数学归纳法在中学数学教学中的应用研究
毕业论文：数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．n时表示一个命题，正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立，那么当1n k时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0N（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a（我们用符号'a 表示a的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从．a b可以推出a b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ．由''素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ．设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从'a也属于M；则集合M包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起n n，…，则始元素，如果记'01，'12，'23，…，'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中，所以M N .从而必存在自然数0m M ，且01m M .因为若不然，就有（1）0M (0不大于任一自然数）； （2）若m M ，则1m M .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何aA ，都有0m a ；而且0m A .事实上，若0m A ，则有01m a ，对任意a A ，于是01m M ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n 为真；（2）假设0()()T n nn 为真，则可以推出(1)T n 也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n ，从而001m n 且0(1)T m 为真.由（2），取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
关于数学归纳法在中学数学理的应用
数学归纳法的定义： 在数学问题中，每一类问题都有一种与门的 方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数 问题的一种工具．归纳法是从个别的论断归结出 一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖 亍各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳 法和丌完全归纳法两种，完全归纳法只局限亍有 限个元素，而丌完全归纳法得出的结论丌一定具 有可靠性，数学归纳法属亍完全归纳法．
二，数学归纳法的基本思想与特征：
从特殊到一般； 递推思想； 数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两 种基本形式——丌完全归纳和完全归纳。 归纳法的基本模式： 证明一个不正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值 时结论正确； (2) 假设当n＝k ( ，k≥ ) 时结论正确, 证明当n＝ k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所 有正整数n都正确．
四，数学归纳法在中学数学应用题型：
证明有关自然数的等式 证明有关自然数的丌等式 证明丌等式 在几何中的应用 在排列、组合中的应用 在数列中的应用 有关整除的问题
五，数学归纳法的局限：
只能解决不自然数nБайду номын сангаас关的问题 n的任意性给假设带来一定的难度 中学竞赛题中很少应用到数学归纳法。
在起点上下功夫。 正确选取起点和过渡： 例6 任意n条直线均能重合成一条直线． 这个命题是荒谬的，当n＝2时就丌能成立．但如果 我们忽视了这一点，而采用如下的“证明”，那 么就有可能陷亍荒谬而难亍解脱： 当n＝1时，命题显然成立．假设当n＝k时，命题 已经成立．那么当n＝k＋1时，可以先让其中k条 直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一 条重合为一条直线，即知命题也可成立．所以任 意n条直线均能重合成一条直线．
数学归纳法在初等数学中的应用
龙源期刊网 数学归纳法在初等数学中的应用作者：刘玮来源：《考试周刊》2013年第29期摘要：在数学教学中，在培养学生演绎推理能力的同时要重视合情推理能力的培养，与之对应的是归纳、猜想的思想和数学归纳的方法.运用数学归纳法证明，能起到化繁为简的作用，有助于培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力.关键词：数学归纳法中学数学教学合情推理演绎推理数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法.运用数学归纳法处理问题，能起到化繁为简的作用，有助于培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力.在实际教学中，教师对数学归纳法的讲授和应用多停留在数列、恒等式和不等式相关问题上.其实数学归纳法在中学数学中的应用远不止于此，它还可用来解答或证明整除性、三角函数和几何等方面的问题.1.数学归纳法在整除性问题上的应用3.数学归纳法在平面几何中的应用例3：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n■-n+2个部分.分析：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块.本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题得到了解决.证明：①当n=1时，平面内1个圆把平面分成2个部分.4.在函数迭代中的应用数学归纳法在中学数学中用途甚广，可是实际上学生对数学归纳法并不能做到熟练运用，通常仅限于数列和函数方面的应用.由此导致学生在真正运用数学归纳法处理问题时常出现两个比较重大的错误：一是弄不清第二步到第三步的具体变化，二是在证明时根本没有运用到第二步的假设.因此，教师要对数学归纳法在中学数学中各个方面的应用进行深入探讨，把握规律，方能做到在教学中胸有成竹，成功地引导学生掌握归纳猜想的思想和相应的数学归纳法.。
归纳法在数学中的应用
小议“数学归纳法”在中学数学中的应用数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷，总会花费人们大量的时间与精力，去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念，自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为，归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论，具有明显的推理过程，但这些推理只是简单的列举，没有涉及归纳结果，因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的[1]，因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的《算术》一书中，明确地提出了“递归推理”这个思想方法.我国著名的数学家华罗庚曾说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益.”宏观来看，数学归纳法看似单一，可看作一个公式来证明命题，实则不然，它要求学生掌握必备的知识与技能，同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳II法解决一些与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，最终熟练掌握“归纳——猜想——证明[2]”这一思维方法，这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法，有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段。
2.1(2)数学归纳法及其应用举例
第二章 极 限
一 数学归纳法
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
2.1数学归纳法及其应用举例
（2）
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1 时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
归纳假设，除l外的其他k条直线的交点个数为 f(k) k(k1)
∵任何两条直线不平行，
2
∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点)；
又∵已知任何三条直线不过同一点， ∴上面的k个交点两两不相同，且与平面内的其它 k ( k 1)
2 个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是
k(k1)k(k1)[k (1)1]
北京大峪中学高三数学组
课堂练习
p67
数学归纳法及其应用举例
北京大峪中学高三数学组
数学归纳法及其应用举例 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
浅析数学归纳法原理及应用举例_3
浅析数学归纳法原理及应用举例陕西省延安市第一中学 王雪娟 （邮编：727400）【摘 要】数学归纳法是中学数学中一种重要的证明方法，在不少问题的证明中，它有着其他证明方法所不能替代的作用。
本文一方面浅谈数学归纳法原理；另一方面浅析在理解原理的前提下如何进行灵活应用。
【关键词】数学归纳法 递推 归纳假设 证明归纳法是指由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，它分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定正确。
完全归纳法是通过研究事物的所有特殊情况得出结论的推理方法，其结论一定正确，但对于无穷多个实例的情况，我们不可能做到一一验证。
而数学归纳法它不仅克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，又克服了完全归纳法的繁杂不可行，充分体现了利用“有限”的手段解决“无限”的问题，将无穷的归纳过程转化为有限的特殊演绎过程。
在具体的教学实践中，学生往往只知其然不知其所以然，只是机械套用两个步骤，而对其真正内涵并不理解。
本文就结合教学实践浅谈数学归纳法的来源、理论根据及具体应用。
一、 数学归纳法的来源最初人们对于正整数只是处理有限个的问题，但正整数集是一个无限集，人们不可能写出所有的正整数，无法对其作无限次的操作，因此人们只有通过某种方法沟通有限与无限，来研究涉及无限集的问题，那就是数学归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolycos 的Arithmeticorum libriduo （1575年），Maurolycos 利用递推关系巧妙地证明了“前n 个奇数的和是2n ”但他仅仅是用例子加以说明并未对方法作出清晰地表述。
最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在《论算数三角形》（1645年）中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”等命题，他最先清楚而明确的指出数学归纳法的两个步骤，即第一引理：该命题对于第一个底成立，这是显然的；第二引理：如果该问题对任一底成立，它必定对其下一个底也成立。
数学归纳法在中学数学中的应用
但是 ， 如果 有这 样 一个 保证 ： 当第 一次 摸 出红 玻璃 球 时 ，
２ ． １ 不 一定从 １ 开始 ，也 就是数 学归纳 法里 的两句话 可 以改 ≥ｋ ｏ ） 时这 个命 题 正
当， ｌ 。 时这个 命题 正确 ； 假设 当 ， ｌ 下 一次摸 出的也 一定是红玻 璃球 。那么 ， 就不必 非礼 去一个一 成 ： 确 ， 那 么当 ｎ ＝ ｋ ＋ ｌ时这个 命题也 正确 。 个 地摸 了 ， 只要 第一次 摸 出来的确 是红玻 璃球 ， 就可 以不 在检
誊
旋｜ 莉 耙｜
． 。 嘉 绰 捌
数 学归纳 法在 中学数 学 中的应 用
山西 省 寿 阳 县第 一 中学 校（ ０ ４ ５ ４ ０ ０ ）冀 萍
［ 摘 要］ 数 学归纳 法是根 据归纳原理 应用 演绎推理 的 一种特 殊 的数 学推理 方法 ， 它在 许 多数学 问题 的证 明 中起 着 重要作用 。本 文主 要阐 本源 命 题
ｉ １ －
例： 证 明 差 数列 的 通项 公 式 ａ ｎ ＝ ａ ， ＋ （ —Ｊ ） ｄ （ ）（ 口 是 而 下一 步就是 要在 第 ｋ 号命题 成立 的前提 下 ， 证 明第 斛ｌ 首项 ， ｄ是 公差 ） 上 ，１ ， 证 明分析 ： 当ｎ ＝ ｌ 时， ａ ｌ ＝ ａ ｌ ， （ ） 式成 立 假设 当 ｎ ＝ ｋ时 ， （ ） 式 成立 ，
[教研] “数学归纳法”中的三个问题
![[教研] “数学归纳法”中的三个问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1751166ecaaedd3383c4d3e1.png)
“数学归纳法”中的三个问题绍兴市稽山中学孔莉群骆永明参加“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。
在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。
在听课和讨论的过程中，想的最多的是以下三个问题：1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。
甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。
这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真⇒ P(2)真⇒ P(3)真⇒…⇒ P(k)真⇒ P(k+1)真⇒…因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
数学归纳法原理的拓展和应用
数学归纳法原理的拓展和应用数学归纳法是一种重要的数学方法，它被广泛应用于证明各种数学命题。
这种方法可以用来证明无穷序列的性质，只需要检查这个序列的前n项是否满足某种性质，就可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
数学归纳法的原理是，如果一个序列的前n项都满足某种性质，那么我们可以推断出这个序列的所有项都满足这个性质。
这个原理可以通过一个简单的例子来说明：考虑一个序列{an}，如果a1=1，a2=2，a3=3，那么我们可以推断出这个序列的每一项都是正整数。
因为当n=3时，序列的项都是正整数，那么我们可以推断出当n为任意正整数时，序列的项都是正整数。
数学归纳法可以用来证明各种数学命题，下面列举几个常见的应用：证明无穷序列的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明调和级数的和是有限的。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，1/1=1是一个有限的数。
然后，我们假设当n=k时，1/1+1/2+...+1/k是一个有限的数。
那么当n=k+1时，1/1+1/2+...+1/k+1/(k+1)也是一个有限的数。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，调和级数的和都是有限的。
证明等差数列的求和公式：例如，我们可以用数学归纳法证明等差数列的求和公式：S_n=na_1+(n(n-1))/2d。
这个证明过程如下：我们检查当n=1时，S_1=a_1是一个成立的等式。
然后，我们假设当n=k时，S_k=ka_1+(k(k-1))/2d是一个成立的等式。
那么当n=k+1时，S_(k+1)=S_k+(a_1+...+a_k)+a_(k+1)=[ka_1+(k(k-1))/2d]+(a_1+. ..+a_k)+a_(k+1)=(k+1)a_1+[(k+1)k]/2d，也是一个成立的等式。
因此，我们可以推断出对于所有的正整数n，等差数列的求和公式都是成立的。
证明几何级数的和是有限的：例如，我们可以用数学归纳法证明几何级数的和是有限的。
“数学归纳法的应用”教学案例
数 学教 学
Ｄ —
ｉ
ｌ
ｌ
＋
由（ １ ） 、（ ２ ） 知， 对 一切 ｋ∈Ｎ ， 竹＝ ３ ｋ＋ １ 时 问题 都有解 ．
２ ． ３ ． ２ 佗＝ ３ ｋ一 １
ｌ ■ ． — ＿ 丰 — — ｝ —
ｌ ～
当 ｋ＝ １ 即 几 ＝ ２时 ，问题 有 解 ；当 ｋ ＝ ２即 ｎ： ５ 时 ，问题 无 解 ． 而 当 ｋ≥ ３ 时， 可将 图 形 分 割如 图 １ ３所 示 ．
２ ０ １ ７ 年第 １ ０ 期
数 学教 学
ｌ ｏ — ｌ ｌ
“ 数 学 归纳 法 的应 用 ＂教 学案例
吴晨 昊
（ 上海市进才中学， 上海 ２ ０ ０ １ ３ ５ ）
１ 引言
数 学 归 纳 法 在 数 学 发 展 史 上 有 着 举 足 轻
重 的 地 位 ．对 与 无 穷 的 自然 数 集 相 关 的命 题 ， 我 们 往 往 可 以运 用 数 学 归 纳 法 ，以有 限 的 步骤 对 其 作 出 严 谨 的 证 明 ．数 学 归 纳 法 在 有 限 与
图１
和 、多项式整 除等代 数 问题， 其 中不乏 一些 学
生 已经 熟 知 的 公 式 ， 因而 学 生 学 习数 学 归 纳 法 的动机 不足 ， 甚至 会产 生 “ 数 学 归 纳 法 就 是 在
套格 式” 的误 解． 在 运用 数学 归纳 法证 明一 些
命题 时， 学 生 也 容 易 出现 “ 伪证” （ 即 在 证 明 的第 二步 并不 用 到 归 纳假 设 １ 的情 况 ． 笔 者 以一 道 平 面 几 何 问 题 为 载 体 ， 对 其 作 进 一 步探 究， 并 以此 设计 了一 堂“ 数 学 归 纳 法 的 应 用” 的拓 展 课 ，旨在 让 学 生 改 变 对 “ 数 学 归 纳法 ” 的 刻 板 印象 ． ２ 教 学设 计
数学归纳法在中学数学教学中的应用研究
数学归纳法在中学数学教学中的应用
研究
数学归纳法是一种从具体到抽象的推理方法，在中学数学教学中有着重要的作用。
首先，数学归纳法可以帮助学生更好地理解数学概念。
通过归纳法，学生可以从具体的例子中抽象出一般的规律，从而更好地理解数学概念。
其次，数学归纳法可以帮助学生更好地解决问题。
归纳法可以帮助学生从具体的例子中抽象出一般的规律，从而更好地解决问题。
此外，数学归纳法还可以帮助学生更好地掌握数学知识。
通过归纳法，学生可以从具体的例子中抽象出一般的规律，从而更好地掌握数学知识。
因此，数学归纳法在中学数学教学中有着重要的作用。
教师应该在教学中积极运用数学归纳法，帮助学生更好地理解数学概念、解决问题和掌握数学知识。
同时，教师还应该注意指导学生正确使用数学归纳法，以便学生能够更好地发挥数学归纳法的作用。
只有这样，学生才能更好地学习数学，提高数学学习能力。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学中的应用Һ李英爽㊀郭㊀微㊀（北华大学数学统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ在中学数学中，数学归纳法是比较常用的证明方法，虽然它仅适用于一些与正整数相关的数学命题，但是在中学数学中的地位十分重要．为了帮助学生更好地了解数学归纳法的主要应用，本文首先介绍了数学归纳法的概念，然后给出了数学归纳法在解决问题时采用的步骤，最后列出数学归纳法在中学数学中的主要应用并举出相关的例子进行说明．ʌ关键词ɔ数学归纳法；中学数学；应用数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质．有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想．那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题．一㊁数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立．在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法．数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立．二㊁数学归纳法的步骤数学归纳法在应用时分两步进行：第一步，证明命题在常数的情况下成立．从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用 １ 作为证明命题的起点．第二步，证明命题在任意常数下都成立．在实际解决问题中，我们通常采用未知数ｋ来代表一般情况．在ｎ＝ｋ的情况下命题成立，然后推导出ｎ＝ｋ＋１的时候命题也成立．这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性．在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确．总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立．数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立．但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤．利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确．下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解．三㊁数学归纳法的应用数学归纳法可以解决很多类型的问题．下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列㊁几何问题㊁整除性问题中的应用．（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等．例１㊀证明：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，左边＝１＝（２ˑ１－１）２＝右边，等式成立．假设当ｎ＝ｋ时，等式同样成立，即ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＝（２ｋ－１）２，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＋（３ｋ－１）＋３ｋ＋（３ｋ＋１）＝［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）］＋８ｋ＝（２ｋ－１）２＋８ｋ＝４ｋ２＋４ｋ＋１＝（２ｋ＋１）２＝［２（ｋ＋１）－１］２，也就是说，当ｎ＝ｋ＋１时等式成立，所以等式对于任意一个正整数ｎ都满足．（二）数学归纳法在不等式证明中的应用应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当ｎ＝ｋ和ｎ＝ｋ＋１时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键．例２㊀证明：１＋１３＋１５＋ ＋１２ｎ－１ɤ２ｎ－１（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，不等式显然成立．假设当ｎ＝ｋｋȡ１，ｋɪＮ∗()时，不等式同样成立，即１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１ɤ２ｋ－１，则当ｎ＝ｋ＋１时，左边＝１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１＋１２ｋ＋１ɤ２ｋ－１＋１２ｋ＋１＝２ｋ－１２ｋ＋１＋１２ｋ＋１ɤ（２ｋ－１）＋（２ｋ＋１）２＋１２ｋ＋１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１＝２ｋ＋１２ｋ＋１＝２ｋ＋１，即ｎ＝ｋ＋１时，不等式成立．所以不等式对于任意一个正整数ｎ都成立．（三）数学归纳法在数列中的应用有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些．例３㊀设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），求：（１）ａ２的值；（２）数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（３）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．解㊀（１）将ｎ＝１代入２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），得ａ２＝４．（２）由于ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），可以求出ａ２＝４，ａ３＝９，ａ４＝１６，ａ５＝２５，ａ６＝３６， 由此猜想：ａｎ＝ｎ２．下面用数学归纳法进行证明：１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２＝１，命题成立．２）假设当ｎ＝ｋ（ｋɪＮ∗）时命题成立，即ａｋ＝ｋ２成立，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀ａｋ＋１＝２Ｓｋｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ａ１＋ａ２＋ ＋ａｋ()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２１２＋２２＋ ＋ｋ２()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ｋˑｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）６＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝ｋ２＋２ｋ＋１＝（ｋ＋１）２．即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．综上可知，ａｎ＝ｎ２对于任何ｎɪＮ∗都成立．（３）由（２）知ａｎ＝ｎ２（ｎɪＮ∗），则ａｎ＋１＝ｎ＋１()２＝ｎ２＋２ｎ＋１，又因为２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３，则Ｓｎ＝ｎ２㊃ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃ｎ２＋２ｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃２３ｎ２＋ｎ＋１３()＝１３ｎ３＋ｎ２２＋ｎ６．（四）数学归纳法在几何问题中的应用数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题．下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用．例４㊀设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？解㊀设半圆个数为ｎ，最多分割圆弧的个数为函数ｆ（ｎ），如图１所示，可知当ｎ＝２时，ｆ（ｎ）＝ｆ（２）＝４＝２２．当ｎ＝３时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图２所示，可得ｆ（３）＝９＝３２．同理可知，当ｎ＝４时，ｆ（４）＝１６＝４２．因此猜想有ｎ个半圆时，最多可以将半圆分割成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．图１㊀㊀㊀图２用数学归纳法进行证明：当ｎ＝２时命题成立．假设当ｎ＝ｋ时命题成立，即ｆ（ｋ）＝ｋ２．也就是说，当直线一边有ｋ个两两相交的半圆时，最多可以分割成ｋ２个圆弧．当ｎ＝ｋ＋１时，求第ｋ＋１个半圆与之前的ｋ个半圆都相交时可以得到最多的圆弧．此时，原来前ｋ的半圆都被第ｋ＋１个半圆割出了一条新圆弧，有ｋ条圆弧，第ｋ＋１个半圆都被原来所有的半圆分割成了ｋ＋１个圆弧，因此ｆ（ｋ＋１）＝ｋ２＋ｋ＋ｋ＋１＝（ｋ＋１）２，故当ｎ＝ｋ＋１时命题成立．即当有ｎ个半圆时，可以将半圆最多分成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．（五）数学归纳法在整除性问题中的应用利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果ａ能被ｃ整除，那么ａ的倍数ｎａ也能被ｃ整除；如果ａ，ｂ都能被ｃ整除，那么它们的和或差ａʃｂ也能被ｃ整除．例５㊀证明：ｆ（ｎ）＝（３ｎ＋１）㊃７ｎ－１（ｎɪＮ∗）能被９整除．证明㊀当ｎ＝１时，ｆ（１）＝（３＋１）㊃７－１＝２７，２７显然能被９整除，故命题成立．假设当ｎ＝ｋ时，原命题成立，即ｆ（ｋ）＝（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１能被９整除，则ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）＝［（３ｋ＋４）㊃７（ｋ＋１）－１］－［（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１］＝９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ，故ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）＋９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ能被９整除．综上可知，对于一切ｎɪＮ∗原命题都恒成立．结束语数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用．ʌ参考文献ɔ［１］田定京．数学归纳法在高考数列题中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３，（２１）：７９．［２］王治平．例谈数学归纳法的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１７，（１）：４５－４６．［３］张搏翰．数学归纳法在几何解题中的应用［Ｊ］．中学数学，２０１７，（１１）：７３－７４．. All Rights Reserved.。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。
本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。
①完全归纳法。
②不完全归纳法。
③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。
数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。
这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。
也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。
②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。
那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。
这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。
严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。
递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。
数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
4.数学归纳法的解题步骤。
用数学归纳法证明的一般步骤是：（1）设P(n)是一个关于自然数的命题，证明P(n)当n=1或（n=n0）时命题成立。
（2）假设P(k)(k≥n0)成立，证明成立P(k+1)那么P(k)对任意自然数n都成立。
数学归纳法以及其在初等数论中的应用论文答辩
洛阳师范学院
数学归纳法在初等数论中应注意的问题 4.1起步错误 容易忽略,觉得无关紧要,可有可无,不去认真的验证这一步,或者 根本没有这一步,都可能陷入错误之中,推出看似正确的答案. 4.2 机械套用数学归纳法的两个步骤致误 有时直接应用第一类或者第二类条件是不足的，此时，应该用 其他，但是往往不注意. 4.3 混淆概念所致 套用不完全归纳法
数学归纳法以及在初等数论中的应用
指导老师：**
答辩人：孙**
洛阳师范学院
1
2 3
选题的意义
论文轮廓
主要内容
4
论文的不足
洛阳师范学院
选题的意义
1
数学归纳法我 们从中学就开 始接触，但是 有时对的原理 并非特别清楚。
2
独特性，在诸多 证明方法中，由 于数学归纳法那 种机械又明快的 结构，特立独行 .。
洛阳师范学院
4.4 归纳递推的必要性 这步致错的原因往往是没有用到归纳假设，直接得 的正确性.
出式子
洛阳师范学院
结 论
用数学归纳法证明命题可以降低过程的复 杂性,使推理过程简单,清晰,也保证了推理的 严谨性,特别是在初等数论中的众多命题的证 明时,使得证明过程简洁明了,而不失严密性, 数学归纳法是一种行之有效的证明方法.
在用数学归纳法证明与自然数有关的命题 时,两个基本步骤是不可缺少的,否则命题不一 定成立.
洛阳师范学院
论文不足
第一：数学归纳法的应用非常广泛，由于本人涉 及方面有限，本文只对一些基本应用做了论述， 旨在说明一种基本的数学证明思维方法.
第二：数学归纳法可以证明很多有关自然数的 命题，特别是在初等数论中.但是由于本文篇幅 有限，只是叙述了部分命题.
洛阳师范学院
浅谈数学归纳法和在中学数学中的应用2
目录1、数学归纳法----------------------------------------------------------21.1归纳法定义 --------------------------------------------------------21.2数学归纳法表现的数学思想 -----------------------------------------3从特别到一般 ------------------------------------------------3递推思想 ----------------------------------------------------3 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧 -------------------------------------42.1重申 -------------------------------------------------------------4两条缺一不行 ------------------------------------------------42.2技巧 -------------------------------------------------------------5认真用好归纳假定 --------------------------------------------5学会重新看起 ------------------------------------------------5在起点上下功夫 ----------------------------------------------6正确选用起点和过渡 ------------------------------------------7选用适合的归纳假定形式 --------------------------------------8 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ----------------------------------------83.1证明有关自然数的等式 ---------------------------------------------83.2证明有关自然数的不等式 ------------------------------------------103.3证明不等式 ------------------------------------------------------103.4在函数迭代中的应用 ----------------------------------------------113.5在几何中的应用 --------------------------------------------------133.6在摆列、组合中的应用 --------------------------------------------153.7在数列中的应用 --------------------------------------------------153.8有关整除的问题 --------------------------------------------------16浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用福雄西南大学数学与统计学院，400715纲要 : 数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不单能由此发现给定问题的解题规律，并且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先表达了归纳的意义、种类，从而议论以归纳法为主要工具，去探究和发现数学识题的解题门路．数学归纳法作为由特别归纳出一般的一种思想方法，拥有两种基本义义，第一数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它能够为我们提出猜想，为论证供给基础和依照．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创建性的探究式思想方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探究解题门路的过程中起侧重要作用．数学归纳法可依照它的归纳事物能否完整分为两种基本形式——不完整归纳和完整归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思虑方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题门路等．重点词：数学归纳法；不完整归纳法；完整归纳法The simple discussion about mathematical induction and using in highschool mathWei FuxiongSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract:The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive ing inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type ofthinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、数学归纳法1.1 归纳法定义大家知道，数学中的很多命题都和正整数 n 有关，这里所说的 n，常常是指随意的一个自然数，所以，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学识题中，每一类问题都有一种特意的方法来解决．数学归纳法能够说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个其余论断归纳出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依靠于各个个别论断的正确性，它能够分为完整归纳法和不完整归纳法两种，完整归纳法只限制于有限个元素，而不完整归纳法得出的结论不必定拥有靠谱性，数学归纳法属于完整归纳法．归纳法的基础是察看与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、办理科学实验资料的一种十分重要而有广泛应用的思想方法．在生活和生产实质中，归纳法也有宽泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民依据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．比如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真谛的典型例证．再比如气象工作者、水文工作者依照累积的历史资料作气象展望，水文预告，用的就是归纳法．这些归纳法却不可以用完整归纳法．数学归纳法是一种特别的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个广泛规律做出论断．固然说数学归纳法合用于有关整数的问题，但是它在好多半学识题中都有重要的作用，在中学数学中，好多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的成效．数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题重点步骤以下：(1)证明当 n 取第一个值n0时结论正确；(2)假定当n＝k ( k N ，k≥n0)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．达成这两个步骤后 ,就能够判定数题对从ｎ开始的全部正整数n 都正确．1.2数学归纳法表现的数学思想从特别到一般“从特别到一般”与“由一般到特别”乃是人类认识客观世界的一个广泛规律，而在人类探究世界神秘的奋斗中出生和发展起来的任何一门学科，都将遇到这一规律的限制．数学自然也不例外，相同要被归入这一规律的模式之中．因为事物的特别性中包含着广泛性，即所谓共性存在于个性之中，而有关于“一般”而言，特别的事物常常显得简单、直观和详细，并为人们所熟知．另一方面，因为“一般”归纳了“特别”，“广泛”比“特别”更能反应事物的实质，因此当我们在办理问题的时候，若能置待解决的问题于更加广泛的情况中，从而经过对一般情况的研究去办理特别情况的思虑方式，不单是可行的，并且是必需的．正因为这样，实践和归纳成了数学家找寻真谛和发现真谛的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前 n 个自然数的立方和公式，二项睁开式和辉三角形等，无一不是察看、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，相同需要察看、实验”．不足为奇，大数学家高斯也曾说过，他的很多定理都是靠归纳法发现的，证明不过一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部察看史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的获得大概包含以下几个阶段：察看、实践→推行→猜想一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰好是论证结论的最正确方法．这与数学大师所说的“先从少量的案例中探究出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法例之一”的看法大概相同．递推思想此中（ 1）是递推的基础，没有它归纳假定就失掉了依照，递推就没有奠定．（2）是递推的依据，有了它无穷次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不行．数学归纳法证题的两个步骤固然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的重点就是做从 k 到 k＋ 1 的转变工作 , 而这类转变工作常常波及到代数、三角、几何等知识 , 有时还要用不一样的方式进行．学生常常感觉很困难 , 苦思冥想都难以达成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常赐教课参照资料顶用数学归纳法证明的各样问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例,商讨数学归纳法在中学数学中的应用．2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧2.1重申两条缺一不行在这里，一定重申一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不行．不要认为，一个命题在 n＝1 的时候，正确；在 n＝2 的时候，正确；在 n＝3 的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当 n＝ 3 的时候正确还不算数，就算当 n＝1000 的时候正确，或许 1 万的时候正确，能否是对全部自然数都建立，还得证了然再说．不如举两个例子：例 1 费马（ Fermat）是 17 世纪法国有名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，2n n＝，，，，作了考证后获得的．因为当2 ＋１必定都是质数，这是他对01234n ＝ 0，1，2，3，4 时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后225＋１＝ 4 294 967 297＝来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然6 700 417×641，从而否认了费马的推断．没想到当 n＝5 这一结论便不建立．以后，有人还证了然当 n＝ 6， 7，8，9 的时候，式子的值也都不是素数．因而可知，数学归纳法的第（ 2）步是至关重要的．例2全部的正整数都相等．这个命题明显是荒唐的，但是当我们丢开“当n＝ 1 的时候，这个命题是正确的”无论，那么能够用数学归纳法来“证明”它．这里，第k 号命题是：“第k－ 1个正整数等于第k 个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，获得k＝k＋1．这就是说第k 个正整数等于第k＋1 个正整数，这不就证了然全部的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n＝ 1 的状况．因而可知，考证初始值对数学归纳法证明问题时是特别重要的．2.2技巧认真用好归纳假定假如说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的重点，那么归纳假定就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n 的随意性，而把证明过程变为为一个“连环套”，使得人们在考证当n＝ｎ建立以后，要再在“n＝k已建立”的假定基础上，证出“当 n＝k＋1 时，命题也建立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因此大大减少了论证中的不确立性，既然这样，运用归纳假定自然极为重要．我们甚至能够说，“如何想方设法地创建条件以利用归纳假定？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题．例 3 在一块平川上站有 n 个人．对每一个人来说，他到其余人的距离均不相问．每人郁有一支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他近来的人．证明，当 n 为奇数时，此中起码有一人身上是干的．证 : n ＝1 时，结论明显建立．设命题对“n＝2k 一 1 建立，要证当 n＝2k 十 1 时命题也建立．设 A 与 B 两人之间的距离在全部的两人间的距离中为最小．取消A，B 两人，则由归纳假定知，在剩下的2k 一 1 个人中间，起码有一人 C 的身上是干的．再把A,B 两人加进去，因为 AC AB，BC AB,所以 A， B 两人都不会用水枪去击C，从而 C 身上仍旧是干的．所以对全部奇数n 命题都建立．在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假定( 依照老例，这叫做“退” ) ．但在退出以后，还应再进；因为我们的目标是解决k 十 1 的情况．既然“退”是为“进”服务的，所以在“退”的时候就应该为“进”作好安排．我们之所以撤出 A 和 B，而不撤出他人，就是为了能方便地将他们再加进去．学会重新看起为了实现归纳过渡，一定利用归纳假定．但是，为了归纳假定，有时需要各样技巧．那么，如何才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“擅长‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失掉重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，即是最开头的几步，往常也就是n＝1，2，3 的情况．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情况议论是最合算也是最靠谱的．事实上，在好多问题中，假如真实把这些最开头的几步看破了，弄清楚了，想认真了，那么解决整个问题的方法也就有了．例 4 设正数数列｛ a ｎ ｝知足关系式 a n 2≤ a ｎ －aｎ＋１ ，证明，对全部正整数 n 有a ｎ ＜１．ｎ证明： n ＝1 的情况明显，而当 n ＝2 时，因为，１2（1－２ 1），a ２ ≤ a １ － a 1 ＝ ４ － 2a１＜2知断言也建立．假定当n＝ｋ的时候，断言建立，即a ＜１．则当＝ｋ＋1的时ｋｋn2１－（ 1２１1 １ ２ k －１ k －１１ ．知候，有，aｋ＋１ ≤ a ｋ － a k＝ 2 －a ｋ）≤ －（ 2 － ）＝ ２ ＜ ２ ＝４ ４ ｋ kk －１ k ＋１１ 断言也建立．所以由数学归纳法原理知对全部正整数n ，都有 a n ＜．ｎ在上边的论证中，“ n ＝2”并未在归纳过渡中发挥作用，所以按理说来是不用考证2 这一步的．但是，它却启迪了我们如何将（a １ － a １）改写成一种便于使用归纳假定的形式，而这类启迪对推行归纳过渡是特别重要的．在起点上下功夫起点状况的重要性其实不不过表此刻为归纳过渡供给启迪， 因此应该注意愿起点状况议论．之所以重申向起点状况议论，不过因为，一般来说起点状况多属详细考证，难度往常不大，所以简单忽视对以后面的归纳过渡的启迪意义．但是有时，我们也会碰到一些问题，在归纳的第一步上就很难，需要特别认真的下一番功夫．这时，常常需要宽阔思路，找寻合理的切入点，有时还需用到一些其余的知识．例 5证明，对全部自然数 n ，都存在自然数 x ｎ 和 y ｎ 使得２ ２ ｎx ｎ ＋ y ｎ ＝ 1993证明：当 n ＝1 时，取 １ ， １ 即可，此因x ＝43y ＝1222 184914419934312假定当 n ＝ｋ时，存在自然数 xk 和yｋ ，使得xk2＝ 1993ｋ，2＋ y k（1993x２21993k 2）（1993 y ）＝．那么明显就有ｋ＋ｋ足见可取xk 2＝1993xk，yk 2＝1993 yk，这就是说只需 n＝ｋ时断言建立，即可推得n＝k+2 断言也建立．但因为我们只证了然n＝ 1 时断言建立，所以联合“ n＝k”“ n＝k＋2”，我们仅证了然 n 为奇数时断言建立．为了得出 n 为偶数时的结论，我们还应证明 n＝2 时断言建立．注意到 432122199322，所以只需令x2＝ 4312 ＝1705 ，y2＝ 2 43222212＝1032 ，那么就有x2＋y2＝ 17051032222＝ 4312＋ 4 432 122＝ 432122 219932可见当 n＝ 2 时断言也建立，于是联合“ n＝ｋ”“n＝ｋ＋ 2”，便知断言对全部偶自然数 n 也建立．综合上述，知对全部自然数n 断言都建立．这个例子告诉我们：为了便于归纳，能够不限制于“ n＝k” “n＝ k＋1”（即一步一跨），而能够因题制宜，采纳大跨度跳跃，但此时应注意相应地增加起点，一般来说，采纳多大跨度，就应该设多少个起点．正确选用起点和过渡我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次往常是由考证n＝n0做起，这叫做“起步”，ｎ叫做“起点”，在往常状况下，起点一般只有一个，第二步则是由“ n＝k”跨到“ n＝k＋1”，即每次跨一步．换句话说，往常是以“跨度” 1 行进，那么这能否是说，这类安排起点和跨度的方式就必定是不可以改变的呢？其实不是的！人们完整能够依据问题的需要，对起点和跨度作灵巧和适合的安排，可是需要注意的是，绝对不可以造成逻辑上的破绽．起点是特别重要的，对起点及起点邻近的一些命题的观察，不单能够考证 n＝ｎ时建立．并且能帮我们发现推行归纳过渡的方法．而选用起点方法好多，需要视详细问题而定，在此就不阐述了．例 6随意n条直均能重合成一条直．个命是荒的，当 n＝ 2 就不可以建立．但假如我忽了一点，而采纳以下的“ 明”，那么就有可能陷于荒而于解脱：当 n＝ 1 ，命然建立．假当 n＝ k ，命已建立．那么当 n＝ k＋ 1 ，能够先此中 k 条直重合一条直，再条直同剩下的一条重合一条直，即知命也可建立．所以随意 n 条直均能重合成一条直．个“ 明”中的上的破绽，就在于在行渡，需要用到“可将随意两条直重合一条直”的断，而一断倒是未加明，并且在事上也是不可以加以明的．由此可，真观察起点邻近的命，并其建立与否，是何等之重要！但是，能否是在每一个的明中，都需要第一起点邻近的一命，其实不是的．终究能否需要以及需要几个，完整取决于命自己的特色，特别是取决于在行渡的需要．取适合的假形式我已知道，在数学法的基本形式中，假是以“假当n＝k ，命建立”的形式出的．其，其实不是假的独一形式．在必需的候，能够将假中的“ n＝ k”改写“ n≤ k”．事上，在好多的明中，人就是么做的，有些人把采纳种假形式的数学法称作第二法．第二数学法在好多的明中我来方便．因为第二数学法在中学教材中并未说起，高考也不作要求，不过在中有所要求，所以在此不例子．若感趣，可参照《漫数学法用技巧》一．3、数学归纳法在中学数学中的应用3.1证明有关自然数的等式例 7明前 n 个自然数的和s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1．2明：1、 s11＝1＝1 1 1，命建立．２2、假s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1，2s1n1＝ 1＋2＋3＋⋯＋ n ＋（ n ＋1）＝n n 1＋（ n ＋1）2n 1 n2＝２n 1n1 1＝２．命 明完 ．例 8明前 n 个自然数的平方和 s 2n ＝ 12 ＋ 22＋⋯n2＝ n n 1 2n 1 ．６明： 1、 s 21２ ＝ 1 1 1 2 1．＝１６2、假 s 2n＝ n n1 2n 1 ，６s n 1＝ n n 1 2n 12 ＋ n 12６＝ n 1 n 11 2 n 1 1 ，６命 明完 ．２２例 9明：前 n 个自然数的立方和 s 3nｎ（ｎ＋１）＝４．121 2明： 1、 s 31 ＝ 131＝．４２ ２2、假 s 3n ＝ ｎ（ｎ＋１），４２２3s 3 n1ｎ（ｎ＋１）＋n＝４1n 1 2 n 1 1 2＝４，命 明完 ．3.2 证明有关自然数的不等式n例 10（ 奴利不等式）用数学 法 明： 1等于 0，n 是大于 1 的自然数．n ， 里且不明： 1、 于 n ＝ 2，因2，故不等式是正确的．2、假 不等式 于n=k 是正确的， 里ｋ是某一个自然数，就是 ，k，由假得，1，从而有1ｋ， 当 n=k+1k11是正确的， 可由不等式两 各乘以 111 k获得，上不等k12k 2，便可式可改写1k1 k，将上边不等式右 舍去正知所求 不等式是正确的．例 11n 大于 1 的自然数，求 ：1 ＋ 1 ＋⋯＋11 ．n 1 n 2 nn 24明： 1、当 n ＝2 ，1121 ．命 建立．2 222 、假 当 n ＝ｋ ，命 建立， 当 n ＝k+1 ，1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1nn 1 n 2 n＝ 1 ＋ 1 ＋⋯1kk 1 k 11 1 k1 2＝（1＋ 1＋⋯＋1 ）＋（1 ＋ 1 －1）k 1k 2k k2k 1 2k 2 k 1 ＝（ 1＋ 1 2 ＋⋯＋ 1 ）＋（1 － 1 ）k 1 k k k2k 1 2k 2由 假 知1 ＋ 1＋⋯＋ 11 ，而 1 － 1，k 1 k 2k k 24 2k 1 2k 2所以1 ＋ 1 ＋⋯1 1 ，k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 24此即 明当 n ＝ k ＋ 1 ，命 也建立，所以 于任何大于 1 的自然数命 都建立．3.3 证明不等式例 12aaL a０ b bL b０．（ n>1）１２ｎ和 １ ２ｎ求证：a 1b 1a 2b2La nb n a 1 b n a 2 b n 1 L a n b 1证明： 1、当 n ＝2 时，因a－ a０ bb０，所以１ ２， １ － ２a 1 a 2b 1 b 2０，即a 1b 1a 2b 2a 1b 2a 2 b1，命题明显建立．当 n ＝ 3 时，由 a1 a 3 b 1 b 3．可知命题也建立．2、假定当 n=k的 时 候 命 题 成 立 ， 则 当 n=k+2 时 ，a a k 2bbk 2０ ，即 a 1 b 1ak 2 b k 2a 1bk 2ak 2b1，可 以推 出，１ １a 1b 1 a 2 b 2 La k 1 bk 1＝ a 1b 1a k 2 bk 2a 2b 2 a 3b 3 La k 1bk 1a 1bk 2a k 2b1a 2bk 1a 3b k La k 1b2故当 n=k+2 时，命题建立，于是关于随意大于1 的自然数 n ，原不等式建立．3.4 在函数迭代中的应用一些比较简单的函数，它的 n 次迭代表达式，能够依据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明．所以，直接求法的实质，就是数学归纳法．其n中，重点是经过不完整归纳法，找出fx的一般表达式．n例 13 f xqx ，求fx．解：由定义，f xqx ．22fx f f xq qxq x，3223f x f fxf q xq x ．一般地，由不完整归纳可猜想，nx nx ．f q事实上，因为假定上式建立，则有，n 1x f f nf xnf q xnq q xn 1q x．n所以，由数学归纳法知，f x例 14 f x x2，求 f nx．解：由定义， f x x2，f 2f f xxf 3f f2x xq n x对全部的自然数n 都建立．f222x22x x，f2223x x，一般地，可猜得，f n2nx x ．假定上式建立，则有f n 1n xx f ff x2n2 n 1．xnx2n由数学归纳法知，f x对全部自然数 n 都建立．3.5在几何中的应用例 15Ａ、一条直被它的n 个点分红几个部分？解：用F1n表示所分部分的个数，然有F1nn 1 ．Ｂ、一个平面被它上边的n 条直分红多少个部分？（里每两条直订交，但每三条直没有交点，即n 条斜交直）解： 1、一条直将平面分红两个部分．2、假我已知道n 条斜交直将平面分红F2n个部分，而考，n＋1 条斜交直的状况．原来的 n 条将平面区分红F2n个部分；第 n＋1 条直 l ，依据假，与其余 n 条直订交于 n 个不一样的点，些交点将直 l 区分 n＋1 个部分（Ａ）．直l 切割平面上原有的n＋1 个部分，所以在原有的基上又增添了F 1n＝n＋1个．所以，F2n 1＝F2n＋F1n＝F2n＋n＋1．我用数 n－ 1， n－ 2，⋯， 2，1 取代等式中的 n，获得：F 2n＝F2n 1＋n，F 2n 1＝F2n 2＋n－1，⋯⋯⋯F 23＝F22＋3，F 22＝F21＋2．将以上等式相加，因F21＝2，我有，F 2n＝F21＋［n＋（n－1）＋⋯＋2］＝1＋［ n＋（ n－1）＋⋯＋ 2＋1］＝1＋n n 12ｎ2+ｎ+２＝２．Ｃ、空 被 n 个平面（ 些平面每三个订交于一点，但每四个没有交点，即n 各斜交平面）区分红多少个部分？解： 1、一个平面将空 分红两个部分．2 、假 我 已 知道空 被n 个斜交平面区分红F 3nn ＋ 1 个斜交平面的情况．原来的 n 个平面将空 区分F3n个部分，而后考个部分， n 个平面ｎ2+ｎ +２与第 n ＋1 个平面订交于 n 条斜交 ，所以将它区分Fn ＝２个部分（2Ｂ）．所以，我 获得以下关系：２ｎ＋ｎ＋２F 3n 1＝F 3n＋F 2n＝F3 n ＋２我 用 n －1，n －2，⋯， 2，1 取代 n ，有：F 3 n ＝ F3 n 1 ＋ n 1 2+ n 1 + ２２F 3n 1＝F3 n 2 ＋n 2 2+ n 2 +２２⋯⋯ ⋯２F 3 ＝F2 ＋ ２ +２ +２２33２F 2 ＝ F1１＋１＋２＋２33将 些等式相加，得：F 3 n ＝ F3 1 ＋ 1２２ ２］＋2 ［（ｎ－１）＋（ｎ－２） ＋⋯＋１1［（ n －1）＋（ n － 2）＋⋯＋ 1］＋12ｎ22n n 1 2n 1＋n n 1 ＋n －1＝2＋４12n 1n2n 6＝６．3.6 在摆列、组合中的应用因为数学 法能够解决有关自然数的 ， 而摆列 合与自然数亲密有关， 所以，在摆列 合的多 ，都能够用数学 法来 明．比方教材中出 的摆列数公式、合数公式、自然数 n 的 乘公式，二 式定理等重要公式，都能用数学 法加以 明．下边我 一个 的例子．例 16 明： n 个元素的全摆列的种数能够按以下公式求得：Pn ＝ 1 2 3 ⋯ nn ! （ n 是自然数）．明： 1、 于 n ＝1，上式 然是正确的， P 111! ．2、假 于 n ＝ k ，它是正确的，即 Pkk ! ．当 n=k+1 ，假定我 已 成了 k 个元素的全部可能的全摆列， 它 的种数是 Pk 种，在每一种 k 个元素的全摆列中，我 加入第 k ＋1 个元素， 第 k ＋ 1 个元素的放法有k ＋ 1 种 ， 由 分 步数 原 理 ， 可 得 ： k ＋ 1 个 元 素 的 全 排 列 数 Pk 1＝Pk k 1k !k 1k1 ! ．从而，当 n ＝ｋ＋ 1 上式也正确．所以， 全部自然数 n 它都正确，命 明完 ．3.7 在数列中的应用数列是中学数学的一个重要容，此中等差数列、等比数列尤 重要，它与高中数学中的好多知 都有 系，作 解决整数 的数学 法，同 能够用来解决一些有关数列的知 ．如等差数列、等比数列的通 公式以及前n 和公式的 明都需要用数学法，下边我 看几个例子．例 17明：等比数列 ｛ a n ｝的通 公式 a n ＝ a 1qn 1．（此中 a1 是数列的首 ，q 公比）明： 1、当 n ＝1 ，等式建立，因 a1 ＝a 1q＝ a1 ．2、假 ， 于 n ＝ k 它能建立： ak k1a 1 q．当 n=k+1 ，由等比数列的定 可得，k 1ak 1= q ak ＝ｑ a 1q＝ a 1 q k．从而，通项公式对全部自然数n 都建立．证明完成．例 18试证明：等差数列的前 n 项和由以下公式表示：n n 1 dSn ＝na1 ＋．2证明： 1、当 n ＝1 时，公式是正确的， S 1 ＝ a1 ．2、假定当 n ＝ｋ时公式正确，即k k 1 dSk ＝ka1 ＋2，当 n ＝k+1 时，S k 1 ＝ S k ＋ak 1kak k1 d＝ 1 ＋a＋ kd＋ １2k1 a 1 k k 1 d＝ ＋．2所以，对全部自然数 n 的值，前 n 项和公式都是建立的．3.8有关整除的问题例 19求证：关于整数 n0 下边的式子能被 133 整除；n212 2 n111证明： 1、当 n ＝0 时，上式等于 133，明显能被 133 整除．2、假定当 n ＝k 时， k 2 2k 11112能被 133 整除．当 n ＝k+1 时，我们有，k1 22 k 1 1111211k21＋122 k 11＝ 1111k22 k1144k22 k 12 k 1＝ 111111 12133 12＝ 11 11 k 2122 k 1133 122 k 1依据我们所作的假定，第一个加数能被133 整除，第二个加数里面含有因数133，所以，他们的和，也就是原表达式在n＝ k+1 的时候也能被 133 整除．结论证明完成．因为整除问题在中学数学中不是常有题型，只有在比赛中有所表现，所以我们不在列举其余例子，其实，这一类问题的解题模式都可拜见上例．感兴趣的能够参照比赛方面的书本，在里面能够找到好多这方面的问题．参照文件：[1] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．理工大学，2008.[2]华罗庚著．数学归纳法．教育，1964．[3](联 ) 索明斯基著．数学归纳法．中国青年，1954.[4]淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学，2001.[5]L· J·格拉维娜 ,I · M·雅格咯姆著．莫斯科米尔，1979.[6]吴志翔著．证明不等式．人民，1982.[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代. 人民教育， 1990.[8](联 ) 伊·亚·杰朴著 . 数学归纳法 . 人民教育， 1958.致：经过半年的繁忙和工作，本次毕业设计已经靠近结尾，作为一个本科生的毕业设计，因为经验的贫乏，不免有很多考虑不周到的地方，假如没有导师的敦促指导，以及一同工作的同学们的支持，想要达成这个设计是难以想象的．在这里第一要感我的导师天然老师．老师平常里工作众多，但在我做毕业设计的每个阶段，从出门实习到查阅资料，题目确实定和改正，草稿中期检查，后期详尽设计，最后定稿等整个过程中都赐予了我尽心的指导．我的思路较为复杂烦杂，但是老师仍旧仔细地纠正论文中的错误．除了敬重老师的专业水平外，他的治学谨慎和科学研究的精神也是我永久学习的楷模，并将踊跃影响我此后的学习和工作．其次要感和我一同作毕业设计的同组同学，他们在本次设计中勤劳工作、战胜困难的精神感动了我，也给了我设计好毕业论文的动力．假如没有他们的努力工作，此次论文设计的达成将变得特别困难．最后还要感大学四年来全部的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感全部的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓舞．此次毕业论文设计才会顺利达成．。
数学归纳法在高中数学中的应用
数学归纳法在高中数学中的应用
刘天炀
【期刊名称】《低碳世界》
【年(卷),期】2017(000)035
【摘要】数学归纳法能够将复杂、抽象的数学证明题进行简化,在高中数学的各类题型中均有所应用.对此,本文首先对数学归纳法的概念以及基本形式进行了介绍,然后对其在高中数学题目中的应用方式进行分析,并对学习体验进行探究.
【总页数】2页(P352-353)
【作者】刘天炀
【作者单位】湖北省襄阳市第五中学,湖北襄阳441057
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.数学归纳法在高中数学中的应用研究
2.数学归纳法在高中数学教学中的应用研究
3.数学归纳法在高中数学中的应用
4.数学归纳法在高中数学证明题中的应用技巧初探
5.数学归纳法在高中数学解题中的应用
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
高中数学-数学归纳法-教材分析
数学归纳法教材分析
本节内容是第三册(选修)第二章极限的第一节.数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:
1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.
2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.
3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.
本节课在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
中学数学第3讲 数学归纳法及其应用
第3讲数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.∴n的第一个取值n0＝3.答案 B2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n ＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么()A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成立C.n≥5，n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案 C3.利用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了()A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项解析左边增加的项为12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1共2k项，故选D.答案 D4.对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k<k＋1成立，当n＝k＋1时，（k＋1）2＋k＋1＝k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n ＝1验得不正确 C.归纳假设不正确D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法. 答案 D5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k的基础上加上( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案 D 二、填空题6.设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________. 解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n .∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .答案12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n7.数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.解析 a 1＝2，a 2＝23×2＋1＝27，a 3＝273×27＋1＝213，a 4＝2133×213＋1＝219.由此，猜想a n 是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴a n ＝26n －5. 答案26n －58.凸n 多边形有f (n )条对角线.则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)与f (n )的递推关系式为________.解析 f (n ＋1)＝f (n )＋(n －2)＋1＝f (n )＋n －1. 答案 f (n ＋1)＝f (n )＋n －1 三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k . 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立.由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立. 10.数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *).(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.11.(2017·昆明诊断)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，观察上述结果，可推测出一般结论( ) A.f (2n )＞2n ＋12B.f (n 2)≥n ＋22 C.f (2n)≥n ＋22D.以上都不对解析 因为f (22)＞42，f (23)＞52，f (24)＞62，f (25)＞72，所以当n ≥1时，有f (2n )≥n ＋22. 答案 C12.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是( ) A.若f (1)<1成立，则f (10)<100成立 B.若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C.若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D.若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析 选项A ，B 的答案与题设中不等号方向不同，故A ，B 错；选项C 中，应该是k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立；对于选项D ，满足数学归纳法原理，该命题成立. 答案 D13.设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *)解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2. 答案 4 n 2－n ＋214.数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *).(1)证明：{x n }是递减数列的充要条件是c ＜0； (2)若0＜c ≤14，证明数列{x n }是递增数列.证明 (1)充分性：若c ＜0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c ＜x n ，∴数列{x n }是递减数列.必要性：若{x n }是递减数列，则x 2＜x 1，且x 1＝0. 又x 2＝－x 21＋x 1＋c ＝c ，∴c ＜0. 故{x n }是递减数列的充要条件是c ＜0. (2)若0＜c ≤14，要证{x n }是递增数列. 即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c ＞0， 即证x n ＜c 对任意n ≥1成立. 下面用数学归纳法证明：当0＜c ≤14时，x n ＜c 对任意n ≥1成立. ①当n ＝1时，x 1＝0＜c ≤12，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即x k ＜c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )＜f (c )＝c，＜c成立.∴当n＝k＋1时，x k＋1由①，②知，x n＜c对任意n≥1，n∈N*成立. 因此，x n＝x n－x2n＋c＞x n，即{x n}是递增数列.＋1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ａ 可 画出对 角 线 的 数 量为 ｋ一２条 ，而且 凸 ｋ边 形 的边 Ａ。Ａ 变为一条对 角线．这样总共增加 ｋ一１条 对角线．故得 出
对角线实际条数 ：
，（ｋ＋１）＝Ｉ厂（ｋ）＋（ｋ＋１）
１
＝ ÷ （ｋ一３）＋（ｋ一１） 二
１
·
＝ ÷ （ｋ பைடு நூலகம்ｋ一２）
二
１
＝ ÷ （ｋ＋１）（ｋ一２） 二
１
： ÷ （ｋ＋１）［（ｋ＋１）一３］． 二
说 明 ，当 ｎ＝矗＋１的时候 ，命题 同样 是成立的． 三 、结 语
总 而 言 之 ，数 学 归 纳 法 是 中 学 数 学 教 学 中 最 为 重 要 的
证 明方法之一 ，同时也是特殊性 论证方 法 ，在 多个 教学 环节
得到 了广泛 应用 ，在 中学数学 教学 期 间怎样 有效 运 用该 方
【关键词 】数学 归纳法 ；中学数学教学 ；应用 ；研 究
实质 上 ，数学教学不仅仅 是抽象性 问题 ，而 且要熟 练掌 握实践操作 方法 ，将教学重点 放置 到教学过程 研究 方面 ，进 一 步 突出学生的主动性与积极性 ．在 中学数学 教学 期间 ，应 该学会让学 生主动 收集 资料 ，并 就 已有 数 据实施 科 学化 统 计 、分类 以及归 纳 ，争取 获得正确 的分 析结论 ．所 以说 ，数 学归纳法是 中学数学教学过程 中至关 重要 的学习方法．
一 、 数学归纳法 的基 本概 述 （一 ）数学归纳法 的概 念 从数 学专业角度来 看 ，我 们可 以 给数 学归 纳法 下 一个 定义 ，以此证 明一个命 题在 相应 的 自然数 范 围之 内成 立 的 证 明方法．此外 ，数 学归纳 法不 仅可 以应 用 于 自然数 ，还能 够对部分 数学定理进行有效证 明 ． （二 ）数学 归纳 法的步骤 数学归纳法应用步骤可 以分为两 步 ：第 一步 ，常数 背景 下证 明命 题成立．实质上 ，常数 背景下 的命题 成立 ，换言 之 ， 是特殊 背景下 的命 题 成立 ，可 以看作 是命 题证 明期 间 最基 础 的步骤 ，实 际应 用过 程 中，我 们将 １设 置 为命 题起 点 ；第 二 步 ，对任 意常数 背景下的命题成 立进行证 明 ，该 环节 的证 明成 功与否与命 题的 正确性 息 息相关．将 其应 用 到数 学教 学 中 ，我们可 以将 ｋ表示一般情况．当 ｎ＝ｋ的时候命题是成 立 的 ，然后推导 ｎ＝ｋ＋１的时候 ，最 终命 题 的成 立 与否．进 一 步证 实结论所具 有 的普遍 性 ，同时该步 也是 命题 证 明最 为 关键 的 步 骤 Ｊ． 二、数学归 纳法在 中学数学教学 中的具体应 用 （一 ）数学 归纳法在恒等式证明 中的应 用 在 采用数学归 纳法进 行恒 等式 证 明 的时候 ，整个 过程 只需 要做到等式 的左边 以及右边两侧的数值相等就行 ． 例如 ，运用数 学归纳法来证 明 ：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ … ＋（３ｎ一２）＝（２ｎ一１） （ｎ∈Ｎ ）． 首先证 明：（１）当 ｎ＝１的时候 ， 左边 ＝１＝（２ ｘｌ一１） ：右边 ，这样等式成立． （２）然后再假设 ｎ：ｋ的时候 ，等式 同样成 立 ，也 就是说 ｋ＋（ｋ＋Ｉ）＋（ｋ＋２）＋···＋（３ｋ一２）：（２ｋ一１） ， 则 当 ｎ＝ｋ＋１的 时候 ，有 （ ＋１）＋（ｋ＋２）＋… ＋（３ｋ一２）＋（３ 一１）＋３ｋ＋（３ ＋１） ＝ ［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋… ＋（３ ＋２）］＋８
数 学 学 习 与 研 究 ２０１８．８
见 的 应 用 ，一 些 与 正 整 数 具 有 密 切 关 系 的 几 何 问 题 是 完 全
可以借 助数学归纳法进行证 明的 ，值 得注 意的是 ，证 明前 必
须 要寻找规律 ，最 终获得公 式 ，最后再 证 明结论．例 如 ，凸 ｎ
１
边 形对角线条数 ，（ｎ）＝ １ ｎ（ｎ一３）（ｎ≥３）．
二
证明 ：（１）当 ｎ＝３的时候 ３）＝０，由于三角形无 对角
线 ，故原命题成立．
（２）做 出假设 ：当 ＝ｋ（ｎ≥３）的时候 命 题 是成 立 的 ，
１
八ｋ）＝÷ （ｋ一３），则当 ｎ＝ｋ＋ｌ的时候 ，凸 ｋ边形变为凸 二
ｋ＋１边形 ，然后 由顶 点 Ａ 与 ｋ一２个顶 点 Ａ ，Ａ，，Ａ ，… ，
法 ，是不断提升教学质量水平 的有效途径．
【参考文献 】 ［１］陈绍东．数 学 归纳法在 中学数 学教 学 中的应用研 究 ［Ｊ］．中国证券 期货 ，２０１２（５）：２６５—２６６． ［２］刘芳．数学归纳法在 中学数 学中的应用与研究 ［Ｊ］． 才 智 ，２０１７（１４）：６６． ［３］李玉军．浅谈数学 归纳法 的文化 之美［Ｊ］．吕梁 学院 学 报 ，２０１３（２）：９１—９３．
＝ （２ｋ一１） ＋８岛
： ４ 。＋４Ｊ］｝＋１
＝ （２ｋ＋１）
＝ ［２（ｋ＋１）一１
也 就是说若 ｎ＝ｋ＋ｌ，则等 式成 立 ，所 以对于任 意一 个
正整数 ｎ，其等式都是可 以成 立的．
（二 ）数学 归纳 法在几何问题证明中的应 用 现阶段 ，数学 归纳 法证 明几何 问题 相 对来 说是 比较 常
●
解 题 技 巧 与 方 法
。
．
嘞
● ．－Ｉ ●
■
数 学慵 滚垂 中学绺 学觳学咿渤庭 撩 窕
◎张 岩 （济宁市第一 中学 ，山东 济宁 ２７２０００）
【摘要 １现 阶段 ，数学 归纳法 属于 中学数 学教 学 期间 的 常用论证方法 ，尽管具备一定局 限性 ，仅 仅适用 于正整 数相 关数学命题 ，然而它 同样是 中学数学教 学 中不 可缺 少 的．所 以说 ，数 学归纳法不 仅是 高考 数 学考 点，而且是 教 学难 点． 那么 ，我们 应该 如何 更好 地理 解数 学 归纳 法 呢？本 文 就数 学归纳法在 中学数 学教 学 中的应用展开详细论述．