河海大学线性代数2013考前练习题

河海大学专升本函授2013级水工专业

《线性代数》试卷 姓名学号专业成绩

一、 填空题（本题满分14分，每空2分）

1. 若12121,1110111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

,AB =则 。 2. 设三阶矩阵123,4A A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

则 。 3. 设()()()1231,1,1,,1,3,2,1,2,,αααλ===线性相关,λ= 。

4. 设三阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则A E += 。

5. 设1112

132122232122

2311121331

3233312132223323a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a a ==---，则 。 6. 设A 为三阶方阵,且122

A A =-=，则 。 7. 设二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则

t 应满足 ；

二、选择题（本题满分12分，每小题3分）

1.已知四阶行列式4D 的第一行的元素依次为1,2,-1,-1,它们的余子式为2,-2,1,0,则4D 的值为

( )。

()A -3 ; ()B -5 ; (C) 3 ; (D) 5 。

2 .己知A,B 是同阶方阵，下列等式中正确的是 ( )。

（A ）AB A B = ; （B ）()T

T T AB A B = ; （C ）()111AB A B ---=； (D) ()k

k k AB A B = 。 3.如果线性方程组Ax b =中方程的个数少于未知量的个数，则（ ）。

(A) Ax b =必有非零解; (B) 0Ax =必有无穷多解 ;

(C) 0Ax =一定无解 ; (D) Ax b =一定无解 。

4. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，β是对应齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解 ( ) 。

()A 12αα+ ; ()B 12αα- ;

()C 12βαα++ ; ()D 21122

βα++ 。

三、计算题（本题满分21分，每小题7分）

1.1324

2131

3214

2101

2.0

1000

2000

01000

n n -

3. 设A B n ，为阶方阵，若AB A B =+，证明A I -可逆且AB BA =。

四、(本题满分12分)

设向量组1013α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，011β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

， 1.证明1,2,3,ααα线性无关;

2.将β表示为1,2,3,ααα的线性组合。

五、(本题满分12分)

1. 设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，矩阵X 满足方程2AX E A X +=+求X 。 2. AB A B =+，证明A I -可逆且AB BA =。

六、(本题满分12分)

设线性方程组

12345123452

345123457323222623543312

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 1. 试证线性方程组有无穷多解;

2. 试用基础觧系求该线性方程组的通解。

七、(本题满分12分)

求矩阵211010021--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值与特征向量。

八、(本题满分12分) 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个特解，12ξξ，是其导出组0Ax =的一个基础解系。试证明

(1) 101202ηηξηηξ=+=+，是Ax b =的解;

(2) 0η,1η,2η线性无关。

九、(本题满分6)

若A 是n 阶方阵，且10T AA E A A E ==+=，，证明。其中E 为单位矩阵。