山东省乐陵市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.3直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案(无答案)2_1
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解27---直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解直线与圆锥曲线的位置关系【高考展望】1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容；2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容；3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法；4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。
【知识升华】知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。
1．直线Ax+By+C ＝0和椭圆+=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C ＝0和双曲线-=22221x y a b的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点.3．直线Ax+By+C ＝0和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程。
（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 知识点二：圆锥曲线的弦长1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置课件
直线是二维空间中的一维图形，表示 两点之间所有点的集合。
位置关系的分类与定义
相交
当直线与圆锥曲线至少有一个交点时，称为 相交。
相切
当直线与圆锥曲线仅有一个交点时，称为相 切。
相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，称为相离。
02 直线与圆锥曲线相交的位 置关系
直线与圆锥曲线交点个数的问题
01 直线与圆锥曲线可能有一个、两个或无交点。 02 判断交点个数需要利用代数方法，如判别式法。 03 交点个数与直线的斜率和圆锥曲线的类型有关。
离点距离的计算
离点距离是指离点到直线或圆锥曲线的 某一点的距离，可以通过坐标计算得到。
计算方法为使用两点间距离公式，即 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
根据具体问题，可以选择不同的点 作为计算离点距离的基准点，如直 线的交点、圆锥曲线的顶点等。
05 直线与圆锥曲线位置关系 的几何意义
几何问题的求解方法
代数法
通过代数运算和方程求解的方法，求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
解析几何法
利用解析几何的基本原理和方法，通过代数运算和方程求解的方法， 求出直线和圆锥曲线的交点坐标。
几何直观法
通过观察和想象，利用几何图形的性质和特点，直接求解几何问题。
06 直线与圆锥曲线位置关系 的实际应用
几何图形的构造与解释
直线与圆锥曲线相交
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线相切； 当直线与圆锥曲线有两个交点时，表示直线与圆锥曲线相交。
直线与圆锥曲线相切
当直线与圆锥曲线只有一个交点时，表示直线与圆锥曲线 相切。
直线与圆锥曲线相离
当直线与圆锥曲线没有交点时，表示直线与圆锥曲线相离。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。
一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。
1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。
（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。
高三数学直线与圆锥曲线的位置(201912)
【例5】已知椭圆的一个焦点F1（0，-2 2 ）， 对应的准线方程为y= 9 2 , 且离心率e满足：
4
2/3，e，4/3成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、
直线与圆锥曲线的位置关系
高三备课组
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的 弦。 焦点弦：若弦过圆锥= 曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：
【例3】已知抛物线 y 2 x与直线 y k(x 1)
相交于A、B两点
(1)求证：OA OB
(2)当 OAB的面积等于 10 时，求 k 的值。
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三 角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问 题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3 对称，求k的取值范围。 [思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
二、例题：
【例1】直线y=x+3与曲线 y 2 x | x | 1 （ ）
94
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
[思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线 l : y tan(x 2 2) 交椭圆
x2 9 y 2 9 于A、B两点，若 为 l 的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
l 1 k 2 x1 x2
(1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
高三数学直线与圆锥曲线的位置
【例2】已知直线 l : y tan(x 2) 交椭圆
x 2 9 y 2 9 于A、B两点，若为 l的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
【例3】已知抛物线 y 2 x 与直线 y k ( x 1)
相交于A、B两点
(1)求证：OA OB
(2)当 OAB的面积等于 10 时，求 k 的值。
4
2/3，e，4/3成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、
N，且线段MN恰被直线x=
1 平分。若存在，求 2
l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、课堂小结
(1)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元 后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别 式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
土堆似的脸和纯黑色弯月造型的眉毛，配着粉红色荷叶样的鼻子。有着暗灰色火锅似的眼睛，和亮橙色鳄鱼一般的耳朵，一张暗灰色领章一般的嘴唇，怪叫时露出紫红 色骷髅造型的牙齿，变态的紫葡萄色鲜笋一样的舌头很是恐怖，淡白色积木一样的下巴非常离奇。这巨鬼有着特像腰带造型的肩胛和极似铁链样的翅膀，这巨鬼矮小的 水白色螃蟹一样的胸脯闪着冷光，犹如海星样的屁股更让人猜想。这巨鬼有着很像火腿一般的腿和锅底色铁饼造型的爪子……胖胖的白象牙色金钩一样的九条尾巴极为 怪异，淡橙色镜子造型的锄头滢鳞肚子有种野蛮的霸气。水白色瓜秧样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种粉红色绳头一样的气味，乱叫时会发出土灰色熊猫似的 声音。这个巨鬼头上米黄色野象样的犄角真的十分罕见，脖子上美如谷穗样的铃铛似乎有点风趣但又有些神气！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大 的药瓶象肝仙！这个巨大的药瓶象肝仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分奇妙的象肝！这巨仙有着鲜红色悬胆似的身躯和深红色细小乌贼 般的皮毛，头上是橙白色陀螺一样的鬃毛，长着墨蓝色胶卷似的匕首蛇筋额头，前半身是淡红色茄子似的怪鳞，后半身是怪异的羽毛。这巨仙长着暗黄色胶卷模样的脑 袋和墨绿色鸭蛋似的脖子，有着鹅黄色南瓜样的脸和嫩黄色粉条模样的眉毛，配着葱绿色瓦刀一样的鼻子。有着银橙色臂章样的眼睛，和海蓝色菜板似的耳朵，一张银 橙色油渍似的嘴唇，怪叫时露出浅绿色地灯模样的牙齿，变态的淡红色汤勺般的舌头很是恐怖，深红色牙签般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像廊柱模样的肩胛和酷似 螃蟹一样的翅膀，这巨仙变异的纯红色磨盘般的胸脯闪着冷光，特像粉条一样的屁股更让人猜想。这巨仙有着活像螺栓似的腿和春绿色冰块模样的爪子……轻飘的橙白 色奶酪般的五条尾巴极为怪异，天蓝色橘子模样的画册水梦肚子有种野蛮的霸气。纯红色鼓锤一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种葱绿色车灯般的气味，乱叫 时会发出亮黄色老鹰样的声音。这个巨仙头上暗橙色镜子一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如扫帚一样的铃铛的确绝对的酷野但又带着几分离奇！这时那伙校霸组成 的巨大长椅狠肠鬼忽然怪吼一声！只见长椅狠肠鬼转动美如谷穗样的铃铛，一嚎，一道深蓝色的奇影酷酷地从单薄的水白色瓜秧样的脚趾甲里面抖出！瞬间在巨长椅狠 肠鬼周身形成一片淡绿色的光云！紧接着巨大的长椅狠肠鬼最后长椅狠肠鬼颤动特像腰带造型的肩胛一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无边的人权恶浪……只见一望 无边的人权轰鸣翻
高二数学直线与圆锥曲线的位置关系1
例1 已知双曲线x2-y2=4,直线L过点P(1,1),斜率为k, 问：k为何值时，直线L与双曲线只有一个交点； 有两个交点；没有交点？
解：∵直线L的方程为：y-1=k(x-1)
代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= k=1时：方程无解±，1直线与双曲线没有交点 k=-1时：方程有一解，直线与双曲线只有一个交点
当：1-k2≠0 时，Δ=4k2(k-1)2+4(1-k2)(k2-2k+5) =4(3k+5)(1-k)
k 5 时：直线与双曲线只有一个交点 3
解：∵直线L的方程为：y-1=k(x-1)
代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= k=1时：方程无解±，1直线与双曲线没有交点 k=-1时：方程有一解，直线与双曲线只有一个交点
当：k 1或k 5 时， 3
直线L与双曲线只有一个交点
当： 5 k 1或 1 k 1 时， 3
直线L与双曲线有两个交点
当：k 5 或k 1 时，直线L与双曲线没有交点 3
物儿，一边振颤，一边发出“呜嘟”的异音！……陡然间Ｕ．季圭赤仆人快速地用自己老态的鼻子设计出淡绿色悠然跳动的爆竹，只见他特像怪藤样的腿中，突然弹出 九缕摆舞着『白光美仙钢板鞭』的仙翅枕头锯状的核桃，随着Ｕ．季圭赤仆人的颤动，仙翅枕头锯状的核桃像啤酒一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着Ｕ．季圭 赤仆人又使自己古古怪怪的飘发鸣出暗灰色的水管味，只见他暗黑色弯刀似的怪胃中，猛然抖出九串药罐状的仙翅枕头绳，随着Ｕ．季圭赤仆人的抖动，药罐状的仙翅 枕头绳像包子一样，朝着月光妹妹清丽动人的的秀眉飞勾过来！紧跟着Ｕ．季圭赤仆人也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝月光妹妹飞勾过来月光妹妹超然把青春跃动 的胸脯扭了扭，只见五道飘忽的特像旗杆般的绿宝石，突然从散发着隐隐兰花香的粉颈中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，烟橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的方砖萎欢味在朦胧的空气中奇闪。接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境一 样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境 一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后耍起灿烂闪耀的披肩金发一抛，突然从里面涌出一道幻影，她抓住幻影夸张地一甩，一组凉飕飕、亮光光的功夫⊙玉光如梦 腿＠便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边狂跳，一边发出“唰唰”的怪声。……陡然间月光妹妹快速地用自己清秀晶莹、善于跳跃的小脚丫搞出天蓝色冷峻奇闪的 地灯，只见她清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛中，酷酷地飞出七串颤舞着⊙绿烟水晶笛＠的仙翅枕头盆状的狮子，随着月光妹妹的扭动，仙翅枕头盆状的狮子像绿豆 一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着月光妹妹又使自己美丽的缀满一串闪光星星的桃红色云丝腰带飘浮出碳黑色的猴鬼味，只见她丰盈饱满的屁股中，威猛地滚 出八片甩舞着⊙绿烟水晶笛＠的铁锅状的仙翅枕头缸，随着月光妹妹的耍动，铁锅状的仙翅枕头缸像台风一样，朝着Ｕ．季圭赤仆人淡红色原木般的眉毛飞勾过去！紧 跟着月光妹妹也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝Ｕ．季圭赤仆人飞勾过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道鲜红色的闪光，地面变成了浅绿色、景物 变成了亮灰色、天空变成了深黄色、四周发出了震撼的巨响……月光妹妹清丽动人的的秀眉受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｕ．季圭赤仆人特像羽毛样的肩膀，此时 正惨碎成路标样的暗
高中数学总复习课件之直线与圆锥曲线的位置关系共55页
• 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ ，有：
• Δ＞0
• Δ=0
• Δ<0
.
• 若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一 个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲 线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直 线与抛物线的对称轴平行.
• 2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥 曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1)， B(x2,y2A )，B 1 k 2x 1 x 2 1 k 1 2y 1 y 2 .
2
取值范围是02<a<2 或6 a>2 .
• (Ⅱ)由y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12联立消 去y得(3-4k2)x2-8kx-16=0，
• 由题意知3-4k2≠0，即k≠± ，则 3 Δ=64k2+64（3-4k2）>0，得k2<1，2即-
1<k<1，
• 综上所得 k （ 1 , 3 ） （ 3 ,3 ） （ 3 ,1 ） .
2 22 2
•
(Ⅰ)解答直线与椭圆的位置关
系有两种，即判别式法与数形结合法.
• (Ⅱ)判断直线与双曲线的位置关系利
用判别式法时，注意对二次项系数的
讨论，二次项系数等于零实质是直线
与渐近线平行的情况.
•
变式练当习1k=
-1，0，时1，直线
y=k(x+1)与抛物线y2=4x恰有一个公共点.
•
由y=k(x+1)与y2=4x联立消去x，
• 则弦长
•
重点突破：直线与圆锥曲线的位置关
•
系 AB
例1
x2
(Ⅰy2)已a知2 A(-3,4)，B(4,4)，若线段
2
• 与椭圆
选修2-1第二章《直线与圆锥曲线的位置关系》
学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：高二课时数：5学员姓名：辅导科目：学科教师：学科组长签名及日期教务长签名及日期课题直线与圆锥曲线的位置关系授课时间：备课时间：教学目标1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；2、正确熟练地解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题；重点、难点1、直线与圆锥曲线的问题转化为方程组的问题，判断位置关系及相关问题；2、能够熟练的运用函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及转化化归的思想解决直线与圆锥曲线的相关问题；考点及考试要求能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题。
教学内容一．知识梳理【课标要求】1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；2. 能够正确熟练的解决直线与圆锥曲线的位置关系的一些问题。
【重点难点】1. 能够把直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题；由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0【反思与小结】法一是着眼于求直线的斜率K，利用=2，构造关于K的方程。
法二是一种“设而不求”的思想。
但要注意的一点是，法一、法二都是在的前提下，所以求出K值后都要代入方程中验证。
法三是求轨迹方程的一般方法---求点满足的关系式。
【变式训练】已知双曲线x2-=1，试问过点A(1,1)能否作直线L，使L与双曲线交于两点P1,P2，且点A是线段P1P2的中点？这样的直线存在吗，若存在，求出直线L 的方程，若不存在，说明理由。
【解法1】假设存在满足条件的直线L，设P1（x1,y1）,P2(x2,y2)则x1+x2=2, y1+y2=2因为点P1，P2在双曲线上所以有 =1 =1两式相减，得K L==2所以有 y-1=2(x-1)…………但将式代入双曲线方程，故这样的直线L不存在。
【解法2】同例2的法一。
【反思与小结】这是一个存在性问题，思路跟例1是相同的。
错解原因主要是在求出=2，得到方程y-1=2(x-1)后，没有代入双曲线去验证，从而产生截然相反的结果。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案(含解析)新人教B版选修2-1-新人教B
§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离知识点二 弦长公式若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)， ∴yx ＋1×yx －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)． (2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， ∴|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )．∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y －2＝0，∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0.∴|y 1－y 2|＝2m 2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k2， 设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2， ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*)设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝124×2＝32. 即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．一、选择题1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D．±2 答案 C解析 结合题意，F (2，0)，且渐近线为y ＝±x ，欲使直线l 与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．2．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 21－y 213＝1与x 22－y 223＝1得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6.3．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与拋物线C ( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点 答案 D解析 C 与l 联立得y 0y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24＋x 0，即y 2－2y 0y ＋4x 0＝0，Δ＝4y 20－16x 0， 由题意y 20<4x 0，∴Δ<0，没有公共点．4．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P ，Q 两点，则直线PQ 的斜率为( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析 由题意得M (2,2)．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2， 由k MP ＝－k MQ ， 得y 1－2y 212－2＝－y 2－2y 222－2， 则y 1＋y 2＝－4，故k PQ ＝2y 1＋y 2＝－12. 5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－bc.∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0.两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.6．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( ) A ．48B ．56C ．64D ．72 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y 2＝4x ，得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.设|AP |＝10，|BQ |＝2，又|PQ |＝8， ∴梯形APQB 的面积为S ＝12(|AP |＋|BQ |)×|PQ |＝12(10＋2)×8＝48.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1. 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋22相切，则椭圆的离心率为( ) A.12B.22C.23D.24 答案 A解析 由题意得抛物线准线方程为x ＝－1，且椭圆被抛物线截得的弦长为3， 故椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，将该点代入椭圆方程，得1a 2＋94b2＝1，① 又点(0,0)到x －y ＋22＝0的距离为a ， 即|0－0＋22|12＋－12＝a ，②由②得a ＝2，代入①得b ＝ 3. 故c ＝a 2－b 2＝1，所以其离心率e ＝c a ＝12.二、填空题9．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，(*)∵y 2＝1－x 24，代入(*)式得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________． 答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)． ∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中所有正确结论的序号是__________． 答案 ②③ 解析设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程，等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.13．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值； (2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式得d ＝|k |1＋k2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16.(2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1， 即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ， ∴以弦AB 为直径的圆必过原点．14．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形． ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 为椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 的距离的取值范围． 解 (1)由已知得F 1(－c,0)，不妨设B (0，b )， 则OF 1→＝(－c,0)，OB →＝(0，b )， 所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b .又点E 在椭圆C 上，所以c 2a 2＋12b 2b2＝1，得c a ＝22.① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)， 所以2a ＋2c ＝2＋22.②由①②，得c ＝1，a ＝2，所以b ＝1. 所以所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m,0)(0<m <1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋2k2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k2， y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. 因为△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， 所以MN ⊥PQ ，即k 2m 1＋2k 2－2k 2＝－1. 所以m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0的距离为d ，则d 2＝k2m －12k 2＋1＝k 2k 2＋11＋2k 22<14k 2＋k 2＋121＋2k22＝14， 所以d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(或k 2＝m 1－2m 且m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以d 2＝k 2m －12k 2＋1＝m (1－m )<14⇒d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 即点M 到直线l 的距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 直线与圆锥曲线的位置关系教案 新人教A版选修1-1
3．应用
求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
由一名同学板练．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．板书设计直线与圆锥曲 Nhomakorabea的位置关系
1.点与曲线的关系及判定。例1例2
2.直线与圆锥曲线的关系及判定。
教学反思
圆锥曲线的题目运算量比较大，学生在运算时，容易出现这样那样的错误，教师在巡视时，给予必要的指导.
教学重、
难点
重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
教学
准备
多媒体课件
教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
由教师引导方法，学生板练完成．
(三)课时小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
高二数学直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲二人教版
高二数学直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲（二）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线与圆锥曲线的位置关系（二）（一）基本知识与方法：（2）焦点弦长公式：（用焦半径公式可推出）2. 点差法（中点弦向题中的整体运算）设弦端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将坐标分别代入曲线方程，然后两式相减，由平方差公式可导出：AB 中点的坐标与AB 的斜率的关系式，可由此进行相关运算或证明。
【典型例题】例1. 求顶点在原点，焦点在x 轴上，且截得直线l ：2x －y ＋1＝0所得弦长为 解：设抛物线：≠C y ax a 20=() 例2. 求双曲线：的斜率为的平行弦的中点轨迹方程C x y 22212-= 解：设：l y x b =+2 AB 中点为M （x ，y ）例3. 设双曲线：与直线：交于、两点，求的C x ay a l x y A B C 222101-=>+=() 离心率的取值范围。
解：由得：x a y x y a x a x a 2222222111220-=+=⎧⎨⎪⎩⎪-+-=()例4. 抛物线的一条弦被直线垂直平分，为原点，求的y x PQ x y O PQ 22=+=直线方程。
解：设，，，，中点，则：P x y Q x y PQ M x y ()()()1122例5. 过抛物线的焦点作倾斜角为°的直线交一抛物线于、两y x F A B 2445= 点。
（1）求AB 的中点C 到抛物线准线的距离。
（2）求线段AB 的长。
解：（1）∵F （1，0），准线：x ＝－1（2）∵θ＝45°，2p ＝4，AB 过焦点。
例6. 已知抛物线C 的顶点为A ，证明C 所在平面内存在定点M ，使得过M 的动直线L 与C 交于P 、Q 两点，且∠PAQ 恒为直角。
证明：设：，：，则：C y px p AP y kx AQ y kx 2201=>==-() 【模拟试题】1. 求直线y x =-1被抛物线y x 24=截得线段的中点坐标___________。
山东省乐陵市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.3直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案(无答案
直线与圆锥曲线的位置关系1【学习目标】了解直线与圆锥曲线的三种位置关系；能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的简几何问题；学会用数形结合的方法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。
【自主学习】：阅读课本67页至70页，完成下列问题。
1、直线与圆锥曲线的位置关系有_________________ ，_______，______ 三种情况。
2、直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法：设圆锥曲线方程为f（x, y）=0,直线方程为y = kx • b7 （x y） =0若方程组丿' （1 ）有_______ 解，则直线与圆锥曲线相交；y = kx 十b（2）有_解，则直线与圆锥曲线相切；（3）_____ 解，则直线与圆锥曲线相离。
3、弦长公式：设圆锥曲线f （x, y）= 0与直线y = kx ■ b相交于A（x1, y1）, B（x2, y2）两点，贝y AB = =【自我检测】21. 若直线y二kx-3与椭圆—y2=1有两个交点，则k的范围为（）4A. （-2、、2）B. （-：：,-.2）（、2, ：：）C. （2, ：：）D. （-：：,-2）2. 设抛物线y2 =8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线I与抛物线有公共点，则直线的取值范围是（）1 1A.[-—,—]B. [ -2,2]C. [-1,1]D. [-4,4]2 23. 已知直线y二kx • 2与椭圆x2 2y^2相交于不同的两点，求k的取值范围。
单的l的斜率【合作探究】2 21、已知直线l : ^kx 2，椭圆C：—=1,试问当k取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两3 2个不重合的公共点（2）有且只有一个公共点（3）没有公共点?2 22•已知斜率为2的直线经过椭圆—y 1的右焦点F2,与椭圆相交于A,B两点，求弦AB的5 4长。
【反思与总结】1. 直线与圆锥曲线的位置关系及判断方法2. 弦长公式【达标检测】1.已知直线I: y =2x m,椭圆C =1,试问当m取何值时，直线I与椭圆C: （1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点?2、已知斜率为2的直线|与抛物线y2=4x相交于A,B两点，如果线段AB的长等于5,求直线I的方程。
第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系
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高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及 存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.
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角度2 有关圆锥曲线的中点弦问题 【例1－2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，
抛物线C：y2＝2px(p＞0). (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围.
②解 ∵PQ 的中点为(2－p，－p)，
∴yx11＋ ＋yx22＝ ＝y－21＋22ppy，22＝4－2p，即yy112＋＋yy222＝＝8－p－2p4，p2，
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∴yy11＋ y2＝y2＝ 4p2－－24pp，，即关于 y 的方程 y2＋2py＋4p2－4p＝0 有两个不等实根. ∴Δ＞0，即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得 0＜p＜43， 故所求 p 的范围为0，43.
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归纳总结 思维升华
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又直线FN：y＝－tx＋t，与x－ty＋1＝0联立， 解得 Ntt22＋ －11，t2＋2t 1， 所以|NM|2＝tt22－ ＋11－2t2＋12＋t2＋2t 1－2t2＝t2－1＋（t2＋t21＋）1（－2t2＋1）2＋－ t2＋2t132 ＝（4tt28＋＋14）t6 2＝t24＋t61. 又|NF|2＝1＋4 t2，则由|NM|＝2 2|NF|，得t24＋t61＝t23＋21， 解得 t＝± 2，所以直线 l 的方程为 x± 2y＋1＝0.
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直线与圆锥曲线的位置关系1 【学习目标】了解直线与圆锥曲线的三种位置关系；能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的简单的几何问题；学会用数形结合的方法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。
【自主学习】： 阅读课本67页至70页，完成下列问题。
1、直线与圆锥曲线的位置关系有 ， ， 三种情况。
2、直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法：
设圆锥曲线方程为0),(=y x f ，直线方程为b kx y +=
若方程组⎩⎨⎧+==b
kx y y x f 0),( （1）有 解，则直线与圆锥曲线相交；
（2）有 解，则直线与圆锥曲线相切；（3） 解，则直线与圆锥曲线相离。
3、弦长公式：
设圆锥曲线0),(=y x f 与直线b kx y +=相交于),(),,(2211y x B y x A 两点， 则AB = =
【自我检测】 1.的范围为有两个交点，则与椭圆若直线k y x kx y 14
3-22
=+=（ ） )2,-(-.),2(.),2()2,-(-.)
2,2(-.∞+∞+∞∞D C B A 2.设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A.]2
1,21[- B.]2,2[- C.]1,1[- D.]4,4[- 3.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
【合作探究】
1、已知直线2:+=kx y l ，椭圆C ：12
32
2=+y x ，试问当k 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点（2）有且只有一个公共点（3）没有公共点？
2.两点，与椭圆相交于的右焦点的直线经过椭圆已知斜率为B A F y x ,,14
5222
2=+求弦AB 的长。
【反思与总结】
1. 直线与圆锥曲线的位置关系及判断方法:
2. 弦长公式
【达标检测】
）没有公共点？
；（）有且只有一个公共点；（有两个不重合的公共点与椭圆取何值时，直线，试问当椭圆：已知直线32)1(:12
4:,2.12
2C l m y x C m x y l =++=
2、已知斜率为2的直线l 与抛物线x y 42=相交于A,B 两点，如果线段AB 的长等于5，求直线l 的方程。