4.2 平面向量基本定理及坐标运算(课时练习)-2017届高三数学(理)一轮复习(解析版)
高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标运算课件(含高考真题)文 新人教版
)
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a+b=(1,-m)+(m2,m)=(m2+1,0).其横坐标恒大于零,纵坐标等于零,故向
量 a+b 所在的直线可能为 x 轴.
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A
解析
答案
答案
(jiě xī) (dá àn)
解析
第十页，共32页。
梳理
(shūlǐ)自
测
4.(2013 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为
1
2
A.k=-2
B.k=
C.k=1
D.k=-1
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若点 A,B,C 不能构成三角形,则向量, 共线.
∵ = − =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), = −
=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
C
∴1×(k+1)-2k=0,解得
k=1.
ǎo diǎn)一
注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a==(x,y).
当平面向量平行移动到1 1 时,向量不变即1 1 = =(x,y),
但1 1 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.
第五页，共32页。
梳理(shūlǐ)
自测
6
3.平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
A.5
B.10
32
C.
5
9
)
D.15
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∵a∥b,∴4y-40=0,得 y=10.
关闭
B
解析
解析
(jiě
第九页，共32页。
答案
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
高考数学一轮复习 4.2平面向量基本定理及向量的坐标运算课件 文 湘教版
3
3
3
3
【答案】A
ppt精选
7
4．下列各组向量：
①e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)； ②e1＝(3，5)，e2＝(6，10)；
③e1＝(2，－3)，e2＝
1，－3 24
.
其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基
底的是________(填序号)．
【解析】 ②中 e2＝2e1，③中 e1＝4e2，故②，③ 中 e1，e2 共线，不能作为表示它们所在平面内所有向 量的基底．
ppt精选
11
【解析】 (1) 由于A→B＝a，B→C＝b，
则A→E＝a＋2b，D→C＝1a＋b.
3
3
A→P＝λA→E＝λ
a＋2b 3
，D→P＝μD→C＝μ
1a＋b 3
，
A→P＝A→D＋D→P＝2A→B＋D→P， 3
即
2a＋μ
1a＋b 3
＝λ
a＋2b 3
.
3
λ＝2＋1μ，
m≠54. 【答案】 m≠5 4
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9
平面向量的基本定理 1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意 一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同. 2.对于两个向量a,b,将它们用同一组基底表示，我们可通过分析 这两个表示式的关系，来反映a与b的关系. 3.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.
4.2 平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.两个向量的夹角 定义
已知两个 非零 向 量 a,b,作OA =a， OB =b ， 则 ∠ AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角（如图）
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.2 平面向量基本定理
§4.2平面向量基本定理及坐标表示Ａ组基础题组1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1B.0C.1D.23.(2016超级中学原创预测卷九,5,5分)已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=3,则a·b的最小值为( )A.0B.1C.D.24.(2015福州质检)设向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )6.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面积为2,M,N分别是AD,BC的中点,点P为线段MN上的动点,则·+的最小值是( )A.2B.C.1D.27.(2015浙江五校二联,4,5分)已知A、B、C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,实数x满足关系式x2+2x+=0,则下列结论中正确的有( )①-·≥0;②-·<0;③x的值有且只有一个;④x的值有两个;⑤点B是线段AC的中点.A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2015宁波高考模拟文,13,4分)已知点A(4,0),B(0,3),OC⊥AB于点C,O为坐标原点,则·= .9.(2013课标全国Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .10.(2016超级中学原创预测卷十文,10,6分)已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=-1,则|c|= ,|a-2b+3c|= .11.(2015上海文,13)已知平面向量a、b、c满足a⊥b,且{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},则|a+b+c|的最大值是.12.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.13.(2016杭州七校期中,18,14分)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且DM=1,DN=2,∠MDN=.(1)试用向量,表示向量,;(2)求||,||;(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若=x+y,求x,y的值.B组提升题组1.(2015浙江宁波二中阶段检测)已知a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈,若a∥b,则tan=( )A. B.- C. D.-2.(2015浙江杭州西湖高级中学期中)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=( )A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)3.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)4.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+25.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.96.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.217.(2016领航高考冲刺卷四文,8,5分)如图,Rt△ACB的斜边为AB,△BCD是正三角形,BC=2,AB⊥BD,点P在△BCD内部(含边界)运动,记E为AB的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )A.[1,4]B.(-∞,1]C.[4,+∞)D.[0,4]8.(2016超级中学原创预测卷八,12,4分)已知在直角三角形ABC中,A=90°,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,则·的取值范围是.9.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.10.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.11.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .12.(2015金华十校高三模拟文,15,4分)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是△ABC的内心,若=p+q,则的值为.13.(2015温州一模,15,4分)设||=||=2,∠AOB=60°,=λ+μ,且λ+μ=2,则在上的投影的取值范围是.14.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.Ａ组基础题组1.A 根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.3.A 由题意可设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2).由a·e=1,得x1=1,由b·e=2,得x2=2.∵|a-b|=3,∴|a-b|2=9,即(1-2)2+(y1-y2)2=9,则y2=y1±2,而a·b=2+y1y2=±2y1+2=(y1±)2≥0,故所求最小值为0.4.D 取λ=3,μ=2,则=3+2,根据平行四边形法则作出点C,结合各选项,知选D.5.B如图,建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(0,0),C(4,0),I(1,1),则=(1,-2),=(0,-3),=(4,-3),因为=x+y,所以解得所以x+y=,故选B.6.B 分别以直线AB,AD为x,y轴建立直角坐标系,设B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m>0,n>0),则mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).·+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2≥n2+m2,而n2+m2≥mn=当且仅当n=m时,“=”成立,故当x=,且n=m,即当m=,n=,x=时,·+取最小值.7.C 因为x2+2x+=0,所以=-x2-2x,由A,B,C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,得-x2-2x=1,解得x=-1,故③正确;此时-2+=0,得=(+),所以点B是线段AC的中点,故⑤正确;-·=(+)2-·=(-)2≥0,所以①正确,故选C.8.答案解析易知OA=4,OB=3,AB=5,则OC==,又cos<,>=,故·=4××=.9.答案 2解析解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),∴=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.10.答案;解析不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则c·a=x=-1,c·b=y=-1,所以c=(-1,-1),|c|=.所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|==.11.答案3+解析因为a⊥b,{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},所以可设a=(1,0),b=(0,2),c=(3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π),所以a+b+c=(1+3cosθ,2+3sinθ),所以|a+b+c|2=(1+3cosθ)2+(2+3sinθ)2=14+6sin(θ+φ),其中sinφ==,所以当sin(θ+φ)=1时,|a+b+c|取得最大值,最大值为=3+.12.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sinx-cosx=0.即sinx=cosx,又x∈,所以tanx==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sinx-cosx=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.13.解析(1)=-=-,=-=-.(2)由(1)知=-,=-,所以||==,||==,所以||=||=.(3)由重心性质知:++=0,因为=x+y,所以0=x+y-=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y),所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=.B组提升题组1.B ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2),∴5sin2α+2sinα-3=0,∴sinα=或sinα=-1,∵α∈,∴sinα=,∴tanα=,∴tan==-.故选B.2.B ∵=2,∴=3=3(+).∵Q是AC的中点,∴=2,又=+,∴=3[+2(+)]=(-6,21).3.B 设a=k1e1+k2e2,A项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.B项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴解之得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D项同A项,无解.4.C 建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,又a与b是单位向量,∴可设=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y).∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1,∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.而|c|=,∴|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=+1,故选C.5.B 因为点A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆x2+y2=1的直径,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x1,-y1).又P(2,0),所以=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),=(-x1-2,-y1),所以++=(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以|++|===,又-1≤x2≤1,所以|++|的最大值为=7.故选B.6.A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13当且仅当t=时,取“=”,故·的最大值为13,故选A.7.A 如图,以B为坐标原点,AB,BD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),D(0,2),C(-,1),E,设P(x,y),则=,=,=,∵=λ+μ,∴=λ+μ,即∴λ+μ=x+y+1.令z=x+y+1,结合图形可知,当直线z=x+y+1与BC重合时,z min=1,当直线z=x+y+1过点D(0,2)时,z max=4,∴1≤z≤4.8.答案解析如图,以A为原点,AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,),M,直线BC的方程为x+y-=0,设P(x,y),由于点P在△ABC内部或边界上运动,∴又=,=(x-1,y),∴·=x+y-,根据线性规划的知识知,当x=y=0时,(·)min=-,当P(x, y)在BC边上时,(·)max=0,∴·∈.9.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得m a+n b=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得从而m-n=-3.10.答案22解析·=(+)·(+)=·=-+·=25-×64-·=13-·=2,故·=22.11.答案 4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb 可得解得所以=4.12.答案解析易求得△ABC内切圆的半径r=,建立如图所示的直角坐标系,则O,A,C,B,所以=,AB=,=(3,0),所以=p+q(3,0).则解得所以=.13.答案(-1,2]解析=·(2)+·(2).作=2,=2,则有点P在直线A1B1上,结合图形可知,,的夹角θ的取值范围是,因此在上的投影||cosθ=2cosθ的取值范围是(-1,2].14.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.。
2017版高考数学(山东专用理科)一轮复习习题：第五章 第2讲平面向量基本定理及坐标表示 含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。
已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量错误!同方向的单位向量为(）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析∵错误!＝错误!－错误!＝（4，－1）－（1，3）＝(3，－4），∴与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!。
答案 A2.在△ABC中，点P在BC上，且错误!＝2错误!，点Q是AC的中点,若错误!＝(4，3)，错误!＝(1,5)，则错误!等于(）A.（－2，7）B。
(－6，21）C。
(2，－7) D.（6，－21)解析错误!＝错误!－错误!＝（－3,2)，∵Q是AC的中点，∴错误!＝2错误!＝(－6，4)，错误!＝错误!＋错误!＝（－2，7），∵错误!＝2错误!，∴错误!＝3错误!＝(－6,21).答案 B3。
已知向量a＝（1,2）,b＝（1，0），c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb）∥c，则λ等于()A.14 B.错误! C.1 D。
2解析∵a＋λb＝（1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴错误!＝错误!，∴λ＝12，故选B。
答案 B4.（2016·青岛质量检测）已知向量a＝(－1,2)，b＝（3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(）A.充分必要条件B。
充分不必要条件C.必要不充分条件D。
既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2，2＋m),由a∥（a＋b），得－1×(2＋m）＝2×2,所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b）”的充要条件，故选A.答案 A5。
（2016·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且错误!＝2错误!，则向量错误!＝(）A。
错误!错误!＋错误!错误!B。
错误!错误!＋错误!错误!C。
16错误!＋错误!错误! D.错误!错误!＋错误!错误!解析如图，∵错误!＝2错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!。
高考数学一轮复习4.2平面向量的基本定理及坐标运算课时跟踪训练文
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课时跟踪训练 文一、选择题1．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝( ) A ．3 B ．0 C ．5 D ．－5解析：由已知得：a －c ＝(3－k ，－6)， ∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5. 答案：C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b (λ∈R )与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ的值为( )A ．－2B ．2C ．2或－2D ．1解析：λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，则λ＋2－4＝2λ＋3－7，得λ＝2.故选B.答案：B3．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，则“a ＝(4,2)”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝(4,2)时，a ∥b ；当a ∥b 时，a ＝(4,2)或a ＝(－4，－2)．故“a ＝(4,2)”是“a ∥b ”成立的充分非必要条件．答案：C4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1解析：∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.答案：B5．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在线段AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D 无数多个解析：设P (x ，y )，由题得AB →＝2AP →，而AB →＝(2,2)，AP →＝(x －2，y )，故(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，所以P 的坐标为(3,1)．故选A.答案：A6．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )，代入选项可得P ∩Q ＝{(1,1)}，故选A. 答案：A 二、填空题7．已知平面内有A (－2,1)，B (1,4)，使AC →＝12CB →成立的点C 坐标为__________．解析：设C (x ，y )，由AC →＝12CB →得(x ＋2，y －1)＝12(1－x,4－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝12－x ，y －1＝12－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故C (－1,2)．答案：(－1,2)8．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝__________.解析：∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝60°. 答案：60°9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴a －1－b －1＝12.∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b＝2a ＋b a＋4a ＋2b b＝4＋b a＋4a b≥4＋2b a ·4ab＝8. 当且仅当b a ＝4a b 时取等号．∴1a ＋2b的最小值是8. 答案：8 三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)且OP →＝OA →＋tAB →. (1)求点P 在第二象限时，实数t 的取值范围；(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，请说明理由． 解：∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)．(1)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0且(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.由⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2得此方程组无解，∴四边形OABP 不可能为平行四边形．12．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.。
高三数学一轮复习课时提能演练 4.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理 新课标
202X 版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 平面向量的基本定理及向量坐标运算45分钟 100分一、选择题每小题6分，共36分满足＝＋，∈R，则“＋＝1”是“点3a 3a 0”2MA 4MA ，n ，恒有fm a ＋n b ＝mf a ＋nf b 成立；2设a ＝1,1，b ＝1,0，求向量f a 及f b 的坐标答案解析 1 【解析】选C 根据平面向量基本定理知：＝＋，∈R 且＋＝1a ＋n b 利用向量相等列出关于m ，n 的方程组也可用验证法，把选项逐一代入验证【解析】选B 方法一：设c ＝m a ＋n b ，则4,2＝m －n ，m ＋n∴错误!错误!，∴c ＝3a －b方法二：对于A ，3a ＋b ＝31,1＋－1,1＝2,4≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝4,2＝c ，故B 正确3 【解析】选B 如图，依题意，得＝＝－＝1,5－4,3＝－3,2，∴＝＋＝1,5＋－3,2＝－2,7，∴＝3＝－6,214【解析】∥b ，所以1－co θ1＋in θ－错误!＝0，即in θ－co θ＝in θco θ－错误!，令in θco θ＝得1－2＝2－＋错误!，即42＋4－3＝0，解得＝错误!或＝－错误!由in θ·co θ＝错误!得in2θ＝1，又θ为锐角，故θ＝45°；由in θ·co θ＝－错误!得in2θ＝－3，此时θ无解5 【解析】选B ·>0·<0B 为钝角，B 为钝角△ABC 为钝角三角形，而△ABC 为钝角三角形A 或B 或C 为钝角DB 为钝角，故选B6【解析】选B 方法一：取特殊值，令A 10,0，A 20,1，A 31,1，A 41,0，则满足＋2MA ＋＋4MA ＝0的条件的点有且仅有1个，即为正方形A 1A 2A 3A 4的中心，故选B方法二：设M ，，A i ＝i ，i i ＝1,2,3,4，则＝ i －，i －由4i i 1MA=∑＝0，得错误!，∴错误!，∴点M 只能有一个，故选B二、填空题每小题6分，共18分7【解题指南】由a ＝λb λ∈R 可知向量a 与b 是共线向量，故只需考虑同向或反向【解析】∵a ＝λb λ∈R ，∴a 与b 是共线向量，当a 与b 同向时|a －b |＝|b |－|a |＝2－1＝1；当a 与b 反向时，|a －b |＝|a |＋|b |＝2＋1＝3答案：1或38【解析】∵＝2,2－1,1＝1,1，＝1,0，∴－t ＝1,1－t1, 0＝1－t,1，∴|－t|＝错误!≤错误!，∴t －12＋1≤5，∴－1≤t ≤3答案：[－1,3]9【解析】由题意知＝＋＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＋＝错误!－错误!－错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!a ＋错误!b答案：－错误!a＋错误!b10【解析】1若点A，B，C不能构成三角形，则这三点共线由＝3，－4，＝6，－3，＝5－，－3－得＝3,1，＝2－,1－∴31－＝2－，∴，满足的条件为－3＋1＝02＝－－1，－，由＝2得2－,1－＝2－－1，－，∴错误!，解得错误!11【解题指南】1利用向量运算得出a＋n b＝ma1＋nb1，ma2＋nb2，所以fm a＋n b＝ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1，又mfa＋nfb＝ma2,2a2－a1＋nb2,2b2－b1＝ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1，所以fm a＋n b＝mf a＋nf b2f a＝1,2×1－1＝1,1，f b＝0，－1。
浙江新高考数学理一轮复习限时集训：4.2平面向量基本定理及坐标表示(含答案详析)
限时集训(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·广东高考)若向量BA ＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)2．(2013·杭州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与a －b 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b4．(2013·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)5．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2CB ，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45D ．536．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C．3 D．47．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1，－2)} B．{(－13，－23)}C．{(－2,1)} D．{(－23，－13)}8．(2013·成都模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(3b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于()A.36 B.34C.33 D.32二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.10．(2013·盐城模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD＝________.11．在△ABC中，CA＝a，CB＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM 交于点P，则AP＝________(用a，b表示)．12．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.13．如图所示，在△ABC中，AN＝13NC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋211AC，则实数m的值为________．14．(2013·杭州模拟)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO 的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OC＝m OA＋n OB，则m＋n的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．16．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP＝OA＋t AB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．17．若平面向量a、b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，求a的坐标．答案1．A 2.D 3.A 4.D 5.A 6.C7.B8.C9．解析：AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．解析：由题意得BD ＝AD －AB ＝BC －AB ＝(AC －AB )－AB ＝AC －2AB ＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 11．解析：如图所示，AP ＝AC ＋CP＝－CA ＋23CN＝－CA ＋23×12(CA ＋CB )＝－CA ＋13CA ＋13CB ＝－23CA ＋13CB ＝－23a ＋13b .答案：－23a ＋13b12．解析：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)， 又∵a －2b 与c 共线， ∴(a －2b )∥c∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1. 答案：113．解析：根据向量减法法则，知BP ＝AP －AB ＝(m －1) AB ＋211AC ，BN ＝AN －AB ＝－AB ＋14AC .由于向量BP ，BN 共线，故BP ＝λBN ，即(m －1) AB ＋211AC ＝λ⎝⎛⎭⎫－AB ＋14 AC ，由AB ，AC 不共线，由此得m －1＝－λ且211＝λ4，由此得m ＝311.答案：31114．解析：根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD ＝t OC .∵D 在圆外，∴t <－1，又D 、A 、B 共线，∴存在λ，μ，使得OD ＝λOA ＋μOB ，且λ＋μ＝1，又由已知，OC ＝m OA ＋n OB ，∴tm OA ＋tn OB ＝λOA ＋μOB ，∴m ＋n ＝1t ，故m ＋n ∈(－1,0)．答案：(－1,0)15．解：法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP ＝λOB ＝(4λ，4λ)，则AP ＝OP －OA ＝(4λ－4,4λ)．又AC ＝OC －OA ＝(－2,6)，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP ＝34OB ＝(3,3)， 所以P 点的坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，因为OB ＝(4,4)，且OP 与OB 共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP ＝(x －4，y )，AC ＝(－2,6)，且AP 与AC 共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以P 点的坐标为(3,3)．16．解：(1)∵OA ＝(1,2)，AB ＝(3,3)， ∴OP ＝OA ＋t AB ＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－23.(2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形，则OP ＝AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．17．解：设a＝(x，y)∵b＝(2，－1)∴a＋b＝(x＋2，y－1)又∵a＋b平行于x轴∴y－1＝0得y＝1∴a＋b＝(x＋2,0)又∵|a＋b|＝1∴|x＋2|＝1∴x＝－1或x＝－3∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．。
北京市2017届高三数学(理)一轮复习 4.2 平面向量基本定理及坐标运算(课时测试) 含解析
高三一轮复习 4.2平面向量基本定理及坐标运算 （检测教师版)时间:50分钟 总分：70分 班级: 姓名:一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分)1.（2016北京市石景山区一模））如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（ )A ．0B ． 1C ．55D ．135【答案】D【解析】设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-= ，由,(,)c xa yb x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，x y +=135,选D 。
2．（2016年北京东城区二模）若向量,，满足条件与共线，则的值( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】=，因为与共线，所以故选D．3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线,若错误!＝（2，4）,错误!＝（1，3)，则错误!＝（）A．(－2,－4) B．(－3,－5) C．(3，5) D．（2,4）【答案】B【解析】由题意得错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝(错误!－错误!)－错误!＝错误!－2错误!＝（1,3)－2（2,4)＝（－3，－5）．故选B.4．在下列向量组中,可以把向量a＝（3，2）表示出来的是（) A．e1＝(0,0),e2＝(1,2）B．e1＝（－1，2），e2＝(5，－2）C．e1＝（3，5），e2＝(6，10) D．e1＝（2，－3），e2＝(－2，3）【答案】B【解析】方法一：若e1＝（0,0）,e2＝（1,2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝（－1，2），e2＝（5,－2），因为－15≠错误!，所以e1,e2不共线,根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝（3，2）表示出来,方法二：因为a＝（3，2),若e1＝(0,0)，e2＝（1，2），不存在实数λ，μ,使得a＝λe1＋μe2,排除A;若e1＝（－1,2），e2＝(5，－2）,设存在实数λ，μ,使得a＝λe1＋μe2，则(3，2）＝（－λ＋5μ,2λ－2μ），所以错误!解得错误!所以a＝2e1＋e2，故选B。
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理(含解析)新人教A版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·成都市第三次诊断)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(－1，m )．若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：由a ∥b 可得－2m ＝－4得m ＝2，故选C. 答案：C2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝( ) A ．3 B ．0 C ．5D ．－5解析：由已知得：(a －c )＝(3－k ，－6)， 又∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )＋6＝0，∴k ＝5. 答案：C3．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12解析：设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0，又x 2＋y 2＝1得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 答案：D4．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0解析：由题意及平面向量基本定理易得在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→中，m >0，n <0. 答案：B5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )A ．m ≠－2B ．m ≠12C ．m ≠1D ．m ≠－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形，则只能共线． ∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)． 假设A 、B 、C 三点共线， 则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1. 答案：C6．(2013·吉林长春三校调研)在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为“若OP →＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)”．若F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|MF 1→|＝|MF 2→|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0D.2x ＋y ＝0解析：依题意，MF 1→＝(－1－x ，－y )＝(－1－x )e 1－y e 2，MF 2→＝(1－x ，－y )＝(1－x )e 1－y e 2，由|MF 1→|＝|MF 2→|得，MF 1→2＝MF 2→2，∴[(－1－x )e 1－y e 2]2＝[(1－x )e 1－y e 2]2，∴4x ＋4y e 1·e 2＝0.∵∠xOy ＝45°，∴e 1·e 2＝22，故2x ＋2y ＝0，即2x ＋y ＝0，故选D. 答案：D 二、填空题7．(2013·河南郑州第一次质量预测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，且a ∥b ，则|a －b |＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，a ∥b ，得x ＝3，故|a －b |＝－22＋－42＝2 5.答案：2 58．(2013·安徽亳州摸底联考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则n m等于________．解析：m a ＋n b ＝m (2,3)＋n (－1,2)＝(2m －n,3m ＋2n )a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0 ∴n m＝－2. 答案：－29．(2013·北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μ b (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：411．(2013·丰台区期末练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值是________．解析：点C 位于第二象限，∠AOC ＝56π，|OC |＝2，所以点C 坐标为(－3，1)，OC →＝λOA →＋μOB →，所以有(－3，1)＝(λ，μ)，故填1－ 3.答案：1－ 3 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．(2013·江西南昌调研)已知向量OA →＝3i －4j ，OB →＝6i －3j ，OC →＝(5－m )i －(3＋m )j ，其中i ，j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．(1)A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．(2)对任意m ∈[1,2]使不等式AC →2≤－x 2＋x ＋3恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵AB →，AC →不共线， ∴3(1－m )≠2－m ，m ≠12.(2)因为AC →2＝(2－m )2＋(1－m )2＝2m 2－6m ＋5，所以，当m ＝1或2时，AC →2最大，最大值是1， 所以1≤－x 2＋x ＋3，即x 的取值范围是[－1,2]．12．(2013·四川省成都市一诊)在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 解：(1)∵m ∥n⇒2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B∴tan 2B ＝－3，又0<B <π2，∴0<2B <π，∴2B ＝2π3，B ＝π3(2)由tan 2B ＝－3，0<B <π，得B ＝π3，5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2－ac ≥ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积最大值为 3②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2＋3ac ≥(2＋3)ac ⇒ac ≤4(2－3)(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2－ 3∴△ABC 的面积最大值为 3. [热点预测]13．(1)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.(2)(2013·浙江杭州第二次质检)在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，OP →＝l 1OB →＋l 2OC →，则l 1－l 2＝________.解析：(1)因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由已知OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋λOD →＝32OC →＋12λ(OB →＋OC →)＝λ2OB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋λ2OC →＝l 1OB →＋l 2OC →，即可得l 1＝λ2，l 2＝32＋λ2，则l 1－l 2＝－32.答案：(1)60° (2)－32。
2017届高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示 理 新人教版
课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．(2015·青岛二模)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ＝( )A ．(－1，－1)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(2,4)解析：选A 由题意可得AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．(2015·广东六校联考)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．(2015·洛阳一模)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________.解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.答案：－15．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 解析：AB ＝(a －1,3)，AC ＝(－3,4)，据题意知AB ∥AC ，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.答案：－54二保高考，全练题型做到高考达标1．已知在▱ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 解析：选B 因为在▱ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝12(AB＋AD )＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB＋23(OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13. 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)． 答案：(－6,21)7．(2015·北京东城模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．解析：连接AO ，则AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n2AN .又∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2.答案：28．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ＝(－1,1)，b ＝OB ＝(6,2)，c ＝BC ＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.答案：42.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG ＝λPQ ，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，证明：1x ＋1y是定值．解：(1) OG ＝OP ＋PG ＝OP ＋λPQ ＝OP ＋λ(OQ －OP ) ＝(1－λ) OP ＋λOQ . (2)证明：一方面，由(1)，得OG ＝(1－λ) OP ＋λOQ＝(1－λ)x OA ＋λy OB ；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ＝23OM ＝23×12(OA ＋OB )＝13OA ＋13OB .② 而OA ，OB 不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3(定值)．。
雄关漫道系列高考数学一轮总复习 4.2平面向量基本定理
课时作业24 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(2014·宜昌模拟)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b解析：设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故c ＝3a －b .答案：B2．(2014·郑州模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13 解析：AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－23.答案：A3．(2015·大庆模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：由a ∥b 得，(1－sin θ)(1＋sin θ)－1×12＝0，解得sin θ＝±22.又θ为锐角，所以θ＝45°.答案：B4．(2014·石家庄模拟)已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(3，－1)，且AP →＝2PB →，则点P 的坐标为( )A ．(2，－4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13D ．(－2,4) 解析：设点P 的坐标为(x ，y )， 由AP →＝2PB →可得(x －1，y －3)＝2(3－x ，－1－y )， 故有x －1＝6－2x ，且y －3＝－2－2y ， 解得x ＝73，y ＝13，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，13. 答案：C5．(2015·三明模拟)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则( )A ．λ＝4，μ＝2B ．λ＝83，μ＝32C ．λ＝2，μ＝43D ．λ＝32，μ＝43解析：过点C 分别作OA ，OB 的平行线，分别交OB ，OA 的延长线于B 1，A 1，则∠B 1OC ＝120°－30°＝90°，故OB 1⊥OC .在Rt △B 1OC 中，∠B 1CO ＝30°，又|OC →|＝23，故|OB 1→|＝23×tan30°＝2，|B 1C →|＝2·|OB 1→|＝4，因此|OB 1→|＝43|OB →|，|OA 1→|＝|B 1C →|＝2|OA →|，故OC →＝OA 1→＋OB 1→＝2OA →＋43OB →，因此λ＝2，μ＝43. 答案：C 6．(2015·中山模拟)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案：D 二、填空题7．(2014·临沂模拟)若a 与b 不共线，已知下列各组向量： ①a 与－2b ；②a ＋b 与a －b ；③a ＋b 与a ＋2b ；④a －12b 与12a －14b .其中可以作为基底的是__________(只填序号即可)．解析：因为a 与b 不共线，所以，对于①，显然a 与－2b 不共线；对于②，假设a ＋b与a －b 共线，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，则λ＝1且－λ＝1，由此得λ＝1且λ＝－1矛盾，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线；同理，对于③，a ＋b 与a ＋2b 也不共线；对于④，12a －14b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，故a －12b 与12a －14b 共线．由基向量的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以．答案：①②③8．(2015·济南期末)已知两点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →∥a ，则实数k 的值为__________．解析：因为A (－1,0)，B (1,3)，所以AB →＝(2,3)． 又因为AB →∥a ，所以2k －12＝23，故k ＝76.答案：769．(2015·南京质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴a －1－b －1＝12.∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝2a ＋b a＋4a ＋2b b＝4＋b a＋4ab≥4＋2 b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案：8 三、解答题10．(2015·郑州月考)如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解析：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →. 因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解析：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12．(2015·三明检测)已知向量a ＝(sin α，－2)与b ＝(1，cos α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)问向量a ，b 能平行吗？请说明理由； (2)若a ⊥b ，求sin α和cos α的值； (3)在(2)的条件下，若cos β＝1010，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求α＋β的值．解析：(1)向量a ，b 不能平行．若平行， 则sin αcos α＋2＝0，即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]， 则向量a ，b 不能平行．(2)∵a ⊥b ，∴a·b ＝sin α－2cos α＝0， 即sin α＝2cos α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.∴sin 2α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝255，cos α＝55.(3)由(2)知sin α＝255，cos α＝55，cos β＝1010，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 得sin β＝31010.则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝55·1010－255·31010＝－22. 又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝3π4.。
2017版高考数学课件：4.2 平面向量基本定理及坐标表示
Db,∴ AD= AO+ OD= 1 A+C 1 B=D a1+ b.1
2 2 22
∵E是OD的中点,∴ | DE=| 1,∴|DF|= |A1 B|.
| EB | 3
3
∴ DF= 1 AB= 1( OB- O)A=
33
×1
3
1 2
BD
c
1 2
第二页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
4.几个重要结论
(1)若a、b为不共线的向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的 对角线向量;
(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);
(3)G为△ABC的重心⇔③
+GA +GBc =G0C
⇔G
xA
xB 3
xC
,
yA
yB 3
yC
|< OP,得(1m-
2
第十五页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
m2+n2-2am-2bn+a2+b2< ,1 ③
4
将①②代入③中,得m2+n2+1-(m2+n2)+1-(m2+n2)< , 1
4
即有m2+n2> 7, m2 n2> 7.
4
2
|OB1|=| OB2|=1,
相当于以O为圆心,1为半径的圆与x轴,y轴有交点,
2.(2015浙江严州中学月考)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2), C(3,1),且 BC=2 AD,则顶点D的坐标为 ( )
A.
2,
7 2
C.(3,2)
北京市2017届高三数学(理)一轮复习 4.2 平面向量基本定理及坐标运算(教学设计)
高三一轮（理) 4。
2平面向量基本定理及坐标运算【教学目标】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3。
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【重点难点】1。
教学重点：平面向量基本定理及向量的坐标运算和向量共线的条件；2.教学难点:学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】【解析】6121,612132)(21),(21,32,2-==∴-=-+=∴+=∴=∴=y x AC AB AC AC AB MN AC AB AN AC AM MC AM2. 2014北京高考］已知向量a ＝（2，4）,b ＝(—1,1）,则2a －b ＝（ ）A.（5,7)B 。
（5，9） C。
（3,7)D. (3， 9）解析：2a －b ＝（4+1,8－1)=(5，7）,选A 项．3。
【2014高考北京】已知向量a 、b满足1||=a ,)1,2(=b ,且0b a =+λ(Rλ∈），则||λ=。
【答案】5学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
解析：因为＝＋＝＋k＝＋k（－）＝＋k＝(1－k）＋错误!，且＝m＋错误!,所以1－k＝m，错误!＝错误!，解得k＝错误!,m＝错误!.2．如图所示，在△ABC中，H 为BC上异于B，C的任一点,M 为AH的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!,则λ＋μ＝________。
【解析】由B，H，C三点共线知，错误!＝k错误!（k≠0，1）,则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!－错误!）＝(1－k）错误!＋k错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（1－k）错误!＋错误!错误!，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以错误!从而λ＋μ＝错误!。
【答案】错误!归纳:应用平面向量基本定理的关键点通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化.引导学生（2)已知A（2，3），B(5,4)，C （7,10），①求错误!;②若错误!＝m错误!＋n错误!，求m,n；③若错误!＝错误!＋λ错误!（λ∈R），试求λ为何值时,点P在一、三象限的角平分线上．【解析】（1）以向量a和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），则A（1,－1）,B（6,2），C（5,－1)，∴a＝错误!＝（－1，1),b ＝错误!＝（6,2)，c＝错误!＝（－1，－3)．∵c＝λa＋μb，导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
高三数学(理)一轮复习课件4.2 平面向量基本定理及坐标表示ppt版本
[授课提示：对应学生用书第 070 页] 考向一 平面向量基本定理及其应用 [自主练透型]
[例 1] 如图，已知平面内有三个向量O→A、O→B、O→C，其中O→A 与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B|＝1， |O→C|＝2 3.若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为 ________．
—[通·一类]— 4．已知 a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若 a∥b，则 m 的值为________．
解析：法一：∵a∥b，∴4m－2×(－6)＝0， ∴m＝－3， 法二：∵a∥b，∴a＝λb，即(4,2)＝λ(－6，m)， ∴24＝＝λ－m6. λ， 解得 λ＝－23，m＝－3. 答案：－3
2x－y＝0， x＋2y＝52，
解得x＝12， y＝1，
则 c＝12a＋b.
[答案] A
—[悟·技法]— 向量坐标运算的方法技巧
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若 已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程 中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
5．设 e1，e2 是平面内一组基底，若 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＋λ2 ＝________.
解析：假设 λ1≠0 时，由 λ1e1＋λ2e2＝0，得 e1＝－λλ21e2， ∴e1 与 e2 共线与 e1，e2 为基底矛盾， 故 λ1＝0，同理 λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0. 答案：0
6．(2016·江苏高考)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma ＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
解析：由共线向量基本定理可得 3y＋4x＝0，故选 C. 答案：C
高三数学(文)一轮复习课时作业1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 含答案
一、选择题1．设a ＝（sin x ，34)，b ＝(错误!，错误!cos x )，且a ∥b ，则锐角x ＝( ) A 。
错误! B 。
错误! C.错误! D 。
错误!解析:∵a ＝（sin x ，错误!),b ＝(错误!，错误!cos x )，且a ∥b ，∴错误!sin x cos x －错误!×错误!＝0，即错误!sin2x －错误!＝0.∴sin2x ＝1。
又∵x 为锐角，∴2x ＝错误!，x ＝错误!。
答案：B2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B （－1，－2)，C （3,1)，且错误!＝2错误!，则顶点D 的坐标为（ )A.错误! B 。
错误!C ．(3，2）D ．（1，3）解析:设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ,n －2)＝(2m,2n －4)，错误!,由此解得m ＝2，n ＝错误!，点D 错误!,选A 。
答案：A3．已知A （－3，0）,B （0，错误!）,O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内,且∠AOC ＝60°，设错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ等于（ ）A.错误!B.错误!C.错误! D ．3解析：由错误!＝λ错误!＋错误!，得λ错误!＝错误!－错误!＝错误!，∴错误!与错误!共线．设C （x ，错误!)(x ＜0），∵∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝30°. ∴错误!＝tan30°＝错误!。
∴x ＝－1.∴错误!＝(－1，0）．∵错误!＝(－3，0)，∴λ＝错误!.答案：C4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1,3)，若点C (x ，y ）满足错误!＝α错误!＋β错误!,其中α,β∈R ,且α＋β＝1，则x,y满足的关系式为（)A．3x＋2y－11＝0 B．（x－1）2＋(y－1）2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0解析：由错误!＝α错误!＋β错误!，得(x，y）＝（3α－β，α＋3β）．∴错误!∴错误!∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0。
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高三一轮复习 4.2平面向量基本定理及坐标运算（练习卷教师版） 一、选择题:
1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3
2
b 等于( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2,1)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2) 【答案】D
【解析】 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －3
2b ＝(－1,2)．故选D.
2．(2016年北京市海淀区一模）已知向量
，若
，则t=（ ）
A ．1
B ．3
C ．±3
D ．﹣3 【答案】C
【解析】∵向量
，且
， ∴1×9﹣t 2
=0，解得t=±3. 故选C
3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫2，72
B.⎝⎛⎭⎫2，－1
2 C ．(3,2) D ．(1,3) 【答案】A
【解析】设D(x ，y)，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝7
2
，
故选A.
4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a
在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(0,2) 【答案】D
【解析】∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2.
∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．故选D. 二、填空题:
5.（2016北京市丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(10)A -，，(0B ，(cos sin )C x x ，
，则AB = ；若AB ∥OC ， 则tan x = ______．
【答案】.
【解析】∵(10)A -，，(0B ，∴()(00AB =+-=，∵AB ∥OC ，
cos tan
1x
x =⇒= 6．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实 数m 满足的条件是________． 【答案】m ≠5
4
【解析】由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m)，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →
不共线， 则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m ≠5
4
.
7．已知P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合， 则P ∩Q 等于__________． 【答案】{(－13，－23)}
【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n.得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12，n ＝－7.
此时a ＝b ＝(－13，－23)． 三、解答题：
8．已知向量a ＝(sinα，－2)与b ＝(1，cosα)，其中α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2。
【答案】见解析。