段PM 长的最小值为________________第10题图 第12题图第13题图16. 已知x=2是不等式)23)(5(+--a ax x ≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是________________三、解答题17. （10分）计算：0111(2015)()23tan30633π--+-+-+18. （10分）先化简，再求值：2224(1)444a a a a a -÷-++-，其中2a =．19. （12分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～100；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；sw （2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D ”，100～130分评为“C ”，130～145分评为“B ”，145～160分评为“A ”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B ”的学生大约有多少名？20. （10分）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30° （1）求∠BPQ 的度数；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ）。
2019-2020年高一数学复习竞赛试卷
2019-2020年高一数学复习竞赛试卷学校 班级 姓名 分数一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． (1) 已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）1或0 （D ）1或2 (2) 设α是第二象限的角，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限(3) 在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则-+等于（ ）（A ）O （B ）MD 4 （C ）MF 4 （D ）ME 4 (4) 某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个；若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个。
为了获得最大利润，此商品的最佳销售单价应为（ ） （A ）70元（B ） 65元（C ） 60元（D ） 50元(5)在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2=，CB CA CD λ+=31，则λ=（ ）（A ）23-（B ）13（C ）13-（D ）23(6) 设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） （A ）(1,1.25) （B ）(1.25,1.5) （C ）(1.5,2) （D ）不能确定 (7) 下面有四个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|Z k k ∈=,2πα}； ②在同一坐标系中，函数y =sin x 和函数y =x 的图象有三个公共点； ③把)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得到x y 2sin 3=的图象； ④函数)2sin(π-=x y 在]0[π，上是减函数．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (8) 函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈)3,0(时()x x f 2=，则当x ∈（6-，3-）时，()x f =（ ） （A ）62+x （B ） 62+-x （C ）62-x （D ） 62--x(9) 二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ） （A ） ()+∞,0 （B ）[)+∞,2 （C ）(]2,0 （D ）]4,2[(10) 关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．(11) 设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =_______．(12) 使方程)2sin 2(2sin 2x m x +=-有解，则m 的取值范围是________． (13) 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．(14) 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数a 的值为________.(15) 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数.下列函数：①f(x)＝sinx ；②f(x)=π(x －1)2＋3；③f(x)＝(13)x ；④f(x)＝log 0.6x ，其中是一阶格点函数的有_______________.(16) 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式： )0,0()sin(>>++=ωϕωA k t A d ，P 10md5m 22πϕπ<<-，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①10=A ，②152πω=，③6πϕ=，④5=k ，则其中所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共4个小题，共36分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分8分)1．计算：+629cos π+325cos π)425tan(π-2．已知2tan =θ，分别求下列各式的值：（Ⅰ）θθθθsin cos sin cos -+；（Ⅱ）θθθθ22cos 2cos sin sin +-.(18) (本小题满分7分)一种放射性物质最初的质量是a克，按每年25%衰减.（Ⅰ）求t年后，这种放射性物质的质量y的表达式；（Ⅱ）估计约经过多少年（结果保留1个有效数字），该物质的剩留量是最初质量的13．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）(19) (本小题满分10分)已知函数1()lg[()]2xxf x a =-,( 01a ,a >≠,a 为常数) ． （Ⅰ）当2a =时，求)(x f 的定义域；（Ⅱ） 当1a >时，判断函数1()()2x x g x a =-在区间(0,)+∞上的单调性，并写出理由；（Ⅲ）当1a >时，若)(x f 在[)1,+∞上恒正，求a 的取值范围．(20) (本小题满分11分)设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ． （Ⅰ）求f(x)的解析式； （Ⅱ）对任意,],1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：12122)()(x x x f x f -<-；（Ⅲ）对任意,],1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：1)()(12≤-x f x f ．高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1． C 2．C 3．C 4．A 5．D 6． B 7．A 8．B 9．D 10．A二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）11．3 12．[]3,31 13．2 14．1-15．①②④ 16．①②④三、解答题（共4个小题，满分36分） （17）(本小题满分8分) 1．213-- 2．解：（Ⅰ）由已知得 Z k k ∈+≠,2ππθ2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=-+θθθθθθθθθθ； （Ⅱ） θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.(18) (本小题满分7分)解：（Ⅰ）t a y %)251(-=；（Ⅱ）设经过x 年，该物质的剩留量是最初质量的13．依题意得 10.753x =，1lglg3lg30.47713 3.8lg 0.75lg3lg 42lg 2lg320.3010.4771x -====≈--⨯-∴ 估计约经过4年，该物质的剩留量是原来的13.（19）(本小题满分10分)略解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,+∞)；（Ⅱ）1()()2x x g x a =-在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）由（Ⅱ）得 1a >时，1()()2x x g x a =-在[)1,+∞上是增函数，故1()lg[()]2xxf x a =- 在[)1,+∞上是增函数．当1a >时，0])21(lg[>-xx a 对∈x [)1,+∞恒成立等价于113(1)lg()0,1,222f a a a ∴=->->∴>得．(20) (本小题满分11分)解：（Ⅰ）由题意知f(x+1)=g(1-x))2()(x g x f -=⇒当224)2(4)2()(,32201x x x x f x x -=--+--=≤-≤≤≤-时，当2)(0110x x f x x -=-∴<-≤-≤<时，，由于f(x)是奇函数2)(x x f =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--=∴)10()01()(22x x x x x f（Ⅱ）当,20]1,0[,212121<+<≠∈x x x x x x 时，且 1212122122122))(()()(x x x x x x x x x f x f -<+-=-=-∴（Ⅲ）当1110,10]1,0[,212222212121≤-≤-∴≤≤≤≤≠∈x x x x x x x x 时，且.12122≤-x x 即2212≤-=-∴xxxfxf.1)()(21。
2019-2020年高一下学期学科竞赛(学分认定考试)数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期学科竞赛（学分认定考试）数学试题含答案一、选择题（共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个选项，把答案填涂在答题卡上）．设集合，则( )A．B．C．D．．函数f（x）=的零点在区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.．设α是空间中的一个平面，，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m，n，则αB．若m⊂α，nα，n，则//mC．若//m，mα，nα，则//n D．若m，n，则n//m．是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是（）A. B. C．D．．已知定义在上的函数()为偶函数．记，则的大小关系为（）A．B．C．D．．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．．已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增，若实数满足, 则的取值范围是（）A．B．C．D．．若函数在区间内恒有，则函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．．已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．[第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）．若，则．．已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．．若函数的值域为，则实数的取值范围为 .．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围为．三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）．（12分）设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，又，，且.（1）在网格中画出四棱准的正视图；（2）求证：平面平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值. 若不存在，请说明理由．（12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.．（12分）已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程．．（12分）已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）判断奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．．（14分）一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称.（1）求常数的值；（2）解方程：；（3）求证：.高一学科竞赛试题答案（数学）第I卷（共60分）一、选择题DBACC BBCAA CB第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）16、13、14、15、三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）17、（12分）答案．（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，-------2分∴，∴. ------5分（2）----8分，------10分，. -------12分18、（12分）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）解：四棱准的正视图如图所示.-----4分（2）证明：因为平面，平面，所以 .因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面. -----8分（3）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面.因为，，所以，即.所以 . 所以.因为平面，平面，所以平面.--------12分19、（12分）答案．（1），；（2）．【解析】（1）----2分∴函数最小正周期是, -----4分解得，函数单调递增区间为---6分（2），∴的最小值1，-----9分由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为--------12分20、（12分）【答案】（1）和；（2）或；（3）【解析】（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，则由，得，从而所求的切线方程为和------4分（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意：当直线不垂直于轴时，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，从而，得，此时直线方程为，综上所述，所求直线方程为或．----8分（3）设点的坐标为，点坐标是，∴，所以．∵，∴∴点的轨迹方程是------12分21、（12分）【答案】（Ⅰ）是上的奇函数；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，∴是上的奇函数；-----3分（Ⅱ）由题意知是上的增函数（需要证明），------6分则，------ 8分，因为，则当时取最小值,∴------12分22、（14分）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）∵的定义域为，∴，由题意有恒成立，又，∴------4分（2）由（1）知：，∴，-----6分令，则原方程变为：，解之得或，当时，，无解；------8分当时，.-------10分（3）由（1）知，，法1：设g(n)=可写成，两式相加得，所以----14分.。
高一数学竞赛班选拔考试试卷
重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。
2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。
3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。
4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。
若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。
（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。
7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。
29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。
所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。
先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。
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2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1
一．选择题：(每题6分，共36分)
1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分）
(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ
2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．已知有理数x、y、z两两不等，则,,
x y y z z x
y z z x x y
---
---
中负数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个或2个
4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘
A．1 B.2 C.3 D.4
5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽
种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的
两块种不同的植物，现有4
那么有（）种栽种方案.
A.60
B.68
C. 78
D.84
6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略
A．10 B.9 C.8 D.6
二．填空题：（每小题6分，共42分）
1．当整数m ＝_________时，代数式
13m 6
-的值是整数.
2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|
abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004
＝_________.
3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________
5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张.
6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：
则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2
-3x-a 2
+2=0｝的子集的个数 是
三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程）
1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？
2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.
日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试
答题纸
高一（）姓名得分
二、填空题
1． 2. 3. 4. 5. 6. 7.
三、解答题
1、
2、
参考解答
一、选择题
1．B 2.D 3. B 4.B 5.D 6. D 二、填空题
1．0或1 2.0 3.4 4. 由原不等式分解可得（|x|-3）(x 2
+|x|-1)<0，
由此得所求不等式的解集为<x<3}
5. 20
6.58
7. 4
三、解答题： 1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则
⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨
⎧-=-=.
16172,
17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4
3
10959≤≤n ．
所以整数10=n ． 故⎩⎨⎧==.
12,8y x
2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，
则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除， 又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11
∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数， 经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。