离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
山东大学离散数学题库及答案(计本)
《离散数学》题库答案一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答:(1),(4)2、下列公式中哪些是永真式?( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答:(2),(3),(4)3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答:(2),(3),(4),(5),(6)4、公式∀x((A(x)→B(y ,x))∧ ∃z C(y ,z))→D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。
答:x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是,给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。
(5) 前进! (6) 给我一杯水吧!答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是(4) 是,T (5) 不是 (6) 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答:所有人都不是大学生,有些人不会死7、设P :我生病,Q :我去学校,则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1) P Q →⌝ (2) Q P ⌝→ (3) Q P ⌝↔ (4)Q P →⌝8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合,确定下列命题的真值:(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答:(1) F (2) F (3)F (4)T10、设谓词P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?() (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答:(1)11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬,B=⎨1,2,3⎬,试说明下列A到B二元关系,哪些能构成A到B的函数?⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解:⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系,哪些能构成A到A的函数?⑴A=N(N为自然数集合),f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a+b<10⎬⑵A=R(R为实数集合),f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合),f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合),f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合),f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|+1⎬解:⑴不能构成函数。
由于1+1<10且1+2<10,所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1,所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬,B=⎨1,2,3⎬。
求B A,验证|B A|= |B||A|。
离散数学第五章格与布尔代数2
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
1
离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里:S={0,1},00, 01, 11,其运算表如下:
2021/5/22
3
x
离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
1
xx
01 10
表2
通过变元代换,显见表2与表1是完全相同的。即,令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里:X={a})
16
离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运 算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、 分配律的对称性,半序关系≼和其逆关系≽的对称性; 最小元0和最大元1的对称性;以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注:•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上,它们互为对偶;
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定 义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证:
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里:X={a1, a2, , an},即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上,如果对于所有的a, b, c属于A,满足以下条件:- 如果(a, b)属于R,则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R,则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案:根据题目给出的条件,R是对称的和传递的。
首先,对称性意味着如果(a, b)属于R,那么(b, a)也必须属于R。
其次,传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R,那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质,我们可以得出结论:对于任意的a, b, c属于A,如果(a, b)和(b, c)都属于R,那么(a, c)也属于R,从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B,如果对于A中的每个元素a,都有唯一的b属于B使得f(a) = b,那么称f为单射(或一一映射)。
证明如果函数f是单射,那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案:要证明f^-1是单射,我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2,如果f^-1(b1) = f^-1(b2),则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a',其中a, a'属于A。
由于f是单射,我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义,我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此,如果f^-1(b1) = f^-1(b2),则b1必须等于b2,这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射(或到上映射)当且仅当对于B中的每个元素b,都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案:首先,我们证明如果f是满射,那么对于B中的每个元素b,都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射,这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此,对于B中的任意元素b,我们可以找到一个a属于A,使得f(a) = b。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答:(1),(4)2、下列公式中哪些是永真式?( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答:(2),(3),(4)3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答:(2),(3),(4),(5),(6)4、公式∀x((A(x)→B(y,x))∧∃z C(y,z))→D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。
答:x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是,给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。
(5) 前进! (6) 给我一杯水吧!答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答:所有人都不是大学生,有些人不会死7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校(3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1)PP⌝P→⌝↔(4)QQ→⌝(2)QP⌝→(3)Q8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答:(1)对任一整数x存在整数 y满足x+y=0(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答:(1) F (2) F (3)F (4)T10、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答:(1)11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。
离散数学 杨圣洪 第五章习题解答
⎜ ⎜
7
7
4
3
9
3
⎟ ⎟
×
⎜ ⎜
1
1
0
0
1
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
16
16
23
16
24
16 ⎟⎟
⎜ 4 5 3 2 7 2⎟ ⎜ 0 1 0 0 1 0⎟ ⎜12 12 16 12 16 11⎟
⎜ ⎜⎜⎝
8 5
8 4
9 3
7 2
8 7
72 ⎟⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
1 0
1 0
1 0
0 1
10 ⎟⎟⎟⎠
⎜⎜⎜⎝1224
⎜ ⎜
1
0
0
0
1
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
0
1
0
0
1
⎟ ⎟
⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0 0 1⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
10 ⎟⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00 ⎟⎟⎟⎠
长度为 4 的路就是跨越 4 条边可达的路之条数,即邻接矩阵的 4 次方
⎜⎜⎜⎝ 11
1 0
1 0
1 0
0 1
10 ⎟⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
1 0
1 0
1 0
0 1
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。
并且,如果3是无理数,则2也是无理数。
另外6能被2整除,6才能被4整除。
”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集,则对于任意元素 l1, l2, l3 L,有以 下六个关系式成立: l1 l1 若 l1 l2,l2 l1,则 l1 = l2 若 l1 l2,l2 l3,则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2,l2 l1,则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的,格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的,是他在研究命题演算中发现的,通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集,也可以看作是有两个二元运算的代数系统, 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中,都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集,如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界,则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一,故引入记号: l1 l2 = glb(l1, l2),l1 l2 = lub(l1, l2), 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算,分别称为交和并。 注:若 < L; > 是一个格,则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统,其中 和 是 L 上的两个二元运算, 对于任意 l1, l2 L,l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下,l1 和 l2 的最小上界,l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分:集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分:图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分:代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分:组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分:命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学,即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主,课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到认知系统,无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系,因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学,集合论(包括函数),数论基础,算法设计,组合分析,离散概率,关系理论,图论与树,抽象代数(包括代数系统,群、环、域等),布尔代数,计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科,在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想,这是世界近代三大数学难题之一,它是在1852年,由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的,他在进行地图着色时,发现了一个现象,“每幅地图都可以仅用四种颜色着色,并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学第五章集合及其运算习题答案
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
R-S
例如A={0, 1} R={(0,1), (1,2), (0,2)}, S={(0,2)}
R-S ={(0,1), (1,2)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系,它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时,经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质:
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
d
a
c
f
ab c de f gh
h
g
a01 0 00000
b00 1 00000
c11 0 00000
d00 0 01000
e00 0 00100
f 00 0 00010
g00 0 00001
h00 0 10000
习题四 15
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
RS
RS
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
例如A={0, 1} R={(0,1)}, S={(1,0)}
RS ={(0,1), (1,0)}
习题四 8
设R和S都是集合A上的二元关系,它们经过关系运算后得到A上的一个 新关系。判别当R和S 同时具有表中某种指定性质时,经过指定的运算 后所得新关系是否也仍保持这种性质:
解:
例如:设A={a, b, c, d}
则 R1={(a, b), (b, d), (d, c)} 反传递
离散数学讲解第五章
2018/12/20
20
例5 *
e a b c
设G= {a,b,c,e}, * 是G上的二元运算, e
e a b c
a
a e c b
b
b c e a
c
c b a e
a*=b*a=c,
b*c=c*b=a, a*c=c*a=b <G;*>是一阿贝尔群,但它不
是循环群,一般称这个群为
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例3 设S={|是集合A上的关系},对于关系的复合运 算可构成代数系统 <S; >,<S;>是半群。
若F={f |f :AA},则对于函数的复合运算,代
数系统<F;>也是半群。 对任意 a∈S ,定义 an+1=an*a a1=a (n=1,2,……) (* )
例7 对于半群 <S;*>的任一元素a S ,令集合 T={a,a2,a3,…}
<T;*>是<S;*>的子半群。
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定义5-6 设<S;*>是一独异点,若<T;* >是<S;*>的子代
数,且单位元 e T,则称<T;*>是<S;*>的子独 异点。 例8 对于独异点<Z;+ > , 子集N2, N3, N4, … ,它们均不 能构成<Z;+>的子独异点, 令Z2={2n|nZ}, Z3={3n|nZ}, Z4={4n|nZ} 则<Z2 ;+ >, <Z3 ;+ >, <Z4 ;+ >都是 <Z ;+>的子独异点。
离散数学 格与布尔代数
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b,c≤d,则 a∨c≤b∨d,a∧c≤b∧d。 证明:如果a≤b,又b≤b∨d,由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d, d≤b∨d,由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界,而a∨c是 {a,c} 的最小上
可见它们同构。
格同构,它们的哈斯图的形状一定相同。
具有1、2、3个元素的格分别同构于含有一、二、三 个
元素的链。
a
a
a
b
b c
具有4个元素的格分别同构a 于下面两种格形 a式之一:
b
c
b
c
d
d
具有5个素的格分别同构于下面五种格形式之一:
a b c b
d
e
a c d b e
a c b
d e
a
c
d
c
e
a b
d e
2. 格同态的保序性
定理:设f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同态映射,则对任 何a,b∈A1,如果a≤1b,则 f(a)≤2f(b)。 证明:令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和
<A2, ≤2>诱导的代数系统,任取a,b∈A1,设a≤1b, 则 a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 而 f(a)∧2f(b) ≤2f(b) 所以 f(a)≤2f(b). 3. 格同构的保序性
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案离散数学课后习题答案离散数学是计算机科学中的一门重要课程,它涵盖了诸多数学概念与技巧,为计算机科学的理论基础打下了坚实的基础。
在学习离散数学的过程中,课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而,有时候我们会遇到一些难以解答的问题,需要参考一些答案来进行思考与学习。
本文将为大家提供一些离散数学课后习题的答案,希望能对大家的学习有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3},B={2,3,4},求A∪B和A∩B的结果。
答案:A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3}。
2. 证明:任意集合A和B,有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
答案:首先,对于任意元素x,如果x属于(A-B)∪(B-A),那么x属于A-B或者x属于B-A。
如果x属于A-B,那么x属于A∪B,但x不属于A∩B;如果x属于B-A,同样有x属于A∪B,但x不属于A∩B。
所以(A-B)∪(B-A)属于(A∪B)-(A∩B)。
另一方面,对于任意元素x,如果x属于(A∪B)-(A∩B),那么x属于A∪B,但x不属于A∩B。
所以x属于A或者x属于B。
如果x属于A,但x不属于B,那么x属于A-B;如果x属于B,但x不属于A,那么x属于B-A。
所以x属于(A-B)∪(B-A)。
所以(A∪B)-(A∩B)属于(A-B)∪(B-A)。
综上所述,(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
证毕。
二、逻辑与证明1. 证明:如果p为真命题,那么¬p为假命题。
答案:根据命题的定义,命题要么为真,要么为假,不存在其他情况。
所以如果p为真命题,那么¬p为假命题。
2. 证明:对于任意整数n,如果n^2为偶数,则n为偶数。
答案:假设n为奇数,即n=2k+1(k为整数)。
那么n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1。
根据偶数的定义,2(2k^2+2k)为偶数,所以n^2为奇数。
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五(第五章 格与布尔代数)1.设〈L ,≼〉是半序集,≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时,〈L ,≼〉是否是格。
a) L={1,2,3,4,6,12}b) L={1,2,3,4,6,8,12}c) L={1,2,3,4,5,6,8,9,10}[解] a) 〈L ,≼〉是格,因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ,≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如:812=LUB{8,12}不存在。
126312 4c) 〈L ,≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
倒例如:46=LUB{4,6}不存在。
2.设A ,B 是两个集合,f 是从A 到B 的映射。
证明:〈S ,⊆〉是〈2B,⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x),x ∈2A }[证] 对于任何B 1∈S ,存在着A 1∈2A ,使B 1=f (A 1),由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x 863 124 12 10 84 2 6 973 1 5 10∈A1∧f (x)=y)}⊆B 所以B1∈2B,故此S⊆2B;又B0=f (A)∈S (因为A∈2A),所以S非空;对于任何B1,B2∈S,存在着A1,A2∈2A,使得B1=f (A1),B2=f (A2),从而L∪B{B1,B2}=B1∪B2=f (A1)f (A2)=f (A1∪A2) (习题三的8的1))由于A1∪A2⊆A,即A1∪A2∈2A,因此f (A1∪A2)∈S,即上确界L∪B{B1,B2}存在。
对于任何B1,B2∈S,定义A1=f –1(B1)={x|x∈A∧f (x)∈B1},A2=f-1(B2)={x|x∈A∧f (x)∈B2},则A1,A2∈2A,且显然B1=f (A1),B2=f (A2),于是GLB{B1,B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊇f (A1∩A2) (习题三的8的2))又若y∈B1∩B2,则y∈B,且y∈B2。
自考 离散数学教材课后题第五章答案
5.1习题参考答案1、设无向图G有16条边,有3个4度结点,4个3度结点,其余结点的度数均小于3,问:G中至少有几个结点。
阮允准同学提供答案:解:设度数小于3的结点有x个,则有3×4+4×3+2x≥2×16解得:x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、设无向图G有9个结点,每个结点的度数不是5就是6,证明:G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
阮允准同学答案:证明:由题意可知:度数为5的结点数只能是0,2,4,6,8。
若度数为5的结点数为0,2,4个,则度数为6的结点数为9,7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个,结论显然成立。
由上可知,G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、证明:简单图的最大度小于结点数。
阮同学认为题中应指定是无向简单图.晓津证明如下:设简单图有n个结点,某结点的度为最大度,因为简单图任一结点没有平行边,而任一结点的的边必连有另一结点,则其最多有n-1条边与其他结点相连,因此其度数最多只有n-1条,小于结点数n.4、设图G有n个结点,n+1条边,证明:G中至少有一个结点度数≥3 。
阮同学给出证明如下:证明:设G中所有结点的度数都小于3,即每个结点度数都小于等于2,则所有结点度数之和小于等于2n,所以G的边数必小于等于n,这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明:同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出,(a)图和(b)图中都有一个三度结点,(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点,而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点,因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边,以及5个结点7条边的简单图。
解:如下图所示: (晓津与阮同学答案一致)7、证明:下图中的图是同构的。
证明如下:在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系,并保持关联关系。
离散数学课后答案五
5.1习题参考答案1、阮允准同学提供答案:解:设度数小于3的结点有x个,则有3×4+4×3+2x≥2×16解得:x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、阮允准同学答案:证明:由题意可知:度数为5的结点数只能是0,2,4,6,8。
若度数为5的结点数为0,2,4个,则度数为6的结点数为9,7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个,结论显然成立。
由上可知,G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、晓津证明如下:设简单图有n个结点,某结点的度为最大度,因为简单图任一结点没有平行边,而任一结点的的边必连有另一结点,则其最多有n-1条边与其他结点相连,因此其度数最多只有n-1条,小于结点数n.4 \阮同学给出证明如下:证明:设G中所有结点的度数都小于3,即每个结点度数都小于等于2,则所有结点度数之和小于等于2n,所以G的边数必小于等于n,这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明:同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出,(a)图和(b)图中都有一个三度结点,(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点,而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点,因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边,以及5个结点7条边的简单图。
解:如下图所示:(晓津与阮同学答案一致)7、证明:下图中的图是同构的。
证明如下:在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系,并保持关联关系。
8、证明:下面两图是同构的。
阮同学给出证明如下:证明:找出对应关系:a---q, b----r, c-----s, d----t, e-----u,f------v, g-----w, h----x9、证明:三次正则图必有偶数个结点。
阮同学证明如下:由题意可知每个结点度数都是3度,即每个结点均为奇结点,根据有偶数个奇结点可知,三次正则图必有偶数个奇结点。
离散数学课后习题答案第五章
第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G 有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G 至少有多少个顶点?在最少顶点的情况下,写出度数列、)()(G G δ、∆。
解:由握手定理图G 的度数之和为:20102=⨯3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3,欲使G 的顶点最少,其余顶点的度数应都取2, 所以,G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==∆G G δ.7、设有向图D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,求D 的入度列,并求)(),(D D δ∆,)(),(D D ++∆δ,)(),(D D --∆δ.解:D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,D 的入度列为1,1,1,2.2)(,3)(==∆D D δ,1)(,2)(==∆++D D δ,1)(,2)(==∆--D D δ8、设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点?解:由握手定理图G 的度数之和为:1262=⨯设2度点x 个,则1221513=+⨯+⨯x ,2=x ,该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的?对可图化的数列,试给出3种非同构的无向图,其中至少有两个时简单图。
(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解:(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数,不可图化; (2) 2+2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数,可图化;18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3,证明它们至少有两个是同构的。
证明:4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2,2,2,2;3,2,2,1;3,3,1,1。
但3,3,1,1对应的图不是简单图。
所以从同构的观点看,4阶4条边的无向简单图只有两个:所以,G 1、G 2、G 3至少有两个是同构的。
离散数学第五版课后习题答案
离散数学第五版课后习题答案离散数学是一门重要的数学学科,它研究的是离散对象和离散结构的性质和关系。
离散数学的应用广泛,涉及计算机科学、信息科学、通信工程、运筹学等领域。
而《离散数学》第五版是离散数学领域的经典教材,它详细介绍了离散数学的基本概念、方法和应用。
在学习离散数学的过程中,课后习题是非常重要的一部分。
通过解答习题,可以巩固理论知识,培养分析问题和解决问题的能力。
然而,由于离散数学的习题种类繁多,难度不一,很多学生在自学或课后复习时会遇到一些困难。
因此,提供《离散数学第五版》课后习题的答案可以帮助学生更好地学习和掌握相关知识。
首先,我们来看一下《离散数学第五版》课后习题的类型。
该教材的习题分为多个章节,每个章节都包含了基本概念、定理和算法的习题。
这些习题涵盖了集合论、逻辑、证明方法、图论、代数结构、计数原理等多个方面的内容。
习题的难度也有所不同,有一些是基础题,有一些是拓展题,还有一些是应用题。
通过解答这些习题,学生可以逐步提高自己的能力,掌握离散数学的核心概念和方法。
接下来,我们来讨论一下为什么提供《离散数学第五版》课后习题的答案是有意义的。
首先,课后习题的答案可以帮助学生检查自己的解答是否正确。
在学习过程中,学生可能会遇到一些难以理解或容易出错的问题,通过对比答案,可以及时发现和纠正错误,提高学习效果。
其次,答案还可以作为学生学习的参考,帮助他们理解问题的解题思路和方法。
有时候,学生可能会陷入思维定势,无法找到问题的突破口,而参考答案可以给他们一些启示和思路。
最后,答案还可以作为学生自学的辅助材料,帮助他们进行自主学习和巩固知识。
然而,提供《离散数学第五版》课后习题的答案也存在一些问题和挑战。
首先,习题的答案可能存在多种解法,因此提供一个标准答案并不容易。
不同的学生可能会有不同的思路和方法,他们的解答也可能会有所不同。
其次,习题的答案可能会涉及一些复杂的推理和证明过程,这些过程可能需要较长的篇幅来解释和讨论。
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离散数学习题解答习题五(第五章 格与布尔代数)1.设〈L ,≼〉是半序集,≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时,〈L ,≼〉是否是格。
a) L={1,2,3,4,6,12} b) L={1,2,3,4,6,8,12} c) L={1,2,3,4,5,6,8,9,10}[解] a) 〈L ,≼〉是格,因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ,≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如:812=LUB{8,12}不存在。
c) 〈L ,≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
16312486312411倒例如:46=LUB{4,6}不存在。
2.设A ,B 是两个集合,f 是从A 到B 的映射。
证明:〈S ,⊆〉是〈2B,⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x),x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ,存在着A 1∈2A,使B 1=f (A 1),由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B,故此S ⊆2B;又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A),所以S 非空;对于任何B 1,B 2∈S ,存在着A 1,A 2∈2A,使得B 1=f (A 1),B 2=f (A 2),从而 L ∪B{B 1,B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) (习题三的8的1)) 由于A 1∪A 2⊆A ,即A 1∪A 2∈2A,因此f (A 1∪A 2)∈S ,即上确界L ∪B{B 1,B 2}存在。
对于任何B 1,B 2∈S ,定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1},A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2},则A 1,A 2∈2A,且显然B 1=f (A 1),B 2=f (A 2),于是GLB{B 1,B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) (习题三的8的2))又若y ∈B 1∩B 2,则y ∈B ,且y ∈B 2。
由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)},于是存在着x ∈A 1,使f (x)=y ,但是f (x)=y ∈B 2。
故此x ∈A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2},因此x ∈A 1∩A 2,从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2),所以GLB{B 1,B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊆f (A 1∩A 2)9731这说明 GLB{B1,B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)=f (A1∩A2)于是从A1∩A2∈2A可知f (A1∩A2)∈S,即下确界GLB{B1,B2}存在。
因此,〈S,⊆〉是〈2B,⊆〉的子格。
3.设〈L,≼〉是格,任取a,b∈L且a≼b。
证明〈B,≼〉是格。
其中B={x|x∈L 且 a≼x≼b}[证] 显然B⊆L;根据自反性及a≼b≼b所以a,b∈B,故此B非空;对于任何x,y∈B,则有a≼x≼b及a≼y≼b,由于x,y∈L,故有z1=x y 为下确界∈L存在。
我们只需证明z1,z2∈B即可,证明方法有二,方法一为:由于a≼x,所以a x=x,于是z1=x y=(a x) y (利用a x=x)=a (x y) (由运算结合律)因此a≼z1;另一方面,由y≼b可知y b=b,由x≼b可知x b=b,于是z1b=(x y) b=x(y b) (由运算结合律)=x b (利用y b=b)=b (利用x b=b)因此 z1≼b,即 a≼z1≼b 所以z1∈B由于a≼x及a≼y,所以a*x=a,a*y=a,因而a*z2=a* (x*y)=(a*x) *y (由*运算结合律)=a*y (利用a*x=a)=a (利用a*y=a)因而a≼z2;又由于y≼b,所以y*b=y 于是z2=x*y=x* (y*b)=(x*y) *b (利用*运算结合律)=z2*b从而z2≼b,即a≼z2≼ b 所以z2∈B因此〈B,≼〉是格(是格〈L,≼〉的子格)。
方法二:根据上、下确界性质,由a≼x,a≼y,可得a≼x*y,(见附页数)4.设〈L,≼,*,〉是格。
a,b∈L,证明:(附页)a≼x≼y,即a≼z2,a≼又由x≼b,y≼b,可得x y≼b,x*y≼y≼b,即z1≼b,z2≼b所以a≼z1≼b,a≼z2≼b,故此z1,z2∈Ba*b≺a且a*b≺b a与b是不可比较的。
[证] 先证用反证法,假设a与b是可比较的,于是有a≼b或者b≼a。
当a≼b时,a*b=a与a*b≺a(得a*b≠a)矛盾;当b≼a时,a*b=b与a*b≺b(得a*b≠b)矛盾;因此假设错误,a与b是不可比较的。
次证由于a*b≼a,a*b≼b。
如果a*b≼a,则a≼b,与a和b不可比较的已知条件矛盾,所以a*b≠a,故此a*b≺a;如果a*b=b,则b≼a,也与a和b不可比较的已知条件矛盾,所以a*b≠b,故此可得a*b≺b。
5.设〈L,≼,*,〉是格。
证明:a) (a*b) (c*d)≼(a c) * (b d)b) (a*b) (b*c)≼(c a)≼(a b) * (b c) * (c a)[证] a) 方法一,根据上、下确界的性质,由a*b≼a≼a c及a*b≼b≼b d 所以得到a*b≼(a c) * (b d)又由 c*d≼c≼a c及c*d≼d≼b d,所以得到c*d≼(a c) * (b d)因此(a*b) (c*d) ≼ (a c) * (b d)方法二 (a*b) (c*d)≼[(a c) * (a d)] * [(a c) * (b d)](分配不等式,交换律,结合律,保序性)≼(a c) * (b d) (保序性)b) 方法一,根据上、下确界的性质由a*b≼a≼a b,a*b≼b≼b c,a*b≼a≼c a可得a*b≼(a b) * (b c) * (c a)同理可得b*c≼(a b) * (b c) * (c a)及 c*a≼(a b) * (b c) * (c a)所以(a b) (b c) (c a)≼(a b) * (b c) * (c a)方法二:(a b) (b c) (c a)≼[b* (a c)] (c*a) (交换律,结合律,分配不等式,保序性)≼[b (c*a)] * [(a c) (c*a)](分配不等式,交换律,)≼[(a b) * (b c)] * (a c)(分配不等式,结合律,交换律,吸收律,保序性)≼(a b) * (b c) * (c a) (结合律)6.设I是整数集合。
证明:〈I,min,max〉是分配格。
[证] 由于整数集合I是全序集,所以任何两个整数的最小者和最大者是存在的,因此〈I,min,max〉是格是格是显然的。
下面我们来证〈I,min,max〉满足分配律对于任何a,b,c∈I 有a* (b c)=min{a,max{b,c}}(a*b) (a*c)=min{min{a,b},min{a,c}}(1)若b≤c时,当(a) a≤b,则a≤c ,故此min{a,max{b,c}}=min{a,c}=amax{min{a,b},min{a,c}}=max{a,a}=a(b)b≤a≤c ,则min{a,max{b,c}}=min{a,c}=amax{min{a,b},min{a,c}}=max{b,a}=a(c)c≤a,则b≤a,因此min{a,max{b,c}}=min{a,c}=cmax{min{a,b},min{a,c}}=max{b,a}=c(2)若c≤b时,当(a)a≤c,则a≤b,故此min{a,max{b,c}}=min{a,b}max{min{a,b},min{a,c}}=min{a,a}=a(b)c≤a≤b,则min{a,max{b,c}}=min{a,b}=amax{min{a,b},min{a,c}}=max{a,c}=a(c)b≤a,则c≤a,因此min{a,max{b,c}}=min{a,b}=bmax{min{a,b}},min{a,c}}=max{b,c}=b综合(1)(2)总有a* (b c)=(a b) * (a c)根据对偶原理,就还有a (b*c)=(a b) * (a c)因此〈I,min,max〉是分配格。
7.设〈A,*,,max〉是分配格,a,b∈A且a≼b。
证明:f (x)=(x a) *b是从A到B的同态函数。
其它B={x|x∈A且a≼x≼b}[证] 由于a≼x a,及已知a≼b,所以a≼(x a)*b;其次(x a)*b≼b,所以a≼ f (x) ≼b,因而f (x)是从A到B的函数。
对于任何x,y∈A,f(x y)=((x y)a)*b=((x a) (y a)) *b(幂等律,交换律,结合律)=((x*a)b)((y a) *b)(分配律)=f (x) f (y)f (x*y) =((x*y) a) *b=((x a) * (ya))*b (分配律)=((x a) *b)((y a) *b) (幂等律,交换律,结合律)=f (x) *f (y)所以,f满足同态公式,因而f 是从A到B的同态函数。
8.证明:一个格是分配格的充分必要条件是a,b,c∈L,有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。
对于任何a,b,c∈L,(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) (交换律,分配律)=(b (c*a)) * ((a c) (c*a)) (分配律)=(b c) * (b a) * (a c) (分配律,吸收律)=(a b) * (b c) * (c a) (交换律)充分性,f满足同态公式,因而f是从A到B的同态函数。
8.证明:一个格是分配格的充分必要条件是a,b,c∈L,有(a*b) (b*c) (c*a)=(a b) * (b c) * (c a)[证] 必要性。
对于任何a,b,c∈L,(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (a c)) (c*a) (交换,分配律)=(b (c*a))(( a c) (c*a)) (分配律)=(b c) * (b a) * (a c) (分配律,吸收律)=(a b) * (b c) * (c a) (交换律)充分性,对于任何a,b,c∈La (b*c)=(a (a*c)) (b*c) (吸收律)=((a (a*b)) (a*c)) (b*c) (吸收律)=(a*b) (b*c) (c*a) a (交换律,结合律)=((a b) * (b c) * (c a)) a (已知条件)=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) a (交换律,吸收律)=((a b) * (a c) * (b c)) ((b c) *a) (a* (a b) * (a c)) (吸收律)=(((a b) * (a c)) (b c)) * ((b c) a) * (a((a b)) * (a c)))(已知条件)=(((a b) * (a c)) (b c)) * (a b c) *((a b)* (a c))(因为a ((a b) * (a c))= (a b) * (a c)=(((a b) * (a c)) (b c)) * (((a b)c) *(a b)* (a c) (结合律)=(((a b) * (a c)) (b c)) *((a b)* (a c)) (吸收律,结合律)=(a b)* (a c) (吸收律)根据对偶原理还有a* (b c)= (a b) * (a c)所以格L是分配格。