北师大附中上初中九级数中考试
2022-2023学年北京师范大学附属实验中学九年级上学期数学期中考试卷带讲解
…
0
2
…
y
…
0
3
3
0
…
（3）当 时，直接写出y的取值的范围．
【答案】（1） ；
（2）答案见详解；（3） ．【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解，即将A、B两点坐标代入解析式求出b、c即可；
（2）先补充列表，然后描点画二次函数的图像即可；
（3）结合函数图像，利用二次函数的性质求解．
【小问1详解】
解： 二次函数 图像经过点 ， ，
8.如图，在边长为2的正方形 中，点M在AD边上自A至D运动，点N在 边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接 ， 交于点P，则 的最小值为（ ）
A.1B.2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点P的运动轨迹为以 为直径的一段弧，再求 的最小值即可【详解】解：如图1，
∵四边形 是正方形，
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 ；
②若此函数的图象为抛物线，且经过 ，则该抛物线开口向下；
③若此函数的解析式为 ，且经过 ，则 ；
④若此函数的解析式为 ，开口向下，且 ，则a的范围是 ．
所有合理推断的序号是___________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①②③都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于④先利用函数过 ， 可得函数解析式为 再结合题意建立不等式组模型即可解决问题．
∴ ，
∴ ，
又 ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的运动轨迹为以 为直径的一段弧，如图2所示，
连接 交弧于点P，此时， 的值最小，
在 中， ，
北京师范大学附属中学2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题。
（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。
1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝53．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣24．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（）A．B．2C．D．55．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5B．0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞5D．x＜0或x＞39．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题。
北京师大附中上学期初中九年级期中考试数学试卷(附解析答案)
北京师大附中2020届上学期初中九年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题。
考试时长120分钟，满分100分。
一、本大题共8小题，共16分。
1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用. 瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产. 下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2. 抛物线y= －(x－1)2 +3的顶点坐标是( )A. (1, 3)B. (－1, 3)C. (－1，－3)D. (1，－3)3. 将函数y=3x2的图象如何变换可以得到抛物线y=3(x+1)2－4的图象( )A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°,那么∠BAD等于( )A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°5. 如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是( )A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3，4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不．经过( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q7. 下列关于二次函数的说法错误的是( )A. 二次函数y=(x+2)2－2的顶点坐标是(－2,－2)B. 抛物线y=－x2 +2x+1，当x<0时y随x的增大而增大C. 函数y= 2x2 + 4x－3的图象的最低点坐标为(－1,－5)D. 点A(3,0)不在抛物线y=x2－2x－3的图象上8. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题. 近几年来，“互联网”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用。
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年度第一学期九年级数学期中考试试卷 (PDF )
北京师范大学附属实验中学2020－2021 学年度第一学期初三年级数学期中试卷考生须知：1． 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2． 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4． 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5． 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 抛物线()212y x =-+-的对称轴是（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =- 2. 若O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 3. 如果43x y =，那么下列结论正确的是（ ）A ．34x y = B ． 43x y = C ． 43x y = D ． 4,3x y ==4. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n ︒后能与 原来的图案互相重合，则n 的最小值为（ ）A ．45B ．60 C. 72 D ．144 5. 如图，若AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，58ABD ︒∠=，则BCD ∠的度数为（ ）A ．32︒B ．58︒ C. 64︒ D ．16︒6. 下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤ C. 圆 D ．抛物线2y x x =+7. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列关系式中正确的是（ ）A ．0ac >B ．20b a +< C. 240b ac -> D ．0a b c -+<8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s 与提出概念的时间t (单位：min )之间近似满足函数 关系()20,s at bt c a s =++≠值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t 与s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）A ．8minB ．13min C. 20min D ．25min二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）.9. 已知1-是关于x 的一元二次方程230x kx +-=的一个根，则k = 10. 如图，四边形ABCD 的顶点都在O 上，110C ︒∠=, 则A ∠=11. 将抛物线2y x =向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 12. 已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是 ．13. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的,a b 的值：a = ，b =14. 抛物线224y x x =-上三点分别为()()()1233,,0,,3,y y y -，则123,,y y y 的大小关系为 （用“>”号连接） 15. 如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为 ．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆外接圆的圆心坐标是 ， 半径是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17、19-23 题，每小题 5 分，第 18、24、25、26 题，每小题 6 分，第 27、28 题，每小题 7 分）17. 已知250x x +-=，求代数式()()()2122x x x +++-的值．18. 已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点()()0,3,2,3()1此二次函数的表达式，并用配方法将其 化为()2y a x h k =-+的形式()2画出此函数的图象；()3借助图象，判断若03x <<，则y 的取值范围是19. 如图，把一个宽度为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边 与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和 “10”（单位：cm ），求光盘的直径20. 已知关于x 的一元二次方程2340x kx k -+-=()1判断方程根的情况；()2若此方程有一个整数根，选择一个合适的k 值，并求出此时方程的根21如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =．()1求证：ABEACD ∆∆；()2若E 是线段AD 的中点，求BDCD的值．.22. 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题. 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：P 为O 外一点．求作：经过点P 的O 的切线．小敏的作法如下：①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ； ②以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交O 于,A B 两点；③作直线,PA PB ．所以直线,PA PB 就是所求作的切线． 根据小敏设计的尺规作图过程.()1使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） ()2完成下面的证明.证明：由作图可知点,A B 在以C 为圆心，CO 为半径的圆上，OAP OBP ∴∠=∠= ︒。
北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A。
AB=ADB。
AC⊥BDC。
AC=BDD。
AD=CD2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A。
2B。
3C。
3√3D。
2√33.用配方法解一元二次方程x^2-4x=5时，此方程可变形为（）A。
(x+2)^2=9B。
(x-2)^2=9C。
(x+2)^2=25D。
(x-2)^2=254.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A。
x^2+3x-4=0B。
2x^3-3x-5=0C。
x+2=1/2D。
x^2+1=2x5.若代数式2x^2-5x与代数式x^2-6的值相等，则x的值是（）A。
-1或6B。
1或-6C。
2或3D。
-2或-36.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（）A。
1/6B。
1/3C。
1/2D。
2/37.2、3、4四个班，某校九年级共有80名学生，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A。
1/8B。
1/6C。
3/8D。
1/28.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
3/49.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年均增长率为多少？设该公司这两年缴税的年均增长率为x,根据题意，下列所列的方程正确的是（）A。
40+x^2=48.4B。
40(1+x^2)=48.4C。
40(1-x)^2=48.4D。
40(1+x)^2=48.410.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A。
北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（ ）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（ ）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍） ．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是 ．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。
2025届北京师范大学附属中学九上数学期末综合测试试题含解析
2025届北京师范大学附属中学九上数学期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知反比例函数的解析式为||2-=a y x ，则a 的取值范围是( ) A ．2a ≠ B ．2a ≠- C ．2a ≠± D ．2a =±2．如图，11OA B ∆，122A A B ∆、233A A B ∆，…是分别以1A 、2A 、3A ，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,C x y ，()222,C x y ，()333,C x y ，…均在反比例函数4y x=（0x >）的图象上.则1210y y y ++⋅⋅⋅的值为（ ）A ．210B ．6C ．42D ．273．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是( )A ．x 2＋9x －8＝0B ．x 2－9x －8＝0C ．x 2－9x ＋8＝0D ．2x 2－9x ＋8＝04．一个不透明的袋子中装有21个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于1．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）A ．51B ．31C ．12D ．85．一元二次方程2(x 2)0-=的根是( )A ．x 2=B ．12x x 2==C ．1x 2=-，2x 2=D ．1x 0=，2x 2=6．有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是( ) A ．n(n ﹣1)＝15B ．n(n+1)＝15C ．n(n ﹣1)＝30D ．n(n+1)＝307．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．一个圆锥的底面直径是8cm ，母线长为9cm ，则圆锥的全面积为（ ）A ．36πcm 2B ．52πcm 2C ．72πcm 2D ．136πcm 29．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x +1B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2C ．y ＝1﹣x 2D ．y ＝ 10．下列说法正确的是（ ）A ．25人中至少有3人的出生月份相同B ．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上C ．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天D ．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是1211．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是22221.2, 1.1,0.6,0.9S S S S ====甲乙丁丙则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =二、填空题（每题4分，共24分）13．抛物线y ＝x 2﹣2x +1与x 轴交点的交点坐标为______．14．如图，平行四边形ABCD 中，60B ∠=，=12BC ，10AB =，点E 在AD 上，且AE=4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接DG ，则线段DG 的最小值为____________________．15．如图所示，在平面直角坐标系中，A （4，0），B （0，2），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是_____．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表： x … －2 0 2 3 …y … 8 0 0 3 …当x ＝－1时，y ＝__________．17．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()p kPa 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为31m 时，气压是__________kPa ．18．小明身高是1.6m ，影长为2m ，同时刻教学楼的影长为24m ，则楼的高是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知，在平行四边形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，∠OCA ＝90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似．20．（8分）如图，在ABC 中，I 是内心，,AB AC O =是AB 边上一点，以点O 为圆心，OB 为半径的O 经过点I .()1求证：AI 是O 的切线； ()2已知O 的半径是5.①若E 是BI 的中点，5OE =，则BI = ；②若16BC =，求AI 的长.21．（8分）如图，已知直线y=﹣x+4与反比例函数k y x=的图象相交于点A （﹣2，a ），并且与x 轴相交于点B ．（1）求a 的值；（2）求反比例函数的表达式；（3）求△AOB 的面积．22．（10分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国•朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加朗诵比赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m= ，n= ；C等级对应扇形有圆心角为度；（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．23．（10分）解方程（1）7x2－49x＝0；（2）x2－2x－1＝0.24．（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动．以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于点H，连接CG、BH．请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由．（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？最大值是多少？（3）当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？25．（12分）解方程：（1）x2﹣2x+1=0 （2）2x2﹣3x+1=026．已知，如图，有一块含有30°的直角三角形OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角形ODC的斜边OCAB=的长相等．把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3（1）若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点A，请写出一个满足条件的抛物线的解析式．（2）若把含30°的直角三角形绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与轴重叠，点A落在点'A，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.2、A【分析】过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，，得出△11OA B 为等腰直角三角形，进而求出1y ，再逐一求出2y ，3y …的值，即可得出答案.【详解】如图，过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，∵△11OA B 为等腰直角三角形，斜边1OB 的中点1C 在反比例函数4y x =的图像上 ∴1C (2,2)，即12y =∴1112OD D A ==设21D A a =，则22D C a =此时2C (4+a,a)将2C (4+a,a)代入4y x=得a(4+a)=4解得222a =-或222--(负值舍去)即2222y =-同理32322y =-，42423y =-，…， ∴12102222232221029210y y y ++⋯+=+-+-+⋯+-=故答案选择A.【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y 的值.3、C【详解】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（18﹣3x ）（6﹣2x ）=61，化简整理得，x 2﹣9x+8=1．故选C ．4、B【分析】设白球个数为x 个，白球数量÷袋中球的总数=1-14=1.6，求得x【详解】解：设白球个数为x 个，根据题意得，白球数量÷袋中球的总数=1-14=1.6，所以0.620x x =+， 解得30x =故选B【点睛】本题主要考查了用评率估计概率.5、B【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（x ﹣2）2＝0，则x 1＝x 2＝2，故选B ．【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．6、C 【解析】由于每两个队之间只比赛一场，则此次比赛的总场数为：1(1)2n n -，场．根据题意可知：此次比赛的总场数=15场，依此等量关系列出方程即可．【详解】试题解析：∵有n 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为1(1)2n n -， ∴共比赛了15场，1(1)152n n ∴-=， 即()130.n n -=故选C.7、D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．【详解】解：圆锥的全面积＝π×42+12×2π×4×9＝52π（cm2）．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9、C【解析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；B、由已知函数解析式得到：y＝－2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D、该函数不是二次函数，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．10、A【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是13，原说法错误，故这个选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．11、C【分析】根据方差的意义，即可得到答案．【详解】∵丙的方差最小，∴射击成绩最稳定的是丙，故选C ．【点睛】本题主要考查方差的意义，掌握方差越小，一组数据越稳定，是解题的关键．12、B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.二、填空题（每题4分，共24分）13、（1，0）【分析】通过解方程x 2-2x+1=0得抛物线与x 轴交点的交点坐标．【详解】解：当y ＝0时，x 2﹣2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，所以抛物线与x 轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．14、【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN ，且随着点F 的移动，ME 的长度不变，从而确定当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．【详解】解：如图所示，过点E 做EM ⊥AB 交BA 延长线于点M ，过点G 作GN ⊥AD 交AD 于点N ，∴∠EMF=∠GNE=90°∵四边形ABCD 是平行四边形，BC=12∴AD ∥BC ，AD=BC=12，∴∠BAD=120°，∴∠AFE+∠AEF=60°又∵EG 为EF 逆时针旋转120°所得，∴∠FEG=120°，EF=EG ，∴∠AEF+∠GEN=60°，∴∠AFE=∠GEN ，∴在△EMF 与△GNE 中，∠AFE=∠GEN ，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG ，∴△EMF ≌△GNE （AAS ）∴ME=GN又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，∴∠AEM=30°，122AM AE ==，2223ME AE AM =-=， ∴23ME GN ==，∴当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小，如图所示，此时23DG GN ==，故答案为：23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的构造、几何中的动点问题，解题的关键是作出辅助线，得到全等三角形，并发现当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小．15、y ＝2x ﹣1【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，易知△ACD ≌△BAO （AAS ），已知A （4，0），B （0，2），从而求得点C 坐标，设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A ，点C 坐标代入求得k 和b ，从而得解．【详解】解：∵A （4，0），B （0，2），∴OA ＝4，OB ＝2，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵∠ABO +∠BAO ＝∠BAO +∠CAD ，∴∠ABO ＝∠CAD ，在△ACD 和△BAO 中ABO CAD AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BAO （AAS ）∴AD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝4，∴C （6，4）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A ，点C 坐标代入得4064k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴28k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ﹣1．故答案为：y ＝2x ﹣1．【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，求得C 的坐标是解题的关键，难度中等． 16、3【解析】试题解析：将点()()()0,0,2,0,3,3代入2y ax bx c =++，得 0{42093 3.c a b a b =+=+=解得：1{20.a b c ==-=∴二次函数的解析式为：22.y x x =-当1x =-时，()()2121 3.y =--⨯-=故答案为：3.17、1【解析】设出反比例函数解析式，把A 坐标代入可得函数解析式，再将V =1代入即可求得结果． 【详解】解：设=k p x，代入(0.8,120)A 得： 1200.8=k ，解得：96k =， 故96=p x ，当气体体积为31m ，即V =1时，96961==p (kPa )， 故答案为：1．【点睛】 本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．18、19.2m【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．【详解】设教学楼高度为xm ，列方程得： 1.6242x = 解得x ＝19.2，故教学楼的高度为19.2m ．故答案为：19.2m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．三、解答题（共78分）19、（1）42033=-+y x ；（2）当t ＝256或 203时，△OAC 与△APQ 相似． 【分析】（1）要求直线AC 的解析式，需要求出点A 、点C 的坐标，可以利用等积法求得C 点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；（2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得t 的数值．【详解】解：（1）过点C 作CE ⊥OA ，垂足为E ，在Rt △OCA 中，AC 2254-3，∴5×CE ＝3×4，∴CE ＝125，在Rt △OCE 中，OE＝165， ∴C （165，125），A （5，0）， 设AC 的解析式为y =kx +b ， 则16125550k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：43203k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴42033=-+y x ； （2）当0≤t ≤2.5时，P 在OA 上，因为∠OAQ ≠90°，故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t ＞2.5时，①若∠APQ ＝90°，则△APQ ∽△OCA ， 故AQ AP ＝OA OC ＝54， ∴25t t -＝54， ∴t ＝256， ∵t ＞2.5，∴t ＝256符合条件． ②若∠AQP ＝90°，则△APQ ∽△OAC ，故AQ AP ＝OC OA ＝45， ∴25t t -＝45， ∴t ＝203， ∵t ＞2.5，∴t ＝203符合条件．综上可知，当t ＝256或 203时，△OAC 与△APQ 相似． 【点睛】 本题考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关于动点的问题要注意对问题进行分类讨论．20、（1）详见解析；（2）①45；②203【分析】(1)延长AI 交BC 于D ，连接OI .得出AD BC ⊥，再利用角之间的关系可得出OI BC ，即OI AD ⊥，结论即可得证.(2)①利用勾股定理即可求解②由()1知// OI BC ，AOI ABD ，根据对应线段成比例，可得出AB ，AD 的值，从而可求出AI 的长.【详解】解：(1)证明：延长AI 交BC 于D ，连接OI .I 是ABC 的内心，BI ∴平分,ABC AI ∠平分BAC ∠.13∠∠∴=.,AB AC AD BC =∴⊥.又OB OI =，32∴∠=∠.12∠∠∴=.// OI BD ∴.OI AI ∴⊥.AI ∴为O 的切线.()2①∵()22IE 552025=-==∴BI 45=②解：由()1知// OI BC ，AOIABD ∴. AO OI AI AB BD AD ∴== 55 8AB AB -∴= 403AB ∴= 22323AD AB BD ∴=-=. ∴53220AI 833=⨯= . 【点睛】本题考查的知识点有圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用数形结合的方法可以更好的理解题目，有助于找出解题的方向.21、（1）a=6；（2）12y x=- ；（3）1 【解析】（1）把A 的坐标代入直线解析式求a ；（2）把求出的A 点坐标代入反比例解析式中求k ，从而得解析式；求B 点坐标，结合A 点坐标求面积．【详解】解：（1）将A （﹣2，a ）代入y=﹣x+4中，得：a=﹣（﹣2）+4，所以a=6（2）由（1）得：A （﹣2，6）将A （﹣2，6）代入k y x=中，得到：62k =-，即k=﹣1 所以反比例函数的表达式为：（3）如图：过A 点作AD ⊥x 轴于D ；∵A （﹣2，6）∴AD=6在直线y=﹣x+4中，令y=0，得x=4∴B （4，0），即OB=4∴△AOB 的面积S=12OB×AD=12×4×6=1．考点：反比例函数综合题．22、（1）40，补图见解析；（2）10，40，144；（3）1 2【解析】试题分析：（1）根据D等级的有12人，占总数的30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数求得B等级的人数，从而作出直方图；（2）根据百分比的定义求得m、n的值，利用360°乘以C等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；（3）利用列举法即可求解．试题解析：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40（人），则B等级的人数是：40-4-16-12=8（人）．（2）A所占的比例是：440×100%=10%，C所占的百分比：1640×100%=40%．C等级对应扇形的圆心角是：360×40%=144°；（3）设A等级的小明用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）=61 122=．考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．列表法与树状图法．23、（1）x1＝0,x2＝7；（2）112x=+212x=-【解析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可.【详解】（1）∵7x2－49x＝0，∴x2－7x＝0，∴(7)0x x-=.解得x 1＝0，x 2＝7（2）移项,得221x x -=,配方,得2(1)2x -=,开平方,得1x -=解得11x =，21x =-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.24、（1）AE =CG ，见解析；（2）当x =1时，y 有最大值，为12；（3）当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，见解析.【解析】(1)由正方形的性质可得AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，由“SAS”可证△ABE ≌△CBG ，可得AE=CG ；(2)由正方形的性质可得∠A=∠D=∠FEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=∠DEH ，可得△ABE ∽△DEH ，可得y 2x x 2-=，由二次函数的性质可求最大值； (3)当E 点是AD 的中点时，可得AE=1，DH=12，可得AE EH AB BE =，且∠A=∠FEB=90°，即可证△BEH ∽△BAE ． 【详解】(1)AE=CG ，理由如下：∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，∴AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABE=∠CBG ，且AB=BC ，BE=BG ，∴△ABE ≌△CBG(SAS)，∴AE=CG ；(2)∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，∴∠A=∠D=∠FEB=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEH=90°，∴∠ABE=∠DEH ，又∵∠A=∠D ，∴△ABE ∽△DEH ， ∴DH DE AE AB=，∴y 2x x 2-= ∴21y x x 2=-+=211(x 1)22--+， ∴当x=1时，y 有最大值为12； (3)当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，理由如下：∵E 是AD 中点，∴AE=1， ∴1DH 2= 又∵△ABE ∽△DEH ， ∴EH DH 1BE AE 2==， 又∵AE 1AB 2=， ∴AE EH AB BE =，且∠DAB=∠FEB=90°， ∴△BEH ∽△BAE.【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．25、（1）x 1=x 2=1 ；（2）x 1=1，x 2=12【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；（2）利用十字相乘法解一元二次方程即可得出答案.【详解】解：（1）x 2﹣2x+1=0(x-1)2=0∴x 1=x 2=1（2）2x 2﹣3x+1=0(2x-1)(x-1)=0∴x 1=1，x 2=12【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解一元二次方程主要有以下几种解法：直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.26、（1）()23y x =--；（2）2764S π=-阴影 【分析】（1）在Rt △OBA 中，由∠AOB=30°，AB=3利用特殊角的正切值即可求出OB 的长度，从而得出点A 的坐标，利用顶点式即可求出函数解析式；（2）在Rt △OBA 中，利用勾股定理即可求出OA 的长度，在等腰直角三角形ODC 中，根据OC 的长度可求出OD 的长，结合图形即可得出阴影部分的面积为扇形AOA ′的面积减去三角形ODC 的面积，结合扇形与三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt OBA ∆中，30AOB ∠=︒，3AB =∴26OA AB ==∴OB ===∴A ．∴抛物线的解析式是()23y x =--（2）由（1）可知6OA =，由题意得60AOC ∠=︒ ∴'2606360AOA S OA ππ==扇形在Rt ODC ∆中，45,DOC OC OB ∠=︒== ∴2127S 44ODC OC ∆== ∴'27-S 64ODC AOA S S π∆==-阴影扇形 【点睛】 本题考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形的面积以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）求出点A 的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和（差）的形式是关键．。
北师大附中学年上初中九年级数中考试
北师大附中学年上初中九年级数中考试Newly compiled on November 23, 2020北京师大附中2009-2010学年上学期初中九年级数学期中考试试卷一、选择题(将答案填在表格中，每小题3分，共30分)1．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC 的度数是( ) A ．50°B ．100°C ．130°D ．200°2．抛物线21212y x x =-++的顶点坐标是( ) A ．(2，1)B ．(2，-3)C ．(2，3)D ．(-2，32)3．若二次函数y=2(x-2)2-3的图象上有两个点A(5，y 1)、B(-1，y 2)，则下列判断中正确的是( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1=y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1，y 2的大小不确定4．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则cosA 的值是( ) A ．1213B ．513C ．512D ．1255．若关于x 的方程x 2-2x +cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图，己知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：PB=1：5， 那么⊙O 的半径是( ) A ．35cmB ．65cmC ．8cmD ．6cm7．铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2:3，上底宽是3米，路基高为4米，则路基的下底宽为( )A．15米B．12米C．9米D．7米8．如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ( )A．1 B．2C．2 D．319．某同学从右图二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面的五个结论：①c=0，②函数的最小值为-3，③a-b+c＜0，④4a+b=0，⑤b-4ac＞0．你认为其中2正确的命题有( )A．5个B．4个C．3个D．2个10．如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x 的函数y的图象如图2所示，那么△ABC的面积为A．32 B．18 C．16 D．10二、填空题(每小题4分，共32分)11．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a，b，c满足a+b+c=0和9a-3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线____________．12．将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x2-4x+5，则原抛物线的顶点坐标是___________．13．锐角A满足2sin(A-15°)=3，则∠A=___________．14．一条弦AB将⊙O分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB所对的圆心角的度数是___________．15．如图，在ΔABC中，∠A=30°，，AC=AB=___________．16．在△ABC中，AB=2，，∠B=30°，则∠BAC的度数是___________17．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对．．．(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1，例如把(3，-2)放入其中，就会得到32+(-2)+1=8，现将实数对．．．(-2，3)放入其中得到实数m，再将实数对．．．(m，1)放入其中后，得到的实数是___________．18．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE AE是劣弧DE DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是___________．三、解答题(第24题4分，其余每小题6分，共34分)19．计算：(1)6cos30°×tan30°-2sin245°(2)π-1)°-2sin45°+tan45°20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=513，BC=26．求：(1)cos∠DAC的值；(2)线段AD的长．21．如图，河对岸有一水塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进12米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求水塔AB的高(结果保留根号)22．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。
北师大附中九年级《数学》上学期期中考试试题和答案(沪科版)
九年级数学第一学期期中考试试题一．选择题（每题3分，共36分）1. (-2)2的算术平方根是（ ） 。
A ．2 B. ±2 C.-2 D.22.12a =-，则（ ）。
A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥123.将一元二次方程x x 6132=+化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）。
A ．3，—6 B.3,6 C.3,1 D.x x 6,32-4.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=5.下列图形中，是中心对称图形的是 ()A ． B. C. D.6.如图将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ．若∠A=40°．∠B ′=110°，则∠BCA ′度数是（ ）A ．110° B. 80° C. 40° D. 30°7.如图⊙O 是△A BC 外接圆，∠OCB ＝40°,则∠A 度数等于( )。
A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°8.某商品原价289元,连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价百分率为x,则下面所列方程中正确是( ) A. ()22891256x -= B. ()22561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=2899.在圆柱形油槽内装有一些油,油槽直径MN 为10分米.截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB 上升（ ）。
A ．1分米 B.4分米 C.3分米 D.1分米或7分米 10.如图⊙O 半径为2，点O 到直线l 距离为3，点P 是直线l 上一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 最小值是（ ）。
北京市首都师范大学附属中学永定分校2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市首都师范大学附属中学永定分校2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有一个根为0，则m 的值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-2．下列图形中是中心对称图形的是（）A ．正方形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．正五边形3．将抛物线22y x =向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）A ．()2223y x =++B ．()2223y x =-+C ．()2223y x =--D ．()2223y x =+-4．若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（）A ．36B ．36-C ．9D ．9-5．某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计图A ．()21801461x -=B ．()23681442x -=C ．()21801461x +=D ．()23681442x +=6．不解方程，判断关于x 的方程2210x kx --=的根的情况为（）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．12b a->D ．0a b c ++<8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…4-3-2-1-0…y…3-m103-…有以下几个结论：①抛物线2y ax bx c =++的开口向上；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =-；③关于x 的方程20ax bx c ++=的根为3-和1-；④当y ＜0时，x 的取值范围是3-＜x ＜1-．其中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题9．方程240x -=的解是．10．抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为．11．如果关于x 的方程220x x m ++=有两个相等的实数根，则m =．12．把二次函数的表达式223y x x =--化为()2y a x h k =-+的形式y =．13．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上：②当0x <时，y 随x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是．14．()11,A y 、()23,B y 是函数222y x =-+图像上的两个点，1y ，2y 的大小关系是．15．二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则b 0，∆0．16．如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD ，其中一边AD 靠墙，其余的三边AB ，BC ，CD 用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD 的边AB x =米，面积为S 平方米．（1）活动区面积S 与x 之间的关系式为；（2）菜园ABCD 最大面积是平方米．三、解答题17．解下列方程(1)()22280x +-=；(2)23520x x -+=．18．已知二次函数的图象经过点()6,0，顶点坐标为()4,8-，求该函数的表达式．19．已知二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求：(1)点A 、B 、C 的坐标；(2)ABC 的面积．20．已知二次函数=B 2+B +图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表：x…01234…y…-3-4-35…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与x 轴的交点坐标.21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转30°得到AED AE，交BC 于点F ．若3AD =，求AF 的长．22．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于4-，求m 的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,3A -，()3,0B -，()1,0C -，把ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到11A B C ．（每个方格的边长均为1个单位）(1)画出11A B C 并直接写出：1A 的坐标为______，1B 的坐标为______；(2)判断直线AB 与直线11A B 的位置关系为______．24．已知抛物线223y x x =+-．(1)用配方法将223y x x =+-化成()2y a x h k =-+的形式；(2)写出该抛物线的对称轴、顶点坐标；(3)抛物线与x 轴交点A ，B （点A 在左侧），与y 轴交点C ，在给定的坐标系中画出这个抛物线，求ABC V 的面积；(4)直接写出当自变量x 满足什么条件时，函数0y >；(5)直接写出当自变量x 满足什么条件时，y 随x 的增大而增大．25．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系2()y a x h k =-+(0)a <．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x/m 0246810竖直距离y/m1.672.63 2.95 2.63 1.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()y a x h k =-+(0)a <；(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d _____2d (填“＞”“＝”或“＜”)．26．在平面直角坐标系xQy 中，二次函数()214y x =--图象顶点为A ，与x 轴正半轴交于点B ．(1)求点B 的坐标，并画出这个二次函数的图象；(2)一次函数y kx b =+的图象过A ，B 两点，结合图象，直接写出关于x 的不等式()214kx b x +>--的解集．27．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d ．对于点P 和图形W 给出如下定义：点Q 是图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d ，则称点P 为图形W 的“关联点”．(1)如图1，图形W 是矩形AOBC ，其中点A 的坐标为0,3，点C 的坐标为()4,3，则d =_____．在点()11,0P -，()22,8P ，()33,1P ，()42P-中，矩形AOBC 的“关联点”是_____；(2)如图2，图形W 是中心在原点的正方形DEFG ，其中D 点的坐标为()1,1．若直线y x b =+上存在点P ，使点P 为正方形DEFG 的“关联点”，求b 的取值范围．。
北京师范大学附属中学2024年数学九上开学达标测试试题【含答案】
北京师范大学附属中学2024年数学九上开学达标测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为（）A ．（2，0）B ．，0）C ．1，0）D ．（，0）2、（4分）已知关于x 的方程x 2-kx+6=0有两个实数根，则k 的值不可能是（）A ．5B ．-8C ．D ．43、（4分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）A ．甲、乙两队身高一样整齐B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐4、（4分）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是()A ．10B ．9C ．8D ．65、（4分）在平面直角坐标系中，点(2018,2019)P 的位置所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、（4分）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O.E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形().A ．AE ＝CFB ．DE ＝BFC ．ADE CBF ∠=∠D ．AED CFB ∠=∠7、（4分）如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（）A ．AC BC AB AC =B ．2·BC AB BC =C ．12AC AB -=D ．0.618≈BC AC 8、（4分）一个六边形ABCDEF 纸片上剪去一个角∠BGD 后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，则∠BGD=（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式方程122x m x x -=--无解，则m 等于___________10、（4分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示．若2S 甲和2S 乙分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则2S 甲________2S 乙．(填“>”、“<”或“=”)．11、（4分）=_________．12、（4分）一个弹簧不挂重物时长12cm ，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。
贵州省贵阳市南明区北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年贵州省北京师大贵阳附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）如果a＞b，那么下列不等式成立的是（ ）A．a+2＜b+2B．﹣2a＜﹣2b C．D．a2＞b22．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOBC．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝105°（ ）A．65°B．75°C．85°D．105°5．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cmC．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm6．（3分）菱形和平行四边形都具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分7．（3分）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分（ ）A．6B．7C．8D．98．（3分）已知点A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函数y＝3x+b的图象上，则（ ）A．m＝nB．m＞nC．m＜nD．m，n的大小关系不确定9．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）A．15B．7C．﹣1D．110．（3分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AB 11．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠012．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，CE＝3，H是AF的中点（ ）A．2.5B．C．D．2二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）使分式有意义的x的取值范围是 ．14．（4分）若，则m﹣n的值为 ．15．（4分）如图，该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是 ．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E为AB的中点，点F在OD上，连接EF交OA于点G，若OG＝1，S△BEC＝12，则线段CE的长为 ．三、解答题（本大题9小题，共98分）17．（12分）（1）计算：+|3﹣|﹣（2017﹣π）0+（）﹣2；（2）解不等式，并求出它的非负整数解．18．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，连接BE，CF （1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．19．（10分）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5•19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是 ；（2）将图1中的条形统计图补充完整；（3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；（4）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．20．（10分）已知如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，∠B＝60°，AF＝，求平行四边形ABCD的面积．21．（10分）已知点P（3，m+8）和点Q（2m+5，3m+2）且PQ∥y轴．（1）求PQ的长；（2）若点R（b，m+8），且RP＝2，求b值．22．（10分）某货运公司有A，B两种型号的汽车，用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨，计划同时租用A型车和B型车，一次运完（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物分别可运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计可行的租车方案，直接写出所有方案．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在BC边上，DF⊥AE（1）求证：△ADF∽△EAB；（2）若DF＝6，则线段EF＝ ．24．（12分）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为am．（1）设AD边的长为xm，则AB边的长为 ，矩形仓库的面积为 ；（用含x的代数式表示）（2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长；（3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由．25．（12分）如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为BC边上的一点，连接AD，交AB 于点E，连接DE．（1）求证：△AFC∽△CFD；（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求2023-2024学年贵州省北京师大贵阳附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）如果a＞b，那么下列不等式成立的是（ ）A．a+2＜b+2B．﹣2a＜﹣2b C．D．a2＞b2【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A．若a＞b，a+2＞b+2，故本选项不符合题意；B．若a＞b，﹣3a＜﹣2b，故本选项符合题意；C．若a＞b，a＞b，故本选项不符合题意；D．若a＞b，b＝﹣6，a2＜b2，原变形不成立，故本选项不符合题意；故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，故选：B．3．（3分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOBC．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB【答案】D【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解．【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB．所以A选项正确，不符合题意；B、∵∠AOC＝，∴OC平分∠AOB．所以B选项正确，不符合题意．C、∵∠AOB＝5∠BOC，∴OC平分∠AOB．所以C选项正确，不符合题意；D、∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，∴OC不一定平分∠AOB．所以D选项错误，符合题意；故选：D．4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝105°（ ）A．65°B．75°C．85°D．105°【答案】B【分析】如图，∠1＝∠3＝105°，然后根据邻补角可进行求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝105°，∴∠1＝∠7＝105°，∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；故选：B．5．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cmC．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm【答案】B【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【解答】解：A、2+4＝8；B、4+6＝10＞3；C、6+7＝13＜14；D、4+3＝5＜4．故选：B．6．（3分）菱形和平行四边形都具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分【答案】D【分析】由菱形，平行四边形的性质，即可判断．【解答】解：菱形和平行四边形都具有的性质是：对角线互相平分，故选：D．7．（3分）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】设出答对的题数，利用答对的题数得分﹣不答或答错题的得分＝34分，列出方程进行求解．【解答】解；设答对的题数为x道故：5x﹣3（10﹣x）＝34解得：x＝3．故选：C．8．（3分）已知点A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函数y＝3x+b的图象上，则（ ）A．m＝nC．m＜nD．m，n的大小关系不确定【答案】C【分析】根据一次函数解析式中k＞0，所以y随x的增大而增大，B点的横坐标大，所以对应的纵坐标大．【解答】解：一次函数y＝3x+b中，k＝3，∴y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，m），n）中，∴n＞m；故选：C．9．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）A．15B．7C．﹣1D．1【答案】B【分析】先配方，确定a、b，再计算a+b的值得结论．【解答】解：x2﹣8x+5＝0，移项，得x2﹣4x＝﹣5，配方，得x2﹣4x+16＝﹣5+16，∴（x﹣4）5＝11．∴a＝﹣4，b＝11．∴a+b＝﹣4+11＝5．故选：B．10．（3分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【解答】解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即＝，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等．故选：C．11．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0【答案】D【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣4＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣5ac≥0，即：9+3k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣7＝0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：D．12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，CE＝3，H是AF的中点（ ）A．2.5B．C．D．2【答案】B【分析】如图，连接AC、CF，由正方形的性质可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，则∠ACF＝90°，由H是AF的中点，可得，根据勾故定理求AC2、CF2的值，根据，求AF的值，进而可求CH．【解答】解：如图，连接AC，由正方形的性质可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H是AF的中点，∴，∵AC3＝12+22＝2，CF8＝32+22＝18，∴，∴＝，故选：B．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠5 ．【答案】x≠5．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣5≠0，求出x的范围即可．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠7，故答案为：x≠5．14．（4分）若，则m﹣n的值为 4 ．【答案】见试题解答内容【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意得：，解得：．则m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．故答案为：4．15．（4分）如图，该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是 考 ．【答案】见试题解答内容【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，面“冷”与面“迎”相对．故答案为考．16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E为AB的中点，点F在OD上，连接EF交OA于点G，若OG＝1，S△BEC＝12，则线段CE的长为 3 ．【答案】3．【分析】作EM⊥OA于M，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明EM是ABO的中位线，得到EM＝OB，因此OF＝EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG＝OG＝1，从而求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，由三角形面积公式求出OB长，得到EM的长，由勾股定理即可求出CE的长．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝3，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝6×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+7＝6，∴CE＝＝3．故答案为：2．三、解答题（本大题9小题，共98分）17．（12分）（1）计算：+|3﹣|﹣（2017﹣π）0+（）﹣2；（2）解不等式，并求出它的非负整数解．【答案】（1）+6；（2）不等式组解集为：﹣3＜x≤4，其非负整数解为：0，1，2，3，4．【分析】（1）原式化简二次根式，利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．【解答】解：（1）原式＝2+4﹣＝+4；（2），解不等式①，得x＞﹣4，解不等式②，得x≤4，∴不等式组解集为：﹣3＜x≤2，则其非负整数解为：0，1，3，3，4．18．（10分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，连接BE，CF （1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）DE＝3．【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝7，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．19．（10分）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5•19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是 200 ；（2）将图1中的条形统计图补充完整；（3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；（4）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．【答案】（1）200；（2）见解答；（3）6.65万；（4）．【分析】（1）用C组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；（2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图；（3）用19万乘以样本中A组人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人选择同一景区的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解；（1）此次抽样调查的样本容量为50÷25%＝200；故答案为：200；（2）B组的人数为200﹣70﹣20﹣50＝60（人），条形统计图补充为：（3）19×＝6.65（万），所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人；（4）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为7，20．（10分）已知如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，∠B＝60°，AF＝，求平行四边形ABCD的面积．【答案】24．【分析】在直角△ADF中，利用三角函数求得AD的长，根据周长即可求得平行四边形的边长AB，进而求得平行四边形的面积．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∴∠B＝∠D＝60°，∵AF⊥CD，AF＝，∴AD＝5，∵平行四边形ABCD的周长为28，∴AB+AD＝14，∴AB＝6，∴CD＝AB＝6，∴S平行四边形ABCD＝CD•AF＝2×4＝24．21．（10分）已知点P（3，m+8）和点Q（2m+5，3m+2）且PQ∥y轴．（1）求PQ的长；（2）若点R（b，m+8），且RP＝2，求b值．【答案】（1）8；（2）b＝5或＝1．【分析】（1）根据PQ∥y轴可知3＝2m+5，求出m的值，进而可得出PQ的值．（2）由题意得PR∥x轴，由RP＝2可知|b﹣3|＝2，求出b的值，【解答】解：（1）∵PQ∥y轴，∴3＝2m+5，∴m＝﹣1，∴P点的坐标为（3，6），﹣1），∴PQ＝7﹣（﹣4）＝8，（2）∵P（3，m+4），m+8），∴PR∥x轴，∵RP＝2，∴|b﹣5|＝2，∴b﹣3＝2或b﹣3＝﹣2，∴b＝5或＝1，22．（10分）某货运公司有A，B两种型号的汽车，用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨，计划同时租用A型车和B型车，一次运完（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物分别可运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计可行的租车方案，直接写出所有方案．【答案】（1）一辆A型车装满货物可运货2吨，一辆B型车装满货物可运货3吨；（2）一共有4种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车7辆；方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车8辆，B型车3辆；方案4：租用A型车11辆，B型车1辆．【分析】（1）设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨；用3辆A型车和5辆B型车装满货物一次可运货21吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用A型车m辆，B型车n辆，根据租用的两种型号的汽车一次可运货物25吨且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．【解答】解：（1）设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，依题意得：，解得：．答：一辆A型车装满货物可运货2吨，一辆B型车装满货物可运货3吨．（2）设租用A型车m辆，B型车n辆，依题意得：6m+3n＝25，∴n＝，又∵m，n均为正整数，∴或或或，∴一共有4种租车方案，方案3：租用A型车2辆，B型车7辆；方案3：租用A型车5辆，B型车5辆；方案6：租用A型车8辆，B型车3辆；方案6：租用A型车11辆，B型车1辆．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在BC边上，DF⊥AE （1）求证：△ADF∽△EAB；（2）若DF＝6，则线段EF＝ 3 ．【答案】（1）见解答；（2）3．【分析】（1）利用AD∥BC得到∠AEB＝∠EAD，则根据∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA可判断△ADF∽△EAB；（2）先利用勾股定理计算出AF＝8，由于△ADF∽△EAB，则利用相似比可计算出BE＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝10，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵DF⊥AE，∴∠F＝90°，∵∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA，∴△ADF∽△EAB；（2）解：在Rt△ADF中，AF＝＝，∵△ADF∽△EAB，∴＝，即＝，解得BE＝4，在Rt△ABE中，AE＝，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣8＝3，故答案为：3．24．（12分）现有可建筑60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为am．（1）设AD边的长为xm，则AB边的长为 （60﹣3x）m ，矩形仓库的面积为 x（60﹣3x）m2 ；（用含x的代数式表示）（2）若a＝50，能否围成总面积为225m的仓库？若能，求AB的长；（3）能否围成总面积为400m2的仓库？请说明理由．【答案】（1）（60﹣3x）m，x（60﹣3x）m2；（2）若a＝50，能围成总面积为225m的仓库，AB的长为45m或15m；（3）不能围成总面积为400m2的仓库，理由见解答过程．【分析】（1）根据图形可表示出AB的长，由矩形面积公式可表示出仓库面积；（2）由围成总面积为225m的仓库可解得x的值，再检验即可得到答案；（3）根据围成总面积为400m2的仓库列方程，判断方程解的情况即可．【解答】解：（1）根据题意得：3x+AB＝60，∴AB＝（60﹣3x）m，矩形仓库的面积为x（60﹣6x）m2；故答案为：（60﹣3x）m，x（60﹣2x）m2；（2）若a＝50，能围成总面积为225m的仓库根据题意得：x（60﹣3x）＝225，解得x＝8或x＝15，当x＝5时，60﹣3x＝60﹣2×5＝45＜50，当x＝15时，60﹣3x＝60﹣4×15＝15＜50，∴AB的长为45m或15m；（3）不能围成总面积为400m2的仓库，理由如下：根据题意得：x（60﹣3x）＝400，整理得：4x2﹣60x+400＝0，Δ＝（﹣60）3﹣4×3×400＝﹣1200＜3，∴方程无实数解，∴不能围成总面积为400m2的仓库．25．（12分）如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为BC边上的一点，连接AD，交AB 于点E，连接DE．（1）求证：△AFC∽△CFD；（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACF＝∠CDF，证明△AFC∽△CFD；（2）过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝2BH，证明△ACF≌△CBH，根据全等三角形的性质得到CF＝BH，进而证明结论；（3）证明△ACD∽△CDE，根据相似三角形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠DCF＝90°，∵CE⊥AD，∴∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠CDF，∵∠AFC＝∠CFD＝90°，∴△AFC∽△CFD；（2）证明：如图①，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，∵CE⊥AD，∴AF∥BH，∴＝＝2，∴AF＝2BH，由（1）可知，△AFC∽△CFD，∴∠CAF＝∠BCH，在△ACF和△CBH中，，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CF＝BH，∴AF＝6CF；（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝，则AC＝BC＝1，∠B＝45°，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，∠B＝45°，则DE＝BD＝1﹣x，∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，∴△ACD∽△CDE，∴＝，即＝，解得：x1＝，x2＝（舍去），∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，∴DE∥AC，∴＝＝．。
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题 (2)
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝﹣3（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（1，3）3．平面直角坐标系内一点P （﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，3）4．如图，在ABC ∆中，以C 为中心，将ABC ∆顺时针旋转35°得到DEC ∆，边ED ，AC 相交于点F ，若30A ︒∠=，则EFC ∠的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．72.5°D ．115°5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝34°，那么∠BAD 等于（ ）A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6．已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，3），则关于x的方程mx＝kx的两个实数根分别为（）A．x1＝﹣3，x2＝3B．x1＝﹣3，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝27．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表下列结论：∠抛物线开口向下；∠当1x>时，y随x的增大而减小；∠抛物线的对称轴是直线12x=；∠函数2(0)y ax bx c a=++≠的最大值为2.其中所有正确的结论为（）A．∠∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠8．如图，OA交∠O于点B，AD切∠O于点D，点C在∠O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°9．北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（）A．4B．5C．7D．910．如图所示，点C是∠O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C 所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C 运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A．150°B．150°，2C．120°D．120°，2二、填空题11．函数2(03)=++的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．y ax bx c x12．将抛物线2=向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为________.y x213．若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为_____．14．如图，AB是∠O的一条弦，OD∠AB于点C，交∠O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么∠O的半径为_____．=无公共点，这个函数的表达式为15．请你写出一个函数，使它的图象与直线y x_________．16．下列关于抛物线y ＝x 2+bx ﹣2． ∠抛物线的开口方向向下；∠抛物线与y 轴交点的坐标为（0，﹣2）； ∠当b ＞0时，抛物线的对称轴在y 轴右侧；∠对于任意的实数b ，抛物线与x 轴总有两个公共点． 其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）17．已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k=--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．18．如图，点E 是正方形ABCD 对角线上的一点，∠EAB ＝70°，BE ＝4，将AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，点F 到AD 的距离是 _____．三、解答题190|1(1)π-- 20．如图，∠ABC 顶点的坐标分别为A （1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，﹣4）．将∠ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到∠AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的∠AB 1C 1，并直接写出点B 1、C 1的坐标：B 1（ ， ）；C 1（ ， ）．21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．22．如图，点A、B、C是∠O上的点，AD是∠O的直径，AD∠BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝∠O的半径．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．24．已知抛物线22=++-≠．y ax ax a a234(0)（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，1y），N（2，2y）在该抛物线上，若1y＞2y，求m的取值范围．25．已知：如图，AB是∠O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是∠O的弦，DF∠AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是∠O的切线；（2）连接并延长DO交AF于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．26．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．27．如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP∠BE于P，交DE于F，连接BF．（1）∠补全图形，∠∠ADE＝（用含α的式子表示）；（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．28．规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R ＝D ﹣d ．在平面直角坐标系xOy 中，（1）如图1，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 1的距离跨度： A （1，0）的距离跨度 ；B （﹣12）的距离跨度 ；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 ；（2）如图2，图形G 2为以D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y ＝k （x ﹣1）上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围；（3）如图3，射线OP ：y （x ≥0），∠E 是以3为半径的圆，且圆心E 在x 轴上运动，若射线OP 上存在点到∠E 的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 ．参考答案：1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 11．-1 12．y=(x+1)2 13．m ＜9 14．515．1y x=-（答案不唯一）16．∠∠17．y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1 18．1920．画图见解析；B 1（1，2）；C 1（4，1）． 21．（1）（2，﹣1）；（2）见解析；（3）﹣1≤y ＜3． 22．（1）见解析；（2）2．23．（1）点D 的坐标为（1，12）；k ＝12；（2）12≤x ≤2． 24．（1）直线x =-1；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当a ＞0时，m ＜－4或m ＞2；当a ＜0时，－4＜m ＜2．25．（1）见解析；（2．26．（1）（m ，m +1）；（2）m ≤﹣1；（3）﹣4≤m ＜﹣1或﹣1＜m ≤0．27．（1）∠图见解析；∠45°﹣α；（2）DE∠BF，证明见解析；（3．28．（1）2；2；4；（2k（3）﹣1≤xE≤2．。
2023北京北师大附中初三(上)期中数学(含答案)
2023北京北师大附中初三（上）期中数 学2023.11数学教学班： 姓名： 学号： 考生须知：1、本试卷有三道大题，共7页。
考试时长120分钟，满分100 分。
2、考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效。
3、考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个. 1.二次函数()223y x =−+的顶点坐标是（ ） A.()2,3−B.()2,3C.()2,3−−D.()2,3−2.将抛物线212y x =向左平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A.2112y x =− B.2112y x =+ C.()2112y x =− D.()2112y x =+3.用配方法解方程2230x x +−=，下列变形正确的是（ ）A.()212x +=−B.()212x +=C.()214x +=−D.()214x +=4.若点()2,a −，()3,b 都在二次函数()211y x =−−的图象上，则a 与b 的大小关系是（ ） A.a b < B.a b = C.a b > D.不确定 5.如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A.120°B.140°C.150°D.160°6.某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元、设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A.()2300015000x+=B.230005000x =C.()2300015000x +=D.()230001%5000x +=7.某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数()2210y ax ax a =−+<的图象，那么她所选择的x 轴和y 轴分别为直线（ ）A.1m ，4mB.2m ，5mC.3m ，6mD.2m ，4m8.已知抛物线21y x =−，直线:l x a =，将抛物线在直线l 左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G . 如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得点(),P m n 在G 上，则a 的取值范围是（ ）A.a ≤≤B.a ≤a ≥C.a ≤D.a ≥第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.已知关于x 的一元二次方程2210x x a ++−=有一个实数根为0，则a 的值为 .10.一个二次函数满足过点（0，1），且开口向上，该二次函数可以为 . 11.如图，O 的直径为10，AB 为弦，OC AB ⊥，垂足为C ，若3OC =，则弦AB 的长为 .12.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果36ACD ∠=︒，那么BAD ∠= .13.已知抛物线2y x mx =−与x 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m 的取值范围是 . 14.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A −，()1,1B ，则关于x 的方程2ax bx c =+的解为 .15.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：①二次函数2y ax bx c =++可改写为()212y a x =−−的形式；②二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下；③关于x 的一元二次方程21.5ax bx c ++=−的两个根为0或2；④若0y >，则3x >.其中所有正确的结论为 .16.某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房，其中男生27人，女生23人，若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要 间两人间；（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题每题4分，第20-22题每题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17.解方程：（1）()20x x +=；（2）2230x x −−=.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的三个顶点分别为()3,4A −，()5,1B −，()1,2C −.（1）画出ABC △关于原点对称的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出ABC △绕原点逆时针旋转90°后的222A B C △，并写出点2C 的坐标. 19.已知二次函数2:43C y x x =−+.（1）将243y x x =−+化成()2y a x h k =−+的形式；（2）在右图中画出二次函数C 的图象；（3）当03x ≤≤时，利用图象直接写出y 的取值范围； （4）当3y <时，利用图象直接写出x 的取值范围. 20.已知关于x 的一元二次方程()22120x m x m +++−=.（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解. 21.如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连接AC ，BC .（1）求证：CAB BCD ∠=∠； （2）若4AB =，2BC =，求CD 的长.22.下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知：如图，O 及O 外一点P . 求作：过点P 的O 的切线.作法：①连接OP ，分别以点O 、点P 为圆心，大于12OP 的长为半径作弧，两弧交于点M 、点N ，作直线MN 交OP 于点T ：②以点T 为圆心，TP 的长为半径作圆，交O 于点A 、点B ；③作直线P A ，PB .所以直线P A ，PB 就是所求作的O 的切线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明. 证明：连接OA .OP 是T 的直径，OAP ∴∠= °（ ）（填推理的依据）.OA AP ∴⊥.又OA 为O 的半径，直线P A 是O 的切线（ ）（填推理的依据）.同理可证，直线PB 也是O 的切线.23.如图，已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中()1,0A ，()0,3C .直线y mx n =+经过B ，C 两点.（1）求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点M ，使MA MC +最小，直接写出点M 的坐标； （3）连接BD ，CD ，求BCD △的面积.24.如图，在Rt ABC △，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，以CD 为直径的O 与直线AB 相切于点E ，连接OA ，OA OB =.（1）求证：30ABC ∠=︒；（2）连接AD ，若AD =，求O 的半径.25.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. （1）建立如图所示的平面直角坐标系.对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行测量，得到以下数据：①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m ； ②求满足条件的抛物线的解析式.（2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m 处有宽为0.8m 的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪.26.已知关于x 的二次函数224a y x ax =++，点()1,M m −，()5,N n 在二次函数图象上.（1）①若m n =，求二次函数的对称轴； ②若4a <−，比较m ，n 的大小，并说明理由.（2）当1a x a ≤≤+时，函数的最小值为9，求a 的值.27.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，()045B αα∠=︒<<︒，P 是线段BC 上的动点（不与点B ，C 重合），将线段PC 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PD .图1 图2（1）如图1，当30α=︒，且点D 在线段AB 上时，求证PD BP =；（2）如图2，点D 在Rt ABC △内部，过点D 作AD 的垂线，与直线BC 交于点Q . ①请根据题意，将图形补充完整； ②判断PQ 与PB 的数量关系，并证明. 28.已知C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于C 的反演点的定义如下：若点'P 在射线CP 上，满足2'CP CP r ⋅=，则称点'P 是点P 关于C 的反演点. 图1为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图.图1 图2 图3在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为6，O 与x 轴的正半轴交于点A .（1）如图2，45AOB ∠=︒，18OB =. 若点'A ，'B 分别是点A ，B 关于O 的反演点. 则点'A 的坐标是 ，点'B 的坐标是 ；（2）已知点Q 在x 轴下方，且29OQ ≤≤，直线3y x m =−+上存在点Q 关于O 的反演点'Q ，求m 的取值范围；（3）如图3，已知直线:6l y =−，点K 是直线l 上的动点，点'K 是点K 关于O 的反演点. 请直接写出线段'AK 的长度k 的取值范围.参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题每题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17.解：（1）10x =，22x =−. （2）1a =，2b =−，3c =−2416b ac ∴=−=△.1,2222b x a −±==， 11x ∴=−，23x =.18.解：（1）111A B C △为所作， 点1A 的坐标为()3,4−； （2）222A B C △为所作， 点2C 的坐标为()2,1−−；19.解：（1）抛物线解析式为()221y x =−−. （2）如图所示.（2）13y −≤≤. （3）04x <<.20.解：（1）()()22214249m m m =+−⨯−=+△.20m ≥， 2490m ∴=+>△.∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）由题意可知，当0m =时，249m =+△的值最小. 将0m =代入()22120x m x m +++−=，得220x x +−=.解方程可得12x =−，21x =. 21.解法一：（1）直径AB CD ⊥，BC BD ∴=，CAB BCD ∴∠=∠.（2）AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒.又4AB =，2BC =，∴在Rt ACB △中，AC ==CE AB ⊥于点E ，1122AC BC AB CE ∴⋅=⋅，CE ∴=直径AB CD ⊥，2CD CE ∴==解法二：（1）AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒.90BCD ACE ∴∠+∠=︒.又CD AB ⊥，90CEA ∴∠=︒.90CAB ACE ∴∠+∠=︒.CAB BCD ∴∠=∠.（2）连接OC .直径4AB =，2BC =，2OB OC BC ∴===，BOC ∴△为等边三角形.CE OB ⊥于点E ，90CEB ∴∠=︒，112BE OB ==.∴在Rt BEC △中，CE ==.直径AB CD ⊥，2CD CE ∴==22.解：（1）如图所示（2）证明：连接OA .OP 是T 的直径，90OAP ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）.OA AP ∴⊥.又OA 为O 的半径，∴直线P A 是O 的切线（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.同理可证，直线PB 也是O 的切线.23.解：（1）将点()1,0A ，()0,3C 代入2y x bx c =−++，得10,3,b c c −++=⎧⎨=⎩ 解这个方程组，得2,3.b c =−⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =−−+.∴抛物线的对称轴为直线1x =−.∴抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点()1,0A ，()3,0B ∴−.可求直线BC 解析式为3y x =+.（2）点M 的坐标为()1,2−（3）213BCD DMB DMC S S S =+=+=△△△.24.解：（1）连接OE .直线AB 与O 相切于点E ，OE AB ∴⊥.90ACB ∠=︒，OAE OAC ∴∠=∠.OA OB =，B OAE OAC ∴∠=∠=∠.90B OAE OAC ∠+∠+∠=︒，30B ∴∠=︒.（2）设O 的半径为r ，则2CD r =.90ACB ∠=︒，30OAC B ∠=∠=︒，22AO OC r ∴==.AC ∴==.∴在Rt ACD △中，222AC CD AD +=，即)()2222r +=，解得：r =25.解：（1）①0.98.②由题意可知，抛物线的顶点为（1.4，0.98）.∴设抛物线解析式为()21.40.98y a x =−+. ∴当0x =时，0y =，()200 1.40.98a ∴=−+，解得0.5a =−. ∴抛物线的解析式为()20.5 1.40.98y x =−−+.（2）能.26.解：（1）点()1,M m −，()5,N n 在二次函数图象上，且m n =， 1522x −+∴==. （2）4a <−，∴抛物线的对称轴22a x =−>. ()1522a a ∴−−−>−−， m n ∴>.（3）①当12a a +<−，即23a <−时， 当1x a =+时，函数取得最小值9.2192a a ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，解得43a =，83a =−. 23a <−，83a ∴=−. ②当2a a >−，即0a >时， 当x a =时，函数取得最小值9. 292a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，解得2a =，2a =−. 0a >，2a ∴=.③当12a a a ≤−≤+时，函数的最小值为0，不符合题意. 综上所述：83a =−或2a =.27.解：（1）260CPD B PDB α∠==︒=∠+∠，30B α∠==︒， PDB B ∴∠=∠.BP DP ∴=.（2）①如图所示.②QP BP =.证明：连接AQ ，取AQ 中点M ，连接MC ，MD .90ACQ ∠=︒，AD QD ⊥，12MC MD AQ ∴==. 又CP DP =，MP MP =，()CMP DMP SSS ∴△≌△.12CPM DPM CPD B α∠=∠=∠==∠， MP AB ∴∥，AM QM =，QP BP ∴=.28.解：（1）()6,0；. （2）由题意可知'36OQ OQ ⋅=，29OQ ≤≤，4'18OO ∴≤≤，且Q 在x 轴下方.因此'Q 形成的区域为在x 轴下方的一个半圆环区域（不包含x 轴）.考虑3y x m =−+过()18,0E 和与圆相切（切点为C ）两个临界情形， 连接OC .y x m =+与x 轴，y 轴所成的锐角分别为30°，60°， 即图中30AEO ∠=︒，60ODC ∠=︒，90OCD ∠=︒. 又18OE OC ==，OA ∴=，CD =，OD =. 33y x m =−+要与阴影区域有交点，∴综合图形可知，m −≤<（3）33k ≤≤。
北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A 3B 0.5C 12D 32．如图，ABCD 中，25B ∠=︒，则A ∠=（）A ．50︒B ．65︒C ．115︒D ．155︒3．下列计算正确的是（）A 2810B ．2222-=C 284=D 824=4．用配方法解方程2430x x --=，则配方正确的是（）A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)7x +=5．已知一次函数2y x =-+，那么下列结论正确的是（）A ．y 的值随x 的值增大而增大B ．图象经过第一、二、三象限C ．图象必经过点()0,2D ．当2x <时，y <06．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）A ．8分B ．8.1分C ．8.2分D ．8.3分7．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．2 50006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=8．如图1，动点P 从点A 出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P 经过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d ，已知d 与s 的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P 的运动路线的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．10．已知点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，比较1y 与2y 的大小：1y 2y ．（填“>”，“=”或“<”）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点23A （，），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则点B 的横坐标为．12．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 边CD 的中点，连接OE ．若AC =2BD =，则OE 长为．13．甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）14．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为s （单位：m ），车速为v （单位：km/h ），根据测得的数据，s 与v 的函数关系如图所示，（1）若该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为km/h ；（2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的13，则此时的车速约为km/h （结果取整数）．三、解答题15．（1（2）解方程：2450x x --=．16．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在AB ，CD 上，且BE DF =．求证：AF CE =．17．下面是小茜设计的“作一个已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，AOB ∠．求作：射线OP ，使得OP 平分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧交射线OB 于点D ；②分别以点C ，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于点P （异于点O ），连接PC 和PD ；③作射线OP ．所以射线OP 平分AOB ∠．根据小茜设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理依据．证明：∵OC OD PC ===，∴四边形OCPD 是（），∴OP 平分AOB ∠（）．18．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数122y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；(3)结合图象直接写出当0y>时，x的取值范围．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．(1)判断ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．20．抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，且过点()1,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？21．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．22．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC BC ⊥，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC =，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 为矩形；(2)连接OE ，若32BC DE ==，，求OE 的长．23．2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，某校准备以此为契机，开展一次“普及航天知识，弘扬航天精神”的科普讲座.为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.七年级名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x≤<，≤<，6070xx≤≤）：x≤<，90100x≤<，80907080b.七年级成绩在7080x≤<这一组的是：70717172727374757677787979c.七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下：年级平均分中位数七73.8m八73.874.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为1p.在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为2p.比较1p，2p的大小，并说明理由；(3)假设该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数.24．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-．(1)求该函数的表达式；(2)当x m >时，对于x 的每一个值，函数2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠，直接写出m 的取值范围．25．如图，正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接DE ，使DE DC =，交CE 于点N ，连接AE AN BN 、、．(1)依题意补全图形；(2)判断ANE 的形状，并证明；(3)用等式表示线段AN BN CN 、、三者之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）（1）点A（2,0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．。
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北京师大附中2009-2010学年上学期初中九年级数学
期中考试试卷
一、选择题(将答案填在表格中，每小题3分，共30分)
1．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC 的度数是( )
A ．50°
B ．100°
C ．130°
D ．200° 2．抛物线21
212y x x =-++的顶点坐标是( )
A ．(2，1)
B ．(2，-3)
C ．(2，3)
D ．(-2，3
2
) 3．若二次函数y=2(x-2)2-3的图象上有两个点A(5，y 1)、B(-1，y 2)，则下列判断中正确的
是( )
A ．y 1＞y 2
B ．y 1=y 2
C ．y 1＜y 2
D ．y 1，y 2的大小不确定
4．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则cosA 的值是( )
A ．1213
B ．513
C ．512
D ．125
5．若关于x 的方程x 2+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α
为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 6．如图，己知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：
PB=1：5，
那么??⊙O 的半径是( )
A ．
B ．
C ．8cm
D ．6cm
7．铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2:3，上底宽是3米，路基高为4米，
则路基的下底宽为( )
A ．15米
B ．12米
C ．9米
D ．7米 8．如图，⊙O 的半径为1，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是
弧AN 的
中点，P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ( )
A．1 B
C D1
9．某同学从右图二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面的五个结论：
①c=0，②函数的最小值为-3，③a-b+c＜0，④4a+b=0，⑤b
2
-4ac＞0．你认为其中正确的命题有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B →C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2所示，那么△ABC的面积为
A．32 B．18 C．16 D．10
二、填空题(每小题4分，共32分)
11．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a，b，c满足a+b+c=0和9a-3b+c=0，则该二次函数图象的对称轴是直线____________．
12．将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x2-4x+5，则原抛物线的顶点坐标是___________．
13．锐角A满足2sin(A-15°A=___________．
14．一条弦AB将⊙O分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB所对的圆心角的度数是___________．
15．如图，在ΔABC中，∠A=30°，，AC=，则AB=___________．
16．在△ABC中，AB=2，，∠B=30°，则∠BAC的度数是___________
17．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对
．．．(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：
a2+b+1，例如把(3，-2)放入其中，就会得到3
2+(-2)+1=8，现将实数对
．．．(-2，3)放入其
中得到实数m，再将实数对
．．．(m，1)放入其中后，得到的实数是___________．
18．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE AE是劣弧DE DE 的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是___________．
三、解答题(第24题4分，其余每小题6分，共34分)
19．计算：
(1)6cos30°×tan30°-2sin245°
(2)π-1)°-2sin45°+tan45°
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=
5
13
，BC=26．
求：(1)cos∠DAC的值；(2)线段AD的长．
21．如图，河对岸有一水塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进12米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求水塔AB的高(结果保留根号)
22．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。
(1)作图题：请你用圆规、直尺补全这个输水管道的圆形截面；(不写作法，但要保留作
图痕迹)
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆
形截面的半径．
23．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E是AC边上一点，ED⊥AB于点D，EF⊥BC 于F，设AD为x，四边形EFBD的面积为y
(1)写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围
(2)求E点在AC边上的什么位置时，四边形EFBD的面积最大，最大面积是多少? 24．(本小题4分)已知：抛物线与x轴交于A(-1，0)、B两点，点B在x轴的正半轴上，与y轴交于点C(0，-3)，抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得Dc与AC垂直，求出点D的坐标；
四、综合题(共24分)
25．(本小题7分)已知：关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m＞0)，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为x
1，x
2
(其中x
1
＜x
2
＝，若y是关于m的函数，且y=x
2
-2x
1
，
求这个函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y
≤2m．
26．(本小题8分)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形?若存
在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线y=113x +交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的
值．
27．(本小题9分)如图：抛物线y=x 2-2x-3与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线1与
抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数解析式；
(2)P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长
度的最大值；
(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、G 为顶点的四边形
是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标(请直接写出点的坐标，不要求写过程)；如果不存在，请说明理由。
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．C 9．B 10．C
11．x=-1 12．(3，10) 13．75° 14．72°
15．5 16．15°或105° 17．66 18．①②④
19．(1)2；(2) 20．(1)1213
(2)13； 21．； 22．r=10； 23．(1)y=-2x 2+8x (0＜x ＜4)；(2)当点E 在AC 中点时，最大面积是8 24．(1)2(1)4y x =--；(2)720(,)39D -
25．(2)y=2m
(m ＞0) (3)m ≥1； 26．(1)∴y=x 2-2x-3 (2)P 1(0，13
) P 2(9，0)，P 3(0，0)． (3)∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°．
27．(1)A(-1，0)、B(3，0)；直线AC ：y=-x-1；
(2) 9
4 (3)(-3，0)或(1，0)或，0)。