【高考讲坛】第3章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

[考情展望] 1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值．

一、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.

2．商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π

2＋k π，k ∈Z)．

二、六组诱导公式

组数

一 二

三

四

五

六

角

2k π＋

α(k ∈Z)

π＋α

－α

π－α

π2

－α π2

＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切

tan α

tan_α

－tan_α

－tan_α

诱导公式记忆口诀

对于角“k π

2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k

为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

【基础自测】

1．已知cos(α－π)＝－5

13，且α是第四象限角，则sin α＝( )

A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213

2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π

2，则θ等于( )

A ．－π6

B ．－π

3

C.π6

D.π3

3．sin 585°的值为( ) A ．－

22 B.22 C ．－32 D.3

2

4．若cos α＝－3

5且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝( ) A.34 B.43 C ．－34 D ．－4

3

5．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－

22 C.2

2

D ．1 6．(广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝1

5，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.2

5

考向一 [050] 同角三角函数关系式的应用

(1)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )

A.25 B ．－2

5

C ．－2

D ．2 (2)(嘉兴模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2，tan α＝2，则cos α＝________.

规律方法1 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α ＝tan α可以实现角α的弦切互化.

2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 对点训练 (1)(汕头模拟)若tan α＝2，则2sin α－cos α

sin α＋2cos α的值为( )

A ．0 B.34 C ．1 D.5

4

(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝4

5

，则tan α＝________.

考向二 [051] 诱导公式的应用

(1)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－

32 B.32 C.3－12 D.3＋12

(2)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1

3，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.7

9

(3)(潍坊模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫

3π2＋θ＋cos (π－θ)

sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)

＝( )

A ．－2

B ．2

C ．0 D.23

规律方法2 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归.

2.诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值.

考向三 [052] sin α±cos α与sin α·cos α的关系

(昌平模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝1

5.

(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．

规律方法3 1.第(1)问应注意x 的范围对sin x －cos x 的符号的影响.事实上根据条件可进一步判定x ∈

⎝⎛⎭

⎫－π2，0 .2.对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用.

对点训练 (威海模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－1

2

，则tan θ的值为( ) A ．－3或－3

3

B ．－33

C ．－ 3

D ．－

32

易错易误之七 拨云见日——三角函数式中“角范围”的信息提取

例题：大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

3

，则cos 2α＝( ) A ．－

53 B ．－5

9

C.

59 D.5

3

【防范措施】 (1)由sin α＋cos α＝3

3

，隐含着sin α＋cos α＞0，即sin α＞－cos α，结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围.

(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断.

例题：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，则cos 2θ的值为________． 课时限时检测(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、选择题(每小题5分，共30分)

1．全国卷)已知α是第二象限角，sin α＝5

13

，则cos α＝( )

A ．－1213

B ．－513 C.513 D.1213

2．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θ

sin θ

的值是( )

A ．－2

B ．2

C ．±2 D.1

2