2019届人教A版(理科数学) 解析几何综合 单元测试
精选2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题完整题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2（D ）42．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________4．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.8．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．9． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .10．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 三、解答题11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作⊙P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1)若椭圆的离心率2e =，求⊙P 的方程； (2）若⊙P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．12．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．13．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积14．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题：第九章 解析几何
单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.(2017全国Ⅱ,理9)若双曲线C1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为()5.1(a>b>0)与双曲线1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m 的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为()A. 3B.x=0或 3C.x=0或 3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.1的两条渐近线与直线A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()C.(1,2)D.(+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()C.3D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.4212.(2017福建厦门一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,1,则α=()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,理9)若双曲线x21则实数m=.14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.15.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.16.若关于x,y的方程1表示的是曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:1(a>b>0)F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)(2017吉林延边州模拟)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上的动点,△PBC的外接圆为☉O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.21.(12分)1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为求双曲线的离心率.22.(12分)已知椭圆E1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.答案：1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.C解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A解析可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为所以c=2a,所以e=2,故选A.4.A解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),1的渐近线x0的距离1.5.D解析由题意可知2n2=2m2+c2.因为m2+n2=c2,所以m=因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=解得6.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为圆的半径为2,1.由点到直线距离公式,1,解得综上所述,所求直线方程为x=0或3.7.B解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0从而易得cos ACB=45°,所以∠ACB=90°,0,故选B.8.D解析11当a>b时,所以e1<e2.当a<b时,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析1的两条渐近线方程为y=,当,y=所以不妨令因为60°<∠AFB<90°,1,1.所以1,即1<e2-1<3,<e<2.10.A解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).-y2=1的左顶点为A(,0),所以直线AM的斜率为解得11.B解析因为双曲线的离心率为2,所以e24,即b2=3a2,1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=,代入y2=2px(p>0),得或x=0,故x A=x B又因为|AF|=x A7,所以p=6.12.C解析如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2ab cos α.1,∴a2+b2-2ab cos α当α,不等式恒成立.故选C.13.2解析由题意知a=1,m>0,则离心率解得m=2.14.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O又因为圆面积为36π,所以半径为6,2=36,所以p=8.15解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴,设双曲线C的一条渐近线的倾斜角为θ,则tan θ=又tan θ=解得a2=3b2,∴16.②解析若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,解得1<t<4,且t所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<所以④错误.17.解(1)得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,1,所以|3k+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或所以所求圆C的切线方程为y=3或3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),2整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-12+1,解得a18.解(1)由题意,得可知a=4b,c=∵△PF1F2的周长是8+2,∴2a+2c=8+∴a=4,b=1.∴椭圆C的方程为2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知即32k2+36k+5=0,∴k+k k k=(1+x2+32k1x=0,∴x E同理x Fk EF故直线EF的斜率为19.解(1)抛物线y=x2由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>解得因为k>0,所以0即k的取值范围是(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1C(x2D(x3,y3),消去y,得x2-kx+k-1=0.由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x21.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x22.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则2,即k2+2k+2=0.因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义.1(a>b>0且y≠0),所以有|BC|=2c=2,|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,所以动点A的轨迹M1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0线段PB的垂直平分线方程为线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得1,∴∴☉O1的圆心O1到x轴的距离又内是单调递减函数,∴当y,y min∴d min21.解(1)1的渐近线方程为y=,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,1,解得a=b.因为c=2,所以1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足即①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得,将点A,1,2b22a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率负值舍去).22.解(1)由已知,,则椭圆E1.y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E1,点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l'的方程为(m≠0),所以点P的坐标为|PT|22.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2).由Δ>0,解得由②得x1+x2=-x1x2所以|PA|同理|PB|=所以|PA|·|PB|2.故存在常数λ使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．4． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________ 5．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲6．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .7．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.8．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 9．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .10．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错11．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题 12．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.13．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积14．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．2．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错4．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．二、解答题6．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若 曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．7．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．8．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积9．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．3．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 6．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为7．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）二、解答题8．已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； (Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．9．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y=1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.10．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)11．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．13．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(42x y x +=≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y，则0(2e x +=，00x ∴=，则(0,M ，则直线l的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）PP 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==， 所以：11111||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y(1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则10||2[1,3]F M x =∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-；(2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则2200(1x y +=，且1||F M =[3,1=+则11||[2]PM PN FM =-∈--；综上可知：PM PN 的取值范围是11||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=； 过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=； 因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y a b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a-=，则20a x c =- ∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.14． 已知椭圆x 2+22b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．15．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围． 4．17．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q是椭圆短x轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .3．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.4．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．5．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．6．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为7．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．二、解答题8．已知,A B 分别是直线3y x =和3y x =-上的两个动点，线段AB 的长为是AB 的中点，点P 的轨迹为.C（1）求轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。
2019届人教A版(理科数学) 立体几何、解析几何 单元测试
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题4.0分,共48分)1.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是()A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方2.直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A． 1B． 2C． 3D． 43.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC4.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B．πa2C．πa2D．5πa25.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为钝角的直线，则必有()A．AB＞0B．AB＜0C．BC＞0D．BC＜06.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12πB．24πC．32πD．48π7.针对柱、锥、台、球，给出下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的是()A．①②B．③C．③④D．①③8.垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是() A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝09.已知直线的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，那么此直线的斜率为()A．B．C． 2D． 310.已知球的体积与其表面积的数值相等，则此球的半径为()A． 4B． 3C． 2D． 111.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC12.已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y＋1＝0C．x－y＝0D．x＋y＝0分卷II二、填空题(共4小题,每小题4.0分,共16分)13.经过两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点，且与A(3，－2)，B(－1,6)等距离的直线的方程是________．14.已知两圆C1：x2＋y2＋4x－2ny＋n2－5＝0，C2：x2＋y2－2nx＋2y＋n2－3＝0，则C1与C2外离时n的取值范围是________，C1与C2内含时n的取值范围是________．15.如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，那么(x－6)2＋(y－3)2的最大值为____________．16.直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．三、解答题(共6小题,每小题9.0分,最后一题11分，共56分)17.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．18.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心在点C(3,4)，半径是；(3)圆心在点C(1,3)，并且和直线3x－4y－7＝0相切．19.设圆C1的方程为(x＋2)2＋(y－3m－2)2＝4m2，直线l的方程为y＝x＋m＋2.(1)求C1关于l的对称的圆C2的方程；(2)当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．20.画出如图所示几何体的三视图.21.如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面三角形VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值．22.若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，求k的取值范围．答案解析1.【答案】C【解析】由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C.2.【答案】D【解析】将圆化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径为，圆心到直线的距离d＝＝1，则直线被圆截得的弦长为22＝4.3.【答案】C【解析】可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．4.【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.5.【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为钝角，则直线的斜率为负数，由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，可得斜率k＝－<0，化简得AB>0，故选A.6.【答案】D【解析】由几何体的三视图可知，其直观图如图所示，将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球的球心为SB的中点，球的半径R＝SB＝＝2，∴S＝4π·(2)2＝48π.球故选D.7.【答案】B【解析】①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．故选B.8.【答案】A【解析】因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l 的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.9.【答案】D【解析】直线的方程y－2＝3(x＋1)，由点斜式方程的特征可知斜率k＝3，故选D.10.【答案】B【解析】设球的半径为r，则球的体积为，球的表面积为4πr2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以＝4πr2，解得r＝3.故选B.11.【答案】D【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.12.【答案】C【解析】设线段AB的垂直平分线为l，∵点A(1,2)，B(2,1)，∴AB的斜率k＝＝－1，AB的中点坐标为(，)，即(，)．∵直线l经过AB的中点与AB垂直，∴直线l的斜率k1＝＝1，可得l的方程为y－＝1×(x－)，化简得x－y＝0.即线段AB的垂直平分线的方程是x－y＝0.故选C.13.【答案】7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0【解析】两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点坐标是(2，－5)，AB的中点为(1,2)，所求方程是7x＋y－9＝0；AB的斜率是－2，所以所求方程是2x＋y＋1＝0.故所求直线方程是7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0.14.【答案】(－∞，－5)∪(2，＋∞)(－2，－1)【解析】圆心分别是C1(－2，n)，C2(n，－1)，半径分别是r1＝3，r2＝2，C1C2＝＝.外离时，5，即n2＋3n－10＞0，解得n＜－5或n＞2；内含时，1，即n2＋3n＋2＜0，解得－2＜n＜－1.15.【答案】49【解析】圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为，半径为2，点与点的距离d＝5，所以圆上的点到的最大距离为5＋2＝7，所以(x－6)2＋(y－3)2的最大值为49.16.【答案】－2【解析】∵直线y＝3x－2中，常数项b＝－2，∴直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2.17.【答案】由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥，所以，k的取值范围是.【解析】18.【答案】(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x－0)2＋(y－0)2＝32，即x2＋y2＝9.(2)由于圆心在点C(3,4)，半径是，所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝()2，即(x－3)2＋(y－4)2＝5.(3)设圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝r2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r＝＝.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝.【解析】19.【答案】(1)圆C1的圆心为C1(－2,3m＋2)，设C1关于直线l的对称点为C2(a，b)，则解得∴圆C2的方程为(x－2m)2＋(y－m)2＝4m2.(2)由消去m得a－2b＝0，即圆C2的圆心在定直线x－2y＝0上．设直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，则＝2|m|，即(－4k－3)m2＋2(2k－1)bm＋b2＝0.∵直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有解得所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为y＝－x.【解析】20.【答案】图(1)为正六棱柱，可按棱柱的三视图画法画出；图(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图法画出它们的组合形状.三视图如图所示.【解析】21.【答案】∵底面四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD.又∵平面VAD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，且平面VAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面VAD.如图所示，取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥VD.又∵AE∩AB＝A，∴VD⊥平面ABE.∴BE⊥VD.因此∠AEB就是所求二面角的平面角，于是tan∠AEB＝.【解析】22.【答案】由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜1，解得k∈(0，)．【解析】。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．4．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.6．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．7． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .8．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．11．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；(Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +．（Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m n n m +．（1）当m >n ，即mn＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S 224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即m n>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π， 由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n nm +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224nm n m +． 所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0(4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（nm）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由nm<1， 得132<<-nm . 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.12．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)13．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．14．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积15．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .2．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲3．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .4．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.6．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．7． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .8．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为9．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）二、解答题10．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A ，0）三点，其中c ＞0．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．11．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)12．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．13．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．14．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．15． 已知椭圆x 2+22b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围； (2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．16．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.17．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率；x(2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围． 4．18． 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴AB 长为4，离心率e =，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．19．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；(Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +．（Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m n n m +．（1）当m >n ，即mn＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S 224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即m n>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π， 由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n nm +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224nm n m +． 所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0(4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0， 所以3232+<<-n m ，又由nm<1， 得132<<-nm . 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.20．已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； (Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．21．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(第17(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.23．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．3．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.4．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．5．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．6．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．8．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且 OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．9．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．10．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
2019届人教A版(理科数学) 立体几何 单元测试
专题十一 立体几何考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题)考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题） 考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题） 考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.如图,三棱锥V ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形, AB BC =,侧面VAC 与底面垂直,已知其正视图的面积为3,则其侧视图的面积为( )A.B. 32C. 34D.2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.6C.20 3D.22 33某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.164.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.7B.15 2C.23 3D.47 65某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为( )A.B.C.D.6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A. 1B.C.D. 27.如图,正方体1111ABCD A B C D 以顶点A 为球心, 2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A. 56πB. 23πC. πD.76π8.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( )A.14π B. 3π C. 4πD. 43π9.已知m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若m α⊥,m β⊥,则αβ⊥B.若αγ⊥,βγ⊥,则//αβC.若//m α,//m β,则//αβD.若m α⊥,//n α,则m n ⊥10.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折,将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )A.点A 与点C 在某一位置可能重合B.点A 与点CC.直线AB 与直线CD 可能垂直D.直线AF 与直线CE 可能垂直11.已知三棱柱111ABC A B C -,侧棱与底面垂直,1112AA AB BC ===,AB BC ⊥,点,,?P M N 分别是棱1111,,BB CC AC 的中点,则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知直二面角,,,l A AC l C αβα--∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于( )A.B.C.D.二、填空题13.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为 3m 。
2019届人教A版(理科数学) 解析几何初步、不等式 单元测试
第Ⅰ卷（共19题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设a ，b ，c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）．A ．22a b >B ．a c b c >C ．11a b< D ．c a c b -<-【答案】D 【解析】∵a b >， ∴a b -<-， ∴c a c b -<-， 故选D ．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，60B ∠=︒，2c =，b =，则C ∠=（ ）．A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．无解【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，将60B ∠=︒，2c =，b =代入，2sin C =，解得sin C =． 又∵c b <，∴c B ∠<∠，即60c ∠<︒，∴45c ∠=︒，故选A ．3．若等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前n 向和5S 等于（ ）．A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】B 【解析】1553()55152a a S a +⨯===， 故选B ．4．已知直线l 过点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(3,0)B 为端点的线段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．12,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B 1,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1(,2],5⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭U ∞∞D ．1,[5,)2⎛⎤--+ ⎥⎝⎦U ∞∞【答案】D【解析】直线AP 的斜率32521AP k --==-+， 直线BP 的斜率021312BP k -==-+， 若直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．故选D ．5．若110a b<<，则下列结论正确的是（ ）．A ．a b >B ．ab b <C ．2b aa b+<-D ．22a b >【答案】A 【解析】∵110a b<<， ∴0a <，0b <，0ab >， ∴ab ab a b<即b a <， 所以A 是正确的，故选A ．6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()n S n n =-∈N ，则2017a 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．2017D ．4033【答案】A【解析】∵21n S n =-，∴201720172016220171(220161)2a S S =-=⨯--⨯-=， 故选A ．7．若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,2][2,)--+U ∞∞B ．(2,2)-C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)--+U ∞∞【答案】C【解析】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∴240k ∆=-≤，解得22k -≤≤， ∴k 的取值范围是[2,2]-，故选C ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是（ ）．A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S【答案】B【解析】∵1101011056()105()5()02a a S a a a a +⨯==+=+>，∴560a a +>，11111()11112a a S +⨯==，60a <， ∴60a <， ∴50a >，60a <，∴当5n =时n S 最大，即5S 最大， 故选B ．9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2()a c a c b =+-，则角A =（ ）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】C【解析】由题可知，2sin sin sin B A C =，故2b ac =， 又∵2()a c a c b =+-，可得222a b c bc =+-， 由余弦定理可得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ∴π3A =， 故选C ．10．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元，设该设备使用了*()n n ∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】设第n 年的运营费用为n a ，由题知{}n a 是首项及公差均为2的等差数列， 则n 年的运营总费用2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+， 记n 年后的盈利总额为()w n ，则22()119109(5)16n w n n S n n n =--=-+-=--+． 因此，当5n =时，()w n 最大值为16，故选B ．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________．【答案】(1,2)- 【解析】∵01b <<， ∴10b -<-<， 又∵02a <<， ∴12a b -<-<，故a b -的取值范围是(1,2)-．12．数列{}n a 的通项为1(1)n a n n =+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．【答案】1n n + 【解析】111(1)1n a n n n n ==-++，∴1231n n n S a a a a a -=+++++，111111111111223341111n n n n n n n =-+-+-+-+-=-=-+++．13．已知直线1:(2)20l x a y +--=，2:(2)10l a x ay -+-=，若12l l ⊥，则a =__________． 【答案】2或1-【解析】由12l l ⊥，可得1(2)(2)0a a a ⨯-+-⨯=， 即220a a --=， 解得2a =或1a =-．14．已知数列{}n a 满足1112(2,)n n n n a a --=∈N ≥，且313a =，则1a =__________；数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】1-123n - 【解析】由题可知，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，以2为公差的等差数列，所以3111(31)2a a =+-⨯，解得11a =-， 111(1)223n n n a a =+-⨯=-， 所以123n a n =-．15．在平面直角坐标系中，不等式组101010x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥，（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为__________． 【答案】3【解析】直线10ax y -+=过点(0,1)，作出可行域可知可行域为一个三角形， 该三角形的面积为1(1)122a ⨯+⨯=，解得3a =．16．在ABC △中，若22tan tan a Ab B=，则ABC △的形状为__________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】原式化为22sin sin cos sin cos sin 2sin 2sin cos sin sin cos A A B A BA B B A B B A=⇒=⇒=， ∴22A B =或22πA B A B +=⇒=或π2A B +=， 故ABC △是等腰三角形或直角三角形．三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程） 17．求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）2113x x--≥． （Ⅱ）(2)01x x x +>⎧⎪⎨<⎪⎩．（Ⅲ）(1)()()x x a a -->∈R ． 【答案】见解析【解析】解：（I ）2121341100333x x x x x x---⇔-⇔---≥≥≥， ∴(34)(3)0x x --≤且30x -≠，∴433x <≤， 不等式的解集为433x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（II ）(2)02001||111x x x x x x x +><->⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨<-<<⎩⎩或，【注意有文字】∴不等式组的解集为(0,1)．（III ）当1a >时，(1)()0x x a -->，x a >或1x <； 当1a =时，2(1)()0(1)01x x a x x -->⇔->⇒≠； 当1a <时，(1)()0x x a -->，1x >或x a <，综上所述，当1a >时，不等式的解集为{|x x a >或}1x <，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠， 当1a <时，不等式的解集为{|1x x >或}x a <．18．在ABC △中，2π3C ∠=，6a =． （Ⅰ）若14c =，求sin A 的值．（Ⅱ）若ABC △的面积为，求c 的值． 【答案】见解析【解析】解：（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin a cA C=，即sin b A =，∴sin A =．（Ⅱ）∵1sin 2ABC S ab C ===△ ∴2b =．由余弦定理得：22212cos 436226522c a b ab c ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c ==19．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2017n S >？若存在，求符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q ， ∵210S a +=， ∴1120a a q +=， ∴20q +=，2q =-， 又∵23112a a q ==，∴13a =， ∴13(2)n n a -=⨯-．（Ⅱ）结论：存在正整数n ，便得2017n S >，符合条件的n 的最小值为11． 理由如下： 由（1）可知31(2)1(2)1(2)nn n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----，令2017n S >，即1(2)2017n -->， 整理得(2)2016n -<-，当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22016n >，解得11n ≥； 综上所述，满足2017n S >的正整数n 的最小值为11．第Ⅱ卷（共7题，满分50分）四、选择题、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）20．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，π3A =，则该三角形面积的最大值是（ ）． A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得：222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=≥， ∴16bc ≤，∴11sin 1622S bc A =⨯=≤，故选D ．21．已知3n n x x +=，*21()n n n x x x n ++=-∈N ，若11x =，2(1,0)x a a a =≠≤则数列{}n x 的前2016项的和2016S 为（ ）．A ．1344B ．1342C ．672D ．671【答案】A【解析】依题意，31x a =-，411x x ==，故数列{}n x 是以3为周期的周期数列，且123112x x x a a ++=+-+=， 故20161232016123672()1344S x x x x x x x =++++=++=，故选A ．22．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 的取值范围是（ ）．A ．110,a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．120,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．310,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．320,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2(1)1i a x -<，解得111i a x -<-<，解得20ix a <<， 因为1230a a a >>>， 所以123222a a a <<， 故120x a <<， 故选B ．23．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则①22x y +的最小值为__________；②若14a x y +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12(],9-∞【解析】①222222()11()2()2()422x y x y x y xy x y x y ++=+-+-⨯=+=≥， ∴22x y +的最小值为12． ②14a x y +≤恒成立，则14a x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤最小值，∵14144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥， ∴14x y+的最小值为9， ∴9a ≤，故实数a 的取值范围是(],9-∞．24．将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下，从左至右的顺序排列成数列11a ，21a ，22a ，31a ，32a ，L 若所得数列构成一个等差数列，且112a =，3312a =，则 ①数阵中的数ii a 可用i 表示为__________．②若(1)(1)(2)(2)mn m n m n a a a +++++=，则m n +的值为__________． 【答案】21i +5【解析】①不妨设等差数列11a ，21a ，22a ，31a ，32a 记为{}nb ，则由112a =，3312a =可得12b =，公差2d =，故2n b n =， 而ii a 可为等差数列{}n b 中的第(1)1232i i i +++++=个， ∴2(1)2(1)2ii i i a i i i i +=⨯=+=+． ②根据题意可得，2123(1)2[123(1)]2mn m na b m n m m n ++++-+==++++-+=-+，∴2(1)(1)(1)(1)2(1)m n a m m n ++=+-+++，2(2)(2)(2)(2)2(2)m n a m m n ++=+-+++， 再由(1)(1)(2)(2)mn m n m n a a a +++++=可得：2222(1)(1)2(1)(2)(2)2(2)m m n m m n m m n -+++-+++=+-+++，化简可得23420m m n --+=， 因为0n >，∴2340m m --<，解得14m -<<， ∴1m =，2，3，再由0m n >≥，可得32m n =⎧⎨=⎩，故5m n +=．五、解答题（本大题共2小题，共25分，写出必要的解答过程）25．已知函数22()(0)x x af x x x++=>．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的最小值．（Ⅱ）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）22()2x x a af x x x x++==++，(0)x >， ∵0a >，0x >，∴()22a f x x x =++=+≥， 当且仅当ax x=，即x =“=”成立，故当x =()f x的最小值为2+． （2）()2(1)a f x x x x =++≥，2()x a f x x-'=， 当1a ≤时，()0f x '>，()f x 在[)1,+∞递增，min ()(1)30f x f a ==+>， 解得31a -<≤；当1a >时，令()0f x '>，解得x >()0f x '<，解得1x <≤， ∴()f x在⎡⎣递减，在)+∞递增，∴()20f x f =>≥成立， 综上所述，实数a 的取值范围为(3,)-+∞．26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足*233()n n S a n =-∈N ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且51334b b +=，39T =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =，问是否存在互不相等的正整数m ，k ，r 使得m ，k ，r 成等差数列，且m c ，k c ，r c 成等比数列？若存在，求出m ，k ，r ；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由233()n n S a n +=-∈N 可得： 当1n =时，13a =；当2n ≥时，233n n S a =-，11233n n S a --=-，两式相减得：1233n n n a a a -=-， ∴13(2)n n a a n -=≥，∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等差数列， ∴3n n a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，根据题意得， 1121634,339b d b d +=⎧⎨+=⎩解得112b d =⎧⎨=⎩，∴21n b n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可以知道(21)3n n n n C a b n ==-⋅，假设存在互不相等的正整数m ，k ，r 便得m ，k ，r 成等差数列，且m C ，k C ，r C 成等比数列， 则2k m r C C C =，即22(21)3(21)(21)3k m r k m r +-⋅=--⋅， 由m ，k ，r 成等差数列得2k m r =+，所以233k m r +=， 所以2(21)(21)(21)k m r -=--， 即244142()1k k mr m r -+=-++，又2k m r =+，所以2k mr =，即22m r mr +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2()0m r -=，即m r =，这与m r ≠矛盾，故不存在满足条件的正整数m ，k ，r ，便得m ，k ，r 成等差数列， 且m C ，k C ，r C 成等比数列．。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．4． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________5．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．7．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．8． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .9．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为三、解答题10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．11．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xy y P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.12．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．13．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=02．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2（D ）43．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．6． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.8． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .9．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）三、解答题10．已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==．（Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标．11．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．12．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲4．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.8．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为9．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错10．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题11．已知,A B 分别是直线3y x =和3y x =-上的两个动点，线段AB 的长为AB 的中点，点P 的轨迹为.C（1）求轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π2．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=03．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．5．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为124+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.6．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．8．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．9． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .10．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为11．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 三、解答题12．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.13．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．14．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：PA DA ⊥．15．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积16．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(4分)(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆 的方程；(6分)(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ． 若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →BQ (6分)17．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．18．已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为1C 上任一点,MN 是圆2:C 22(3)1x y +-=的一条直径.若与AF 平行且在y轴上的截距为3的直线l 恰好与圆2C 相切.(Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；(7分)(Ⅱ）若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的方程.(8分)19．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.20．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.21．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作⊙P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1)若椭圆的离心率e =P 的方程； (2）若⊙P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．22．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． （1）求BC 边所在直线方程； （2）求三角形ABC 外接圆的方程；（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切， 求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π2．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2（D ）43．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .5．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲6．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．8．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．9．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为10．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___(第17错11．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题12．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．13．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)14．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．15．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
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2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲4．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．7．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．8．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题10．已知,A B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为AB 的中点，点P 的轨迹为.C（1）求轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。
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专题突破练(五) 解析几何综合
1．(2017·淄博模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)若直线l ：y ＝ x ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解析：(1)因为左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10， 所以(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.
又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，
所以b 2＝a 2－c 2＝3.
所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23
＝1，
消去y 得
(3＋4 2)x 2＋8m x ＋4(m 2－3)＝0，
Δ＝64m 2 2－16(3＋4 2)(m 2－3)>0，
化为3＋4 2>m 2.
所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2
. y 1y 2＝( x 1＋m )( x 2＋m )＝ 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0)， AD · BD ＝－1，
所以y 1x 1－2·y 2x 2－2
＝－1， 所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，
所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2
＋4＝0.
化为7m 2＋16m ＋4 2＝0，
解得m 1＝－2 ，m 2＝－2k 7.
且满足3＋4 2－m 2>0.
当m ＝－2 时，l ：y ＝ (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；
当m ＝－2k 7时，l ：y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. 2．已知点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，曲线Γ上任意一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，抛物线x 2＝2py (p >0)．
(1)若抛物线的焦点在曲线Γ上，求曲线Γ的标准方程和抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点是F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，在抛物线上是否存在点M ，使得以点M 为切点的切线与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过坐标原点O ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解析：(1)因为|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，所以P 的轨迹是以4为长轴长，23为焦
距的椭圆，标准方程是：y 24＋x 2＝1.
又抛物线焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点F (0,2)，
所以x 2＝8y .
(2)由题意可得抛物线方程：x 2＝2y .
假设存在点M ，设坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，12a 2，由y ＝12x 2， 得y ′＝x ，
所以切线方程：y －12a 2＝a (x －a )，
即：y ＝ax －12a 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax －12a 2y 2＋4x 2＝4，得(a 2＋4)x 2－a 3
x ＋14a 4－4＝0，
Δ＝a 6－4(a 2
＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 4－4＝－4(a 4－4a 2－16)( )， 由根与系数的关系，得：x 1＋x 2＝a 3
a 2＋4，x 1x 2＝14a 4－4a 2＋4＝a 4－164(a 2＋4)
， 由题意可得：OA →·OB →＝0，即：x 1x 2＋y 1y 2＝0，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1－12a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫ax 2－12a 2 ＝(1＋a 2
)x 1x 2－a 32(x 1＋x 2)＋14a 4 ＝(1＋a 2)(a 4－16)4(a 2＋4)－a 62(a 2＋4)＋a 44
＝5a 4－16a 2－164(a 2＋4)
＝0. 解得：a 2＝4，带入 式，得：Δ>0，
综上，存在点M (±2,2)．
3．已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．
解析：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，
所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，
所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .
(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，
设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，
由y ′＝12x ，得切线l 的斜率 ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，
所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，
即y ＝12x 0x －14x 20
. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0
得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3
得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0
，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0
，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x 0＋3x 02 ＝ 6.
所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．
4．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为圆x 2＋y 2＝4的直径，离心率为32，
右焦点为F .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 与椭圆C 相切于点P (不为椭圆C 的左、右顶点)，直线l 与直线x ＝2交于点A ，直线l 与直线x ＝－2交于点B ，试证明直线AF ⊥BF .
解析：(1)2a ＝4，即a ＝2，e ＝c a ＝32，
所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，
所以椭圆方程为：x 24＋y 2＝1.
(2)证明：当l 的斜率为0时，∠AFB 为直角，
则∠AFB 为定值π2，
当斜率不为0时，设切点为P (x 0，y 0)，
则l ：xx 04＋yy 0＝1，
所以A －2，1－x 02y 0，B －2，1＋x 02y 0
， 所以 AF · BF ＝1－x 02(2－3)y 0·1＋x 02(－2－3)y 0＝1－x 204－y 20
＝－1，
所以直线AF ⊥BF .。