高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积优化训练北师大版必修4课件

2.5 从力做的功到向量的数量积

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.下列命题中正确的个数有（ ）

①a ²0=0 ②0²a=0 ③0-= ④|a ²b |=|a ||b | ⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ²b ≠0 ⑥a ²b =0，则a 与b 中至少有一个为0 ⑦a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2

A.7

B.5

C.4

D.2

解析：7个命题中只有③⑦正确.

对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0²a =0；

对于②,应有0²a =0；对于④,由数量积定义，有|a ²b |=|a ||b |²|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a ²b |=|a ||b |；

对于⑤,若非零向量a 、b 垂直，有a ²b =0；

对于⑥,由a ²b =0可知a ⊥b ，可以都非零.

答案：D

2.已知|a |=3，|b |=6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角为60°时，分别求a ²b . 解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°，

∴a ²b =|a ||b |cos0°=3³6³1=18；

若a 与b 反向，则它们的夹角θ=180°，

∴a ²b =|a ||b |cos180°=3³6³（-1）=-18.

②当a ⊥b 时，它们的夹角θ=90°，

∴a ²b =0.

③当a 与b 的夹角是60°时，有

a ²

b =|a ||b |cos60°=3³6³2

1=9. 3.已知|a |=10，|b |=12，a 与b 的夹角为120°，求a ²b .

解：由定义，a ²b =|a ||b |cos θ=10³12³cos120°=-60.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.给出下列命题：

①在△ABC 中，若²＜0，则△ABC 是锐角三角形；

②在△ABC 中，若²＞0，则△ABC 是钝角三角形；

③△ABC 是直角三角形AB ²BC =0；

④△ABC 是斜三角形一定有AB ²BC ≠0.

其中，正确命题的序号是____________________.

解析：①∵AB ²BC <0，∴BA ²BC =-AB ²BC >0.∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题. ②∵²>0，∴²=-²<0.∠A 是钝角，因而△ABC 是钝角三角形.故命题②是真命题.

③△ABC 是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而AB ²BC =0仅能保证∠B 是直角.故命题③是假命题.

④一方面，当△ABC 是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB ²BC ≠0.故命题④是真命题.

答案：②④

2.若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3,|b |=1,|c |=4，则a ²b +b ²c +a ²c =____________. 解法一：∵a +b +c =0,

∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ²b +2b ²c +2a ²c =0.

∴2(a ²b +b ²c +a ²c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26.∴a ²b +b ²c +a ²c =

-13.

解法二：根据已知条件可知|c |=|a |+|b |,c =-a -b ，所以a 与b 同向，c 与a +b 反向.所以有a ²b +b ²c +a ²c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.

答案：-13

3.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.

解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2.

又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ²b +|b |2,∴a ²b =

21|a |2 . 而|a +b |2=|a |2+2a ²b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.

设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(2

2=+

=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.

解法二：设向量a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2),

∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.

由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=

21(x 12+y 12)，即a ²b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2³2

1(x 12+y 12)=3(x 12+y 12)，得|a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则

cos θ=233)(21)(||||)(21

2121212

21212121=+++++=++y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.

解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.

∵|a |=|b |，即||=||，

∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OD =a +b ，BA =a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即