数学：3.2《均值不等式》测试题(新人教B版必修5)
人教B版高中数学必修五课件3.2均值不等式练习题(一)
（A）10
（B）6 3
（C）4 6 （D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2 （C）1
4
（B） 1 2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+27 ，当x=时 ,函3 数
x2
有最值是。小
20
12．若x>3，函数y x 1 ，当x=时4 ,函数
（A）x，y均为正数，则 x y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则 (a 2)(a 1)≥ 4
2a a
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 2 ≥ 2
x2 1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C ）
（A） 2ab a b ab
ab 2
（B） a b 2ab ab
x3
有最值是. 小
5
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x=, y12=时，
xy的最12 大值是。
1 4
14．求证： 4 a ≥ 7 .(a>3)
a3
4 a 4 +(a 3) 3≥ 4 3 7 a3 a3
15．已知函数的解析式 y 4 9x （1）若x>0，当x=时23，函数有x 最值为小；
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p
logc
a
2
logc
b，q
logc
a
2
b,
，r 则12 lopg，c aq2，b r的大小关系是（ ）
高中数学 3.2 均值不等式例题与探究素材 新人教B版必修5
3.2 均值不等式典题精讲例1 已知a 、b 、c 是正实数，求证：cabb ac a bc ++≥a+b+c. 思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：∵a、b 、c 是正实数， ∴b ac a bc b ac a bc •≥+2=2c （当且仅当bac a bc =，即a=b 时，取等号）， a c ab b ac c ab b ac 22=•≥+（当且仅当c ab b ac =，即b=c 时，取等号）， a bc c ab a bc c ab •≥+2=2b （当且仅当cab a bc =，即a=c 时，取等号）. 上面3个不等式相加,得c abb ac a bc •+•+•222≥2a+2b+2c（当且仅当a=b=c 时，取等号）. ∴c ab b ac a bc ++≥a+b+c. 绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是A ⇒B 1⇒B 2⇒B 3⇒…⇒B n-1⇒B n ⇒B. （条件）−−−−−−−−→−必要条件逐步探求不等式成立的（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”. 变式训练 已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1. 求证：33232323≤+++++c b a .思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:23)23(3)23(++≤•+a a ,同理,23)23(3)23(++≤•+b b ,23)23(3)23(++≤•+c c ,三个不等式相加，得3)23(3)23(3)23(•++•++•+b b a ≤296)(3++++c b a .整理，得33232323≤+++++c b a （当且仅当a=b=c=31时,等号成立）.例2 x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0，∴x x x x 2382232238223-•-≥-+-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时,取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t ，则t ＞0，把y 转化为关于t 的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x ＞0，y ＞0且5x+7y=20，求xy 的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：①正；②定；③相等.解：xy=351·5x·7y≤720)275(3512=+•y x . 当且仅当5x=7y ，即x=2，y=710时取等号.∴xy 的最大值为720.变式训练2 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_____________. 思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3≥ab 2+3（等号成立条件为a=b ），整理,得ab-ab 2-3≥0，（ab -3）（ab +1）≥0.∴ab ≥3，∴ab≥9. 方法二：由ab=a+b+3，可得b=13-+a a （a ＞0，b ＞0），∴a＞1，又ab=a·13-+a a =［（a-1）+1］13-+a a =（a+3）+13-+a a =a-1+4+9514)1(2514)1(141=+--≥+-+-=-+-a a a a a a ,等号成立条件为a-1=14-a ，即a=3. 答案：［9，+∞)例3 求y=xx sin 22sin +（0＜x ＜π）的最小值. 思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值. 解：∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.设t=2sin x，t∈（0，21］，则sinx=2t ，∴y=t+t 1（0＜t≤21）.可证明函数y=t+t 1,当t∈（0，21］时为减函数.∴当t=21，即2sin x =21，sinx=1，x=2π时，y 有最小值2+21=25.∴y min =25.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:∵0＜x ＜π，∴0＜sinx≤1.∴y=xx x x sin 22sin 2sin 22sin •≥+=2.∴y min =2. 变式训练 已知函数f （x ）=xax x ++22，x∈［1，+∞).（1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意x∈［1，+∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=21时，f （x ）=221++xx ， ∵f（x ）在区间［1，+∞）上为增函数， ∴f（x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞）上，f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，则y=x 2+2x+a=（x+1）2+a-1在x∈［1，+∞）上递增， ∴当x=1时，y min =3+a.于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）恒成立，故a ＞-3.解法二：f （x ）=2++xax ，x∈［1，+∞）， 当a≥0时，函数f （x ）的值恒为正，当a ＜0时，函数f （x ）递增，故当x=1时，f （x ）min =3+a ，于是只需3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞-3.解法三：在区间［1，+∞)上,f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立⇒a ＞-x 2-2x 恒成立. 又∵x∈［1，+∞),∴a 应大于u=-x 2-2x ，x∈［1，+∞)的最大值,∴a＞-（x+1）2+1，x=1时u 取得最大值-3， ∴a＞-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元? 思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m ，另一边的长度为d m ，则d=x34800. 又设水池总造价为y 元.根据题意，得y=150×34800+120（2×3x+2×3×x 34800） =240 000+720（x+x 1600）≥240 000+720×2x·x1600=297 600，当且仅当x=x1600，即x=40时，y 取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m 时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：①建立目标函数；②求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练 设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［32,43］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4 840,设纸张面积为S cm 2,则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160,将x=λ1022代入上式,得S=5000+)58(1044λλ+,当λλ58=,即λ=85(85＜1)时,S 取得最小值.此时高x=λ4840=88 cm,宽λx=85×88=55 cm. 如果λ∈［32,43］,可设32≤λ1＜λ2≤43,则由S 的表达式,得 S(λ1)-S(λ2)=)58)((1044)5858(104421212211λλλλλλλλ--=--+.又853221>≥λλ,故2158λλ-＞0. ∴S(λ1)-S(λ2)＜0.∴S(λ)在区间［32,43］内单调递增. 从而对于λ∈［32,43］,当λ=32时，S(λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［32,43］,当λ=32时，所用纸张面积最小.问题探究问题 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第n 层楼时，环境不满意程度为n8.则此人应选第几层楼？导思：解本题的关键是基本不等式的应用. 探究：设不满意程度为y.由题意知，y=n+n8. ∵n+24828=⨯≥nn n . 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N +，∴n≈2×1.414=2.828≈3. 答：此人应选3楼，不满意度最低.。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习 3.2 均值不等式(一)
§3.2 均值不等式(一)一、基础过关1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．52．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2ab D.b a ＋ab ≥23．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是() A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n4．设0<a <1<b ，则一定有 () A ．log a b ＋log b a ≥2 B ．log a b ＋log b a ≥－2C ．log a b ＋log b a ≤－2D ．log a b ＋log b a >25．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是 () A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2aba ＋b >ab6．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．7．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．8．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋cab ＋abc ≥a ＋b ＋c .二、能力提升9．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32 C ．1 D.1210．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .三、探究与拓展13．已知a>b>0，求证：a2＋16b(a－b)≥16.答案1．C 2.D 3.A 4.C 5．D6．大 －1 7.28．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 9．C 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞11．证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y＝(x －y )2＋2x －y＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y＝2 2. 当且仅当⎩⎨⎧ x －y ＝2x －y xy ＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22y ＝6－22时取等号． 12．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc＝2a ，1c ＋1a ≥21ac ＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 13．证明 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴a 2＋16b (a －b )＝2＋16b (a －b )≥2＋16b (a －b )＝4(a －b )b ＋16b (a －b )≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )>0， 即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步练习 新人教B版必修5
3.2 均值不等式1．若a>b>0，则下列不等式成立的是( ) A ．a>b>a ＋b 2>ab B ．a>a ＋b2>ab>bC ．a>a ＋b 2>b>abD ．a>ab>a ＋b2>b2．函数y ＝x(1－3x)(0<x<13)的最大值是( )A.4243 B.112 C.164 D.1723．已知x 、y∈R＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为__________． 4．求证：24m ＋6m ≥24(m>0)．答案：1．B2．B ∵0<x<13，∴0<1－3x<1.∴y ＝x(1－3x)＝13×3x(1－3x)≤13·(3x ＋1－3x 2)2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时取等号．3.116 因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号．所以x ·y 的最大值为116.4．证明：∵m>0，由基本不等式， 得24m ＋6m≥224m ·6m＝2144＝24，当且仅当24m ＝6m ，即m ＝12时取等号．课堂巩固1．已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3 D ．2432．某工厂产品第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x>a ＋b 2D ．x≥a ＋b 23．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．4．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 5．已知x>2，求y ＝x ＋1x －2的最小值．6．已知a>0，b>0， 求证：(a ＋1a )(b ＋1b)≥4.答案：1．B ∵a ＋b ＝2，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 2．B 设平均增长率为x ，则第三年产量为A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，即(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．又(1＋a)(1＋b)≤(1＋a ＋1＋b2)2，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.3.(1)215 (2)2254 (1)x ＋y ≥2xy ＝215；(2)xy ≤(x ＋y 2)2＝2254.4．[9，＋∞) ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9.5．解：∵x>2，∴x －2>0. y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4.6．证明：因为a>0，b>0，由基本不等式，可知 a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号；b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取等号． 因为上述两个不等式的两边均为正数，由不等式的性质，得(a ＋1a )(b ＋1b )≥4.1．已知x 、y>0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 1．答案：C 原式＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋y x ＋xy≥3＋2＝5.2．(天津高考，理6)设a>0，b>0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.142．答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a>0，b>0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.3．点P(x ，y)是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )A ．最大值8B ．最小值8C ．最小值6D ．最大值6 3．答案：C ∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝232＝6. ∴代数式3x ＋27y 有最小值6.4．若直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b>0)过圆x2＋y2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．20 4．答案：C ∵圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1. ∴1a ＋4b ＝4a ＋b a ＋4(4a ＋b)b ＝8＋b a ＋16a b ≥8＋2b a ×16ab＝16. (当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝16a b，4a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝12时“＝”成立)5．设点(m ，n)在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m ＋log2n 的最大值是________．5．答案：－2 由题意可知m>0，n>0，m ＋n ＝1， ∴log2m ＋log2n ＝log2mn ≤log2(m ＋n2)2＝log214＝－2，当且仅当m ＝n ＝12时取“＝”．6．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是________．6．答案：3－2 3 ∵x>0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23(当且仅当x ＝33时，等号成立)．∴－(3x ＋1x )≤－2 3.∴3－3x －1x ≤3－23，即函数y ＝3－3x －1x的最大值是3－2 3.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处． 7．答案：5 由已知得y1＝20x，y2＝0.8x(x 为仓库与车站的距离)，费用之和y ＝y1＋y2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时“＝”成立．8.求f(x)＝2＋log2x ＋5log2x 的最值(0<x<1)．8．答案：解：∵0<x<1，∴log2x<0. ∴(－log2x)＋(－5log2x)≥2·(－log2x)·(－5log2x)＝2 5.∴f(x)＝2－[(－log2x)＋(－5log2x )]≤2－25，当且仅当－log2x ＝－5log2x ，即log2x ＝－5时，等号成立．∴f(x)max ＝2－25，不存在最小值．9．求函数f(x)＝－2x2＋x －3x (x>0)的最大值，及此时x 的值．9．答案：解：f(x)＝1－(2x ＋3x )．因为x>0，所以2x ＋3x ≥26，即－(2x ＋3x )≤－2 6.因此f(x)≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x2＝32时，式中等号成立．由于x>0，因此x ＝62时，式中等号成立．因此f(x)max ＝1－26，此时x ＝62.10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50≤x≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？10．答案：解法一：利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键． 由题意，知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50≥0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当(x －50)＝100(x －50)，即x ＝60或x ＝40(不合题意，舍去)时取等号．解法二：在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，若a 、b 的形式比较复杂，也可采用换元法求最值．由题意知利润S ＝(x －50)·105(x －40)2.令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t ≥0)， 则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500，当且仅当t ＝100t ，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多．。
新人教b版高中数学必修五3.2《均值不等式》练习课件 最新
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩 形,应当怎样折?
a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab ( a, b R ) 2
P71 练习A组；P72练习B
基本不等式的几何解释：
D
A
a
C
b
B
E
半弦CD不大于半径
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一时， x 的最小值为 x 1 时x= 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2( x 0, y 则x y 的最大值是
1 6
0)
。
思考：当x<0时表 达式又有何最值 呢？
3.2基本不等式
：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（ 2）
ab
ab 2
称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
人教B版人教B版高中数学必修五第3章+3.2均值不等式+同步测试().docx
3.2 均值不等式（数学人教B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知f(x)＝x+ -2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-42.函数f（x）=sin54cosxx（0≤x≤2π）的值域是（）A.[-14，14]B. [-13，13]C. [-12，12]D. [-23，23]3. 设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4. 下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.6.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足，则该商场前t天的平均销售量(如前10天的平均销售量为盒)最少为______________.三、解答题(共70分)7．（15分）已知a，b，c∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.8. (15分)已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.9．（20分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.10. （20分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅栏应设计为多长？3.2 均值不等式（数学人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.2 均值不等式（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1. C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + -2=-[(-x )+ ]-2≤-2· -2=-4，等号成立的条件是-x = ，即x =-1满足定义域.2.C 解析：f （x ）=221cos (0π),54cos 1cos (π2π).54cos xx xxx x⎧-≤≤⎪+⎪⎨-⎪-≤≤⎪+⎩当x ∈［0，π］时，令t =c os x ∈［-1，1］，构造函数g （t ）=2154t t-+，通过整理此解析式得g （t ）=-[14(54+t )+ 964×154t+]+ 58≤-38+58=14，所以f （x ）=g （t ）∈[0，12]. 同理，当x ∈（π，2π］时，f （x ）=-()g t ∈[-12，0]. 综上所述，f （x ）=sin 54cos xx+（0≤x ≤2π）的值域是[-12，12].3. A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式，将a+b 作为一个整体， 解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，将ab 作为一个整体， 解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）.∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，故选A.4.C 解析：A 选项，y =x + ≥4或x + ≤-4，∴ A 不正确；B 选项等号不能取到；D 选项，与A 选项相同，所以只有C 选项正确.二、填空题5. 解析：因为x ＞a ，所以2x + =2(x -a )+ +2a ≥2 +2a =2a +4，即2a +4≥7， 所以a ≥ ，即a 的最小值为 .6.18 解析：平均销售量y = =t + +10≥18，当且仅当t = ，即t =4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18. 三、解答题7. 解：证明：∵ a ，b ∈（0，+∞），∴ 2a b +b ≥22a =2a ，同理2b c +c ≥22b =2b ，2c a+a ≥22c =2c ，当且仅当a =b =c 时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2a b +b +2b c +c +2c a +a ≥2a +2b +2c ，即2a b +2b c +2c a≥a +b +c .8．解：因为x ＞0，y ＞0，且x+2y =1，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=1+2+2y x +x y ≥3+22y x x y∙ =3+22.当且仅当2y x =x y且x+2y =1，即x =2-1，y =1-22时，等号成立. 所以1x +1y的最小值为3+22. 9.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分 批，每批价值为20x元，由题意得f (x )= ·4+k ·20x .由x =4时，f (x )=52，得k = = . ∴ f (x )= +4x (0＜x ≤36，x ∈).(2)由(1)知f (x )= +4x (0＜x ≤36，x ∈)，∴ f (x )≥2 =48(元). 当且仅当 =4x ，即x =6时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.10. 解：设铁栅栏长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S =xy . 由题意得40x+2×45y+20xy =3 200.由基本不等式得3 200≥24090x y ∙+20xy =120xy +20xy =120S +20S ， ∴ S+6S ≤160，即（S +16）（S -10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅栏的长应是15米.。
【成才之路】2015版高中数学 3.2 均值不等式(第2课时)练习 新人教B版必修5
第三章 3.2 第2课时一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>c>b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a≠c ，∴a2＋c2>2ac ，又∵a2＋c2＝2bc ，∴2bc>2ac ，∵c>0，∴b>a ，排除A 、B 、D ，故选C ．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( )A ．a11＝b11B ．a11>b11C ．a11<b11D ．a11≥b11[答案] D[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x 时，得到最小值5.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA 、RB ，则RA 与RB 的大小关系是( )A ．RA>RB B ．RA ＝RBC ．RA<RBD ．不确定[答案] A[解析] RA ＝R1＋R22，RB ＝2R1R2R1＋R2， RA －RB ＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝＋－4R1R2＋＝－＋>0，所以RA>RB ．5．已知a>1，b>1，且lga ＋lgb ＝6，则lga·lgb 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[答案] B[解析] ∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，又lga ＋lgb ＝6，∴lga·lgb≤(lga ＋lgb 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．二、填空题7．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6. 8．若实数x 、y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233 [解析] ∵x2＋y2＋xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1.又∵xy≤(x ＋y 2)2，∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1，即34(x ＋y)2≤1.∴(x ＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c)．[解析] ∵a ＋b 2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a ＋b 2＝22(a ＋b)(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b2＋c2≥22(b ＋c)(等号在b ＝c 时成立)．a2＋c2≥22(a ＋c)(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a ＋b)＋22(b ＋c)＋22(a ＋c)＝2(a ＋b ＋c)(等号在a ＝b ＝c 时成立).一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ，则有() A ．P ＝Q B ．P≥QC ．P≤QD ．P>Q[答案] C [解析] Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x ≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x≥52，∴x －2＞0， 则f(x)＝x2－4x ＋52x －4＝12⎣⎡⎦⎤－＋1－≥1，等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立．3．已知y>x>0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x<x ＋y 2<y<2xyB ．2xy<x<x ＋y 2<yC ．x<x ＋y 2<2xy<yD ．x<2xy<x ＋y 2<y[答案] D[解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab>2ab a ＋b；②a>|a －b|－b ；③a2＋b2>4ab －3b2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4x m ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)，则AB 方程为x 3＋y 4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y )≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2x ＋y 2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a2b ，b2c ，c2a 均大于0， 又a2b ＋b≥2a2b ·b ＝2a ，b2c ＋c≥2b2c ·c ＝2b ，c2a ＋a≥2c2a ·a ＝2c ， 三式相加得a2b ＋b ＋b2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步训练 新人教B版必修5
3.2 均值不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.对于任意实数a 、b ，下列不等式一定成立的是( )A.a+b≥ab 2B.2ba +≥ab C.a 2+b 2≥2ab D.ba ab +≥2解析：均值不等式要考虑正负情况，这里如果a 、b 不能保证是正值A 、B 、D 都不一定成立，只有C 对任意实数恒成立．也可以采用特殊值代入检验进行排除． 答案：C2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x +27y的最小值是_____________. 解析：根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥233232=+y x =6,当且仅当3x=33y时取等号. 答案：6 3.函数f （x ）=x+x4+3在（-∞，-2］上( ) A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1 C.有最大值7，有最小值-1 D.有最大值-1，无最小值 解析：∵x≤-2，∴f（x ）=x+x 4+3=-［（-x ）+（x4-）］+3≤)4)((2x x ---+3=-1，当且仅当-x=x4-，即x=-2时取等号. ∴f（x ）有最大值-1，无最小值，故选D. 此外，该题也可利用函数f （x ）=x+x4+3在（-∞，-2］上的单调性求解. 答案：D4.若x ＞3,那么当x=_____________时,y=31-+x x 取最小值_____________. 解析：y=x+31-x =x-3+31-x +3≥31)3(2-⨯-x x +3=5,当且仅当x-3=31-x 即x=4时,y取最小值5.答案：4 510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 、b∈R ，且a 2+b 2=4，那么ab( )A.最大值为2，最小值为-2B.最大值为2，但无最小值C.最小值为2，但无最大值D.最大值为2，最小值为0解析：这里没有限制a 、b 的正负,则由a 2+b 2≥2|ab|即|ab|≤2,所以,-2≤ab≤2,可知最大值为2，最小值为-2. 答案：A2.设f （x ）=（21）x ，a 、b∈R +，A=f （2b a +），G=f （ab ），H=f （b a ab +2），K=f （222b a +），则A 、G 、H 、K 的大小关系是( )A.H≤G≤A≤KB.A≤K≤H≤GC.A≤K≤G≤HD.K≤A≤G≤H解析：首先由已知条件可知f （x ）在定义域内是单调递减函数,然后只需取特殊值a=1,b=2代入判断2,2,,222b a b a ab ab b a +++的大小即可. 答案：D 3.已知x=21-+a a （a ＞2），y=22)21(-b （b ＜0），则x 、y 之间的大小关系是( ) A.x ＞y B.x ＜y C.x=y D.不能确定 解析：x=（a-2）+21-a +2≥21)2(2-∙-a a +2=4（当且仅当a=3时，取“=”），y=22)21()21(2--<b =4. ∴x＞y. 答案：A4.三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25＋|x 3-5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是______________.解析：由x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax,1≤x≤12⇒a≤x+x 25+|x 2-5x|，而x+x25≤x x 252⨯=10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；且|x 2-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈［1，12］时成立；所以，a≤［x+x25+|x 2-5x|］min =10，等号当且仅当x=5∈［1,12］时成立；故a∈(-∞,10］. 答案：a∈(-∞,10］ 5.已知x 、y∈R +，且yx 91+=1，求x+y 的最小值. 解:∵x＞0，y ＞0，yx 91+=1， ∴x+y=（y x 91+）（x+y ）=yx x y y x x y 92109∙≥+++10=6+10=16，当且仅当y x x y 9=，又y x 91+=1即⎩⎨⎧==12,4y x 时等号成立. 6.已知a ＞0,b ＞0,且a+2b=10,求y=322+++b a 的最大值.解法一:由于a ＞0,b ＞0,且a+2b=10,则有 y=322+++b a ≤30)52(2])32()2[(222=++=+++b a b a .当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.所以y=322+++b a 的最大值为30.解法二:由于a ＞0,b ＞0,且则有y 2=(a+2)+(2b+3)+)32)(2(215)32)(2(2+++=++b a b a ≤15+［(a+2)+(2b+3)］=30. 当且仅当a+2=2b+3=215时,即a=211,b=49时,等号成立.又y ＞0,所以,y≤30. 所以y=322+++b a 的最大值为30.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列求最值过程中正确的是( ) A.若0＜x ＜π，则y=sinx+22sin 2sin 2sin 2=∙≥xx x .所以y 的最小值是22 B.若0＜x ＜π，则y=sinx+2222)sin 2sin (sin 22≥+-=xx x .所以y 的最小值是22C.若x ＞0，则y=2+x+x4≥2+x x 42∙=6.所以y 的最小值是6D.若0＜x ＜1，则y=x （4-x ）≤［2)4(x x -+］2=4.所以y 的最大值为4 解析：A 、B 、D 中等号都取不到.A 中需满足sinx=xsin 2，即sinx=2∉（0，1］；B 中由xx sin 2sin =得sinx=2∉（0，1］；D 中由x=4-x 得x=2∉（0，1）.答案：C2.函数y=1222+++x x x (x ＞-1)的图象的最低点的坐标是( )A.（1，2）B.（1，-2）C.（1，1）D.（0，2） 解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x,y 的值. ∵x＞-1,∴x+1＞0则y=11)1(12222+++=+++x x x x x =(x+1)+11+x ≥11)1(2+∙+x x =2∴当且仅当x+1=11+x ，即x=0或x=-2(舍去)时等式成立. 当x=0时，y=2.即当x=0时,y 取最小值2. 答案：D3.某学生在期中考试中数学、英语两门一好一差，为了在后半学期的月考及期末两次考试中提高英语成绩，他决定重点复习英语，结果两次考试英语成绩每次提高了10%，但数学成绩每次却下降了10%，这时恰好两门都得m 分，这个学生这两门的期末总成绩比期中是( ) A.提高了 B.降低了C.未提未降D.是否提高与m 的值有关解析：设期中数学成绩为x 分，英语为y 分，依题意x （1-10%）2=m ，y （1+10%）2=m ，∴x+y=m （229.011.11+）.∵229.011.11+＞2×99.029.01.11=⨯＞2，∴x+y＞2m. 答案：B4.设x 、y 为正数, 则(x+y)(yx 41+)的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 解析：x ，y 为正数，(x+y)(y x 41+)≥1+4+yx x y 4+≥9，当且仅当y x x y 4=即y=2x 时，原式最小值为9. 答案：B5.函数y=)10(x x -（0＜x ＜10）的最大值为______________. 解析：∵0＜x ＜10,∴10-x ＞0,所以,y=x ·21010xx x -+≤-=5,当且仅当x=10-x 即x=5时等号成立. 答案：56.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是_____________.解析：令ab =t(t ＞0),由ab=a+b+3≥2ab +3,得t 2≥2t+3,又t ＞0,所以,可得t≥3即ab ≥3,所以ab≥9.答案：ab≥97.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（20v ）2千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要_____________小时.解析：从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要时间为y=40025400240025400)20(254002v v v v v v v⨯≥+=⨯+=10. 答案：10 8.求函数y=xx x )9)(4(++的最值.解:1）当x ＞0时，y=13+x+x36≥13+x x 362∙=25，当且仅当x=x36即x=6时取等号.所以当x=6时，y min =25. 2）当x ＜0时，-x ＞0，x 36-＞0,(-x)+(x36-)≥)36)((2x x --=12.∴y=13-［(-x)+(x36-)］≤13-12=1. 当且仅当-x=x36-，即x=-6时取等号，所以当x=-6时，y max =13-12=1. 9.已知a ＞b ＞0，求)(162b a b a -+的最小值.解:由a ＞b ＞0，知a-b ＞0，则b(a-b)=()(b a b -)2≤(2b a b -+)2=42a ，∴a 2+)(16b a b -≥222264264a a a a ∙≥+=16，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当b=a-b和a 2=264a时成立，即a=22，b=2时，［)(162b a b a -+］min =16. 10.如右图，树顶A 离地面a m ，树上另一点B 离地面b m.在离地面c m 的C 处看此树，离此树多远时视角最大?解:过点C 作CD⊥AB 交AB 延长线于点 D.设∠BCD=α，∠ACB=β，CD=x.在△BCD 中，tan α=xcb -.在△ACD 中，tan （α+β）=xca -=∙-+βαβαtan tan 1tan tan ，则tan β=))((2))((2))((1c b c a b a xc b c a x b a x c b c a x b a x c b x c a x ba ---=--⨯-≤--+-=-⨯-+-,∵在(0，2π)内正切函数是增函数. ∴当且仅当x=xc b c a ))((--，即x=))((c b c a --时，视角最大.。
【高中数学新人教B版必修5】3.2《均值不等式》测试(1)
【高中数学新人教B 版必修5】3.2《均值不等式》测试一．选择题：1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ） A ．13- B ．13+ C ．223+ D ．223- 二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________．11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为_______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求nm 11+的最小值为。
数学人教B版必修5自主训练：3.2均值不等式 含解析 精
我夯基 我达标1.x 、y 同号，当xyy x +取最小值时，一定有( ) A.x=y=1 B.x=y=-1 C.x=y 或x=-y D.x=y 思路解析：因为x 、y 同号，所以y x 与x y 都是正数,取最值时y x =xy,再由x 、y 同号,知x=y. 答案：D2.下列函数中，最小值为4的是( )A.f （x ）=x+x 4B.f （x ）=2×4522++x xC.f （x ）=3x +4×3-xD.f （x ）=lgx+log x 10思路解析：逐个排除.其中A,D 选项不能保证两项为正,排除;而B 选项不能取得等号,f(x)=2×)414(2414245222222+++=+++⨯=++x x x x x x ≥4,要取等号,必须41422+=+x x ,即x 2+4=1,这是不可能的.答案：C3.设x,y 为正数,则(x+y)(x 1+y4)的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 思路解析：x ，y 为正数，(x+y)(x 1+y 4)≥1+4+x y +yx 4≥9，选B. 答案:B4.在区间［21，2］上，函数f （x ）=x 2+bx+c （b 、c ∈R ）与g （x ）=xx x 12++在同一点取得相同的最小值，那么f （x ）在区间［21，2］上的最大值是( ) A.413 B.4 C.8 D.45 思路解析：g （x ）=xx x 12++=x+x 1+1≥3,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,所以f （x ）的对称轴是x=1.所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x 2-2x+4,易得在［21，2］上的最大值是f(2)=4-4+4=4.5.(1)函数f （x ）=x+51-x （x ＞5）的最小值为____________. (2)函数y=)10(x x -（0＜x ＜10）的最大值为_____________.(3)已知2x+3y=12，且x 、y 均为正数，那么xy 的最大值为____________.思路解析：(1)由于x ＞5,所以x-5＞0,f(x)=x-5+51-x +5≥2(x -5)·51-x +5=7,当x-5=51-x ,即x=6时取最值;(2)21010)10(xx x x x x -+≤-∙=-=5,当x=10-x,即x=5时取最值;(3)首先根据条件凑出定值,把xy 进行变化:xy=61(2x)(3y)≤2)232(61y x +⨯=6. 答案：(1)7 (2)5 (3)66.已知a 、b 、c 为不全相等的正数，求证：lg2b a ++lg 2lg 2ac c b +++＞lga+lgb+lgc.思路分析：根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得222ac c b b a +∙+∙+＞abc,然后,再利用均值不等式及其变形进行证明,由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程. 证明：要证原不等式成立，只需证lg （222ac c b b a +∙+∙+）＞lgabc. 又∵y=lgx 是增函数， ∴只需证222ac c b b a +∙+∙+＞abc. 又已知a 、b 、c 为不全相等的正数，所以由基本不等式ca a c bc c b ab b a ≥+≥+≥+2,2,2，知上述三个不等式不能同时取到等号， ∴222ac c b b a +∙+∙+＞abc 成立. ∴原不等式成立.7.已知a 、b 、c ∈R ，且a+b+c=1，求证：（a 1-1）（b1-1）（c 1-1）≥8.思路分析：首先根据条件a+b+c=1，把其中分子上的1全部换成a+b+c 之后,每个括号中的项分别使用均值不等式,然后相乘即可. 证明：∵ac b a a a +=-=-111， 又∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴abca cb 2≥+， 即abca 211≥-. 同理,可得cabc b ca b 211,211≥-≥-.由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（a 1-1）（b1-1）（c 1-1）≥8.8.如图3-2-1所示,平面直角坐标系中，在y 轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ，试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C ，使∠ACB 取得最大值.图3-2-1思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立∠ACB 某一三角函数的一个解析式,根据解析式和均值不等式求最值即可. 解：设点A 坐标为（0，a ），点B 坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，点C 坐标为（x ，0）（x ＞0）， ∠ACB=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β（0＜α＜2π）， ∴tanα=tan ［（α+β）-β］=abb a xab x b a x ab x b a x ab x b x a 221tan )tan(1tan )tan(2-=∙-≤+-=+-=++-+ββαββα. 当且仅当x=xab，即x=ab （x ＞0）时等号成立.因此当x= ab 时，tanα取得最大值，∠ACB 取得最大值.我综合 我发展9.已知不等式(x+y)(yax +1)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 思路解析：不等式(x+y)(y a x +1)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1+a+yaxx y +≥a+a 2+1≥9，∴a ≥2或a ≤-4(舍去).所以正实数a 的最小值为4. 答案：B10.若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc=324-,则2a+b+c 的最小值为( )A.13-B.13+C.232+D.232- 思路解析：若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc=324-, 所以a 2+ab+ac+bc=324-，324-=a 2+ab+ac+bc=41(4a 2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤41(4a 2+4ab+4ac+2bc+b 2+c 2). 所以(232-)2≤(2a+b+c)2， 则(2a+b+c)≥232-. 答案：D11.设tanx=3tany(0≤y ＜x ＜2π),则u=x-y 的最大值是( ) A.6π B.4π C.3π D.2π 思路解析：这是一个和三角函数有关的最值问题,首先要根据三角函数和与差的公式,写出x-y 的一个函数关系式:tan(x-y)=yy yy y x y x tan tan 31tan tan 3tan tan 1tan tan +-=+-y yyytan 3tan 12tan 31tan 22+=+=≤33322=,而0≤y ＜x ＜2π,所以0＜x-y ＜2π. 所以0＜tan(x-y)≤33. 所以x-y 的最大值为6π. 答案:A 12.均值不等式2ba +≥ab （a ，b 都是正实数，当且仅当a=b 时等号成立）可以推广到n 个正实数的情况，即对于n个正实数a 1，a 2，a 3，…,a n 有nn n a a a a na a a a 321321≥++++ (当且仅当a 1=a 2=a 3=…=a n 时,取等号).同理,当a,b 都是正实数时,(a+b)(a 1+b 1)≥ba ab 1122∙∙=4,可以推广出这样的结论:对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…,a n ,有(a 1+a 2+a 3)(321111a a a ++)≥;(a 1+a 2+a 3+a 4)(43211111a a a a +++) ≥;(a 1+a 2+a 3+…+a n )(na a a a 1111321++++ )≥;如果对于n 个同号实数a 1，a 2，a 3，…,a n (同正或者同负),那么,根据上述结论,(a 1+a 2+a 3+…+a n )(321111a a a +++…+na 1)的取值范围是_______________. 思路解析：根据所给结论及类比的方法,可得 (a 1+a 2+a 3)(321111a a a ++)≥91113333213321=∙∙∙∙∙a a a a a a . 同理,(a 1+a 2+a 3+a 4)(43211111a a a a +++)≥16, (a 1+a 2+a 3+…+a n )(321111a a a +++…+na 1)≥n 2. 当实数a 1，a 2，a 3，…,a n 都是负数时, (a 1+a 2+a 3+…+a n )(321111a a a +++…+na 1)≥n 2. 答案:9 16 n 2 ［n 2,+∞）13.已知直线l 过点P(2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为_____________. 思路解析：设直线l 为b y a x +=1(a ＞0,b ＞0)，则有b a 12+=1.得1=abb a b a 2212212=∙≥+，即ab≥8.于是，△OAB 面积为S=21ab≥4. 答案:414.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元， （1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？ （2）若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？思路分析：把实际问题抽象（转化）成数学问题（比较代数式的大小）也就是建立数学模型是解应用题的关键，而恰当地设出未知数往往是把实际问题抽象（转化）成数学问题的第一步.解：（1）设每批去x 名同学，共需去x848⨯批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用x848⨯×40. ∴y=240x+x 848⨯×40（0＜x≤48，x ∈Z ）. ∴y=240（x+x 64）≥240×2x×x64=3 840，当且仅当x=x64，即x=8时取等号. 故每人最少应交483840=80（元）.（2）设每批去x 名同学，共需去x448⨯批，总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用x448⨯×40. ∴y=240x+x 448⨯×40（0＜x≤48，x ∈Z ）. ∴y=240（x+x 32）≥240×2x×x 32=1 9202，当且仅当x=x32，即x=5.66时取等号.但0＜x≤48，x ∈Z ，当x 1=5时，y 1=240×（5+532）=2 736； 当x 2=6时，y 2=240×（6+632）≈2 720.∵y 1＞y 2，∴当x=6时，y 有最小值，即y min ≈2 720. 故每人最少应交482720≈56.67元. 15.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图3-2-2),设容器高为h 米，盖子边长为a 米，图3-2-2(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值.(求解本题时，不计容器厚度)解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=∙+,'41,2'2142222h a h a h a 消去h′, 解得a=112+h (a ＞0).(2)由V=31a 2h=)1(32+h h(h ＞0),得V=)1(31hh +.而h+hh h 121∙≥=2. 所以V≤61，当且仅当h=h1,即h=1时取等号. 故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米.。
高三数学必修5(B版)_《均值不等式》基础练习1
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3.2均值不等式
1.若实数b a ,满足1=+b a ，则b a 33+的最小值是【 】
A ．18
B ．32
C ．6
D ．36
2.已知3
10<<x ，则)31(x x -取最大值时x 的值是【 】 A ．31 B ．61 C ．43 D ．3
2 3．若x >0，y >0，且182=+
y x ，则xy 有【 】 A ．最大值64 B ．最小值641 C ．最小值21
D ．最小值64
4.若x>0，y>0，x ＋4y ＝20, 则xy 有最______值为______.
5.当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________.
6．x <0，当x =___________时，y = 4－2x －x
3的最小值_______________. 7．0<x <41，当x =_______________时，y =)41(x x -的最大值_____________.
8．某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费用9千元；汽车的维修费各年为： 第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年增加，则这种汽车最多使用_________年后报废最合算.（即使用多少年的年平均费用最少）注：计算总维修费可用：年数最后一年费用第一年费用⨯+2.
参考答案
1. B
2. B
3.D
4.大25
5. 1或-1 大 1
6.
4+
7.1
8
1
4
8. 10
2 / 2。
人教新课标版数学高二-B版必修5课下作业 3.2 均值不等式
第3章 3.2节(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.120B.15C.12D ．2【解析】 由已知得lg(xy )＝2，∴xy ＝100，且x >0，y >0， ∴1x ＋1y≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时取等号． 【答案】 B2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1【解析】 ∵y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．【答案】 C3．已知5x ＋3y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【解析】 5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时等号成立，故选C. 【答案】 C4．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．2 2 C ．3D ．6 【解析】 z ＝3x ＋33y ≥23x ·32y＝23x ＋3y ＝232＝6；当且仅当3x ＝33y 即x ＝3y ； 亦即x ＝1，y ＝13时等号成立．∴z 的最小值是6. 【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．正数a 、b 满足a ＋b ＋1＝ab ，则3a ＋2b 的最小值是________． 【解析】 ∵a ＋b ＋1＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝2， ∴3a ＋2b ＝5＋3(a －1)＋2(b －1) ≥5＋23×2(a －1)(b －1)＝5＋4 3.【答案】 5＋4 36．设M ＝a ＋1a －2(2<a <3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0<x <433，则M ，N 的大小关系为________．【解析】 M ＝a －2＋1a －2＋2≥4；当且仅当a －2＝1即a ＝3时取等号．∴M >4.又N ＝13·3x (43－3x )≤13·⎝⎛⎭⎫4322＝4，当且仅当x ＝233时取等号，∴N ＝4，∴M >N【答案】 M >N三、解答题(每题10分，共20分)7．对正数x ，y 有x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝1＋2y x ＋x y ＋2＝2y x ＋x y ＋3.≥22y x ·xy＋3＝22＋3. 当且仅当2y x ＝xy 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号．8．某种汽车，购车费用为10万元，每年所花的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】 设汽车使用x 年时，年平均费用最少，由题意知汽车的年维修费构成首项为0.2万元，0.2万元为公差的等差数列，∴使用x 年后的总维修费用为0.2＋0.2x2·x 万元，∴汽车的年平均费用y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3(万元)．当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 最小．即汽车使用10年平均费用最少．9．(10分)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，每1 m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1 m 长造价45元，顶部每1 m 2造价20元，计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？ 【解析】 (1)设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，应用基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0， ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，即S ≤100.故S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100. (2)由(1)求得x ＝15，即正面的铁栅长应设计为15 m ．。
人教B版高中数学必修五 3.2 第1课时 均值不等式.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2 第1课时 均值不等式基础巩固一、选择题1．若x ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg2x B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1<1 D ．2x ≤(x ＋1)22[答案] D[解析] A 中，x ≤0时，不等式不成立；B 中x ＝1时，不等式不成立；C 中x ＝0时，不等式不成立，故选D.2．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10[答案] C[解析] A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可以的，排除．故选C.3．(2011·陕西文)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b[答案] B[解析] ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B. 4．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3[答案] D[解析] x ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3. 5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1 [答案] B[解析] 本题考查均值不等式求最值，注意均值不等式求最值时必须具备的三个条件：一正、二定、三相等．∵函数f (x )的定义域为[0，＋∞)， ∴当x ＝0时，f (0)＝0. 当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时f (x )取最大值12.6．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最在值－6B ．有最小值6C ．有最大值－2D ．有最小值2[答案] B[解析] ∵x >4，∴x －4>0，∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2(x －4)·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________．[答案] 12log a t ≤log a t ＋12[解析] ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ，∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝122x ·(3－2x )≤12[2x ＋(3－2x )2]2＝98，当且仅当2x ＝3－2x 即x ＝34时，取“＝”号．三、解答题9．已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加入a 2＋b 2＋c 2得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .10．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．[解析] ∵x >1，∴x ＋1>0..∵y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·1x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.能力提升一、选择题1．设x ＋3y ＝2，则函数z ＝3x ＋27y 的最小值是( ) A.23 B ．22 C ．3 D ．6 [答案] D[解析] ∵x ＋3y ＝2，∴x ＝2－3y . ∴z ＝3x＋27y＝32－3y＋27y ＝927y ＋27y ≥2927y ·27y ＝6，当且仅当927y ＝27y ， 即27y＝3，∴33y＝3，∴3y ＝1，∴y ＝13.即x ＝1，y ＝13时，x ＝3x ＋27y 取最小值6.2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q[答案] B[解析] 由a ＞b ＞1，得lg a ＞lg b ＞0， Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ，R ＝lg(a ＋b 2)＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，∴R ＞Q ＞P . 二、填空题3．已知a >0，b >0，a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的最小值为________．[答案] 6[解析] ∵a >b ，b >0，a ＋b ＋3＝ab ， ∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， ∴a ＋b ≥6.4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1.又mn >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋(n m ＋mn )≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．三、解答题5．已知a <0，b <0，c <0，且a ＋b ＋c ＝－1，求1a ＋1b ＋1c 的最大值．[解析] ∵a <0，b <0，c <0且a ＋b ＋c ＝－1，∴1a ＋1b ＋1c ＝－(a ＋b ＋c )a ＋－(a ＋b ＋c )b ＋－(a ＋b ＋c )c ＝－3－(b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋bc )≤－3－(2＋2＋2)＝－9.当且仅当a ＝b ＝c ＝－13时，等号成立．6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b22＝1，求a 1＋b 2的最大值．[解析] ∵a 2＋b 22＝1，∴a 2＋1＋b 22＝32，a 1＋b 2＝2·a ·1＋b 22≤2·a 2＋1＋b 222＝2·322＝324.∴当a 2＋b 22＝1且a ＝1＋b 22， 即a ＝22，b ＝63时，a 1＋b 2的最大值为324. 7．甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪一家公司平均成本低？请给出证明．[解析] 设第一、二次购芯片的价格分别是每片a 元和b 元，那么甲公司两次购芯片的平均价格为10000(a ＋b )20000＝a ＋b2，乙公司两次购芯片的平均价格为 2000010000a ＋10000b ＝21a ＋1b .∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴a ＋b 2>ab .又1a ＋1b >21ab ＝2ab，∴21 a＋1b<ab.∴a＋b2>21a＋1b.∴乙公司的平均成本低．。
人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 3.2 均值不等式
双基达标 (限时20分钟)1．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )．A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 解析 a 2＋b 2>2ab ，且 a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12 ∴b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )0<a <b ，∴a (b －a )>0即b >a 2＋b 2答案 B2．下列各式中最小值是2的是( )． A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan x ＋cot x D ．2x ＋2－x解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ，y 异号时，x y ＋y x <0，B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，但x 2＋4＝1x 2＋4无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立． 答案 D3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有 ( )．A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立． 答案 D4．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为 .解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∵ab ＋1>0，∴ab ≥3.即ab ≥9.答案 2，＋∞)上也是增函数． ∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52. 答案 B9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为 . 解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，代入直线方程mx ＋ny ＋1＝0，得(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，又mn >0，所以m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n，且2m ＋n ＝1，即n ＝12，m ＝14时，等号成立． 答案 810．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1.那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b≥2 2.其中正确的序号是 . 解析 1＝a ＋b ≥2ab ；∴ab ≤14，①对． 设ab ＝t ，则0<t ≤14. 由y ＝t ＋1t 在(0,1)上是减函数知当0<t ≤14时， y ≥14＋114＝174，②对． ∵(a ＋b )2－(2)2＝a ＋b ＋2ab －2＝2ab －1≤2·14－1＝0. ∴a ＋b ≤2，③对．∵a ＋b ＝1，∴1a ＋12b ＝(1a ＋12b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a 2b ＋12≥32＋2b a ＋a 2b ＝32＋2≠22， 故④错．答案 ①②③11．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x. 即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)． 由均值不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3， 当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．12．(创新拓展)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解 法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c )， ∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤(a －c )2(a －b )(b －c )min， (a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2[(a －b )＋(b －c )2]2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.法二 ∵a >b >c ，∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c， 而a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥4. ∴n ≤4.即n 的最大值为4.。
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3.2 均值不等式 测试题
一．选择题：
1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）
A ．a 2+b 2
B ．２ab
C ．2a b
D ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．x 2+1≥x
B ．1
12+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）
A ．有最大值8
B ．有最小值22
C ．有最小值8
D ．有最大值22
4．A 设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．
210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A ．（a+b ）(
b a 11+)≥4 B ．a 3+b 3≥2ab 2 C ．a 2+b 2+2≥2a+2b D ．
b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ）
A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2
B ．当x>0时，x +x
1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x
1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）
A ．13-
B ．13+
C ．223+
D ．223-
二．填空题：
8．设x>0，则函数y=2－x
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=1
42-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=2
42
+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．
三．解答题：
12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n
m 11+的最小值为。
13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为多少吨？
14．已知x,y ∈（－3，3）且xy ＝－1，求s=
2
2121233y x -+-的最小值。
参考答案：
一．选择题：
1．D 解析：只需比较a 2+b 2与a +b 。
由于a 、b ∈（0，1），∴a 2<a,b 2<b ∴a 2+b 2<a +b ；
2．B
3．B 解析：y x 82+＝2333222222y
x y x y x +=≥+＝22
4。
A 解法一：设x=sin α，y=cos α，m=3sin β，n=3cos β，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。
解法二、m 2+n 2=322)3()3(n
m
+⇔＝1∴2＝x 2+y 2＋22)3()3(n
m
+ ≥)(32
ny mx +∴
mx+ny ≤3。
5．B 解析：
A 、C 由均值不等式易知成立；D 中，若a<b ，结论显然，若a ≥b 则b a b a -≥-0)(2222≤-=-≥+-≥-⇔a b b ab b b ab a b a 这显然也成立。
取a=0.1，b=0.01，可验证
B 不成立。
6．B 解析：
A 中lgx 不一定为正；C 中等号不成立；D 中函数为增函数，闭区间上有最值。
故选
B 。
7．D
解析：(2a+b+c)2=4a 2+(b 2+c 2)+4ab+4ac+2bc ≥4a 2+2bc+4ab+4ac+2bc
=4(a 2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4(324-)＝4（13-）2
当且仅当b=c 时等号成立。
∴最小值为223-。
二．填空题：
8．－2，2
9．2，2
10 。
解析：y=1
42-+-x x x ＝14-+x x ＝114)1(+-+-x x ≥5，当且仅当x=3时等号成立。
11。
解析：f(x)=242
+x x ＝422
21212
2=≤+x x ，此时x ＝42。
三．解答题：
12．解析：∵y=log a x 恒过定点（1，0），∴y=log a (x+3)－1恒过定点（－2，－1），∴-2m-n+1=0，即2m ＋n ＝1，∴n m 11+＝（n m 11+）（2m ＋n ）＝2＋2＋n
m m n 4+≥8，∴最小值为8。
13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y ，则x x x x y 41600244400⨯≥+⨯=
＝160，当且仅当x =20时等号成立。
最小值为160。
14．解析：s=22121233y x -+-≥)912)3(36222y x --＝12)
312(37122y x +-≥1251236
2371=-。
评注：两次等号成立的条件都一样。