选修2-1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

C B
例2.如图，M，N分别是四面体OABC的 边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点. 用向量 OA,OB,OC表示OP和OQ.
1 2 解 :O P = O M + M P = O A + M N 2 3 1 2 1 = O A + (O N - O A ) 2 3 2 1 1 1 A = O A + O B+ O C. 6 3 3
y
i (1,0), j (0,1),0 (0,0).

j o i
x
探究活动一
空间向量基本定理
如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使 p xa yb zc .
2.
已知向量 p 在基底{a，b，c}下的坐标为(2,3，－
1)，求 p 在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
解 ∵向量 p 在基底{a，b，c}下的坐标为(2,3，－1)，
∴p＝2a＋3b－c. 设 p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c) ＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc. 由向量分解的唯一性知 x＋y＋z＝2， y＋z＝3， z＝－1， x＝－1， 解得y＝4， z＝－1，
{a, b, c} 叫做空间的一个基底
a, b, c 都叫做基向量
思考: 对于基底应注意什么呢?
1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底 2.三个基向量每一个都不能为零向量 3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量
探究活动二
空间直角坐标系
如图，设 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 且有公共起点O.对于空间任意一个向量p = OP, 设点Q为点P在 i,j所确定的平面上的正投影， 由平面向量基本定理可知， z 在OQ,k所确定的平面上， 存在实数z，使得OP = OQ + zk, P k 而在 i,j所确定的平面上，
O M Q C N B
P
O
OQ =OM +M Q M 1 1 = OA+ M N Q 2 3 A P 1 1 1 = O A + (O N - O A ) 2 3 2 1 1 1 1 1 B = O A + (O B + O C )= O A + O B + O C . 3 6 3 6 6
应用训练
其中可以作为空间的基底的向量组有( A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
C)
D1 B1 C1
分析: 能否作为空间的基底,即是判断 A1 给出的向量组中的三个下向量是否共 D 面,由于 a , b, c 是不共面的向量,所以可 A 以构造一个平行六面体直观判断 设 a AB, b AA1 , , c AD 易判断出答案
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 z {x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3 我们把x，y，z称作向量p在单位正交 基底e1，e2，e3 下的坐标， P k 记作p =(x，y，z). i O j 此时向量p的坐标恰是点P在空间直角 坐标系Oxyz中的坐标 x,y,z .
探究活动三 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理： 如果三个向量a,b, c不共面，那么对空间 任一向量p, 存在有序实数组 x , y , z , 使得p xa yb z c. 空间所有向量的集合{p | p xa yb z c, x , y , z R}
O
j i
y
x
Q
由平面向量基本定理可知，存在 有序实数对 x,y ， 使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p， 存在一个有序实数组 x,y,z , 使得p = xi + yj + zk. xi,yj,zk为向量p在 i,j,k上的分空间向量的正交分解及其坐标表示
新课导入：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a, （ b b ≠ 0）， a / /b的 充要条件是存在实数λ ，使a＝λ b.
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
都可以用三个不共面的向量表示出来.
x
P y
P′
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
例1 设 x a b, y b c, z c a, 且 a , b, c 是空间 的一个基底,给出下列向量组 ① a , b, x ② x , y , z ③ b , c , z ④ x , y , a b c
C
N
特注：
利用向量加减法则，可用基底来表示未知向量．
课堂检测：
1. → → → 空间四边形 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点 → M 在 OA 上且 OM＝2MA，N 为 BC 的中点，则MN等于( B ) 1 2 1 A.2a－3b＋2c
2 1 1 B．－3a＋2b＋2c 1 1 2 C.2a＋2b－3c 2 2 1 D.3a＋3b－2c
∴p 在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1).
课堂小结
1. 选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出
指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.
2. 求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则 和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合 要求.
{a,b, c}叫做空间的一个基底，a,b, c都叫做基向量.
设e1，e2，e3 为有公共起点O的三个两两垂直的 单位向量 我们称它们为单位正交基底 ， 以e1，e2，e3的公共起点O为原点， 分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间 任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的 起点与原点O重合，得到向量OP = p.由
平面向量基本定理： 如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2 . （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底） 平面向量的正交分解及坐标表示