认识三角形能力培优训练
新课标-最新浙教版八年级数学上学期《三角形的初步认识》培优提升卷及答案解析-精品试题
第1章《三角形的初步认识》培优提升卷班级______ 姓名_______一、选择题（每题3分，共30分）1.现有四根木棒，长度分别为4cm ，6cm ，8cm ，10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠+∠12 的度数为（ ）A.120°B. 180°C. 240°D. 300°第2题 第4题 第5题 3.根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝64.如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是（ ）A. 180°B.360°C.540°D.720°2160°5.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°6.下列命题:(1)无限小数是无理数(2)绝对值等于它本身的数是非负数(3) 垂直于同一直线的两条直线互相平行(4) 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等, (5)面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A.BC=EC，∠B=∠EB. BC=ECC. BC=DC，∠A=∠DD.∠B=∠E，∠A=∠D8.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB为（）A. 80°B. 72°C. 48°D. 36°第7题第8题第10题9.若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形的个数有（）A、4个B、5个C、6个D、7个10.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA二、填空题（每题4分，共24分）11.已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简135-+-x x = 12.如图，长方形ABCD 中(AD>AB)，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，则∠ANB+∠MNC=___________13.如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______°BFB第12题 第13题 第16题14.在△ABC 中，AB=8，AC=6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是 15.已知三条不同的直线a ，b ，c 在同一平面内，下列四个命题：①如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c ；②如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ；③如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ⊥c ；④如果b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥C ．其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)16.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图,∠B=∠C=900，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED=35°，，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______。
人教版八年级数学《三角形》培优训练(一)2024
人教版八年级数学《三角形》培优训练（一）引言概述：本文是关于人教版八年级数学《三角形》培优训练（一）的文档。
通过该培优训练，学生可以全面了解和掌握三角形的相关知识和技巧。
本文将从五个大点入手，分别是三角形的基础知识、三角形的性质、三角形的分类、三角形的计算以及三角形的应用。
每个大点下又包括5-9个小点来具体讲解和说明。
通过学习本文，相信学生们能够在数学学习中更好地理解和应用三角形的知识。
一、三角形的基础知识1. 三角形的定义：三边的连线形成的图形2. 三角形的元素：顶点、边、角3. 三角形的命名方法：按顶点依次命名4. 三角形的内角和：180°5. 三角形的外角和：360°二、三角形的性质1. 三角形两边之和大于第三边2. 三角形两角之和大于第三角3. 三角形内角相等性质4. 三角形的外角等于与之相邻的两个内角的和5. 三角形的底角与顶角互补三、三角形的分类1. 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形2. 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形3. 根据边长和角度分类：等腰直角三角形、等腰锐角三角形和等腰钝角三角形4. 根据边长、角度和对称性分类：等边直角三角形和等边钝角三角形四、三角形的计算1. 三角形的面积计算方法：底乘以高除以22. 利用三角形的面积求解其他未知量3. 利用勾股定理求解三角形的边长4. 利用正弦定理求解三角形的边长5. 利用余弦定理求解三角形的边长五、三角形的应用1. 三角形在建筑、航海和导航中的应用2. 三角形在地图制作和测量中的应用3. 三角形在航空和航天技术中的应用4. 三角形在数学模型和图形构造中的应用5. 三角形在计算机图形和游戏开发中的应用总结：通过本文的学习，我们了解了三角形的基础知识、性质、分类、计算方法和应用场景。
掌握这些知识和技巧，将有助于我们在数学学习和实际问题中更好地理解和应用三角形的概念。
希望同学们通过培优训练，能够进一步提高数学水平，充实自己的知识储备。
初一下学期三角形培优专题训练
初一下学期三角形培优专题训练在初一下学期的数学学习中，三角形是一个重要的内容。
掌握三角形的性质和计算方法对学生的数学能力和解题能力有着重要的促进作用。
为了帮助同学们更好地学习三角形，提升解题水平，教师组织了三角形培优专题训练。
本文将围绕这一主题展开，对三角形的基本概念、性质以及相关习题进行讲解和分析。
一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的图形，它是几何学中最基本的图形之一。
在学习三角形之前，首先要了解三角形的基本概念。
三角形有三个顶点和三条边，其中每两条边之间形成一个内角。
三角形的内角和为180°，这是三角形最基本的性质之一。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，三角形可以被分为不同的类型。
常见的三角形类型包括等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三条边长度相等，每个内角都是60°；等腰三角形的两条边长度相等，相应的两个内角也相等；一般三角形则指既不是等边三角形也不是等腰三角形的三角形。
了解这些不同类型的三角形对学生掌握三角形的性质和解题方法很有帮助。
三、三角形的性质三角形有许多重要的性质，这些性质是解题的基础。
首先，三角形的任意两边之和大于第三边，这是三角形存在的必要条件。
其次，等边三角形的三个内角都是60°，等腰三角形的两个内角相等。
此外，三角形的外角等于其对应的两个内角之和。
三角形的面积可以通过底边长和高的乘积的一半来计算。
掌握了这些基本性质，同学们在解题过程中就能够灵活应用，提高解题效率。
四、三角形的计算方法在解题过程中，经常会涉及到三角形的计算问题。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角的大小，需要求解第三边的长度。
这时可以应用三角形的余弦定理进行计算。
如果只知道三角形的两条边长度，需要求解夹角的大小，可以使用三角形的正弦定理或余弦定理。
这些计算方法是解决三角形问题的重要工具，同学们需要熟练掌握，理解其应用场景和计算原理。
五、三角形培优专题训练习题为了巩固和提升同学们在三角形方面的能力，教师特别准备了一些专题训练习题。
三角形培优训练题集锦(一)2024
三角形培优训练题集锦（一）引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，它具有广泛的应用。
三角形培优训练题集锦（一）旨在帮助学生通过解答一系列三角形相关的问题，提高对三角形的理解和运用能力。
本文将介绍该训练题集锦的内容，包括五个大点，每个大点下分5-9个小点，详细解析了每个问题的解题思路和方法。
正文：大点一：三角形的基本概念与性质1.1 三角形的定义1.2 三角形的分类1.3 三角形的内角和1.4 三角形的外角和1.5 三角形的周长和面积的计算公式大点二：特殊三角形2.1 等边三角形的性质与判定2.2 等腰三角形的性质与判定2.3 直角三角形的性质与判定2.4 正三角形和锐角三角形的关系2.5 三角形边长关系的应用大点三：三角形的相似性质3.1 相似三角形的定义与判定3.2 相似三角形的性质3.3 相似三角形的应用3.4 黄金分割的应用3.5 相似三角形中的角平分线和高线的性质大点四：三角形的余弦定理与正弦定理4.1 余弦定理的原理和公式4.2 余弦定理的应用4.3 正弦定理的原理和公式4.4 正弦定理的应用4.5 余弦定理与正弦定理的综合应用大点五：三角形的解析几何5.1 三角形的坐标表示法5.2 三角形的中点坐标和边长计算5.3 三角形的垂直平分线和角平分线方程5.4 三角形的垂线和中位线方程5.5 三角形的外接圆和内切圆方程总结：本文概述了三角形培优训练题集锦（一）的内容，详细介绍了五个大点下的各个小点。
通过解答这些训练题，学生们将能够加深对三角形的理解，熟练掌握求解三角形相关问题的方法和技巧。
希望本文能对学生们的数学习题能力提升有所帮助。
人教版八年级数学上册 三角形认识 单元培优卷(含答案)
八年级数学上册三角形认识单元培优卷一、选择题：1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是( ).2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（）A.15mB.17mC.20mD.28m3、已知一个多边形的内角和是720º，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.65、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )A.45°B.50°C.60°D.75°6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A.50°B.30°C.20°D.15°7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°10、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1= 50°，则∠2+∠3 =（）A.190°B.130°C.100°D.80°12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题:13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性.14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为.15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是 .16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.18、如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018=____.(用含α的式子表示)三、解答题:19、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.20、在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数.21、如图, AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）∠ABE=15°，∠BAD=36°，求∠BED的度数；（2）作出△BED中DE边上的高，垂足为H；（3）若△ABC面积为20,过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，求△BCF的面积。
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；（用含 x，y 的代数式表示）
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（3）如图 2，若△ABC 是钝角三角形，其他条
件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说 明理由. （3）解：（2）中的结论成立．理由如下. ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°-x-y. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=90°- x- y.
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12. 【探究】如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平 分线与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 50 度，∠P= 115 度；
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（3）【应用】如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平
分线与∠ACB 的平分线相交于点 P. ∠ABC
的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于
点 Q.直接写出∠A 与∠Q 的
数量关系为
.
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6. 如图， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° .
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7. 如图，∠B=∠C，DE⊥BC 于点 E，EF⊥AB 于 点 F，若∠ADE=140°，则∠FED= 50° .
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练(含答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练一、选择题1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5cm，2cm，4cm B．5cm，2cm，2cmC．5cm，2cm，3cm D．5cm，12cm，6cm2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的角平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．4．下列说法中正确的是（）A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边5．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm6．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝90°B．∠3＝60°C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠48．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°9．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（）A．80°B．40°C．60°D．50°10．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 11．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（）边形．A．6 B．7 C．8 D．912．如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30°B．35°C．36°D．45°13．如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．215°D．220°二、填空题14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，∠1＝∠2，∠BEC＝96°，则∠FGE＝°．16．小华用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为10cm和2cm，第三根木棒的长度为偶数，则第三根的长度是cm．17．如图，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠BOE的度数是．三、解答题18．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝度时，∠ADC＝∠C．19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，∠C＝50°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．20．如图，已知CD是△ABC的角平分线，∠CDE＝∠DCE．（1）求证：DE∥BC；（2）若CD⊥AB，∠A＝30°，求∠CED的度数．21．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，点E在AB上，连接CE、DE．（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠CED＝°；（2）若∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝90°．参考答案1．解：A、2+4＞5，能构成三角形，符合题意；B、2+2＜5，不能构成三角形，不符合题意；C、2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意；D、5+6＜12，不能构成三角形，不符合题意．故选：A．2．解：∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝60°．∵CM是∠ACB的角平分线，∴∠ACM＝∠ACB＝30°．∴∠CMB＝∠CAB+∠ACM＝75°．∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°．∵∠CDB＝∠MCD+∠CMB．∴∠MCD＝∠CDB﹣∠CMB＝90°﹣75°＝15°．故选：A．3．解：A选项中，BE与AC不垂直；B选项中，BE与AC不垂直；C选项中，BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D．4．解：A、三角形的三条高不一定都在三角形内，如钝角三角形的高在三角形外部，说法错误，不符合题意；B、直角三角形有三条高，说法错误，不符合题意；C、锐角三角形的三条高都在三角形内，说法正确，符合题意；D、三角形每一边上的高不一定小于其他两边，说法错误，不符合题意；故选：C．5．解：∵AD为中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝10，AC＝8，∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．故选：A．6．解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故选：A．7．解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故A正确；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，故C正确；∵∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠4，故D正确；故选：B．8．解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∵∠1＝∠2＝145°，∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，故选：B．9．解：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCM，∵CF平分∠ACM，∠ACF＝50°，∴∠FCM＝∠ACF＝50°，∴∠B＝50°，故选：D．10．解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．11．解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1080°，解得：n＝8，即多边形是八边形，故选：C．12．解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，所以，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．13．解：五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵∠A+∠B＝215°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣215°＝325°，又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝180°×3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣325°＝215°．故选：C．14．解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案为：25°．15．解：∵DE∥BC，∴∠2＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠1，∴GF∥BE，∴∠BEC+∠FGE＝180°，∵∠BEC＝96°，∴∠FGE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣96°＝84°．故答案为：84．16．解：根据三角形的三边关系，得10﹣2＜第三根木棒＜10+2，即8＜第三根木棒＜12．又∵第三根木棒的长选取偶数，∴第三根木棒的长度只能为10cm．故答案为：10．17．解：由题意：∠OED＝108°，∠OBA＝120°，∴∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，故答案为：48°．18．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∠AED＝90°．（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD＝×64°＝32°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD＝×（153°﹣∠C）＝76.5°﹣．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°﹣∠C＝103.5°﹣∠C．∵∠ADC＝∠C，∴103.5°﹣∠C＝∠C．∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案为：21．19．解：∵∠C＝50°，∠BDC＝95°，∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣50°﹣95°＝35°．∵BD平分∠ABC，∴∠EBC＝2∠DBC＝70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠EBC＝180°，∴∠BED＝180°﹣70°＝110°．20．（1）证明：∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠CDE＝∠DCE，∴∠EDC＝∠BCD，∴DE∥BC；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠EDC＝∠ACD＝60°，∴∠CED＝180°﹣∠EDC﹣∠ECD＝60°．21．解：（1）∵∠1＝35°，∠2＝25°，∠B＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠2＝180°﹣90°﹣25°＝65°，∠CED＝180°﹣∠1﹣∠CEB＝180°﹣35°﹣65°＝80；故答案为：80．（2）∵∠1＝∠2，∵∠B＝90°，∴∠2+∠BEC＝90°，∴∠1+∠BEC＝90°，∴CDE＝180°﹣90°＝90°，∴∠3+∠4＝180°﹣∠CDE＝180°﹣90°＝90°。
三角形培优训练
三角形培优训练一姓名：班级：例1．已知：点D为△ABC内任一点（1）求证：AB+AC>DB+DC（2）求证：∠BDC>∠AB提高1: 已知：点D为△ABC内任一点(1)求证：2(DA+DB+DC)>AB+AC+BC(2)求证：AB+AC+BC> DA+DB+DCB例2：不等边三角形的面积为60，它的两条高的长度分别是4和12，若第三高的长也为整数（1）试求第三条高的长；AB E（2）若面积为a，你能求出第三条高的长吗？提高1 已知：三边互不相等的△ABC的周长为48cm，最大边与最小边的差为14cm，且每一边的长度为偶数，求三边长。
提高2 △ABD与△ACD的周长相等，△ACE与△BEC的周长相等，求证：DC=AE．提高3 在平面直角坐标系中，A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），将点B向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点B′，（1）试比较△ACB与△ACB′的面积大小；（2）若将B点坐标改为（m，n），且△ACB与△ACB′都存在，（1）中的结果有变化吗？提高4 △ABC中，D点是AB边上的中点，过D点作BC的平行线交AC边于点E，求证：E点为AC边的中点。
AC D E P 三角形培优训练二例1 已知：如图，O 点在直线AB 上，∠AOC=∠COD=∠DOE ，OF 平分∠DOB,2∠EOF=∠FOB,求∠EOF 的度数。
例2 已知：如图，△ABC 中，∠B =∠C ，∠ADE=∠AED ，∠BAD ＝20°，求∠CDE 的度数。
提高1 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB 的邻补角∠ACM ，若∠BDC ＝130°，∠E=50°,求∠ABD,∠ACM,∠BAC 的度数。
提高2 已知三角形有一个内角是（180°－x ）度，最大角与最小角之差为24°，求x 的取值范围。
提高3 已知，△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，∠PBC=∠PCB ，过C 点作CD ∥AB 交BP 的延长线于点D ，求证：∠BEC=∠PCD ．A C E FDO A B C E AE DA B C D ′E例4 如图，把一块长方形纸片ABCD 沿GH 折叠， （1）求∠DG H ＋∠BHG 的度数；（2）求∠DG C ′＋∠BHC ′的度数.例5 将长方形纸条ABCD ，沿对角线AC 折叠，若∠BAC=22.5°，则图中45°的角有几个。
三角形的认识大题专练(分层培优解答30题,七下苏科)七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】
2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.2三角形的认识大题专练（分层培优解答30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春•广陵区校级期中）已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？2．（2020春•相城区期中）若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．3．（2019春•大丰区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？4．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．5．（2022春•姜堰区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上．（1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D；（2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积．6．（2022春•高港区校级月考）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．7．（2022春•锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．8．（2022春•亭湖区校级月考）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长．（2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数．9．（2022春•泗阳县月考）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．10．（2022春•阜宁县期中）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•东台市月考）如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为16cm，求AC的长．12．（2019春•锡山区期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC ＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．13．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．14．（2022春•秦淮区期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．15．（2020春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数；②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝°．16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系．17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由．18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明：（1）OB+OC＜AB+AC；（2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）．19．（2021秋•铁东区校级月考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．20．（2022秋•乌鲁木齐县月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．（1）求c与x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•宝应县校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．22．（2020春•如东县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．23．（2019春•无锡期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上．（1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积．24．（2019秋•江阴市期中）如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a．（1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为；（用含m、a的代数式表示）（2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为．（用含a、b的代数式表示）25．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？26．（2022秋•西城区校级期中）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝．27．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．28．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．29．（2021秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝；（3）当t为何值时，△BPC的面积为18．30．（2022春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）试说明∠CEF＝∠CFE；（3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝（仅填结果）．△ABC。
北师大版七年级数学下册培优练习附答案4.1-认识三角形
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17.如图，在 中，点 是 的中点，点 为 的重心， ，则 ．
18.等腰三角形：有相等的三角形是等腰三角形．
19.由不在同一条直线上的条线段相接所组成的图形叫做三角形．
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20.若 ， ， 为三角形的三边，且 ， 满足 ，则第三边 的取值范围是．
认识三角形
一、选择题（共15小题）
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
2.如图， 中， 于点 ， 于点 ，则 边上的高是
《
A. B. C. D.
3.如图， 中， ， ， ，点 是 的中点， ，则 的面积是
A. B. C. D.
4.已知三角形的三边长为连续整数，且周长是 ，则它的最短边长为
14.下列说法中，正确的是
A.相等的角是对顶角
B.同一平面内，若 且 ，则
C.三角形的三条高线始终在其内部
D.重心是三角形三条中线的交点
"
15.如图，为估计荔香公园小池塘岸边 ， 两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点 ，测得 ， ，则 ， 间的距离可能是
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题）
21.如图， 的两条中线 ， 相交于点 ，已知 的面积为 ，则四边形 的面积为．
22.如图， 的度数为．
"
三、解答题（共5小题）
23.观察下面三个三角形的形状，找出它们的共同特征，并对有这些共同特征的三角形下一个定义．
24.有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长为 和 ．
15. B
16.
17.
七年级数学培优练习10(认识三角形)
七年级数学培优练习10（认识三角形）一．选择题1．在下列长度的四根木棒中，能与长为3cm、8cm的两根木棒围成一个三角形的是（）. A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm2．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形）3．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°4．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m)5．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．10#6．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=60°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°7．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC=24cm2，则△DEC的面积的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．12cm28．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（）A．BC=EF B．BE=ECC．AC=DFD．△ABC≌△DEF9．如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°]第6题图:第7题图第5题图第3题图第4题图、10．如图，△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长 AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A1B=AB ，B 1C=BC ， C 1A=CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1．第二 次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2， 使A 2B 1=A 1B 1，B 2C 1=B 1C 1，C 2A 1=C 1A 1，顺次连接A 2， B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…按此规律，要使得到的三角形 &的面积超过2016，最少经过（ ）次操作．A ．6B ．5C ．4D ．3 二．填空题11．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，那么三角形周长是 ．12．△ABC 的三个外角的度数之比为2：3：4，此三角形最小的内角等于 °．13．如图，△ABC 中，∠ACB ＞90°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，则线段 是△ABC 中AC 边上的高．，14．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．15．如图，在△ABC 中，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，若S △ABC =80，BD=8，则点E 到BC 边的距离为 ．{16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3= ．17．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．三．解答题18.如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．第10题 图 第13题图 ；第14题图 第15题图 第16题图^19．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）图1中的∠ABC的度数为．（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为．]20．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．…21．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2．（1）求证：FG∥BC；（2）若∠A=60°，∠AFG=40°，求∠ACB的度数．、`】22．Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=65°，则∠1+∠2=；（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，探索∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．`23．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．（1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度，∠ABD+∠ACD=度；（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．（3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．。
三角形专项培优训练
三角形专项培优训练1. 引言本文档旨在介绍三角形的专项培优训练，以帮助学生提高解决相关问题的能力。
培优训练将涵盖三角形的基本知识、性质和计算方法，并结合实例进行详细讲解。
2. 培训内容2.1 三角形的定义和分类- 三角形的定义及其重要概念，如边、顶点和角- 根据边的长度和角的大小，将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形2.2 三角形的性质介绍三角形的常见性质，包括但不限于：- 角的和为180度- 两条边的和大于第三条边- 等边三角形的三个角均为60度等等2.3 三角形的计算方法- 利用勾股定理计算直角三角形的边长- 利用正弦、余弦和正切等三角函数计算三角形的边长和角度- 利用海伦公式计算非直角三角形的面积2.4 实例演练通过提供一系列的练题和实例，让学生运用所学知识解决具体问题，培养解决问题的能力。
3. 培训目标通过三角形专项培优训练，学生将能够达到以下目标：- 熟练掌握三角形的定义、分类和常见性质- 理解和运用三角形计算的基本方法和公式- 能够灵活解决与三角形相关的问题- 提高分析和推理的能力4. 培训方式本次培训将采取以下方式进行：- 理论讲解：通过简明扼要的讲解，介绍三角形的相关知识点和技巧- 实例演练：提供一系列的练题和实例，让学生进行训练和实践- 讨论反馈：开展讨论和答疑环节，帮助学生加深理解和掌握- 考核评估：通过考试或测试，评估学生的研究成果和能力5. 总结通过三角形专项培优训练，希望能够帮助学生提高数学解题能力，尤其是在解决与三角形相关的问题时能够灵活运用所学知识。
最终目标是培养学生的分析、推理和解决问题的能力，为其未来的研究和职业发展打下坚实的基础。
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三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。
三角形培优训练(一)
三角形培优训练（一）引言：三角形是平面几何中的重要概念，掌握三角形的性质和运用是数学学习的关键。
三角形培优训练（一）将系统地介绍三角形的基本概念、性质和计算方法，旨在帮助学生提高解决三角形相关问题的能力。
正文：1. 三角形的基本概念a. 三角形的定义和性质b. 三角形的分类与命名方法c. 三角形内角的性质和和角的概念d. 三角形外角的性质和外角和定理e. 三角形的内部和外部点、线与三角形的关系2. 三角形的边与角的关系a. 三角形边的关系：等边、等腰和等腰三角形b. 三角形角的关系：直角三角形和锐角三角形c. 三角形边和角的关系：勾股定理和正弦定理d. 三角形角和角的关系：余弦定理和正切定理e. 三角形边和角之间的运用：解决实际问题3. 三角形的相似性质与判定a. 三角形相似性质：AAA相似、AA相似和SAS相似b. 三角形相似性质的运用：比例关系的应用c. 三角形的相似判定：SSS相似和对应角相等d. 三角形相似性质的证明方法：射影法和剪切法e. 三角形相似性质的应用：解决比例问题4. 三角形的周长和面积计算a. 三角形的周长计算方法：边长求和b. 三角形的面积计算方法：海伦公式和三角形高公式c. 三角形面积计算的特殊情况：等边三角形和直角三角形d. 三角形周长和面积的应用：解决实际问题e. 三角形周长和面积计算的技巧和窍门5. 三角形的运用和拓展a. 三角形在几何证明中的运用：构造三角形、相似三角形b. 三角形在几何模型中的应用：建模和解决实际问题c. 三角形与其他几何形状的关系：正方形、矩形和圆d. 三角形在解决复杂问题中的拓展：三角恒等式和三角函数e. 三角形在探索几何中的应用：几何推理和创新思维总结：通过三角形培优训练（一），学生将全面了解三角形的基本概念、性质和计算方法，并能够灵活运用这些知识解决相关问题。
掌握三角形的培优训练，将为学生的数学学习打下坚实的基础，提高解决几何问题的能力。
三角形培优训练
三角形培优训练三角形是几何学中重要的基础形状，它们在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
掌握三角形的性质、计算方法和解题技巧，对于培养学生的逻辑思维、分析和解决问题的能力具有重要意义。
本文将探讨三角形的培优训练方法，帮助学生更好地理解三角形的概念和性质。
一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的封闭图形，它具有三个顶点和三条边。
根据三角形的边的长度和角的大小，可以进一步分类三角形为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，一般三角形的三边长度各不相等。
二、三角形的性质与定理1. 角的和定理：一个三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角定理：一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
即∠D = ∠A + ∠B。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，即∠A = ∠C。
5. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都是60度，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。
三、三角形的计算方法1. 根据边长求三角形的面积：利用海伦公式可以计算任意三角形的面积。
假设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积可以用以下公式表示：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
2. 根据角度求三角形的边长：可以使用三角函数来计算三角形的边长。
例如，当已知一个角的大小和另外两边的长度时，可以通过正弦定理或余弦定理计算出第三边的长度。
3. 判断三角形的形状：可以利用三角形的边长来判断三角形的形状。
当三边长度相等时，为等边三角形；当两边长度相等时，为等腰三角形；当三边长度各不相等时，为一般三角形。
四、三角形的解题技巧1. 利用三角形的内角和定理解题：通过已知的角度信息，可以计算出其他角度的大小，进而解决问题。
初二数学上册三角形培优练习题
初二数学上册三角形培优练习题在初二数学上册中，三角形是一个重要的知识点。
为了提高学生的数学能力，教师设计了一套三角形培优练习题。
本文将围绕这套练习题展开讨论，并逐步深入解析相关内容。
一. 三角形基本定义在开始解答培优练习题之前，我们首先要了解三角形的基本定义。
三角形是由三条边和三个夹角组成的几何形状。
根据边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
在培优练习题中，我们将会接触到各种类型的三角形，因此需要做好相关知识的准备。
二. 三角形的性质在解答三角形培优练习题时，我们需要掌握三角形的一些重要性质。
例如，三角形两条边之和大于第三边；三角形的内角和等于180度等。
这些性质是解题的基础，只有熟练掌握了它们，才能更好地解答后续的练习题。
三. 三角形的分类根据角的大小和边的长度，我们可以对三角形进行分类。
在初二数学上册的培优练习题中，我们将会遇到如下几种常见的三角形：1. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
在解答培优练习题时，我们需要熟练掌握等腰三角形的性质以及相关计算公式，例如等腰三角形的底角相等等。
2. 直角三角形：其中一个角为90度的三角形。
求解直角三角形的练习题时，我们需要使用勾股定理或相关的三角函数来进行计算。
3. 等边三角形：三条边长度均相等的三角形。
在解答培优练习题时，我们需要充分了解等边三角形的性质，例如等边三角形的内角均为60度等。
四. 解答培优练习题的技巧在解答三角形培优练习题时，我们可以运用一些技巧来快速求解。
以下是一些常用的技巧：1. 利用相似三角形的性质：当两个三角形中对应角相等时，这两个三角形称为相似三角形。
我们可以利用相似三角形的对应边的比例关系来解决一些求解边长或角度的问题。
2. 运用三角函数：三角函数是解决三角形问题的重要工具。
根据不同角的正弦、余弦和正切关系，可以帮助我们计算角度或边长。
3. 运用勾股定理：勾股定理可以帮助我们在已知两边长度的情况下，求解第三边的长度。
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认识三角形
专题一与三角形有关的规律探究题
1.观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有个三角形，第二个
图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕
点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（）
A．2011＋6713B．2012＋6713C．2013＋6713D．2014＋6713
专题二火柴棒搭建三角形问题
3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有
3个三角形吗请出画示意图.
B
C
③
①②
12
l
3…
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗可以搭几种三角形
12根火柴呢
专题题三利用角平分线探究规律
5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ．
⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数．
⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系它们是不是一定有这种关系请给出
说明．
课时笔记
【知识要点】
1. 三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2. 三角形的表示法
三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC.
3. 三角形的基本要素
∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a.
4. 三角形按内角的大小分类
5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边.
6. 三角形中的线段
（1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
（2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线.
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
【温馨提示】
1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关
系，可以确定第三边的取值范围.
2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积．
3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
【方法技巧】
1. 判断三条线段能否组成三角形：只需找出最长线段，与其他两条线段之和比较.当最长线段大于其他两条线段的和时，不能组成三角形；当最长线段比其他两线段的和小时，能组成三角形.
2. 已知三角形中的两边长a ，b ，求第三边长c 的范围为||a b x a b -<<+.
3. 在运用三角形的角平分线求角度时，既要运用其定义，同时也要注意与三角形的角度有关的其他知识相结合．
参考答案
1. 1；5；9；13；17；37 【解析】 第一个图中有1个三角形；第二个图中有4+1=5个三角形；第三个图中有4+4+1=1+2×4=9个三角形；第四个图中有4+4+4+1=1+3×4=13；第五个图形时，有1+4×4=17个三角形；第十个图形时，有1+4×9=37个三角形.
2. B 【解析】 根据题意，△ABC 每旋转3次，在直线l 终点到A 的距离就增加3＋3，因为2012÷3＝670……2，所以AP 2012＝670（3＋3）＋2＋3＝2012＋6713．故选B ．
3. 解：我能拿掉其中的3根，使图中只有3个三角形.如图：
4. 解：5根火柴能搭成一个三角形，可以搭一种三角形，它的三边的火柴根数分别是2,2,1. 12根火柴能搭成三角形的三边的火柴根数分别是2,5,5；3,4,5；4,4,4.
5. 解： ⑴∵∠ABC ＝60°，∠ACB ＝40°，∴∠A ＝80°．
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，
∴∠DBC ＝30°．
又∵∠ACB ＝40°，
∴∠ACE ＝140°．
又∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝70°．
∴∠D＝40°
⑵∠A=2∠D．理由如下：
∵∠A＝180°－∠ABC－∠ACB，∠ACE=180°－∠ACB，
又∵∠DEC=∠DBC＋∠D=1
2
∠ABC＋∠D，
∠DEC=1
2
∠ACE=
1
2
（180°－∠ACB）=90°－
1
2
∠ACB．
∴1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB．
即1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB，∠D =
1
2
(180°－∠ABC－∠ACB)=
1
2
∠A．。